AÇÕES PEDAGÓGICAS PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

AÇÕES PEDAGÓGICAS PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Lourdes Molina Velasco1 Emerson Joucoski2 RESUMO Este trabalho propõe a investigação de ações pedagógicas para a resolução de problemas, na disciplina de matemática. Emerge das necessidades de: i) repensar o papel do professor em sala de aula como autor de formalização excessiva dentro da disciplina, desenvolvendo aulas expositivas como principal recurso e privilegiando o livro didático adotado como guia; ii) promover mudanças na aprendizagem e estimular a pesquisa pelo aluno. A reflexão ancorou-se nos referenciais teóricos de G. Polya, Stephen Krulik, Maria Aparecida Viggiani Bicudo e Van de Walle e dos princípios contemplados pelas Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná, no tocante à Educação Matemática. O estudo desenvolvido durante a elaboração do Plano de Trabalho apontou caminhos para mudanças na organização da sala de aula, promovendo o professor a mediador do conhecimento e os alunos, preferencialmente organizados em grupo, a pesquisadores de soluções. Para favorecer o processo de resolução de problemas, buscou-se um ambiente estimulador e motivador para o educando, utilizando-se questões abertas que o levem às conjecturas, pesquisa, e auto-avaliação. Partindo da análise sobre a proposição de ensinar matemática através da resolução de problemas, planejaramse a busca por situações-problema diversificadas tais como: problemas nãoconvencionais (com falta de dados, com excesso de dados, etc.), de matemática recreativa (quebra-cabeças, enigmas, lógica, etc.), com o intuito de auxiliar na construção do pensamento dedutivo e senso de organização do estudante. Propôsse a partir das reflexões, uma inversão dos encaminhamentos metodológicos, tomando-se o problema como ponto de partida de uma atividade e finalizando-a com a formalização do conteúdo programático. Após a análise, o objetivo de viabilizar transformações nas abordagens de conteúdos foram reafirmados, com o intuito de qualificar as relações entre professor e alunos, o conhecimento matemático e o aprendizado docente e discente. PALAVRAS-CHAVE: Resolução de problemas; Pesquisa; Reflexão

INTRODUÇÃO

O presente artigo científico fruto da pesquisa toma como tema de estudo da intervenção, a resolução de problemas na matemática. Este é um ponto sensível no ensino da disciplina de matemática, qual muitas vezes aparece através de uma 1 2

Professora do PDE na área de Matemática. Professor Orientador IES. UFPR setor Litoral. [email protected]

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linguagem matemática concisa, com exagerada memorização de regras e com todos os dados expressos no texto. Além disso, geralmente os conteúdos são aplicados aos alunos, sistematicamente, através de aulas expositivas, sem priorizar informações de relevância social ou a interferência mais efetiva do aluno no processo de resolução. Assim, há um discurso relevante sobre novas formas e metodologias de ensino, propostas a partir dos PCN- Ensino Fundamental (1997), onde se propõe conteúdos básicos para cada série e encaminhamentos metodológicos que orientam o trabalho docente, como parâmetros e diretrizes sobre o que é essencial para cada série do ensino fundamental. Apesar desse encaminhamento, cada professor é responsável por sua própria metodologia. Alguns estudam, pesquisam, procuram diversificar suas aulas, enquanto outros continuam apenas com aulas expositivas, repassando conteúdos (SAVIANI, 2000). Diante disso, observa-se que o principal entrave desse processo de ensinoaprendizagem está nas práticas de ensino desenvolvidas ou aplicadas pelo educador, qual pode sentir a necessidade de viabilizar mudanças que venham a favorecer o desenvolvimento de atitudes positivas do aluno, em relação à aprendizagem da matemática.

Mostra-se evidente a necessidade de tornar

significativa a compreensão dos conceitos ensinados ao seu aluno, para que ele possa aplicá-los em situações-problema de seu dia-a-dia, através de atitudes investigativas. Ou seja, a formação plena de conhecimentos matemáticos necessários para seu desempenho, além dos limites da escola. São vários os subsídios teóricos utilizados nesta pesquisa, para se explorar o tema, assim, têm-se autores, pesquisadores e estudiosos, como: Polya (1949), um dos matemáticos do nosso século que considera a Matemática como uma "ciência observacional" na qual a observação e a analogia desempenham um papel fundamental; Krulik & Reis (2005) que apontam a resolução de problemas como uma das principais tarefas da disciplina, ou seja, destacam ser o momento em que os alunos aplicam os conhecimentos adquiridos e se envolvem emocionalmente na busca de soluções para determinada situação; Schoenfeld (1997) discute que a resolução de problemas possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar as informações que estão a seu alcance, tendo assim oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos matemáticos bem como de ampliar a visão que têm dos problemas, da Matemática, do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança; D’Ambrósio

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(1996), que trabalha muito na parte de práticas e metodologias, para ele o professor deve, a partir de estudos, criarem condições para que os conceitos científicos sejam elaborados e a prática pode modificar ou aprimorar a teoria. Também as Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica do Paraná, um documento que traça estratégias visando nortear o trabalho do professor e garantir a apropriação do conhecimento pelos estudantes da rede pública. Dessa forma, juntamente aos subsídios teóricos, a pesquisa ateve-se em seus objetivos conceituais, procedimentais e atitudinais. Os primeiros referem-se a construção de conceitos formalizados, ao longo do processo de ensino e aprendizagem nos educandos. Já os segundos objetivos, são direcionados especialmente ao desenvolvimento de estratégias para o aluno não só aprender como também obter alguma versatilidade na resolução de problemas, fazendo estimativas numéricas e tentando-as no problema real. Por fim, nos objetivos atitudinais, destacam-se em atitudes positivas em relação à matemática, desenvolvendo estas no aluno, visando o estímulo da curiosidade e investigação dentro de um trabalho cooperativo com demonstrações e aplicações de diferentes estratégias e métodos, de resolução de problemas. Procurando assim, desenvolver também, a percepção da matemática como ciência e como um instrumental para a compreensão do mundo à sua volta, através de percepções geométricas, capacidade de argumentação e o desenvolvimento do raciocínio dedutivo. Dentro desse contexto, o objetivo geral deste estudo é analisar o processo ensino aprendizagem de matemática, através da metodologia de resolução de problemas, seguindo-se principalmente o pensamento de Polya (2006) e Shoenfeld (2005). Dando-se prioridade na construção de conceitos, para no fim refletir-se num consenso sobre os resultados almejados. O tema foi trabalhado com os alunos da sétima série “A”, do ciclo de 1ª a 8ª, do Colégio 29 de Abril, na cidade de Guaratuba/PR. Também é importante destacarse que, paralelamente, através do Grupo de Trabalho em Rede (GTR) o tema foi amplamente discutido e pesquisado pelos professores do grupo de estudos e desenvolvido em outras escolas e séries.

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DESENVOLVIMENTO

I PANORAMA GERAL DO ENSINO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Existem vários estudos que tratam a respeito dos problemas críticos que norteiam o ensino de matemática. Dentre estes, estão pontos de excesso de formalização, onde o aluno recebe as informações através de conceitos, exemplos e exercícios de aplicação, usando a repetição para a memorização (SAEB, 2001). Com relação a isso, Xavier (1996, p. 9) descreve: Uma mudança efetiva na prática pedagógica em direção a uma educação com qualidade para toda a população brasileira requer a formulação e a implementação de políticas, diretrizes, programas e projetos que enfrentem os desafios, de natureza e dimensões distintas, colocados aos educadores por uma sociedade heterogênea e desigual que se dá a conhecer, a compreender e a transformar no cotidiano de cada sala de aula.Neste sentido, o Ministério da Educação e do Desporto (MEC), tem desenvolvido todo um trabalho para o estabelecimento de parâmetros curriculares nacionais que possam nortear a mudança da prática pedagógica — em seus aspectos teóricos e metodológicos —, de forma a garantir um desempenho satisfatório para o professor e um rendimento positivo para o aluno, eliminando a repetência do sistema educacional e restabelecendo o fluxo escolar. O Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais (INEP), desde 1993, vem desenvolvendo um trabalho continuado de debates, de coleta, de sistematização e de disseminação de informações referentes a um dos componentes curriculares: a Matemática, criando um espaço de interação e de comunicação entre pesquisadores, administradores da educação e professores. Os problemas a serem enfrentados são imensos e a produção técnico-científica na área ainda é relativamente escassa.

Assim, o ensino de matemática tem sido alvo de muitas críticas concernentes às metodologias desenvolvidas nas salas de aula, quais recaem sobre o formalismo de ações praticadas pelos educadores. Cabe utilizar uma citação, retirada de um relatório do SAEB – Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (2001) onde se encontra referências como: As orientações metodológicas e os objetivos do processo de ensino e aprendizagem de matemática, na educação básica, vêm passando por profundas mudanças. Apesar da enorme diferença entre o que se prescreve e o que de fato se realiza, existe um razoável consenso entre os

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professores de que o ensino de matemática não pode limitar-se a um processo que tenha como finalidade a simples memorização de regras e técnicas (SAEB, 2001, p. 12).

Outra questão a se considerar, é de que o ensino passou por muitas tendências: formalista moderna, tecnicista, construtivista, socioetnocultural entre outras (FIORENTINI, 1995). Mas o que se quer destacar é o fato destas tendências, não promoverem mudanças significativas para o aprendizado do aluno que veio acontecer gradativamente. Um exemplo pode ser observado na década de 80, quando surgiu o movimento da educação matemática, cuja finalidade, era: “fazer o estudante compreender e se apropriar da própria Matemática” explica Miguel e Miorim (2004, p.70). Ou seja, levar o educando a se apropriar conhecer e entender a matemática para a realidade em que está inserido. Uma das tendências que teve influência marcante foi a Matemática Moderna. Sobre ela, consta nos Parâmetros Curriculares Nacionais – Ensino Fundamental (1997) que: ... nas décadas de 60/70, o ensino da Matemática, em diferentes países, foi influenciado por um movimento que ficou conhecido como Matemática Moderna. A Matemática Moderna nasceu como um movimento educacional inscrito numa política de modernização econômica e foi posta na linha da frente por se considerar que, justamente com a área de Ciências Naturais, ela se constituía via de acesso privilegiada para o pensamento cientifico e tecnológico. Desse modo, a Matemática a ser ensinada era aquela concebida como lógica, compreendida a partir das estruturas; conferia um papel fundamental à linguagem matemática. (...) O ensino passou a ter preocupações excessivas com abstrações internas à própria matemática, mais voltada à teoria do que a prática. No Brasil, a Matemática Moderna foi veiculada principalmente pelos livros didáticos e teve grandes influências. O Movimento Matemática Moderna teve seu refluxo a partir da constatação da inadequação de alguns de seus princípios e das distorções ocorridas na sua implantação (PCN-EF, 1997, p. 21).

Outra tendência foi a resolução de problemas, onde em 1980, o National Council of Teachers of Mathematics – NCTM, dos Estados Unidos, apresentou recomendações para o ensino da Matemática no documento Agenda para Ação. Neste destacava-se a resolução de problemas como foco de ensino da matemática nos anos 80 (PCN-EF, 1997). Já nos anos 90 começaram a surgir reformas educacionais, incluindo-se a LDB 9394/96, onde um dos pontos que se destaca é a reforma do currículo nos

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níveis fundamental e médio. Fatores como as mudanças socais aceleradas, a globalização, o impacto tecnológico, a qualidade da educação, associados às condições sociais, econômicas, culturais e científicas no inicio do século XXI influenciaram tal reforma. Entre outros motivos que se pode considerar, dentro de uma visão para os conteúdos matemáticos juntamente a relevância social, atendo-se para o desenvolvimento intelectual do educando, qual se encontra em permanente construção. Compreende-se que os problemas no ensino dessa disciplina fizeram nascer uma verdadeira comunidade, a dos educadores matemáticos, e que pesquisas, estudos, publicações, encontros, desenvolvimento de projetos, tanto no Brasil como em outros países, mostram o grande esforço em encontrar novos caminhos para o ensino, visando à democratização desse conhecimento e a adequação às novas demandas sociais e produtivas. Dentro disso, conhecer as diversas possibilidades de trabalho em sala de aula é de suma importância para o professor, que pretende construir sua prática de forma inovadora. Para o ensino da matemática, destacam-se algumas possibilidades pedagógicas alternativas e atuais, voltadas às aprendizagens significativas, sendo elas: o recurso a resolução de problemas, o recurso à história da matemática, o recurso às tecnologias da informação e o recurso aos jogos (PCN-EF, 1997). Dessa forma, a resolução de problemas é um desses recursos que se abre a diversas possibilidades de trabalho em sala de aula, exigindo assim, certa “postura” e conhecimento do professor na contemporaneidade. Portanto, o ensino de Matemática tem como um dos desafios a abordagem de conteúdos para a resolução de problemas, o que envolve uma metodologia, pela qual o estudante terá oportunidade de aplicar conhecimentos matemáticos já adquiridos em novas situações de modo a resolver a questão proposta. Dentro disso, os professores precisam ir à busca de formas para estimular o aprendizado dos alunos e o ensinoaprendizado da matemática através da resolução de problemas. Para educadores como Stephen Krulik (1980), “A resolução de problemas é a própria razão do ensino da matemática”, devendo constituir, portanto, o foco das atividades no ambiente escolar. Sendo assim, observada como centro organizador do processo de ensino e aprendizagem, a resolução de problemas, vem sendo vista como uma estratégia instrucional que pode ser identificada como uma das melhores para o ensino, não só para a disciplina de matemática como para as outras

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disciplinas, constituindo-se em rica oportunidade para estimular o raciocínio, levando o aluno à reflexão sobre possibilidades de desenvolver formas inusitadas para defrontar-se com situações do cotidiano. De acordo com Demo (2000), “a nova realidade econômica é cada vez mais sensível a atributos educativos como visão de conjunto, autonomia, iniciativa, capacidade de resolver problemas, flexibilidade” (DEMO, 2000, p. 24). Um dos precursores da Resolução de Problemas foi G. Polya quem é considerado o “pai” da resolução de problemas, em 1954 publicou obras como “A Arte de Resolver Problemas”, cuja proposição é a formação da habilidade para resolver problemas. Propõe para tanto, um roteiro que se inicia com a compreensão do texto, passa para a elaboração de um plano para resolvê-lo, a seguir, pela execução desse plano e finaliza com a verificação ou prova dos resultados obtidos. Segundo Polya (2006), este recurso de ensino foi e é a coluna vertebral da instrução matemática desde o Papiro de “Rhind”, que é um dos mais antigos documentos matemáticos egípcios. Datado de cerca de 1950 a.C., trata-se de um rolo de aproximadamente 30 cm de largura por 5 cm de comprimento onde estão registrados vários problemas do dia-a-dia daquele povo (TOLEDO e TOLEDO, 1997). Percebe-se assim, a importância da resolução de problemas no decorrer da história da humanidade e a relação que esta teve desde o seu início, com problemas do dia-a-dia das pessoas. Bicudo (2004, p. 206), cita três modos diferentes de abordar Resolução de Problemas segundo Schroeder & Lester (1989) relacionados com a proposta acima, ou seja, uma educação matemática mais significativa, trazendo três métodos para reflexão do professor, que são: (a) ensinar sobre resolução de problemas, (b) ensinar a resolver problemas e (c) ensinar matemática através da resolução de problemas. Ao professor, cabe a tarefa de dosar cada forma mencionada para equilibrar as abordagens de problemas. A autora refere-se também a Van de Walle (2001) que sugere que ensinar matemática através da resolução de problemas requer do professor a criação de um ambiente matemático motivador e estimulante. Para tanto, cada aula deverá compreender três fases: na primeira, deve preparar o aluno para receber a tarefa, esclarecendo os objetivos, na segunda parte, os alunos trabalham e o professor observa e avalia. Por fim, na terceira fase, o professor aceita a solução dos alunos

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sem avaliá-las, conduz as discussões, levando os alunos à auto-avaliação. Na seqüência, o professor formaliza o conteúdo, aplicando os conceitos apreendidos. Na busca de alternativas para o trabalho com interações no ambiente desta metodologia, muitos pesquisadores voltam-se para o ambiente de inspiração lakatosiana ou ambiente das verdades provisórias. Nesse contexto, a produção do conhecimento é através do trabalho em grupo e possui como características: facilitar o processo de conjecturas, promover um desenvolvimento sempre aberto, estimular provas e refutações, desenvolver uma postura flexível frente à certeza e, principalmente, às incertezas, buscar um desenvolvimento lógico-dedutivo para todos, construir conhecimento desconhecido a priori e explorar situações que os alunos tenham condições cognitivas para compreender e enfrentar. Davis & Herch (1985, p. 20) assim se referem ao idealizador do ambiente lakatosiano Imre Lakatos: “Em vez de matemática esqueletizada e fossilizada, ele apresenta a matemática crescendo a partir de um problema e uma conjectura, com uma teoria adquirindo forma sob nossos olhos, no calor do debate e da discordância, a dúvida cedendo lugar à certeza e em seguida a novas dúvidas”. Neste sentido, o processo onde se ensina matemática através de situaçõesproblema deve ser encarado como complexo, exigindo planejamento e diversificação de estratégias, considerando-se os vários tipos de problemas que poderão ser utilizados. De acordo com Dante (2005, p.16), tem-se: (a) Problemas-padrão que envolvem a aplicação direta de algoritmos aprendidos: (b) Problemas–processo ou heurísticos que envolvem operações que não estão contidas no enunciado; (c) Problemas de aplicação ou situações-problema que retratam situações cotidianas e (d) Problemas de quebra-cabeça que fazem parte da matemática recreativa. Portanto, a resolução de problemas é uma maneira privilegiada de estabelecer ligação entre a matemática e a vida, a abstração e o dia-a-dia. Buscando desenvolver pessoas conscientes e preparadas para um mundo real, com capacidades de abstração, de estímulos, de interpretação e compreensão de temas da realidade. Mais do que utilizar situações concretas, o importante é procurar situações problemas a resolver, procedimentos utilizados e concepções subjacentes a tais procedimentos. Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental ao colocar o foco na resolução de problemas, defendem uma proposta baseada nos seguintes princípios: o ponto de partida não é a definição, mas o problema. Assim,

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no processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante exploração de problemas; o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula, ou um processo operatório (PCN-EF, 1997). Assim, as Diretrizes Curriculares para o Estado do Paraná (2006), complementam os pensamentos explorados acima neste artigo e, destacam a necessidade de um ensino de matemática voltado à formação plena do aluno, gerado por um ambiente de construção de conhecimentos. É preciso, ainda, considerar que pela Educação Matemática almeja-se um ensino que possibilite aos estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e formulação de idéias. Aprende-se Matemática não somente por sua beleza ou pela consistência de suas teorias, mas, para que, a partir dela, o homem amplie seu conhecimento e, por conseguinte, contribua para o desenvolvimento da sociedade (DIRETRIZES CURRICULARES DE MATEMÁTICA PARA A EDUCAÇÃO BÁSICA, 2006, P. 25).

Nesta questão da formação plena do aluno, encontra-se o ensino da matemática, que possa contribuir não só no seu desenvolvimento, mas que o leve a contribuir no desenvolvimento da própria sociedade, refletindo-se sobre esta. Neste contexto, compreende-se que a resolução de problemas é uma forma privilegiada de estabelecer ligação entre a matemática e a vida. Muitos estudos e pesquisas vêm sendo desenvolvidos sob essa linha de pensamento, o que só vem a contribuir nas práticas metodológicas e em conseqüência no ensino-aprendizagem dos educandos. De acordo com Dante (2005): Aprender a resolver problemas matemáticos deve ser o maior objetivo da instrução matemática. Certamente outros objetivos da Matemática devem ser procurados, mesmo para atingir o objetivo da competência em resolução de problemas. Desenvolver conceitos matemáticos, princípios e algoritmos através de um conhecimento significativo e habilidoso é importante. Mas o significado principal de aprender tais conteúdos matemáticos é ser capaz de usá-los na construção das soluções problema (DANTE, 2005, p. 8).

Observa-se esse panorama geral da Resolução de Problemas, onde essa proposta no ensino da disciplina de matemática, se bem elaborada e trabalhada, pode facilitar a articulação do conhecimento específico de seu campo com outras áreas do conhecimento, uma vez que estimula a pesquisa como uma de suas

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prioridades. Abrange também a leitura e interpretação de textos o que deve favorecer maior capacidade de argumentação entre outras contribuições para o processo de ensino e aprendizagem dos educandos.

II A IMPORTÂNCIA DE UMA PRÁTICA PEDAGÓGICA

Uma

das

principais

reflexões

que

norteiam

a

educação

na

contemporaneidade, diz respeito às práticas de ensino dos professores, não só de matemática, mas de todas as disciplinas, pois são muitos os desafios para levar o aluno a aprender e ficar atento nas aulas. Perguntas podem levar a reflexão das práticas pedagógicas, como por exemplo: O professor está conseguindo provocar mudanças no saber dos seus alunos e fazendo com que aquilo que é visto na escola faça parte do seu dia-a-dia? Pois se é objetivo do ensino de matemática, uma aprendizagem é através do método que isso poderá ser alcançado e desenvolvido. Assim, o método de ensino é considerado o conjunto de procedimentos lógicos e estruturados dos quais o professor se vale para orientar a aprendizagem do educando, para que elabore o seu conhecimento. Método significa caminho para chegar a algo, uma ação encaminhada para um fim determinado, meio mais eficaz de atingir um objetivo determinado (LIBÂNEO, 1994). Neste sentido, para que a educação tome outro rumo, é necessário que todos os seus agentes sejam levados em consideração. Assim, o professor tem um papel muito importante no processo de ensino aprendizagem. Por isso, se faz necessário que ele participe integralmente do processo de mudança, de aceitação dos novos paradigmas, pois, “uma sociedade só chegará ao desenvolvimento, se der ao professor o seu lugar e se o professor exigir esse lugar pela sua competência, seriedade e capacidade de atualização” (WERNECK, 2002, p. 14). A respeito da responsabilidade do professor como agente de transformação, Starepravo (1997, p. 7) afirma que “conhecimento só é gerado com inovação, criatividade e ousadia. Se tivermos clareza de nossos objetivos enquanto professores transformar a nossa prática e ultrapassar os limites da informação”.

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Dessa forma, compreende-se a importância do papel do professor comprometido com a sua prática de ensino, o qual vem vivendo em um tempo de crises e desafios. O educador passa de um simples transmissor de informações a orientador, ajudando o aluno a construir e transformar o conhecimento. E para isso, é necessário ultrapassar os próprios limites, ir além da mera transmissão e transformar a prática pedagógica. Tem-se também, uma necessidade da presença cautelosa e competente do professor, pois segundo Vasconcellos (1998): Dentro de uma perspectiva democrática de sociedade, vemos a absoluta necessidade do professor. Entendemos a escola como espaço de humanização, onde pode ser exercido o direito universal de acesso à cultura. Não basta o sujeito ter contato com a informação, é preciso ser ajudado no conhecimento da realidade social contraditória em que vive, buscando

alternativas

de

superação.

Esta

função

crítica

se

dá

fundamentalmente na relação com o outro; neste sentido, não existe conhecimento crítico “em si”, o que vai dar a criticidade ou não são as relações que o sujeito vai estabelecer, a partir da provocação do outro (e do meio). Daí o papel mediador do professor entre o educando, o objetivo de conhecimento e a realidade (VASCONCELLOS, 1998, p. 38).

É fundamental que os alunos tenham autonomia, que possam “fazer” suas atividades e que errem, contanto que esses erros não sejam vistos como pecado, mas como oportunidade de aprendizagem. Apenas dizer que está errado, não leva a nada, é interessante que o professor questione como o aluno chegou àquele resultado. Isso o fará refletir, rever seus cálculos, sua linha de raciocínio. Essa visão repercute para o erro epistemológico na aprendizagem, mais especificamente para a teoria de obstáculos. Refletindo sobre essa teoria, tem-se Louro (2007, p. 2): ... o erro tem papel fundamental na aprendizagem, principalmente na concepção construtivista, onde o direito ao erro é dado aos alunos e, progressivamente,

devem-se

buscar

situações

em

que

os

erros,

necessários a aprendizagem revelem um saber em constituição. E, a noção de obstáculo, neste caso é muito importante para, porque trata de um saber em

constituição

pelo

aluno

e

que

necessariamente

passa

por

conhecimentos provisórios. Essa importância de noção de obstáculo, se

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justifica de uma lado, porque a aprendizagem por adaptação que permite dar sentido aos conceitos, em geral pode produzir simultaneamente concepções inadequadas e conhecimentos locais que devem ser rejeitados ou transformados por um trabalho cognitivo eficiente; por um lado porque esses obstáculos necessitam de construção de situações adequadas.

De acordo com Tanus (2007):

São muitas as maneiras de tratar o erro no sentido de motivar as crianças e tornar mais prazeroso o aprender Matemática. Neste caso, falo do erro considerado “construtivo”, como apenas um passo na construção do conhecimento. Os erros poderiam ser mais valorizados e aceitáveis, se considerássemos que dependendo da prontidão do aluno, teremos respostas mais ou menos coerentes. Esse tipo de erro poderá ser superado com a construção de novas estruturas pela criança. É preciso, ainda, tornar o erro “observável” ao aluno, onde, ele poderá ser compartilhado professor-aluno ou com o grupo de alunos. Assim, conhecendo o processo e não apenas o produto, o erro poderá ser considerado como caminho para o acerto e potencializador de estratégias didáticas (TANUS, 2007, p.1).

Assim, deixando-se o aluno livre para fazer e errar, somando-se ao uso de metodologias e recursos didáticos atrativos, tem-se uma integração importante no processo de ensino e aprendizagem, qual pode ser encontrada em “situações que levam ao exercício de análise e reflexão” (PCN – EF, 1997, p. 15). Para isso, os alunos precisam ter uma estrutura lógico-matemática de número que lhes permita operar com eles; usar diferentes técnicas operatórias; trabalhar com hipóteses; criar caminhos para a solução de problemas; fazer cálculos mentais e estimativas; explorando os componentes do seu meio físico; saber desenvolver trabalhos em equipe com cooperação, conhecer linguagens matemáticas variadas, como: gráficos, tabelas entre outras. (STAREPRAVO, 1997). Assim, Starepravaro (1997) declara: Temos de repensar sobre a nossa função em sala, nossa concepção de “mestre” esteve equivocada durante muito tempo: mestre não é aquele que controla uma situação por meio de veredictos do tipo certo ou errado, não é

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aquele que precisa estar cobrando para que as coisas aconteçam, impondo regras por meio de punições e recompensas. Mestre é aquele que desperta em seus alunos o interesse pelo saber, aquele que o desafia ao crescimento, que os deixa caminhar por si só e que não faz por eles aquilo que eles mesmos podem e devem fazer (STAREPRAVO, 1997, p. 37).

Diante dessa concepção de mestre, identifica-se muito com a realidade de muitas salas de aula, onde os alunos querem que o professor diga como se faz o exercício, querem respostas prontas, sem pensar, sem tentar resolver. Por exemplo, o professor solicita que resolvam uma situação problema e eles, mais que depressa perguntam: é de mais? É de menos? De vezes? Ou de dividir? Esse “hábito” que muitos alunos têm os impede de ter autonomia, pois o interessante da situação problema é ler, interpretar e então resolver através de uma operação matemática. Como educadores por opção, estes devem procurar os meios de reverter tais situações, pois: “A intervenção do educador tem como objetivo maior aprimorar práticas e reflexões, e instrumentos de crítica. Esse aprimoramento se dá não como imposição, mas como uma opção” (D’AMBROSIO, 2001, p. 81). O papel do professor, dentro destas perspectivas, é o de repensar o trabalho de docente, recorrendo às metodologias que envolvam a participação do aluno e promovam seu compromisso no processo, ultrapassando a barreira de mero expectador. O Currículo Básico para a Escola Pública do Estado do Paraná (1992, p. 65) traz reflexões para levar o professor a criar outra concepção de ensino da matemática, buscando assim, reformular a educação matemática na rede pública estadual, afirmando que: “a Matemática, como parte de um conjunto de conhecimentos científicos, é um bem cultural construído nas relações do homem com o mundo em que vive e no interior das relações sociais”. Portanto, para ensinar matemática leva-se em conta a escola, seu ambiente, o aluno, a sociedade onde vive, enfim o seu contexto, considerando-se que o desenvolvimento histórico da matemática, traz o aluno para a realidade, fazendo com que tenha uma visão reflexiva e crítica do seu uso no cotidiano vivenciado. Para um ambiente voltado para a resolução de problemas como um processo dinâmico, centralizado em pesquisas, na qualidade das atividades propostas e não na quantidade. Parecem conclamar assim, mudanças relacionadas com o desempenho do professor, cabendo-lhe o papel do mediador que observa, questiona e estabelece estratégias para auxiliar o aluno, evitando centralizar o conhecimento em suas mãos.

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Na condução do ambiente propício o professor deve envolver o aluno, levando em conta as diferenças individuais que compõe tal clientela, para proporcionar o tempo necessário de aprendizagem de cada um e seu crescimento dentro do grupo. Barbosa (1992) assim se refere à questão: Ora, é preciso que o educador consiga relacionar-se com seus educandos assim como eles são de verdade, e não como ele gostaria que fossem. E não conseguiremos compreender nem a psicologia da criança e nem a do adulto, enquanto a considerarmos apenas como assunto subjetivo do indivíduo, pois o importante é seu caráter de relacionamento com os outros (BARBOSA, 1992, p. 20).

Observa-se de acordo com Barbosa (1992), o relacionamento entre educador e educando, centrando-se na totalidade dessa relação. Assim, no processo ensino e aprendizagem o professor é a pessoa que pode determinar se seus alunos irão atingir os objetivos pedagógicos ou não. A capacidade de perceber de cada indivíduo é diferente, notando-se que existem grupos de pessoas com característica semelhantes cujos canais de percepção são idênticos. Por isso, conhecendo bem os seus alunos, o professor poderá determinar qual o método ou conjunto de métodos e recursos metodológicos que poderão ser aplicados no processo de ensino e aprendizagem. A prática pedagógica na resolução de problemas abrange o conhecimento do aluno e sua realidade já que pressupõe sua participação de forma mais dinâmica. Assim, pode-se buscar as orientações de Medeiros (1985, p.27): “O professor não vê, não dispõe dessa vivência, dessa realidade vivida pelo aluno. Ele pode dispor é do discurso do aluno sobre as coisas. É através da sala de aula e da ação deste, no fazer a matemática, que ele evidencia o seu mundo. E esse mundo só pode ser compreendido em uma situação de intersubjetividade”. A observação do professor deve ser constante para que possa fazer as intervenções necessárias, diagnósticos e a avaliação. Não se pode esquecer que o diálogo deve predominar e que, o esforço de uma criança para compreender, pde representar uma dificuldade. Neste sentido, o ensino-aprendizagem de matemática com resolução de problemas parece significativo para a educação desde que se estabeleçam mudanças nas posturas pedagógicas. Assim, certamente as ações desenvolvidas para esse processo poderão significar maior compreensão, domínio e aplicação de conceitos na aprendizagem de matemática. Bicudo (2004, p.230) sugere o ensino de

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matemática através de resolução de problema, concluindo: “Acreditamos que esta metodologia de ensino possa contribuir sobremaneira para uma aprendizagem mais efetiva e significativa desta disciplina”. De acordo com Schoenfeld (1997), o professor deve fazer uso de práticas metodológicas para a resolução de problemas, as quais tornam as aulas mais dinâmicas e não restringem o ensino de Matemática a modelos clássicos, como exposição oral e resolução de exercícios. Ainda, na visão do autor, a resolução de problemas possibilita compreender os argumentos matemáticos e ajuda a vê-los como um conhecimento passível de ser apreendido pelos sujeitos do processo de ensino e aprendizagem. Vista dessa maneira, a matemática passa a ser mediada por metodologias alternativas, através das quais o ser em formação, o aluno, vivencia novos processos educacionais, que tenham sentido em relação com sua integração na sociedade e no próprio mercado de trabalho. Isso fará com que, no processo de ensino e aprendizagem, os alunos sejam motivados a criar estratégias para comprovar hipóteses e argumentar sobre os resultados, a serem criativos e críticos, desenvolvendo potencialidades, interagindo e trabalhando em equipe a fim de que tenham facilidade de expressar-se na sociedade, que está cada vez mais competitiva. Perante isso, compreende-se que as práticas pedagógicas são muito importantes e refletidas na atualidade, sob a ótica da resolução de problemas, levam a uma reflexão maior sobre a disciplina de matemática, atendo-se no aluno e no seu processo de formação e desenvolvimento.

III OS REFLEXOS DE UM PLANO DE TRABALHO IMPLANTADO E CENTRADO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

No Plano de Trabalho foram levadas em consideração as fundamentações teóricas, as orientações juntamente às reflexões proporcionadas pelos grupos de estudo e as muitas recomendações de professores e pesquisadores, como Polya (1949, p.1), quem coloca a sua opinião de que: “... a primeira obrigação de um professor de matemática é usar essa grande oportunidade; ele deveria fazer o

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máximo possível para desenvolver a habilidade de resolver problemas em seus alunos“. A primeira estratégia pra a implementação do plano de trabalho foi pensar na organização, uma vez que para esta, teve-se o cuidado com o desenvolvimento e a constituição dos grupos de trabalhos, considerando-os como essenciais para obtenção dos resultados. Assim, os grupos foram organizados com quatro alunos, sendo que em cada grupo um dos alunos foi nomeado “responsável” de grupo, a quem coube algumas tarefas que agilizassem os trabalhos, como por exemplo: organizar trabalhos para entrega, observar se todos os colegas compreenderam o objeto de estudo, expor ao professor as dificuldades do grupo, participar da plenária, etc. cabe salientar que o responsável do grupo não foi o mesmo no decorrer da implementação da proposta. Neste sentido, a organização básica da aula se deu da seguinte maneira: inicialmente eram lançadas as questões pelo professor, quem acompanhava as explorações dos alunos, observando, mediando e intervindo sempre que necessário nas hipóteses e busca de soluções. Após a resolução dos grupos, eram anotados todos os resultados corretos ou não se formando a plenária, onde cada expunha sua resolução. Passando-se assim, para a análise dos resultados e, quando necessário, eram trabalhados os pontos de dificuldades encontrados pelos alunos. Buscava-se então um consenso sobre os resultados almejados. A partir deste momento apresentavam-se

as

definições,

identificando

as

propriedades

fazendo

demonstrações. Nesta

última

desenvolvimento,

discussão,

já

seguindo-se

o

se

seguia

método

adotando heurístico.

a

estratégia

Juntamente

do ao

desenvolvimento, foram trabalhados os recursos, que de acordo com o plano de trabalho, referem-se aos tipos ou modalidades de problemas propostos. Dentro disso, estão os problemas-padrão (que envolve a aplicação direta de algoritmos aprendidos) e os problemas-processo ou heurísticos (com operações não contidas no enunciado, proporcionando mais liberdade para explorações e uso de criatividade). Com relação a estes últimos estão os diagnosticados como de lógica, por exemplo: Mário ganhou quatro selos para sua coleção, mas está confuso sobre a origem de cada. Observando as dicas a seguir, classifique. As dicas, no caso, seriam: (1) O selo com a figura de um trem é vermelho. (2) O selo alemão tem a

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figura de um corredor. (3) O selo cuja figura é uma flor não é francês. (4) O selo da Suíça não é vermelho. (5) O selo que tem a figura de um avião não é amarelo. (6) O selo dos Estados Unidos é azul. (7) O selo com a figura de uma flor é verde. Situações apresentadas desta forma levarão o aluno a organizar as pistas em uma tabela para solucioná-las, desde que sejam orientados adequadamente. Entram ainda nas estratégias dos recursos, os problemas-de-aplicação ou situações-problema: que retratam situações cotidianas e cuja resolução depende do uso de matemática. Conceitos, técnicas, operações, pesquisas de dados e outros recursos matemáticos podem traduzir algum projeto do interesse da escola ou da comunidade escolar. Aumentando as dificuldades, portanto gradativamente para os alunos. Também os problemas de quebra-cabeça, (que fazem parte da matemática recreativa e são desafiadores por se tratarem de jogos de estratégia e quebracabeças matemáticos). Assim, especificamente seguindo tal linha de raciocínio, tem-se que no primeiro é necessário encontrar uma estratégia que conduza à vitória e, um exemplo bem conhecido, é o jogo-da-velha. No segundo jogo, deve-se encontrar um mínimo de passos para alcançar a solução. Para este último, servem exemplos como: “De que forma podemos retirar de um rio exatamente 6 litros de água, se para medir a água, dispomos apenas de dois recipientes, um com 4 e outro com 9 litros de capacidade?” Portanto, a aquisição de habilidades estabelecidas nas conexões com as outras formas de problemas. Gallagher (2005, p. 245) opina que “Os problemas do mundo real devem ser cuidadosamente integrados aos problemas de matemática recreativa” e que “... a matemática recreativa proporciona meios muito eficazes para envolver os alunos em resolução de problemas”. Cabe destacar que foram utilizados também outros materiais de apoio como, por exemplo, a calculadora. Outra das estratégias do plano de trabalho, diz respeito às orientações para os trabalhos, complementando assim as estratégias discutidas anteriormente. Assim para as orientações optou-se por quatro etapas de Polya apresentadas por Dante (2005, p. 29) como um instrumento a auxiliar às argüições dirigidas aos alunos, assim, pode ser visto como um esquema sucinto, norteador dos caminhos para a resolução de problemas deixando-se de lado as imposições e a rigidez, abrindo espaço para reflexão e busca do aluno.

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É importante salientar também, que este material, não fazia parte do material do aluno na resolução de problemas, mas delineava os possíveis encaminhamentos do professor, auxiliando nas atividades propostas. Assim, conforme citado anteriormente, seguiu-se o método heurístico, composto pelas seguintes etapas: compreensão, elaboração de um plano, execução do plano e a verificação dos resultados, abaixo especificados. A importância destas etapas pode ser observada no ponto de vista de Schoenfeld (2005, p.13), “heurística pode ser usada para indicar uma sugestão ou estratégia geral, que auxilie os resolvedores de problemas a abordar e entender um problema e a dirigir eficientemente seus recursos para solucioná-lo”. Especificando-se para a compreensão do problema são fundamentais os seguintes pontos: a) O que se pede no problema?; b) Quais são os dados e as condições do problema?; c) É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama?; d) É possível estimar a resposta? Quanto a elaboração do plano considerou-se: a) Qual é o seu plano para resolver ?; b) Que estratégia você tentará desenvolver ?; c) Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a resolver este?; d) Tente organizar os dados em tabelas e gráficos; e) Tente resolver o problema por partes. Na seqüência, para a execução deste plano, pensava-se e considerava o seguinte: a) Examine se a solução obtida está correta; b) Existe outra maneira de resolver o problema?; c) É possível usar o método empregado para resolver problemas semelhantes? Por fim, a última estratégia, qual não poderia ficar de fora de um plano de trabalho e proposta de atividades interventivas com alunos, a avaliação. Esta ocorreu processual, observando desempenhos e ganhos de habilidades na resolução de problemas dentro dos objetivos propostos. Quais aconteceram gradativamente, através do acompanhamento e das retomadas dentro de cada atividade registrada em planilha. Adotando também os registros das situações individuais dos componentes do grupo, dentro do processo, já que abrangiam objetivos amplos. Portanto, a resolução de situações problemas foi trabalhada e adotada, não como um objetivo próprio mas como facilitador para atingir outros objetivos, bem como uma habilidade, pois a intenção era que os alunos aprendessem a resolver

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problemas, depois que lhes fossem fornecidos os caminhos e ferramentas para que desempenhassem eficazmente suas atividades. A proposta de Polya é eficiente, mas não infalível. Segundo o esquema deste, são quatro as etapas principais para a Resolução de um Problema: −

Compreender o problema, perceber claramente o que é necessário;

−

Elaborar um plano, ver como os diversos itens estão inter-relacionados;

−

Executar o plano;

−

Fazer o retrospecto da resolução completa, revendo-a e discutindo-a (POLYA, 2006). Já o de Schoenfeld (2005) propõe a compreensão e o ensino da matemática

como um domínio de resolução de problemas. Para ele quatro categorias de conhecimento ou habilidades são necessárias para alguém ser bom solucionador de problemas na matemática: 1. Recursos: conhecimento de procedimentos e questões da matemática. 2. Heurísticas: estratégias e técnicas para resolução de problemas, tais como trabalhar o que foi ensinado, ou desenhar figuras. 3. Controle: decisões sobre quando e quais recursos usar. 4. Convicções: uma visão matemática do mundo, que determina como alguém aborda um problema (SHOENFELD, 2005, p. 15).

Compreende-se que enquanto Polya apresenta uma heurística para a resolução de problemas Schoenfeld apresenta um quadro amplo dos fatores que influenciam nesta resolução. Assim, pode-se ver que os dois trabalhos são complementares. O que contribui muito para o professor que realmente se interessa em desenvolver um processo de ensino e aprendizagem na matemática. Um professor que procede dessa maneira exerce o objetivo primordial da educação, pois consegue provocar mudanças no saber dos seus alunos, fazendo com que aquilo que é visto na escola faça parte do seu dia-a-dia. Com objeto de estudo proposto comprovou-se uma maneira de motivar os alunos fazendo com que eles sintam prazer em resolver as atividades propostas, pois participaram de forma mais ativa na organização e resolução de problemas. O aluno dessa forma, encontrou dificuldades e desafios com a resolução de problemas, então ainda mais importante pois, foi fundamental fazer com que o aluno desenvolvesse atitudes positivas em relação a disciplina para que realmente houvesse aprendizagem, assim, as aulas tornaram-se mais dinâmicas.

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Enfim, a resolução de problema é um caminho que envolve muito os alunos e também faz este gostar de matemática por ser uma aula mais prazerosa.

IV OS RESULTADOS: PALAVRAS FINAIS

A matemática está presente em na vida das pessoas, independentemente da vontade delas, se gostam ou não de números ou cálculos. Crianças, desde muito pequenas utilizam conhecimentos matemáticos, no entanto, quando chegam à idade de freqüentar a escola se deparam com a disciplina de matemática e não conseguem relacionar o ensino com a sua vivencia prática, pois, nas maiorias das escolas os conteúdos são passados de forma fragmentada, valorizando-se apenas a memorização e a repetição, criando aí aversão tão grande pela matemática. Diante disso, a matemática deve ter um caráter preponderante na aprendizagem para auxiliar outros campos de conhecimento e para levar o aluno a saber pensar, questionar, argumentar, propor, vivenciar atividades que sejam reais, onde o conhecimento matemático seja significativo. Enfim, a grande finalidade da matemática escolar é desenvolver nos estudantes capacidades para usá-la eficazmente na sua vida diária, assim, a resolução de problema é um caminho que oferece tal oportunidade única, de mostrar a relevância da matemática no cotidiano dos estudantes. Os problemas fizeram sempre parte da aula de matemática, mas a ênfase e o modo de abordagem no contexto escolar promovem a aquisição de habilidades para desenvolver algoritmos, colocando o aluno em atitude ativa de aprendizagem, quer dando-lhe a possibilidade de construir noções como resposta às interrogações levantadas. Conforme já foi explanado, nas propostas do plano de trabalho ateve-se aos efeitos de métodos heurísticos de ensino e de heurísticas no rendimento dos alunos, o que é importante se destacar, pois as investigações que antes se preocupavam com resultados finais agora dão maior atenção aos processos utilizados pelos alunos quando estão envolvidos na resolução de problemas.

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Os principais resultados das investigações foram que o ensino centrado nesse método heurístico, ajudam a melhorar o desempenho dos alunos na resolução de problemas, uma vez que, os conhecimentos matemáticos parecem determinar o sucesso na hora da resolução. Dessa forma, resolver problemas num ambiente propício ajuda a melhorar o desempenho do aluno, principalmente com algumas estratégias, quais são mais utilizadas que outras, e alguns alunos não conseguem utilizar as estratégias em outro contexto. Percebe-se, portanto, que o educando, consegue fixar melhor o conteúdo se a ele for dada uma aplicabilidade, pois ensinar estratégias por ensinar, só levará o aluno a uma mera memorização. Outro resultado percebido está no desempenho dos alunos que embora possuam certo conhecimento matemático, não sabem de início como utilizá-lo e não percebem qual é a pergunta do problema. Exigindo maior mediação e encaminhamento do professor na sua ação pedagógica, trabalhando o grau de dificuldade gradativamente, fazendo sempre o aluno ver e refletir sobre a atividade proposta. Nota-se que ensinar seguindo-se estratégias de resolução de problemas, melhora o desempenho dos alunos, onde estes participam ativamente de todo processo, aproveitando as oportunidades para resolver uma grande variedade de problemas propostos, por isso os problemas foram selecionados e diversificados, conforme especificado anteriormente na discussão sobre o plano de trabalho, assim dava-se margem a utilização de diversos métodos de resolução. Dentro disso, os resultados obtidos podem ser destacados a seguir: a) autonomia do aluno; b) reflexão sobre a resolução; c) identificação da atividade proposta com a sua realidade/cotidiano; d) compreensão de conceitos matemáticos, como por exemplo, de algoritmo; e) maior capacidade de interpretação e argumentação; f) conscientização de diferentes métodos de resolução de problemas; g) o raciocínio dedutivo, entre outros. Quanto às sugestões, a seguir têm-se contributos para que sejam planejadas e implantadas ações, no intuito de melhorar a qualidade de ensino e aprendizagem da matemática. - Incentivo a utilização de materiais manipulativos, principalmente nas séries iniciais do Ensino Fundamental.

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- Reflexão sobre a ação docente que favoreça a construção do conhecimento. - Atividades práticas sobre as novas tecnologias e a história de matemática como recurso didático adequado às inovações metodológicas. - Utilização de jogos para desenvolver o entusiasmo, criatividade, gosto pela matemática, socialização, resolução de situações de conflito, como atividade de rotina e não apenas quando for possível. Além dessas sugestões, outras pesquisas com temáticas voltadas a outros recursos metodológicos que favoreçam o ensino e aprendizagem da matemática, desde a Educação Infantil até o Ensino Médio também podem contribuir para melhoria do ensino no Brasil.

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