RELEVANSI METODE RITTER DAN METODE ELEMEN HINGGA DENGAN PROGRAM MATLAB PADA RANGKA BATANG David Parulian Sitorus1, Torang Sitorus2 1
Departemen Teknik Sipil, Universitas Sumatera Utara, Jl. Perpustakaan No. 1 Kampus USU Medan Email:
[email protected] 2 Staf Pengajar Departemen Teknik Sipil, Universitas Sumatera Utara, Jl. Perpustakaan No. 1 Kampus USU Medan Email:
[email protected]
ABSTRAK Perkembangan struktur rangka yang sangat cepat, mendapat perhatian para ahli untuk merencanakan struktur rangka yang lebih akurat. Umumnya, rangka batang dihitung dengan metode ritter yang menganggap luas penampang tiap elemen sama. Oleh karena itu, perlu dilakukan pengontrolan kembali terhadap metode ritter dengan menggunakan metode elemen hingga dengan luas penampang tiap elemen berbeda-beda, sehingga dapat diketahui relevan atau tidaknya metode ritter tersebut terhadap metode elemen hingga. Kemudian, struktur rangka dibandingkan kembali dengan program SAP2000. Hasil perhitungan pada struktur rangka bidang I, diperoleh perbedaan persentase gaya rata-rata antara metode ritter, metode elemen hingga dan program SAP2000 1,000 %. Pada struktur rangka bidang II, diperoleh perbedaan persentase gaya rata-rata antara metode ritter, metode elemen hingga dan program SAP2000 2,503 %. Dengan demikian, perhitungan metode ritter dan metode elemen hingga dapat dinyatakan relevan. Kata kunci: rangka batang, metode ritter, metode elemen hingga
ABSTRACT The significant progress of truss, get attention from engineers to plan more accurate truss stucture. Generally, truss is calculated with ritter method which considers the same cross sectional area of each element. Therefore, it is necessary to control the ritter method with using finite element method with different cross sectional area of each element, so it can be determined the ritter method and finite element method is relevant or not. Then, the truss structure is compared again with SAP2000 program. The first plane truss structure is obtained the difference of average force percentage between ritter method, finite element method and SAP2000 program is 1,000 %. The second plane truss structure is obtained the difference of average force percentage between ritter method, finite element method and SAP2000 program is 2,503 %. Thus, the calculation of ritter method and finite element method is relevant. The keywords: truss, ritter method, finite element method
1. PENDAHULUAN Pada saat ini rangka batang sangat penting untuk pembangunan, seperti konstruksi untuk atap, jembatan, menara atau bangunan tinggi lainnya. Bentuk struktur rangka dipilih karena mampu menerima beban struktur relatif besar dan dapat melayani kebutuhan bentang struktur yang panjang. Dalam dunia arsitektur dan struktural, rangka batang adalah konstruksi yang tersusun dari batang-batang tarik dan batang-batang tekan saja, umumnya terbuat dari baja atau kayu. Perkembangan struktur rangka yang pesat, baik terhadap geometris ataupun pembebanannya yang semakin kompleks, membuat analisis rangka batang mendapat perhatian dari banyak desainer dan konsultan. (Dian Ariestadi, 2008) Pada umumnya struktur rangka dihitung dengan menggunakan metode ritter. Pada metode ini, luas penampang di setiap elemen dianggap sama dengan elemen lain. Hal ini membuat perlu dilakukan pengontrolan kembali terhadap struktur rangka tersebut apabila luas penampang di setiap elemen berbeda-beda. Adapun metode yang digunakan adalah metode elemen hingga yang memiliki tingkat akurasi yang baik karena dapat dibantu dengan penggunaan program-program komputer dalam proses analisisnya, sehingga dapat diketahui relevan atau tidaknya metode ritter tersebut terhadap metode elemen hingga. Salah satu program yang dapat digunakan yaitu Matlab.
2. TINJAUAN PUSTAKA Prinsip Dasar Pembentukan Segitiga Rangka Batang Prinsip utama yang mendasari penggunaan rangka batang sebagai struktur pemikul beban adalah penyusunan elemen menjadi konfigurasi segitiga yang menghasilkan bentuk stabil. Pola yang bukan segitiga menyebabkan struktur tersebut menjadi tidak stabil yang mengakibatkan terjadinya deformasi yang relatif besar. Pada struktur stabil, sudut yang terbentuk antara dua batang tidak akan berubah apabila dibebani. Hal ini berbeda dengan mekanisme yang terjadi pada bentuk struktur yang tidak stabil, dimana sudut antara dua batangnya akan berubah sangat besar apabila dibebani. (Daniel L. Schodek, 1998)
(a) Konfigurasi tidak stabil
(b) Konfigurasi stabil
(c) Gaya batang
Gambar 1. Prinsip-prinsip dasar triangulasi
Analisa Gaya Batang Metode untuk menentukan gaya-gaya pada rangka batang adalah berdasarkan pada tinjauan keseimbangan titik hubung. Pada konfigurasi rangka batang sederhana, sifat gaya batang tarik atau tekan dapat ditentukan dengan memberikan gambaran bentuk deformasi yang mungkin terjadi pada saat struktur tersebut diberi beban. Tetapi pada struktur rangka yang memiliki geometri yang kompleks, sifat gaya batang harus dianalisis secara matematis agar diperoleh hasil yang lebih akurat. (Dian Ariestadi, 2008)
Batang Tekan Suatu komponen yang mengalami gaya tekan, akibat beban terfaktor Nu, menurut SNI 03-1729-2002, harus memenuhi: (1) Nu φn . Nn dengan N u = beban terfaktor, N n = tahanan nominal komponen struktur tekan dan φ n = faktor reduksi Faktor reduksi kekuatan φ n untuk komponen struktur yang memikul gaya tekan aksial (SNI 03-1729-2002) sebesar 0,85. Daya dukung nominal Nn struktur tekan dihitung sebagai berikut: fy Nn Ag . ω dengan A g = luas penampang dan f y = kuat leleh material Dengan besarnya
ω ditentukan oleh λ c , yaitu: ω= 1 maka
untuk
λ c < 0,25
untuk
0,25 < λ c < 1,2
maka
ω=
untuk
λ c > 1,2
maka
ω = 1,25c 2
1,43 1,6 0,67c
(2)
(3) (4) (5)
dimana,
λ fy (6) π E dengan λ = kelangsingan komponen, k = faktor panjang tekuk, L = panjang komponen dan r = jari - jari girasi λc
Batang Tarik Batang tarik sangat efektif dalam memikul beban. Batang tarik dapat terdiri dari profil tunggal ataupun profil-profil tersusun. Menurut SNI 03-1729-2002 pasal 10.1, dinyatakan bahwa semua komponen struktur yang memikul gaya tarik aksial terfaktor sebesar T u, maka diperoleh: (7) Tu φ . Tn dengan Tu = beban terfaktor, Tn = tahanan nominal komponen struktur tarik dan φ = faktor reduksi 0,9 Bila kondisi leleh menentukan, maka tahanan nominal Tn, dari batang tarik memenuhi persamaan: Tn A g . f y
(8)
dengan A g = luas penampang dan f y = kuat leleh material Untuk mengurangi masalah terkait dengan lendutan besar, maka komponen struktur tarik harus memenuhi syarat kekakuan. Syarat ini berdasarkan pada rasio kelangsingan, yaitu: L (9) λ r dengan λ = kelangsingan komponen , L = panjang komponen dan r = jari - jari girasi Nilai λ diambil maksimum 240 untuk batang tarik. (Agus Setiawan, 2008)
3. METODOLOGI PENELITIAN Metode ritter Metode keseimbangan potongan (ritter) adalah metode yang mencari gaya batang dengan potongan atau irisan analitis. Metode ini umumnya hanya memotong tiga batang mengingat hanya ada tiga persamaan statika saja, yaitu: ΣM = 0, ΣH = 0 , dan ΣV = 0. Perbedaan metode ritter dengan metode keseimbangan titik buhul adalah dalam peninjauan keseimbangan rotasionalnya. Metode keseimbangan titik buhul, biasanya digunakan apabila ingin mengetahui semua gaya batang. Sedangkan metode potongan biasanya digunakan apabila ingin mengetahui hanya sejumlah terbatas gaya batang. (Dian Ariestadi, 2008) Adapun langkah-langkah dalam penyelesaian analisis struktur dengan metode ritter, yaitu sebagai berikut: • Tentukan gaya-gaya reaksi tumpuan • Buat potongan yang melalui elemen yang akan dicari besarnya gaya • Gambarkan diagram benda bebas (free body) untuk tiap potongan • Meninjau setiap free body tersebut berada dalam keseimbangan translasi (ΣV = 0 , ΣH = 0 , ΣM = 0)
Metode elemen hingga Metode elemen hingga (finite element method) merupakan suatu metode numerik yang digunakan untuk menghitung gaya dalam pada suatu struktur. Keuntungan dari metode elemen hingga adalah bahwa apa yang tidak dapat diselesaikan dengan penyelesaian analitis dapat dipecahkan dengan metode ini, sebagai contoh konstruksi yang mempunyai geometris yang kompleks dan beban yang kompleks. (I. Katili, 2008) Konsep dasar metode elemen hingga adalah prinsip deskritisasi yaitu membagi suatu benda menjadi elemen-elemen yang berukuran lebih kecil supaya lebih mudah pengelolaannya. (William Weaver dan Paul R. Johnston, 1989) Salah satu jenis struktur dalam elemen hingga adalah struktur rangka bidang yang memiliki 2 buah dof (degree of freedoom) di setiap elemennya yaitu d1 dan d2. Dalam penyelesaiannya, metode elemen hingga menggunakan prinsip matriks kekakuan baik terhadap sumbu lokal maupun sumbu global.
Matriks kekakuan terhadap sumbu lokal Berdasarkan gambar 2, dapat dilihat suatu batang diberi gaya sejajar “ fi ” dan “ fj ”, menghasilkan dua perpindahan yaitu “ di ” dan “ dj ” pada batang tersebut.
Gambar 2. Elemen rangka bidang yang diberi gaya
yang akan
Dalam bentuk matriks ditulis sebagai: f i EA 1 1 di L 1 1 d j f j
(10)
Sehingga matriks kekakuan terhadap sumbu lokal (Yerri Susatio, 2004) dapat didefenisikan sebagai:
f
k d
(11)
dengan f = gaya yang diberikan, k = matriks kekakuan lokal dan d = perpindahan (displacement).
Matriks kekakuan terhadap sumbu global Matriks transformasi perpindahan
Global
Lokal Gambar 3. Transformasi perpindahan dari lokal ke global Dari gambar 3 didapat persamaan: d i dix cosθ d iysin θ
(12)
d j d jx cosθ d jysin θ
Dalam bentuk matriks persamaan (12) ditulis sebagai: d ix d i c s 0 0 d iy d j 0 0 c s d jx d jy
(13)
Sehingga matriks transformasi perpindahan (Yerri Susatio, 2004) dapat didefenisikan sebagai:
d Td '
(14)
Matriks transformasi gaya
Lokal Gambar 4. Transformasi gaya dari lokal ke global
Global
Dari gambar 4 didapat persamaan: fi fix cos θ fiysin θ
(15)
f j f jx cosθ f jysin θ
Dalam bentuk matriks persamaan (15) ditulis sebagai: f ix fi c s 0 0 f iy f j 0 0 c s f jx f jy
(16)
Sehingga matriks transformasi perpindahan (Yerri Susatio, 2004) dapat didefenisikan sebagai:
f Tf '
(17)
Sehingga matriks kekakuan terhadap sumbu global (Yerri Susatio, 2004) dapat didefenisikan sebagai berikut:
c2 EA cs K 2 L c cs
cs s2 cs
c2 cs c2
s2
cs
cs s2 cs s 2
(18)
dengan K = matriks kekakuan global, E = modulus elastisitas, A = luas penampang dan L = panjang elemen
Gaya elemen Gaya dapat didefenisikan sebagai P σ . A , sehingga dapat diperoleh persamaan:
P σ.A P
EA c s c s d ' L
Program matlab Fungsi (MatriksKekakuan.m) menghitung matriks kekakuan. function y=MatriksKekakuan(E,A,L,theta) x=theta*pi/180; C=cos(x); S=sin(x); y=E*A/L*[C*C C*S -C*C -C*S; C*S S*S -C*S -S*S; -C*C -C*S C*C C*S; -C*S -S*S C*S S*S];
Fungsi (Assemble.m), menyatukan matriks kekakuan lokal ke matriks kekakuan global. function y=Assemble(K,k,i,j) K(2*i-1,2*i-1)=K(2*i-1,2*i-1)+k(1,1); K(2*i-1,2*i)=K(2*i-1,2*i)+k(1,2); K(2*i-1,2*j-1)=K(2*i-1,2*j-1)+k(1,3); K(2*i-1,2*j)=K(2*i-1,2*j)+k(1,4); K(2*i,2*i-1)=K(2*i,2*i-1)+k(2,1); K(2*i,2*i)=K(2*i,2*i)+k(2,2); K(2*i,2*j-1)=K(2*i,2*j-1)+k(2,3); K(2*i,2*j)=K(2*i,2*j)+k(2,4); K(2*j-1,2*i-1)=K(2*j-1,2*i-1)+k(3,1); K(2*j-1,2*i)=K(2*j-1,2*i)+k(3,2); K(2*j-1,2*j-1)=K(2*j-1,2*j-1)+k(3,3); K(2*j-1,2*j)=K(2*j-1,2*j)+k(3,4); K(2*j,2*i-1)=K(2*j,2*i-1)+k(4,1); K(2*j,2*i)=K(2*j,2*i)+k(4,2); K(2*j,2*j-1)=K(2*j,2*j-1)+k(4,3); K(2*j,2*j)=K(2*j,2*j)+k(4,4); y=K;
Fungsi (GayaElemen.m), menentukan gaya di setiap elemen. function y=GayaElemen(E,A,L,theta,d) x=theta*pi/180; C=cos(x); S=sin(x); y=E*A/L*[-C -S C S]*d;
(19)
4. HASIL DAN PEMBAHASAN Struktur rangka bidang I
Gambar 5. Bentuk struktur rangka bidang I
Analisa metode ritter Seperti diketahui, dalam metode ritter menggunakan sistem keseimbangan titik potongan. Dari gambar 5, dapat direncanakan sistem potongan strukturnya seperti yang ditunjukkan pada gambar 6 sebagai berikut:
Gambar 6. Sistem potongan pada struktur rangka bidang I Tabel 1. Hasil perhitungan gaya dengan metode ritter pada struktur rangka bidang I Batang a b c d e f g
Tarik – 212,469 – – 50 156,612 –
Gaya Batang (KN) Tekan – – 55,997 140 – – 140
Nol 0 – – – – – –
Dengan menggunakan persamaan (1) sampai (9), dilakukan perencanaan dimensi di setiap elemen rangka yang dapat dilihat pada tabel 2 sebagai berikut: Tabel 2. Luas penampang tiap batang pada struktur rangka bidang I Batang a b c d e f g
Luas penampang (mm2) 0 1510 1870 2510 379 1150 2510
Dimensi (Profil Siku) 80.80.10 90.90.11 110.110.12 40.40.5 75.75.8 110.110.12
Analisa metode elemen hingga Hasil penampang tiap elemen pada tabel 2 digunakan pada perhitungan gaya dengan metode elemen hingga, baik dengan menggunakan program matlab maupun microsoft excel. Dengan menggunakan persamaan (18) dan (19) serta program matlab, diperoleh hasil gaya batang yang dapat dilihat pada tabel 3 sebagai berikut: Tabel 3. Hasil perhitungan gaya dengan metode elemen hingga menggunakan matlab dan microsoft excel pada struktur rangka bidang I Gaya Batang dengan Metode Elemen Hingga (KN) Batang a b c d e f g
Tarik – 212,3898 – – 50 156,4977 –
Matlab Tekan – – 55,8920 139,6698 – – 139,6698
Nol 0 – – – – – –
Tarik – 212,3898 – – 50 156,4977 –
Ms. Excel Tekan – – 55,8920 139,6698 – – 139,6698
Nol 0 – – – – – –
Dari hasil perhitungan gaya dengan metode ritter, metode elemen hingga menggunakan matlab atau microsoft excel dan program SAP2000 v.14, diperoleh perbedaan persentase gaya pada setiap batang, antara lain sebagai berikut: Tabel 4. Hasil persentase gaya di setiap batang pada struktur rangka bidang I Persentase (%) Batang a b c d e f g % Rata-rata
Ritter – MEH (Matlab/ Ms.Excel) 0% 0,0373 % 0,188 % 0,236 % 0% 0,073 % 0,236 % 0,110 %
Ritter – SAP2000 v.14 0% 1,021 % 2,940 % 0,283 % 1,525 % 0,200 % 0,151 % 1,000 %
MEH (Matlab/ Ms.Excel) – SAP2000 v.14 0% 1,059 % 3,120 % 0,518 % 1,525 % 0,273 % 0,387 % 0,983 %
Struktur rangka bidang II
Gambar 7. Bentuk struktur rangka bidang II
Analisa metode ritter Seperti diketahui, dalam metode ritter menggunakan sistem keseimbangan titik potongan. Dari gambar 7, dapat direncanakan sistem potongan strukturnya seperti yang ditunjukkan pada gambar 8 sebagai berikut:
Gambar 8. Sistem potongan pada struktur rangka bidang II
Tabel 5. Hasil perhitungan gaya dengan metode ritter pada struktur rangka bidang II Batang a=d b=c e=k f=j g=i h l=m
Gaya Batang (KN) Tarik Tekan – 90 – 120 127,208 – – 90 42,403 – – 60 90 –
Dengan menggunakan persamaan (1) sampai (9), dilakukan perencanaan dimensi di setiap elemen rangka yang dapat dilihat pada tabel 6 sebagai berikut: Tabel 6. Luas penampang tiap batang pada struktur rangka bidang II Batang a=d b=c e=k f=j g=i h l=m
Luas penampang (mm2) 1920 2120 1230 1920 1230 1870 691
Dimensi (Profil Siku) 100.100.10 110.110.10 80.80.8 100.100.10 80.80.8 80.80.12 60.60.6
Analisa metode elemen hingga Hasil penampang tiap elemen pada tabel 6 digunakan pada perhitungan gaya dengan metode elemen hingga, baik dengan menggunakan program matlab maupun microsoft excel. Dengan menggunakan persamaan (18) dan (19) serta program matlab, diperoleh hasil gaya batang yang dapat dilihat pada tabel 7 sebagai berikut: Tabel 7. Hasil perhitungan gaya dengan metode elemen hingga menggunakan matlab dan microsoft excel pada struktur rangka bidang II Gaya Batang dengan Metode Elemen Hingga (KN) Batang a=d b=c e=k f=j g=i h l=m
Matlab Tarik Tekan – 90 – 120 127,0792 – – 90 42,2264 – – 60 90 –
Ms. Excel Tarik Tekan – 90 – 120 127,0792 – – 90 42,2264 – – 60 90 –
Dari hasil perhitungan gaya dengan metode ritter, metode elemen hingga menggunakan matlab atau microsoft excel dan program SAP2000 v.14, diperoleh perbedaan persentase gaya pada setiap batang, antara lain sebagai berikut: Tabel 8. Hasil persentase gaya di setiap batang pada struktur rangka bidang II Persentase (%) Batang
Ritter – MEH (Matlab/ Ms.Excel)
Ritter – SAP2000 v.14
a b c d e f g h i j k l m % Rata-rata
0% 0% 0% 0% 0,18 % 0% 0,416 % 0% 0,416 % 0% 0,18 % 0% 0% 0,092 %
2,596 % 2,579 % 2,579 % 2,596 % 2,761 % 1,896 % 2,694 % 1,106 % 2,694 % 1,896 % 2,761 % 2,688 % 2,688 % 2,426 %
MEH (Matlab/ Ms.Excel) – SAP2000 v.14 2,596 % 2,579 % 2,579 % 2,596 % 2,860 % 1,896 % 3,099 % 1,106 % 3,099 % 1,896 % 2,860 % 2,688 % 2,688 % 2,503 %
5. KESIMPULAN Dari hasil perhitungan pada struktur rangka bidang I, diperoleh perbedaan rata-rata persentase gaya antara metode ritter, metode elemen hingga dan program SAP2000 1,000 %. Pada struktur rangka bidang II, diperoleh perbedaan rata-rata persentase gaya antara metode ritter, metode elemen hingga dan program SAP2000 2,503 %. Dengan demikian, perhitungan metode ritter dan metode elemen hingga dapat dinyatakan relevan.
6. SARAN Dalam proses analisanya, pada struktur rangka yang memiliki geometris yang kompleks, sebaiknya menggunakan metode elemen hingga karena dapat dibantu dengan menggunakan program, sehingga memiliki tingkat akurasi yang lebih baik. Sebaliknya, pada struktur rangka yang sederhana, sebaiknya menggunakan metode ritter karena proses pengerjaannya relatif singkat.
DAFTAR PUSTAKA Ariestadi, Dian. (2008). Teknik Struktur Bangunan. Jilid 2. Jakarta. Departemen Pekerjaan Umum. (2002). Tata Cara Perencanaan Struktur Baja Untuk Bangunan Gedung. SNI 031729-2002, Jakarta. Katili, I. (2008). Metode Elemen Hingga untuk Skeletal. PT. Raja Grafindo Persada, Jakarta. Kattan, P. I. (2002). Matlab Guide to Finite Elements An Interactive Aprproach. Springer, Berlin. Schodek, Daniel L. (1998). Struktur. PT. Refika Aditama, Bandung. Setiawan, Agus. (2008). Perencanaan Struktur Baja dengan Metode LRFD. Erlangga, Semarang. Susatio, Yerri, Ir. MT, (2004). Dasar-Dasar Metode Elemen Hingga. Andi, Yogyakarta. Weaver, William Jr. and Paul R. Johnston, (1989). Elemen Hingga untuk Analisis Struktur. PT. Eresco Bandung, Bandung.
