Penerapan Aljabar Vektor pada GPS (Global Positioning System) Kharis Isriyanto13514064 Program StudiInformatika SekolahTeknikElektrodanInformatika InstitutTeknologiBandung, Jl. Ganesha 10 Bandung40132, Indonesia
[email protected]
Abstract—Pada jaman sekarang ini, saat teknologi informasi sudah banyak berkembang seiring dengan perkembangan internet, ada satu teknologi yang juga berkembang yaitu GPS (Global Positioning System). GPS dapat menentukan posisi pengguna. Vektor sangat berperan dalam menentukan posisi tersebut karena GPS menerima sinyal dari satelit dan mendapat info jarak satelit dan koordinat satelit. Dengan memanfaatkan info dari 3-4 satelit dapat ditentukan posisi penerima sinyal GPS tersebut.
mengenai penerapan vektor pada penentuan posisi pada GPS.
Keywords—vektor, ruang, koordinat, trilateration
I. PENDAHULUAN GPS (Global Positioning System) atau Sistem Pemosisi Global adalah suatu sistem yang dibangun untuk menentukan letak di permukaan bumi dengan bantuan penyelarasan sinyal satelit. Pada awalnya GPS dikembangkan oleh departemen pertahanan Amerika Serikat dan penggunaannya hanya diperuntukkan untuk militer Amerika Serikat. Akan tetapi saat ini GPS dapat digunakan oleh siapapun. Penerapannya pun sudah merambah ke berbagai bidang. Dalam navigasi sudah tidak diragukan lagi betapa pentingnya GPS saat ini. Pada pesawat terbang dan kapal, GPS digunakan untuk menentukan jalur terbang atau pelayaran mereka agar mereka dapat mencapai tujuan. Saat ini mobil pun sudah banyak yang memakai GPS untuk navigasi mereka. GPS juga digunakan untuk pemetaan geografis, salah satunya dalam pembuatan peta digital yang saat ini dapat diakses oleh siapapun melalui penyedia layanan seperti Google Maps. Selain pembuatan peta, GPS juga dapat digunakan sebagai referensi pengukuran suatu wilayah. Selain beberapa manfaat GPS yang diuraikan di atas, GPS juga dapat digunakan sebagai sarana hiburan. Saat ini ada beberapa permainan perangkat berjalan(mobile device) yang memanfaatkan lokasi untuk permainannya. GPS berperan sangat besar untuk menentukan lokasi. Dalam menentukan lokasi pengguna, aljabar vektor dapat berperan dalam penghitungan koordinat pengguna GPS berdasarkan informasi yang didapatkannya dari satelit-satelit GPS. Pada makalah ini akan dibahas
Gambar 1 Dua aplikasi yang menggunakan GPS, yaitu Google Maps dan game Ingress Sumber:www.digicution.com dan cnet1.cbsistatic.com
II. DASAR TEORI A. Sistem Persamaan Lanjar Untuk menyelesaikan persamaan-persamaan pada aljabar vektor, kita memerlukan sistem persamaan lanjar atau sistem persamaan linier. Sistem persamaan lanjar adalah metode untuk menyelesaikan persamaan lanjar. Untuk menyelesaikan persamaan lanjar, kita dapat memakai matriks augmented dan metode eliminasi Gauss untuk menghasilkan matriks eselon, atau menggunakan metode eliminasi Gauss Jordan untuk menghasilkan matriks tereduksi.[1] Misalnya kita mempunyai 3 persamaan yang harus diselesaikan seperti di bawah ini 2x1 + 3x2 –x3 = 5 4x1 + 4x2 –3x3 = 3 -2x1 + 3x2 –x3 = 1 Dalam bentuk matriks augmented, persamaan tersebut dituliskan sebagai berikut.
Makalah IF2123 AljabarGeometri – Informatika ITB –Semester I Tahun 2015/2016
2 4 −2
3 4 3
−1 −3อ −1
5 3൩ 1
Untuk menyelesaikannya, kita harus melakukan OBE (Operasi Baris Elementer) sampai matriks 3x3 di sebelah kiri menjadi salah satu dari matriks di bawah ini. Bintang adalah angka apa saja. 1 0 0
∗ 1 0
∗ 1 ∗ ൩ atau 0 1 0
0 0 1 0൩ 0 1
OBE dilakukan dengan cara membagi suatu baris dengan konstanta, mengurangi suatu baris dengan n kali baris lainnya, atau menukar suatu baris dengan baris lainnya. Pertama kita harus membuat 1 utama pada kolom pertama di baris pertama. Kemudian kurangi semua baris yang lain dengan n kali baris pertama agar elemen matriks di bawah 1 utama tersebut harus sama dengan 0. Begitu seterusnya sampai didapatkan matriks eselon. Untuk lebih jelasnya kita akan melakukan OBE tersebut. 2 3 4 4 −2 3
−1 −3อ −1
1 3/2 5 3൩R1/2 4 4 1 −2 3
1 3/2 R3+2R1 0 −2 −2 3
−1/2 −1 อ −1
5/2 −7 ൩R1/2 1
1 0 0
3/2 −1/2 −2 −1 อ 6 −2
5/2 −7 ൩ R2/-2 6
1 0 0
3/2 −1/2 1 1/2 อ 0 −5
5/2 7/2 ൩ R3/-5 −15
1 0 0
1 0 0
3/2 −1/2 1 1/2 อ 6 −2
3/2 −1/2 1 1/2 อ 0 1
−1/2 −3 อ −1
5/2 3 ൩ 1
5/2 7/2൩R3-6R2 6
5/2 7/2൩ R1/2 3
Sampai sini kita mendapat matriks eselon dan kita sudah bisa mendapatkan nilai x, y, dan z dengan cara substitusi satu persatu mulai dari baris paling bawah ke atas, seperti di bawah ini. x3 = 3 x2 = 7/2 - 1/2x3 = 7/2 - ½(3) = 4/2 =2 x1 = 5/2 - 3/2x2 +1/2 x3 = 5/2 - 3/2(2) + ½ (3) = 5/2 – 3 + 3/2 =1
Metode di atas adalah metode eliminasi Gauss. Jika kita ingin melakukan eliminasi Gauss-Jordan kita hanya tinggal melanjutkan sampai didapatkan matriks identitas 3x3 di sebelah kiri. Untuk lebih jelasnya lihat proses berikut. 1 0 0
3/2 −1/2 1 1/2 อ 0 1
1 0 0
3/2 0 4 1 1 0อ 2൩ R1-3/2R20 0 0 1 3
1 0 0
3/2 −1/2 1 0 อ 0 1
5/2 7/2൩R2-1/2R3 3
5/2 2 ൩ R1 + 1/2R3 3 0 1 0
0 0อ 1
1 2൩ 3
Setelah didapatkan matriks eselon tereduksi kita sudah dapat melihat masing-masing nilai x1, x2, dan x3, yaitu 1, 2, dan 3. Kita hanya tinggal melihat dari atas ke bawah.
B. Aljabar Vektor Kuantitas fisik dibagi menjadi dua jenis yaitu skalar dan vektor.[1] Skalar hanya memiliki magnitude atau besaran saja. Vektor selain memiliki magnitude juga mempunyai arah. Arah tersebut biasanya dilambangkan dengan anak panah. Vektor dapat dilambangkan dengan huruf kecil yang dicetak tebal atau dengan huruf kecil yang diberi anak panah di atasnya. Contohnya v, w, r atauݒԦ, ݓ ሬሬԦ, ݎԦ. Vektor mempunyai beberapa komponen. Di R2dan di R3 berbeda. Pada R2 vektor mempunyai 2 komponen yaitu v1 dan v2. ࢜ v = (v1, v2) atau v = ቂ࢜ ቃ Kita dapat menjumlahkan atau mengurangi dua vektor dengan menjumlahkan komponen-komponennya. Misalnya kita mempunyai vektor v dan w pada Rn dengan v = (v1, v2, ..., vn) dan w = (w1, w2, . . . , wn), maka hasil penjumlahan dan pengurangannya adalah sebagai berikut. v +w = (v1 + w1, v2 + w2, . . . , vn + wn) v -w = (v1 - w1, v2 - w2, . . . , vn - wn) Vektor dapat dikalikan dengan skalar. Jika kita mengalikan suatu vektor v dengan konstanta skalar k, maka hasil penjumlahannya menjadi seperti berikut. kv = (kv1, kv2, . . . , kvn) Panjang atau magnitude dari sebuah vektor disebut sebagai norma dari vektor. Norma dari vektor v dilambangkan dengan ||v||. Norma vektor pada Rn dihitung sebagai berikut. ||v|| = ඥݒଵ + ݒଶ + ⋯ + ݒ
Makalah IF2123 AljabarGeometri – Informatika ITB –Semester I Tahun 2015/2016
Arah dari vektor dapat dihitung dengan sudut antara vektor dengan sumbu-sumbu pada koordinat kartesian. Misalnya jika vektor v=(v1, v2,v3) maka berdasarkan gambar berikut, nilai setiap sudut ditunjukkan di bawah.
Gambar 2 Arah vektor dan sudut-sudutnya Sumber: https://yos3prens.wordpress.com/2015/08/10/hasil-kalititik-dua-vektor/3/ cos ߙ =
mengorbit bumi yang berarti mereka dapat mengelilingi bumi 2 kali sehari. Kemiringan mereka terhadap ekuator bumi adalah 55o yang memungkinkan mereka dapat bekerja optimal. Setiap satelit mengirimkan sinyal L1 dan L2 pada frekuensi masing-masing 1575,42 MHz dan 1227,6 MHz. L1 mengirimkan kode C/A (Coarse Acquisition) dan P (Precise). Sementara sinyal L2 hanya mengirimkan P.[5] L1 dapat digunakan oleh masyarakat umum sementara L2 hanya dapat dipakai untuk kebutuhan militer saja.[3]Karena militer dapat menggunakan sinyal L1 dan juga sinyal L2, maka akurasi posisi yang didapat akan lebih tinggi dibanding masyarakat umum yang hanya menggunakan sinyal L1.
ݒଵ ݒଶ ݒଷ cos ߚ = cos ߛ = ||࢜|| ||࢜|| ||࢜||
Perkalian titik (dot product) atau perkalian dalam euclides antara dua vektor v dan w adalah sebagai berikut, di mana α adalah sudut antara dua vektor tersebut. v . w = v1 w1 + v2 w2 + ... +vn wn v . w = ||v|| ||w|| cos α Perkalian silang atau cross product dari dua vektor pada R3 dapat dicari dengan persamaan berikut. ݒଶ v x w = ቀቚݓ
ଶ
ݒଷ ݒଵ ݓଷ ቚ , − ቚݓଵ
ݒଷ ݒଵ ݓଷ ቚ , ቚݓଵ
ݒଶ ݓଶ ቚቁ
III. PEMBAHASAN A. Prinsip Kerja GPS Dalam menentukan posisi, GPS mempunyai tiga komponen utama yang saling bekerja sama untuk menghitung posisi pengguna. Ketiga komponen tersebut adalah GPS ground control stations, GPS sattelites, dan GPS receivers.[2] Ground control stations adalah stasiun-stasiun yang terdapat di bumi. Stasiun-stasiun tersebut mengontrol kinerja satelit dan jam atomnya. Mereka juga mengoreksi sinyal-sinyal yang diterima dari satelit, kemudian mengembalikannyadan sinyal itulah yang akan dikirimkan ke pengguna.[3] Saat ini control stations berada di Falcon Air Force, Colorado Springs, Ascension Island, Hawaii, Diego Garcia, dan Kwajalein. Komponen luar angkasa dari GPS memakai minimal 24 satelit yang mengorbit bumi di ketinggian 11.000 nautical miles atau sekitar 20.372 km di atas permukaan bumi.[4] Satelit-satelit tersebut berada dalam enam orbit. Masing-masing orbit mempunyai 4 satelit yang terusmenerus berputar mengelilingi bumi. Satelit-satelit tersebut membutuhkan waktu sekitar 12 jam untuk
Gambar 3 Ilustrasi 24 satelit GPS mengelilingi bumi Sumber: http://www.gps.gov/multimedia/images/constellation.jpg Komponen yang ketiga adalah GPS receiver atau penerima. Ini adalah alat yang digunakan untuk menerima sinyal GPS. Receiver inilah yang biasa kita gunakan dalam smartphone kita saat menyalakan fitur GPS. Receiver mempunyai antena dan processor receiver yang menyediakan positioning, kecepatan, dan ketepatan waktu ke pengguna. Receiver menerima data dari satelit-satelit setelah sebelumnya dikoreksi oleh stasiun pengendali.[3] Saat mengirimkan sinyal, ada perbedaan waktu antara jam atom yang terdapat pada satelit dengan jam yang terdapat di bumi atau yang terdapat pada receiver disebabkan adanya relativitas waktu yang terjadi. Jam di bumi bergerak lebih lambat dikarenakan adanya gravitasi.[4] Akan tetapi hal itu sudah diatasi oleh pengembang GPS tersebut. Untuk mendapatkan data posisi yang cukup akurat, GPS receiver harus mendapat sinyal dari 3-4 satelit. Dengan mendapat sinyal dari 3 satelit kita bisa mengetahui latitude dan longitude atau garis lintang dan garis bujur. Jika mendapat 4 sinyal, kita bisa mengetahui altitude atau ketinggian juga. Akan tetapi sebenarnya dengan menggunakan 3 satelit kita bisa mengetahui kemungkinan 2 titik, dan GPS bisa mengeliminasi salah
Makalah IF2123 AljabarGeometri – Informatika ITB –Semester I Tahun 2015/2016
satu karena salah satu titik tersebut tidak ada di bumi.[6]
B. Peran Vektor dalam Menentukan Posisi Cara GPS menentukan posisi didapat dengan menghitung data-data yang diterima dari satelit-satelit. Pada subbab sebelumnya sudah dibahas bahwa receiver harus menerima sinyal dari 3 satelit. Receiver menghitung jarak dari setiap satelit dan menentukan posisinya. Metode ini disebut sebagai trilateration. [5] Ilustrasi dari trilateration dapat dilihat sebagai berikut.
membuat persamaan sehingga tersisa variabel bebas x, y, dan z. ||u|| = ඥሺ ݔ− ݔଵ ሻଶ + ሺ ݕ− ݕଵ ሻଶ
||u||2 = ሺ ݔ− ݔଵ ሻଶ + ሺ ݕ− ݕଵ ሻଶ
||u||2 = ݔଶ − 2ݔݔଵ + ݔଵ ଶ + ݕଶ − 2ݕݕଵ + ݕଵ ଶ ଶ
||u||2+ ݔଶ + ݔଵ + ݕଶ + ݕଵ ଶ = −2ݔݔଵ − 2ݕݕଵ
(1) (2) (3) (4)
Dengan melakukan hal yang sama pada vektor v dan w didapatkan ଶ
||v||2+ ݔଶ + ݔଶ + ݕଶ + ݕଶ ଶ = −2ݔଶ ݔ− 2ݕଶ ݕ ଶ
||w||2+ ݔଶ + ݔଷ + ݕଶ + ݕଷ ଶ = −2ݔଷ ݔ− 2ݕଷ ݕ
Gambar 4 Ilustrasi trilateration pada GPS Sumber: http://www.buzzle.com/images/electronics/gps-trackingtechnology.jpg Misalkan kita mempunyai kasus trilateration pada R2 sebagai berikut
Gambar 4 Kasus trilateration Sumber: https://plus.maths.org/content/sites/plus.maths.org/files/ne ws/2012/homeoffice/trilateration.jpg Dalam bentuk vektor, dapat digambarkan trilateration tersebut sebagai berikut. x2,y2 x,y
x1,y1
v
u w x3,y3 Gambar 5 Vektor pada trilateration Kita mengetahui jarak setiap satelit ke receiver, yaitu norma dari vektor dari setiap satelit ke receiver. Selain itu kita juga mengetahui koordinat dari setiap receiver. Dengan mengetahui dua komponen tersebut kita dapat
(5) (6)
Karena variabel yang mengandung kuadrat pada sebelah kiri identik, maka kita dapat mengurangi persamaan 5 dan 6 dengan persamaan 4 sehingga didapatkan kedua persamaan berikut. −2ݔଶ ݔ− 2ݕଶ || = ݕv||2+ݔଶ ଶ + ݕଶ ଶ
−2ݔଷ ݔ− 2ݕଷ || = ݕw||2+ݔଷ ଶ + ݕଷ ଶ
(7) (8)
Kedua persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan sistem persamaan lanjar. 2 variabel x dan y yang menunjukkan posisi hasil trilateration dapat ditemukan. Seperti yang sudah disinggung sebelumnya, kita dapat menentukan koordinat longitude dan latitude dengan bantuan 3 satelit. Hal itu dibuktikan dengan persamaan di atas. Untuk menentukan altitude atau ketinggian dibutuhkan satu lagi satelit agar dapat menentukan koordinat ketinggiannya. Untuk lebih jelasnya akan dibahas pada subbab selanjutnya dengan studi kasus.
C. Studi Kasus Studi kasus dan solusi di bawah ini diambil dari paperberjudul “An Undetermined Linear System for GPS” yang disusun oleh Dan Kalman. Dan Kalman menjelaskan dasar dari penentuan posisi pada GPS dengan jelas dan sederhana.[7] GPS akan menentukan letak sebuah kapal yang berlayar di lautan. Untuk menyederhanakan perhitungan, kita akan mengasumsikan ada koordinat kartesian xyz dengan titik (0,0,0) adalah inti bumi dan panjang satuan x, y, dan z setara dengan radius bumi sehingga nilai dari x2 + y2 + z2 = 1 adalah sama dengan tinggi permukaan laut. Kecepatan cahaya yang dipakai kira-kira sama dengan 0.047 radii /ms. Data yang diterima dari satelit adalah sebagai berikut, meskipun pada kenyataannya data yang diterima tidak akan seperti di bawah ini.
Makalah IF2123 AljabarGeometri – Informatika ITB –Semester I Tahun 2015/2016
Satelit Posisi Waktu 1 (1,2,0) 19,9 2 (2,0,2) 2,4 3 (1,1,1) 32,6 4 (2,1,0) 19,9 Tabel 1 Data yang diterima dari satelit Pertama kita akan mencari jarak dari satelit pertama ke kapal. Jarak tersebut dapat dicari dengan persamaan di bawah. d = 0.047(t-19,9) Jarak tersebut atau norma vektor dapat dicari dengan d = ඥሺ ݔ− 1ሻଶ + ሺ ݕ− 2ሻଶ + ሺ ݖ− 0ሻଶ Sehingga didapat persamaan berikut ඥሺ ݔ− 1ሻଶ + ሺ ݕ− 2ሻଶ + ሺ ݖ− 0ሻଶ = ሺ0,047ሻଶ ሺ ݐ− 19,9ሻଶ
ሺ ݔ− 1ሻଶ + ሺ ݕ− 2ሻଶ + ሺ ݖ− 0ሻଶ = ሺ0,047ሻଶ ሺ ݐ− 19,9ሻଶ (1) 2 ݔ+ 4 ݕ− 2ሺ0,047ሻଶ ሺ19,9ሻݐ = 1ଶ + 2ଶ − ሺ0,047ሻଶ ሺ19,9ሻଶ + ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ − ሺ0,047ሻଶ ݐଶ (2) Ketiga data satelit bisa diturunkan dengan cara yang sama. 4 ݔ+ 4 ݖ− 2ሺ0,047ሻଶ ሺ2,4ሻݐ = 2ଶ + 2ଶ − ሺ0,047ሻଶ ሺ2,4ሻଶ + ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ − ሺ0,047ሻଶ ݐଶ (3) 2 ݔ+ 2 ݕ+ 2 ݖ− 2ሺ0,047ሻଶ ሺ32,6ሻݐ = 1ଶ + 2ଶ + 1ଶ − ሺ0,047ሻଶ ሺ32,6ሻଶ + ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ − ሺ0,047ሻଶ ݐଶ (4) 4 ݔ+ 2 ݕ− 2ሺ0,047ሻଶ ሺ19,9ሻݐ = 2ଶ + 1ଶ − ሺ0,047ሻଶ ሺ19,9ሻଶ + ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ − ሺ0,047ሻଶ ݐଶ (5) Kurangi persamaan 2, 3, dan 4 dengan persamaan 1. 2 ݔ− 4 ݕ+ 4 ݖ+ 2ሺ0,047ሻଶ ሺ17,5ሻݐ = 8 + 5 − ሺ0,047ሻଶ ሺ19,9ଶ − 2,4ଶ ሻ (6) 2 ݕ+ 2 ݖ− 2ሺ0,047ሻଶ ሺ12,7ሻݐ = 3 + 5 − ሺ0,047ሻଶ ሺ19,9ଶ − 32,6ଶ ሻ (7) 2 ݔ− 2 ݕ− 2ሺ0,047ሻଶ ሺ0ሻݐ = 8 + 5 − ሺ0,047ሻଶ ሺ19,9ଶ − 19,9ଶ ሻ (8)
2 0 2
−4 4 0,077 −2 2อ −0,056 −2 0 0
3,86 −3,47൩ 0
Menyelesaikan persamaan tersebut didapat matriks berikut. 1 0 0 0,095 5,41 0 1 0อ 0,095 5,41൩ 0 0 1 0,067 3,67 Jadi kita mendapatkan solusi umum sebagai berikut. = ݔ5,41 − 0,095ݐ = ݕ5,41 − 0,095ݐ = ݖ3,67 − 0,067ݐ Substitusi solusi tersebut pada persamaan 1 didapatkan: ሺ5,41 − 0,095 ݐ− 1ሻଶ + ሺ5,41 − 0,095 ݐ− 2ሻଶ + ሺ3,67 − 0,067ݐሻଶ = ሺ0,047ሻଶ ሺ ݐ− 19,9ሻଶ 0,02 ݐଶ − 1,88 ݐ+ 43,56 = 0
Dari persamaan tersebut didapat nilai t adalah 43,1 atau 50. Jika kita memakai nilai t=43,1 kita mendapat posisi kapal pada (1,317, 1,317, 0,790) yang mempunyai panjang 2. Itu berarti kapal kita tidak berada di lautan karena jarak inti bumi dengan permukaan laut adalah 1. Jika kita memakai nilai t=50, kita mendapat posisi kapal (0,667, 0,667, 0,332) yang mempunyai panjang 0,997. Nilai tersebut mendekati 1 yang berarti kapal berada di permukaan laut. Jadi kita dapat menyimpulkan posisi kapal tersebut ada di posisi (0,667, 0,667, 0,332).
V. KESIIMPULAN Vektor dapat digunakan untuk menentukan posisi di permukaan bumi dengan GPS. Konsep yang digunakan adalah trilateration dan penyelesaiannya banyak menggunakan sistem persamaan lanjar. Pada bab pembahasan sudah dibahas pengunaan vektor meskipun hanya mencakup dasar-dasarnya dan tidak memakai sistem GPS sungguhan.
VI. UCAPAN TERIMA KASIH Penulis mengucap syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan rahmatNya makalah ini dapat selesai tepat pada waktunya. Penulis berterima kasih kepada Bapak Dr. Ir. Rinaldi Munir, M.T. dan Bapak Drs. Judhi Santoso, M.Sc. selaku dosen mata kuliah aljabar geometri. Tidak lupa juga penulis berterimakasih kepada orangtua dan teman-teman yang telah mendukung pengerjaan makalah ini.
Dalam bentuk matriks augmented persamaanpersamaan tersebut dapat ditulis sebagai berikut
Makalah IF2123 AljabarGeometri – Informatika ITB –Semester I Tahun 2015/2016
REFERENSI [1] Strang, Gilbert. Linear Algebra and It’s Application, 4th ed.Publisher, Thomson, Brooks/Cole, 2006. [2]http://www.streetdirectory.com/travel_guide/12293/gps_vehicle_trac king/how_global_positioning_system_gps_works.html) diakses pada 15 Desember 2015 pukul 11.00 [3] http://www.mandalamaya.com/pengertian-gps-cara-kerja-gps-danfungsi-gps/ Diakses pada 15 Desember 2015 pukul 11.00. [4] http://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast162/Unit5/gps.html Diakses pada 15 Desember 2015 pukul 20.00. [5] http://mio.com/technology-trilateration.htm Diakses pada 5 Desember pukul 20.00. [6] http://www.montana.edu/gps/understd.html diakses pada 15 Desember 2015 pukul 13.00. [7]Dan Kalman, An underdetermined linear system for GPS, The MathematicalAssociation of America 33:5 (2002) 384-390
PERNYATAAN Dengan ini saya menyatakan bahwa makalah yang saya tulis ini adalah tulisan saya sendiri, bukan saduran, atau terjemahan dari makalah orang lain, dan bukan plagiasi. Bandung, 15Desember 2015 ttd
Kharis Isriyanto 13514064
Makalah IF2123 AljabarGeometri – Informatika ITB –Semester I Tahun 2015/2016
