ALGEBRA DE SUCESOS 1. Se considera el experimento que consiste en lanzar un dado cuyas caras están numeradas del uno al seis y anotar el resultado de la cara superior. Se pide: a) El espacio muestral. b) El suceso "obtener número par". c) El suceso "obtener número impar". d) El suceso "Obtener múltiplo de 2". e) ¿Como son los sucesos de los apartados b y d. 2. En el experimento del ejercicio anterior se consideran los sucesos siguientes: A= "obtener número impar " y B = " obtener múltiplo de 5" a) ¿Siempre que se realiza A, se realiza B? b) ¿Siempre que se realiza B, se realiza A ? 3. Se considera el experimento que consiste en lanzar dos monedas al aire y anotar el resultado de las caras superiores. Se pide: a) El espacio muestral. b) El espacio de sucesos. c) El suceso "obtener al menos una cara". 4. Se considera el experimento que consiste en el lanzamiento de dos dados de distinto color y anotar el resultado de las caras superiores. Se pide: a) El espacio muestral. b) El suceso "obtener al menos un 6" c) El suceso "obtener al menos un múltiplo de 2". 5. Interpretar el espacio muestral del ejercicio anterior mediante un diagrama de árbol. 6. Teniendo en cuenta el ejercicio anterior, ¿Cuántos elementos tendrá el espacio muestral de un experimento que consiste en lanzar tres dados de distintos colores y anotar los resultados obtenidos en las caras superiores? 7. Se considera el experimento que consiste en el lanzamiento de dos dados del mismo color y del mismo tamaño, es decir indistinguibles, y anotar el resultado de las caras superiores. Se pide: a) El espacio muestral. b) El suceso "obtener al menos un 6" c) El suceso "obtener al menos un múltiplo de 2". 8. Consideremos el experimento que consiste en lanzar dos dados y calcular el resultado de la suma de las caras superiores. Formar los siguientes sucesos: a) El suceso cierto. b) b) El suceso "obtener suma igual a 11" c) El suceso "obtener suma igual a 8". d) d) El suceso "obtener suma menor o igual a 4". e) El suceso "obtener suma mayor o igual a 10" 9. Se tiene una bolsa con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Se realiza un experimento que consiste en la extracción de una bola de la bolsa, se anota el número y se reintegra a la bolsa. Se pide: a) El espacio muestral. b) Construir los siguientes sucesos: A = "obtener número par" B = "obtener número primo" C = "obtener múltiplo de 3" 10. Formar los sucesos contrarios de los sucesos propuestos en el ejercicio anterior.
11. En el experimento aleatorio cuyo espacio muestral es E ={1,2,3,4,5,6}, se consideran los siguientes sucesos: A ={ 2,5,6}, B ={1,3,4,5}, C ={4,5,6} y D ={3}. Formar los sucesos contrarios. 12. Dados los sucesos del ejercicio anterior, calcular: a) A∪B g) (A∩B)c b) A∩C h) A ∪B c) B∪C i) A∪(B ∩C) d) A∪(B∩C) j) A∩(B ∪C) e) (A∪B)c k)A∩(B∩C) f) A ∩B l) (A∩B)c∩C 13. De Morgan, matemático inglés aunque nacido en la india, coetáneo de Boole, demostró que en todo álgebra de Boole se verifica: (A∩B)c =A ∪B y (A∪B)c =A ∩B Estas dos igualdades se conocen con el nombre de Leyes de De Morgan. Comprobar dichas leyes con dos sucesos cualesquiera propuestos en el ejercicio anterior. 14. En una bolsa se tienen ocho bolas numeradas del 1 al 8. Se realiza un experimento que consiste en la extracción de una bola, anotar su número y reintegrarla a la bolsa. Consideremos los siguientes sucesos: A ={3,5,7,8}, B ={1,2,3,4,5} y C ={ 3,6,8}. Formar los sucesos A∩B, B∩A y A∩B∩C 15. Con los sucesos propuestos en el ejercicio anterior, formar los siguientes sucesos: A∪(B∪C) y (A∪B)∪C A∩(B∩C) y (A∩B)∩C 16. Se considera el experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de un dado y anotar el resultado de la cara superior. Sean los sucesos: A = "obtener un múltiplo de 3", B = "obtener un número primo" y C = "obtener un número par". ¿Son compatibles los sucesos A y B, A y C, B y C? 17. Formar cinco sistemas completos de sucesos distintos, correspondientes al experimento descrito en el ejercicio anterior. 18. Consideremos el experimento que consiste en la extracción de una carta de una baraja española. Sean los sucesos: A = "obtener el as de espadas" B = "obtener un rey" C = "obtener un oro" Explicar el significado de cada uno de los siguientes casos: a)A d) A∪B b)B e) B∩C c)C f) A∩(B∪C) 19. Sean A, B y C tres sucesos cualesquiera del espacio de sucesos S. Se pide expresar en función de los sucesos A,B y C, y de sus contrarios A,B y C, los siguientes sucesos: a) Se realizan A y B. b) Se realizan A y B, pero no C. c) Se realiza al menos uno de los tres. d) No se realiza ninguno de los tres sucesos. 20. Se consideran los sucesos A ="sacar un rey" y B ="sacar una figura". ¿Cuál de las dos aseveraciones siguientes es cierta? a) Siempre que se realiza A se realiza B. b) Siempre que se realiza B se realiza A.
21. Un jugador italiano expresó a Galileo su sorpresa al observar que al jugar con tres dados la suma 10 aparecía con más frecuencia que la suma 9. Sin embargo, según el jugador ambas sumas tenían los mismos casos favorables: Casos favorables al 9: 126, 135, 144, 225, 234, 333. Casos favorables al 10: 136, 145, 226, 235, 244, 334. Galileo comprobó matemáticamente que ambos sucesos no tenían los mismos casos favorables. Explicar por qué y calcular todos los casos favorables a cada una de estas sumas. 22.Consideremos el experimento que consiste en la extracción de tres tornillos de una caja que contiene tornillos buenos y defectuosos. Se pide: a) El espacio muestral y número de elementos de que consta. b) Formar el suceso A = "el último tornillo extraído es defectuoso". c) Formar el suceso B = "sólo hay un tornillo defectuoso". d) Formar el suceso C = "extraer al menos un tornillo defectuoso". 23. Se lanzan dos dados al aire; sea A el suceso " la diferencia de puntos obtenidos en los dos dados es 2" y B el suceso "obtener al menos un 6". Hallar los siguientes sucesos: a) A∩B b) A∪B c) A ∪B d)A ∩B 24. Antonio y Basilio son los finalistas de un torneo de ajedrez Gana el torneo quien gane dos juegos seguidos o tres alternativos. Hallar el espacio muestral o conjunto de los resultados posibles. 25. Se considera el experimento aleatorio consistente en tirar tres dados al aire y anotar los puntos de las caras superiores. Se pide: a) ¿Cuántos elementos tiene el espacio de sucesos? b) Formar el suceso A = "sacar al menos dos cincos" c) Formar el suceso B = "sacar dos doses y un tres". 26. Una urna contiene bolas negras y blancas en número superior a tres. Se sacan sucesivamente tres bolas de la urna. Se pide: a) El espacio muestral. b) Formar el suceso A ="sacar al menos una bola negra" c) Formar el suceso B = " sacar las tres bolas del mismo color". 27. Un aficionado a los casinos tiene tiempo para jugar a la ruleta cinco veces a lo sumo. Cada apuesta es de 1000pts jugando a doble ó nada. Empieza con 1000pts y deja de jugar cuando las pierda las 1000pts o cuando gane 3000pts. Obtener el espacio muestral. 28. Se ha observado la distribución del sexo de los hijos, en familias de tres hijos. Sean los sucesos: A = "el hijo mayor es varón" y B = "los dos hijos pequeños son varones". ¿Cuáles son los elementos de A y de B? 29. Se llama diferencia de dos sucesos A y B, a un suceso que se realiza cuando se realiza A y no B. Comprobar con un ejemplo que A − B = A ∩B 30. Un experimento consiste en la extracción de tres cartas de una baraja española. Sean: A = "Sacar rey en la primera extracción" B = "Sacar rey en la segunda extracción" C = "Sacar rey en la tercera extracción" Explicar el significado de los siguientes sucesos: a) A∪B∪C b) A∩(B∪C) c) A∪(B∩C) d) A∩B∩C e) A ∩ B ∩C f) A∩(B ∪C)
31. En una encuesta, los resultados del interrogatorio de cada persona se reflejan en una tarjeta. En las tarjetas se consideran el sexo, la edad (mayor o menor de 30 años), y la respuesta a la pregunta (Sí-No). Se pide: a) El espacio muestral. Formar los siguientes sucesos: c) B = "hombre menor de 30 años". d) C = "mujer". e) D = "persona mayor de 30 años que ha respondido Sí". 32. En una ciudad se publican tres periódicos. A, B y C. El 30% de la población lee A, el 20% lee B y el 15% lee C. El 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C, mientras que sólo el 3% lee los tres. Calcula el porcentaje de la población que lee, al menos, uno de los tres periódicos. 33. a) En una empresa se necesitan 29 licenciados, de los que 13 han de ser ingenieros, 13 matemáticos y 15 físicos, y de ellos, 6 tienen que ser ingenieros y matemáticos, 4 matemáticos y físicos, 5 ingenieros y físicos. ¿Cuántas personas han de tener las 3 carreras? ¿A cuántos que sólo sean ingenieros se les puede ofrecer empleo? ¿Cuántas personas se requiere que sean ingenieros y físicos pero no matemáticos? b) Como respuesta al anuncio del ejercicio anterior han acudido 29, de los que 15 eran matemáticos, 16 físicos, 6 ingenieros y matemáticos, 5 matemáticos y físicos, uno físico e ingeniero y uno las tres cosas. ¿Cuántos ingenieros habrá? ¿Qué puestos quedarán sin cubrir? ¿Qué personas no fueron empleadas? 34. En una reunión hay más hombres que mujeres, más mujeres que beben que hombres que fuman y más mujeres que fuman y no beben que hombres que no beben ni fuman. Demostrar que hay menos mujeres que no fuman ni beben que hombres que beben y no fuman. 35. En una encuesta hecha a 120 personas se ha obtenido que: 55 ven la TV, 60 escuchan la radio, 45 van al cine, 25 ven la TV y oyen la radio, 28 ven la TV y van al cine, 27 escuchan la radio y van al cine, 20 hacen las tres cosas. ¿Cuántas personas no hacen ninguna de las 3 cosas? ¿Cuántas ven la tele pero no oyen la radio ni van al cine? ¿Cuántas hacen sólo una de las tres cosas?
