1. [2014] [EXTR] [JUN-B] a

Funciones. Límites. Continuidad Selectividad CCNN

MasMates.com Colecciones de ejercicios

1. [2014] [EXTR] [JUN-B] a) Enuncie el teorema de Bolzano. b) Aplique el teorema de Bolzano para probar que la ecuación cos x = x2-1 tiene soluciones positivas. c) ¿Tiene la ecuación cos x = x2-1 alguna solución negativa? Razone la respuesta.

2. [2013] [ASTU] [JUN-B] Calcule lim (2-x)

1 1-x

x1

3. [2013] [EXTR] [JUN-B] a) Enuncie el teorema de Bolzano. b) Demuestre que alguna de las raíces del polinonio P(x) = x4-8x-1 es negativa. c) Demuestre que P(x) tiene también alguna raíz positiva. x+1 -1 , se pide: x-1

4. [2012] [MURC] [EXT-A] Dada la función f(x) = x

a) Dominio de definición. b) Calcule lim f(x). ¿Es posible calcular también lim f(x)? Justifique la respuesta. x1+

x1-

c) Calcule lim f(x). x+

5. [2011] [ARAG] [JUN-A] Sea la función f(x) =

x2+2 . x-2

a) Calcular su dominio. b) Obtener sus asíntotas. c) Estudiar sus puntos de corte con los ejes y analizar si es una función par.

6. [2011] [ARAG] [JUN-B] a) Se considera la función f(x) =

lnx

si 0 < x < 1

2

ax +b si 1  x < +

. Si f(2) = 3, obtener los valores de a y b que hacen

que f(x) sea continua. b) Calcular lim log x2-9 y x+

lim log x2-9 .

x3+

7. [2011] [ASTU] [EXT-B] Calcule los números a, b y c para que la curva de ecuación y = ax3+bx2+cx+4 pase por los puntos (1,10), (-1,2) y (2,26). Demuestre que la curva es única. Escriba dicha curva. 8. [2010] [C-MA] [JUN-A] a) Enuncia el teorema de Bolzano. 1 en algun intervalo? b) ¿Se puede aplicar dicho teorema a la funcion f(x) = 1+x2 c) Demuestra que la funcion f(x) anterior y g(x) = 2x-1 se cortan al menos en un punto.

9. [2010] [CATA] [EXT] Encuentre las asíntotas de la función f(x) =

3x3-5x-2 x2-3x-5

.

10. [2010] [EXTR] [JUN-A] a) Enuncie el teorema de Bolzano. b) Aplique el teorema de Bolzano para probar que la ecuación ex = -2x2+2 tiene soluciones (puede ser útil dibujar las gráficas de las funciones f(x) = ex y g(x) = -2x2+2). c) Determine un intervalo de longitud 1 donde se encuentre una solución de la ecuación ex = -2x2+2.

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11. [2009] [ASTU] [EXT] Dado a, se considera la función f(x) =

2x2-3ax-6 si x < 3 . Determine los valores de a para los que la x-3 x2-1

si x  3

función es continua. 12. [2009] [C-LE] [EXT-B] Probar que la ecuación x2009-ex+2 = 0 tiene alguna solución. 13. [2009] [C-MA] [JUN] Enuncia el teorema de Bolzano. Como aplicación de este teorema demuestra que las gráficas de las 2

funciones f(x) = ex y g(x) = 2cos x2 se cortan, al menos, en un punto.

14. [2009] [C-MA] [EXT] Se sabe que la recta y = 9 es una asíntota horizontal de la función f(x) =

x2 ax2-4

. Calcula el valor del

parámetro a. Estudia si para dicho valor del parámetro tiene asíntotas verticales u oblicuas.

15. [2009] [MADR] [JUN-A] Calcular el siguiente límite: lim

x+

Sea 16. [2008] [ARAG] [JUN]

  x  log

1+

x+1

1 x2+4x+8

, según los valores del parámetro .

 x

1+x 1-x

(a) Calcular el dominio de f(x) (b) Estudiar si f(x) es una función par. (c) Calcular las asíntotas de f(x). 17. [2008] [C-LE] [JUN-B] Demostrar que la ecuación x3+x-5 = 0 tiene una solución en el intervalo (1,2). 18. [2008] [EXTR] [JUN-A] a) Enuncia la condición que se debe cumplir para que una recta y = 1 sea asíntota horizontal de una función f(x) en +. 3x-1 . b) Calcula las asíntotas verticales y horizontales (en + y -) de la función f(x) = x2-1 19. [2007] [ARAG] [JUN-A] Calcular: a) lim

x2-5-2 . x-3

b) lim

1-

x3

x+

x

1

.

x2

20. [2007] [ASTU] [JUN] Calcula: a) lim

x0

b) lim

x+

x2+1-1 x2 2n-8 2n+1

.

.

21. [2007] [C-LE] [JUN-A] Demostrar que las curvas f(x) = senx y g(x) =

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5 1 se cortan en algún punto del intervalo 2, . 2 x

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22. [2007] [C-LE] [JUN-B] Hallar a y b para que la función f(x) =

a+xlnx si x < 0 b si x = 0 sea continua en todo . sesn(x) si x > 0 x

23. [2007] [C-LE] [EXT-B] Discutir si la ecuación x + sen x = 2 tiene alguna solución real. 24. [2007] [C-MA] [JUN] a) Define el concepto de función continua en un punto. e3x-e-3x , indica de forma razonada en qué valor x = a no está definida f(x). 4x f(x) si x  a c) Calcula el valor b para que la función g(x) = sea continua. b si x = a

b) Si f(x) =

25. [2007] [C-MA] [EXT] De la función f(x) =

ax2+b , con a,b, sabemos que pasa por el punto 1,2 y que tiene una asíntota oblicua a-x

cuya pendiente es -6. a) Determina los valores de a y b de la función. b) Determina, si existen, las asíntotas verticales de dicha función. 3x-4 es discontinua en x = 2, calcula b y justifica razonadamente x3+bx2+8x-4 el comportamiento de la función en la proximidad de los puntos de discontinuidad.

26. [2007] [CANA] [EXT-B] Sabiendo que la función f(x) =

27. [2007] [RIOJ] [EXT] Busca algún criterio que te permita afirmar que la ecuación x3+x2-7x+1 = 0 tiene al menos una solución en el intervalo 0,1 . ¿Qué te dice ese criterio para el intervalo -1,0 ? Razona la respuesta.

28. [2006] [ARAG] [EXT-A] Calcular lim

x+

x+5 x-1

29. [2006] [ARAG] [EXT-B] La función f(x) =

x2 x+3

x+1-1 no está definida para x = 0. Definir f(0) de modo que f(x) sea una función x

continua en ese punto.

30. [2006] [C-LE] [JUN-B] Determínense los valores de a y b para los cuales lim

ax2+bx-1-cos(x) sen x2

x0

31. [2006] [CATA] [JUN] Encuentre el dominio y las asíntotas de la función: f(x) =

32. [2005] [ARAG] [EXT-B] Calcular razonadamente el límite de la sucesión

= 1.

x2-4x+1 x-1

(n-2)2 (n+1)3-(n-1)3

.

33. [2005] [C-LE] [JUN-B] Estúdiese, según los valores de los números reales  y , la continuidad de la función f definida por x+ si x  0 . f(x) = 1+e1/x 

si x = 0

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x

34. [2005] [C-MA] [JUN] Estudia si la función f(x) =

,

x  -1 , -1 < x  2 es continua en los puntos x = -1 y x = 2. 1-x -3 , 2 < x 2

Representa gráficamente dicha función. 35. [2005] [CANA] [JUN-B] Representar una función que cumpla las condiciones: i) Dominio(f) = -{1} ii) Puntos de corte: P(0,0). iii) Crecimiento: (-,0](2,+). Máximo en (0,0). Decrecimiento: (0,1)(1,2]. Mínimo en (2,4). iv) Asíntota vertical: x = 1. lim f(x) = +. lim f(x) = -. x1+

x1-

Asíntota oblicua: y = x+1.

36. [2005] [RIOJ] [JUN] ¿Cuál es el dominio de la función y = x

37. [2005] [RIOJ] [JUN] Calcula lim

x3

x+1 ? x-1

cos(x) x

38. [2005] [RIOJ] [EXT] Halla los puntos de discontinuidad de la función y =

tg(x) . x

Nota: x está expresado en radianes. 39. [2005] [RIOJ] [EXT] Calcula los siguientes límites: lim

x+

x2-2x - (x-2) x-2

;

lim (2x+1)1/x

x0

;

lim 31/(2x-1)

x1/2

40. [2004] [C-LE] [JUN-A] Demuétrese que las gráficas de las funciones f(x) = ex y g(x) =

41. [2004] [C-LE] [EXT-B] Determínese el valor del parámetro a para que se verifique lim

1 se cortan en un punto x > 0. x

x+

x2+ax+1 - x = 2.

42. [2004] [CANA] [JUN-A] Determina los valores de a y b para que la siguiente función sea continua en todos sus puntos: f(x) =

ax2+b si x < 0 x-a si 0  x < 1 a +b si 1  x x

43. [2004] [CANA] [JUN-B] Representa gráficamente una función que satisfaga las siguientes condiciones: a) f(0) = 0 ; f'(0) = 0. b) Asíntota vertical la recta x = 3. c) Creciente en (--3)(-3,0). d) lim f(x) = -. x1-

e) lim f(x) = 0 ; x-

lim f(x) = 0.

x+

f) Decreciente en (0,1)(1,+). 44. [2004] [EXTR] [EXT-B] Enunciar el teorema de Bolzano y usarlo para probar que la ecuación y = cosx tiene solución positiva.

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45. [2004] [RIOJ] [JUN] Halla el valor que deben tomar los parámetros a, b y c para que la curva y = ax2+bx+c pase por los puntos 1,4 , 2,9 y -3,24 . 46. [2003] [C-LE] [JUN-A] Demostrar que la ecuación x5+4x3+3 = 0 tiene exactamente una raiz en el intervalo [-1,1]. ¿En qué resultado te basas? 47. [2003] [CANA] [JUN-B] Calcular los valores de los parámetros a y b para que la función siguiente resulte continua en todos sus ax-b , x < -1 puntos: f(x) =

ax2-bx+3 , -1  x  2 . -bx3+a

,

x>2

48. [2003] [EXTR] [JUN-B] Enunciar el teorema de Bolzano y determinar si el polinomio x4-4x2-1 tiene alguna raíz real negativa.

49. [2003] [MADR] [JUN-A] Dada la función f(x) =

x5-x8

1-x6 a) Encontrar los puntos de discontinuidad de f. Determinar razonadamente si alguna de las discontinuidades es evitable. b) Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical. Y

3 2

50. [2000] [ANDA] [JUN-B] Determina a, b y c para que la curva y =

a 2

x +bx+c

1

sea la siguiente: -4 -3 -2 -1

X

1 2 3 4 -2 -3 -4

Soluciones 4. a) (-,-1](1,+) b) +; no c) 1 5. a) -{2} b) x = 2; y = x+2 c) (0,-1); no 6. a) 1, -1 b) +, - 7. x3+2x2+3x+4 8. b) no 9. x = 5; y = 3x+12 10. c) (-1,0), (0,1) 4 4 1 3 1 1 11. 14. ; a.v: x = 6, x = -6 15. =0: e ; 0: 1 16. (a) (-1,0)(0,1) (b) si (c) x = 1; x = -1 18. b) x = 1; x = -1; y = 3; y = -3 19. a) b) 1 20. a) b) 22. 3 9 2 2 2 1 1 1 3 25. a) a=6, b=4 b) x=6 26. b = -5; lim f(x) = ; lim f(x) = + 28. e6 29. f(0) = 30. , 0 31. D: -{1}. A: x = 1; y = x-3 32. 33. a=, b= 24. b) x=0 c) x1 x2 2 2 6 2 Y

continua si ==0 34. Continua en el 2. -3

-2,

1

X

-1 -2

1 2 3 4 5

36. (-,-1](1,+) 37.

-1 3

38.  -

0,

 +k , kZ. 39. 0, e2, no 41. 4 42. 1, -1 45. 2, -1, 3 47. 2

-4 1 48. si 49. a) -{-1,1}, evitable en el 1. b) x = -1 50. a = 8 ; b = 2 ; c = -3 2

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