ใบงานที่ 8 บทที่ 2 การจัดหมู่(COMBINATION) 2.1 แฟกทอเรี ยล(Factorial) n! อ่านว่า n แฟกทดเรี ยล 0! = 1 n! = n(n-1)…..321(นัน่ คือ 1 = 1! = 10! = 0!) 2.2 การจัดหมู่ ในทางคณิ ตศาสตร์ การจัดหมู่ (Combination) เป็ นวิธีการเลือกสิ่ งของจานวนหนึ่งมาจากสิ่ งของที่มี อยูท่ ้ งั หมด โดยไม่คานึงถึงลาดับ การจัดหมู่ สิ่ งของ k สิ่ ง จากสิ่ งของทั้งหมด n สิ่ ง มีวธิ ี การจัดทั้งหมด วิธี ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.1 แฟกทอเรี ยล ตัวอย่าง 1. จงหาคาตอบของจานวนต่อไปนี้ 1) 0! + 1! + 3!+ 5! 2) 2! + 4! 3) (2+4)! 4) 2!4! 5) (24)! 6) (2!)2 7) (22!) 8) 84!! 9) ( 84 )! 10) 11)
10! 6!7! 22!15!19!
23!(17!) 2
19!9!22! 12) 20 !21!11!
13)
14)
(n!) 2 (n 1)!(n 1)!
(n!) 3 (n 1)!(n 2)!(n 3)!
=========================================================================== แบบฝึ กหัด จงหาคาตอบของจานวนต่อไปนี้ 1) 0! + 1! + 2!+ 3! 2) 10! 3)
7! 14!16! (15!) 2
! 9! 22! 4) 18 17! 21! 8!
5)
(n!) 2 (n 4)! (n 1)!(n 2)!(n 3)!
ใบงานที่ 9 2. จงเขียนจานวนต่อไปนี้ให้อยูใ่ นรู ปแฟกทอเรี ยล 1) 987….1 2) 345…100 3) n(n+1)(n+2)….(n+10)
4) n(n-1)(n-2)…(n-10)
5) 246…50
6) 706866….20
7) 135…53
8) 1019997….49
9) 246….(2n)
10) 135…(2n-1)
11) n(n2-1)(n2-4)
3. จงหาค่าของ 1) 11! + 22! + 33! +………..+ 2020!
2) 33! + 44! + 55! +………..+ 2525!
3)
1 2 3 18 .... 2! 3! 4! 19!
4)
4 5 6 15 .... 5! 6! 7! 16!
*5) 4*. จงตอบคาถามต่อไปนี้ 1) 15! + 18 หารด้วย 10 เหลือเศษเท่าใด 2) 100! – 19 หารด้วย 15 เหลือเศษเท่าใด 3) 0! + 1! + 2! + 3! + ….+10! หารด้วย 7 เหลือเศษเท่าใด 4) 100! - 99! - 98! -….- 3! หารด้วย 5 เหลือเศษเท่าใด ======================================================================== แบบฝึ กหัด 1. จงเขียนจานวนต่อไปนี้ให้อยูใ่ นรู ปแฟกทอเรี ยล 1) 87….1 2) 45…100 3) (n+1)(n+2)….(n+10) 4) (n-1)(n-2)…(n-10) 5) 246…46 6) 6866….20 7) 135…51 8) 9997….49 9) 246….(2n) 10) 135…(2n-1) 11) n(n2-1)(n2-4)(n2-9) 2. จงหาค่าของ 1) 11! + 22! + 33! +………..+ 1010! 2) 44! + 55! +………..+ 2525! 3) 4)
1 2 3 19 .... 2! 3! 4! 20! 5 6 15 .... 6! 7! 16!
3. จงตอบคาถามต่อไปนี้ 1) 15! + 18 หารด้วย 11 เหลือเศษเท่าใด 2) 98! – 19 หารด้วย 12 เหลือเศษเท่าใด 3) 0! + 2! + 4! + ….+18! หารด้วย 7 เหลือเศษเท่าใด 4) 100! - 99! - 98! -….- 3! หารด้วย 4 เหลือเศษเท่าใด
ใบงานที่ 10 5*. จงตอบคาถามต่อไปนี้ 1) 10! หารด้วย 2k ลงตัว จงหาค่ามากที่สุดของ k
2) 99! หารด้วย 5k ลงตัว จงหาค่ามากที่สุดของ k 3) 50! หารด้วย 4k ลงตัว จงหาค่ามากที่สุดของ k
4) 77! หารด้วย 125k ลงตัว จงหาค่ามากที่สุดของ k
5) 86! หารด้วย 40k ลงตัว จงหาค่ามากที่สุดของ k
6) 96! หารด้วย 108k ลงตัว จงหาค่ามากที่สุดของ k
7) 100! มีเลขศูนย์ลงท้ายกี่จานวน
6. จงหาค่า n จากสมการต่อไปนี้ 1) ((nn 53)!)! 42
2)
3)
(n)! 720 (n 3)!
(n 3)!n! 460 (n 2)!(n 1)!
7*. จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ ถูกหรื อผิด 1) สาหรับจานวนเต็มที่ไม่เป็ นลบ ถ้า x! = y! แล้ว x=y 2) มีจานวนนับต่างกัน x,y และ z ที่ทาให้ z! = x!y! 3) มีจานวนนับ n,m ต่างกัน ที่ทาให้ n!(n-1)! = m! 4) มีจานวนนับต่างกัน x,y.z ที่ทาให้ z! = x! y! ======================================================================== แบบฝึ กหัด 1 . จงตอบคาถามต่อไปนี้ 1) 10! หารด้วย 3k ลงตัว จงหาค่ามากที่สุดของ k 2) 99! หารด้วย 27k ลงตัว จงหาค่ามากที่สุดของ k 3) 50! หารด้วย 4k ลงตัว จงหาค่ามากที่สุดของ k 4) 96! หารด้วย 40k ลงตัว จงหาค่ามากที่สุดของ k 5) 89! มีเลขศูนย์ลงท้ายกี่จานวน 2. จงหาค่า n จากสมการต่อไปนี้ 1) 3)
(n 5)! 240 (n 3)! n!(n 2)! 255 (n 3)!(n 1)!
2)
(n 7)! 1716 (n 4)!
ใบงานที่ 11 2.2 การหาค่า nCr ตัวอย่าง 1. จงหาค่าของ 1) n C r
4 2) 2
3) 5C5
7 4) 7
5) 7 C 0
10 6) 0
5 7) 1
8)10C1
5 9) 3
10) 5 C 2
10 11) 3
12)
100 13) 98
14) 20C18
25 15) 22 16) 6 C 0 6 C1 6 C 2 6 C3 6 C 4 6 C5 6 C 6
17) 4 C 0 4 C1 4 C 2 4 C3 4 C 4
18) 7 C 0 7 C 2 7 C 4 7 C 6
19) 7 C1 7 C3 7 C5 7 C 7
20) 6 C 0 6 C1 6 C 2 6 C3 6 C 4 6 C5 6 C 6
10
C7
2*. จงแสดงว่า 1) r nr n nr 11
2) r n 1 nr n r 1
3*. จงหาค่าของ 11 12 100 .... 1) 10 10 10 10 10
3)
100 100 101 190 .... 9 10 11 100
2) 100 111 122 .... 100 90
4)
15 16 17 100 .... 15 15 15 15
5) (1)(2) + (2)(3) + ….+(10)(11) 6) (1)(2)(3) +(2)(3)(4)+…..+(10)(11)(12) =========================================================================== แบบฝึ กหัด 1. จงหาค่าของ 14 1) 2 3) 10C6 5)8 C1 7) 5C0 5 C1 5 C2 5 C3 5 C4 9) 6 C0 6 C2 6 C4 6 C6
2) 7 C5 5 4) 0 10 6) 10 8) 3 C0 3 C1 3 C3 10) 6C1 6 C2 6 C3 6 C4 6 C5 6 C6
2. จงหาค่าของ 1)
11 12 100 .... 11 11 11
2)
11 12 90 .... 0 1 79
3) (1)(2)(3)(4) +(2)(3)(4)(5)+…..+(11)(12)(13)(14)
ใบงานที่ 12 *จงแสดงว่าทุกจานวนในลาดับ n!+2 , n!+3 , n!+4 , …. , n!+n ไม่เป็ นจานวนเฉพาะ เมื่อ n เป็ น จานวนเต็มที่มากกว่า 1 2.3 การจัดหมู่บางส่ วน ตัวอย่าง 1. ทีมฟุตบอล 7 ทีม จัดการแข่งขันแบบพบกันหมดโดยแข่งวันละคู่ จะใช้เวลาแข่งกี่วนั
2. ข้อสอบชุดหนึ่งมี 11 ข้อ ให้เลือกทาเพียง 10 ข้อเท่านั้น จะมีวธิ ี เลือกทาได้กี่วธิ ี
3. ในงานเลี้ยงแห่งหนึ่งผูท้ ี่มาในงานนี้ทกั ทายด้วยการสัมผัสมือกันนับได้ท้ งั หมด 45 ครั้ง จงหา ว่ามีผมู ้ าในงานนี้กี่คน
4. ชายคนหนึ่งมีเพื่อนสนิท 5 คน เขาจะเชิ ญเพื่อนมาทานอาหารที่บา้ นได้แตกต่างกันกี่วิธี ถ้า ก. ไม่เชิญใครเลย ข. เชิญมา 1 คน ค. เชิญมา 2 คน ง. เชิญมาอย่างน้อย 3 คน จ. เชิญมาไม่เกิน 3 คน ฉ. อย่างไรก็ได้
5. กาหนด A = {1,2,3,….,10} จงหาจานวนสับเซตของ A ที่มีเงื่อนไขดังนี้ ก. อย่างไรก็ได้ ข. ไม่มีสมาชิกอยูเ่ ลย ค. มีสมาชิก 1 ตัว ง. มีสมาชิก 2 ตัว จ. มีสมาชิก 4 ตัว ฉ. มีสมาชิก 6 ตัว ช. มีสมาชิก 8 ตัว ซ. มีสมาชิก 9 ตัว ฌ. มีสมาชิก 10 ตัว
=========================================================================== แบบฝึ กหัด 1. เลือกกรรมการห้อง 5 คน จากห้องๆ หนึ่งซึ่งมี 30 คนได้กี่วธิ ี 2. สุ่ มหยิบลูกบอล 3 ลูก จากกล่องใบหนึ่งซึ่ งมีลูกบอลต่างกัน 6 ลูกได้กี่วธิ ี 3. ทีมฟุตบอล n ทีม จัดการแข่งขันแบบพบกันหมดโดยแข่งวันละคู่ จะใช้เวลาแข่ง 36 วัน จงหา n 4. มีลูกบอลสี ขาว เหลือง แดง เขียว อย่างละ 1 ลูก จะมีวธิ ี การสุ่ มพร้อมกันได้กี่วธิ ี ถ้า ก. ไม่หยิบเลย ข. ครั้งละ 2 ลูก ค. อย่างไรก็ได้ 5. กาหนด A = {1,2,3,….,8} จงหาจานวนสับเซตทั้งหมดของ A ที่มีสมาชิกอย่างน้อย 3 ตัว
ใบงานที่ 13 6. จงหาจานวนเส้นทแยงมุมทั้งหมดของรู ปเหลี่ยมดังต่อไปนี้ ก. รู ปสามเหลี่ยม ข. รู ปสี่ เหลี่ยม
ค. รู ปห้าเหลี่ยม
ง. รู ป n เหลี่ยม
จ. รู ป 10 เหลี่ยม
7. จุด 12 จุดบนเส้นรอบวง ลากส่ วนของเส้นตรงเชื่ อมระหว่าง 2 จุดใดๆ ได้ท้ งั หมดกี่เส้น
8. จุด 10 จุดบนเส้นรอบวง จะสร้างรู ปหลายเหลี่ยมโดยใช้จุดเหล่านั้นได้กี่รูป ถ้ากาหนดจานวน เหลี่ยมดังนี้ ก. 3 เหลี่ยม ข. 4 เหลี่ยม ค. กี่เหลี่ยมก็ได้
*9. เส้นตรง 10 เส้น จะแบ่งวงกลมวงหนึ่งได้มากที่สุดกี่ส่วน
10. จุด 9 จุดมี 5 จุดอยูบ่ นแนวเส้นตรงเดียวกันจะสร้างสามเหลี่ยมจากจุดดังกล่าวได้ต่างกันกี่รูป
11. จุด 9 จุดมี 5 จุดอยูบ่ นแนวเส้นตรงเดียวกันจะลากเส้นตรงผ่าน 2 จุดใดๆได้ต่างกันกี่เส้น
========================================================================== แบบฝึ กหัด 1. จานวนเส้นทแยงมุมของรู ปเหลี่ยมรู ปหนึ่ง มีท้ งั หมดของ 54 เส้น จงหาจานวนเหลี่ยม 2. จุด 10 จุดบนเส้นรอบวง ลากส่ วนของเส้นตรงเชื่ อมระหว่าง 2 จุดใดๆ ได้ท้ งั หมดกี่เส้น 3. จุด n จุดบนเส้นรอบวง สร้างรู ปเหลี่ยมโดยใช้จุดเหล่านั้นได้ 1981 รู ป จงหา n 4. จุด 10 จุดมี 4 จุดอยูบ่ นแนวเส้นตรงเดียวกันจะสร้างสามเหลี่ยมจากจุดดังกล่าวได้ต่างกันกี่รูป 5. จุด 10 จุดมี 5 จุดอยูบ่ นแนวเส้นตรงเดียวกันจะลากเส้นตรงผ่าน 2 จุดใดๆได้ต่างกันกี่เส้น 6. กาหนดจุดบนด้านของรู ปสามเหลี่ยม ดังรู ป
จงหาจานวนรู ปสามเหลี่ยมที่มีจุดสามจุดจากจุด a,b,c,d,e,f,g,h เป็ นจุดยอด
ใบงานที่ 14 12. นักเรี ยน 10 คน เลขที่ 1-10 ยืนเรี ยงตามเลขที่เป็ นแนวเส้นตรง ต้องการเลือกมา 2 คนโดยที่ท้ งั สองคน เลขที่หา้ มเรี ยงติดกัน จะเลือกมาได้กี่วธิ ี (แนะ xoooxooooo คือ เลือก 1 กับ 5)
13. นักเรี ยน 10 คน เลขที่ 1-10 ยืนเรี ยงตามเลขที่เป็ นแนวเส้นตรง ต้องการเลือกมา 3 คนโดยที่ท้ งั สามคนไม่ มีสองคนใดๆที่เลขที่เรี ยงติดกัน จะเลือกมาได้กี่วธิ ี
14. นักเรี ยน 10 คน เลขที่ 1-10 ยืนเรี ยงตามเลขที่เป็ นแนวเส้นตรง ต้องการเลือกมา 4 คนโดยที่ท้ งั สี่ คนไม่มี สองคนใดๆที่เลขที่เรี ยงติดกัน จะเลือกมาได้กี่วธิ ี
15. โยนเหรี ยญ(เที่ยงตรง)หนึ่งเหรี ยญ จานวน 10 ครั้ง ความน่าจะเป็ นที่ได้หวั อย่างน้อย 2 ครั้งติดกัน เท่ากับ เท่าใด
2.4 การจัดหมู่แบบต่อเนื่ อง 1. ต้องการเลือกหัวหน้าห้องซึ่งเป็ นผูช้ าย 1 คน รองหัวหน้าซึ่งเป็ นผูห้ ญิง 3 คน จากห้องๆ หนึ่งที่ มีผชู้ าย 20 คน ผูห้ ญิง 15 คน จะเลือกได้กี่วธิ ี
2. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสี ขาว 5 ลูกต่างกัน และสี แดง 4 ลูกต่างกัน ต้องการเลือก 4 ลูก ให้ได้สี ละ 2 ลูก จะเลือกได้กี่วธิ ี
3. กล่อง 2 ใบแต่ละใบมีลูกบอลสี ขาว 3 ลูก สี แดง 2 ลูก สุ่ มหยิบลูกบอลจากกล่องแต่ละใบๆละ 2 ลูก จงหาจานวนวิธีที่จะหยิบลูกบอลได้สีเดียวกันทั้ง 4 ใบ
4.1)สลากกินแบ่งรัฐบาลตั้งแต่ 000000-999999 ที่มีเลขศูนย์ปรากฏเพียง 4 ตัวเท่านั้นมีกี่แบบ
2)สลากกินแบ่งรัฐบาลตั้งแต่ 000000-999999 ที่มีเลข 1 มาก่อน 2,2 มาก่อน 3 และ เลข 1,2,3 ปรากฎเพียงครั้งเดียวเท่านั้น มีกี่แบบ
========================================================================= แบบฝึ กหัด 1. เลือกตัวเลขโดดจาก 0-9 มา 4 ตัว ไม่ซ้ ากัน โดยตัวเลขทั้ง 4 ตัว ต้องไม่มี 2 ตัวใดๆ เรี ยงติดกัน 2. สุ่ มนักเรี ยนจากเลขที่ของห้องที่มีนกั เรี ยน 30 คน 10 คนโดยที่ท้ งั 10 คนไม่มีสองคนใดๆที่เลขที่เรี ยง ติดกัน จะได้กี่วธิ ี 3. ต้องการเลือกหัวหน้าห้องซึ่งเป็ นผูช้ าย 1 คน กรรมการห้องซึ่งเป็ นผูห้ ญิง 4 คน จากห้องๆ หนึ่งที่มีผชู้ าย 10 คน ผูห้ ญิง 20 คน จะเลือกได้กี่วธิ ี 4. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสี ขาว 4 ลูกต่างกัน และสี แดง 3 ลูกต่างกัน ต้องการเลือก 6 ลูก ให้ได้สี ละ 3 ลูก จะเลือกได้กี่วธิ ี 5. กล่อง 2 ใบแต่ละใบมีลูกบอลสี ขาว 3 ลูก สี แดง 4 ลูก สุ่ มหยิบลูกบอลจากกล่องแต่ละใบๆละ 3 ลูก จงหาจานวนวิธีที่จะหยิบลูกบอลได้สีเดียวกันทั้ง 6 ลูก 4.1)สลากกินแบ่งรัฐบาลตั้งแต่ 000000-999999 ที่มีเลขศูนย์ปรากฏเพียง 3 ตัวเท่านั้นมีกี่แบบ 2)สลากกินแบ่งรัฐบาลตั้งแต่ 000000-999999 ที่มีเลข 1 มาก่อน 2 และ เลข 1,2 ปรากฎเพียงครั้งเดียวเท่านั้น มีกี่แบบ
ใบงานที่ 15 5. เส้นขนานแนวราบ 5 เส้น ตัดกับเส้นขนานแนวดิ่ง 4 เส้น ทาให้เกิดสี่ เหลี่ยมด้านขนาน ทั้งหมดกี่รูป
6. 1) เส้นคู่ขนาน 2 เส้น เส้นบนมีจุด 5 จุด เส้นล่างมีจุด 4 จุด ถ้าโยงจุดระหว่างเส้นคู่ขนานจะเกิด จุดตัดระหว่างเส้นคู่ขนานได้มากทื่สุดกี่จุด
2) เส้นตรง 10 เส้น ตัดกันเกิดจุดตัดมากที่สุดกี่จุด
3) วงกลม 10 วง ตัดกันเกิดจุดตัดมากที่สุดกี่จุด
4) วงกลม 5 วง เส้นตรง 3 เส้น ตัด กันมากที่สุดกี่จุด
7.
กาหนดตารางทางซ้ายมือให้แต่ละช่องเป็ นสี่ เหลี่ยมจัตุรัส จงหา ก. จานวนสี่ เหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดในรู ป ข. จานวนสี่ เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดในรู ป
8.
รู ปทางซ้ายมีสี่เหลี่ยมด้านขนานกี่รูป
9.
รู ปทางซ้ายมีสี่เหลี่ยมด้านขนานกี่รูป
=================================================================================================
1.
แบบฝึ กหัด จากรู ปทางซ้าย มีสี่เหลี่ยมทั้งหมดกี่รูป
2. เส้นคู่ขนาน 2 เส้น เส้นบนมีจุด 4 จุด เส้นล่างมีจุด 3 จุด ถ้าโยงจุดระหว่างเส้นคู่ขนานจะเกิด จุดตัดระหว่างเส้นคู่ขนานได้มากทื่สุดกี่จุด 3. เส้นตรง 12 เส้น ตัดกันเกิดจุดตัดมากที่สุดกี่จุด 4. วงกลม 8 วง ตัดกันเกิดจุดตัดมากที่สุดกี่จุด 5. วงกลม 4 วง เส้นตรง 5 เส้น ตัด กันมากที่สุดกี่จุด 6. กาหนดตารางทางซ้ายมือให้แต่ละช่องเป็ นสี่ เหลี่ยมจัตุรัส จงหา ก. จานวนสี่ เหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดในรู ป ข. จานวนสี่ เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดในรู ป
ใบงานที่ 16 2.5 การจัดหมู่แบบบังคับเลือก หรื อ บังคับไม่เลือก ตัวอย่าง 1. จุด 8 จุดอยูบ่ นเส้นรอบวง มีจุด A,B รวมอยูด่ ว้ ยต้องการเลือกมา 3 จุด เพื่อสร้างสามเหลี่ยม โดยต้องมีจุด A และ B เป็ นจุดยอดอยูด่ ว้ ยจะสร้างได้กี่รูป
2. จุด 8 จุดอยูบ่ นเส้นรอบวง มีจุด A,B รวมอยูด่ ว้ ยต้องการเลือกมา 3 จุด เพื่อสร้างสามเหลี่ยม โดยต้องไม่มีจุด A และ ต้องไม่มีจุด B เป็ นจุดยอดอยูด่ ว้ ยจะสร้างได้กี่รูป
3. จุด 8 จุดอยูบ่ นเส้นรอบวง มีจุด A,B รวมอยูด่ ว้ ยต้องการเลือกมา 3 จุด เพื่อสร้างสามเหลี่ยม โดยต้องมีจุด A เป็ นจุดยอด แต่ตอ้ งไม่มีจุด B เป็ นจุดยอดอยูด่ ว้ ยจะสร้างได้กี่รูป
4. จุด 8 จุดอยูบ่ นเส้นรอบวง มีเพียงจุด A,B เท่านั้นที่เป็ นจุดปลายเส้นผ่าศูนย์กลางต้องการเลือก มา 3 จุดเพื่อสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากจะสร้างได้กี่รูป
5. ในการเลือกคนทางานจากคน 10 คน ซึ่ งมีนายอริ กับ นายอคติ อยูด่ ว้ ย โดยที่ท้ งั สองคนจะไม่ ยอมทางานด้วยกัน ถ้าต้องการเลือกมา 5 คนจะเลือกได้กี่วธิ ี
6. กาหนด A = {1,2,3,…,10} ให้ B เป็ นสับเซตของ A ที่มีสมาชิก 5 ตัวและ {2,5}B จะสร้าง B ได้กี่วธิ ี 2.6 ของ n สิ่ งต่างกันแบ่งเป็ นกลุ่มๆ ละเท่าๆ กัน หรื อ แบ่งเป็ นกลุ่มโดยที่แต่ละกลุ่มจานวนไม่เท่ากัน
ตัวอย่าง 1. ของต่างกัน 12 สิ่ ง ต้องการแบ่งเป็ น 2 กองๆ ละ 5 สิ่ งและ 7 สิ่ ง จะแบ่งได้กี่วธี ี 2. นักเรี ยน 4 คน ต้องการแบ่งเป็ น 2 กลุ่มเท่าๆ กัน จะแบ่งได้กี่วธิ ี พร้อมทั้งแจกแจงด้วย
3. ของต่างกัน 12 สิ่ งแบ่งเป็ น 3 กองๆ ละ 4 สิ่ ง จะแบ่งได้กี่วธิ ี 4. แบ่งนักเรี ยน 15 คนออกเป็ นกลุ่มละ 3 คน จานวน 5 กลุ่มได้กี่วธิ ี 5. ของต่างกัน 12 สิ่ ง ต้องการแบ่งเป็ น 3 กองๆละ 3,4,5 สิ่ ง แล้วนาไปมอบให้เด็ก 3 คนจะทาได้กี่วธิ ี ========================================================================== แบบฝึ กหัด 1. จุด 8 จุดอยูบ่ นเส้นรอบวง มีจุด A,B รวมอยูด่ ว้ ยต้องการเลือกมา 3 จุด เพื่อสร้างสามเหลี่ยม โดยต้องมีจุด A เป็ นจุดยอดอยูด่ ว้ ยจะสร้างได้กี่รูป 2. จุด 8 จุดอยูบ่ นเส้นรอบวง มีจุด A,B,C รวมอยูด่ ว้ ยต้องการเลือกมา 3 จุด เพื่อสร้างสามเหลี่ยม โดยต้องไม่มีจุด A และ ต้องไม่มีจุด B และ ต้องไม่มีจุด C เป็ นจุดยอดอยูด่ ว้ ยจะสร้างได้กี่รูป 3. จุด 8 จุดอยูบ่ นเส้นรอบวง มีจุด A,B,C รวมอยูด่ ว้ ยต้องการเลือกมา 3 จุด เพื่อสร้างสามเหลี่ยม โดยต้องมีจุด A และ B เป็ นจุดยอด แต่ตอ้ งไม่มีจุด C เป็ นจุดยอดอยูด่ ว้ ยจะสร้างได้กี่รูป 4. จุด 9 จุดอยูบ่ นเส้นรอบวง มีเพียงจุด A,B เท่านั้นที่เป็ นจุดปลายเส้นผ่าศูนย์กลางต้องการเลือก มา 3 จุดเพื่อสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากจะสร้างได้กี่รูป 5. ในการเลือกคนทางานจากคน 10 คน ซึ่ งมีนายอริ กับ นายอคติ อยูด่ ว้ ย โดยที่ท้ งั สองคนจะไม่ ยอมทางานด้วยกัน ถ้าต้องการเลือกมา 3 คนจะเลือกได้กี่วธิ ี 6. กาหนด A = {1,2,3,…,10} ให้ B เป็ นสับเซตของ A ที่มีสมาชิก 4 ตัวและ {2,5}B จะสร้าง B ได้กี่วธิ ี 7. ของต่างกัน 10 สิ่ ง ต้องการแบ่งเป็ น 2 กองๆ ละ 4 สิ่ งและ 6 สิ่ ง จะแบ่งได้กี่วธี ี 8. นักเรี ยน 6 คน ต้องการแบ่งเป็ น 2 กลุ่มเท่าๆ กัน จะแบ่งได้กี่วธิ ี 9. ของต่างกัน 15 สิ่ งแบ่งเป็ น 3 กองๆ ละ 5 สิ่ ง จะแบ่งได้กี่วธิ ี 10. แบ่งนักเรี ยน 20 คนออกเป็ นกลุ่มละ 5 คน จานวน 4 กลุ่มได้กี่วธิ ี 11. ของต่างกัน 12 สิ่ ง ต้องการแบ่งเป็ น 3 กองๆละ 2,4,6 สิ่ ง แล้วนาไปมอบให้เด็ก 3 คนจะทาได้กี่วธิ ี
ใบงานที่ 17 2.7 เลือกสิ่ งของที่มีท้ งั หมด n สิ่ ง 1. มีเหรี ยญบาท เหรี ยญสองบาท เหรี ยญห้าบาท เหรี ยญสิ บบาท อย่างละ 1 เหรี ยญอยูใ่ นกระเป๋ าจะมี วิธีลว้ งเหรี ยญได้ท้ งั หมดกี่วธิ ี ถา้ 1) เลือกอย่างไรก็ได้ 2) เลือกอย่างน้อย 1 อัน 3) เลือกอย่างน้อย 2 อัน
4) เลือกอย่างน้อย 3 อัน
2. มีของเหมือนกัน 7 สิ่ ง จะให้เด็กเลือกหยิบได้กี่วธิ ี ถา้ มีเงื่อนไขว่า 1)เลือกอย่างไรก็ได้ 2)เลือกอย่างน้อย 1 สิ่ ง 3)เลือกอย่างน้อย 2 สิ่ ง
4)เลือกอย่างน้อย 3 สิ่ ง
3. จากอักษร AAAABBB จะเลือกได้ต่างกันกี่วธิ ี ถา้ 1)เลือกอย่างไรก็ได้ 2)เลือกอย่างน้อย 1 ตัว 3)เลือกอย่างน้อยชนิดละตัว
4)ต้องมี A 2 ตัว
5)ต้องมี A อย่างน้อย 2 ตัว และ B อย่างน้อย 1 ตัว 2.8 มอบของเหมือนกัน n สิ่ ง ให้เด็ก r คน 1. มีของเหมือนกัน 12 สิ่ ง นาทั้งหมดไปมอบให้เด็ก 3 คน ก.,ข. และ ค. ได้กี่วธิ ี ถ้า 1)มอบอย่างไรก็ได้ 2)ทุกคนต้องได้รับอย่างน้อย 1 สิ่ ง 3)ทุกคนต้องได้รับอย่างน้อย 2 สิ่ ง
2. จงหาจานวนพจน์จากการแจกแจงต่อไปนี้ 1)(a+b)2 3)(a-b-c)10
4)ก ได้รับอย่างน้อย 1 สิ่ ง ข ได้รับอย่างน้อย 2 สิ่ ง และ ค ได้รับอย่างน้อย 3 สิ่ ง
2)(a+b-c)2
3. คาตอบของสมการ x+y+z = 10 มีคาตอบที่แตกต่างกันกี่คาตอบ ถ้า 1)x,y และ z เป็ นจานวนเต็มบวก 2)x,y และ z เป็ นจานวนเต็มบวก หรื อ ศูนย์
4. คาตอบของสมการ a+b+c+d = 30 ที่เป็ นจานวนเต็มบวก หรื อ ศูนย์ โดยที่ a>5 , b>1 , c>1 , d>2 ที่แตกต่างกันมีกี่คาตอบ
5. คาตอบของสมการ 5a+b+c+d = 14 ที่เป็ นจานวนเต็มบวก หรื อ ศูนย์ ที่แตกต่างกันมีกี่คาตอบ
6. คาตอบของอสมการ w+x+y+z < 2002 ที่เป็ นจานวนเต็มบวก หรื อ ศูนย์ ที่แตกต่างกันมีกี่คาตอบ ===================================================================== แบบฝึ กหัด 1. มีเหรี ยญบาท เหรี ยญสองบาท เหรี ยญห้าบาท เหรี ยญสิ บบาท อย่างละ 2 เหรี ยญอยูใ่ นกระเป๋ าจะมี วิธีลว้ งเหรี ยญได้ท้ งั หมดกี่วธิ ี ถา้ 1) เลือกอย่างไรก็ได้ 2) เลือกอย่างน้อย 1 อัน 2. จากอักษร AAABBC จะเลือกได้ต่างกันกี่วธิ ี ถา้ 1)เลือกอย่างไรก็ได้ 2)เลือกอย่างน้อย 1 ตัว 3)เลือกอย่างน้อยชนิดละตัว 4)ต้องมี A 2 ตัว 5)ต้องมี A อย่างน้อย 2 ตัว และ B อย่างน้อย 1 ตัว 3 มีของเหมือนกัน 10 สิ่ ง นาทั้งหมดไปมอบให้เด็ก 3 คน ก.,ข. และ ค. ได้กี่วธิ ี ถ้า 1)มอบอย่างไรก็ได้ 2)ทุกคนต้องได้รับอย่างน้อย 1 สิ่ ง 3)ทุกคนต้องได้รับอย่างน้อย 3 สิ่ ง 4)ก ได้รับอย่างน้อย 2 สิ่ ง ข ได้รับอย่างน้อย 2 สิ่ ง และ ค ได้รับอย่างน้อย 3 สิ่ ง 4. จงหาจานวนพจน์จากการแจกแจง (a-b-c+d)10 5. คาตอบของสมการ x+y = 110 มีคาตอบที่แตกต่างกันกี่คาตอบ ถ้า 1)x,y และ z เป็ นจานวนเต็มบวก 2)x,y และ z เป็ นจานวนเต็มบวก หรื อ ศูนย์
ใบงานที่ 18 2.9 มอบของต่างกัน n สิ่ ง ให้เด็ก r คน ตัวอย่าง 1. มีของต่างกัน 5 สิ่ ง จะมอบให้เด็ก 2 คน ได้กี่วธิ ี ถา้ 1)มอบอย่างไรก็ได้ 2)ทุกคนต้องได้รับอย่างน้อย 1 สิ่ ง
2. มีของต่างกัน 4 สิ่ ง จะมอบให้เด็ก 3 คน โดยที่ทุกคนต้องได้รับอย่างน้อย 1 สิ่ ง
3. มีของต่างกัน 5 สิ่ ง จะมอบให้เด็ก 5 คน โดยที่ทุกคนต้องได้รับอย่างน้อย 1 สิ่ ง
กาหนด A = {1,3,5,7} , B = {2,4,6} 4. ฟังก์ชนั จาก A ไป B ทั้งหมดมีกี่ฟังก์ชนั
5. ฟังก์ชนั จาก A ไปทัว่ ถึง B ทั้งหมดมีกี่ฟังก์ชนั
6. ฟังก์ชนั จาก A ไป A แบบ 1-1 ทั้งหมดมีกี่ฟังก์ชนั
7. ฟังก์ชนั จาก B ไปทัว่ ถึง B มีท้ งั หมดกี่ฟังก์ชนั
8. ฟังก์ชนั จาก B ไปทัว่ ถีง A มีท้ งั หมดกี่ฟังก์ชนั
9. ฟังก์ชนั จาก A ไปทัว่ ถึง A แบบ 1-1 มีท้ งั หมดกี่ฟังก์ชนั
10. ฟังก์ชนั จาก B ไป A แบบ 1-1 มีท้ งั หมดกี่ฟังก์ชนั
2.10* ของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด n สิ่ ง ต้องการเลือก r สิ่ ง 1. จากอักษร AAAABBBCCDE จะเลือก 4 ตัวได้กี่วธิ ี
2. จากอักษร PROPORTION จะเลือก 4 ตัวได้กี่วธิ ี 3. จากอักษร ABBBCCCCDD เลือกมา 9 ตัวได้กี่วธิ ี 4. จากอักษร ABBBCCCCDD เลือกมา 8 ตัวได้กี่วธิ ี 5. จากอักษร ABBBCCCCDD เลือกมาอย่างน้อย 5 ตัวได้กี่วธิ ี ========================================================================== แบบฝึ กหัด 1. มีของขวัญต่างกัน 7 ชิ้น จะมอบให้เด็ก 2 คน ได้กี่วธิ ี ถา้ 1)มอบอย่างไรก็ได้ 2)ทุกคนต้องได้รับอย่างน้อย 1 สิ่ ง 2. มีของต่างกัน 5 สิ่ ง จะมอบให้เด็ก 3 คน โดยที่ทุกคนต้องได้รับอย่างน้อย 1 สิ่ ง 3. มีของต่างกัน 6 สิ่ ง จะมอบให้เด็ก 4 คน โดยที่ทุกคนต้องได้รับอย่างน้อย 1 สิ่ ง กาหนด C = {1,3,5,7} , D = {2,4,6,8,10} 4. ฟังก์ชนั จาก C ไป D ทั้งหมดมีกี่ฟังก์ชนั 5. ฟังก์ชนั จาก C ไปทัว่ ถึง C ทั้งหมดมีกี่ฟังก์ชนั 6. ฟังก์ชนั จาก D ไป C แบบ 1-1 ทั้งหมดมีกี่ฟังก์ชนั 7. ฟังก์ชนั จาก C ไปทัว่ ถึง D มีท้ งั หมดกี่ฟังก์ชนั 8. ฟังก์ชนั จาก D ไปทัว่ ถึง D แบบ 1-1 มีท้ งั หมดกี่ฟังก์ชนั
