จ ำนวนเชิงซ้อน (Complex Number)

จำนวนเชิงซ้อน (Complex Number) ในระบบจำนวนจริงสำมำรถหำค่ำ x จำกสมกำร ได้คือ แต่ถ้ำกำหนด สมกำรให้เป็น หรือ - จะเห็นได้ว่ำไม่มีจำนวนจริงใดๆ ที่สอดคล้องกับทั้งสอง สมกำรเลย เพรำะว่ำ เสมอ จึงจำเป็นต้องสร้ำงระบบสมกำรขึ้นมำใหม่เพื่อหำ คำตอบของสมกำรทั้งสองได้ 1. จำนวนจินตภำพ (Imaginary Number) จำนวนจริงลบที่อยู่ในเครื่องหมำย

จะเรียกว่ำจำนวนจินตภำพ เช่น √- √- √-

ฯลฯ เป็นจำนวนที่ต่ำงจำกจำนวนจริงตรงที่ว่ำไม่สำมำรถกำหนดจุดบนเส้นจำนวนจริงแทนจำนวน จินตภำพเหล่ำนี้ได้ จะใช้สัญลักษณ์ i แทนจำนวน √- นั้นคือ นิยำมที่ 1.1

√- หรือ

ถ้ำ a เป็นจำนวนจริงบวกแล้ว √- √ √ดังนั้นจำกนิยำม

√- √

เช่น √- √ √- √ i √- √ √- √ √- √ √-

เป็นต้นไป

-

2. กำรหำค่ำ เนื่องจำก √- กำรหำค่ำ

ทำได้ดังนี้

i1 = i i5 = i4i = 1i = i i2 = -1 i6 = i4j2 = 1 (-1) = -1 i3 = ii2 = (-1) = -i i7 = i4i3 = (1) (-i) = -i i4 = i2i2 = (-1)(-1) = 1 i8 = i4i4 = (1)(1) = 1 และในทำนองเดียวกันจะได้ จะเห็นว่ำกำลังของ ตั้งแต่ 1 ถึง 4 ได้ค่ำแตกต่ำงกัน กำลังของ ตั้งแต่ 5 ถึง 8 และ 9 ถึงซ้ำกัน 12 ไปเรื้อยๆ จะได้ค่ำซ้ำกับกำลัง 1 ถึง 4 ดังนั้นจึงสรุปว่ำรูป เมื่อ เป็นจำนวน เต็มบวกใดๆ มีโอกำสเป็นไปได้ 4 กรณี คือ - - โดยที่ เมื่อ หำรด้วย 4 ลงตัวจะได้ เมื่อ หำรด้วย 4 เหลือเศษ 1จะได้ เมื่อ หำรด้วย 4 เหลือเศษ 2 จะได้ เมื่อ หำรด้วย 4 เหลือเศษ 3 จะได้ ดังนั้นเมื่อ จะได้ และ -

Ex.1 จงหำค่ำของ 1.

Ex.2 จงหำค่ำของ 1.

2.

Ex.3 จงหำค่ำของ 1. √- √-

นิยำมที่ 1.2 จำนวนที่เชิงซ้อนคือจำนวนที่เขียนอยู่ในรูป z = a+bi เมื่อ a และ b เป็น จำนวนจริง จำกนิยำมจำนวนเชิงซ้อน z = a+bi เรียกจำนวนจริง a ว่ำส่วนจริง (real part) เขียนแทนด้วย Re(z) เรียกจำนวนจริง b ว่ำส่วนจินตภำพ (Imaginary part) เขียนแทนด้วย Im(z) เช่น จำนวนจริง เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งส่วนจริงคือ 3 ส่วนจินคภำพคือ 4 √

-

-

เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งส่วนจริงคือ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึง่ ส่วนจริงคือ -

√

ส่วนจินตภำพคือ -2

ส่วนจินตภำพคือ -√

จำกจำนวนเชิงซ้อน ถ้ำ จะได้ เรียกจำนวนจินตภำพแท้ ถ้ำ จะได้ ซึ่งเป็นจำนวนจริง ดังนั้นจำนวนจริงทุกจำนวนเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่มีสว่ นจินตภำพ

3. กำรเท่ำกันของจำนวนเชิงซ้อน นิยำมที่ 1.3 ถ้ำให้ และ เป็นจำนวนเชิงซ้อนโดยที่ และ ก็ต่อเมื่อ และ Ex.1 จงหำค่ำของ x และ y จำก - - เมื่อ

Ex.2 จงหำค่ำของ x และ y จำก (- - ) ( - ) - -

Ex.3 (

) ( - ) ( - )( - )

4. กำรบวกและลบจำนวนเชิงซ้อน นิยำมที่ 1.4 ถ้ำให้ และ เป็นจำนวนเชิงซ้อนโดยที่ ( ) ( ) - (-) (-) จำกนิยำมจะเห็นว่ำกำรบวกและกำรลบจำนวนเชิงซ้อน เหมือนกับกำรบวกและกำรลบจำนวนจริง Ex.1 จงหำผลบวกและผลต่ำงของจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดให้ต่อไปนี้ -

Ex.2 จงหำค่ำของ ( - ) (-

)- -

5. กำรคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนจริง นิยำมที่ 1.5 ถ้ำ เป็นจำนวนเชิงซ้อนและ k เป็นจำนวนจริงใดๆ ( ) จะได้ว่ำ Ex.1 จงหำจำนวนจริง x, y จำกสมกำร (

)- ( - )

Ex.2 จงหำจำนวนจริง x, y จำกสมกำร -

-

คุณสมบัตกิ ำรบวกของจำนวนเชิงซ้อน ให้ c เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อนและ เป็นสมำชิกของเซต c 1. คุณสมบัติปิดสำหรับกำรบวก ถ้ำ แล้ว 2. คุณสมบัติสลับที่สำหรับกำรบวก ถ้ำ แล้ว 3. คุณสมบัติกำรเปลี่ยนแปลงกลุ่ม (จัดหมู่) สำหรับกำรบวก ) ถ้ำ และ แล้ว ( 4. คุณสมบัติกำรมีเอกลักษณ์สำหรับกำรบวก ถ้ำ เรียก 0 ว่ำ เป็นเอกลักษณ์กำรบวกของจำนวนเชิงซ้อน 5. คุณสมบัติกำรมีอินเวอร์สสำหรับกำรบวก ถ้ำ จะมีโดยที่ (- ) (- ) ( ) เรียก - เป็นอินเวอร์สำหรับกำรบวกของ 6. คุณสมบัติกำรมีอินเวอร์สสำหรับกำรบวก ถ้ำ

จะมี-

โดยที่

(- ) (- ) ( )

เรียก - ว่ำเป็นอินเวอร์สสำหรับกำรคูณของ

6. กำรคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนเชิงซ้อน นิยำมที่ 1.6 ให้ และ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จะได้ จำกนิยำมจะเห็นว่ำกำรคูณจำนวนเชิงซ้อนก็เหมือนกับกำรคูณแบบธรรมดำนั่นเอง เพียงแต่ใช้คุณสมบัติ Ex.1 จงทำให้เป็นผลสำเร็จในรูป 1. ( )( - )

Ex.2 กำหนดให้ 1)

2)

-

- จงหำ

คุณสมบัตกิ ำรคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนเชิงซ้อน ให้ c เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน และ เป็นสมำชิกในเซต c 1. คุณสมบัติปิดสำหรับกำรคูณ ถ้ำ แล้ว 2. คุณสมบัติสลับที่สำหรับกำรคูณ ถ้ำ แล้ว 3. คุณสมบัติกำรเปลี่ยนแปลงกลุ่ม (จัดหมู่) สำหรับกำรคูณ ถ้ำ แล้ว ( ) 4. คุณสมบัติกำรมีเอกลักษณ์สำหรับกำรคูณ มี เป็นสมำชิก และถ้ำ แล้ว ( )( ) ( )( ) เรียก เป็นเอกลักษณ์กำรคูณ 5. คุณสมบัติกำรมีอินเวอร์สสำหรับกำรคูณ ถ้ำ

จะมี

-

โดยที่

-

-

เรียก - ว่ำเป็นอินเวอร์สสำหรับกำรคูณของ 6. คุณสมบัติกำรแจกแจง ) ถ้ำ แล้ว (

พิจำรณำคุณสมบัติขอ้ ที่ 5 ให้ ให้

โดยที่

จงหำค่ำ

-

-

(

)(

)

(เพรำะเป็นอินเวอร์สกำรคูณ)

) ( - ) ( จำกคุณสมบัติกำรเท่ำกันของจำนวนเชิงซ้อน -

Ex.1 กำหนด 1.

2.

จงหำค่ำ

-

จำก

(1) (2)

3.

-

7. สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (Conjugate of Complex numbers ) นิยำมที่ 1.7 สำหรับจำนวนเชิงซ้อน ใดๆ สังยุคของ z แทนด้วย ̅ จำกนิยำมพบว่ำถ้ำ แล้ว ̅̅̅̅ เช่น ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ -- ̅ ̅โดยที่ ̅ ( )( - ) เช่น ( )( - ) คุณสมบัตสิ งั ยุคของจำนวนเชิงซ้อน ให้ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ 1. ̅ 2. ̅ 3. ̅̅̅̅ ̅ ̅ 4. ̅̅̅̅̅ - ̅-̅ 5. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 6. ( )

̅ ̅

7. ( ̅ ) ( ̅ )

-√-

Ex.1 จงหำสังยุคของ

8. กำรหำรจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนเชิงซ้อน กำรหำรจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนเชิงซ้อนนั้นไม่สำมำรถทำได้เหมือนจำนวนจริงเนื่องจำกไม่ สำมำรถรู้ค่ำ i ว่ำเป็นเท่ำใด ดังนั้นอำศัยคุณสมบัตขิ องสังยุคจำนวนเชิงซ้อน โดยกำรทำตัวหำร ให้เป็นจำนวนจริง คือนำสังยุคของตัวหำรมำคูณทั้งเศษและส่วน Ex.1 ให้

-

จงเขียน

Ex.2 จงเขียนจำนวนเชิงซ้อน

ในรูป

-

-

ในรูปของ

9. ค่ำสัมบรูณข์ องจำนวนเชิงซ้อน (Asolute Value หรือ modulus) นิยำมที่ 1.8 ค่ำสัมบรูณข์ องจำนวนเชิงซ้อน เขียนแทนด้วย | | | ระยะทำงสุดท้ำย ถึง y (a,b) |z| 0

a

จำกนิยำมจะได้ว่ำ | | √ Ex.1 | |

√

Ex.2 | - |

b x

| คือ

Ex.3 กำหนด หำค่ำ | |

เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ และ ( )(

คุณสมบัตคิ ำ่ สัมบรูณข์ องจำนวนเชิงซ้อน ให้ เป็นจำนวนเชิงซ้อน 1. | | | | |- | 2. | | | | | | 3. | |

| | | |

4. | | | | | | | | | 5. |

)(- - ) - จง

Ex.1 จงหำค่ำสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ 1.1 |( - )( ) ( - )|

1.2 |

(√ √ ) ( √ ) (- - )

|

10. กำรหำคำตอบของสมกำรในระบบจำนวนเชิงซ้อน - ใช้กำรแยกตัวประกอบ Ex.1 จงหำคำตอบของสมกำรกำรต่อไปนี้ 1.1

1.2

-

- สมกำรที่อยู่ในรูป -

เมื่อ

√ -

Ex.2 จงหำคำตอบของสมกำรต่อไปนี้ 1.1 -

1.2

-

เป็นค่ำคงที่และ

ให้ใช้สูตร

11. กรำฟของจำนวนเชิงซ้อน ในระบบจำนวนจริงสำมำรถใช้จุดบนเส้นจำนวน แทนจำนวนจริงแต่ละค่ำได้แต่สำหรับ จำนวนเชิงซ้อนต้องใช้จุดบนระนำบเป็นตัวแทนของจำนวนเชิงซ้อนโดยระนำบ ประกอบด้วยแกนจริง (แกน X) และแกนจินตภำพ (แกน y) ซึ่งเรียกว่ำระนำบเชิงซ้อน ซึ่งจำนวนเชิงซ้อนสำมำรถ แทนได้ด้วยคูล่ ำดับ คือ ถ้ำ แทนด้วย y (แกนจินตภำพ) (a,b)=a+bi |z|

0 Ex.1 ให้

b X (แกนจริง)

a

เป็นจำนวนเชิงซ้อนโดยที่ | |

Ex.2 กำหนด Z เป็นจำนวนเชิงซ้อนโดยที่ สอดคล้องกับสมกำรดังกล่ำว

จงหำทำงเดินของ

| - - | จงพิจำรณำในระบบจำนวนจริงที่

12. กำรเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปพิกดั เชิงชัว้ ( ) ในระนำบประกอบด้วยแกนจริงและแกนจินตภำพ จำก y (a,b)=a+bi |z| 0

b x

a

จำกรูป ||

||

จำก ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อน 1.

2.

√

-

||

หรือ หรือ

||

|| || เขียนในรูปพิกัดเชิงขั้ว คือ

| |(

)

13. กำรคูณและกำรหำรจำนวนเชิงซ้อนในระบบเชิงขัว้ | | ถ้ำให้ | | | || |[ ( ) จะได้ | | | |

Ex.1 กำหนด จงหำค่ำของ

(

[ ( - ) )

] -

]

Ex.2 กำหนด จงหำค่ำของ

ในรูป

14. กำรหำค่ำของ ในระบบพิกดั เชิงชัว้ ให้ | | จำกหัวข้อที่ 1.13 จะได้ ||[ ( ) || ในทำนองเดียวกันจะได้

]

zn =|z| n( cos nθ+i sin nθ) ซึ่งเรียกว่ำ ทฤษฏีบทของเดอมัวร์ De M vr’ The rem ซึ่งมีประโยชน์ในกำรหำ จำนวนเชิงซ้อนที่มีกำรยกกำลังมำกๆ Ex.1 จงหำค่ำของ (-

√

)

Ex.2 จงหำค่ำของ [ (

)]

-

15. กำรหำรำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน Ex.1 จงหำรำกที่ 3 ของ 1

Ex.2 จงหำรำกที่ 4 ของ 16