90年學測 單一選擇題 1
（
1
1
1 1 1 ） 2 ，b＝（ ） 3 ，c＝（ ） 4 。下列選項何者為真？ 2 3 4 (Ａ ) a ＞ b ＞ c (Ｂ ) a ＜ b ＜ c (Ｃ ) a ＝ c ＞ b (Ｄ ) a ＝ c ＜ b (Ｅ ) a ＝ b ＝ c 。
）1.設 a＝（
答案：(Ｃ) 1
解析：(１) c＝（
1
1
1 1 1 ） 4 ＝〔（ ）2〕 4 ＝（ ） 2 ＝a 4 2 2
(２) a6＝（
1 1 1 3 1 ） ＝ ，b6＝（ ）2＝ ，a6＞b6 且 a＞0，b＞0 ⇒ a＞b 2 8 3 9
由(１)，(２)知 a＝c＞b
（
）2.如下圖為一拋物線的部分圖形，且 A，B，C，D，E 五個點中有一為其焦點。試判斷哪 一點是其焦點？（可利用你手邊現有簡易測量工具） (Ａ) A (Ｂ) B (Ｃ) C (Ｄ) D (Ｅ) E。 答案：(Ｃ) 解析：正焦弦長的距離為焦點到頂點的距離的 4 倍 由圖形可判斷焦點為 C
（
）3.今 X 代表每個高中生平均每天研讀數學的時間（以小時計），則 W＝7（24－X）代表每 個高中生平均每週花在研讀數學以外的時間。令 Y 代表每個高中生數學學科能力測驗的 成績。設 X，Y 之相關係數為 RXY，W，Y 之相關係數為 RWY，則 RXY 與 RWY 兩數之間 的關係，下列選項何者為真？ (Ａ) RWY＝7（24－RXY）
(Ｂ) RWY＝7RXY
(Ｄ) RWY＝RXY
(Ｅ) RWY＝－RXY。
答案：(Ｅ) RXY，若 ac＞0 解析：R（aX＋b，cY＋d）＝－R ，若 ac＜0 XY
RWY＝R（－7X＋168，Y）＝－RXY
～1～
(Ｃ) RWY＝－7RXY
多重選擇題 （
3 π ）4.若 sinx＝ ， ＜x＜π，則下列選項何者為真？ 5 2 (Ａ) cosx＝
4 5
(Ｂ) tanx＝
3 4
(Ｃ) cotx＝－
4 3
(Ｄ) secx＝－
5 4
5 (Ｅ) cscx＝ 。 3
答案：(Ｃ)(Ｄ)(Ｅ) 解析：作參考圖
故 cosx＝－ secx＝－
（
4 3 4 ，tanx＝－ ，cotx＝－ 5 4 3 5 5 ，cscx＝ 4 3
）5.設 a，b，c 為實數。若二次函數 f（x）＝ax2＋bx＋c 的圖形通過（0，－1）且與 x 軸相切，則下列選項何者為真？ (Ａ) a＜0
(Ｂ) b＞0
(Ｃ) c＝－1
(Ｄ) b2＋4ac＝0
(Ｅ) a＋b＋c≦0。
答案：(Ａ)(Ｃ)(Ｅ) 解析：由題意知 y＝f（x）的圖形為 (Ａ)開口向下 ⇒ a＜0 (Ｂ)頂點的 x 坐標為
－b ，可為正也可為負，所以 b 的正負 2a
無法確定 (Ｃ) x＝0 代入 ⇒ c＝－1 (Ｄ)應改為 b2－4ac＝0 (Ｅ)不論圖形為何，a＋b＋c＝f（1）≦ 0
（
）6.若正整數 a，b，q，r 滿足 a＝bq＋r 且令（a，b）表示 a 與 b 的最大公因數，則下 列選項何者為真？ (Ａ)（a，b）＝（b，r）
(Ｂ)（a，b）＝（q，r）
(Ｄ)（a，q）＝（q，r）
(Ｅ)（a，r）＝（b，q）。
答案：(Ａ)(Ｄ) 解析：(1)由輾轉相除法原理知 (被除數，除數)＝(除數，餘數) (2)原式的 b，q 皆可視為除數 故（a，b）＝（b，r）或（a，q）＝（q，r）皆正確
～2 ～
(Ｃ)（a，q）＝（b，r）
（
）7.古代的足球運動，有一種計分法，規定踢進一球得16分，犯規後的罰踢，進一球 得6分，請問下列哪些得分數有可能在計分板上出現？ (Ａ)26
(Ｂ)28
(Ｃ)82
(Ｄ)103
(Ｅ)284。
答案：(Ｂ)(Ｃ)(Ｅ) 解析：設踢進x球，罰踢進y球，則分數＝16x＋6y＝2（8x＋3y） (Ａ)無整數解 (Ｂ)x＝1，y＝2 (Ｃ)x＝4，y＝3 (Ｄ)103為奇數，不可能有整數解 (Ｅ)x＝7，y＝2
（
）8.在坐標平面上，A（150，200），B（146，203），C（－4，3），O（0，0）， 則下列選項何者為真？ (Ａ)四邊形ABCO是一個平行四邊形 (Ｂ)四邊形ABCO是一個長方形 (Ｃ)四邊形ABCO的兩對角線互相垂直
(Ｄ)四邊形ABCO的對角線 AC 長度大於251 (Ｅ)四邊形ABCO的面積為1250。 答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｅ) 解析：略圖為 (Ａ)AB＝（－4，3）＝OC，所以ABCO是平行四邊形 (Ｂ)AB．OA＝（－4，3）．（150，200）＝0，所以ABCO是長方形 (Ｃ)OB．AC＝（146，203）．（－154，－197）≠0，不垂直
̅ ̅ (Ｄ)A C＝ 154 2＋197 2 ＝ 62525 ，2512＝63001 ⇒ A C＜251 ̅ ̅ (Ｅ)O A×O C＝250×5＝1250
（
x2 y2 － ＝1不相交？ 25 4 (Ｄ)5y＝－2x (Ｅ)y＝100。
）9.在坐標平面上，請問下列哪些直線與雙曲線 (Ａ)5y＝2x
(Ｂ)5y＝3x
(Ｃ)5y＝2x＋1
答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｄ) x2 y2 解析：(Ａ)(Ｄ)先求 － ＝1的漸近線 25 4 2 2 x y x y x y 2 2 － ＝0 ⇒ － ＝0或 ＋ ＝0，即2x－5y＝0或2x＋5y＝0，斜率分別為 ，－ 25 4 5 2 5 2 5 5 故選項中的5y＝2x及5y＝－2x為漸近線，不與雙曲線相交 3 2 (Ｂ)5y＝3x，斜率＝ ＞ 故不會相交 5 5 (Ｃ)5y＝2x＋1平行漸近線，所以有交點 (Ｅ)y＝100顯然有相交
～3 ～
）10.令z為複數且z6＝1，z≠1，則下列選項何者為真？
（
(Ａ)｜z｜＝1
(Ｂ) z2＝1
(Ｃ) z3＝1 或 z3＝－1
(Ｄ)｜z4｜＝1
(Ｅ) 1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＝0。
答案：(Ａ)(Ｃ)(Ｄ)(Ｅ) 解析：z6＝1，且z≠1 2 kπ 2 kπ ＋i sin ，k＝1，2，3，4，5 6 6 在複數平面的圖形如下
⇒ zk＝cos
(Ａ)│zk│＝1，k＝1，2，3，4，5 所以│z│＝1正確 2π 2π ＋i sin ≠1 3 3 (Ｃ)z13＝z33＝z53＝－1，z23＝z43＝1，所以z3＝1或－1
(Ｂ)取z＝z1，z2＝cos
(Ｄ)│z4│＝│z│4＝1 (Ｅ)z6－1＝0 ⇒ （z－1）（z5＋z4＋z3＋z2＋z＋1）＝0 但z≠1，所以z5＋z4＋z3＋z2＋z＋1＝0 填充題 A.將一張B4的長方形紙張對折剪開之後，成為B5的紙張，其形狀跟原來B4的形狀相似。已知B4 紙張的長邊為36.4公分，則B4紙張的短邊長為【
】公分（小數點後第二位四捨五入）
答案：25.7 解析：設B4短邊長x，
36.4 x ＝ ，x2＝18.2×18.2×2 x 18.2
⇒ x＝18.2× 2 ≒18.2×1.414＝25.7348≒25.7（公分） B.調查某新興工業都市的市民對市長施政的滿意情況，依據隨機抽樣，共抽樣男性600人、女性 400人，由甲、乙兩組人分別調查男性與女性市民。調查結果男性中有36％滿意市長的施政，女
性市民中有46％滿意市長的施政，則滿意市長施政的樣本占全體樣本的百分比為【 ％。 答案：40 600 ×
解析：
36 46 ＋400 × 100 100 ＝ 216＋184 ＝ 400 ＝40％ 600＋400 1000 1000
C.從1，2，3，4，5，6，7，8，9中，任取兩相異數，則其積為完全立方數的機率為 【 】。 1 12 解析：積為完全立方數的只有1×8，2×4，3×9共三組
答案：
3 3 1 ＝ ＝ 9 C2 36 12
～4 ～
】
D.設多項式f（x）除以x2－5x＋4，餘式為x＋2；除以x2－5x＋6，餘式為3x＋4。則多項式f（x） 除以x2－4x＋3，餘式為【
】。
答案：5x－2 解析：x2－5x＋4＝（x－1）（x－4），x2－5x＋6＝（x－3）（x－2）
x2－4x＋3＝（x－1）（x－3） f（x）＝（x－1）（x－4）q1（x）＋（x＋2） ⇒ f（1）＝3 f（x）＝（x－3）（x－2）q2（x）＋（3x＋4） ⇒ f（3）＝13 設f（x）＝（x－1）（x－3）q3（x）＋（ax＋b），x＝1，3代入
{
⇒ a + b = 3 ⇒ a＝5，b＝－2 3a + b = 13 所以餘式為5x－2
E.兩條公路k及m，如果筆直延伸將交會於C處成60°夾角，如下圖所示。為銜接此二公路，規劃在 兩公路各距C處450公尺的A，B兩點間開拓成圓弧型公路，使k，m分別在A，B與此圓弧相切， 】公尺。（公尺以下四捨五入）（ 3 ≈ 1.732，π ≈ 3.142）
則此圓弧長＝【 答案：544 解析：將圓弧補滿為一圓
∠AOC＝
60° ＝30°， 2
̅ A O＝450．tan30°＝150 3 ∠AOB與∠ACB互補 ⇒ ∠AOB＝120°＝
AB＝150 3 ．
2π 3
2π ≒544.1944≒544（公尺） 3
F.如下圖的四角錐展開圖，四角錐底面為邊長2的正方形，四個側面都是腰長為4的等腰三角形， 則此四角錐的高度為【
】。
答案： 14 ̅ 解析：考慮△ABC，A C為高 ̅ A B＝4，C為底面正方形的中心
̅ 故B C＝ 2 ̅ ̅ 由畢氏定理42＝ 2 2＋A C2 ⇒ A C＝ 14
～5 ～
G.在坐標平面的x軸上有A（2，0），B（－4，0）兩觀測站，同時觀察在x軸上方的一目標C點， 5 8 8 ，－8）的砲臺此兩個角的正切值分別為 及 。那 2 9 3 】。
測得∠BAC及∠ABC之值後，通知在D（ 麼砲臺D至目標C的距離為【 答案：13
8 CE 解析：tan∠BAC＝ ＝ 9 AE 8 CE tan∠ABC＝ ＝ 3 BE ̅ 所以A E： ̅ BE：̅ C E ＝ 9： 3： 8
̅ ̅ 而且A B＝6，所以A E＝
9 3 5 ，̅ BE＝ ，̅ CE＝4 ⇒ C（－ ，4） 2 2 2
5 5 ̅ C D＝ （ ＋ ）2 ＋（－8－4 ）2 ＝13 2 2
H.將一個正四面體的四個面上的各邊中點用線段連接，可得四個小正四面體及一個正八面體，如 下圖所示。如果原四面體 ABCD 的體積為 12，那麼此正八面體的體積為【
答案：6 解析：正八面體體積＝大正四面體體積－4×小正四面體體積 1 而且小正四面體邊長為大正四面體的 2 1 所以體積為 8 12 所以正八面體體積＝12－4× ＝6 8
～6 ～
】。
I.根據過去的紀錄知，某電腦工廠檢驗其產品的過程中，將良品檢驗為不良品的機率為0.20，將不 良品檢驗為良品的機率為0.16。又知該產品中，不良品占5％，良品占95％。若一件產品被檢驗 為良品，但該產品實際上為不良品之機率為【
】。（小數點後第三位四捨五入）
答案：0.01 解析：
0.8
檢驗為良品
0.2
檢驗為不良品
0.95 良 品
0.05 不良品
0.16 檢驗為良品 0.84 檢驗為不良品
P（不良品
│檢驗為良品）＝
0.05 × 0.16 0.008 ＝ ≒ 0.95 × 0.8＋0.05 × 0.16 0.768
0.01
J.籃球3人鬥牛賽，共有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬9人參加，組成3隊，且甲、乙兩人 不在同一隊的組隊方法有多少種？答：【
】種。
答案：210 解析：先選2人與甲一組，再選2人與乙一組，最後3人自成一組 C 72 ×C 52 ＝21×10＝210（種）
～7 ～
91年學測 單一選擇題 （
）1.設 P（x，y）為坐標平面上一點，且滿足 （x－1）2 ＋（y－2）2 ＋ （x－3 ）2 ＋（y－4）2 ＝
（ 3－1）2 ＋（ 4－2）2 ，那麼 P 點的位置在哪裡？ (Ａ)第一象限 (Ｂ)第二象限 (Ｃ)第三象限 (Ｄ)第四象限 答案：(Ａ)
(Ｅ) x 軸或 y 軸上。
解析： （x－1）2 ＋（y－2 ）2 代表 P（x，y）與（1，2）的距離 （x－3）2 ＋（y－4 ）2 代表 P（x，y）與（3，4）的距離 （ 3－1）2 ＋（ 4－2 ）2 代表（3，4）與（1，2）的距離 所以 P 點一定在（3，4）與（1，2）間（包含兩端點） 故 P 在第一象限 （
）2.一群登山友，在山上發現一顆巨樹，隊中 10 位身高 170 公分的男生，手拉著手剛好環抱 大樹一圈。問樹幹的直徑最接近下列何值？ (Ａ) 3 公尺
(Ｂ) 5 公尺
(Ｃ) 7 公尺
(Ｄ) 9 公尺
(Ｅ) 11 公尺。
參考圖 答案：(Ｂ) 解析：由題圖知 身高約為兩臂張開的距離，故大樹之周長約為 17 170×10＝1700（公分）＝17（公尺），2r≒ ≒5.4（公尺） 3.14 故選(Ｂ) （
）3.如下圖，下面哪一選項中的向量與另兩個向量 PO ，QO 之和等於零向量？ (Ａ) AO
(Ｂ) BO
(Ｃ) CO
(Ｄ) DO
(Ｅ) EO。
答案：(Ｃ) 解析： PO ＋ QO＝（2，3）＋（－5，2）＝（－3，5） 所以欲求之向量為（3，－5），由題圖可知 CO ＝（3，－5），故選(Ｃ) （
）4.若某校 1000 位學生的數學段考成績平均分數是 65.24 分，樣本標準差是 5.24 分，而且已 知成績分布呈現常態分配。試問全校約有多少人數學成績低於 60 分？ (Ａ)約 80 人
(Ｂ)約 160 人
(Ｃ)約 240 人
(Ｄ)約 320 人
(Ｅ)約 400 人。
答案：(Ｂ) 解析：由常態分配的關係可知介於（65.24－5.24，65.24＋5.24）的人有 68％且分數低於 60 分的 人數與分數高於 70.48 的人數相同，所以 60 分以下的占（ 1000×16％＝160（人），故選(Ｂ)
～8～
100－68 ）％＝16％ 2
（
）5.試問用下列哪一個函數的部分圖形來描述下圖較恰當？ (Ａ)（x－2）2－2
(Ｂ) 2 sinx＋2
(Ｃ) 2 cosx
(Ｄ)－0.5（x－2）2＋4
(Ｅ) 3－2x。
答案：(Ｄ) 解析：各函數圖形如下 (A)
(B)
(C)
(D)
(E)
故選(Ｄ) （
）6.在坐標平面上有一橢圓，它的長軸落在 x 軸上，短軸落在 y 軸上，長軸、短軸的長度分 別為 4，2。如下圖所示，通過橢圓的中心 O 且與 x 軸夾角為 45 度的直線在第一象限跟 橢圓相交於 P。則此交點 P 與中心 O 的距離為 (Ａ) 1.5
(Ｂ) 1.6
(Ｃ) 2
(Ｄ) 2.5
(Ｅ) 3.2 。
答案：(Ｂ) 解析：橢圓中心在（0，0），長軸為 4，短軸為 2，可知 橢圓的方程式為
x2 y2 ＋ ＝1，̅ OP 方程式：x－y＝0 4 1
x 2 y2 2 2 ＋ ＝1 ，y＝ 4 ⇒ x＝ （因為 P 在第一象限，所以 x，y 只取正數） 1 5 5 x－y＝0 2 2 8 ̅ PO＝ （ ）2 ＋（ ）2 ＝ ＝ 1.6 ，故選(Ｂ) 5 5 5
～9～
多重選擇題 （
）7.若實數 a，b，c 滿足 abc＞0，ab＋bc＋ca＜0，a＋b＋c＞0，a＞b＞c，則下列選項 何者為真？
(Ａ) a＞0
(Ｂ) b＞0
(Ｃ) c＞0
(Ｄ)｜a｜＞｜b｜
(Ｅ) a2＞c2
答案：(Ａ)(Ｄ)(Ｅ) 解析：(１)由 abc＞0 可得 a，b，c 為三正或一正二負 但 ab＋bc＋ca＜0，所以 a，b，c 不可能為三正 ⇒ a，b，c 為一正二負 (２)由 a＞b＞c 可得 a＞0，b＜0，c＜0 (３)由 a＋b＋c＞0 可得 a＞（－b）＋（－c） ⇒ a＞│b│＋│c│ ⇒ │a│＞│b│，a2＞c2
（
）8.一機器狗每秒鐘前進或者後退一步，程式設計師讓機器狗以前進 3 步，然後再後 退 2 步的規律移動。如果將此機器狗放在數線的原點，面向正的方向，以 1 步的 距離為 1 單位長。令 P（n）表示第 n 秒時機器狗所在位置的坐標，且 P（0）＝0 。那麼下列選項何者為真？ (Ａ) P（3）＝3
(Ｂ) P（5）＝1
(Ｃ) P（10）＝2
(Ｄ) P（101）＝21
(Ｅ) P（103）＜P（104）。
答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ) 解析：由題意知此機器狗每走 5 步會前進 1 單位長 P（3）＝3，P（5）＝1 顯然正確 P（10）＝1×2＝2，P（101）＝P（5×20＋1）＝20＋1＝21 P（103）＝20＋3＝23，P（104）＝20＋3－1＝22 ⇒ P（103）＞P（104）
（
2x＋y＋3z＝0 ）9.下列哪些選項與方程組 的解集合相同？ 4x＋3y＋6z＝0 2x＋3z＝0 (Ｂ) y＝0
(Ａ) y＝0 3 1 x＋ y＋ z＝0 2 2 (Ｄ) 4x＋3y＋6z＝0
(Ｃ) x＝y＝0
6x＋4y＋9z＝0 (Ｅ) 。 2x＋y＋3z＝0
答案：(Ｂ)(Ｄ)(Ｅ) 2x＋y＋3z＝0 解析： 為空間中不平行的兩平面，其解集合為一直線 4x＋3y＋6z＝0 x＝3t x：y：z＝ 1 3 ： 3 2 ： 2 1 ＝3：0：（－2）故解集合為 ，y＝0，t ∈ R 3 6 6 4 4 3 z＝－2t
(Ａ)(Ｃ)顯然不正確；(Ｂ)與此交線同義
1 (Ｄ) 2 3
3 3 ： 2 2 6 6
1 4
：
1 4
1 2 ＝3：0：（－2），相同 3
(Ｅ) 4 9 ： 9 6 ： 6 4 ＝3：0：（－2），相同 1 3 3 2 2 1 故選(Ｂ)(Ｄ)(Ｅ)
～10～
（
）10.觀察相關的函數圖形，判斷下列選項何者為真？ (Ａ) 10x＝x 有實數解
(Ｂ) 10x＝x2 有實數解
(Ｄ) x＞0 時，10x＞x2 恆成立
(Ｃ) x 為實數時，10x＞x 恆成立
(Ｅ) 10x＝－x 有實數解。
答案：(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)(Ｅ) 解析：
由上圖判斷，可知(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)(Ｅ)正確
（
）11.某甲自 89 年 7 月起，每月 1 日均存入銀行 1000 元，言明以月利率 0.5％按月複 利計息，到90年7月1日提出。某乙則於8 年7月起，每單月（一月、三月、五月… …）1日均存入銀行 2000 元，亦以月利率 0.5％按月複利計息，到 90 年 7 月 1 日 提出。一整年中，兩人都存入本金 12000 元。提出時，甲得本利和 A 元，乙得本 利和 B 元。問下列選項何者為真？ (Ａ) B＞A 12
(Ｂ) A＝1000〔 ∑ （ k＝1 6
(Ｃ) B＝2000〔 ∑ （ k＝1
1005 k ）〕 1000 1005 2k ） 〕 1000
(Ｄ) A＜12000（
1005 12 ） 1000
(Ｅ) B＜12000（
1005 12 ） 。 1000
答案：全 解析：(１)甲乙兩人的月利率均相同，但任何時刻乙的本金皆大於等於甲 故 B＞A (２)依複利公式(Ｂ)(Ｃ)皆正確
1005 12 ） 代表一開始就存入 12000 且以月利率 0.5％計息一年，而甲、乙都 1000 是分批存入，因此本利和比甲、乙都大，故(Ｄ)(Ｅ)皆正確
(３) 12000（
～11～
（
）12.在△ABC 中，下列哪些選項的條件有可能成立？ (Ａ) sinA＝sinB＝sinC＝
3 2
(Ｂ) sinA，sinB，sinC 均小於
(Ｃ) sinA，sinB，sinC 均大於 (Ｅ) sinA＝sinB＝
3 2
(Ｄ) sinA＝sinB＝sinC＝
1 2
1 2
3 1 ，sinC＝ 。 2 2
答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｅ) 解析：(Ａ) A＝B＝C＝60°時，sinA＝sinB＝sinC＝ (Ｂ)三角形中，sinθ＜
3 2
1 ⇒ θ＞150°或 θ＜30° 2
不妨取∠A＝∠B＝1°，∠C＝178°，則原式成立 (Ｃ)三角形中，sinθ＞ (Ｄ) sinθ＝
3 ⇒ 60°＜θ＜120°，三個角皆大於 60°是不可能的 2
1 ，θ＝30°或 150°不可能 2
(Ｅ)取 A＝B＝30°，C＝120°則原式成立 填充題
A.工匠在窗子外邊想做一個圓弧型的花臺，此花臺在窗口的中央往外伸出 72 公分，窗口的寬度是 168 公分。則此圓弧的圓半徑為【
】公分。
答案：85 解析：設半徑為 r，弦中點與圓心的連線與此弦垂直 再由畢氏定理 ⇒ 842＋（r－72）2＝r2 ⇒ r＝85
B.220－1 與 219＋1 的最大公因數為【
】。
答案：3 解析：設最大公因數為 d 20 d│2 －1 19 d│2 ＋1
⇒ d│2（219＋1）－（220－1） ⇒ d│3
220－1＝（3－1）20－1 除以 3 之餘數為（－1）20－1＝1－1＝0 ⇒ 3│220－1 219＋1＝（3－1）19＋1 除以 3 之餘數為（－1）19＋1＝－1＋1＝0 ⇒ 3│219＋1 故（220－1，219＋1）＝3
～12～
C.某公司民國85年營業額為4億元，民國86 營業額為6億元，該年的成長率為50％。87，88，89三 年的成長率皆相同，且民國89年的營業額為 48 億元。則該公司 89 年的成長率為【
】
％。 答案：100 解析：設成長率＝r 則 6（1＋r）3＝48，（1＋r）3＝8，1＋r＝2，r＝1＝100％
D.在一個圓的圓周上，平均分布了 60 個洞，兩洞間稱為一間隔。在 A 洞打上一支木樁並綁上 線，然後依逆時針方向前進每隔 9 個間隔就再打一支木樁，並綁上線，依此繼續操作，如下圖 所示。試問輪回到 A 洞需再打樁前，總共已經打了幾支木樁？答：【
】支。
答案：20 解析：〔60，9〕＝180，180÷9＝20（支）
E.某次網球比賽共有 128 位選手參加，採單淘汰制，每輪淘汰一半的選手，剩下一半的選手進入 下一輪。在第1輪被淘汰的選手可獲得1萬元，在第2輪被淘汰的選手可獲得2萬元，在第k輪被淘 汰的選手可獲得2k 1萬元，而冠軍則可獲得128萬元。試問全部比賽獎金共多少萬元？ －
答：【
】萬元。
答案：576 7
解析：總獎金＝ ∑ （第 k 輪淘汰的選手數）×2k 1＋128（冠軍獎金） －
k＝1
＝（64×1）＋（32×2）＋（16×4）＋（8×8）＋（4×16）＋（2×32）＋（1×64）＋128 ＝576
F.某人隔河測一山高，在 A 點觀測山時，山的方位為東偏北 60°，山頂的仰角為 45°，某人自 A 點向東行 600 公尺到達 B 點，山的方位變成在西偏北 60°，則山有多高？答：【 尺。 答案：600 解析：△ABC 因三內角都是 60°，所以△ABC 是正三角形 ̅ ̅ ̅ ⇒A B ＝B C ＝A C＝600
̅ ̅ 山高 C D＝A C ×tan45°＝600×1＝600（公尺）
～13～
】公
G.有一群體有九位成員，其身高分別為（單位：公分）160，163，166，170，172，174，176， 178，180，此九人的平均身高為 171 公分。今隨機抽樣 3 人，則抽到 3 人的平均身高等於母體 平均身高的機率為【 】。（化成最簡分數） 答案：
1 28
解析：先以 171 為基準化簡原數據 身高
160 163 166 170 172 174 176 178 180
身高減 171 －11 －8 －5 －1 1
3
5
7
9
由以上數據易見 3 人身高平均值為 171 的有 （－8，3，5），（－8，1，7），（－8，－1，9）共 3 組 故所求機率為
3 1 3 ＝ ＝ 9 C3 84 28
H.下圖為一正立方體，被一平面截出一個四邊形ABCD，其中B，D分別為稜的中點， ̅ 且E A：̅ AF＝1：2。則 cos∠DAB＝【 】。（化成最簡分數）
1 37 解析：將各點給定坐標，為了方便，將正立方體邊長定為 6，則各點坐標如下圖所示
答案：
由 A（0，0，4），B（6，0，3），D（0，6，3） ⇒ AB ＝（6，0，－1），AD＝（0，6，－1），故 cos∠DAB＝
～14～
AB ．AD 1 ＝ │ AB ││AD │ 37
91年學測（補考） 單一選擇題 （
）1.在230與240之間共有多少個質數？(Ａ)1個
(Ｂ)2個
(Ｃ)3個
(Ｄ) 4 個
(Ｅ) 5 個。
答案：(Ｂ) 解析：2 的倍數有 230，232，234，236，238，240
3 的倍數有 231，237 5 的倍數有 235 對於 233，239 一一檢查 7，11，13，17 均不是其因數 故質數有 2 個
（
）2.方程式 x4＋2x2－1＝0 有多少個實根？
(Ａ) 0
(Ｂ) 1
(Ｃ) 2
(Ｄ) 3
答案：(Ｃ) 解析：利用配方法
x4＋2x2－1＝0 ⇒ x4＋2x2＋1＝2 ⇒ （x2＋1）2＝2 ⇒ x2＋1＝± 2 ⇒ x2＝－1＋ 2 或－1－ 2
其中 x2＝－1＋ 2 有兩實根，x2＝－1－ 2 無實根
（
）3.下列圖形有一為雙曲線，請將它選出來。 (Ａ)
(Ｂ)
(Ｄ)
(Ｅ)
(Ｃ)
答案：(Ｄ) 解析：(Ａ)(Ｃ)明顯不正確，而(Ｂ)(Ｅ)通過中心的線都不是其漸近線，故選(Ｄ)
～15～
(Ｅ) 4。
（
）4.如下圖所示，在坐標平面上，以原點（0，0）為頂點，且通過（2，2），（－2，2）的 拋物線，它的焦點坐標為 (Ａ)（0，0.5） (Ｂ)（0，1） (Ｃ)（0，1.5） (Ｄ)（0，2） (Ｅ)（0，4）。
答案：(Ａ) 解析：此為標準式的拋物線，頂點（0，0），令方程式為 x2＝4cy，（2，2）代入 ⇒ c＝ 故焦點為（0，
（
1 2
1 ） 2
）5.九十年度大學學科能力測驗有 12 萬名考生，各學科成績採用 15 級分，數學學科能力測 驗成績分布圖如下圖。請問有多少考生的數學成績級分高於 11 級分？選出最接近的數目 (Ａ) 4000 人
(Ｂ) 10000 人
(Ｃ) 15000 人
(Ｄ) 20000 人
答案：(Ｂ) 解析：高於 11 級分的為 12，13，14，15 級分 人數約為 120000×（
2 .5 3 1 1 .5 ＋ ＋ ＋ ）≒10000（人） 100 100 100 100
故選(Ｂ)
～16～
(Ｅ) 32000 人。
（
）6.如下圖，△ABC 中，BC 邊上兩點 D，E 分別與 A 連線。假設∠ACB＝∠ADC＝45°，三 角形 ABC，ABD，ABE 的外接圓直徑分別為 c，d，e。試問下列何者為真？ (Ａ) c＜e＜d (Ｂ) d＜e＜c (Ｃ) e＜c，d＜c (Ｄ) d＝c＜e (Ｅ) d＝c＞e。
答案：(Ｅ) 解析：根據正弦定理 2c =
AB AB AB AB , 2d = = , 2e = ，其中45°＜∠AEB≦90° sin 45° sin135° sin 45° sin ∠AEB
所以 sin ∠AEB > sin 45° ⇒
AB AB < ,所以c＝d＞e sin ∠AEB sin 45°
多重選擇題 （
）7.關於雙曲線 x2－y2＝1，下列選項何者為真？ (Ａ)對稱於 y 軸
(Ｂ)對稱於直線 x－y＝0
(Ｄ)（－2，0）及（2，0）為其焦點
(Ｃ)直線 x＋y＝0 為一漸近線 (Ｅ)（－1，0）及（1，0）為其頂
點 答案：(Ａ)(Ｃ)(Ｅ) （x－0 ）2 （y－0 ）2 解析：(１) x2－y2＝1 ⇒ － ＝1，中心（0，0），貫軸：y＝0 1 1 對稱軸：x＝0，故(Ａ)正確(Ｂ)不正確 (２) x2－y2＝0，x＋y＝0 或 x－y＝0，故(Ｃ)正確 (３) a＝1，b＝1，c2＝1＋1＝2 ⇒ c＝ 2 焦點為（ 2 ，0）（－ 2 ，0），頂點為（1，0）（－1，0） 故(Ｄ)不正確(Ｅ)正確
（
）8.設實數 a，b 滿足 0＜a＜1，0＜b＜1，則下列選項哪些必定為真？
(Ａ)0＜a＋b＜2 (Ｄ) 0＜
a ＜1 b
(Ｂ)0＜ab＜1
(Ｃ)－1＜b－a＜0
(Ｅ)｜a－b｜＜1
答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｅ) 解析：(１) 0＜b＜1，－1＜－a＜0 ⇒ －1＜b－a＜1同理－1＜a－b＜1，所以│a－b│＜1
1 a 1 ， b＝ ， ＝ 5＞ 1 2 10 b 由以上可知正確的有(Ａ)(Ｂ)(Ｅ)
(２)設 a＝
～17～
（
）9.如下圖，△ABC的對邊分別為a，b，c，P為C點的垂足，h為高，̅ BP ＝x，̅ AP＝y， 則下列選項哪些必定為真？
h h ＋ a b x y (Ｂ) cosC＝ ＋ a b (Ｃ) cosC＝cos（A＋B） a 2＋b 2－c 2 (Ｄ) cosC＝ 2ab 2 h －xy (Ｅ) cosC＝ 。 ab (Ａ) cosC＝
答案：(Ｄ)(Ｅ) 解析：(１) cosC＝cos〔π－（A＋B）〕＝－cos（A＋B） ＝－（cosAcosB－sinAsinB）＝－cosAcosB＋sinAsinB ＝－
y x h h h 2－xy ． ＋ ． ＝ b a b a ab
(２)依餘弦定理 cosC＝
a 2＋b 2－c 2 2ab
正確的有(Ｄ)(Ｅ)
（
）10.平面上有一個直角三角形，其三邊的斜率為實數m1，m2，m3， 並假設m1＞m2＞m3。則下列選項哪些必定為真？ (Ａ) m1m2＝－1
(Ｂ) m1m3＝－1
(Ｃ) m1＞0
(Ｄ) m2≦0
答案：(Ｃ)(Ｅ) 解析：因為直角三角形必有兩斜率的乘積為－1 而且 m1＞m2＞m3，所以可能的情形有
(１) m1＞0＞m2＞m3 (２) m1＞m2＝0＞m3 (３) m1＞m2＞0＞m3 m2 的值可為正、負或零， 而乘積為－1 的斜率可能是 m1m2＝－1 或 m1m3＝－1 或 m2m3＝－1 故正確的為(Ｃ)(Ｅ)
～18～
(Ｅ) m3＜0。
（
1 ）11.函數 f（x）＝ （cos10x－cos12x），x 為實數。則下列選項哪些為真？ 2 (Ａ) f（x）＝sin11x sinx 恆成立 (Ｂ)｜f（x）｜≦1 恆成立 (Ｃ) f（x）的最大值是 1 (Ｄ) f（x）的最小值是－1 (Ｅ) f（x）＝0 的解有無窮多個。
答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｄ)(Ｅ)
1 1 解析：(Ａ)利用和差化積:f（x）＝ （cos10x－cos12x）＝ 〔－2 sin11x sin（－x）〕 2 2 ＝sin11x sinx (Ｂ)因為 f（x）＝sin11x sinx 且│sin11x│≦1，│sinx│≦1,所以│f（x）│≦1 成立 (Ｃ)若 f（x）＝1，則 sin11x＝1 與 sinx＝1 必需同時成立
sinx＝1 ⇒ x＝2nπ＋ sin11x＝sin（22nπ＋
π ，n ∈ Z，代入 2
11 π）＝－1，故 f（x）＝1 不會發生 2
π 時，f（x）＝－1 且│f（x）│≦1,故 f（x）最小值為－1 2 (Ｅ) f（x）＝0，只要 sinx＝0 或 sin11x＝0 即可，有無限多解
(Ｄ)由(Ｃ)當 x＝2nπ＋
故正確的有(Ａ)(Ｂ)(Ｄ)(Ｅ) （
）12.三相異平面兩兩相交於三條相異直線 ℓ 1， ℓ 2， ℓ 3。試問下列選項哪些絕不可能 發生？ (Ａ) ℓ 1， ℓ 2， ℓ 3 三線共交點 (Ｂ) ℓ 1， ℓ 2， ℓ 3 不共面，但 ℓ 1 // ℓ 2 // ℓ 3 (Ｃ) ℓ 1， ℓ 2， ℓ 3 共平面 (Ｄ) ℓ 1， ℓ 2， ℓ 3 兩兩相交，但三交點相異 (Ｅ) ℓ 1， ℓ 2， ℓ 3 三線中兩兩都是歪斜線。
答案：(Ｃ)(Ｄ)(Ｅ) 解析：依題意，三平面只有以下兩種情形 (１)
(２)
可知(Ｃ)(Ｄ)(Ｅ)不可能
～19～
填充題
A.1115 除以 100 的餘數為【
】。
答案：51 15 14 2 15 15 15 15 解析：1115＝（10＋1）15＝C 15 0 ．10 ＋C 1 ．10 ＋……＋C 13 ．10 ＋C 14 ．10＋C 15 13 12 15 15 ＝100（C 15 0 ．10 ＋C 1 ．10 ＋……＋C 13 ）＋150＋1,故餘數為 51
B.令複數 z＝2（cos 答案：
π π ＋i sin ）且 z．i＝2（cosaπ＋i sinaπ），則實數 a＝【 7 7
】。
9 14
解析：i＝0＋1．i＝cos
zi＝2（cos
π π ＋i sin 2 2
π π π π π π π π ＋i sin ）（cos ＋i sin ）＝2〔cos（ ＋ ）＋i sin（ ＋ ）〕 7 7 2 2 7 2 7 2
9π 9π 9 ＋i sin ） ⇒ a＝ 14 14 14
＝2（cos
C.某人存入銀行 10000 元，言明年利率 4％，以半年複利計息，滿一年本利和為 Q 元，則 Q＝【
】。
答案：10404 解析：Q＝10000（1＋
2 ）2＝10000×1.0404＝10404 100
D.在平面上有一正方形 ABCD，AB，BC，CD，DA 的延長線分別交直線 L 於 P，Q，R，S。已 知̅ P R ＝ 3， ̅ QS＝4，則正方形 ABCD 的邊長為 【
】。
12 5 ̅ ̅ 解析：作 ̅ RE // B C ，̅ QF // C D
答案：
̅ ̅ ̅ ̅ 設正方形邊長為 x，則 A B ＝B C ＝C D＝D A＝x 此外進一步可得知 ̅ ER ＝ ̅ QF＝x，易知△EPR～△FQS 所以
EP QF ＝ ⇒ PR QS
9－x 2 x ＝ 3 4
⇒ 3x＝4 9－x 2 ⇒ 25x2＝144 ⇒ x＝±
12 （負不合） 5
～20～
E.空間中有三個平面 5x＋4y－4z＝kx，4x＋5y＋2z＝ky，x＋y＋z＝0，其中 k＜10，當 k＝【 答案：1
】時，三個平面交於一線。
解析：三平面交於一線代表有無限多解 ⇒
5－k 4 －4 4 5－k 2 ＝0 1 1 1
⇒ （5－k）2＋2（5－k）－24＝0 ⇒ 〔（5－k）＋6〕〔（5－k）－4〕＝0 ⇒ k＝11 或 1，但 k＜10，所以 k＝1
F.如下圖各小方格為 1cm2 的正方形。試問圖中大大小小的正方形共有多少個？ 答：【 】個。 答案：50 解析： 正方形邊長 1 2 3 4 個數 4×6 3×5 8 3 24＋15＋8＋3＝50（個） G.一顆半徑為 12 公分的大巧克力球，裡頭包著一顆半徑為 5 公分的軟木球。如果將此巧克力球重 新融化，做成半徑為 2 公分的實心巧克力球，最多可以做幾顆這樣的巧克力球？ 答：【
】顆。
答案：200
4 4 4 πr3，所以巧克力體積為 π（123－53）＝ π×1603 3 3 3 4 π× 1603 1603 3 3 4 半徑 2 的巧克力球體積為 π×8⇒ ＝ ＝200 ∴最多可做 200 顆 3 8 8 4 π× 8 3
解析：球體體積為
H.某次考試，有一多重選擇題，有 A，B，C，D，E 五個選項。給分標準為完全答對給 5 分，共 答錯 1 個選項給 2.5 分，答錯 2 個或 2 個以上的選項得 0 分。若某一考生對該題的 A，B 選項 已確定是應選的正確答案，但 C，D，E 三個選項根本看不懂，決定這三個選項要用猜的來作答 。則他此題所得分數的期望值為【 】分。 9 答案：1＋ 16 1 解析：對於 C，D，E 來說任一選項答對或答錯的機率都是 2 1 1 得 5 分的機率 ⇒ （ ）3＝ 2 8 3 1 得 2.5 分的機率 ⇒ C 13 ×（ ）3＝ 2 8 1 3 1 得 0 分的機率 ⇒ 1－ － ＝ 8 8 2 1 5 3 25 9 期望值＝5× ＋ × ＝ ＝ 1＋ 8 2 8 16 16
～21～
92年學測 單一選擇題 （
1 2 10 ＋ ＋……＋ 為整數？ n n n (Ｃ) 3 個 (Ｄ) 4 個 (Ｅ) 5 個。
）1.試問有多少個正整數 n 使得 (Ａ) 1 個
(Ｂ) 2 個
答案：(Ｄ) 解析：
1 2 10 55 ＋ ＋……＋ ＝ n n n n 若
（
55 ∈ Z，則 n│55＝5×11，再考慮 n ∈ N,所以 n＝1，5，11，55，共 4 個 n
）2.若 f（x）＝x3－2x2－x＋5，則多項式 g（x）＝f（f（x））除以（x－2）所得的餘式為 (Ａ) 3
(Ｂ) 5
(Ｃ) 7
(Ｄ) 9
(Ｅ) 11。
答案：(Ｅ) 解析：根據餘式定理知餘式為 g（2）＝f（f（2））
f（2）＝23－2．22－2＋5＝3⇒f（f（2））＝f（3）＝33－2．32－3＋5＝11 （
）3.若（4＋3i）（cosθ＋i sinθ）為小於 0 的實數，則θ是第幾象限角？ (Ａ)第一象限角
(Ｂ)第二象限角
(Ｃ)第三象限角
(Ｄ)第四象限角
(Ｅ)條件不足，無法判斷。 答案：(Ｂ) 解析：設（4＋3i）（cosθ＋i sinθ）＝a，a 是小於 0 的實數
cosθ＋i sinθ＝ ⇒
（
a a（ 4－3i） 4a －3a ＝ ＝ ＋ i 4＋3i （ 4＋3i）（ 4－3i） 25 25
cosθ＜0，θ ∈ Ⅱ，Ⅲ sinθ＞0，θ ∈ Ⅰ，Ⅱ
⇒ θ∈ Ⅱ
1 2 ）4.設 ABC 為坐標平面上一三角形，P 為平面上一點且 AP ＝ AB＋ AC， 5 5 則
△ABP 面積 等於 △ABC 面積
(Ａ)
1 5
(Ｂ)
1 4
(Ｃ)
2 5
答案：(Ｃ)
̅ 解析：延長 ̅ AP 交 B C 上一點 D 設 AD＝t AP ＝t（
1 2 t 2t AB＋ AC）＝ AB＋ AC 5 5 5 5
t 2t 5 ＋ ＝1 ⇒ t ＝ 5 5 3 ̅ ̅ 所以 B D ：C D＝2：1，̅ P D ：̅ PA ＝2：3
因為 B，D，C 共線，所以
△ABP＝
△ABP 2 2 3 2 × △ABC＝ △ABC ⇒ ＝ △ABC 5 3 5 5
～22～
(Ｄ)
1 2
(Ｅ)
2 。 3
（
）5.根據統計資料，在 A 小鎮當某件訊息發布後，t 小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人口的
100（1－2
－kt
）％，其中 k 是某個大於 0 的常數。今有某訊息，假設在發布後 3 小時之內
已經有 70％的人口聽到該訊息。又設最快要 T 小時後，有 99％的人口已聽到該訊息，則
T 最接近下列哪一個選項？ (Ａ) 5 小時
(Ｂ) 7
1 小時 2
(Ｃ) 9 小時
(Ｄ) 11
1 小時 2
(Ｅ) 13 小時。
答案：(Ｄ) 解析：依題意將 3，T 代入原方程式
1－2 ）％＝70％ ⇒ Tk ）％＝99％ 1－2
－3k
100（1－2 － 100（1－2
⇒
7 10 ⇒ 99 －Tk ＝ 100 －3k
＝
2 2
3 10 1 －Tk ＝ 100 －3k
＝
－3k log2＝log3－1 ……○ １ ２ －Tk log2＝－2…………○
１ 得 k＝ 由○
⇒ T＝
1－log 3 1－log 3 ２ ⇒ －T． 代入○ ．log2＝－2 3 log 2 3 log 2
6 ≒11.5（小時） 1－log 3
多重選擇題 （
）6.如下圖，兩直線 L1，L2 之方程式分別為 L1：x＋ay＋b＝0，L2：x＋cy＋d＝0；試 問下列哪些選項是正確的？ (Ａ) a＞0
(Ｂ) b＞0
(Ｃ) c＞0
(Ｄ) d＞0
(Ｅ) a＞c。
答案：(Ｄ)(Ｅ) 解析：(１) L1，L2 斜率皆為正且 mL1＞mL2
1 1 1 1 ＞0，－ ＞0，－ ＞－ ⇒ a＜0，c＜0，a＞c a c a c (２)以 L1，L2 的 x 截距來看－b＞0，－d＜0 ⇒ b＜0，d＞0 ⇒－
正確的有(Ｄ)(Ｅ) （
）7.如下圖，ABCD-EFGH 為一平行六面體，J 為四邊形 BCGF 的中心，如果
AJ ＝a AB＋b AD＋c AE ，試問下列哪些選項是正確的？ 2 1 ＜ b＜ 3 3 答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｅ) (Ａ)
(Ｂ) a＋b＋c＝2
(Ｃ) a＝1
(Ｄ) a＝2c (Ｅ) a＝b。
解析： AJ ＝AB＋ BJ ，因為 BCGF 是平行四邊形 所以 BJ ＝
1 1 BG＝ （ BF ＋ BC ） 2 2
⇒ AJ ＝AB＋
1 1 1 1 BF ＋ BC ＝AB＋ AE ＋ AD ⇒ a＝1，b＝c＝ 2 2 2 2
～23～
（
）8.以下各數何者為正？ (Ａ) 2 － 3 2
(Ｂ) log23－1
(Ｃ) log32－1
(Ｄ) log 1 3
(Ｅ) log 1
2
3
1 。 2
答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｅ) 1
1
解析：(Ａ) y＝2x 是嚴格遞增函數，所以 2 2 ＞2 3 ⇒ 2 － 3 2 ＞0 (Ｂ) log23＞log22＝1，所以 log23－1＞0 (Ｃ) log32＜log33＝1，所以 log32－1＜0 (Ｄ) log 1 3＝－log23＜0 2
(Ｅ) log 1 3
（
1 ＝log32＞log31＝0 2
）9.下列哪些函數的最小正週期為 π？ (Ａ) sinx＋cosx
(Ｂ) sinx－cosx
(Ｄ)｜sinx－cosx｜
(Ｅ)｜sinx｜＋｜cosx｜。
(Ｃ)｜sinx＋cosx｜
答案：(Ｃ)(Ｄ) 解析：(Ａ) sinx＋cosx＝ 2 sin（x＋
π ），週期 2π 4
(Ｂ) sinx－cosx＝ 2 sin（x－
π ），週期 2π 4
(Ｃ)│sinx＋cosx│＝│ 2 sin（x＋
π ）│，週期與│sinx│相同為 π 4
(Ｄ)│sinx－cosx│＝│ 2 sin（x－
π ）│，週期與│sinx│相同為 π 4
(Ｅ) f（x）＝│sinx│＋│cosx│
f（x＋
π π π ）＝│sin（x＋ ）│＋│cos（x＋ ）│＝│cosx│＋│－sinx│ 2 2 2 ＝│sinx│＋│cosx│＝f（x），週期為
（
π 2
）10.假設坐標平面上一非空集合S內的點（x，y）具有以下性質：「若x＞0，則y＞0 」。試問下列哪些敘述對 S 內的點（x，y）必定成立？ (Ａ)若 x≦0，則 y≦0
(Ｂ)若 y≦0，則 x≦0
(Ｄ)若 x＞1，則 y＞0
(Ｅ)若 y＜0，則 x≦0。
(Ｃ)若 y＞0，則 x＞0
答案：(Ｂ)(Ｄ)(Ｅ) 解析：(Ａ) x≦0，y 不確定 (Ｂ)“若 p 則 q”與“若非 p 則非 q”同義，所以(Ｂ)正確 (Ｃ) y＞0，x 不確定 (Ｄ) x＞1 ⇒ x＞0 ⇒ y＞0 (Ｅ) y＜0 ⇒ y≦0 ⇒ x≦0
～24～
（
）11.設 πa：x－4y＋az＝10（a 為常數），E1：x－2y＋z＝5 及 E2：2x－5y＋4z＝－3 為坐標空間中的三個平面。試問下列哪些敘述是正確的？ (Ａ)存在實數 a 使得 πa 與 E1 平行 (Ｂ)存在實數 a 使得 πa 與 E1 垂直 (Ｃ)存在實數 a 使得 πa，E1，E2 交於一點 (Ｄ)存在實數 a 使得 πa，E1，E2 交於一直線
(Ｅ)存在實數 a 使得 πa，E1，E2 沒有共同交點。 答案：(Ｂ)(Ｃ)(Ｅ) 解析：(Ａ) πa 法向量（1，－4，a），E1 法向量（1，－2，1），所以不可能平行 (Ｂ)（1，－4，a）．（1，－2，1）＝9＋a，若 a＝－9，則 πa 與 E1 垂直
1 －4 a (Ｃ)Δ＝ 1 －2 1 ＝5－a，若 a≠5，則(Ｃ)正確 2 －5 4 (Ｄ)(Ｅ) a＝5，Δ＝0 πa：x－4y＋5z＝10 2y－4z＝－5 E1：x－2y＋z＝5 ⇒ 無解 y－2z＝13 E2：2x－5y＋4z＝－3
所以(Ｄ)不正確，(Ｅ)正確 填充題
A.設 a1，a2，……，a50 是從－1，0，1 這三個整數中取值的數列。若 a1＋a2＋……＋a50＝9 且 （a1＋1）2＋（a2＋1）2＋……＋（a50＋1）2＝107，則 a1，a2，……，a50 當中有幾項是 0？ 答：【
】項。
答案：11 解析：設－1，0，1 各取了 x，y，z 個 x＋y＋z＝50 x＝15 ⇒ －x＋z＝9 ⇒ y＝11 y＋4z＝107 z＝24
B.金先生在提款時忘了帳號密碼，但他還記得密碼的四位數字中，有兩個 3，一個 8，一個 9，於 是他就用這四個數字隨意排成一個四位數輸入提款機嘗試。請問他只試一次就成功的機率有多 少？答：【 答案：
】。（化成最簡分數）
1 12
解析：3，3，8，9 的排法有 所以機率＝
4！ ＝12 種 2！
1 12
～25～
C.設 A（1，0）與 B（b，0）為坐標平面上的兩點，其中 b＞1。若拋物線Γ：y2＝4x 上有一點 P 使得△ABP 為一正三角形，則 b＝【
】。
答案：5 解析：設拋物線上點 P（a2，2a） 所以 A（1，0），B（b，0），P（a2，2a）圍成一正三角形，而且 a2＝
1＋b １ ……○ 2
２ ̅ 又A B2＝̅ AP2 ⇒ （b－1）2＝（a2－1）2＋（2a）2 ……○
b 2－2b＋1 ＋2＋2b 4 ⇒ 4b2－8b＋4＝b2－2b＋1＋8＋8b ⇒ 3b2－14b－5＝0
2 １ 代入○ ２ ⇒ b －2b＋1＝ ○
⇒ （3b＋1）（b－5）＝0，b＝
－1 （不合）或 5 3
x2 y2 － ＝1 上的一點且位在第一象限。若 F1，F2 為此雙曲線的兩個焦點， 9 16 且̅ PF1 ：̅ PF2 ＝1：3，則△F1PF2 的周長等於【 】。 答案：22 解析：設 ̅ PF1 ＝k，̅ PF2 ＝3k（k＞0）
D.設 P 為雙曲線
由雙曲線的定義知│̅ PF1 －̅ PF2 │＝2k＝2a＝6 ⇒ k＝3 所以 ̅ PF1 ＝3，̅ PF2 ＝9,c＝ a 2＋b 2 ＝ 9＋16 ＝5 ⇒ ̅ F1F2＝10∴周長等於 3＋9＋10＝22
1 11 1 ， ，－ ）三點的平面與球面 4 4 2 2 2 2 S：x ＋y ＋z ＝1 相交於一個圓 C，則圓 C 的劣弧 NP 的弧長等於【 】。
E.在坐標空間中，通過 O（0，0，0），N（0，0，1），P（
（化成最簡分數）（所謂劣弧 NP 是指圓 C 上由 N，P 兩點所連接的兩弧中較短的那一段弧。） 答案：
2 π 3
解析：S 的球心為（0，0，0）所以 E 通過 S 的球心，且 S 的半徑為 1
cos∠NOP＝
ON． OP │ON││ OP │
1 11 1 （ 0， 0，1）．（ ， ，－ ） 4 4 2 ＝－ 1 ＝ 2 1 11 2 1 （ ）2 ＋（ ） ＋（－ ）2 4 4 2 1 2 ∠NOP＝120°，弧長＝2π× ＝ π 3 3
～26～
F.設 k 為一整數。若方程式 kx2＋7x＋1＝0 有兩個相異實根，且兩根的乘積介於 則 k＝【
5 6 與 之間， 71 71
】。
答案：12 解析：(１) kx2＋7x＋1＝0 有兩相異實根 ⇒ 判別式＝49－4k＞0 ⇒ k＜
49 4
1 5 1 6 71 71 ， ＜ ＜ ⇒ ＜ k＜ k 71 k 71 6 5 ⇒ 12≦k≦14
(２)兩根積＝
由(１)，(２)得 k＝12
G.在只有皮尺沒有梯子的情形下，想要測出一拋物線拱門的高度。已知此拋物線以過最高點的鉛 3 公尺高處其寬為 5 2 】公尺。（化成最簡分數）
垂線為對稱軸。現甲、乙兩人以皮尺測得拱門底部寬為 6 公尺，且距底部 公尺。利用這些數據可推算出拱門的高度為【
54 11 解析：將此拋物線置於坐標平面上，如下圖
答案：
設拋物線方程式 y＝a（x－0）2＋b （3，0）與（
5 3 ， ）代入 2 2
9a＋b＝0 3 ⇒ 25 4 a＋b＝ 2
所以拱門高度為
a＝－ 6 11 54 b＝ 11
54 （公尺） 11
～27～
H.某次數學測驗共有 25 題單一選擇題，每題都有五個選項，每答對一題可得 4 分，答錯倒扣 1 分。某生確定其中 16 題可答對；有 6 題他確定五個選項中有兩個選項不正確，因此這 6 題他就 從剩下的選項中分別猜選一個；另外 3 題只好亂猜，則他這次測驗得分之期望值為 【
】分。（計算到整數為止，小數點以後四捨五入。）
答案：68
1 2 解析：(１)不確定的 6 題得分的期望值＝〔4× ＋（－1）× 〕×6＝4 3 3 1 4 (２)亂猜的 3 題得分的期望值＝〔4× ＋（－1）× 〕×3＝0 5 5 故總分的期望值＝16×4＋4＝68（分）
I.根據統計資料，1 月分臺北地區的平均氣溫是攝氏 16 度，標準差是攝氏 3.5 度。一般外國朋友 9 比較習慣用華氏溫度來表示冷熱，已知當攝氏溫度為 x 時，華氏溫度為 y＝ x＋32；若用華氏 5 溫度表示，則 1 月分臺北地區的平均氣溫是華氏【 】度，標準差是華氏【 】 度。（計算到小數點後第一位，以下四捨五入。） 答案：60.8；6.3 解析：(１) ̅ y＝ (２)
9 9 ̅x＋32＝ ×16＋32＝60.8（度） 5 5
9 7 63 × ＝ ＝6.3（度） 5 2 10
～28～
92年學測（補考） 單一選擇題 （
）1.若六位數 92a92b 可被 9 整除，則 a＋b 之值可能為 (Ａ) 1
(Ｂ) 3
(Ｃ) 5
(Ｄ) 7
(Ｅ) 9。
答案：(Ｃ) 解析：9＋2＋a＋9＋2＋b＝22＋a＋b⇒9│22＋a＋b，且 0≦a＋b≦18 ⇒ a＋b＝5，14 （
）2.如下圖，OABCDE 為坐標平面上一正六邊形，其中 O 為原點，A 點坐標為（2，0），則 向量 DE 之坐標表法為 (Ａ)（1， 3 ）
(Ｂ)（－1，－ 3 ）
(Ｄ)（－ 3 ，－1）
(Ｅ)（－1， 3 ）。
(Ｃ)（ 3 ，1）
答案：(Ｂ) 解析：如下圖作過 D 的垂線與過 E 的水平線 依正六邊形之性質可得∠E＝60°
̅ ̅ D E＝ O A＝2，所以 DE ＝（－1，－ 3 ）
（
）3.下列選項當中何者的值最大？ (Ａ) sin20°cos20°
(Ｂ) sin35°cos35°
(Ｄ) sin65°cos65°
(Ｅ) sin80°cos80°。
(Ｃ) sin50°cos50°
答案：(Ｃ) 解析：因為 sinθcosθ＝
1 sin2θ 2
所以(Ａ)～(Ｅ)選項之值依序等於
1 1 1 1 1 sin40°， sin70°， sin100°， sin130°， sin160° 2 2 2 2 2
其中 sin100°＝sin80°，sin130°＝sin50°，sin160°＝sin20° 以 sin80°最大，故選(Ｃ) （
）4.試問有多少個正整數 n 滿足 100≦（1.5）n≦500？ (Ａ) 3 個
(Ｂ) 4 個
(Ｃ) 5 個
(Ｄ) 6 個
(Ｅ) 7 個。
答案：(Ｂ) 解析：100≦（1.5）n≦500，同時取 log ⇒ log100≦n log ⇒ 11.36≒
3 ≦log500 ⇒ 2≦n（0.4771－0.301）≦2＋（1＋log2） 2
2 2.699 ≦ n≦ ≒15.33 ⇒ n＝12，13，14，15 0.1761 0.1761
～29～
（
）5.某君在一廣場上從某一點出發，先往東北方前進 50 公尺後轉往正西方向行進，一段時間 後測得原出發點在他的南偏東 60°方向；則此時他距原出發點大約 (Ａ) 35 公尺
(Ｂ) 43 公尺
(Ｃ) 50 公尺
(Ｄ) 71 公尺
(Ｅ) 87 公尺。
答案：(Ｄ) 解析：由下圖可知 50 50 100 ̅ ，C O＝ ×2＝ ＝50 2 ≒71（公尺） 2 2 2
̅ B O＝
（
）6.設坐標空間的原點為 O，點 P 的坐標為（3，4，7）。若 Q 點在 xy 平面上移動，問 Q 點 為下列選項中哪一點時，∠POQ 最小？ (Ａ)（3，3，0）
(Ｂ)（3，4，0）
(Ｃ)（4，3，０）
(Ｄ)（5，12，0）
(Ｅ)（12，5，0）。
答案：(Ｂ) 解析：設 Q 是平面上一點，作 ̅ PQ' 垂直 OQ 於 Q，由正弦定理知 OP PQ' = sin 90° sin∠POQ' 所以 ̅ PQ' 與 sin∠POQ'是正比關係 ̅ PQ' 愈小，sin∠POQ 愈小 ⇒ ∠POQ 愈小
所以當 Q 為 P 在 xy 平面之投影點時∠POQ 最小 故選(Ｂ)
（
1 ）7.如下圖，複數 z 在平面上對應的點 P 在單位圓 O 的外部，問複數 對應的點大概是哪一 z 點？
(Ａ) A
(Ｂ) B (Ｃ) C
(Ｄ) D
(Ｅ) E。
答案：(Ｄ) 解析：設 z＝x＋iy，由題圖知 x＞0，y＞0，且 x 2＋y 2 ＞1 ⇒ x2＋y2＞1 x－iy 1 1 x －y ＝ ＝ ＝（ 2 2 ）＋i（ 2 2 ） z x＋iy （x＋iy）（x－iy） x ＋y x ＋y x＞
x －y －y 1 ＞0，0＞ 2 2 且－y＜ 2 2 所以 ∈IV 且在單位圓內部 2 x ＋y x ＋y x ＋y z 2
～30～
多重選擇題 （
）8.空間中兩相異球面的交集可能是 (Ａ)空集合
(Ｂ)一點
(Ｃ)兩點
(Ｄ)一圓
(Ｅ)兩圓。
答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｄ) 解析：(１)兩球面內離或外離時無交點（空集合） (２)相切時（內切或外切）時交於一點 (３)兩球面相交時，交集必為一圓 （
）9.已知坐標平面上一拋物線C之對稱軸與坐標軸平行，且C通過(－1，6)與（3，6） 兩點，試問下列哪些敘述是正確的？ (Ａ) C 與 x 軸必相交
(Ｂ) C 與 y 軸必相交
(Ｃ)如果 C 通過（2，5），則可找到實數 r≠2 而 C 也通過（r，5） (Ｄ)如果 C 通過（4，8），則可找到實數 s≠8 而 C 也通過（4，s） (Ｅ)如果 C 通過（0，3），則 C 的頂點之 y 坐標為 2。 答案：(Ｂ)(Ｃ)(Ｅ) 解析：由題目可知拋物線為標準式，又通過（－1，6），（3，6）可知為上下型之拋物線 (Ａ)不一定，若開口向上則可不與 x 軸相交 (Ｂ)正確 －1＋3 ＝1，x＝1 為對稱軸，若 C 過（2，5）則也會過（0，5） 2 (Ｄ)不正確，若 C 為左右型的拋物線則可能
(Ｃ)
(Ｅ)設 y＝a（x－1）2＋b，（3，6）及（0，3）代入 ⇒
4a＋b＝6 a＋b＝3
⇒
a＝1 b＝2
⇒ 頂點（1，2）
（
）10.關於三次多項式 f（x）＝x3－6x2＋1，試問下列哪些敘述是正確的？ (Ａ) f（x）＝0 有實根落在 0 與 1 之間
(Ｂ) f（x）＝0 有實根大於 1
(Ｃ) f（x）＝0 有實根小於－1
(Ｄ) f（x）＝0 有實根也有虛根
(Ｅ) f（x）＝10 有實數解。 答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｅ) 解析：(１)以勘根定理檢驗 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 x f（x） － － ＋ － － － － － ＋ 所以三根落於（－1，0），（0，1），（5，6） (２) f（x）＝10 ⇒ x3－6x2＋1＝10 ⇒ x3－6x2－9＝0 f（0）－10＜0，f（10）－10＞0，所以 f（x）＝10 有實數解
註：因為只要確定有實數解，所以不需將其根勘在兩連續整數間 由(１)，(２)知正確的有(Ａ)(Ｂ)(Ｅ)
～31～
（
）11.考慮坐標空間中三平面 x＋2y－3z＝1，x＋3y－2z＝－1及x＋by＋cz＝1 （b，c為實數），試問下列哪些敘述是正確的？ (Ａ)當 b＝1，c＝1 時，三平面沒有共同交點 (Ｂ)當 b＝－1，c＝1 時，三平面恰交於一點 (Ｃ)當 b＝4，c＝－1 時，三平面恰交於一點 (Ｄ)當 b＝1，c＝－4 時，三平面恰交於一直線 (Ｅ)當 b＝2，c＝－3 時，三平面恰交於一直線。
答案：(Ｂ)(Ｅ)
1 2 －3 1 2 －3 解析：(Ａ)Δ＝ 1 3 －2 ＝5,三平面恰交於一點(Ｂ)Δ＝ 1 3 －2 ＝7，三平面恰交於一點 1 1 1 1 －1 1 x＋2y－3z＝1 1 2 －3 (Ｃ)Δ＝ 1 3 －2 ＝0,x＋3y－2z＝－1,無解 x＋4y－z＝1 1 4 －1 x＋2y－3z＝1 1 2 －3 (Ｄ)Δ＝ 1 3 －2 ＝0，x＋3y－2z＝－1，無解 x＋y－4z＝1 1 1 －4
1 2 －3 (Ｅ)Δ＝ 1 3 －2 ＝0，兩平面重和與第三面交於一線 1 2 －3 （
）12.九十一學年度指定科目考試約有 5 萬 4 千名考生報考「數學甲」，考生得分情形 （由低至高）如下表，第一列為得分範圍（均含下限不含上限），第二列為得分 在該區間之人數占全體考生之百分比。
0～10 10.45
10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 60～70 70～80 80～90 90～100 8.18
11.85
14.96
16.0
15.28
10.81
7.06
3.84
1.57
試問下列有關該次考試考生得分之敘述有哪些是正確的？ (Ａ)全體考生得分之中位數在 40 分（含）與 50 分（不含）之間 (Ｂ)全體考生得分(由低至高)之第一四分位數在20分（含）與30分（不含）之間 (Ｃ)全體考生得分(由低至高)之第三四分位數在50分（含）與60分（不含）之間 (Ｄ)不到三成的考生得分少於 30 分 (Ｅ)如果將得分≧60 分看成及格，則有四成以上的考生成績及格。 答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｃ) 解析：
分數
0～10 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 60～70 70～80 80～90 90～100
以下累積比例 10.45 18.63 30.48 45.44 61.44 76.72 87.53 94.59 98.43 (１)中位數看 50％的位置，Q1，Q3 分別看 25％及 75％的位置 所以(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)都對 (２)少於 30 分的有 30.48％，大於三成，(Ｄ)不正確 (３)少於 60 分的有 76.72％，所以及格的只有 23.28％，(Ｅ)不正確
～32～
100
填充題 A.某高中高三學生依選考類組分成三班，各班學生人數分別為 40，25，35 人，第一次段考數學科
各班老師算出該班平均成績分別為 69，78，74 分，則這次考試全年級的平均成績是【
】
分。（計算到整數為止，小數點以後四捨五入。） 答案：73 解析：̅ x＝
69 × 40＋78 × 25＋74 × 35 ＝73（分） 40＋25＋35
B.設多項式（x＋1）6 除以 x2＋1 的餘式為 ax＋b，則 a＝【
】，b＝【
】。
答案：－8；0 解析：（x＋1）6＝（x2＋2x＋1）3 將 x2 以－1 代入 （2x）3＝8．x2．x 再將 x2 以－1 代入 ⇒ －8x －8x＝ax＋b ⇒ a＝－8，b＝0 C.解方程式 log3x7＋log 1 x＝24，得 x＝【
】。
3
答案：81 解析：log3x7＋log 1 x＝24 ⇒ 7 log3x＋（－log3x）＝24 ⇒ 6 log3x＝24 ⇒ log3x＝4 ⇒ x＝34＝81 3
D.試問不等式（x2－4x＋2）（2x－5）（2x－37）≦0 有多少個整數解？答：【
】個。
答案：17 解析：（x2－4x＋2）（2x－5）（2x－37）≦0 5 37 ⇒ 〔x－（2＋ 2 ）〕〔x－（2－ 2 ）〕（x－ ）（x－ ）≦0 2 2
滿足條件的 x 有 1，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，共 17 個 E.有一正四面體的公正骰子，四面點數分別為 1，2，3，4。將骰子丟三次，底面的點數分別為 a，b，c，則這三個數可作為三角形三邊長的機率是【
】。（化成最簡分數）
17 32 解析：由 1，2，3，4 可組成三角形三邊長之情形 (１)三同（1，1，1）（2，2，2）（3，3，3）（4，4，4） ⇒ 4 種 (２)兩同一異（2，2，1）（2，2，3）（3，3，1）（3，3，2）（3，3，4）（4，4，1） 3！ （4，4，2）（4，4，3） ⇒ 8× ＝24 種 2！
答案：
(３)三異（2，3，4） ⇒ 1×3 !＝6 種，所以共有 4＋24＋6＝34 種，P＝
～33～
34 17 ＝ 43 32
x2 y2 ＋ ＝1 上的一點且位在上半平面。若 F1，F2 為Γ之焦點，且∠F1PF2 為 25 9 直角，則 P 點的 y 坐標為【 】。（化成最簡分數） 9 答案： 4 x2 y2 解析：Γ： ＋ ＝1 ⇒ a＝5，b＝3，c＝ 52－32 ＝4 25 9 令 F（4，0），F2（－4，0），P（5 cosθ，3 sinθ）
F.設 P 為橢圓Γ：
因為∠F1PF2＝90°，所以
3 sinθ 3 sinθ 9 sin 2θ × ＝－1 ⇒ ＝－1 5 cosθ－4 5 cosθ＋4 25 cos 2θ－16
⇒ 9 sin2θ＝－25 cos2θ＋16 ⇒ 9 sin2θ＝－25（1－sin2θ）＋16 ⇒ sin2θ＝
9 9 3 ⇒ sinθ＝ （只取正）∴3 sinθ＝ 16 4 4
G.設（a，b）為二次曲線 x2＋y2－6x－2y＋9＝0 上的點，則 a2＋b2－2b 的最大值為
【
】。
答案：15 解析：x2＋y2－6x－2y＋9＝0 ⇒ （x－3）2＋（y－1）2＝1 為圓心（3，1），r＝1 的圓 a2＋b2－2b＝a2＋（b－1）2－1，其中a2＋（b－1）2相當於（a，b）到（0，1）距離的平方
由下圖中易知圓上離（0，1）最遠的點為（4，1），令 a＝4，b＝1 a2＋b2－2b＝16＋1－2＝15
1 x＋1，碰到直線 L 後， 2 假設光線依光學原理（入射角等於反射角）反射後通過 x 軸上的 R 點，則 R 點的 x 坐標為 【 】。（化成最簡分數） 4 答案： 3 2 x＝－ x－2y＝－2 5 解析：(１)先求原點（0，0）對 L 的投影點 ⇒ ⇒ 4 2x＋y＝0 y＝ 5 －4 8 所以（0，0）對L的對稱點（ ， ） 5 5 x＝0 x＝0 (２)光線與L之交點： ⇒ x－2y＝－2 y＝1 H.在坐標平面上，一道光線通過原點 O 後，沿著 y 軸射向直線 L：y＝
－4 8 ， ），（0，1）的直線方程式為：3x＋4y＝4 5 5 3x＋4y＝4 4 ⇒ x＝ ＝ 0 y 3
(３)通過（
～34～
93年學測 單一選擇題 （
）1.已知一等差數列共有十項，且知其奇數項之和為 15，偶數項之和為 30，則下列哪一選項 為此數列之公差？
(Ａ) 1
(Ｂ) 2
(Ｃ) 3
(Ｄ) 4
(Ｅ) 5。
答案：(Ｃ) １ a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15 ……○ ２ －○ １ ⇒ d＋d＋d＋d＋d＝15 ⇒ d＝3 解析： ⇒○ ２ a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30 ……○
（
）2.下列選項中的數，何者最大？〔其中 n！＝n×（n－1）×……×2×1〕 100！ 10100 (Ｃ) 5050 (Ｄ) 50！ (Ｅ) 。 50！ 答案：(Ｂ) 解析：(Ａ) 10010＝（102）10＝1020，故 10010＜10100
(Ａ) 10010
(Ｂ)
(Ｂ) 10100＝（102）50＝10050，故 10100＞5050 (Ｃ) 5050 (Ｄ) 50！＝50×49×48×……×2×1，故 5050＞50！ (Ｅ)
（
100！ 100！ 100！ ＝100×99×98×……×51×50，故 10100＞ ⇒ 10100＞ ＞5050＞50！＞10010 50！ 50！ 50！
3π 5π ≦θ≦ } 4 4 之略圖。令 D＝｛w：w＝z3，z∈A｝，試問下列選項中之略圖，何者之陰影部分與區域 D
）3.下圖陰影部分所示為複數平面上區域A＝{z：z＝r(cosθ＋i sinθ),0≦r≦1,
最接近？
(Ａ)
(Ｂ)
(Ｃ)
(Ｄ)
答案：(Ｅ) 解析：z＝r（cosθ＋i sinθ），其中
3π 5π ≦θ≦ ，0≦r≦1 4 4
⇒ z3＝r3（cos3θ＋i sin3θ）
而 0≦r≦1 ⇒ 0≦r3≦1 3π 5π 9π 15π π 7π ≦θ≦ ⇒ ≦3θ≦ ⇒ 2π＋ ≦3θ≦2π＋ 4 4 4 4 4 4
～35～
(Ｅ)
（
）4.在坐標空間中給定兩點 A（1，2，3）與 B（7，6，5）。令 S 為 xy 平面上所有使得向量 PA 垂直於向量 PB 的 P 點所成的集合，則
恰含兩點
(Ｄ) S 為一線段
(Ａ) S 為空集合
(Ｂ) S 恰含一點
(Ｃ) S
(Ｅ) S 為一圓。
答案：(Ａ) 解析：P 在 xy 平面上，令 P（x，y，0） PA ⊥ PB ⇒ PA ． PB ＝0 ⇒ （1－x，2－y，3）．（7－x，6－y，5）＝0 ⇒ x2＋y2－8x－8y＋34＝0 ⇒ （x－4）2＋（y－4）2＝－2
故圖形為空集合
（
1 ）5.設△ABC 為平面上的一個三角形，P 為平面上一點且 AP ＝ AB＋t AC，其中 t 為一實 3
數。試問下列哪一選項為 t 的最大範圍，使得 P 落在△ABC 的內部？ (Ａ) 0＜t＜
1 4
(Ｂ) 0＜t＜
1 3
(Ｃ) 0＜t＜
1 2
(Ｄ) 0＜t＜
2 3
(Ｅ) 0＜t＜
3 。 4
答案：(Ｄ) ̅ ̅ ̅ 解析：作 D E// A C ，̅ EF// A B，如下圖所示 則̅ BE：̅ EC ＝ 2 ： 1 ， ̅ C F ：̅ FA ＝1：2 1 2 AE ＝AD＋ AF ＝ AB＋ AC 3 3 2 故 P 在△ABC 內部，則 0＜t＜ 3 （
）6.臺灣證券交易市場規定股票成交價格只能在前一個交易日的收盤價(即最後一筆的成交價) 的漲、跌 7％範圍內變動。例如：某支股票前一個交易日的收盤價是每股 100 元，則今天 該支股票每股的買賣價格必須在93元至107元之間。假設有某支股票的價格起伏很大，某 一天的收盤價是每股 40 元，次日起連續五個交易日以跌停板收盤（也就是每天跌 7％） ，緊接著卻連續五個交易日以漲停板收盤（也就是每天漲 7％）。請問經過這十個交易日 後，該支股票每股的收盤價最接近下列哪一個選項中的價格？ (Ａ) 39 元
(Ｂ) 39.5 元
(Ｃ) 40 元
(Ｄ) 40.5 元
(Ｅ) 41 元。
答案：(Ａ) 解析：40（1－7％）5（1＋7％）5 ＝40〔（1－7％）（1＋7％）〕5＝40（1－ ＝40〔C 50 ．1－C 15 ．
49 ）5 10000
49 49 49 49 ＋C 53 （ ）2－C 53 （ ）3＋C 54 （ ）4－C 55 （ 10000 10000 10000 10000
49 ）5 〕 10000
≒40（1－
245 ）≒39.02 10000
～36～
多重選擇題 （
）7.中山高速公路重慶北路交流道南下入口匝道分成內、外兩線車道，路旁立有標誌 「外側車道 車道
大客車專用」。請選出不違反此規定的選項
(Ｂ)小型車行駛外側車道
側車道
(Ｃ)大客車行駛內側車道
(Ａ)小型車行駛內側 (Ｄ)大客車行駛外
(Ｅ)大貨車行駛外側車道。
答案：(Ａ)(Ｃ)(Ｄ) 解析：外側車道 ⇒ 大客車專用
故其他種車輛不能行駛外側車道 (Ｂ)(Ｅ)錯誤 （
）8.在坐標平面上，下列哪些方程式的圖形可以放進一個夠大的圓裡面？ (Ａ) 3x＝2y2 (Ｂ) 3x2＋2y2＝1 2
\
2
(Ｃ) 3x －2y ＝1 (Ｄ)｜x＋y｜＝1 (Ｅ)｜x｜＋｜y｜＝1。 答案：(Ｂ)(Ｅ) 解析：可放進一個圓內，必為封閉曲線 (Ａ)拋物線 (Ｂ)橢圓 (Ｃ)雙曲線 (Ｄ)兩平行線 (Ｅ)菱形
～37～
（
）9.如下圖，O-ABCD 為一金字塔，底是邊長為 1 之正方形，頂點 O 與 A，B，C，D 之距離均為 2。試問下列哪些式子是正確的？ (Ａ) OA＋OB＋OC＋OD＝ 0 (Ｂ) OA＋OB－OC－OD＝ 0 (Ｃ) OA－OB＋OC－OD＝ 0 (Ｄ) OA．OB＝OC．OD (Ｅ) OA．OC＝2。
答案：(Ｃ)(Ｄ) 解析：令 O 在正方形 ABCD 的垂足點為 H (Ａ) OA＋OB＋OC＋OD ＝（OH＋HA）＋（OH＋HB）＋（OH＋HC）＋（OH＋HD） ＝4 OH≠ 0 (Ｂ) OA＋OB－OC－OD ＝HA＋HB－HC－HD＝HA＋HB－AH－BH ＝2（HA＋HB）≠ 0 (Ｃ) OA－OB＋OC－OD＝HA－HB＋HC－HD ＝HA－HB＋AH－BH ＝HA＋BH＋AH－BH＝ 0 (Ｄ) OA．OB＝│OA││OB│cos∠AOB OC．OD＝│OC││OD│cos∠COD ̅ ̅ ̅ 而 OA＝O B ＝O C ＝O D＝2，∠AOB＝∠COD
故 OA．OB＝OC．OD (Ｅ) OA．OC＝│OA││OC│cos∠AOC │OA│2＋│OC│2－│AC│2 ＝│OA││OC│．────────────── 2│OA││OC│ ＝
4＋4－2 ＝3 2
～38～
（
）10.從 1，2，……，10 這十個數中隨意取兩個，以 p 表示其和為偶數之機率，q 表示 其和為奇數之機率。試問下列哪些敘述是正確的？ (Ａ) p＋q＝1 (Ｂ) p＝q 1 (Ｃ)｜p－q｜≦ 10 1 (Ｄ)｜p－q｜≧ 20 1 (Ｅ) p≧ 2 答案：(Ａ)(Ｄ) C52 C52 解析：2 偶的機率＝ 10 ，2 奇的機率＝ 10 C2 C2 C52＋C52 4 故 p＝ ＝ 10 C2 9 5 而 q＝ 1－ p＝ 9
(Ｃ)(Ｄ)│p－q│＝
（
1 9
）11.設 f（x）為三次實係數多項式，且知複數 1＋i 為 f（x）＝0 之一解。試問下列哪 些敘述是正確的？ (Ａ) f（1－i）＝0 (Ｂ) f（2＋i）≠0 (Ｃ)沒有實數 x 滿足 f（x）＝x (Ｄ)沒有實數 x 滿足 f（x3）＝0 (Ｅ)若 f（0）＞0 且 f（2）＜0，則 f（4）＜0。
答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｅ) 解析：(Ａ)實係數方程式，又 f（1＋i）＝0,由共軛虛根定理知 f（1－i）＝0 (Ｂ)三次方程式已知有兩虛根，則另一根必為實根 (Ｃ) f（x）＝x ⇒ f（x）－x＝0,而 deg（f（x）－x）＝3，至少有一實根 (Ｄ)由(Ａ)知 f（x）有因式〔x－（1＋i）〕〔x－（1－i）〕＝x2－2x＋2 又 f（x）為三次式，故 f（x）＝（ax＋b）（x2－2x＋2），a，b∈R，a≠0 f（x3）＝（ax3＋b）（x6－2x3＋2）為 9 次多項式，因虛數根必成雙
故 f（x3）＝0 必有實根 (Ｅ)由勘根定理知 0 與 2 之間有一實根 若 f（4）＞0，則在 2 與 4 之間又有實根與 f（x）＝0 恰有一實根，不合 故 f（4）＜0
～39～
填充題 A.某數學老師計算學期成績的公式如下：五次平時考中取較好的三次之平均值占 30％，兩次期中
考各占 20％，期末考占 30％。某生平時考成績分別為 68，82，70，73，85，期中考成績分別 為 86，79，期末考成績為 90，則該生學期成績為【
】。
（計算到整數為止，小數點以後四捨五入。） 答案：84 解析：
73＋82＋85 ×30％＋86×20％＋79×20％＋90×30％＝84 3
B.某電視臺舉辦抽獎遊戲，現場準備的抽獎箱裡放置了四個分別標有 1000，800，600，0 元獎額
的球。參加者自行從抽獎箱裡摸取一球（取後即放回），主辦單位即贈送與此球上數字等額的 獎金，並規定抽取到0元的人可以再摸一次，但是所得獎金折半(若再摸到 0 就沒有第三次機會) ；則一個參加者可得獎金的期望值是【
】元。
（計算到整數為止，小數點以後四捨五入。） 答案：675 解析：
1 1 1 1 1 1 1 1 ×1000＋ ×800＋ ×600＋ （ ×500＋ ×400＋ ×300＋ ×0）＝675（元） 4 4 4 4 4 4 4 4
C.設 a，b，c 為正整數，若 a log5202＋b log5205＋c log52013＝3，則 a＋b＋c＝【
答案：15 解析：a log5202＋b log5205＋c log52013＝3 ⇒ log5202a．5b．13c＝3 2a．5b．13c＝5203＝（23．5．13）3＝29．53．133
故 a＝9，b＝3，c＝3 ⇒ a＋b＋c＝9＋3＋3＝15
̅ D.設△ABC 為一等腰直角三角形，∠BAC＝90°。若 P，Q 為斜邊 B C 的三等分點， 則 tan∠PAQ＝【 】。（化成最簡分數） 答案：
3 4
解析：定坐標，令 A（0，0），B（3，0），C（0，3） 設∠PAQ＝θ由分點公式得 P（2，1），Q（1，2） AP ．AQ （ 2，1）．（1，2 ） 4 cosθ＝ ＝ ＝ │ AP ││AQ│ 5 5 5 故 tanθ＝
3 4
～40～
】。
E.某高中招收高一新生共有男生 1008 人、女生 924 人報到。學校想將他們依男女合班的原則平均 分班，且要求各班有同樣多的男生，也有同樣多的女生；考量教學效益，並限制各班總人數在 40 與 50 人之間，則共分成【 】班。 答案：42 解析：
2 1008，924 2 504，462 3
252，231
7
84， 77 12， 11
故（1008，924）＝84 因各班人數在 40～50 人之間,故（12＋11）×2＝46 人→每班人數∴分 42 班
F.在坐標空間中，平面 x－2y＋z＝0上有一以點P（1，1，1）為圓心的圓Γ，而Q（－9，9，27） 為圓Γ上一點。若過 Q 與圓Γ相切的直線之一方向向量為（a，b，1）， 則 a＝【
】，b＝【
】。
答案：5；3 解析：因切線在平面 x－2y＋z＝0 上 令切線之方向向量為 ℓ ＝（a，b，1）故 n ⊥ ℓ ⇒ n ． ℓ ＝0 １ ⇒ （1，－2，1）．（a，b，1）＝0 ⇒ a－2b＋1＝0 ……○ ２ 又 PQ ⊥ n ⇒ （－10，8，26）．（a，b，1）＝0 ⇒ －10a＋8b＋26＝0 ……○ １ ，○ ２ 得 a＝5，b＝3 解○
G.設 270°＜A＜360°且 3 sinA＋cosA＝2 sin2004°，若 A＝m°，則 m＝【 答案：306 3 1 sinA＋ cosA） 2 2 2（sinAcos30°＋cosAsin30°）＝2 sin（A＋30°）
解析： 3 sinA＋cosA＝2（
sin2004°＝－sin24°＝sin204°＝sin336° A＋30°＝204°或 A＋30°＝336° ⇒ A＝174°或 A＝306° 因 270°＜A＜360°，故 A＝306° ⇒ m＝306
～41～
】。
H.坐標平面上的圓 C：（x－7）2＋（y－8）2＝9 上有【 值
】個點與原點的距離正好是整數
答案：12 解析：圓上的點 P 與原點 O 最近距離為 7 2＋82 ＋3＝ 113 ＋3 最遠距離為 7 2＋82 －3＝ 113 －3
10＜ 113 ＜11，故 13＜ 113 ＋3＜14，7＜ 113 －3＜8 故所求距離為 8，9，10，11，12，13 而̅ OP＝8 的 P 點有兩個，其餘的值也是 故符合題意的 P 點有 6×2＝12 個
I.在坐標平面上，設直線 L：y＝x＋2 與拋物線Γ：x2＝4y 相交於 P，Q 兩點。 若 F 表拋物線Γ的焦點，則 ̅ PF ＋̅ QF＝【 】。 答案：10 2 １ x ＝4y………○ 解析： ２ y＝x＋2 ……○ 2 ２ 代入○ １ ⇒ x ＝4x＋8 ○
⇒ x2－4x＋8＝0 ２求 y ⇒ x＝2 ± 2 3 代入○
故 P （ 2＋ 2 3 ， 4＋ 2 3 ）
Q（2－2 3 ，4－2 3 ） 由 x2＝4y 可得焦點 F（0，1），準線 L：y＝－1 由拋物線定義知 ̅ P F ＋̅ QF＝d（P，L）＋d（Q，L） ＝（4＋2 3 ＋1）＋（4－2 3 ＋1） ＝10
～42～
94年學測 單一選擇題 （
）1.試問整數 43659 共有多少個不同的質因數？ (Ａ) 1 個
(Ｂ) 2 個
(Ｃ) 3 個
(Ｄ) 4 個
(Ｅ) 5 個。
答案：(Ｃ) 解析：用短除法即可得 43659＝34×72×11，所以有 3 個質因數
（
n（n＋1） 2 ] ，可計算出（11）3＋（12）3＋……＋（20）3 2 (Ｂ) 41095 (Ｃ) 41115 (Ｄ) 41135 (Ｅ) 41155。
）2.利用公式 13＋23＋……＋n3＝[ 之值為
(Ａ) 41075
答案：(Ａ) 解析：（11）3＋（12）3＋……＋（20）3 ＝〔（1）3＋（2）3＋……＋（20）3〕－〔（1）3＋（2）3＋……＋（10）3〕 ＝
20 2 × 212 102 × 112 － ＝41075 4 4
（
）3.臺北銀行最早發行的樂透彩（俗稱小樂透）的玩法是「42 選 6」：購買者從 01～42 中任 選六個號碼，當這六個號碼與開出的六個號碼完全相同（不計次序）時即得頭獎；臺北 銀行曾考慮改發行「39 選 5」的小小樂透：購買者從 01～39 中任選五個號碼，如果這五 個號碼與開出的五個號碼完全相同（不計次序）則得頭獎。假設原來的小樂透中頭獎的 r 機率是 R，而曾考慮發行的小小樂透中頭獎的機率是 r。試問比值 最接近下列哪個選項 R ？ (Ａ) 3 (Ｂ) 5 (Ｃ) 7 (Ｄ) 9 (Ｅ) 11。 答案：(Ｄ) 解析：因為
（
C39 39 × 38 × 37 × 36 × 35 1× 2 × 3 × 4 × 5 × 6 9 r 5 ＝ × ＝ ，所以 近似於 9 42 C6 1× 2 × 3 × 4 × 5 42 × 41 × 40 × 39 × 38 × 37 82 R
）4.設 a，b 為正實數，已知 log7a＝11，log7b＝13；試問 log7（a＋b）之值最接近下列哪個選 項？
(Ａ) 12
(Ｂ) 13
(Ｃ) 14
(Ｄ) 23
(Ｅ) 24。
答案：(Ｂ) 解析：由題意知 a＝711，b＝713，則得 a＋b＝711＋713＝711（1＋72）＝711×50
⇒ log7（a＋b）＝log7（711×50） ≈ log7（711×49）＝log7（713）＝13
～43～
（
）5.某校高一第一次段考數學成績不太理想，多數同學成績偏低；考慮到可能是同學們適應 不良所致，數學老師決定將每人的原始成績取平方根後再乘以 10 作為正式紀錄的成績。 今隨機抽選 100 位同學，發現調整後的成績其平均為 65 分，標準差為 15 分；試問這 100 位同學未調整前的成績之平均 M 介於哪兩個連續正整數之間？
(Ａ)40≦M＜41 答案：(Ｅ)
(Ｂ)41≦M＜42
(Ｃ)42≦M＜43
(Ｄ)43≦M＜44
(Ｅ)44≦M＜45
解析：設原始成績為 x1，x2，……，x100，其平均為 ̅ x 則調整的成績為 yi＝10 x i ，i＝1，2，……，100 100
100
100
100
i＝1
i＝1
i＝1
i＝1
所以 ∑ yi2＝ ∑ （10 x i ）2＝ ∑ 100xi＝100 ∑ xi＝100（100 ̅ x）＝10000 ̅ x 由題意知 ̅ y＝65，Sy＝15，且標準差公式 S＝
n 2 1 （ ∑ yi2－n y ） n－1 i＝1
1 （10000 x－100 × 652 ）⇒ 10000 ̅ x＝225×99＋100×652 ⇒ ̅ x＝44.4775 100－1
得 15＝
多重選擇題 （
）6.如下圖所示，兩射線 OA 與 OB 交於 O 點，試問下列選項中哪些向量的終點會落 在陰影區域內？ (Ａ) OA＋2 OB (Ｂ)
3 1 OA＋ OB 4 3
(Ｃ)
3 1 OA－ OB 4 3
(Ｄ)
1 3 OA＋ OB 4 5
(Ｅ)
1 3 OA－ OB。 4 5
答案：(Ａ)(Ｂ) 解析：設 OP ＝α OA＋β OB，由於「P 點在線段 AB 上 ⇔ α，β均為正數且α＋β＝1」 所以「P 點在陰影區域內 ⇔ α，β均為正數且α＋β＞1」，故選(Ａ)(Ｂ)
～44～
（
）7.如下圖所示，坐標平面上一鳶形 ABCD，其中 A，C 在 y 軸上，B，D 在 x 軸上，
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 且A B ＝A D＝2， B C ＝C D＝4， A C＝5。令 mAB，mBC，mCD，mDA 分別表直線 AB，BC，CD，DA 之斜率。試問以下哪些敘述成立？ (Ａ)此四數值中以 mAB 為最大 (Ｂ)此四數值中以 mBC 為最小 (Ｃ) mBC＝－mCD (Ｄ) mAB×mBC＝－1 (Ｅ) mCD＋mDA＞0。
答案：(Ｂ)(Ｃ)(Ｅ) 解析：由鳶形的圖形觀念與本題的條件，可得 (１) mCD＞mAB＞0＞mDA＞mBC (２) mBC＝－mCD 且 mAB＝－mAD 所以(Ａ)錯而(Ｂ)(Ｃ)(Ｅ)正確 ̅ ̅ ̅ 又A B ＝ 2， B C ＝ 4， A C＝5，由餘弦定理知 cos∠ABC≠90°，所以(Ｄ)錯 （
）8.假設坐標空間中三相異平面 E1，E2，E3 皆通過（－1，2，0）與（3，0，2）兩 點，試問以下哪些點也同時在此三平面上？ (Ａ)（2，2，2） (Ｂ)（1，1，1） (Ｃ)（4，－2，2） (Ｄ)（－2，4，0） (Ｅ)（－5，－4，－2）。
答案：(Ｂ) 解析：由下圖可知，只要是該交線上的點都會同時在此三平面上 所以只要滿足參數式（－1＋2t，2－t，0＋t），t ∈ R 即可
～45～
（
π ，試問以下哪些選項恆成立？ 4 (Ａ) sinθ＜cosθ
）9.若 0＜θ＜
(Ｂ) tanθ＜sinθ (Ｃ) cosθ＜tanθ (Ｄ) sin2θ＜cos2θ θ 1 (Ｅ) tan ＜ tanθ。 2 2 答案：(Ａ)(Ｅ) 解析：(Ａ)若 0＜θ＜
π ，則 sinθ＜cosθ 顯然會成立 4
sinθ sinθ ＞ ＝sinθ，所以 tanθ＜sinθ 不成立 cosθ 1 (Ｃ)當 θ 愈接近 0 時，cosθ 愈接近 1，且 tanθ 愈接近 0，所以 cosθ＜tanθ 不恆成立
(Ｂ)因為 cosθ＜1，所以 tanθ＝
π π ，則 0＜2θ＜ ，得 2θ 為第一象限角，則 sin2θ＜cos2θ 不恆成立 4 2 θ sinθ sinθ sinθ 1 (Ｅ) tan ＝ ＜ ＝ ＝ tanθ，故成立 2 1＋cosθ cosθ＋cosθ 2 cosθ 2
(Ｄ)若 0＜θ＜
（
x2 y2 － ＝1 的兩個焦點，P 為Γ上一點，使 9 16 得此三點構成一等腰三角形。試問以下哪些值可能是這些等腰三角形的周長？
）10.設 F1 與 F2 為坐標平面上雙曲線Γ：
(Ａ) 20
(Ｂ) 24
(Ｃ) 28
(Ｄ) 32
(Ｅ) 36。
答案：(Ｂ)(Ｅ) １ 解析：由方程式知 a2＝9 ⇒ ̅ PF1 －̅ PF2 ＝2a＝6 …………○ ２ 又 c2＝a2＋b2＝9＋16＝25 ⇒ ̅ F1F2＝2c＝10 ……○
若△PF1F2 為等腰△，則有下列兩種情形： １ ，○ ２ 式得 ̅ (１)若 ̅ PF1 ＝̅ F1F2：由○ PF2 ＝4
則等腰△PF1F2 的周長為 10＋10＋4＝24 １ ，○ ２ 式得 ̅ (２)若 ̅ PF2 ＝̅ F1F2：由○ PF1＝16
則等腰△PF1F2 的周長為 10＋10＋16＝36 故由上述討論知等腰△PF1F2 的周長可能為 24 或 36
～46～
̅ ̅ ）11.設 S 為空間中一球面，A B 為其一直徑，且A B＝10。若P為空間中一點，使得 ̅ PA ＋̅ PB ＝14，則 P 點的位置可能落在哪裡？ (Ａ)線段 AB 上 (Ｂ)直線 AB 上，但不在線段 AB 上 (Ｃ)球面 S 上 (Ｄ)球 S 的內部，但不在線段 AB 上 (Ｅ)球 S 的外部，但不在直線 AB 上。
（
答案：(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)(Ｅ) ̅ 解析：(Ａ)若 P 點在 A B 上，則 ̅ PA ＋̅ PB ＝10≠14（不合） (Ｂ)若 P 點在直線AB上，但不在線段AB上，則 ̅ PA ＋̅ PB ＞10故 ̅ PA ＋̅ PB ＝14 是有可能的 (Ｃ)設 P 在球面上滿足∠APB＝90°，則 ̅ AP＝̅ BP ＝5 2 所以球面上任一點到A，B之最大距離和為10 2 ≈ 14.14，故 ̅ PA ＋̅ PB ＝14 是有可能的 (Ｄ)由(Ｃ)的討論知 P 點也有可能在球內，但不在線段 AB 上 (Ｅ)當然，P 點也有可能在球外了
填充題
A.若多項式 x2＋x＋2 能整除 x5＋x4＋x3＋px2＋2x＋q，則 p＝【
】，q＝【
】。
答案：3；8 解析：利用長除法即可得 p＝3，q＝8
B.在坐標平面上，正方形 ABCD 的四個頂點坐標分別為 A（0，1），B（0，0），C（1，0）， D（1，1）。設 P 為正方形 ABCD 內部的一點，若△PDA 與△PBC 的面積比為 1：2，且△PAB 與△PCD 的面積比為 2：3，則 P 點的坐標為【
】。（化成最簡分數）
2 2 ， ） 5 3 解析：若兩三角形的底等長，則面積比即為高的比，所以 2 若△PDA：△PBC＝1：2，則 P 點必在直線 y＝ 上 3 2 若△PAB：△PCD＝2：3，則 P 點亦必在直線 x＝ 上 5 2 2 故 P 點的坐標為（ ， ） 5 3
答案：（
C.在數線上有一個運動物體從原點出發，在此數線上跳動，每次向正方向或負方向跳 1 個單位， 跳動過程可重複經過任何一點。若經過 6 次跳動後運動物體落在點＋4 處，則此運動物體共有 【
】種不同的跳動方法。
答案：6 解析：欲經過 6 次跳動後運動物體落在點＋4 處，則此運動物體需 5 次向右，1 次向左 又「RRRRRL」的排法有
6！ ＝6 種 5！
～47～
所以共有 6 種不同的跳動方法
～48～
D.設複數 z＝1－i；若 1＋z＋z2＋……＋z9＝a＋bi，其中 a，b 為實數， 則 a＝【
】，b＝【
】。
答案：32；－1 解析：z＝1－i ⇒ z2＝－2i ⇒ z10＝（－2i）5＝－32i 所以 1＋z＋z2＋……＋z9＝
1－z10 1－（－32i） 1＋32i ＝ ＝ ＝32－i，故 a＝32，b＝－1 1－z 1－（1－i） i
E.設 O 為坐標平面上的原點，P 點坐標為（2，1）；若 A，B 分別是正 x 軸及正 y 軸上的點，使 得 PA ⊥ PB ，則△OAB 面積的最大可能值為【
】。（化成最簡分數）
25 16 解析：依題意，設 A（a，0），B（0，b），其中 a，b＞0，因為 PA ⊥ PB ，
答案：
所以（a－2，－1）．（－2，b－1）＝0 ⇒ 2a＋b＝5 由算幾不等式知 故△OAB＝
2a＋b 5 25 1 1 25 ＝ ≧ 2a．b ⇒ 2ab≦（ ）2 ⇒ ab≦ × 2 2 2 4 4 16
25 1 ab≦ 2 16
̅ ̅ ̅ F.如下圖所示，在△ABC 中，∠BAC 的平分線 AD 交對邊 B C 於 D；已知 B D ＝ 3， D C ＝ 6， ̅ ̅ 且A B ＝A D，則 cos∠BAD 之值為【 】。（化成最簡分數）
答案：
3 4
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 解析：因為 A D 為角平分線，得 A B ：A C＝ B D：D C＝1：2 ̅ ̅ ̅ 所以設 A B ＝A D＝x，A C＝2x，並且令∠BAD＝∠CAD＝θ 分別在△ABD 與△ACD 中，用餘弦定理得
cosθ＝
x 2＋x 2－32 x 2＋（ 2 x）2 －62 3 ＝ ，解得 x2＝18，再代入得 cosθ＝ 2．x．x 2．x．（ 2 x） 4
～49～
G.在坐標平面上，過 F（1，0）的直線交拋物線Γ：y2＝4x 於 P，Q 兩點，其中 P 在上半平面， 且知 2 ̅ P F ＝3 ̅ QF，則 P 點的 x 坐標為【 】。（化成最簡分數）
3 2 解析：令 P，Q 的 x 坐標分別為 a，b 2a＋3b １ 由̅ P F ：̅ QF＝3：2 得 ＝1 ⇒ 2a＋3b＝5 ……○ 5 又 錯誤! 錯誤 ＝d（P，L）且 錯誤! 錯誤 ＝d（Q，L） ２ 所以 a＋1：b＋1＝3：2 ⇒ 2a－3b＝1 ……○ 3 １ ，○ ２ 得 a＝ 由○ 2
答案：
H.設 x 為一正實數且滿足 x．3x＝318；若 x 落在連續正整數 k 與 k＋1 之間，則 k＝【 答案：15 解析：化簡方程式 x．3x＝318 ⇒ x＝318
－x
⇒ log3x＝18－x
y＝log3x 其根的個數視 之圖形的交點而定,故由勘根定理（下表）知 k＝15 y＝18－x
x log3x
18－x
17 2.…… ＞
1
16 2.…… ＞
2
15 2.…… ＜
3
在 15 與 16 之間必有一根
I.如下圖所示，ABCD-EFGH 為邊長等於 1 之正立方體。若 P 點在立方體之內部且滿足 AP ＝
2 3 1 AB＋ AD＋ AE ，則 P 點至直線 AB 之距離為【 4 2 3
5 6 解析：貼上坐標，設 A（0，0，0），B（0，1，0），
答案：
D（－1，0，0），E（0，0，1） 3 1 2 則 AP ＝ AB＋ AD＋ AE 4 2 3 3 1 2 ＝ (0，1，0)＋ （－1，0，0）＋ （0，0，1） 4 2 3 1 3 2 ＝（－ ， ， ） 2 4 3 1 3 2 所以 P 點坐標為（－ ， ， ） 2 4 3 1 2 5 故 P 點到直線 AB(即 y 軸）的距離= （－ ）2 ＋（ ）2 ＝ 2 3 6
～50～
】。（化成最簡分數）
】。
95年學測 單一選擇題 （
）1.設一元二次整係數方程式 ax2＋bx＋c＝0 有一根為 4＋3i。若將此方程式的兩根與原點在 複數平面上標出，則此三點所圍成的三角形面積為 (Ａ) 5
(Ｂ) 6
(Ｃ) 12
(Ｄ) 16
(Ｅ) 24。
答案：(Ｃ) 解析：由虛根成雙定理知，另一根為 4－3i 故此三點在複數平面上為（4，3），（4，－3），（0，0） 所圍三角形面積＝
（
1 ×6×4＝12 2
）2.在下圖的棋盤方格中，隨機任意取兩個格子。選出的兩個格子不在同行(有無同列無所謂) 的機率為
(Ａ)
1 20
(Ｂ)
1 4
(Ｃ)
3 4
(Ｄ)
3 5
4 。 5
(Ｅ)
答案：(Ｅ) 解析：P（兩格不在同行）＝1－P（兩格在同行）＝1－
（
4 × C 42 4 ＝ 16 C2 5
̅ ̅ ）3.下圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形，且 O D＝8。問：直角三角形 OAB 的高 A B為 何？
(Ａ) 1
(Ｂ) 6 － 2
(Ｃ) 7 －1
(Ｄ) 3
(Ｅ) 2。
答案：(Ｄ) ̅ ̅ ̅ ̅ 解析：O C ＝O D cos30°, O B ＝O C cos15°
̅ ̅ ̅ ̅ ⇒A B ＝O B sin15°＝O D cos30°cos15°sin15°＝O D cos30°× ＝ 8×
（
1 sin30° 2
3 1 × ＝ 3 2 4
）4.下列哪一個數值最接近 2 ？ (Ａ) 3 cos44°＋sin44°
(Ｄ) 答案：(Ｄ)
3 cos74°＋sin74°
解析： 3 cosθ＋sinθ＝2（
(Ｂ) (Ｅ)
3 cos54°＋sin54° (Ｃ) 3 cos84°＋sin84°。
3 cos64°＋sin64°
3 1 cosθ＋ sinθ）＝2（cosθcos30°＋sinθsin30°） 2 2
＝2 cos（θ－30°）＝ 2 ⇒ cos（θ－30°）＝
∴(Ｄ)θ＝74°代入最接近 ～51～
2 2
（
）5.在養分充足的情況下，細菌的數量會以指數函數的方式成長，假設細菌 A 的數量每兩個 小時可以成長為兩倍，細菌 B 的數量每三個小時可以成長為三倍。若養分充足且一開始 兩種細菌的數量相等，則大約幾小時後細菌 B 的數量除以細菌 A 的數量最接近 10？ (Ａ) 24 小時 (Ｂ) 48 小時 (Ｃ) 69 小時 (Ｄ) 96 小時 (Ｅ) 117 小時。
答案：(Ｅ)
32 x 9 9 ＝10 ⇒ （ ）x＝10 ⇒ log（ ）x＝log10 3x 2 8 8 1 6 ⇒ x（log9－log8）＝1 ⇒ x＝ ⇒ 6x＝ ＝116.…… log 9－log 8 log 9－log 8
解析：設 6x 個小時，依題意
多重選擇題 （
）6.假設 a，b，c 是三個正整數。若 25 是 a，b 的最大公因數，且 3，4，14 都是 b，c 的公因數，則下列何者正確？ (Ａ) c 一定可以被 56 整除 (Ｂ) b≧2100 (Ｃ)若 a≦100，則 a＝25 (Ｄ) a，b，c 三個數的最大公因數是 25 的因數 (Ｅ) a，b，c 三個數的最小公倍數大於或等於 25×3×4×14。
答案：(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ) 解析：(Ａ)〔3，4，14〕＝84 ⇒ 84｜c (Ｂ)〔3，4，14，25〕＝2100 ⇒ 2100｜b ⇒ b ≧ 2100 (Ｃ) 25｜a 且 a≦100 ⇒ a＝25，50，75，100 但 a 不為 2 的倍數，3 的倍數，故 a＝25 (Ｄ) a＝25α，b＝2100β，c＝84γ其中 α，β，γ ∈ N， （α，β）＝1，（β，γ）＝1 ⇒ （α，β，γ）＝1 (Ｅ)〔25，3，4，14〕＝25×3×4×7
～52～
）7.考慮坐標平面上所有滿足 （x－2 ）2 ＋y 2 ＋ （x－2 ）2 ＋（y＋4 ）2 ＝10 的點
（
（x，y）所成的圖形，下列敘述何者正確？ (Ａ)此圖形為一橢圓
(Ｂ)此圖形為一雙曲線
(Ｃ)此圖形的中心在（2，－2）(Ｄ)此圖形對稱於 x－2＝0 (Ｅ)此圖形有一頂點（2，3）。 答案：(Ａ)(Ｃ)(Ｄ)(Ｅ) 解析：令 P（x，y），A（2，0），B（2，－4） 則 （x－2 ）2 ＋y 2 ＋ （x－2 ）2 ＋（y＋4 ）2 ＝10
̅ 表̅ PA ＋̅ PB ＝10，而 A B＝4 ̅ 故̅ PA ＋̅ PB ＞ A B 因此 P（x，y）的軌跡為橢圓
A＋B ＝（2，－2） 2 (Ｄ) x－2＝0 為長軸，故圖形會對稱於 x－2＝0
(Ｃ)中心＝
(Ｅ) a＝5，故（2，－2）＋（0，5）＝（2，3）為一頂點 （
）8.假設實數 a1，a2，a3，a4 是一個等差數列，且滿足 0＜a1＜2 及 a3＝4。若定義
bn＝2an，則以下哪些選項是對的？ (Ａ) b1，b2，b3，b4 是一個等比數列 (Ｂ) b1＜b2 (Ｃ) b2＞4 (Ｄ) b4＞32 (Ｅ) b2×b4＝256。 答案：全 解析：(Ａ)數列｛an｝為等差數列，故令公差為 d
b n＋1 2a n＋1 ＝ a n ＝2an bn 2
＋1
－an
＝2d 為常數,故｛bn｝為等比數列
(Ｂ) 0＜a1＜2＜4＝a3，故 2d＝a3－a1＞0 ⇒ d＞0
⇒ 2d＞20＝1，故公比＞1 ⇒ b1＜b2
a1＋a 3 0＋4 ＞ ＝2 2 2 b2＝2a2＞22＝4
(Ｃ) a2＝
(Ｄ) a3＝a1＋2d ⇒ a1＝4－2d 而 0＜a1＜2 ⇒ 0＜4－2d＜2 ⇒ 1＜d＜2
a4＝a3＋d＝4＋d ⇒ 5＜a4＜6 而 b4＝2a4 ⇒ 32＜2a4＜64 ⇒ 32＜b4＜64 (Ｅ) b2×b4＝（b3）2＝（2a3）2＝22a3＝28＝256
～53～
（
）9.學生練習計算三次多項式 f（x）除以一次多項式 g（x）的餘式。已知 f（x）的三 次項係數為 3，一次項係數為 2。甲生在計算時把 f（x）的三次項係數錯看成 2 （其它係數沒看錯），乙生在計算時把f（x）的一次項係數錯看成－2（其它係數 沒看錯）。而甲生和乙生算出來的餘式剛好一樣。試問 g（x）可能等於以下哪些 一次式？ (Ａ) x (Ｂ) x－1 (Ｃ) x－2 (Ｄ) x＋1 (Ｅ) x＋2。
答案：(Ａ)(Ｃ)(Ｅ) 解析：令 f（x）＝3x3＋ax2＋2x＋b; g（x）＝x－k 甲生所做（2x3＋ax2＋2x＋b）÷（x－k）的餘式＝2k3＋ak2＋2k＋b 乙生所做（3x3＋ax2－2x＋b）÷（x－k）的餘式＝3k3＋ak2－2k＋b 依題意 2k3＋ak2＋2k＋b＝3k3＋ak2－2k＋b ⇒ k3－4k＝0 ⇒ k（k2－4）＝0 ⇒ k＝0，2，－2 （
）10.下圖是根據 100 名婦女的體重所作出的直方圖（圖中百分比數字代表各體重區間 的相對次數，其中各區間不包含左端點而包含右端點）。該 100 名婦女體重的平 均數為 55 公斤，標準差為 12.5 公斤。曲線 N 代表一常態分布，其平均數與標準 差與樣本值相同。在此樣本中，若定義「體重過重」的標準為體重超過樣本平均 數 2 個標準差以上（即體重超過 80 公斤以上），則下列敘述哪些正確？ (Ａ)曲線 N（常態分布）中，在 55 公斤以上所占的比例約為 50％ (Ｂ)曲線 N（常態分布）中，在 80 公斤以上所占的比例約為 2.5％ (Ｃ)該樣本中，體重的中位數大於 55 公斤 (Ｄ)該樣本中，體重的第一四分位數大於 45 公斤 (Ｅ)該樣本中，「體重過重」（體重超過 80 公斤以上）的比例大於或等於 5％。
答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｄ)(Ｅ) 解析：(Ａ)由題圖看出常態分布的中位數＝55 故 55 公斤以上所占的比例約為 50％ (Ｂ)常態分布平均數、標準差與樣本值相同，故 80 公斤以上為平均數 2 個標準差以上，因此所占
5％ ＝2.5％ 2 (Ｃ)樣本中 20％＋33％＝53％＞50％,故中位數在 45 到 55 公斤這組內 的比例約為
(Ｄ) 100×
1 ＝25,故第一四分位數在 45 到 55 公斤這組內 4
(E)由題圖看出樣本中 85 到 95 公斤占 5％
～54～
（
）11.將正整數 18 分解成兩個正整數的乘積有 1×18，2×9，3×6 三種，又 3×6 是這三種 分解中，兩數的差最小的，我們稱 3×6 為 18 的最佳分解。當 p×q（p≦q）是正整 3 1 p 數 n 的最佳分解時，我們規定函數 F（n）＝ ，例如 F（18）＝ ＝ 。下列有 q 6 2 關函數 F（n）的敘述，何者正確？ (Ａ) F（4）＝1 3 (Ｂ) F（24）＝ 8 1 (Ｃ) F（27）＝ 3 1 (Ｄ)若 n 是一個質數，則F（n）＝ n (Ｅ)若n 一個完全平方數，則F（n）＝1。 答案：(Ａ)(Ｃ)(Ｄ)(Ｅ) 2 解析：(Ａ) 4＝1×4＝2×2，故 F（4）＝ ＝1 2 4 2 (Ｂ) 24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，故 F（24）＝ ＝ 6 3 3 1 (Ｃ) 27＝1×27＝3×9，故 F（27）＝ ＝ 9 3 1 (Ｄ)若 n 為質數 ⇒ n＝1×n，故 F（n）＝ n k (Ｅ)若 n 為完全平方數 ⇒ n＝1×n＝……＝k2，故 F（n）＝ ＝1 k 填充題
A.抽樣調查某地區 1000 個有兩個小孩的家庭，得到如下數據，其中（男，女）代表第一個小孩是 男孩而第二個小孩是女生的家庭，餘類推。 家庭別
家庭數
（男，男）
261
（男，女）
249
（女，男）
255
（女，女）
235 由此數據可估計該地區有兩個小孩家庭的男、女孩性別比約為【 （四捨五入至整數位） 答案：105 解析：男孩：261×2＋249×1＋255×1＝1026 女孩：249×1＋255×1＋235×2＝974 而
1026 ＝1.053,故 1026：974 ≈ 105：100 974
～55～
】：100。
̅ ＝2 AM ̅ ，N 為線段 BC 之中點， B.下圖為一正立方體，若 M 在線段 AB 上， BM 則 cos∠MON＝【 】。（分數要化成最簡分數）
4 10 15 解析：定坐標系，令 O（0，0，0），A（0，0，6），B（0，6，6），C（6，6，6） ̅ ＝2 AM ̅ ，B ̅ ̅ 因 BM N ＝C N,故 M（0，2，6），N（3，6，6） OM．ON 4 0＋12＋36 48 cos∠MON＝ ───────＝ ＝ ＝ 10 40 81 2 10 × 9 15 │OM││ON│
答案：
C.給定平面上三點（－6，－2），（2，－1），（1，2）。若有第四點和 此三點形成一菱形 （四邊長皆相等），則第四點的坐標為【
】。
答案：（9，3） 解析：令 A（－6，－2），B（2，－1），C（1，2）
̅ ̅ ̅ A B＝ 65 ，A C＝ 65 ，B C＝ 10 故 ABDC 為菱形 由對角線互相平分 ̅ ̅ A D 中點＝B C 中點，令 D（x，y）
x－6 y－2 2＋1 －1＋2 ， ）＝（ ， ） 2 2 2 2 ⇒ （x，y）＝（9，3）
（
̅ D.如下圖所示，ABCD 為圓內接四邊形：若∠DBC＝30°，∠ABD＝45°， C D＝6， 則線段 AD＝【 】。 答案： 72 解析：△ABD 與△BCD 的外接圓相同 由正弦定理
̅ ̅ A D C D ─────＝2R，─────＝2R sin∠ ABD ̅ A D 6 sin∠DBC 6 ̅ 故 ─── ＝ ─── ⇒ A D＝ ×sin45°＝ 72 sin30° sin45° sin30°
～56～
E.新新鞋店為與同業進行促銷戰，推出「第二雙不用錢─買一送一」的活動。該鞋店共有八款 鞋可供選擇，其價格如下： 款式 甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
價格 670 670 700 700 700 800 800 800 規定所送的鞋之價格一定少於所買的價格(例如：買一個「丁」款鞋，可送甲、乙兩款鞋之一) 。若有一位新新鞋店的顧客買一送一，則該顧客所帶走的兩雙鞋，其搭配方法一共有 【
】種
答案：21 解析：買丙、丁、戊之一，可帶走甲、乙之一，故 3×2＝6 買己、庚、辛之一，可帶走甲、乙、丙、丁、戊之一，故 3×5＝15 因此有 6＋15＝21 種搭配法
F.某地共有 9 個電視頻道，將其分配給 3 個新聞臺、4 個綜藝臺及 2 個體育臺共三種類型。若同類 型電視臺的頻道要相鄰,而且前兩個頻道保留給體育臺,則頻道的分配方式共有【 答案：576 解析：2！×3！×4！×2＝576（種）
G.用黑、白兩種顏色的正方形地磚依照如下的規律拼成若干圖形：
拼第 95 個圖需用到【
】塊白色地磚。
答案：478 解析：設第 i 個圖形的白色地磚有 ai 個
a1＝3×3－1 a2＝3×5－2
…
a3＝3×7－3 故 an＝3（2n＋1）－n＝5n＋3
⇒a95＝5×95＋3＝478（塊）
～57～
】種
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ H.在三角形 ABC 中，若 D 點在 B C 邊上，且 A B ＝ 7， A C＝13， B D ＝ 7， C D＝8， ̅ 則A D＝【 】。 答案：7 2
7 2＋7 2－AD 解析：△ABD 中 cosB＝ 2×7×7 2 7 ＋152－132 △ABC 中 cosB＝ 2 × 7 × 15 2
98－AD 49＋225－169 ̅ 故 ⇒A D＝7 ＝ 2×7×7 2 × 7 × 15
I.設 A（0，0），B（10，0），C（10，6），D（0，6）為坐標平面上的四個點。如果直線 y＝m （x－7）＋4 將四邊形 ABCD 分成面積相等的兩塊，那麼 m＝【 答案：
】。（化成最簡分數）
1 2
解析：ABCD 為長方形，故將 ABCD 分成面積相等的直線必過中心，而中心＝（5，0） 故（5，0）代入 ⇒ y＝m（x－7）＋4 ⇒ m＝
～58～
1 2
96年學測 單一選擇題 （
）1.設 f（x）＝ax6－bx4＋3x－ 2 ，其中 a，b 為非零實數，則 f（5）－f（－5）之值為
(Ａ)－30 答案：(Ｄ)
(Ｂ) 0
(Ｃ) 2 2
(Ｄ) 30
(Ｅ)無法確定（與 a，b 有關）。
解析：f（5）－f（－5）＝（a．56－b．54＋15－ 2 ）－（a．56－b．54－15－ 2 ）＝30 （
）2.試問共有多少個正整數 n 使得坐標平面上通過點 A（－n，0）與點 B（0，2）的直線亦 通過點 P（7，k），其中 k 為某一正整數？ (Ａ) 2 個
(Ｂ) 4 個
(Ｃ) 6 個
(Ｄ) 8 個
(Ｅ)無窮多個。
答案：(Ｂ) 解析：A（－n，0），B（0，2），P（7，k）三點共線∴ m AB ＝ m BP
⇒
（
2－0 k－2 ＝ ⇒ n（k－2）＝14＝1×14＝2×7，n∈N⇒ n＝1，2，7，14，共 4 個解 0＋n 7－0
）3.設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為 f（t）＝－t2＋10t＋11，其中 1≦t≦10，則這段時 間內該地區的最大溫差為
(Ａ) 9
(Ｂ) 16
(Ｃ) 20
(Ｄ) 25
(Ｅ) 36。
答案：(Ｄ) 解析：f（t）＝－t2＋10t＋11＝－（t－5）2＋36
t f（t）
1 20
5 36
10 11
最大值－最小值＝36－11＝25
（
（ x＋1）2 x2 y2 y2 ＋ ＝1 的圖形與 － ＝1 的圖形共有幾個交點？ 9 4 16 9 (Ｂ) 2 個 (Ｃ) 3 個 (Ｄ) 4 個 (Ｅ) 0 個。
）4.坐標平面上方程式 (Ａ) 1 個
答案：(Ａ) （ x＋1）2 x2 y2 y2 ＋ ＝1 與 － ＝1 之圖形如右 9 4 16 9 可知圖形有 1 個交點（3，0）
解析：作
（
）5.關於坐標平面上函數 y＝sinx 的圖形和 y＝
x 的圖形之交點個數，下列哪一個選項是正 10π
確的？ (Ａ)交點的個數是無窮多 (Ｃ)交點的個數是奇數且小於 20 (Ｅ)交點的個數是偶數且小於 20。 答案：(Ｃ)
(Ｂ)交點的個數是奇數且大於 20 (Ｄ)交點的個數是偶數且大於或等於 20
x 的圖形 10π 共有 9×2＋1＝19 個交點
解析：作 y＝sinx 與 y＝
～59～
多重選擇題 （
）6.若Γ＝｛z｜z 為複數且｜z－1｜＝1 ｝，則下列哪些點會落在圖形 Ω＝｛w｜w＝iz，z∈Γ｝上？ (Ａ) 2i (Ｂ)－2i (Ｃ) 1＋i (Ｄ) 1－i
(Ｅ)－1＋i。
答案：(Ａ)(Ｃ)(Ｅ) 解析：｜z－1｜＝1 表示複數平面上以 1 為圓心，半徑 1 之圓 而 w＝iz＝z（cos90°＋i sin90°）為 z 旋轉 90°， 如圖，Ω為以 i 為圓心，半徑 1 之圓， 故 2i，1＋i，－1＋i 皆在Ω上
（
）7.坐標平面上有相異兩點 P，Q，其中 P 點坐標為（s，t）。已知線段 ̅ PQ 的中垂線 L 的方程式為 3x－4y＝0，試問下列哪些選項是正確的？ (Ａ)向量 PQ 與向量（3，－4）平行 (Ｂ)線段 ̅ PQ 的長度等於
6s－8t 5
(Ｃ) Q 點坐標為（t，s） (Ｄ)過 Q 點與直線 L 平行之直線必過點（－s，－t） (Ｅ)以 O 表示原點，則向量 OP ＋ OQ 與向量 PQ 的內積必為 0。 答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｄ)(Ｅ) 解析：(Ａ)○： PQ ⊥L ⇒ PQ //L 之法向量，因此 PQ //（3，－4） (Ｂ)○：̅ PQ＝2d（P，L）＝ 2．
3s－4 t 3 2＋（－4 ）2
＝
6s－8t 5
3x－4y＝0 16s＋12 t 12s＋9 t (Ｃ)╳： PQ 為 4x＋3y＝4s＋3t，解 得 H（ ， ）， 4x＋3y＝4s＋3t 25 25
7s＋24 t 24s－7 t ， ） 25 25 (Ｄ)○：過 Q 且平行 L 之直線為 Q＝2H－P＝（
7s＋24 t 24s－7 t ）－ 4（ ）＝－3s＋4t 25 25 因此過（－s，－t） 3x－4y＝ 3（
(Ｅ)○：（0，0）在 L 上， OP ＋OQ＝2OH
̅ ⇒ （ OP ＋OQ）． PQ ＝2OH． PQ ＝0（∵O H⊥̅ PQ）
～60～
（
1 2 3 7 ）8.下列哪些選項中的矩陣經過一系列的列運算後可以化成 0 1 1 2 ？ 0 0 1 1 1 2 3 7 (Ａ) 0 1 1 2 0 2 3 5 2 1 3 6 (Ｄ) －1 1 1 0 －2 2 2 1
－1 3 －1 0 (Ｂ) －1 1 1 0 3 1 －7 0 1 3 2 7 (Ｅ) 0 1 1 2 。 0 1 0 1
1 1 2 5 (Ｃ) 1 －1 1 2 1 1 2 5
答案：(Ａ)（Ｅ）
1 2 3 7 x＋2y＋3z＝7 x＝2 解析：將矩陣 0 1 1 2 轉成方程組 y＋z＝2 解得 y＝1 z＝1 z＝1 0 0 1 1 1 2 3 7 (Ａ)○： 0 1 1 2 0 2 3 5
1 2 3 7 → 0 1 1 2 與原矩陣同 ×（－2） 0 0 1 1
－1 3 －1 0 (Ｂ)╳： －1 1 1 0 可看出（0，0，0）為其解，顯然非唯一解（2，1，1）， 3 1 －7 0 與原矩陣之解不同 1 1 2 5 (Ｃ)╳： 1 －1 1 2 1 1 2 5
1 1 2 5 → 1 －1 1 2 顯然非唯一解（2，1，1），不合 ×（－1） 0 0 0 0
2 1 3 6 (Ｄ)╳： －1 1 1 0 －2 2 2 1
2 1 3 6 → －1 1 1 0 為無解，非唯一解（2，1，1），不合 ×（－2） 0 0 0 1
2 1 3 2 7 ×（－3） 1 0 －1 1 ×（－1） 1 0 0 → 0 1 1 → 0 1 0 1 (Ｅ)○： 0 1 1 2 2 ×1 0 0 －1 －1 0 1 0 1 ×（－1） 0 0 －1 －1 x＝2 x＝2 表方程組 y＝1 ，即 y＝1 有唯一解（2，1，1），合 －z＝－1 z＝1
～61～
（
）9.坐標空間中，在 xy 平面上置有三個半徑為 1 的球兩兩相切，設其球心分別為 A， B，C。今將第四個半徑為 1 的球置於這三個球的上方，且與這三個球都相切，並 保持穩定。設第四個球的球心為 P，試問下列哪些選項是正確的？ (Ａ)點 A，B，C 所在的平面和 xy 平面平行 (Ｂ)三角形 ABC 是一個正三角形 (Ｃ)三角形 PAB 有一邊長為 2
(Ｄ)點 P 到直線 AB 的距離為 3
(Ｅ)點 P 到 xy 平面的距離為 1＋ 3 。 答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｄ) 解析：(Ａ)○：三個球皆在z＝0上方，球半徑皆為1，因此A，B，C皆在z＝1平面上，與z＝ 平行 ̅ ̅ ̅ (Ｂ)○：由 A B＝A C＝B C＝2 知△ABC 為正三角形
̅ (Ｃ)╳：三球兩兩外切，因此 ̅ PA＝̅ PB＝A B＝2 (Ｄ)○：△PAB 為邊長 2 的正三角形
∴邊上的高為
3 ×2＝ 3 2
3 1 3 ̅ × 2 ＝ 3 ，M H＝ CM ＝ 2 3 3 2 2 3 2 6 2 6 ⇒̅ PH ＝ PM －MH ＝ 3－ ＝ ，所求＝ 1＋ 9 3 3
̅ (Ｅ)╳：如右圖:̅ PM＝C M＝
）10.設 a 為大於 1 的實數，考慮函數 f（x）＝ax 與 g（x）＝logax，試問下列哪些選 項是正確的？ (Ａ)若 f（3）＝6，則 g（36）＝6 f（ 238 ） f（ 38 ） (Ｂ) ＝ f（ 219 ） f（19 ） (Ｃ) g（238）－g（219）＝g（38）－g（19） (Ｄ)若 P，Q 為 y＝g（x）的圖形上兩相異點，則直線 PQ 之斜率必為正數 1 (Ｅ)若直線 y＝5x 與 y＝f（x）的圖形有兩個交點，則直線 y＝ x 與 y＝g（x） 5 的圖形也有兩個交點。 答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｄ)(Ｅ) 解析：(Ａ)○：由f（3）＝6得a3＝6 ∴g（36）＝loga36＝loga62＝loga（a3）2＝logaa6＝6 logaa＝6
（
f（ 238 ） a 238 f（ 38 ） a 38 ＝ 219 ＝a19， ＝ 19 ＝a19 f（ 219 ） a f（19 ） a
f（ 238 ） f（ 38 ） ＝ f（ 219 ） f（19 ） 238 (Ｃ)╳：g（238）－g（219）＝loga238－loga219＝ log a ， 219 38 g（38）－g（19）＝loga38－loga19＝ log a ＝loga2 19 238 ∵ ≠2 ∴g（238）－g（219）≠g（38）－g（19） 219 (Ｄ)○：由 a＞1 知圖形如下， PQ 之斜率為正 (Ｅ)○：y＝f（x）與 y＝g（x）對稱於 x＝y，y＝5x 1 與 y＝ x 亦對稱於 x＝y 5 因此，若 y＝5x 與 y＝f（x）有兩交點（x1，y1），（x2，y2） 1 則 y＝ x 與 y＝g（x）會有兩交點（y1，x1），（y2，x2） 5 (Ｂ)○：
～62～
∴
（
）11.設f(x)為一實係數三次多項式且其最高次項係數為 1，已知 f（1）＝1，f（2）＝2 ，f（5）＝5，則 f（x）＝0 在下列哪些區間必定有實根？ (Ａ)(－∞，0) (Ｂ)（0，1）
(Ｃ)（1，2）
(Ｄ)（2，5）
(Ｅ)（5，∞）
答案：(Ｂ)(Ｄ) 解析：考慮 g（x）＝f（x）－x，則 g（1）＝g（2）＝g（5）＝0 又 g（x）的三次項係數與 f（x）的三次項係數相同，皆為 1 因此 g（x）＝f（x）－x＝（x－1）（x－2）（x－5）， 得到 f（x）＝（x－1）（x－2）（x－5）＋x 則有
－∞ 0 1 2 3 4 5 ∞ x f（x） － － ＋ ＋ － － ＋ ＋ ，因此在（0，1）及（2，5）有實根 填充題 A.設實數 x 滿足 0＜x＜1，且 logx4－log2x＝1，則 x＝【 答案：
】。（化成最簡分數）
1 4
解析：令 y＝log2x
∵0 < x < 1
∴y < log21＝0則 logx4＝2 logx2＝
2 2 ，因此 －y ＝1 y y
⇒ y2＋y－2＝0 ⇒ y＝1，－2（1 不合）即 log2x＝－2 ⇒ x＝2 2＝ －
1 4
̅ ̅ ̅ ̅ C 邊之中點，Q在A C 邊上且A Q＝2Q C。 B.在坐標平面上的△ABC中，P為B 已知 PA ＝（4，3）， PQ ＝（1，5），則 BC ＝【 答案：（－1，12）
̅ ̅ 解析：A Q：Q C＝2：1
∴ PQ ＝
而 BC ＝2 PC ＝ 2 ×
】。
2 1 PC ＋ PA 3 3
3 1 （ PQ － PA ）＝3 PQ － PA ＝（3，15）－（4，3）＝（－1，12） 3 2
～63～
C.在某項才藝競賽中，為了避免評審個人主觀影響參賽者成績太大，主辦單位規定：先將 15 位評 審給同一位參賽者的成績求得算術平均數，再將與平均數相差超過 15 分的評審成績剔除後重 新計算平均值做為此參賽者的比賽成績。現在有一位參賽者所獲 15 位評審的平均成績為 76 分，其中有三位評審給的成績 92，45，55 應剔除，則這個參賽者的比賽成績為【 】分。 答案：79 解析：
76 × 15－92－45－55 948 ＝79（分） ＝ 12 12
D.某巨蛋球場 E 區共有 25 排座位，此區每一排都比其前一排多 2 個座位。小明坐在正中間那一 排（即第 13 排），發現此排共有 64 個座位，則此球場 E 區共有【
】個座位。
答案：1600 解析：第 13 排，a13＝a1＋12d＝64 總和 S25＝
25〔 2a 1＋（ 25－1）d 〕 ＝25（a1＋12d）＝25×64＝1600（個） 2
E.設 P，A，B 為坐標平面上以原點為圓心的單位圓上三點，其中 P 點坐標為（1，0），A 點坐標 為（
－12 5 ， ），且∠APB 為直角，則 B 點坐標為【 13 13
】。（化成最簡分數）
12 －5 ， ） 13 13 ̅ 解析：由∠APB＝90°知 A B 為直徑
答案：（
̅ A B 中點為圓心（0，0），因此 B＝－A＝（
12 －5 ， ） 13 13
F.某公司生產多種款式的「阿民」公仔，各種款式只是球帽、球衣或球鞋顏色不同。其中球帽共 有黑、灰、紅、藍四種顏色，球衣有白、綠、藍三種顏色，而球鞋有黑、白、灰三種顏色。公 司決定紅色的球帽不搭配灰色的鞋子，而白色的球衣則必須搭配藍色的帽子，至於其他顏色間 的搭配就沒有限制。在這些配色的要求之下，最多可有【 仔。 答案：25 解析：白色球衣時，有 1×1×3＝3 種組合 綠色或藍色球衣時，有
2×（4×3－1×1）＝22 種組合 灰色球鞋 ∴共有 3＋22＝25 種款式 球鞋 紅色球帽 球帽
～64～
】種不同款式的「阿民」公
G.摸彩箱裝有若干編號為 1，2，……，10 的彩球，其中各種編號的彩球數目可能不同。今從中隨 機摸取一球，依據所取球的號數給予若干報酬。現有甲乙兩案：甲案為當摸得彩球的號數為k時 ，其所獲報酬同為k；乙案為當摸得彩球的號數為k時，其所獲報酬為11－k(k＝1，2，…，10) 已知依甲案每摸取一球的期望值為
67 ，則依乙案每摸取一球的期望值為【 14
】
（化成最簡分數） 答案：
87 14 10
解析：設取到 k 號球的機率為 Pk，則 P1＋P2＋……＋P10＝1，而 E甲＝ ∑ k．Pk ＝ k＝1
10
10
10
k＝1
k＝1
k＝1
故 E乙＝ ∑（11－k ） ．Pk ＝ 11∑ Pk－∑ k．Pk ＝11×1－E甲＝ 11－
67 14
67 87 ＝ 14 14
H.坐標平面上有一以點 V（0，3）為頂點，F（0，6）為焦點的拋物線。設 P（a，b）為此拋物線 上一點，Q（a，0）為 P 在 x 軸上的投影，滿足∠FPQ＝60°，則 b＝【 答案：12 解析：作圖如右，準線為 y＝0（x 軸） ∴̅ PF ＝̅ PQ，又∠FPQ＝60°，則△PFQ 為正三角形 作̅ FH⊥̅ PQ 於 H
̅ ∴b＝̅ PQ＝2H Q＝2̅ FO＝2×6＝12
̅ ̅ ̅ I.在△ABC 中，M 為 B C 邊之中點，若 A B＝3，A C＝5，且∠BAC＝120°，則 tan∠BAM＝【 】。（化成最簡根式） 答案： 5 3 解析：建立坐標系如下圖 5 5 3 令 A（0，0），B（3，0），C（5 cos120°，5 sin120°）＝（－ ， ） 2 2
̅ 則B C 中點 M＝
B＋C 1 5 3 ＝（ ， ） 2 4 4
5 3 故 tan∠BAM＝ 4 ＝ 5 3 1 4
～65～
】。
97 年學測 單一選擇題 （
）1.對任意實數 x 而言，27 (1) 3
(2) 3 3
(x2＋
(3) 9
2 ) 3
的最小值為 (4) 27
(5) 81 3
答案：(3) 2
解析：因為底數 27 大於 1，所以指數愈小，其值愈小，故當 x＝0 時，x ＋
2 2 (x ＋ ) 3 有最小值，則 27 3 2
2
的最小值為 27 3 ＝9，故應選(3)。
（
）2.在職棒比賽中 ERA 值是了解一個投手表現的重要統計數值。其計算方式如下：若此投手共 E 主投 n 局，其總責任失分為 E，則其 ERA 值為 ×9。有一位投手在之前的比賽中共主投 n 了 90 局，且這 90 局中他的 ERA 值為 3.2。在最新的一場比賽中此投手主投 6 局無責任失 分，則打完這一場比賽後，此投手的 ERA 值成為 (1) 2.9 (2) 3.0 (3) 3.1 (4) 3.2 (5) 3.3
答案：(2) 解析：由題意知 ERA 的值為 那麼他的 ERA 為
（
32 96
E n
×9，故 3.2＝
E 90
×9 ⇒ E＝32，若這位投手再主投 6 局無失分，
×9＝3，故應選(2)。
）3.有一個圓形跑道分內、外兩圈，半徑分別為 30、50 公尺。今甲在內圈以等速行走、乙在 外圈以等速跑步，且知甲每走一圈，乙恰跑了兩圈。若甲走了 45 公尺，則同時段乙跑了 (1) 90 公尺 (2) 120 公尺 (3) 135 公尺 (4) 150 公尺 (5) 180 公尺
答案：(4) 解析：設乙跑了 x 公尺，由題意知，甲走一圈，乙跑了二圈，今甲走了 45 公尺，則 2π×30：2 ×2π×50＝45：x ⇒ x＝150(公尺)，故應選(4)。
（
）4.某地區的車牌號碼共六碼，其中前兩碼為 O 以外的英文大寫字母，後四碼為 0 到 9 的阿拉 伯數字，但規定不能連續出現三個 4。例如：AA1234，AB4434 為可出現的車牌號碼；而 AO1234，AB3444 為不可出現的車牌號碼。則所有第一碼為 A 且最後一碼為 4 的車牌號碼個 數為 (1) 25 ×93 (2) 25 ×92 ×10 (3) 25 × 900 (4) 25 ×990 (5) 25 ×999
答案：(4) 解析：設車牌的號碼可為 其排法為 25 ×102 ×9＋25 ×90＝25 ×990， 應選(4)。
～66～
（
）5.廣場上插了一支紅旗與一支白旗，小明站在兩支旗子之間。利用手邊的儀器，小明測出他 與正東方紅旗間的距離為他與正西方白旗間距離的 6 倍；小明往正北方走了 10 公尺之後 再測量一次，發現他與紅旗的距離變成他與白旗距離的 4 倍。試問紅白兩旗之間的距離最 接近下列哪個選項？ (1) 60 公尺 (2) 65 公尺 (3) 70 公尺 (4) 75 公尺 (5) 80 公尺
答案：(1) 解析：假設小明距離白旗為 x 公尺，則距離紅旗為 6x 公尺， 設當他往正北行走 10 公尺後，此時距離白旗為 y 公尺， 2 2 2 2 距離紅旗為 4y 公尺，則由題意可得 y －x ＝100，16y －36x ＝100， 7 2 2 2 2 兩式相減，則 y ＝ x ，代入 y －x ＝100 得 x＝5 3 ，則紅旗與白旗的距離為 3 7x＝35 3 (公尺)，其值最接近 60 公尺，應選(1)。
多重選擇題 （
）6.試問：在坐標平面上，下列哪些選項中的函數圖形完全落在 x 軸的上方？ (1) y＝x＋100 (2) y＝x2＋1 (3) y＝2＋sin x (4) y＝2x (5) y＝log x
答案：(2)(3)(4) 解析：函數圖形要完全落在 x 軸的上方，即表示：對所有的實數 x，y＝f (x)＞0，由各選項作出其 圖形如下： (1) (2) (3)
(4)
(5)
由圖中，圖形恆在 x 軸上方者為(2)(3)(4)，故選之。
～67～
（
）7.某高中共有 20 個班級，每班各有 40 位學生，其中男生 25 人，女生 15 人。若從全 校 800 人中以簡單隨機抽樣抽出 80 人，試問下列哪些選項是正確的？ (1) 每班至少會有一人被抽中 (2) 抽出來的男生人數一定比女生人數多 (3) 已知小文是男生，小美是女生，則小文被抽中的機率大於小美被抽中的機率 (4) 若學生甲和學生乙在同一班，學生丙在另外一班，則甲、乙兩人同時被抽中的 機率跟甲、丙兩人同時被抽中的機率一樣 1 (5) 學生 A 和學生 B 是兄弟，他們同時被抽中的機率小於 100
答案：(4)(5) 解析：從 800 個人中任取 80 人，即每個人被取的機會均等。 (1) 與班級無關，所以可能同一班級中，都沒有任何人被抽中。 (2) 男生人數較多，表示被抽中的機會較大，並不代表被抽出的人數會較多。 (3) 每個人被抽中的機會是均等的，所以小文被抽中的機會與小美是相等的。 2
(4) 每個人被抽中的機會相等，故甲、乙同時被抽中的機率為 2
中的機率為
798
C2 ×C78 800
C80
與甲、丙同時被抽
798
C2 ×C78 800
C80
，所以兩者的機率是相等的。 2
(5) 學生 A 與學生 B 同時被抽中的機率為
798
C2 ×C78 C
800 80
＝
80 ×79 1 ＜ 。 800 ×799 100
應選(4)(5)。
（
）8.已知 a1，a2，a3 為一等差數列，而 b1，b2，b3 為一等比數列，且此六數皆為實數。 試問下列哪些選項是正確的？ (1) a1＜a2 與 a2＞a3 可能同時成立 (2) b1＜b2 與 b2＞b3 可能同時成立 (3) 若 a1＋a2＜0，則 a2＋a3＜0 (4) 若 b1b2＜0，則 b2b3＜0 (5) 若 b1，b2，b3 皆為正整數且 b1＜b2，則 b1 整除 b2
答案：(2)(4) 解析：(1)∵a1，a2，a3 為等差數列，由等差基本定義知 a2－a1＝a3－a2，若 a2＞a1，即 a3＞a2。 2
(2)b1，b2，b3 成等比 ∴b2＝b1b3，當 b2>0，b1，b3 同時為負時，則 b1＜b2 與 b2＞b3 可能同 時成立。 (3)設 a1＝－4，a2＝－1，a3＝2，則 a1＋a2＜0，但 a2＋a3＞0。 2 (4)b1，b2，b3 成等比，故 b2＝b1r，b3＝b1r2，r 表公比，若 b1b2＜0，即 b1r＜0 ⇒ r＜0， 2 故 b2b3＝b1r3＜0。 3 (5)∵b1，b2，b3 為正整數且成等比，即 b2＝b1×r，若 b1＝4，b2＝6，r＝ ， 2 則 b1 不能整除 b2。 由上述得知應選(2)(4)。
～68～
（
）9.已知在一容器中有 A，B 兩種菌，且在任何時刻 A，B 兩種菌的個數乘積為定值 1010。 為了簡單起見，科學家用 PA＝log ( nA ) 來記錄 A 菌個數的資料，其中 nA 為 A 菌的 個數。試問下列哪些選項是正確的？ (1) 1 ≤ PA ≤ 10 (2) 當 PA＝5 時，B 菌的個數與 A 菌的個數相同 (3) 如果上週一測得 PA 值為 4 而上週五測得 PA 值為 8，表示上週五 A 菌的個數是 上 週一 A 菌個數的 2 倍 (4) 若今天的 PA 值比昨天增加 1，則今天的 A 菌比昨天多了 10 個 (5) 假設科學家將 B 菌的個數控制為 5 萬個，則此時 5＜PA＜5.5
答案：(2)(5) 解析：假設 nA，nB 分別表示 A 菌與 B 菌的個數，由題意得知 nA ×nB＝1010 ⇒ log ( nA )＋log ( nB )＝10 (1) 1 ≤ ( nA ) ≤ 1010 ∴ log 1 ≤ log ( nA ) ≤ log 1010 ∴0 ≤ PA ≤ 10 (2) 當 PA＝5＝log ( nA )，則 log ( nB )＝5，故 A 菌與 B 菌數目相等。 (3) 設 nA'表示上週五的 A 菌個數，當 PA＝4＝log ( nA ) ⇒ nA＝104， PA'＝8＝log ( nA' ) ∴ nA'＝108，則 nA'＝104 ×nA。 nA (4) 設 nA'表示前一天的 A 菌個數 PA－PA'＝1＝log nA－log nA'＝log nA ' ∴ nA＝10×nA'，即增加 10 倍。 (5) 當 nB＝5×104 ⇒ log ( nB )＝4＋log 5＝5－log 2，已知 log 2＝0.3010， 又 log ( nA )＋log ( nB )＝10 ⇒ log ( nA )＝5＋log 2，故 5＜PA＜5.5 為真。 故應選(2)(5)。
（
）10.已知實係數多項式 f (x)與 g (x)＝x3＋x2－2 有次數大於 0 的公因式。試問下列哪些 選項是正確的？ (1) g (x)＝0 恰有一實根 (2) f (x)＝0 必有實根 (3) 若 f (x)＝0 與 g (x)＝0 有共同實根，則此實根必為 1 (4) 若 f (x)＝0 與 g (x)＝0 有共同實根，則 f (x)與 g (x)的最高公因式為一次式 (5) 若 f (x)＝0 與 g (x)＝0 沒有共同實根，則 f (x)與 g (x)的最高公因式為二次式
答案：(1)(3)(5) 解析：利用有理因式檢定法，分解出 g (x)＝( x－1 ) ( x2＋2x＋2 ) (1) 若 g (x)＝0 有實根，則此實根必為 1。 (2) 如 f (x)＝x2＋2x＋2 與 g (x)有次數大於 0 的公因式，但 f (x)＝0 沒有實根。 (3) 因為 g (x)＝0 僅有 1 的實根，若 f (x)＝0 與 g (x)＝0 有共同的實根，則此實根必為 1。 (4) 當 f (x)＝( x3＋x2－2 ) ( x＋1 )，則 f (x)＝0，g (x)＝0 有共同的實根 1，其公因式為 3 次。 (5) 當 f (x)＝0 與 g (x)＝0 沒有共同的實根 1，又由題意得知兩多項式有公因式，故得知其 公因式為 x2＋x＋2，故其公因式為二次。 故應選(1)(3)(5)。
～69～
（
）11.設坐標空間中三條直線 L1，L2，L3 的方程式分別為 y＋3 z＋ 4 y＋3 z＋ 4 x x x y z L 1 ： 1 ＝ 6 ＝ 8 ；L 2 ： 1 ＝ 3 ＝ 4 ；L 3 ： 1 ＝ 3 ＝ 4 。 試問下列哪些選項是正確的？ (1) L1 與 L2 相交 (2) L2 與 L3 平行 (3) 點 P (0 , －3 , －4 ) 與 Q ( 0 , 0 , 0 ) 的距離即為點 P 到 L3 的最短距離 x＝0 z＋4 與直線 L1，L2 皆垂直 (4) 直線 L： y＋3 4 ＝ －3 (5) 三直線 L1，L2，L3 共平面
答案：(1)(2)(4)(5) 解析：由題中知 L1，L2，L3 的方向向量分別為 d1 ＝( 1 , 6 , 8 )， d2 ＝ d3 ＝( 1 , 3 , 4 ) (1)∵ ( 0 , －3 , －4 ) ∈ L1，( 0 , －3 , －4 ) ∈ L2，且 d1 ， d2 不平行，故 L1，L2 兩線相交一 點 (2) d2 ＝ d3 ＝( 1 , 3 , 4 )，又 ( 0 , 0 , 0 ) ∉ L2，( 0 , 0 , 0 ) ∈ L3，表示二直線不重合，故 L2 // L3 (3)由(2)得知 L2 // L3， PQ ＝( 0 , 3 , 4 )， PQ ． d2 ≠0，由此可知 PQ 與 d2 不垂直，故不等於 P 到直線 L3 的距離。 (4)L 的方向向量 d ＝( 0 , 4 , －3 )， d ． d1 ＝0＋4 ×6－8 ×3＝0 ⇒ d ⊥ d1 ， d ． d2 ＝0 ∴ d ⊥ d2 ，且( 0 , －3 , －4 ) ∈ L，( 0 , －3 , －4 ) ∈ L1，( 0 , －3 , －4 ) ∈ L2，故三直線 交於一點，且三直線互相垂直。 (5)∵由(1)得知 L1 與 L2 交於一點，故知 L1，L2 共面，解 L1，L3 的交點 ( s ,－3＋6s ,－4＋8s )＝( t , 3t , 4t ) 為 ( 1 , 3 , 4 )，故 L1，L3 共面， 又 L2，L3 兩平行，亦共面，故知三直線 L1，L2，L3 共面。 （
）12.設Γ：x2＋y2－10x＋9＝0 為坐標平面上的圓。試問下列哪些選項是正確的？ (1) Γ的圓心坐標為 ( 5 , 0 ) (2) Γ上的點與直線 L：3x＋4y－15＝0 的最遠距離等於 4 (3) 直線 L1：3x＋4y＋15＝0 與Γ相切 (4) Γ上恰有兩個點與直線 L2：3x＋4y＝0 的距離等於 2 (5) Γ上恰有四個點與直線 L3：3x＋4y－5＝0 的距離等於 2
答案：(1)(2)(4) 解析：圓Γ：x2＋y2－10x＋9＝0 ⇒ ( x－5 )2＋y2＝16，得知 (1)圓心坐標為 O ( 5 , 0) │3 ×5＋4 ×0－15│ (2)由圓心到直線的距離 d(O,L)＝ ＝0，即 O ∈ L 上，故最遠距離即半徑 4。 3 2 ＋4 2 │3 ×5＋4 ×0－15│ (3)圓心到直線的距離 d ( O，L1 )＝ ＝6＞4，表示該直線與圓相離。 3 2 ＋4 2 │ 3 ×5 ＋ 4 ×0 │ (4)d(O，L2)＝ ＝3＜4 表該直線與圓相交， 3 2 ＋4 2 圓上有二點到該直線的距離為 3。 │ 3 ×5 ＋ 4 ×0 － 5 │ (5)d( O，L3 )＝ ＝2，由圖中得知 3 2 ＋4 2 圓上的點到直線的距離為 2 者有三個。 故應選(1)(2)(4)。
～70～
～71～
填充題
Ａ.令 A ( －1 , 6 , 0 )，B ( 3 , －1 , －2 )，C ( 4 , 4 , 5 ) 為坐標空間中三點。若 D 為空間中的一點 】。 且滿足 3 DA －4 DB ＋2 DC ＝ 0 ，則點 D 的坐標為【 答案：( －7 , 30 , 18 ) 解析：設原點 O ( 0 , 0 , 0 )，D ( x，y，z )，由 3 DA －4 DB ＋2 DC ＝ 0 ⇒ 3 ( OD － OA )－4 ( OD － OB )＋2 ( OD － OC )＝ 0 ， 由兩邊移項，得 OD ＝3 OA －4 OB ＋2 OC ， 即 ( x , y , z )＝3 ( －1 , 6 , 0 )－4 ( 3 , －1 , －2 )＋2 ( 4 , 4 , 5 )＝( －7 , 30 , 18 )， 即 D ( －7 , 30 , 18 )。 Ｂ.在坐標平面上，設 A 為直線 3x－y＝0 上一點，B 為 x 軸上一點。若線段‾‾‾ AB 的中點坐標為 7 ( , 6 )，則點 A 的坐標為【 】，點 B 的坐標為【 】。 2 答案：A ( 4 , 12 )，B ( 3 , 0 ) 解析：設直線上的 A 點坐標為 ( t , 3t )，B 點的坐標為 ( a , 0 )， 3 t＋0 4 ＋a 7 7 因為 ( , 6 ) 為‾‾‾ AB 的中點，故 ＝6 ⇒ t＝4 ， ＝ ⇒ a＝ 3 2 2 2 2 ∴ A ( 4 , 12 )，B ( 3 , 0 )。 Ｃ.坐標平面上，以原點 O 為圓心的圓上有三個相異點 A ( 1 , 0 )，B，C，且‾‾‾ AB ＝‾‾‾ BC 。已知銳角三 3 ，則△OAC 的面積為【 】。(化為最簡分數) 角形 OAB 的面積為 10 答案：
12 25
解析：設由 B 作 x 軸的垂線，垂足為 H，由題意得知△OAB 的面積 3 1 3 4 為 ＝ ‾‾‾ BH ×‾‾‾ OA ∴‾‾‾ BH ＝ 5 ＝sinθ ∴cosθ＝ 5 10 2 1 12 又△OAC 面積為 ×‾‾‾ OA ×‾‾‾ OC sin2θ＝sinθ×cosθ＝ 。 2 25
x2 Ｄ.設 F1 與 F2 為坐標平面上雙曲線Γ： －y2＝1 的兩個焦點，且 P ( －4 , 1 ) 為Γ上一點。 8 若∠F1PF2 的角平分線與 x 軸交於點 D，則 D 的 x 坐標為【 】。 答案：－2 x2 解析：＜法一＞設雙曲線方程式 －y2＝1 中心到焦點的距離為 c，則 c2＝8＋1＝9 8 ⇒ c＝3，得雙曲線的焦點坐標分別為 F1 ( 3 , 0 )，F2 ( －3 , 0 )， 又PF ‾‾‾1＝ ( 3＋4 )2＋1 ＝5 2 ，PF ‾‾‾2＝ 12＋1 ＝ 2 。 在△F1PF2 中，角平分線‾‾‾ PD 滿足DF ‾‾‾1：DF ‾‾‾2＝PF ‾‾‾1：PF ‾‾‾2＝5 2 ：＝5：1， －15＋3 利用分點公式得 D( ，0)＝(－2，0)。 6 ←→ ＜法二＞由光學性質知道 PD 即為∠F1PF2 的角平分線，且為過 P 點雙曲線的切線。 －x ←→ －4x ←→ 由切線公式得 PD ： －1 ×y＝1 ⇒ －y＝1，則 PD 與 x 軸的交點 8 2 坐標為 D ( －2 , 0 )。 ～72～
Ｅ.設 O ( 0 , 0 , 0 ) 為坐標空間中某長方體的一個頂點，且知 ( 2 , 2 , 1 )，( 2 ,－1 ,－2 )， ( 3 ,－6 , 6 ) 為此長方體中與 O 相鄰的三頂點。若平面 E：x＋by＋cz＝d 將此長方體截成兩部分， 其中包含頂點 O 的那一部分是個正立方體，則 ( b , c , d )＝【 】。 答案：( b , c , d )＝( －2 , 2 , 9 )。 解析：由於‾‾‾ OC ＝3，‾‾‾ OB ＝3，‾‾‾ OA ＝9，依照題意，平面 E 將此長方體 1 分割成正立方體，則平面必平行平面 OBC 且通過 ‾‾‾ OA 處的 D 點。 3 －6 3 6 又‾‾‾ AD ：‾‾‾ OD＝2：1∴ D ( 3 , , )＝ ( 1 , － 2 , 2 ) 3 3 又平面 E 的法向量為 ( 1 , －2 , 2 )，故平面 E:( x－1 )－2 ( y＋2 )＋2 ( z－2 )＝0 ⇒ x－2y＋2z＝9，即( b , c , d )＝( －2 , 2 , 9 )。 Ｆ.設 a，b 為正整數。若 b2＝9a，且 a＋2b＞280，則 a 的最小可能值為【 答案：225 b2 b2 解析：由題中知 a＝ 代入不等式 a＋2b＞280，得 ＋2b＞280， 2 9 b2＋18b＞2520 ⇒ ( b＋9 )2＞2601＝512，所以 b＋9＞51 ⇒ b＞42，
】。
452 ＝225。 當 a 為最小值，即 b 的最小值，又 a 為正整數，故取 b＝45，則 a＝ 9
Ｇ.坐標平面上有一質點沿方向 u ＝( 1 , 2 ) 前進。現欲在此平面上置一直線 L，使得此質點碰到 L 時依光學原理(入射角等於反射角)反射，之後沿方向 v ＝( －2 , 1 ) 前進，則直線 L 的方向向量 應為 w ＝【 】。 答案：－3 解析：∵| u |＝| v | 由入射角等於反射角，得知直線下方為一菱形， 其一對角線與直線平行（菱形對角線互相垂直） ，故 w // ( u ＋ v )。 又 u ＋ v ＝ ( 1 , 2 )＋ ( － 2 , 1 )＝ ( － 1 , 3 )， 由題意得 w ＝( 1 , a )＝( 1 , －3 )，故 a＝－3 Ｈ.已知坐標平面上圓 O1：( x－7 )2＋( y－1 )2＝144 與 O2：( x＋2 )2＋( y－13 )2＝9 相切，且此兩圓 均與直線 L：x＝－5 相切。若Γ為以 L 為準線的拋物線，且同時通過 O1 與 O2 的圓心，則Γ的 焦點坐標為【 】。(化為最簡分數) 答案：(
－1 53 , )。 5 5
解析：＜法一＞ 設拋物線的焦點坐標為 F(a，b)，則 2 2 1 O ‾‾‾ 1F＝d ( O1 , L ) ⇒ ( 7－a ) ＋( 1－b ) ＝144………○ 2 2 2 O ‾‾‾ 2F＝d ( O2 , L ) ⇒ ( －2－a ) ＋( 13－b ) ＝9 ……○ －1 4 43 53 2 －○ 1 解得 a＝ 1 中 ， 得 b＝ 由○ b － 代入○ ， 則 a＝ ， 3 3 5 5 －1 53 故拋物線焦點坐標為 ( , )。 5 5 ＜法二＞ 設 O1 與 O2 相切的切點坐標為 A，則AO ‾‾‾1＝d ( O1 , L )，同時AO ‾‾‾2＝d ( O2 , L )， 1 ×7－2 ×4 1 ×1＋4 ×13 －1 53 ‾‾‾ ‾‾‾ , )＝ ( , ) 由此可知 A 為焦點,又O 1A：O 2A＝12：3＝4：1,故 A ( 5 5 5 5
～73～
