1.5 SISTEM KOORDINAT BIDANG.PDF

Download Kalkulus Differensial – Nur Insani 2007. 1 [email protected]. 1.5. system koordinat empat bidang. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4. Setiap titik pd ...

4 downloads 689 Views 958KB Size
Kalkulus Differensial – Nur Insani 2007

1.5. system koordinat empat bidang y

II

I A (3,3)

3

B (-2,1) 1

x

-4

-3

-2

III

-1

0

1

2

3

4

IV

Setiap titik pd bidang koordinat dpt dinyatakan dlm suatu pasangan terurut yg dinamakan Koordinat Kartesius. 𝐴 (3,3)

koordinat x (absis)

𝐵 (−2,1)

koordinat y (ordinat)

1 [email protected]

Kalkulus Differensial – Nur Insani 2007

Menentukan Jarak 2 Titik pd Bidang Perhatikan, Menurut Phytagoras,

c

b

b

𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 𝑐 = 𝑎2 + 𝑏 2

a

(hanya akar kuadrat utama) y

𝑄 (𝑥2 , 𝑦2 )

𝑦2

𝑑 𝑃, 𝑄 = ? 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 )

𝑅(𝑥2 , 𝑦1 )

𝑦1

𝑥1

x

𝑥2

Menurut Phytagoras, 𝑑 𝑃, 𝑄 = = karena 𝑥

𝑑 𝑃, 𝑅

𝑥2 − 𝑥1 2

2

2

+ 𝑑 𝑄, 𝑅

+ 𝑦2 − 𝑦1

= 𝑥 2 , maka:

𝑑 𝑃, 𝑄 =

𝑥2 − 𝑥1

2

2

RUMUS JARAK 2

+ 𝑦2 − 𝑦1

2

2 [email protected]

Kalkulus Differensial – Nur Insani 2007

Contoh: Tentukan jarak antara 𝑃 −2, 3 𝑄 2, 1 .

dan

Persamaan Lingkaran Lingkaran : himpunan titik yg berjarak sama dari suatu titik tertentu. y

𝑃 3,4 4

𝑄 𝑥, 𝑦 x 3

Titik 𝑥, 𝑦 sebarang titik pd lingkaran. Menurut rumus jarak, jarak pusat lingkaran dgn 𝑥, 𝑦 yaitu: 𝑑 𝑃, 𝑄 = 3=

𝑥−3 𝑥−3

9= 𝑥−3

2

2

2

+ 𝑦−4

+ 𝑦−4

+ 𝑦−4

2

2

2

3 [email protected]

Kalkulus Differensial – Nur Insani 2007

∴ Persamaan lingkaran dgn pusat 3,4 dan r = 3. Persamaan baku lingkaran dgn pusat ℎ, 𝑘 dan jari-jari r : 𝑥−ℎ

2

+ 𝑦−𝑘

2

= 𝑟2

Persamaan lingkaran dgn pusat 0,0 dan jarijari r :

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

Perhatikan: 𝑥−ℎ 𝑥−ℎ

2

2

+ 𝑦−𝑘

+ 𝑦−𝑘

2

2

= 𝑟2

− 𝑟2 = 0

𝑥 2 − 2𝑥ℎ + ℎ2 + 𝑦 2 − 2𝑦𝑘 + 𝑘 2 − 𝑟 2 = 0 𝑥 2 − 2𝑥ℎ + 𝑦 2 −2𝑦𝑘 + (ℎ2 + 𝑘 2 − 𝑟 2 ) = 0 Dari sini dapat dibentuk Persamaan umum lingkaran dgn pusat ℎ, 𝑘 & jari-jari r : 𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑦 2 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 , dengan 𝑎 = −2ℎ, 𝑏 = −2𝑘, 𝑐 = ℎ2 + 𝑘 2 − 𝑟 2

4 [email protected]

Kalkulus Differensial – Nur Insani 2007

Contoh:

1. Carilah koordinat x dari dua titik pd lingkaran dgn pusat 1,1 & 𝑟 = 1, dimana koordinat y = 1. 2. Perlihatkan bhw persamaan 𝑥 2 − 2𝑥 + 𝑦 2 + 6𝑦 = −6 adalah suatu lingkaran, & tentukan pusat & jari2nya.

Rumus Titik Tengah y

𝑄 𝑥1 , 𝑦1

𝑃 𝑥2 , 𝑦2

𝑥1

𝑥 1 +𝑥 2 2

x

𝑥2

1

1

𝑥1 + 2 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑥1 + 2 𝑥2 − 1

= 2 𝑥2 + =

1 2

1 2

𝑥1

𝑥1

𝑥2 + 𝑥1 2

5 [email protected]

Kalkulus Differensial – Nur Insani 2007

Titik tengah potongan garis dari 𝑃 𝑥1 , 𝑦1

ke

𝑄 𝑥2 , 𝑦2 mempunyai koordinat: 𝑥 1 + 𝑥 2 𝑦1 + 𝑦2 , 2 2

Contoh: 1. Tentukan persamaan lingkaran mempunyai potongan garis dari 1,3 7,11 sbg diameternya.

yg ke

Petunjuk:  Titik tengah garis = pusat lingkaran 1 2

 Jari-jari lingkaran = . jarak kedua titik

6 [email protected]