Analisis Gerak Parabola Pada Bidang Miring oleh : Rayi Dwi

Analisis Gerak Parabola Pada Bidang Miring oleh : Rayi Dwi Muhreza Sinaga Pendidikan Fisika ‘16 Universitas HKBP Nommensen Gerak parabola pada bidang miring ada kalanya terjadi ketika sebuah bola dilemparkan dengan lintasan parabola tetapi berada di lereng gunung. Maka sudut yang terbentuk ada dua yaitu sudut lereng gunung dan sudut pelemparan bola tersebut. Selain itu, yang menjadi pembeda antara gerak parabola pada bidang miring dengan gerak parabola biasa adalah jarak maksimal yang ditempuh bola dihitung berdasarkan permukaan lereng gunung bukan berdasarkan sumbu x datar, kemudian tinggi maksimum pada gerak parabola pada bidang miring dihitung tegak lurus berdasarkan lereng gunung, bukan berdasarkan arah datar sumbu x.

sumber gambar : Rebiaz

Kecepatan awal benda adalah 𝑉𝑜𝑥 = 𝑉𝑜 cos(𝛼 + 𝜃) 𝑉𝑜𝑥 = 𝑉𝑜 sin(𝛼 + 𝜃) 𝑉𝑜 = √𝑉𝑜𝑥 2 + 𝑉𝑜𝑦 2

Kemudian percepatan benda adalah

𝑎𝑥 = 𝑔 sin 𝜃 𝑎𝑦 = −𝑔 cos 𝜃

Kecepatan benda setiap saat kita peroleh dengan menurunkan persamaan dari percepatan dengan menggunakan metode integral, yakni: 𝑎𝑥 = 𝑑

𝑉𝑥 𝑑𝑡

𝑎𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑉𝑥 𝑉𝑥

∫ 𝑎𝑥 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑉𝑥 𝑉𝑜𝑥

𝑎𝑥 𝑡 = 𝑉𝑥 − 𝑉𝑜𝑥 𝑔𝑡 sin 𝜃 = 𝑉𝑥 − 𝑉𝑜𝑥 𝑉𝑥 = 𝑉𝑜𝑥 + 𝑔𝑡 sin 𝜃 𝑉𝑥 = 𝑉𝑜 cos(𝛼 + 𝜃) + 𝑔𝑡 sin 𝜃

𝑎𝑦 = 𝑑

𝑉𝑦 𝑑𝑡

𝑎𝑦 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑉𝑦 𝑉𝑦

∫ 𝑎𝑦 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑉𝑦 𝑉𝑜𝑦

𝑎𝑦 𝑡 = 𝑉𝑦 − 𝑉𝑜𝑦 −𝑔𝑡 cos 𝜃 = 𝑉𝑦 − 𝑉𝑜𝑦 𝑉𝑦 = 𝑉𝑜𝑦 − 𝑔𝑡 cos 𝜃 𝑉𝑦 = 𝑉𝑜 sin(𝛼 + 𝜃) − 𝑔𝑡 cos 𝜃

Demikian juga mencari posisi benda setiap saat dengan menurunkan persamaan kecepatan dengan menggunakan metode integral, yakni: 𝑉𝑥 =

𝑑𝑥 𝑑𝑡

𝑉𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑥

∫ 𝑉𝑥 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑥 𝑥𝑜

∫(𝑉𝑜 cos(𝛼 + 𝜃) + 𝑔𝑡 sin 𝜃) 𝑑𝑡 = 𝑥 − 𝑥𝑜 ∫ 𝑉𝑜 cos(𝛼 + 𝜃) 𝑑𝑡 + ∫ 𝑔𝑡 sin 𝛼 𝑑𝑡 = 𝑥 − 𝑥𝑜 1 𝑉𝑜𝑡 cos(𝛼 + 𝜃) + 𝑔𝑡 2 sin 𝛼 = 𝑥 − 𝑥𝑜 2 1 𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑉𝑜𝑡 cos(𝛼 + 𝜃) + 𝑔𝑡 2 sin 𝛼 2

𝑉𝑦 =

𝑑𝑦 𝑑𝑡

𝑉𝑦 𝑑𝑡 = 𝑑𝑦 𝑦

∫ 𝑉𝑦 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑦 𝑦𝑜

∫(𝑉𝑜 sin(𝛼 + 𝜃) − 𝑔𝑡 cos 𝜃) 𝑑𝑡 = 𝑦 − 𝑦𝑜 ∫ 𝑉𝑜 sin(𝛼 + 𝜃) 𝑑𝑡 − ∫ 𝑔𝑡 cos 𝛼 𝑑𝑡 = 𝑥 − 𝑥𝑜 1 𝑉𝑜𝑡 sin(𝛼 + 𝜃) − 𝑔𝑡 2 cos 𝛼 = 𝑦 − 𝑦𝑜 2 1 𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑉𝑜𝑡 sin(𝛼 + 𝜃) − 𝑔𝑡 2 cos 𝛼 2

Dengan menggunakan persamaan diatas kita dapat menentukan waktu maksimal yang ditempuh oleh benda untuk mencapai titih maksimal, dimana ketinggian y saat x maksimal = 0 1 𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑉𝑜𝑡 sin(𝛼 + 𝜃) − 𝑔𝑡 2 cos 𝛼 2 1 0 = 0 + 𝑉𝑜𝑡 sin(𝛼 + 𝜃) − 𝑔𝑡 2 cos 𝛼 2 1 𝑉𝑜𝑡 sin(𝛼 + 𝜃) = 𝑔𝑡 2 cos 𝛼 2 2𝑉𝑜 sin(𝛼 + 𝜃) = 𝑔𝑡 cos 𝛼 𝑡=

2𝑉𝑜 sin(𝛼 + 𝛽) 𝑔 cos 𝛼

Setelah mendapatkan persamaan waktu untuk mencapai jarak maksimum, maka kita dapat menentukan persamaan jarak maksimum yang ditempuh oleh benda dengan mensubsitusikan persamaan waktu maksimum dengan persamaan jarak.

1 𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑉𝑜𝑡 cos(𝛼 + 𝜃) + 𝑔𝑡 2 sin 𝛼 2 2

𝑥 = 0 + 𝑉𝑜 (

2𝑉𝑜 sin(𝛼 + 𝛽) 1 2𝑉𝑜 sin(𝛼 + 𝛽) ) cos(𝛼 + 𝜃) + 𝑔 ( ) sin 𝛼 𝑔 cos 𝛼 2 𝑔 cos 𝛼

𝑥=(

2𝑉𝑜 2 sin(𝛼 + 𝛽) 1 4𝑉𝑜 2 sin2 (𝛼 + 𝜃) ) cos(𝛼 + 𝜃) + 𝑔 ( ) sin 𝛼 𝑔 cos 𝛼 2 𝑔 cos 2 𝛼

𝑥=(

2𝑉𝑜 2 sin(𝛼 + 𝛽) 2𝑉𝑜 2 sin2 (𝛼 + 𝜃) ) cos(𝛼 + 𝜃) + ( ) sin 𝛼 𝑔 cos 𝛼 𝑔 cos2 𝛼

𝑥=(

2𝑉𝑜 2 sin(𝛼 + 𝛽) 2𝑉𝑜 2 sin(𝛼 + 𝜃) cos(𝛼 + 𝜃) cos 𝛼 + ) ( ) sin(𝛼 + 𝜃) sin 𝛼 𝑔 cos2 𝛼 𝑔 cos 𝛼

𝑥=(

2𝑉𝑜 2 sin(𝛼 + 𝛽) ) 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝜃) cos 𝛼 + sin(𝛼 + 𝜃) sin 𝛼 𝑔 cos2 𝛼

𝑥=(

2𝑉𝑜 2 sin(𝛼 + 𝛽) 1 1 1 ) cos(𝛼 + 𝜃 + 𝛼) + cos(𝛼 + 𝜃 − 𝛼) − cos(𝛼 + 𝜃 + 𝛼) 2 𝑔 cos 𝛼 2 2 2 1 + cos(𝛼 + 𝜃 − 𝛼) 2

𝑥=(

2𝑉𝑜 2 sin(𝛼 + 𝛽) 1 1 ) ( cos 𝜃 + cos 𝜃) 2 𝑔 cos 𝛼 2 2

𝑥=(

2𝑉𝑜 2 sin(𝛼 + 𝛽) ) cos 𝜃 𝑔 cos2 𝛼

2𝑉𝑜 2 sin(𝛼 + 𝛽) cos 𝜃 𝑥= 𝑔 cos2 𝛼

Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tinggi maksimum diperoleh dengan menurunkan persamaan kecepatan pada sumbu y (Vy), dimana kevepatan Vy saat tinggi maksimal = 0 𝑉𝑦 =

𝑑𝑦 𝑑𝑡

0=

1 𝑑 (𝑦𝑜 + 𝑉𝑜𝑡 sin(𝛼 + 𝜃) − 2 𝑔𝑡 2 cos 𝛼)

0=

1 𝑉𝑜𝑡 sin(𝛼 + 𝜃) − 2 𝑔𝑡 2 cos 𝛼

𝑑𝑡

𝑑𝑡

0 = 𝑉𝑜 sin(𝛼 + 𝜃) − 𝑔𝑡 cos 𝛼 𝑉𝑜 sin(𝛼 + 𝜃) = 𝑔𝑡 cos 𝛼 𝑡=

𝑉𝑜 sin(𝛼 + 𝜃) 𝑔 cos 𝛼

Maka h maksimum kita peroleh dengan mensubsitusikan persamaan waktu tempuh ke h maksimum dengan persamaan y 1 𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑉𝑜𝑡 sin(𝛼 + 𝜃) − 𝑔𝑡 2 cos 𝛼 2 1 𝑦 = 𝑉𝑜𝑡 sin(𝛼 + 𝜃) − 𝑔𝑡 2 cos 𝛼 2 2

𝑉𝑜 sin(𝛼 + 𝜃) 1 𝑉𝑜 sin(𝛼 + 𝜃) 𝑦 = 𝑉𝑜 ( ) sin(𝛼 + 𝜃) − 𝑔 ( ) cos 𝛼 𝑔 cos 𝛼 2 𝑔 cos 𝛼 𝑦=

𝑉𝑜 2 sin2(𝛼 + 𝜃) 𝑉𝑜 2 sin2 (𝛼 + 𝜃) − 𝑔 cos 𝛼 2𝑔 cos 𝛼

𝑦=

2𝑉𝑜 2 sin2(𝛼 + 𝜃) 𝑉𝑜 2 sin2(𝛼 + 𝜃) − 𝑔 cos 𝛼 2𝑔 cos 𝛼

𝑉𝑜 2 sin2(𝛼 + 𝜃) 𝑦= 𝑔 cos 𝛼