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Vergiss nicht 2 mal das Gemischte“! ” (1) (2)
(3)
2
2
2
(a + b) = a + 2ab + b (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 a2 und b2 heißen quadratische Glieder, 2ab gemischtes Glied (a + b)(a − b) = a2 − b2
(Plusminusformel)
b
ab
b2
a
a2
ab
a
b
Beispiele: • (x + 3)2 = x2 + 2 · x · 3 + 32 = x2 + 6x + 9 • (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · (2x) · 3 + 32 = 4x2 − 12x + 9 • ( 12 a2 − b3 )2 = 14 a4 − a2 b3 + b6 • (5x + 11)(5x − 11) = (5x)2 − 112 = 25x2 − 121 • (−x + 4)2 = (4 − x)2 = 16 − 8x + x2 oder (−x + 4)2 = (−x)2 + 2 · (−x) · 4 + 16 = x2 − 8x + 16 • (−x − 4)2 = [(−1)(x + 4)]2 = (−1)2 (x + 4)2 = (x + 4)2 = x2 + 8x + 16 oder (−x − 4)2 = (−x)2 + 2 · (−x) · (−4) + (−4)2 = x2 + 8x + 16 Beachte: Steht vor der Klammer ein Minus, so muss man Klammern setzen bzw. die Vorzeichen a¨ ndern: • a2 − (a + n)(a − n) = a2 − (a2 − n2 ) = a2 − a2 + n2 = n2 • a2 − (a − 2n)2 = a2 − (a2 − 4an + 4n2 ) = 4an − 4n2 Hinweis: F¨ur Ausdr¨ucke von der Sorte (a+b)3 gibt es ebenfalls Formeln (n¨amlich a3 +3a2 b+3ab2 +b3 ); wenn man sie nicht auswendig weiß, schreibt man sie zun¨achst als mehrfache Klammern: (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)2 (a + b) = (a2 + 2ab + b2 )(a + b); die letzte Klammer muss man dann noch zu Fuß“ ausmultiplizieren. ” Den umgekehrten Vorgang (Verwandlung von Summe bzw. Differenz, z. B. a2 ± 2ab + b2 , in ein Produkt, z. B. (a ± b)(a ± b) = (a ± b)2 ) nennt man Faktorisieren (siehe auch grund74.pdf). Beispiele (Kontrolle: Beim Ausmultiplizieren muss sich wieder der urspr¨ungliche Ausdruck ergeben): • 4x2 − 1 = (2x + 1)(2x − 1) • 49x2 − 28x + 4 = (7x)2 − 28x + 22 = (7x − 2)2 • 6u2 + 36uv + 54v 2 = 6(u2 + 6uv + 9v 2 ) = 6(u + 3v)2
Ausdr¨ucke von der Art (a + b)2 , (a − b)2 oder (a + b)(a − b) kann man ausmultiplizieren, indem man (a+b)2 = (a+b)(a+b) schreibt und dann jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert (siehe grund74.pdf). Man kann sich aber auch Rechnungen wie (a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − ab − ba + b2 = a2 − 2ab + b2 als fertige Formeln merken (binomische Formeln):
Vorbemerkung: Das Thema Binomische Formeln“ ist zwar im neuen Lehrplan in der 7. ” Klasse noch nicht vorgesehen. Wegen der Bedeutung im Rahmen des Terme-Vereinfachens es hier jedoch in den Grundwissens-Katalog aufgenommen.
