Diseño del material para la prueba para mejorar el nivel de enseñanza aprendizaje del álgebra, de los estudiantes de Ciencias sociales Primera parte
Alfredo de la Lama García Marco A. de la Lama Zubirán
1
INTRODUCCIÓN. Este
primer
reporte
de
investigación
del
proyecto
“Diseño de investigación para mejorar el nivel de enseñanza aprendizaje sociales”,
del
álgebra,
entrega
la
de
los
primera
estudiantes
parte
del
de
Ciencias
material
que
los
alumnos deberán utilizar en el curso de matemáticas en las licenciaturas de ciencias sociales de la UAM. A diferencia de otros métodos algebraicos, este material aborda el tema desde una perspectiva que permite visualizar los problemas algebraicos como si se tratara de un prisma que descompone
un
rayo
de
luz
blanco
en
sus
componentes
primarios. Empieza a desmontar en sus partes más simples el elemento más fundamental del álgebra, el llamado “término algebraico” o también monomio. Este
sistema
Inicialmente
tiene
trata
otros
los
elementos
elementos
simplificadores.
internos
del
término
algebraico con palabras que son comunes al habla cotidiana y poco
a
poco
situaciones llamados
algebraicas.
como
numéricos”
establece
como
tales se
y
sus Por
no
especificidades ejemplo,
los
“coeficientes”
acostumbra.
En
el
caso
o
para
las
números
son
“coeficientes de
las
letras
2
sucede lo mismo, hasta que marginalmente el lector se entera que también se les conoce como literales. La razón de ello es que hemos notado que la familiaridad de
los
términos
facilita
la
comprensión
de
un
nuevo
significado, más preciso. Un segundo elemento que facilita la compresión de esta materia consiste inicialmente en no mezclar los componentes del
monomio,
elemento
como
común
problemas”,
de
que
se
son
signos,
todos
ellos
materializa
números es en
el
y
letras.
Así
“planteamiento
nuestro
caso
el del
en
una
operación (multiplicar, dividir etc.). La separación de cada elemento significativo del término (signo, número y letra) permite observar la transformación que cada operación produce en ellos de manera independiente. De esta manera el aprendiz observa y aprende a diferenciar el resultado de la operación en cada elemento del término. Al
realizar
esta
anatomía
del
término
algebraico
el
alumno dejará de confundir y omitir alguna parte de él cuando se ejecuta una operación algebraica. Otra ventaja adicional del sistema consiste en que se aprenderá a practicar el análisis, es decir, a desarrollar la capacidad
de
descomponer
un
problema,
en
este
caso 3
algebraico, solución.
De
desarrollo enfrentar
en
sus
esta
de
elementos manera
la
el
capacidad
cualquier
clase
de
básicos curso
para
apoya
analítica
encontrar
su
directamente
el
del
problema,
lo
alumno que
de
para manera
indirecta apoya a otras materias cuya necesidad de análisis es menos clara, pero no menos necesaria. Otro punto importante de este experimento de aprendizaje es que en este primer capítulo sólo hemos incluido en las operaciones a la multiplicación, la división, la potenciación y la raíz. En consecuencia no se aborda la suma y la resta. La omisión se debe a dos razones, producto de nuestra experiencia
como
operaciones
son
algebraico operaciones
profesores. muy
raras
(monomios) más
y
difíciles
en
La
primera,
el
desarrollo
segundo de
porque
aplicar
porque del
estas término
representan
por
parte
de
las los
alumnos, según pruebas hechas con anterioridad. En la parte última del capítulo, el estudioso encontrará problemas que involucran a todos los elementos de un término algebraico (signos, números y letras) y varias operaciones. Lo que le permite autoevaluar la compresión de lo estudiado. Este capítulo acaba en dos anexos, el primero es un cuadro
resumen,
que
sintetiza
los
cambios
que
sufren
los
4
signos, los números y las letras frente a las operaciones clásicas a que puede ser sometido el “término algebraico”. Apoyo didáctico que no hemos observado en otros libros. El
otro
anexo
permiten
la
lectura
utilizan
términos
utilizan
y
incluye de
que
además
algunas
otros son
ideas
secundarias
libros
de
álgebra
sinónimos
de
los
algunos
aspectos
que
técnicos
que
donde
se
aquí
se
para
la
clasificación de los términos algebraicos.
5
CAPITULO 1. CARÁCTERSITICAS Y OPERACIÓN DE UN TERMINO ALGEBRAICO
El álgebra puede definirse como un lenguaje analítico (vacío) que estudia y manipula bajo reglas lógicas la cantidad. El término “Vacío” significa que las manipulaciones que se hagan con el álgebra no afectan los fenómenos o procesos implicados en él. El álgebra tiene una sola herramienta conceptual para tal análisis y manipulación de la cantidad. A esta unidad básica se le conoce como . Entonces para poder entender, utilizar y manipular al álgebra es necesario conocer a fondo la estructura y el comportamiento de los términos algebraicos. TÉRMINO ALGEBRAICO. El término algebraico es un conjunto formado por TRES elementos: a) Números b) letras c) Signos. De acuerdo con la hipótesis de que el aprendizaje se facilita si se va de los conceptos ya conocidos a los desconocidos y de lo simple a lo complejo empezaremos el estudio del término algebraico con el estudio del número porque en álgebra sus operaciones son parecidas a las de aritmética. 6
Los números en los términos algebraicos. Los números representan una cantidad cualquiera y tiene la característica de ser constante a lo largo de cualquier operación algebraica. El número puede aparecer en un término algebraico de dos maneras: Sólo, cuando el término algebraico se compone únicamente de dicha cantidad ej. 1, 14, 321, entre cualquier otro. Acompañado de letras, que generalmente van a la derecha del número: 1X, 2b, 56ac, 97y, 3g/v, u otro cualquiera. Advertencia: Por acuerdo entre matemáticos, el número de todo término algebraico se da por expresado si su valor es uno (1), excepto si aparece sólo, ejemplos: 1b = b, a1= a,
1c= c, 1g1c1= gc ,
1d = d, 1a1b3 = ab3.
abc = 1abc. 21=2 ,
341= 34 ,
61=6.
nota: los números también aparecen en el álgebra asociados a las letras o números en forma de un índice o exponente, situados a la derecha y arriba de la letra o de otro número, ejemplo, a3, 435
Operaciones algebraicas de números. Los números se comportan en álgebra igual que en aritmética, según se trate de la operación que se solicita realizar, de acuerdo al siguiente cuadro
7
Operación
Los números se:
Multiplicar
Multiplican
Dividir
Dividen
Potenciar
Potencian
Sacar raíz
Sacan raíz
Multiplicación de un número dentro de un término algebraico En el caso de la multiplicación de números en álgebra, es normal que aparezcan los números separados por un paréntesis, ejemplo: (3) (4) ;
(2) (5) (3) .
También es normal que aparezcan solos o acompañadas por letras. Ejemplo: (3)(5),
(3b) (4c),
(2r) (5y) (3t).
Operación de la multiplicación de números: Todo término algebraico que indique una multiplicación de dos o más números, deben multiplicarse (2)(4)= 8; 3(5) =15; (45)9 = 405 Cuando el número aparece acompañado por una o más letras, la operación no cambia. Los números se multiplican entre si, ejemplo: (5cg) (4) => 20,
(6df) (4s) => 24,
(6y) (5y) => 30,
x (5y) => 5 (recuérdese que el uno (1) no se escribe)
8
División de un número dentro de un término algebraico. Las divisiones de números en álgebra se expresan únicamente a través de fracciones. Los números en las divisiones pueden aparecer solos, ejemplo: ½,
5/8,
3/7
O acompañando letras, 3s/d , e/5r , 3t/6u , 6/u , 6/1 , y/7 Operación de la división en números: Cuando aparece una fracción es porque se indica una división. En dicha fracción aparece un número en el numerador (arriba) y otro en el denominador (abajo), la operación consiste en encontrar el valor –MCD– máximo común divisor y dividir ambos (numerador / denominador) para encontrar la fracción más simple, sin importar si aparecen letras asociadas al término. nota: El –MCD– se puede encontrar de tres formas: 1.- multiplicar todos los números primos que pueden dividir a ambos valores simultaneamente; 2.- se multipican ambos valores entre sí y se divide el resultado entre el –mcm– minimo comun múltiplo de ambos; 3.- El método de Euclides, se divide el mayor entre el menor, obteniendo valores enteros y residuo. El valor menor ahora se divide entre el residuo y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero. El reciduo anterior al cero sera el MCD. Advertencia: En álgebra las operaciones deben expresarse en números enteros o en fracciones, nunca en decimales, ejemplos: [sí ½ , no 0.5]; [sí ¾, no 0.75] , [sí 25/7, no 3.57] etc.. Ejemplos: 2/4= ½; 34/56=17/28; 32/8= 4, 45/9 = 5 30s/10d = 3 , e/5r = 1/5, 3t/6u = 1/2,
= , y/7 = 1/7
9
Potenciación de un número dentro de un término algebraico. Un número elevado a una potencia se anuncia cuando al lado derecho del número aparece un exponente, ejemplo: 23, 52, 4ª. Los índices o exponentes como se observa pueden ser números y/o letras. Cuando un número y una letra están juntos, ejemplo: 3b, la potenciación se anuncia cuando a dicho término se haya envuelto en un paréntesis “(3b)” y aparece un exponente al lado derecho del paréntesis. Ejemplo (3b)2,
(5f)3,
(2xz)5
Operación de un número en una potencia. Un número con un exponente indica que el número deberá multiplicarse por sí mismo las veces que indica el exponente. Sin importar si aparecen letras asociadas a los números. Ejemplos: 43 = 4 x 4 x 4 = 64;
352 = 35 x 35 = 1,225; (1/2)4=1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/16
(5a)2= 5a x 5a => 25;
(3fg)3= 3fg x 3fg x 3fg => 27
Raíz de números en un término algebraico. Una radicación de un número en un término algebraico se anuncia cuando un número aparece dentro de un radical o raíz, ejemplo: 3
2
√3 ,
4
√45 ,
√9/(23)2 .
Un número también puede aparecer acompañado de letras de la siguiente manera: 3
√3c ,
√4fs ,
4
√9dg .
10
Operación de un número en una raíz Todo término algebraico que contenga un número e indique una raíz se le sacará raíz de acuerdo al índice de la raíz. Ejemplos: 2
5
3
3
√49 =7,
√32= 2;
porque 7x7=49,
porque 2x2x2x2x2= 32
√8/27= 2/9;
porque 2x2x2/(3x3x3) = 8/27;
√8/125= 2/5;
porque 2x2x2/(5x5x5)=8/125
nota: Es común que en una radicación aparezca un término algebraico donde se impliquen varias operaciones (multiplicación, división o potenciación). En esos casos para facilitar la operación primero debe hacerse la operación interna, antes de proceder a la radicación, ejemplos: 3
√(4) (2) = 3√8 = 2 ,
3
√16/54 = 3√8/27 =2/9 .
Advertencia. Los matemáticos se pusieron de acuerdo para que las raíces cuadradas (elevadas a “2” se escriban sin índice: 2
√=√
11
Las letras en los términos algebraicos. Las letras es otro de los elementos básicos del álgebra. Lo constituye cualquier letra o letras del alfabeto. Pueden usarse de dos maneras: 1. Si la letra representa una cantidad conocida se recurren a las primeras letras del alfabeto:
a, b, c, d, e, f
2. Si la cantidad es desconocida se recurren a las últimas letras: u,v,w, x, y, z. nota: si la cantidad pertenece a los enteros (principalmente los naturales) se suele utilizar:
i, j, k, l, m, n
Las letras pueden aparecer solas, acompañadas de otras letras o junto a números
a, xy,
3d,
h, ghk,
45py,
u agz 7sdf
Operaciones algebraicas para las letras: Las operaciones de multiplicación, división, potencia y raíz para las letras deben tratarse con atención dado que ellas tienen un comportamiento diferente a la operación que se realiza con los números, de acuerdo al siguiente cuadro:
12
OPERACIÓN
LETRAS o Literales
Multiplicar
Cuando las letras son iguales los exponentes se suman. Si las letras son diferentes no se modifican
Dividir
Cuando las letras son iguales, sus exponentes se restan, Si las letras son diferentes quedan igual
Potenciar
Los exponentes de todas la letras se multiplican por el índice de la potencia
Sacar raíz
Los exponentes de todas las letras se dividen por el índice
Multiplicación de letras en un término algebraico Una multiplicación algebraica de una letra se anuncia cuando aparecen dos letras juntas o separadas por paréntesis: Letras iguales:
(x)(x2),
z2z3,
(cz5)(cz3),
(bz2)(xz3).
Letras diferentes:
b 2c ,
fgmh ,
x(yz)2 .
Combinación de números y letras:
5c ,
65oh ,
(76y) (3y) .
O una combinación de las tres (números, letras iguales y diferentes): (5bx) (sx)
13
Operación de la multiplicación algebraica de las letras. Si las letras son iguales se suman sus exponentes. Si las letras son diferentes quedan sin cambio.
(z2)(z3) = z2+3 = z5,
Ejemplos: 1+1
Letras con valor de uno en el exponente: (c)(c) = c
= c2, (b)(b) = b1+1 = b2
(x)(x2) = x1+2= x3 .
Letras con valor de uno y otras potencias: Letras diferentes (no hay cambio):
b2c = b2c , (d2)(z3) = d2z3,
fgmh = fgmh ,
x(yz)2 = xy2z2 .
Letras iguales y diferentes:
(cªz5)(cza) =
ca+1z5+a,
(f -2) (f -3) =
(z2) (z)c =
f -2-3 = f -5,
z2+c ,
(f )2 (f -c) =
f 2-c .
(dªz5) (cz3) = dacz5+3= dacz8 ; (z2) (vzc) = vz2+c
Letras acompañadas por un número.
(5c) (3c) ,
c1+1 ,
c2 ,
(4bf) (b2) ,
fb3
Multiplicaciones combinadas de números y letras iguales y diferentes:
(z2)(z3) = z2+3= z5, (cz2)(cz3) =
(c1z2)(c1z3) = c1+1z2+3 = c2z5
(bz2)(xz3) = (b1z2)(x1z3) = b1x1z2+3 = bxz5
14
(5dwfxg2)(2df3g3) = (2)(5)dw+1zx+3g5 Advertencia. Toda letra lleva consigo un exponente que se anuncia con un número o una letra pequeña en la parte superior derecha de dicha letra, ejemplo:
c2 , b5d7,
e3,
f1x1,
y2 , z3,
cr ,
bvd2 ,
e3bi
sin embargo, no debe olvidarse que por acuerdo entre los matemáticos, cuando una letra tiene por exponente uno (1) no se escribe, ejemplos:
k1 = k,
f1x1= fx,
b1s1 =bs,
f1 / x1= f / x.
División de letras dentro de un término algebraico. Las divisiones de letras en álgebra se expresan a través de quebrados. Las letras en las divisiones pueden aparecer solas, cuando el número es uno, ejemplo:
a / b,
x / x, f / fg, xy / dc
2. O acompañadas de números y otras operaciones,
2s / d,
(h2)3 / √16r,
20t / 5u,
4c / 9c3b.
Operación de la división algebraica de letras: Si aparecen letras iguales en el numerado (arriba) y en el denominador (abajo) se procede a restar algebraicamente sus exponentes correspondientes. Para ello el numerador (el de arriba) será el exponente del minuendo y el
15
denominador (el de abajo) será el exponente del sustrayendo. Si las letras son distintas no hay operación. Ejemplos:
z3 / z2 = z3-2 = z, c2 / c1 =
c2-1 = c;
y2 / y3= y2-3 = y-1 = 1/y, x / x3= x1-3 = x-2 = 1/x2, b2z3 / bz3 = b2-1z3-3 = b, d2x / dx3 = d2-1x1-3 = d / x2 = dx-2 Esto sigue siendo válido para exponentes con letras o combinación de número y letras, ejemplo.
gcy / g3cy2b =
gc-3cy1-2b =
g-2cy1-2b
Cuando en una división se encuentre una combinación de letras iguales y diferentes, entonces, se restan las letras iguales y no se modifican las que son diferentes, ejemplos:
d2x / d = d2-1x =
dx
f2x / dx3 = dfx1-3 = f2 / dx2 d2x5yt / d5x3jk
=
ytd2-5x5-3 / jk
= ytd-3x2 / jk= ytx2 / d3jk
Cuando las letras sean diferentes en el numerador y el denominador el término algebraico no sufre cambios, ejemplo:
dfg / jkl = dfg / jkl
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Potenciación de letras dentro de un término algebraico. Una letra a la que se le aplica una potencia se anuncia cuando aparece rodeada por un paréntesis y un índice del lado derecho superior, ejemplo: (b)3,
(x3)2,
(5h)2,
(g/f)3,
(s4/c)5
Las letras potenciadas también pueden aparecer combinadas con números. (5b)3,
(43x3)2,
(15h)2,
(g/f)3,
(s4/3c)5
Operación de la potenciación algebraica en letras Todo término algebraico donde aparezca una letra e indique una potenciación, la letra multiplicará su exponente por dicha potencia. Ejemplos:
(d)2 = (d1)2 = d1x2=2 = d2, (h2j)5= h2x5=10 j1x5=5= h10j5, (s3 / c)5= s3x5=15 / c1x5=5= s15 / c5 (5se / c)v= s(e)(v) / c1v = sev / cv nota: El estudioso debe advertir que mientras en la multiplicación, los exponentes de las letras se suman, si las letras son iguales, en cambio, en la potenciación se multiplican los exponentes de todas las letras por la potencia. Radicación de letras dentro de un término algebraico. Una radicación de una letra se anuncia cuando aparece dentro de un radical o raíz. En la radicación pueden aparecer otras operaciones y números dentro de la raíz (√), ejemplo:
17
3
√a2,
2
4
√hf ,
√a/b2 ,
3
√8d5,
5
√5f3 / 6h15
Operación de la radicación algebraica en letras. Todo término algebraico que indique una radicación y contenga una letra procederá a dividir el exponente de la letras entre el índice de la raíz. Ejemplos: 3 3
√d9 = d9/3 = d3
√m2x3 = m2/3 x3/3 = m2/3x1 = m2/3x 5
√m2 / b15 = m2/5 / b15/5 = m2/5 / b3
Los signos en los términos algebraicos Los signos básicos que aparecen en un término algebraico (referidos a un monomio) pueden ser de tres tipos: 1. Signos de operación 2. Signos de agrupación 3. Signos de Identificación. Signos de Operación. Ellos anuncian cuatro operaciones: multiplicación, división, potenciación y de extracción de raíz. Se asocian de alguna manera a letras y números.
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Signo de multiplicación. Se expresa de varias formas: punto, paréntesis, o cuando dos o más símbolos algebraicos (números y/o letras) aparecen juntos “.” “( )” “[ ]”. Todos se leen multiplicado por Signo de División se expresa de dos maneras: “/” “÷” Estos se leen Dividido entre Signo de potenciación es representado por letras o número rodeados por un paréntesis y un exponente, de la siguiente manera: (-a3)2, (a)2, (y)3. (-4)2, (7x)2, (8y / 2d)3 se lee elevado al Signo de extracción de raíz es representado por una o unas letras y/o número antecedido por el siguiente un signo (√) y un exponente a la izquierda del signo, que indica el grado de la raíz a que el término está sometido, √ y que se lee raíz de. Advertencia: Si la raíz es dos (2), por acuerdo entre matemáticos no se escribe el índice.
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Nota: Diversos signos de operación pueden venir incluidos en un solo término algebraico, por ejemplo: √[(5c/15f)3 (7y)] que significa que en este término coexisten las cuatro operaciones (multiplicar, dividir, potenciar y sacar raíz). El orden de solución depende de los signos de agrupación que aparecen en el problema –los paréntesis-. Signos de agrupación. Los signos de agrupación son representados por paréntesis de diverso tipo, pero tienen el mismo significado: agrupar
“( )” “[ ]” “{ }” También pueden presentarse insertos unos dentro de los otros:
[( )] {[( )]} Los signos de agrupación encierran números, letras, operaciones y otros signos y significan que debe darse preferencia a la o las operaciones internas de los paréntesis –del interior antes de resolver las operaciones exteriores al signo. Advertencia. El paréntesis también sirve para expresar una multiplicación, por lo que el operador debe saber distinguir cuando se usa para multiplicar y cuando para agrupar.
20
Signo de identificación. Un término algebraico siempre posee un signo que identifica si la cantidad con la que tratamos es positiva o negativa: Si la cantidad es positiva, entonces, se escribe + (más) Si la cantidad es negativa, entonces, se escribe – (menos) Ejemplos: +3 (Cantidad positiva),
-6y (cantidad negativa),
+2t/y (cantidad
positiva), -6y/2d (cantidad negativa) Advertencia: Por acuerdo de los matemáticos, un término algebraico que tenga signo positivo, no se escribe, ejemplo: +b = b,
+6y/8u = 6y/8u,
(+y2)3 = (y2)3
Operación de los signos en álgebra. Las cantidades en álgebra, positivas o negativas, sufren alteraciones en función de la operación algebraica (multiplicar, dividir, potenciar, sacar raíz) a la que se ven sometidas, de acuerdo al siguiente cuadro: Operación algebraica
Comportamiento de los signos de los términos algebraicos [positivos (+) y negativos (-)]
Multiplicar
Pares signos iguales (+) (+) ó (-) (-) = (+) positivo
( ) ( )
Pares signos diferentes (-) (+) ó (+) (-)= (-) negativo
Dividir
Signos iguales (+ ) ÷ (+ ) ó (- )÷(- ) = (+ ) positivo
( )/( )
Signos diferentes (+ )÷(- ) ó (- )÷(+ ) = ( - ) negativo Potencia par (+ ó -)n = ( + ) positivo
Potenciar
Potencia impar (+)m = ( + ) positivo
( )x
Potencia impar (-)m = ( - ) negativo Raíz par √( + ) = ( ± ) dos signos
Sacar raíz
Raíz impar √( + ) = ( + ) positivo
√
Raíz impar √( - ) = ( - ) negativo Raíz par √( - ) = raíz imaginaria
Donde “n” es potencia par (2,4,6 etc.) y donde “m” es potencia impar (1,3,5,7 etc.). 21
Advertencia: Existen dos operaciones de raíz que provocan que los signos se comporten de manera especial. 1. Las raíces pares negativas son Raíces imaginarias o sin solución. Una raíz par negativa no tiene solución, porque su resultado multiplicado por las veces que indica el índice siempre dará un resultado positivo, ejemplo: √-4d2 ≠ 2d ó –2d, porque (2d) (2d) = 4d y porque (-2d) (-2d) = 4d, es decir, el resultado de la raíz multiplicado por la potencia par no produce una cantidad negativa. Las raíces pares positivas producen los dos signos + (positivo) y – (negativo). Las raíces pares positivas generan un término con dos signos, uno positivo y otro negativo (±) o dos cantidades: una positiva y otra negativa. Esto es así porque la multiplicación por sí misma del resultado de una raíz par siempre dará una cantidad positiva, ejemplo:
√ 4x2 = ± 2x, porque (2x) (2x) =4x2 “y” porque (-2x) (-2x) = 4x2 La operación de la multiplicación algebraica se realiza por pares, Si aparecen tres o más términos multiplicando, ejemplo: (d) (s) (x). Se escoge el primer par (d) (s) y se realiza la multiplicación. En este caso el nuevo término (ds) posee signo positivo, porque el par tiene signos iguales. Ahora se multiplica (ds) (x). Dado que el nuevo par tiene signos iguales la cantidad del nuevo término es positivo (dsx). Ejemplos: (-y) (g) (df) (5t) = -yg (df) (5t) = -ygdf (5t) = -5dfgty (4u) (8i) (-r) = 32ui (-r) = -32iur El resultado final organiza las letras en orden alfabético de preferencia.
22
Operación de un término algebraico. Ahora que hemos conocido y practicado la manera que tiene que operar cada uno de los elementos de un término algebraico (signos, números y letras) es el momento de enseñar a operar un término algebraico que conjunta signos, números y letras. Se debe estar consciente que cuando un término algebraico tiene operaciones a realizarse dentro de él, las partes en que se constituye dicho término (signos, números y letras) operan conjuntamente. Sin embargo, debe recordarse que las operaciones no se mezclan entre sí. Olvidar ello conduce a olvidos y descuidos que se traducen en operaciones incorrectas. Para evitar ello, se recomienda descomponer los términos en sus partes y operar cada uno de ellos de manera independiente. El primer paso consistirá en seguir las reglas de los signos de agrupación o sea los paréntesis (si los hubiera) e identificar la o las operaciones que deben realizarse. Una vez identificada la operación proceder a aplicar las reglas correspondientes sobre los signos de identificación (+ y -), después de ello ejecutar las operaciones con los números y por último resolver las operaciones que reclaman las letras, en ese orden.
23
Procedimiento para la mejor solución de un término algebraico 1. Si hay paréntesis resolver las operaciones de los elementos internos por encima de las otras operaciones 2. Resolver las reglas del signo del término de acuerdo a la operación 3. Resolver las operaciones de los números 4. Resolver las operaciones de las letras
Así la operación (4ag) (-3dg) exigiría tres pasos: Signos: dado que el paréntesis indica una multiplicación con signos diferentes el nuevo término será negativo (-) Números: multiplicar sus números 4·3 = 12 Letras: la multiplicación de letras señala que hay que sumar los exponentes de las letras iguales y las otras dejarlas igual (ag) (dg) = adg2 El resultado por tanto es: -12adg2 Otro ejemplo: -6y/-8u Signos: Se trata de una división, con signos iguales el nuevo producto será positivo (+) Números: dividir sus números entre su MCD “2” : 6/2 ÷ 8/2 = ¾ Letras: como sus letras son diferentes no cambian: y/u =y/u El resultado por tanto es: 3y/4u
Otro ejemplo: √[(5c/-15f)3 (-7y)]
24
Primera operación: Se trata de una división (proceder de derecha a izquierda) 5c/-15f Signos desiguales da negativo = Dividir el término entre su MCD “5” 5/5 ÷ 15/5 =1/3 , Letras c/f (no hay cambio) El resultado de la primera operación es: (-c/3f) Segunda operación: Se trata de una potencia, (-c/3f)3 o sea, potenciar al cubo el resultado de la división (-c/3f)3. Signo negativo en una potencia impar da negativo = Luego multiplicar los números las veces que la potencia indica = (1)(1)(1)/(3)(3)(3) = 1/27 Ahora, multiplicar los exponentes de las letras por la potencia c1x3/ f1x3 = c3/f3 El resultado final es -c3/27f3 Tercera operación: Se trata de una multiplicación: (-c3/27f3) (-7y) Signos negativos en una multiplicación par da positivo = + Multiplicar los números (7) (1/27) = 7/27 Sumar los exponentes de las letras (c3/f3) (y) = (c3y/f3) El resultado final es 7c3y/27f3 Cuarta operación: Se trata de una raíz cuadrada √ (7c3y/27f3), Potencia par positiva produce un signo doble =
±
Raíz cuadrada de los números 7/27, no existe Se dividen las letras entre el exponente c3/2y1/2/f3/2 3/2 1/2 3/2
Resultado final: c
y /f
√7/27
Nota: como puede notarse no sacamos raíz de los números debido a que no produce un quebrado. Por último. Los números también se les conoce como coeficientes numéricos y a las letras como literales. 25
Bibliografía recomendada Dolciani, Mary P. Simon L. Berman y Julius Freilich, 2000, Algebra moderna. Estructura y método. Libro 1, Publicaciones Cultural. México. Jagdish C. Arya & Robin W. Lardner, 1992 Matemáticas aplicadas a la administración, economía, ciencias biológicas y sociales, Prentice Hall Iberoamericana, 3/e. México. La revista Educación matemática, Grupo editorial Iberoamericana, México.
Anexo 1 Cuadró sinóptico general de las operaciones algebraicas dentro de un término algebraico. Operaciones Multiplicación ()()
División ( )/( )
Potenciación ( )^
Radicación √
Signos (+ y -) Pares signos iguales (+) (+) ó (-) (-) = (+) positivo Pares signos diferentes (-) (+) ó (+) (-)= (-) Negativo Signos iguales (+) ÷ (+) ó (-)÷(-) = (+ ) positivo
Números Se multiplican
Se dividen
Signos diferentes (+ )÷(- ) ó (-)÷(+) = (-) Negativo Potencia par signos iguales = (+) positivo Potencia impar signo positivo (+) = (+) Positivo Potencia impar signo negativo (-) = (-) Negativo Raíz par √( + ) = ( ± ) dos signos Raíz impar √( + ) = ( + ) positivo Raíz impar √( - ) = ( - ) negativo
Se potencian
Se les saca raíz
Letras Literales semejantes suman potencias. Literales diferentes no cambian Literales semejantes restan sus potencias Literales diferentes no cambian Las potencias de todas las literales se multiplican por la potencia
Las potencias de todas las literales se dividen entre el índice de la raíz
Raíz par √( - ) =raíz imaginaria
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Anexo 2
Clasificación de Términos algebraicos Los términos algebraicos pueden ser clasificados por grado y clase. GRADO. Un término algebraico tiene dos grados (absoluto y relativo): Grado Absoluto. Es la suma de los exponentes de las literales: “a” es un término algebraico de primer grado, a2b es un término algebraico de segundo grado. a3 es un término algebraico de tercer grado. Grado Relativo. Con relación a una letra del término, el grado será el exponente de dicha letra: a2b tiene un grado relativo de primero grado para la letra b y de segundo grado para la letra a. CLASE. Un término puede clasificarse en cuatro clases: [(entero o fraccionario) y (racional o irracional)] Término Entero. Si en el denominador del término no aparece una literal o letra, hablamos de enteros:
a, a/2, 2a
Término Fraccionario. Cuando en el denominador del término algebraico existe una literal, por lo menos:
a/b, x/b, 324/c
Término Racional. Cuando NO tiene un radical con literal o letra, ejemplo: a, a/2, 2a, a/b, x/c, ab√36. Término Irracional. Cuando tiene un radical con literal: √a,
2a/√b
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