Problemas resueltos: diagonalización de matrices. Formas cuadráticas Curso 2011-2012
Matemáticas I
17º) Hallar los autovalores y autovectores de las siguientes matrices y, si es posible, para cada matriz obtener tal que es una matriz diagonal. a) Primero calculamos los autovalores resolviendo la ecuación característica
=0, en nuestro caso
Esto es
Para desarrollar este determinante aprovechamos que tiene una fila con dos ceros y desarrollamos por esta fila (ésto debemos hacerlo siempre que se dé esta circunstancia, pues nos ahorra trabajo a la hora de factorizar y por tanto de hallar las soluciones), por lo que tenemos: =0 y de aquí
=0.
Operando resulta El factor implica que una solución es . NUNCA multiplicaremos este factor por el polinomio de segundo grado para obtener un polinomio de tercer grado. Sólo queda resolver la ecuación Que tiene como soluciones
. Por tanto nuestras soluciones son:
de multiplicidad de multiplicidad Pasamos ahora a calcular el subespacio de autovectores ( Para
el subespacio
correspondiente a cada autovalor.
tiene por ecuaciones
Este sistema es Claro está que la matriz de este sistema nunca podrá tener rango máximo (3 en este caso), de lo contrario la única solución sería la trivial (que no es autovector). El rango de la matriz es 1, por lo que nos queda una única ecuación:
1
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Para resolver la ecuación despejamos por ejemplo
hacemos
Matemáticas I
, con lo que
Entonces las ecuaciones parámetricas de la solución son:
Para hallar la base de soluciones
Por lo que una base de autovectores de es La dimensión de es 2, esto es lo que tiene que suceder con un autovalor de multiplicidad 2 para que la matriz sea diagonalizable, que la dimensión del espacio de autovectores coincida con la multiplicidad para todos los autovalores. Observación: Para que una matriz sea diagonalizable, se debe cumplir para todos los autovalores la fórmula
donde es la multiplicidad del autovalor, y así conseguimos que la dimensión del subespacio de soluciones del sistema que es coincida con la multiplicidad. Recordemos que esta fórmula solo debe comprobarse para autovalores de multiplicidad mayor que 1, ya que para los autovalores simples se cumple siempre. Por tanto para ver si una matriz es diagonalizable, no es necesario calcular los autovectores, lo hacemos porque lo pide el problema. Lo que es evidente, que si los tenemos calculados se ve directamente si una matriz es diagonalizable o no. Para
el subespacio
tiene por ecuaciones
La matriz del sistema tiene rango 2, por ejemplo tomamos como menor principal el determinante
Así nuestras ecuaciones serán:
2
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Matemáticas I
Como nuestro menor principal corresponde a las variables tomamos como parámetro la variable , y despejando tenemos las ecuaciones paramétricas de la solución
Entonces nuestra base de soluciones de autovectores correspondientes al autovalor , puesto que
es
En este apartado, observamos que la matriz es diagonalizable, porque obtenemos una base de formada por autovectores, aunque como hemos comentado esto ya lo sabíamos con sólo recurrir a la fórmula de la dimensión. Así, la matrices (autovalores) y (autovectores por columnas en el orden correspondiente a los autovalores) serán: y
b)
La ecuación característica
es
Desarrollando el determinante (por la regla de Sarrús, ya que no disponemos de los dos ceros que nos facilita la factorización como en el apartado a), tenemos
lo que implica, haciendo operaciones para hallar la primera solución y puesto que se trata de un polinomio de tercer grado utilizamos la regla de Ruffini ( , de donde factorizando queda . Para hallar las restantes soluciones utilizamos la fórmula de la resolución de la ecuación de segundo grado, mejor que Ruffini, que sólo nos daría soluciones enteras si las hay, con lo que los autovalores son: de multiplicidad de multiplicidad Para calcular los autovectores basta resolver para cada autovalor el sistema 3
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Matemáticas I
Bases de estos subespacios de autovectores (el alumno deberá hacer sus cálculos):
Observamos que la dimH , con lo que en este caso la matriz no será diagonalizable (ya que se trata de un autovalor doble y debería ser 2 ésta dimensión). La dimensión se puede calcular antes de obtener los autovectores, y por tanto podríamos saber si es diagonalizable o no la matriz sin calcular los autovectores.
c) Para éste y los siguientes apartados sólo daremos los resultados, el alumno se encargará de comprobar las operaciones. En este apartado la matriz no es diagonalizable.
de multiplicidad m
d) Sí es diagonalizable y las matrices son:
e) Sí es diagonalizable y las matrices son:
f) La matriz no es diagonalizable.
de multiplicidad de multiplicidad
4
