APLICACIÓN DE FRACTALES EN LA INGENIERÍA AMBIENTAL (CONJUNTO DE MANDELBROT) Alexander Torres, Edisa Lozada. Métodos Numéricos Universidad Nacional de Colombia
RESUMEN: Se pretende mediante este articulo mostrar al lector el conjunto de formas generadas por un proceso de repetición iterativo (conjunto de Mandelbrot), el cual representa áreas naturales complejas como las zonas costeras, cuya geometría no se encuentra en los libros de geometría. Es un método dinámico (cambia con el tiempo) y relativamente nuevo que en los últimos años ha sido reconocida como una herramienta potencialmente útil para analizar un gran número de fenómenos físicos, entre los cuales se encuentra el vertido de petróleo en la interfaz agua-tierra. Palabras clave: fractal, marea negra, medio ambiente, Mandelbrot. ABSTRACT: By this article is intended to show the reader the set of forms generated by an iterative process of repetition (Mandelbrot set), which represents complex natural areas such as coastal zones, whose geometry is not in the books of geometry. The method is dynamic (changes with time) and relatively new in recent years has been recognized as a potentially useful tool to analyze a large number of physical phenomena, among which is the oil spill in the water-land interface. Keywords:, fractal, black sea, environment, Mandelbrot economistas, etc., pues les han permitido reformular viejos problemas en términos 1. Introducción novedosos, y tratar problemas complejos de Cuando se quieren generar o analizar formas forma muy simplificada. complejas de la naturaleza como el de una hoja, las figuras comunes de la geometría no En este artículo se presentará un modelo son las más adecuadas para generar formas de matemático acorde con uno de los postulados este tipo. Su limitación se debe a que pierden de la ecología del paisaje, el cual dice que las su estructura cuando son ampliadas, es decir: zonas naturales se representan mediante la un arco de círculo se transforma poco a poco geometría fractal de Mandelbrot. [1] en una recta; la superficie de una esfera se hace cada vez más plana, sin embargo, esto no Dimensión de un fractal ocurre con las formas naturales; por ejemplo, la superficie rugosa de una roca, y la forma de Se ha mencionado a grandes rasgos, la un helecho mantienen prácticamente la misma autosimilaridad de estructuras geométricas, sin complejidad en varios de los niveles embargo, esto no es suficiente para recibir el estudiados, es decir, a cualquier escala. adjetivo de fractal. Para diferenciar un fractal A este tipo de formas geométricas que, entre de una figura geométrica común se introduce otras propiedades, contienen una imagen de sí un nuevo concepto que permitirá hacer esta mismas en cada una de sus partes, se le llama diferencia sin temor a cometer errores; la fractales, y hace ya más de una década que dimensión fractal. ingresaron el mundo científico con un conjunto de nuevas reglas para enfrentarse con el reto de El análisis de la dimensión fractal lo inició el conocer y describir la naturaleza mediante el matemático alemán Felix Hausdorff a uso de mecanismos matemáticos. Las comienzos del siglo XX. Para entender este herramientas de la geometría fractal son, hoy concepto, se consideran una línea, un día, elementos insustituibles en el trabajo de cuadrado y un cubo de dimensiones 1, 2 y 3 muchos físicos, químicos, biólogos, fisiólogos, respectivamente; puede suponerse que cada
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uno de los lados de éstos se divide a razón de r=1/4, entonces en la línea aparecen N=4 segmentos, en el cuadrado N=16 subcuadrados y en el cubo N=64 subcubos, siendo N el numero de divisiones por forma geométrica. Puede decirse entonces que la dimensión D es la potencia a la que hay que elevar el factor r para obtener la siguiente relación: • Dimensión 1: Nr1=1 • Dimensión 2: Nr2=1 • Dimensión 3: Nr3=1 Esta fórmula se puede generalizar para definir la dimensión D de un objeto: si al tomar una escala r, un objeto puede ser subdividido en n copias de sí mismo, su dimensión D, es el número que satisface la ecuación N=(1/r)D. La cantidad D se conoce como dimensión fractal y se puede despejar así:
D=
LnN Ln(1 / r )
Al considerar el valor D para vecindades de tamaño muy cercano a 0, Hausdorff definió
D=
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Como la dimensión del objeto, conocida como la dimensión por conteo de cajas. Ahora bien, 2 de manera formal, sean A , δ un número real positivo y N δ(A) el menor número de subconjuntos de diámetro a los más δ que cubren a A. Entonces se define D, la dimensión fractal como D( A) = lim δ →0
ln N δ ( A) ln(1 / δ )
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Considerando lo anterior, un fractal es un subconjunto del plano que es autosimilar y cuya dimensión fractal excede a su dimensión topológica. [2]
(1) 2. Aplicaciones análisis fractal situaciones medioambientales.
Siendo r distinto de 0 y 1. No obstante, en la cotidianidad no todos los objetos se representan con la ecuación (1), pues no están subdivididos en copias exactas de sí mismo. Para esto, el mismo Hausdorff introdujo lo que hoy se conoce como dimensión de Hausdorff cuya definición es muy compleja y no será abordada en este artículo, pero se presentará una variante de esta definición conocía como la dimensión por conteo de cajas que es la utilizada en paquetes de software como Fractal Visión. El proceso es el siguiente: debe hacerse una restricción para tener en cuenta únicamente el plano, luego, conocido el objeto, se recubre con una cuadrícula de un tamaño x que produce las mencionadas cajas (equivalente al concepto de vecindad topológica). Se supone una cantidad N1 de estas vecindades para cubrir el objeto; en seguida se repite el procedimiento anterior pero con vecindades reducidas en una escala de factor r. Ahora, se supone que el número de vecindades requeridas es N2. Los valores N1 y N2 dependen del tamaño inicial de la cuadrícula y de la forma como se dispone la red sobre el objeto, entonces, se sugiere la siguiente expresión para relacionar N1 y N2:
N1 1 = N 2 f
ln( N 2 / N 1 ) ln(1 / f )
a
En la naturaleza existen multitud de sistemas que pueden ser tratados como fractales. Considerando el medio biótico, se puede pensar en la estructura leñosa de una buena parte de los vegetales, o simplemente en la estructura de un cristal de nieve. En el medio físico también abundan los ejemplos, como son los perímetros costeros o lacustres, la longitud de los cauces fluviales, la topografía superficial de diferentes regiones geográficas o la textura de algunos materiales porosos. En este artículo se mostrará cómo el análisis fractal puede utilizarse en el análisis del crecimiento de una mancha de petróleo en el mar. Marea negra Se puede pensar en una mancha de petróleo que se aproxima hacia la costa. El objetivo principal consiste en evitar que esta mancha llegue a la línea de costa, pues en la interfase aire-agua-tierra se pueden producir efectos considerablemente nocivos. Si el contacto es inevitable, la magnitud del problema radica en la extensión del frente de la mancha, que en principio determinará la extensión de ecosistema afectado en caso de existir contacto con la tierra. Esto es cierto si la línea de costa
D
(2)
2
El lenguaje para generar fractales es la iteración. A continuación se representara un fractal con el modelo de Mandelbrot, el cual ayudará a describir la creación de uno de éstos para comprender mejor el fenómeno estudiado en el presente artículo.
es esencialmente rectilínea, lo cual no siempre se ajusta a los modelos reales. La determinación del perímetro costero es un caso muy estudiado en la geometría fractal. Analizando un perfil costero (ver Figura 1), es fácilmente visible que, utilizando diferentes escalas para medir, se obtienen distintos valores. Para el fragmento que se ha presentado, se obtiene con una medida de longitud arbitraria un perímetro de costa de 3 km.
Código en VISUAL BASIC para Excel: 'Función para crear la figura de uno de los fractales de Mandelbrot utilizando una hoja de cálculo: Function Mandelbrot(c_real, c_imag) Count = 0 Modulus = 0 z_real = 0 z_imag = 0 While Count < 200 And Modulus < 2 z_real_squared = z_real ^ 2 - z_imag ^ 2 z_imag_squared = 2 * z_real * z_imag z_real = z_real_squared + c_real z_imag = z_imag_squared + c_imag Modulus = Sqr(z_real ^ 2 + z_imag ^ 2) Count = Count + 1 Wend Mandelbrot = (Count) End Function
Figura 1. Perfil costero
Se debe considerar con mucha atención que la interfase agua-tierra se extiende a lo largo del perímetro de cada cabo, bahía o golfo, y además, cada prominencia y cada roca semisumergida van a delimitar una interfase y de forma ideal, cada piedra y cada grano de arena de una playa tendría su propio perímetro costero. Es evidente que la problemática que representa un vertido de crudo en caso de llegar a la costa no depende sólo de la anchura de su frente, sino de las características de cada perfil costero, que pueden magnificar o disminuir el efecto nocivo en función de la longitud de interfase disponible para una longitud del frente dado. Mediante la ecuación (1) se puede calcular la dimensión fractal de la costa Gallega de 1,32, para la costa Asturiana de 1,09 y para la costa de la Comunidad Valenciana de 1,08. Para las determinaciones se han utilizado unidades de medida con una longitud de 30, 15, 9 y 3 km respectivamente. La costa Gallega es la más accidentada de las mencionadas y por tanto, tiene una dimensión fractal mayor. Un vertido en dichas costas presentaría una problemática mayor que en casos de dimensiones fractales inferiores.[3]
Algunos de los valores en el plano complejo se encuentran en el Conjunto de Mandelbrot, mientras que otros no. Esta hoja de cálculo de Excel probará un número complejo para verificar si se encuentra en el conjunto de Mandelbrot, graficando los números que si cumplen esta condición; las reglas para determinar si un punto está en el Conjunto de Mandelbrot son: Inicialice en (0, 0), que es el primer valor de z, eleve al cuadrado y agregue al valor que se está probando (se llamará el valor c). Si el resultado final está fuera de un círculo de radio 2 centrado en (0, 0), c no está en el conjunto de Mandelbrot. Si z está dentro del círculo, c podría pertenecer al Conjunto de Mandelbrot, entonces se repite el cálculo. En otras palabras, toma el resultado del cálculo anterior (el valor actualizado de z), lo reemplaza y agrega c. Si el resultado está fuera del círculo, c no está en el conjunto de Mandelbrot y si está dentro del círculo, puede que pertenezca al conjunto de Mandelbrot. En la práctica, se debe poner un límite arbitrario (en este caso es 200) sobre el número de veces que se repite el cálculo de z = z 2 + c. Si el resultado final está en el interior del círculo, incluso después de elevar al cuadrado el
3. Código para generar un fractal de Mandelbrot
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resultado anterior y de añadir el valor que se está probando 200 veces, entonces puede concluirse que el número se encuentra dentro del Conjunto de Mandelbrot. Para conocer los valores que se graficarán, en la hoja de cálculo se hace una matriz cuyas columnas iniciales contienen el intervalo de números reales y cuyas filas iniciales representan los números imaginarios requeridos para generar este fractal. Así, en cada celda se llama a la función Mandelbrot que dependerá del número real y del número imaginario correspondiente. La gráfica debe ser de tipo superficie-contorno y se hace seleccionando cada una de las filas de la matriz, y el nombre de la serie corresponderá al número imaginario. Como las iteraciones se hacen sólo 200 veces, la gráfica mostrada no representa con exactitud el fractal de Mandelbrot, sin embargo, es una aproximación muy cercana a la realidad.
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fenomenología espacio-temporal, como para el manejo matemático de técnicas de análisis clásicas. La creciente utilización de la geometría fractal hará que en el futuro constituya una técnica más a disposición de los ingenieros químicos.
5. Bibliografía [1] Gestión Ambiental. Número 6. Diciembre de 2002. Consultado por última vez el 19 de Octubre de 2010. En www.ceachile.cl/revista/numero%206.htm. [2] RUBIANO O. Gustavo N. Fractales para profanos; Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Colombia, Primera Edición, 2002. [3] LÓPEZ M. Mahamud. El análisis fractal en Ingeniería Ambiental. (Consultado por última vez el 19 de Octubre de 2010). En pinfante.galeon.com/analifractalamb.pdf
Figura 2. Fractal de Mandelbrot Graficado en Excel 2003.
4. Conclusiones •
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El análisis fractal se está aplicando en la mayoría de los campos científicos y técnicos, y una parte de estas aplicaciones caen de lleno en el ámbito de la ingeniería ambiental y pueden permitir contar a ésta con una nueva herramienta para el tratamiento de diferentes cuestiones. Un ejemplo como el de la marea negra es sólo una pequeña muestra de la aplicación de estas recientes técnicas de análisis, que pueden utilizarse tanto para el estudio directo de la
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