A1-AT555 15/4/2013
Raciocínio Lógico
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ASSISTENTE EDITORIAL Gabriela Tayná Moura de Abreu
PRODUÇÃO EDITORIAL Rosângela Sandy Tiago
ASSISTENTE DE PRODUÇÃO Laiany Calixto
EDIÇÃO DE TEXTO Cláudia Freires Paulo Henrique Ferreira
EDITORAÇÃO ELETRÔNICA Adenilton da Silva Cabral Carlos Alessandro de Oliveira Faria Diogo Alves Marcos Aurélio Pereira
CAPA Ralfe Braga ILUSTRAÇÃO Fabrício Matos Micah Abe PROJETO GRÁFICO Ralfe Braga
REVISÃO Ana Paula Oliveira Pagy Dinalva Fernandes Érida Cassiano Giselle Bertho Micheline Cardoso Ferreira Raysten Balbino Noleto
SEPN 509 Ed. Contag 3º andar CEP 70750-502 Brasília/DF SAC: 0800 600 4399 Tel.: (61) 3034 9576 Fax: (61) 3347 4399
www.vestcon.com.br Publicado em abril/2013 (A1-AT555)
TJ-AM SUMÁRIO Raciocínio Lógico-Quan ta vo Entendimento da estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fic cios. Dedução de novas relações fornecidas e avaliação das condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Compreensão e análise da lógica de uma situação. Raciocínio verbal, raciocínio matemá co, raciocínio sequencial. Orientação espacial e temporal. Formação de conceitos e discriminação de elementos ............ 5
RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO
Júlio Lociks
NOÇÕES DE LÓGICA O Que é uma Proposição? Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso. Somente às sentenças declaraƟvas pode-se atribuir valores de verdadeiro ou falso, o que ocorre quando a sentença é, respec vamente, confirmada ou negada. De fato, não se pode atribuir um valor de verdadeiro ou de falso às demais formas de sentenças como as interroga vas, as exclama vas e outras, embora elas também expressem juízos. São exemplos de proposições as seguintes sentenças declara vas: O número 6 é par. O número 15 não é primo. Todos os homens são mortais. Nenhum porco espinho sabe ler. Alguns canários não sabem cantar. Se você estudar bastante, então aprenderá tudo. Eu falo inglês e espanhol. Míriam quer um sapaƟnho novo ou uma boneca. Não são proposições: Qual é o seu nome? Preste atenção ao sinal. Caramba! Proposição Simples Uma proposição é dita proposição simples ou proposição atômica quando não contém qualquer outra proposição como sua componente. Isto significa que não é possível encontrar como parte de uma proposição simples alguma outra proposição diferente dela. Não se pode subdividi-la em partes menores tais que alguma delas seja uma nova proposição. Exemplo: A sentença “Cínthia é irmã de Maurício” é uma proposição simples, pois não é possível iden ficar como parte dela qualquer outra proposição diferente. Se tentarmos separá-la em duas ou mais partes menores nenhuma delas será uma proposição nova. 5
Proposição Composta Uma proposição que contenha qualquer outra como sua parte componente é dita proposição composta ou proposição molecular. Isto quer dizer que uma proposição é composta quando se pode extrair como parte dela uma nova proposição. Exemplo: A sentença “Cínthia é irmã de Maurício e de Júlio” é uma proposição composta, pois é possível re rar-se dela duas outras proposições: “Cínthia é irmã de Maurício” e “Cínthia é irmã de Júlio”.
Conec vos Lógicos (ou Estruturas Lógicas) Existem alguns termos e expressões que estão frequentemente presentes nas proposições compostas tais como “não”, “e”, “ou”, “se ... então” e “se e somente se” aos quais denominamos conecƟvos lógicos ou estruturas lógicas. Exemplo: A sentença “Se x não é maior que y, então x é igual a y ou x é menor que y” é uma proposição composta na qual se pode observar alguns conec vos lógicos (“não” , “se ... então” e “ou”) que estão agindo sobre as proposições simples “x é maior que y”, “x é igual a y” e “x é menor que y”. Os conec vos lógicos agem sobre as proposições a que estão ligados de tal modo que o valor lógico (verdadeiro ou falso) de uma proposição composta depende somente: – do valor lógico de cada uma de suas proposição componentes; – e da forma como estas proposições componentes sejam ligadas pelos conec vos lógicos u lizados. Exemplo: Compare as seguintes proposições e seus respec vos valores lógicos: Proposições
Valores Lógicos
O número 10 é inteiro.
V
O número 10 ímpar.
F
O número 10 é inteiro e é ímpar.
F
O número 10 é inteiro ou é ímpar.
V
V = verdadeiro ; F = falso Algumas proposições compostas recebem denominações especiais de acordo com a estrutura usada para ligar as proposições componentes. O reconhecimento de tais estruturas é muito importante para a análise e a resolução dos problemas de raciocínio lógico que estudaremos mais adiante. A tabela seguinte mostra as seis principais estruturas lógicas e suas denominações. A par r deste ponto, passaremos a nos referir a estas estruturas como estruturas fundamentais: 6
Estruturas fundamentais Não-A A ou B Ou A ou B AeB Se A, então B A se e somente se B
Denominações Negação Disjunção Disjunção Exclusiva Conjunção Condicional Bicondicional
Negação: Não-A Dada uma proposição qualquer A denominamos negação de A a proposição composta que se obtém a par r da proposição A acrescida do conec vo lógico “não” ou de outro equivalente. A negação “não-A” pode ser representada simbolicamente como: ~A ou
A ou ainda A Podem-se empregar também, como equivalentes de “não-A”, as seguintes expressões: Não é verdade que A; É falso que A. Uma proposição A e sua negação “não-A” terão sempre valores lógicos opostos. Tabela-Verdade da Negação (~A) Na tabela apresentada a seguir, denominada tabela-verdade, podemos observar os resultados possíveis da negação “~A” para cada um dos valores lógicos que A pode assumir. A V F
Não-A F V
Como se pode observar na tabela-verdade, uma proposição qualquer e sua negação nunca poderão ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas. Conjunção: A e B 7
Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conec vo “e”. A conjunção “A e B” pode ser representada simbolicamente como: AB Exemplo: Dadas as proposições simples: A: Elisabeth é mãe de Cínthia. B: Elisabeth é mãe de Maurício. A conjunção A e B pode ser escrita como: A B: Elisabeth é mãe de Cínthia e de Maurício. Uma conjunção é verdadeira somente quando as duas proposições que a compõem forem verdadeiras. Ou seja, a conjunção “A B” é verdadeira somente quando A é verdadeira e B é verdadeira também. Tabela-Verdade da Conjunção (A B) Na tabela apresentada a seguir (tabela-verdade) podemos observar todos os resultados possíveis da conjunção “A e B” para cada um dos valores lógicos que A e B podem assumir. A V V F F
B V F V F
AB V F F F
Disjunção: A ou B Denominamos disjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conec vo “ou”. A disjunção A ou B pode ser representada simbolicamente como: AB Exemplo: Dadas as proposições simples: A: Alberto fala espanhol. B: Alberto é universitário. A disjunção “A ou B” pode ser escrita como: A B: Alberto fala espanhol ou é universitário. 8
Para que a disjunção “A ou B” seja verdadeira basta que pelo menos uma de suas proposições componentes seja verdadeira. Em outras palavras, se A for verdadeira ou se B for verdadeira ou mesmo se ambas, A e B, forem verdadeiras, então a disjunção “A ou B” será verdadeira. Ou seja, a disjunção “A ou B” é falsa somente quando A é falsa e B é falsa também. Tabela-Verdade da Disjunção (A B) Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da disjunção “A ou B” para cada um dos valores que A e B podem assumir. A V V F F
B V F V F
AB V V V F
Disjunção Exclusiva: ou A ou B Denominamos disjunção exclusiva a proposição composta formada por duas proposições quaisquer onde cada uma delas esteja precedida pelo conec vo “ou”. A disjunção exclusiva ou A ou B pode ser representada simbolicamente como: AB (observe o sublinhado no símbolo ) Exemplo: Dadas as proposições simples: A: O número 19 é par. B: O número 19 é ímpar. A disjunção exclusiva “ou A ou B” pode ser escrita como: A B: Ou o número 19 é par ou o número 19 é ímpar. Uma disjunção exclusiva é verdadeira somente quando uma e apenas uma das proposições que a compõem for verdadeira. Ou seja, a disjunção exclusiva “ou A ou B” é verdadeira somente quando A e B têm valores lógicos contrários (A é verdadeira e B é falsa ou vice-versa). Se A e B verem o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas falsas) então a disjunção exclusiva será falsa. Tabela-Verdade da Disjunção Exclusiva (A B) Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da disjunção exclusiva “ou A ou B” para cada um dos valores que A e B podem assumir. 9
A V V F F
B V F V F
AB F V V F
Condicional: Se A então B Denominamos condicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conec vo “Se ... então” ou por uma de suas formas equivalentes. A proposição condicional “Se A, então B” pode ser representada simbolicamente como: AB Exemplo: Dadas as proposições simples: A: José é alagoano. B: José é brasileiro. A condicional “Se A, então B” pode ser escrita como: A B: Se José é alagoano, então José é brasileiro. Na proposição condicional “Se A, então B” a proposição A, que é anunciada pelo uso da conjunção “se”, é denominada condição ou antecedente enquanto a proposição B, apontada pelo advérbio “então” é denominada conclusão ou consequente. As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de “Se A, então B”: Se A, B; B, se A; Todo A é B; A implica B; A somente se B; A é suficiente para B; B é necessário para A. Uma condicional “Se A então B” é falsa somente quando sua condição (A) é verdadeira e sua conclusão (B) é falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos. Isto significa que numa proposição condicional, a única situação inaceitável é termos uma condição verdadeira e uma conclusão falsa. Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da proposição condicional “Se A então B” para cada um dos valores que A e B podem assumir. 10
A V V F F
B V F V F
AB V F V V
Alguns dos resultados da tabela acima podem parecer absurdos à primeira vista. A fim de esclarecer o significado de cada um dos resultados possíveis numa sentença condicional, considere a seguinte situação: numa tarde de domingo um casal está sentado no sofá da sala de seu apartamento assisƟndo a um filme quando a campainha toca. A mulher, que se diz sensiƟva, diz: “Se for uma mulher, então ela estará trazendo um pacote nas mãos”. O marido, que não costuma dar muita importância às previsões da mulher, resmunga “Vamos ver se você está mesmo certa!” e vai abrir a porta. Em que conjunto de situações poderemos dizer que a previsão da mulher estava errada? Há quatro situações a serem analisadas: 1a – Quem tocou a campainha era realmente uma mulher que estava mesmo trazendo um pacote nas mãos. Neste caso teremos que reconhecer que a previsão da mulher era correta (este caso corresponde ao que está descrito na primeira linha da tabela-verdade apresentada para a condicional). 2a – Quem tocou a campainha era realmente uma mulher, mas ela não estava trazendo um pacote nas mãos. Neste caso podemos dizer que a previsão da mulher mostrou-se errada (este caso corresponde ao que está descrito na segunda linha da tabela-verdade apresentada para a condicional). 3a – Quem tocou a campainha não era uma mulher embora es vesse mesmo trazendo um pacote nas mãos. Neste caso não podemos dizer que a previsão da mulher estava errada, pois ela não disse que somente uma mulher poderia estar trazendo um pacote nas mãos. Acontece que toda proposição deve ser ou verdadeira ou falsa e esta não é falsa. Então é verdadeira! (Este caso corresponde ao que está descrito na terceira linha da tabela-verdade apresentada para a condicional) 4a – Quem tocou a campainha não era uma mulher e nem mesmo estava trazendo um pacote nas mãos. Neste caso também não podemos dizer que a previsão da mulher estava errada, pois a previsão de que a pessoa traria um pacote nas mãos estava condicionada ao fato de que a pessoa fosse uma mulher. Não sendo uma mulher, não teria necessariamente que trazer um pacote nas mãos. Novamente, a proposição não é falsa. Logo, é verdadeira (este caso corresponde ao que está descrito na quarta linha da tabela-verdade apresentada para a condicional). Cuidado: Usualmente, quando empregarmos uma sentença do po “se A então B” esperamos que exista alguma forma de relacionamento entre A e B ou que guardem entre si alguma relação de causa e efeito. Neste sen do, aceitaríamos com facilidade, por exemplo, a proposição “Se um número inteiro termina com o algarismo 8 então este número é par”. No mesmo sen do, tenderíamos a recusar proposições como: “se um triângulo tem três lados então o número sete é primo” 11
Ou, ainda: “se um quadrado tem sete lados então fala-se o português no Brasil” Provavelmente recusaríamos a primeira dizendo algo como: “O que é que tem a ver um triângulo ter três lados com o fato de o número sete ser primo?” Quanto à segunda, é quase certo que alguém a recusasse alegando algo como: “Para começar, um quadrado não tem sete lados, mas quatro. E mesmo que Ɵvesse, isto não tem nada a ver com falar-se ou não o português no Brasil”. Esse po de recusa parece razoável, pois nestas afirmações falta algo que relacione a primeira parte da proposição (condição) com a segunda (conclusão). No entanto, segundo as regras da Lógica, estas duas proposições são verdadeiras! Para verificarmos isto, basta analisarmos cada uma delas seguindo as regras estudadas: Vejamos: Proposição: Se um triângulo tem três lados então o número sete é primo. Esta é uma proposição do po “Se A então B”. A condição da proposição é: A: Um triângulo tem três lados. (verdade) A conclusão é: B: O número sete é primo. (verdade) Como sabemos, uma proposição condicional onde a condição e a conclusão sejam, ambas, verdadeiras será ela mesma, também, verdadeira. Confira na tabela-verdade: A V V F F 12
B V F V F
A→B V F V V
Proposição: Se um quadrado tem sete lados então fala-se o português no Brasil” A proposição é do po “Se A então B”. Condição da sentença: A: Um quadrado tem sete lados. (falso) Conclusão da sentença é: B: Fala-se o português no Brasil. (verdade) Como sabemos, TODA proposição condicional com condição FALSA é, sempre, VERDADEIRA (independentemente de a conclusão ser verdadeira ou falsa). Confira na tabela-verdade: A V V F F
B V F V F
A→B V F V V
Assim, percebemos que, para a Lógica, o valor lógico de uma proposição composta independe da existência de qualquer relação entre as proposições dadas. Bicondicional: A se e somente se B Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conec vo “se e somente se”. A proposição bicondicional “A se e somente se B” pode ser representada simbolicamente como: AB Exemplo: Dadas as proposições simples: A: Adalberto é meu o. B: Adalberto é irmão de um de meus pais. A proposição bicondicional “A se e somente se B” pode ser escrita como: A B: Adalberto é meu o se e somente se Adalberto é irmão de um de meus pais. Como o próprio nome e símbolo sugerem, uma proposição bicondicional “A se e somente se B” equivale à proposição composta “se A então B e se B então A”. 13
Podem-se empregar também como equivalentes de “A se e somente se B” as seguintes expressões: A se e só se B; Todo A é B e todo B é A; Todo A é B e reciprocamente; Se A então B e reciprocamente; A é necessário e suficiente para B; A é suficiente para B e B é suficiente para A; A é necessário para B e B é necessário para A. A proposição bicondicional “A se e somente se B” é verdadeira somente quando A e B têm o mesmo valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendo falsa quando A e B têm valores lógicos contrários. Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da proposição bicondicional “A se e somente se B” para cada um dos valores que A e B podem assumir. A V V F F
B V F V F
AB V F F V
Sentenças Abertas Dizemos que uma expressão P(x) é uma sentença aberta na variável x se, e somente se, P(x) se tornar uma proposição sempre que subs tuirmos a variável x por qualquer elemento pertencente a certo conjunto denominado universo de discurso. Note que, ao subs tuirmos a variável da sentença aberta por um elemento dado do seu universo de discurso, a proposição resultante não tem que ser Verdadeira. Exemplo: A expressão 2x + 5 = 25 é uma sentença aberta na variável x. Quando subs tuímos a variável pelo número 5 obtemos uma proposição Falsa: 2(5) + 5 = 25.
Tautologia Uma proposição composta é uma tautologia se e somente se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem. Deste modo, quando uma proposição composta for uma tautologia, a úl ma coluna de sua tabela-verdade será o valor lógico V (verdadeiro) em todas as suas linhas. Exemplo: A proposição “Se (A e B) então (A ou B)” é uma tautologia, pois é sempre verdadeira independentemente dos valores lógicos de A e de B, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: 14
A V V F F
B V F V F
AeB V F F F
A ou B V V V F
(A e B) (A ou B) V V V V
Contradição Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma contradição se e somente se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem. Portanto, quando uma proposição composta for uma contradição a úl ma coluna de sua tabela-verdade será o valor lógico F (falso) em todas as suas linhas. Exemplo: A proposição “A se e somente se não A” é uma contradição pois é sempre falsa, independentemente dos valores lógicos de A e de não A, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: A V F
A ~A F F
~A F V
O exemplo acima mostra que uma proposição qualquer A e sua negação, ~A, nunca serão ambas verdadeiras nem ambas falsas. Relação entre Tautologia e Contradição Sabemos que uma tautologia é sempre verdadeira enquanto uma contradição, sempre falsa, daí pode-se concluir que: A negação de uma tautologia é sempre uma contradição. e A negação de uma contradição é sempre uma tautologia.
Con ngência Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma conƟngência se e somente se for possível que ela seja verdadeira tanto quanto que ela também seja falsa, dependendo dos valores lógicos das proposições que a compõem. Assim, quando uma proposição composta for uma con ngência, a úl ma coluna de sua tabela-verdade deverá apresentar o valor lógico V (verdadeiro) pelo menos uma vez e, também, o valor lógico F (falso) pelo menos uma vez. 15
Exemplo: A proposição “Se A então B” é uma con ngência, pois será Falsa quando A for Verdadeira e B Falsa, sendo Verdadeira em todos os outros casos.
As Três Leis Fundamentais do Pensamento Lógico Alguns autores citam três princípios como sendo fundamentais para o pensamento lógico. Princípio da Iden dade Se uma proposição qualquer é verdadeira, então ela é verdadeira. Em símbolos: PP Princípio da Não Contradição Nenhuma proposição pode ser verdadeira e também ser falsa. Em símbolos: ~(P ~P) Princípio do Terceiro Excluído Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa. Em símbolos: ou P ou ~P
Implicação Lógica Dizemos que a proposição A implica (ou acarreta) a proposição B se, e somente se, for impossível termos simultaneamente A verdadeira e B falsa na proposição condicional “Se A então B” (em símbolos: AB). Quando A implica B anotamos: AB (lê-se: A implica B ou A acarreta B) Propriedades da Implicação Lógica São propriedades da relação de implicação lógica: 1ª – A A (reflexiva); 2ª – Se A B e se B C então A C (transi va); 3ª – A implicação lógica NÃO é simétrica.
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Proposições Logicamente Equivalentes Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentes quando sa sfazem às duas condições seguintes: 1o – são compostas pelas mesmas proposições simples; 2o – têm tabelas-verdade idênƟcas. Uma consequência prá ca da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la. A equivalência lógica entre duas proposições, A e B, pode ser representada simbolicamente como: AB (lê-se: A é equivalente a B) As proposições A e B serão equivalentes se, e somente se, for impossível termos simultaneamente A verdadeira com B falsa ou A falsa com B verdadeira na proposição bicondicional “ A se, e somente se, B” (em símbolos: AB). Regras de Equivalência Da definição de equivalência lógica podem-se demonstrar as seguintes equivalências: 1. A A (reflexiva); 2. Se A B então B A (simétrica); 3. Se A B e se B C então A C (transi va); 4. Se A e B são duas tautologias então A B; 5. Se A e B são duas contradições então A B. Leis de comuta vidade 6. A B B A 7. A B B A 8. A B B A 9. A B B A Leis de associa vidade 10. (A B) C A (B C) 11. (A B) C A (B C) Leis de distribu vidade 12. A (B C) (A B) (A C) 13. A (B C) (A B) (A C) 17
Lei da dupla negação 14. ~(~A) A Equivalências da Condicional 15. A B ~A B 16. A B ~B ~A Equivalências da Bicondicional 17. A B (A B) (B A) 18. A B (A B) (~B ~A) 19. A B ~(A B) Leis de Morgan 20. ~(A B) ~A ~B 21. ~(A B) ~A ~B
Negação de Proposições Compostas Um problema de grande importância para a lógica é o da iden ficação de proposições equivalentes à negação de uma proposição dada. Negar uma proposição simples é uma tarefa que não oferece grandes obstáculos. Entretanto podem surgir algumas dificuldades quando procuramos iden ficar a negação de uma proposição composta. Como vimos anteriormente, a negação de uma proposição deve ter sempre valor lógico oposto ao da proposição dada. Deste modo, sempre que uma proposição A for verdadeira, a sua negação não-A deve ser falsa e sempre que A for falsa, não-A deve ser verdadeira. Em outras palavras a negação de uma proposição deve ser contraditória com a proposição dada. A tabela a seguir mostra as equivalências mais comuns para as negações de algumas proposições compostas:
Proposição
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Negação direta
Equivalente da Negação
AeB
Não (A e B)
Não A ou não B
A ou B
Não (A ou B)
Não A e não B
Se A então B
Não (se A então B)
A e não B
A se e somente se B
Não (A se e somente se B)
Ou A ou B
Todo A é B
Não (todo A é B)
Algum A não é B
Algum A é B
Não (algum A é B)
Nenhum A é B
Diagramas Lógicos Um diagrama lógico é um esquema que busca representar as relações existentes entre as diversas partes que compõem uma proposição. O modelo mais comum para diagramas lógicos é o dos diagramas de Venn-Euler. Neste capítulo aprofundaremos nossos estudos sobre os digramas lógicos estudando uma variação do modelo de Venn-Euler que nos permi rá uma representação mais precisa do que aquela vista anteriormente. Universo de discurso (U) Denomina-se universo de discurso o conjunto de tudo o que se admite como possível em um dado contexto. Deste modo, qualquer proposição possível será um subconjunto do universo de discurso. O universo de discurso será sempre indicado pela região interna de um retângulo. Cada proposição é indicada por uma região delimitada dentro do universo de discurso.
U = universo de discurso A = proposição Uma proposição é verdadeira em qualquer ponto dentro de sua região sendo falsa em todos os demais pontos do universo de discurso.
Na região 1 a proposição A é verdadeira. Na região 2 a proposição A é falsa. 19
Na região 1 A e B são falsas. Na região 2 A é verdadeira e B é falsa. Na região 3 A e B são verdadeiras. Na região 4 A é falsa e B é verdadeira. Ao representar uma estrutura lógica por um diagrama lógico somente as regiões para as quais o resultado da tabela-verdade da estrutura representada for verdadeiro serão sombreadas. Diagrama Lógico da Negação Num diagrama de conjuntos, se a proposição A for representada pelo conjunto A, então a negação “não-A” corresponderá ao conjunto complementar de A.
Diagrama Lógico da Conjunção Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a conjunção “A B” corresponderá à interseção do conjunto A com o conjunto B, A B. 20
Diagrama Lógico da Disjunção Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a disjunção “A B” corresponderá à união do conjunto A com o conjunto B.
Diagrama Lógico da Disjunção Exclusiva Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a disjunção exclusiva “A B” corresponderá à união da parte do conjunto A que não está em B (AB) com a parte do conjunto B que não está em A (BA). (AB) (BA)
Observe que isto equivale à diferença entre a união e a interseção dos conjuntos A e B. (AB) (A B) 21
Diagramas Lógicos da Condicional “A B” Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a proposição condicional “Se A então B” poderá ser indicada de dois modos: 1º Como nos casos anteriores, sombreando somente as regiões dos conjuntos A e B correspondentes às linhas cujo resultado é V na tabela-verdade da proposição condicional.
2º Como a inclusão do conjunto A no conjunto B (A está con do em B).
Diagramas Lógicos da Bicondicional Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a proposição bicondicional “A se e somente se B” corresponderá à igualdade dos conjuntos A e B.
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Proposições Categóricas Na lógica clássica (também chamada lógica aristotélica) o estudo da dedução era desenvolvido usando-se apenas quatro pos especiais de proposições, denominadas proposições categóricas. As proposições categóricas podem ser universais ou parƟculares, cada uma destas podendo ser afirmaƟva ou negaƟva. Temos, portanto, quatro proposições categóricas possíveis. As quatro proposições categóricas possíveis, em suas formas ơpicas, são apresentadas no quadro seguinte: Afirma vas
Nega vas
Universais
Todo A é B.
Nenhum A é B.
Par culares
Algum A é B.
Algum A não é B.
Sujeito e Predicado de uma Proposição Categórica Dada uma proposição categórica em sua forma pica chamamos de: – sujeito o elemento da sentença relacionado ao quan ficador da proposição; – predicado o elemento que se segue ao verbo. Exemplos: Proposições Categóricas Todo atleta nato é um vencedor Nenhum ser vivo é imortal Algum quadro é obra de arte Algum polí co não é honesto
Sujeito
Predicado
atleta nato
um vencedor
ser vivo quadro polí co
imortal obra de arte honesto
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Representações Gráficas Deve-se ao matemá co suíço Leonhard Euler (1707-1783) a ideia de representar as proposições categóricas por meio de diagramas que, por isto, são denominados diagramas de Euler ou diagramas lógicos. Nas representações gráficas das proposições categóricas considere o significado dos seguintes sinais que aparecerão em certas regiões dos conjuntos citados: Sinal x ? Todo A é B.
Algum A é B.
Nenhum A é B.
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Significado Esta região tem pelo menos um elemento. Esta região pode ter elementos ou não.
Algum A não é B.
Neste úl mo caso é importante lembrar que o conjunto B não poderá resultar totalmente vazio. Isto se deve em obediência a um dos princípios da lógica das proposições categóricas que estabelece que “toda classe tem que possuir pelo menos um elemento”. Quan ficação A quan ficação é uma forma de estabelecer uma relação entre sujeito e predicado de uma proposição. Quando dizemos “Todo atleta é um batalhador”, estamos fazendo referência a dois conjuntos – o conjunto daqueles que são atletas e o conjunto daqueles que são batalhadores. Assim, o sen do da sentença é que “todo aquele que pertença ao conjunto dos atletas, também pertence ao conjunto dos batalhadores”. Na teoria dos conjuntos, os elementos de um conjunto é que são quan ficados para que se possa estabelecer sua relação de per nência com um outro conjunto. Representação Simbólica Os quan ficadores são representados por símbolos especiais e sua leitura é feita de modo ligeiramente diferente daquela como usamos nas proposições categóricas. Q
S
S
Universal
Todo, Para todo ou Qualquer que seja
Par cular
Existe algum
Par cular nega vo
Não existe
Par cular exclusivo
I
Existe um único
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Exemplos: Universal afirma va: Todo A é B. x, xA xB (para todo x, se xA então xB) Universal nega va: Nenhum A é B. x, xA xB (para todo x, se xA então xB) Par cular afirma va: Algum A é B. x, xA xB (existe algum x tal que xA e xB) Par cular nega va: Nenhum A é B.
x, xA xB (não existe x tal que xA e xB) Relações Quan ficacionais Duas proposições categóricas dis ntas, que tenham mesmo sujeito e mesmo predicado, ou não poderão ser ambas verdadeiras ou não poderão ser ambas falsas, ou as duas coisas. Dizemos que estarão sempre em oposição. São quatro os pos de oposição. Observe o quadro a seguir que é conhecido como quadro de oposições.
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1. Contraditórias – Uma proposição categórica qualquer e sua negação lógica são ditas contraditórias. “Todo A é B” e “Algum A não é B” são contraditórias. “Nenhum A é B” e “Algum A é B” são contraditórias. Duas proposições contraditórias não podem ser ambas verdadeiras nem ambas falsas, tendo sempre valores lógicos opostos. – Se soubermos que uma proposição qualquer é verdadeira, poderemos garan r que a sua contraditória será falsa. – Se soubermos que uma proposição qualquer é falsa, poderemos garan r que a sua contraditória será verdadeira. 2. Contrárias – Uma afirmaƟva universal e a correspondente negaƟva universal são ditas contrárias. “Todo A é B” e “Nenhum A é B” são contrárias. Duas sentenças contrárias nunca são ambas verdadeiras, mas podem ser ambas falsas. – Se soubermos que uma universal qualquer é verdadeira poderemos garan r que a sua contrária é falsa. – Por outro lado se soubermos que uma universal qualquer é falsa não poderemos garan r que a sua contrária seja falsa também. 3. Subcontrárias – Uma afirmaƟva parƟcular e a correspondente negaƟva parƟcular são ditas subcontrárias. “Algum A é B” e “Algum A não é B” são subcontrárias. Duas sentenças subcontrárias nunca são ambas falsas, mas podem ser ambas verdadeiras. – Se soubermos que uma proposição par cular é falsa, poderemos garan r que a sua subcontrária é verdadeira. – Por outro lado, se soubermos que uma proposição par cular é verdadeira não poderemos garan r que sua subcontrária seja verdadeira também. 4. Subalternas – Duas afirma vas ou duas nega vas (sendo uma universal e sua par cular correspondente) são ditas subalternas. “Todo A é B” e “Algum A é B” são subalternas. “Nenhum A é B” e “Algum A não é B” são subalternas. 27
– Se soubermos que uma proposição universal é verdadeira então poderemos garan r que sua subalterna par cular também será verdadeira. A recíproca (da par cular para a universal) não pode ser garan da. – Se soubermos que uma proposição par cular é falsa então poderemos garan r que sua subalterna universal será falsa também. A recíproca (da universal para a par cular) não pode ser garan da. Existe uma forma simples de resumirmos o comportamento de duas proposições subalternas. 1º – Monte uma sentença condicional colocando as proposições subalternas na seguinte ordem: Se (Universal) então (ParƟcular) 2º – Marque o valor lógico (V ou F) junto da parte que contém a proposição cujo valor lógico é conhecido. 3º – Deduzimos quais valores lógicos poderão ter a subalterna restante de modo que a sentença condicional seja verdadeira. Exemplos: 1. Sabemos que a proposição universal é verdadeira. Se
(universal) V
então
(par cular) V
Portanto, a proposição parƟcular também é verdadeira. 2. Sabemos que a proposição universal é falsa. Se
(universal) F
então
(par cular) V ou F
Portanto, a proposição parƟcular pode ser verdadeira ou falsa. 3. Sabemos que a proposição parƟcular é verdadeira. Se
(universal) V ou F
então
(par cular) V
Portanto, a proposição universal pode ser verdadeira ou falsa. 4. Sabemos que a proposição parƟcular é falsa. Se
(universal) F
então
(par cular) F
Portanto, a proposição universal também é falsa. 28
Argumento Denomina-se argumento a relação que associa um conjunto de proposições P1, P2, ... Pn, chamadas premissas do argumento, a uma proposição C a qual chamamos de conclusão do argumento. {P1, P2, ... Pn} ⇢ C No lugar dos termos “premissa” e “conclusão” podem ser empregados os termos correspondentes “hipótese” e “tese”, respec vamente. premissa = hipótese conclusão = tese Silogismo Um argumento formado por exatamente três proposições, sendo duas como premissas e a outra como conclusão, é denominado silogismo. { P1, P2 } ⇢ C Assim, são exemplos de silogismos os seguintes argumentos: I. P1: Todos os arƟstas são apaixonados. P2: Todos os apaixonados gostam de flores. C : Todos os arƟstas gostam de flores. II. P1: Todos os apaixonados gostam de flores. P2: Míriam gosta de flores. C : Míriam é uma apaixonada. Silogismos Categóricos Um silogismo é denominado categórico quando: 1o É composto por três proposições categóricas; 2o As três proposições categóricas devem conter, ao todo, três únicos termos; 3o Cada um dos termos deve ocorrer em exatamente duas das três proposições que compõem o silogismo. Exemplo: No silogismo: P1: Todo bom atleta é persistente. P2: Hudson é um bom atleta. C: Hudson é persistente. Os três termos são: bom atleta – que ocorre nas duas premissas, P1 e P2; persistente – que ocorre na primeira premissa e na conclusão; Hudson – que ocorre na segunda premissa e na conclusão. Termos de um Silogismo Cada um dos termos que ocorrem num silogismo categórico tem um nome especial: – Termo médio (M): é aquele que ocorre nas duas premissas. 29
– Termo maior (T): é o termo que ocorre como predicado da conclusão. – Termo menor (t): é o termo que ocorre como sujeito da conclusão. Forma Típica de um Silogismo Categórico Um silogismo categórico é dito de forma ơpica quando sa sfaz às três seguintes condições: 1o As três proposições categóricas que o integram estão em suas formas ơpicas; 2o A primeira premissa (premissa maior) tem o predicado da conclusão (termo maior) como um de seus termos; 3o A segunda premissa (premissa menor) tem o sujeito da conclusão (termo menor) como um de seus termos. Exemplo: Observe o silogismo categórico seguinte: P1: Todo ar sta é brincalhão. P2: Todo brincalhão é cortês. C: Todo ar sta é cortês. Este silogismo não está na forma ơpica, pois o seu termo maior (cortês) está presente na segunda premissa e não na primeira. Para colocá-lo na forma pica, no entanto, basta permutarmos a premissas entre si. Assim teremos: P1: Todo brincalhão é cortês. P2: Todo ar sta é brincalhão. C: Todo ar sta é cortês. Figura Num silogismo categórico, na forma pica a posição do termo médio em cada uma das duas premissas varia de um silogismo para outro havendo quatro situações possíveis. Cada uma dessas quatro situações corresponde a uma figura, conforme segue: Primeira Figura – O termo médio ocorre “nos extremos”, ou seja, o termo médio ocorre como sujeito da primeira premissa e como predicado da segunda premissa. Segunda Figura – O termo médio ocorre como predicado nas duas premissas. Terceira Figura – O termo médio ocorre como sujeito nas duas premissas. Quarta Figura – O termo médio ocorre “nos meios”, ou seja, o termo médio ocorre como predicado da primeira premissa e como sujeito da segunda premissa. É, portanto o inverso da primeira figura. Modo O modo de um silogismo de forma pica é determinado pelos Ɵpos de proposições categóricas usados em sua construção. 30
Cada modo é representado por três vogais, cada uma delas indicando uma proposição categórica de modo que: – A primeira vogal indica o po da proposição categórica da premissa maior; – A segunda vogal indica o po da proposição categórica da premissa menor; – A terceira vogal indica o po da proposição categórica da conclusão. As vogais representa vas das proposições categóricas são: A: Universal Afirma va – Todo X é Y. E: Universal Nega va – Nenhum X é Y. I : Par cular Afirma va – Algum X é Y. O: Par cular Nega va – Algum X não é Y. Exemplo: O silogismo “Todos os cantores são pessoas vaidosas; Algumas pessoas vaidosas são chatas. Logo, alguns cantores são pessoas chatas.” É um silogismo do modo AII pois a primeira premissa é do po A (universal afirma va) enquanto a segunda premissa é do po I (par cular afirma va) e a conclusão é do po I (par cular afirma va). Além disso, podemos dizer também que este silogismo é da quarta figura, pois o termo médio ocorre nos “meios” das duas premissas. Se enumerarmos todos os modos possíveis para um silogismo, verificaremos que eles são, ao todo, 64. 1 2 3 4 5 6 7 : : : 64
AAA AAE AAI AAO AEA AEE AEI : : : OOO
Forma Como podemos observar dos conceitos que estudamos de figura e de modo, um silogismo não é completamente caracterizado somente por sua figura nem somente por seu modo. Ou seja, podemos ter dois silogismos categóricos de modos diferentes mas de mesma figura, assim como podemos ter dois silogismos categóricos de figuras diferentes mas de mesmo modo. 31
Para caracterizarmos completamente um silogismo categórico, devemos iden ficar, conjuntamente, tanto seu modo quanto sua figura. Ao definirmos tanto o modo quanto a figura de um silogismo, estamos iden ficando a sua forma. ( modo ) + ( figura ) = ( forma ) Exemplo: Considere o seguinte silogismo categórico: “Todo elemento perigoso é potencialmente nocivo à sociedade; Todo motorista desatento é um elemento perigoso; Logo, todo motorista desatento é potencialmente nocivo à sociedade” é um silogismo da forma AAA-1 (modo AAA – primeira figura) Número de Formas Possíveis de Silogismos Cada um dos 64 modos possíveis de um silogismo pode ocorrer em qualquer uma das 4 figuras. Portanto temos 644 = 256 Este é o total de formas diferentes possíveis para os silogismos. De todos os 256 silogismos categóricos possíveis, somente uma pequena parte cons tui argumentos válidos, conceito este que passaremos a estudar a seguir. Argumento Válido Dizemos que um argumento é válido ou ainda que ele é legíƟmo ou bem construído quando a sua conclusão é uma consequência obrigatória do seu conjunto de premissas. Posto de outra forma: Um argumento é válido quando, ao assumirmos as premissas do argumento como verdadeiras, a verdade da conclusão fica logicamente estabelecida. Isto significa que, num argumento válido, jamais poderemos ter uma conclusão falsa quando as premissas forem verdadeiras. É importante observar que o estudo dos argumentos ocupa-se tão somente da validade destes e não leva em conta se as proposições que o compõem são realmente verdadeiras ou não. Deste modo, ao se discu r a validade de um argumento é irrelevante saber se as premissas são realmente verdadeiras ou não. Tudo que precisamos fazer é assumir que as premissas sejam todas verdadeiras e verificar se isto obriga ou não a conclusão a ser também verdadeira. 32
Exemplo: Considere o silogismo: “Todos os pardais adoram jogar xadrez. Nenhum enxadrista gosta de óperas. Portanto, nenhum pardal gosta de óperas.” Este silogismo está perfeitamente bem construído (veja o diagrama abaixo), sendo, portanto, um argumento válido muito embora a verdade das premissas seja ques onável.
Op = Conjunto dos que gostam de Óperas X = Conjunto dos que adoram jogar xadrez P = Conjunto dos pardais Pelo diagrama pode-se perceber que nenhum elemento o conjunto P (pardais) pode pertencer ao conjunto Op (os que gostam de Óperas). Argumento Inválido Dizemos que um argumento é inválido, também denominado ilegíƟmo, mal construído ou falacioso, quando a verdade das premissas não é suficiente para garan r a verdade da conclusão. Exemplo: O silogismo: “Todos os alunos do curso, passaram. Maria não é aluna do curso. Portanto, Maria não passou.” é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas não garantem (não obrigam) a verdade da conclusão (veja o diagrama abaixo).
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P = Conjunto das pessoas que passaram. C = Conjunto dos alunos do curso. m = Maria. Pelo diagrama vê-se que Maria pode ter passado mesmo sem ser aluna do curso. (a primeira premissa não afirmou que somente os alunos do curso haviam passado). Na tabela abaixo podemos ver um resumo das situações possíveis para um argumento: Se um argumento e as premissas... é... são todas verdadeiras Válido (bem construído) não são todas verdadeiras
então a conclusão será: n e ce s s a r i a m e nte Verdadeira. ou Verdadeira ou Falsa.
Se um argumento e as premissas... é... IndependenteInválido mente de serem (mal construído) ou não todas verdadeiras
então a conclusão será: ou Verdadeira ou Falsa.
Noções sobre Cálculo de Predicados de 1a Ordem Não existe um meio efe vo de testar a validade de todos os argumentos possíveis. Daí surge o interesse no desenvolvimento de um método que permita a dedução da conclusão de um argumento qualquer, ou seja, o cálculo axiomáƟco de predicados. Este assunto é vasto e uma abordagem completa exigiria, primeiramente, que se fundamentasse axioma camente o cálculo proposicional. Faremos a seguir um breve resumo do assunto.
Sentenças Abertas Considere uma expressão p(x) capaz de ser lida como uma proposição para cada valor atribuído a x num dado conjunto U não vazio, ou seja, p(x) ou é verdadeira ou é falsa para todo x pertencente a U. Nessas condições dizemos que p(x) é uma sentença aberta em U. Se p(x) é uma sentença aberta no conjunto U então esse conjunto é chamado conjunto-universo de discussão da sentença enquanto x é chamado variável de discussão da sentença. Exemplos: Sentença aberta p(x) x>3 2x+1 = 5 3x=10
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Universo Z Z Z
Valor de p(2) Falso Verdadeiro Falso
Quando p(u) for verdadeira para algum u U dizemos que esse u confirma p(x) ou ainda que u é uma solução de p(x). É preciso ficar bem claro que as sentenças abertas não são verdadeiras nem são falsas. Ao subs tuirmos as variáveis das sentenças abertas por valores específicos as sentenças tornam-se proposições. Estas sim é que são ou verdadeiras ou falsas. Por esse mo vo é que as sentenças abertas também são chamadas de funções proposicionais. Conjunto-Verdade Chama-se conjunto-verdade de p(x) em U, ou conjunto-solução de p(x) em U, ao conjunto que reúne todos os elementos de U que sejam solução de p(x), ou seja, para os quais p(x) é verdadeira. O conjunto-verdade é representado costumeiramente por V ou por S. V = {u U| p(u) é verdadeira}. Exemplos: Sentença aberta x>3 2x+1 = 5 3x=10 3x=10
Universo Z Z Q Z
Conjunto-Verdade V={4, 5, 6, 7, 8, ...} V={2} V={10/3} V=
Sentenças com duas ou mais Variáveis Uma sentença aberta pode ter duas ou mais variáveis. p(x, y) sentença aberta nas variáveis, x e y. p(x, y, z) sentença aberta nas variáveis, x, y e z. p(x, y, z, w) sentença aberta nas variáveis, x, y, z e w. No conjunto-verdade de uma sentença aberta com duas ou mais variáveis os elementos serão representados por pares ordenados ou por seus análogos para mais variáveis. Exemplos: – O conjunto-verdade da sentença aberta xy = 5 em Z será: V={(1;5), (5;1), (−1; −5), (−5; −1)} – O conjunto-verdade da sentença aberta 0 < (x+y+z) < 4 em N será: V={(1; 1; 2), (1; 2; 1), (2; 1; 1)} 35
Operações lógicas sobre sentenças abertas As operações lógicas proposicionais podem ser associadas às sentenças abertas criando outras sentenças abertas. Assim, se p(x) e q(x) forem duas sentenças abertas quaisquer, serão também sentenças abertas: ~p(x) ~q(x) p(x) q(x) p(x) q(x) p(x) → q(x) p(x) ↔ q(x) etc. Propriedades Se p(x) e q(x) são sentenças abertas discu das no universo U e Vp representa o conjunto-verdade de p(x), então valem as seguintes propriedades: P1. O conjunto-verdade da negação ~p(x) é o complemento do conjunto verdade de p(x). V~p = U − Vp P2. O conjunto-verdade da disjunção p(x) q(x) é a união dos seus conjuntos-verdade. Vpq = Vp Vq P3. O conjunto-verdade da conjunção p(x) q(x) é a interseção dos seus conjuntos-verdade. Vpq = Vp ∩ Vq P4. O conjunto-verdade da condicional p(x) → q(x) é a união dos conjuntos-verdade de ~p(x) e de q(x). Vp→q = V~p Vq P5. O conjunto-verdade da bicondicional p(x) ↔ q(x) é a interseção dos conjuntos-verdade de ~p(x) e de ~q(x). Vp↔q = V~p ∩ V~q 36
Quan ficação Existem duas maneiras de se transformar uma sentença aberta em uma proposição. Uma delas é atribuindo valores a suas variáveis. A outra é fazer uso da quanƟficação. As quan ficações estabelecem relações de inclusão ou exclusão entre sujeito e predicado em certas sentenças que funcionarão como proposições. O quadro seguinte resume as quatro proposições quan ficacionais fundamentais: Afirma va
Nega va
Universal
Todo A é B.
Nenhum A é B.
Par cular
Algum A é B.
Algum A não é B.
Símbolos Quan ficacionais Quando dizemos “Todo atleta é um batalhador.” estamos fazendo referência a dois conjuntos – o conjunto daqueles que são atletas e o conjunto daqueles que são batalhadores. Assim, o sen do da sentença é que “todo aquele que pertença ao conjunto dos atletas, também pertence ao conjunto dos batalhadores”. Na teoria dos conjuntos os elementos de um conjunto é que são quan ficados para que se possa estabelecer sua relação de per nência com outro conjunto. Os quan ficadores são representados por símbolos especiais e sua leitura é usualmente feita de modo ligeiramente diferente daquela como usamos nas proposições categóricas. Quan ficador Universal
Símbolo
Par cular Par cular nega vo
Significado Todo, Para todo ou Qualquer que seja Existe algum Não existe
Par cular exclusivo
I
Existe um único
Exemplos Universal afirma va: Todo A é B. x, xA → xB (para todo x, se xA então xB) 37
Universal nega va: Nenhum A é B. x, xA → xB (para todo x, se xA então xB) Par cular afirma va: Algum A é B. x, xA xB (existe algum x tal que xA e xB) Par cular nega va: Nenhum A é B.
x, xA xB (não existe x tal que xA e xB) Par cular exclusiva: Só existe um número real que sa sfaz a igualdade x+2 = 6 I x, x R, x+2 = 6 (existe um único x tal que x R e x+2 = 6) Variáveis Livres Dizemos que uma variável é livre em uma dada sentença se ela não está ligada a algum quan ficador. Exemplos x ≤ 3 (x é variável livre) x (x ≠ w) (x não é variável livre mas w é) x (y (x ≥ y) ) (nem x nem y é livre) Regras de Inferência Nas regras apresentadas abaixo: – uma vírgula separa duas premissas; – o sinal lê-se portanto e separa as premissas da conclusão; – as premissas estão sempre à esquerda do sinal ; – a conclusão está sempre à direita do sinal ; – Rec. significa teorema recíproco do apresentado na linha anterior. 1. modus ponens A , AB B 38
2. modus tollens AB , ~B ~A 3. dupla negação ~(~B) B 4. introdução da conjunção A, B A B 5. eliminação da conjunção ABA ABB 6. adição A, B A B 7. silogismo hipotéƟco AB , BC AC 8. silogismo disjunƟvo A B , ~A B A B , ~B A 9. dilema construƟvo (AB) (CD), A C B D 10. dilema destruƟvo (AB) (CD), ~B ~D A C Teoremas T1- (A B) , BC (A C) T2- AB B A Rec- B A AB T3- AB , (AB) B T4- (A B) C A (BC) Rec- A (BC) (A B) C T5- (A B) (C C) AB ( princ. da não contradição) T6- A (B C) , B AC 39
Proposições Dependentes Sejam P1 e P2 duas proposições quaisquer. Dizemos que P2 é dependente de P1 se, e somente se, o valor lógico de P2 depende do valor lógico dado a P1. Ou seja, pelo menos uma das seguintes situações deve ocorrer: P1 Verdadeira obriga P2 Verdadeira ou P1 Verdadeira obriga P2 Falsa ou P1 Falsa obriga P2 Verdadeira ou P1 Falsa obriga P2 Falsa Dependência entre Proposições Quanto à dependência entre duas proposições dadas, P1 e P2, podem ocorrer somente duas situações dis ntas: 1ª Nenhuma das duas proposições tem seu o valor lógico dependente do valor lógico da outra. Neste caso dizemos que não existe dependência ou ainda que as proposições consideradas são independentes. 2ª Cada uma das proposições tem seu o valor lógico dependente do valor lógico da outra. Neste caso dizemos que existe dependência ou ainda que as proposições consideradas são dependentes. Exemplos: Considere as seguintes proposições: A: Ana é alta; B: Beto é baixo; C: Ana não é alta; D: Se Ana é Alta então Beto é baixo. As proposições A e B são independentes, pois, em princípio, pode-se ter qualquer uma delas verdadeira ou falsa independentemente do valor lógico que seja atribuído à outra. As proposições A e C são dependentes. De fato uma vez que se tenha atribuído algum valor lógico a uma delas, a outra, necessariamente ficará obrigada ao valor lógico oposto, dado que C é a negação de A. As proposições A e D também são dependentes. Isto pode ser constatado observando que ao colocarmos qualquer uma das duas com Falsa a outra, obrigatoriamente, será Verdadeira. Número de Linhas de uma Tabela-Verdade Se uma tabela-verdade tem como componentes as proposições P1, P2, ..., Pn, duas a duas independentes, então o número de linhas desta tabela-verdade será igual a:
Ln 2n Exemplo: Sejam P1, P2 e P3, três proposições independentes entre si, então a tabela verdade da proposição composta “(P1 e P2) ou não-P3” terá 23 = 8 linhas, como se pode ver abaixo: 40
1 2 3 4 5 6 7 8
P1
P2
P3
V V V V F F F F
V V F F V V F F
V F V F V F V F
(P1 e P2)
não-P3
V V F F F F F F
F V F V F V F V
(P1 e P2) ou não-P3 V V F V F V F V
Exercícios Resolvidos 1.
Todos os bons estudantes são pessoas tenazes. Assim sendo: a) Alguma pessoa tenaz não é um bom estudante. b) O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas tenazes. c) Toda pessoa tenaz é um bom estudante. d) Nenhuma pessoa tenaz é um bom estudante. e) O conjunto das pessoas tenazes contém o conjunto dos bons estudantes. Solução: Alterna va: e Dizer que “todos os bons estudantes são pessoas tenazes” equivale a dizer que dentro do conjunto que reúne todas as pessoas tenazes acharemos todos os bons estudantes. Assim sendo, podemos dizer que o conjunto das pessoas tenazes contém o conjunto dos bons estudantes. Isto poderia ser visualizado com um diagrama de conjuntos (diagrama de Euler-Venn).
2.
Represente com diagramas de conjuntos: I) Algum A é B. II) Algum A não é B. III) Todo A é B. IV) Se A, então B. V) Nenhum A é B. Solução: I)
41
II)
III e IV)
V)
3.
Dê uma negação para cada uma das proposições abaixo. a) O tempo será frio e chuvoso. b) Ela estudou muito ou teve sorte na prova. c) Maria não é morena ou Regina é baixa. d) Se o tempo está chuvoso então está frio. e) Todos os corvos são negros. f) Nenhum triângulo é retângulo. g) Alguns sapos são bonitos. h) Algumas vidas não são importantes. Solução: a) O tempo não será frio ou não será chuvoso. b) Ela não estudou muito e não teve sorte na prova. c) Maria é morena e Regina não é baixa. d) O tempo está chuvoso e não está frio. e) Algum corvo não é negro. f) Algum triângulo é retângulo. g) Nenhum sapo é bonito. h) Todas as vidas são importantes.
42
4.
Todo baiano gosta de “axé music”. Sendo assim: a) Todo aquele que gosta de “axé music” é baiano. b) Todo aquele que não é baiano não gosta de “axé music”. c) Todo aquele não gosta de “axé music” não é baiano. d) Algum baiano não gosta de “axé music”. e) Alguém que não goste de “axé music” é baiano. Solução: Alterna va: c Assumindo que “todo baiano gosta de ‘axé music’” podemos dizer que o conjunto dos baianos (conjunto B) encontra-se completamente dentro do conjunto dos que gostam de ‘axé music’ (conjunto A). Qualquer um que esteja fora do conjunto A não poderá estar no conjunto B pois B está dentro de A. Mas todos os que não gostam de ‘axé music’ estão fora do conjunto A. Logo todos os que não gostam de ‘axé music’ estão fora do conjunto B. Ou seja: todo aquele que não gosta de ‘axé music’ não é baiano.
5.
Se Ana é altruísta então Bruna é benevolente. Se Bruna é benevolente então Cláudia é conservadora. Sabe-se que Cláudia não é conservadora. Nestas condições pode-se concluir que: a) Ana não é benevolente. b) Bruna não é altruísta. c) Ana não é conservadora. d) Cláudia não é altruísta. e) Ana não é altruísta. Solução: Alterna va: e Esta questão faz uso de uma estrutura bem conhecida na Lógica: a cadeia de proposições condicionais – A implica B que implica C ..... Por outro lado, toda vez que uma proposição condicional como ‘Se A então B’ for verdadeira será verdadeira também ‘Se não-B então não-A’(repare a ordem!), onde não-B e não-A são as negações das proposições B e A, respec vamente. Deste modo, quando sabemos que ‘Se A então B’ e sabemos que B não ocorre, podemos concluir que A também não ocorre. Neste problema podemos representar a cadeia de proposições condicionais dada como A implica B que implica C que implica D. Como temos a negação de D, teremos também não-C, não-B e não-A consecu vamente. Ou seja: Cláudia não é conservadora, Bruna não é benevolente e Ana não é altruísta. As demais opções não podem ser aceitas como conclusões pois não há dados suficientes no enunciado para decidir se são verdadeiras ou se são falsas.
6.
Todo atleta é bondoso. Nenhum celta é bondoso. Daí pode-se concluir que: a) Algum atleta é celta. b) Nenhum atleta é celta. c) Nenhum atleta é bondoso. d) Alguém que seja bondoso é celta. e) Ninguém que seja bondoso é atleta. 43
Solução: Alterna va: b Sejam A = o conjunto dos atletas, B o conjunto das pessoas bondosas e C o conjunto dos celtas. De acordo com o enunciado, o conjunto A esta totalmente dentro de B pois ‘todo atleta é bondoso’. O conjunto C está completamente fora de B pois ‘nenhum celta é bondoso’. Sendo assim os conjunto A e C não podem ter qualquer elemento em comum, pois o primeiro está dentro de B e o segundo, fora. Ou seja: nenhum atleta é celta. 7.
Se chove então faz frio. Assim sendo: a) Chover é condição necessária para fazer frio. b) Fazer frio é condição suficiente para chover. c) Chover é condição necessária e suficiente para fazer frio. d) Chover é condição suficiente para fazer frio. e) Fazer frio é condição necessária e suficiente para chover. Solução: Alterna va: d Esta questão faz referência aos conceitos de necessidade e de suficiência e às relações destes conceitos com as proposições condicionais. Como já vimos, numa proposição condicional ‘Se A então B’ a ocorrência de A implica (garante) a ocorrência de B. Então dizemos que A é uma condição suficiente para a ocorrência de B, ou simplesmente que A é suficiente para B. Por outro lado, sabemos que a não ocorrência de B implica a não ocorrência de A, ou seja: sem a ocorrência de B certamente A também não ocorreria. Por este mo vo dizemos que B é uma condição necessária para a ocorrência de A, ou simplesmente que B é necessária para A. No contexto da questão: Chuva é condição suficiente para frio. Frio é condição necessária para chuva.
8.
Numa compeƟção de enigmas, três espertas parƟcipantes de uma das equipes propõem um desafio dizendo o seguinte: Míriam: A Ana Flávia mente. Ana Flávia: A Anna Laryssa é que mente. Anna Laryssa: A Míriam e a Ana Flávia é que mentem. O desafio consiste em descobrir, de acordo com as afirmações feitas, quem está menƟndo e quem está dizendo a verdade. Nestas condições, marque a alternaƟva correta: a) A única menƟrosa é Míriam. b) A única menƟrosa é Ana Flávia. c) Míriam e Anna Laryssa mentem. d) Ana Flávia e Míriam mentem. e) Anna Laryssa e Ana Flávia mentem. Solução: Alterna va: c Míriam diz: “A Ana Flávia mente”. Suponha que o que Míriam diz seja verdade. Então Ana Flávia é mesmo men rosa. Sendo a Ana Flávia men rosa, o que ela diz
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é men ra e, portanto, a Anna Laryssa diz a verdade. Por sua vez, se Anna Laryssa diz a verdade, então Míriam deve ser men rosa. Ora, isto contradiz a suposição inicial de que Míriam diz a verdade. Logo, não é possível que Míriam tenha dito a verdade. Então Míriam mente e, se Míriam mente, Ana Flávia diz a verdade e, portanto, Anna Laryssa mente. 9.
Um anƟquário acordou assustado quando o alarme instalado em sua casa acusou, às 2 horas da madrugada, que sua loja estava sendo invadida. Chamou a polícia por telefone e saiu correndo para a loja que ficava apenas a uma quadra de sua residência. Tudo o que o pobre anƟquário conseguiu ver foi um carro saindo em disparada, mas não conseguiu ver quem estava no carro e nem mesmo soube dizer quantos eram os seus ocupantes. Após invesƟgar o caso, o deteƟve Berloque Gomes conseguiu apurar os seguintes fatos: – O carro visto pelo anƟquário foi realmente o carro usado para a fuga; – Ninguém mais, exceto três conhecidos delinquentes, Ário, Bário e Cário, poderiam estar envolvidos no assalto; – Cário nunca praƟca um assalto sem usar, pelo menos, Ário como cúmplice; – Bário não sabe dirigir. AdmiƟndo que os fatos apurados por Berloque Gomes sejam verdadeiros, pode-se concluir logicamente que: a) Bário é necessariamente inocente. b) Cário é necessariamente inocente. c) Ário é necessariamente inocente. d) Cário é necessariamente culpado. e) Ário é necessariamente culpado. Solução: Alterna va: e Existem somente três hipóteses razoáveis: 1. Ário cometeu o crime sozinho. 2. Cário é culpado – Neste caso Ário também é culpado. 3. Bário é culpado – Neste caso, alguém o ajudou a dirigir o carro da fuga (pois ele não sabe dirigir). Se o motorista foi Cário, então Ário também é culpado (pois Cário nunca pra ca um roubo sem Ário). Se o motorista foi Ário, não se pode provar nada sobre Cário, mas Ário já está novamente implicado. Como se pode notar, em qualquer das três hipóteses Ário está necessariamente envolvido.
10. Considere as afirmaƟvas seguintes: I – A bolinha amarela está depois da branca. II – A bolinha azul está antes da verde. III – a bolinha que está imediatamente após a azul é maior que a que está antes desta. IV – A bolinha verde é a menor de todas. 45
Com base nas quatro afirmaƟvas anteriores, a ordem correta das quatro bolinhas é: a) Branca, amarela, azul, verde. b) Branca, azul, amarela, verde. c) Branca, azul, verde, amarela. d) Azul, branca, amarela, verde. e) Azul, branca, verde, amarela. Solução: Alterna va: b As afirma vas I e II estão sa sfeitas em todas as alterna vas de resposta dadas. Assim, concentremos nossa atenção nas afirma vas III e IV: – A afirma va III indica a existência de ao menos uma bolinha ANTES e ao menos uma bolinha DEPOIS da bolinha azul. Portanto, a bolinha azul não pode ser a primeira nem pode ser a úl ma. Isto elimina as alterna vas de resposta D e E. – Ainda na afirma va III temos que a bolinha que está imediatamente após a azul é MAIOR do que a bolinha que está antes desta. Além disto, sabemos pela afirma va IV que a bolinha verde é a MENOR DE TODAS. Portanto a bolinha que está imediatamente após a azul não pode ser a verde. Isto elimina as alterna vas de resposta A e C. Por exclusão, resta-nos apenas a alterna va de resposta B. 11. Alba, Bianca e Clara foram a uma festa com vesƟdos de cores diferentes, sendo um azul, um branco e um carmim, mas não necessariamente nesta ordem. Atraído pela beleza das três jovens, um rapaz aproximou-se delas e lhes perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: “Alba está de branco.”. A que estava de branco retrucou: “Eu sou Bianca!”. Então aquela que estava vesƟndo carmim disse: “Clara é que está de branco.”. Perplexo, o rapaz pensou “Nossa, mas que confusão!”. Sabendo que Alba disse a verdade e que Clara menƟu, deduza as cores dos vesƟdos de Alba, de Bianca e de Clara, nesta ordem: a) Carmim, branco e azul. b) Carmim, azul e branco. c) Azul, carmim, e branco. d) Azul, branco e carmim. e) Branco, azul e carmim. Solução: Alterna va: b – Se aquela que usava o ves do azul fosse Alba, ela teria men do ao dizer “Alba está de branco” mas sabemos que Alba diz a verdade. Logo Alba não pode estar de azul. – Alba também não pode estar de branco pois aquela que estava de branco disse “Eu sou Bianca” e sabe-se que Alba não poderia men r dizendo ser Bianca. – Ora, se Alba não está de azul e também não está de branco, então Alba só pode estar usando o ves do carmim. 46
Então concluímos que a afirmação de Alba (que estava de carmim) foi “Clara está de branco” e como sabemos que Alba diz a verdade o ves do de Clara é mesmo o branco. Por exclusão, resta o ves do azul para Bianca e, de quebra, ainda poderíamos concluir que Bianca também men u! Resumindo o que descobrimos, as cores dos ves dos de Alba, Bianca e Clara, nesta ordem são Carmim, Azul, e Branco. 12. (Esaf) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo, a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema. c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória. e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória. Solução: Alterna va: a Se Beto brigasse com Glória, Glória iria ao cinema, Carla ficaria em casa e Raul brigaria com Carla. Raul não brigou com Carla. Logo, Beto não briga com Glória, Glória não vai ao cinema e Carla não fica em Casa. A única alterna va concordante com estas conclusões é a letra A: “Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória”.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS Noções de Lógica 1.
Sejam A e B duas proposições dis ntas quaisquer, então pode-se garan r que: a) Sendo A verdadeira e B falsa a proposição composta “A e B” será verdadeira. b) Sendo A falsa e B verdadeira a proposição composta “A e B” será verdadeira. c) Sendo A falsa e B falsa a proposição composta “A e B” será verdadeira. d) Sendo A verdadeira e B verdadeira a proposição composta “A e B” será falsa. e) Sendo A verdadeira e B verdadeira a proposição composta “A e B” será verdadeira.
2.
Sejam A e B duas proposições dis ntas quaisquer, então pode-se garan r que: a) Sendo A verdadeira e B falsa a proposição composta “A ou B” será falsa. b) Sendo A falsa e B verdadeira a proposição composta “A ou B” será falsa. c) Sendo A falsa e B falsa a proposição composta “A ou B” será verdadeira. d) Sendo A verdadeira e B verdadeira a proposição composta “A ou B” será verdadeira. e) Sendo A verdadeira e B verdadeira a proposição composta “A ou B” será falsa.
3.
Considere a proposição composta X = “Se A então B”, onde A (condição) e B (conclusão) são duas outras proposições quaisquer, A B. Nestas condições, assinale a única correta: a) X será verdadeira somente se a condição for falsa, independentemente de a conclusão ser verdadeira ou falsa. 47
b) X será falsa sempre que a conclusão for verdadeira, independentemente de a condição ser verdadeira ou falsa. c) X será verdadeira somente se A e B verem valores lógicos iguais , ou seja, A e B ambas verdadeiras ou então ambas falsas. d) X será falsa somente quando a condição e a conclusão verem valores lógicos opostos, ou seja, A verdadeira com B falsa ou A falsa com B verdadeira. e) X será falsa somente quando a conclusão for falsa. 4.
Uma proposição X é dita logicamente equivalente a uma outra, Y, quando ocorrer que elas tenham sempre o mesmo valor lógico, ou seja, sempre que uma das duas é verdadeira a outra também é verdadeira e sempre que uma das duas é falsa a outra também é falsa. Com base nesta definição assinale a única proposição abaixo que não é equivalente da proposição “Se A então B”: a) Todo A é B. b) A é condição suficiente para B. c) Se B então A. d) Se não-B então não-A. e) B é condição necessária para A.
5.
Entre as proposições abaixo assinale a única que não corresponde corretamente à negação da proposição “A e B”: a) Não é verdade que A ou B. b) Não ocorre A ou não ocorre B. c) Não ocorre A ou não ocorre B ou não ocorrem ambos. d) É falso que tem-se A e B. e) Não se tem A e B.
6.
Sabe-se que a proposição “A ou B” é verdadeira. Assim sendo: a) Se soubermos também que a proposição A é verdadeira poderemos concluir que proposição B é falsa. b) Se soubermos também que a proposição A é falsa poderemos concluir que proposição B é falsa. c) Se soubermos também que a proposição A é falsa poderemos concluir que proposição B é verdadeira. d) Se soubermos também que a proposição A é verdadeira poderemos concluir que proposição B é verdadeira. e) Se soubermos também que a proposição A tem um valor lógico (verdadeira ou falsa) poderemos concluir que proposição B tem o valor lógico oposto (falsa ou verdadeira).
7.
Se é verdade que “Nenhum A é B”, então é necessariamente verdadeiro que: a) Algum A não é B. b) Algum A é B. c) Todo A é B. d) Algum B é A. e) Todo B é A.
8.
Todo ar sta é um boêmio. Sendo assim: a) Todo boêmio é um ar sta. b) Todo aquele que não é ar sta não é boêmio.
48
c) Todo aquele não é boêmio não é ar sta. d) Algum ar sta não é boêmio. e) Alguém que não é boêmio é ar sta. 9.
Se Ana é altruísta então Bruna é benevolente. Se Bruna é benevolente então Cláudia é conservadora. Sabe-se que Bruna não é benevolente. Nestas condições pode-se concluir que: a) Ana é altruísta. b) Ana não é altruísta mas Cláudia é conservadora. c) Ana não é altruísta e Cláudia não é conservadora. d) Cláudia não é conservadora. e) Ana não é altruísta.
10. (Esaf) Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à África, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai à África, então Luís compra um livro. Se Luís compra um livro, então Rui vai a Roma. Ora, Rui não vai a Roma, logo: a) Celso compra um carro e Ana não vai à África b) Celso não compra um carro e Luís não compra o livro c) Ana não vai à África e Luís compra um livro d) Ana vai à África ou Luís compra um livro e) Ana vai à África e Rui não vai a Roma 11. (Esaf) Considere as afirmações: A – Se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade; B – Se Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga; C – Se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa amiga. A análise do encadeamento lógico dessas três afirmações permite concluir que elas: a) São equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga b) Implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga c) Implicam necessariamente que Vítor diz a verdade e que Helena não é uma boa amiga d) São consistentes entre si, quer Patrícia seja uma boa amiga, quer Patrícia não seja uma boa amiga e) São inconsistentes entre si 12. Todo atleta é bondoso. Nenhum celta é bondoso. Daí pode-se concluir que: a) Algum atleta é celta. b) Nenhum atleta é celta. c) Nenhum atleta é bondoso. d) Alguém que seja bondoso é celta. e) Ninguém que seja bondoso é atleta. 13. (Esaf) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efe vamente come do por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: A – se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; 49
B – ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois; C – o mordomo não é inocente. Logo: a) a governanta e o mordomo são os culpados. b) o cozinheiro e o mordomo são os culpados. c) Somente a governanta é culpada. d) Somente o cozinheiro é inocente. e) Somente o mordomo é culpado. 14. (Esaf) Três irmãs – Ana, Maria e Cláudia – foram a uma festa com ves dos de cores diferentes. Uma ves u azul, a outra branco e a terceira preto. Chegando à festa o anfitrião perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco.” A de branco falou: “Eu sou Maria.” E a de preto disse: “Cláudia é quem está de branco.” Como o anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade, que Maria às vezes diz a verdade e que Cláudia nunca diz a verdade, ele foi capaz de iden ficar corretamente quem era cada pessoa. As cores dos ves dos de Ana, Maria e Cláudia eram, respec vamente: a) preto, branco, azul. b) preto, azul, branco. c) azul, preto, branco. d) azul, branco, preto. e) branco, azul, preto. 15. (Esaf) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, ob veram os quatro primeiros lugares em um concurso de oratória julgado por uma comissão de três juízes. Ao comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e a outra falsa: Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo” Juiz 2: “André foi o segundo; Dênis foi o terceiro” Juiz 3: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto” Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados foram, respec vamente, a) André, Caio, Beto, Dênis. b) Beto, André, Caio, Dênis. c) Beto, André, Dênis, Caio. d) André, Caio, Dênis, Beto. e) Caio, Beto, Dênis, André. 16. (AFC/SFC/2000) Os cursos de Márcia, Berenice e Priscila são, não necessariamente nesta ordem, Medicina, Biologia e Psicologia. Uma delas realizou seu curso em Belo Horizonte, a outra em Florianópolis, e a outra em São Paulo. Márcia realizou seu curso em Belo Horizonte. Priscila cursou Psicologia. Berenice não realizou seu curso em São Paulo e não fez Medicina. Assim, os cursos e os respec vos locais de estudo de Márcia, Berenice e Priscila são, pela ordem: a) Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianópolis, Biologia em São Paulo b) Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Medicina em São Paulo c) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Psicologia em São Paulo d) Biologia em Belo Horizonte, Medicina em São Paulo, Psicologia em Florianópolis e) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em São Paulo, Psicologia em Florianópolis 50
17. (AFC/SFC/2000) Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo, a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento b) Camile e Carla não foram ao casamento c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou e) Vera e Vanderléia não viajaram 18. (Analista/2002) Se M=2x+3y, então M=4p+3r. Se M=4p+3r, então M=2w3r. Por outro lado, M=2x+3y ou M=0. Se M=0 então M+H = 1. Ora, M+H 1. Logo, a) 2w3r = 0 b) 4p+3r 2w3r c) M 2x+3y d) 2x+3y 2w3r e) M = 2w3r 19. (TFC/SFC/2000) Ou Anaís será professora, ou Anelise será cantora, ou Anamélia será pianista. Se Ana for atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora, então Ana será atleta. Ora, Anamélia não será pianista. Então: a) Anaís será professora e Anelise não será cantora b) Anaís não será professora e Ana não será atleta c) Anelise não será cantora e Ana será atleta d) Anelise será cantora ou Ana será atleta e) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista 20. (TFC/SFC/2000) Se é verdade que “Nenhum ar sta é atleta”, então também será verdade que: a) todos não ar stas são não atletas b) nenhum atleta é não ar sta c) nenhum ar sta é não atleta d) pelo menos um não atleta é ar sta e) nenhum não atleta é ar sta 21. (Gestor/2000) Dizer que “André é ar sta ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que: a) André é ar sta se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é ar sta, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é ar sta, então Bernardo é engenheiro d) Se Bernardo é engenheiro, então André é ar sta. e) André não é ar sta e Bernardo é engenheiro 22. Todos os bons estudantes são pessoas tenazes. Assim sendo: a) Alguma pessoa tenaz não é um bom estudante. b) O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas tenazes. c) Toda pessoa tenaz é um bom estudante. d) Nenhuma pessoa tenaz é um bom estudante. e) O conjunto das pessoas tenazes contém o conjunto dos bons estudantes. 51
23. (Esaf) Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”, então é necessariamente verdadeiro que a) Algum A não é G b) Algum A é G c) Nenhum A é G d) Algum G é A e) Nenhum G é A 24. Todo baiano gosta de ‘axé music’. Sendo assim: a) Todo aquele que gosta de ‘axé music’ é baiano. b) Todo aquele que não é baiano não gosta de ‘axé music’. c) Todo aquele não gosta de ‘axé music’ não é baiano. d) Algum baiano não gosta de ‘axé music’. e) Alguém que não goste de ‘axé music’ é baiano. 25. Se chove então faz frio. Assim sendo: a) Chover é condição necessária para fazer frio. b) Fazer frio é condição suficiente para chover. c) Chover é condição necessária e suficiente para fazer frio. d) Chover é condição suficiente para fazer frio. e) Fazer frio é condição necessária e suficiente para chover. 26. (Esaf) Seis pessoas – A, B, C, D, E, F – devem sentar-se em torno de uma mesa redonda para discu r um contrato. Há exatamente seis cadeiras em torno da mesa, e cada pessoa senta-se de frente para o centro da mesa e numa posição diametralmente oposta à pessoa que está do outro lado da mesa. A disposição das pessoas à mesa deve sa sfazer às seguintes restrições: F não pode sentar-se ao lado de C E não pode sentar-se ao lado de A D deve sentar-se ao lado de A Então uma distribuição aceitável das pessoas em torno da mesa é: a) F, B, C, E, A, D b) A, E, D, F, C ,B c) A, B, F, C, D, E d) F, D, A, C, E, B e) F, E, D, A, B, C 27. (Esaf) Dizer que é verdade que “para todo x, se x é uma rã e se x é verde, então x está saltando” é logicamente equivalente a dizer que não é verdade que a) “algumas rãs que não são verdes estão saltando” b) “algumas rãs verdes estão saltando” c) “nenhuma rã verde não está saltando” d) “existe uma rã verde que não está saltando” e) “algo que não seja uma rã verde está saltando” 28. (Gestor/2000) A par r das seguintes premissas: Premissa 1: “X é A e B, ou X é C” Premissa 2: “Se Y não é C, então X não é C” Premissa 3: “Y não é C” 52
Conclui-se corretamente que X é: a) A e B. b) não A ou não C. c) A ou B. d) A e não B. e) não A e não B. 29. A proposição “Todo A é B” não é equivalente a: a) Se A, então B. b) Se não B, então não A. c) Se não A, então não B. d) B é necessário para A. e) A é suficiente para B. 30. Se é verdade que todo atávico é belicoso, então: também é verdade que: a) Todo belicoso é atávico. b) Algum atávico não é belicoso. c) Nenhum atávico é belicoso. d) Se não é atávico então não é belicoso. e) Se não é belicoso então não é atávico. 31. Se Ana é atenciosa, então Bruna é bagunceira. Se Bruna é bagunceira, então Carla é carinhosa. Sabe-se que Bruna não é bagunceira. Logo: a) Ana é atenciosa e Carla é carinhosa. b) Ana não é atenciosa e Carla não é carinhosa. c) Ana não é atenciosa e Carla é carinhosa. d) Carla é carinhosa, mas nada se pode afirmar sobre Ana. e) Ana não é atenciosa, mas nada se pode afirmar sobre Carla. 32. Se Bruna brinca, Rita ri. Se Rita ri, Carla canta. Se Carla canta, Diana dança. Se Diana dança, Lulu late. Com base nestas proposições, pode-se concluir que: a) Se Bruna não brinca, então Rita não ri, Carla não canta, Diana não dança e Lulu não late. b) Se Rita não ri, então Carla não canta, Diana não dança, Lulu não late e Bruna não brinca. c) Se Carla não canta, então Diana não dança, Lulu não late, Bruna não brinca e Rita não ri. d) Se Diana não dança, então Lulu não late, Bruna não brinca, Rita não ri e Carla não canta. e) Se Lulu não late, então Bruna não brinca, Rita não ri, Carla não canta e Diana não dança. 33. Assinale a alterna va que apresenta uma contradição lógica: a) Todo dramaturgo não é perspicaz e algum perspicaz é dramaturgo. b) Todo dramaturgo é perspicaz e algum perspicaz não é dramaturgo. 53
c) Nenhum dramaturgo é perspicaz e algum dramaturgo não é perspicaz. d) Algum dramaturgo é perspicaz e algum dramaturgo não é perspicaz. e) Algum dramaturgo não é perspicaz e todo perspicaz é dramaturgo. 34. Todo criança gosta de brincar. Logo: a) Se Miriam não gosta de brincar, então Miriam não é uma criança. b) Se Miriam é uma criança, então Miriam não gosta de brincar. c) Se Miriam gosta de brincar então Miriam é uma criança. d) Se Miriam não é uma criança então Miriam não gosta de Brincar. e) Se Miriam não é uma criança então Miriam gosta de Brincar. 35. Altair é alto ou Bruna é bela. Altair não é alto. Logo: a) Bruna não é bela. b) Altair é alto. c) Bruna é bela. d) Altair é alto e Bruna é bela. e) Altair não é alto e Bruna não é bela. 36. Todo atleta é batalhador. Sophia é atleta. Logo: a) Sophia é atleta e batalhadora. b) Sophia é atleta, mas não é necessariamente batalhadora. c) Sophia é batalhadora, mas não necessariamente é atleta. d) Sophia não é atleta e nem batalhadora. e) Ou Sophia é atleta ou Sophia é batalhadora. 37. Todo ator é bonachão. Luís não é bonachão. Logo: a) Luís é ator. b) Luís pode ser ator, bem como pode não sê-lo. c) Luís é bonachão e não é ator. d) Luís não é ator. e) Ou Luís não é ator ou Luís não é Bonachão. 38. Todo homem que gosta de andar tem muitas bermudas. Todo homem que come couve gosta de andar. Logo: a) Todo homem que tem muitas bermudas come couve. b) Todo homem que come couve tem muitas bermudas. c) Todo homem que tem muitas bermudas gosta de andar. d) Alguém que come couve pode não gostar de andar. e) Alguém que gosta de andar pode não ter muitas bermudas. 39. Todo animal que tenha pelagem arlequim é belicoso. Nenhum dos meus cães é belicoso. 54
Logo: a) Todo animal belicoso tem pelagem arlequim. b) Algum animal belicoso não tem pelagem arlequim. c) Nenhum animal belicoso tem pelagem arlequim. d) Algum dos meus cães pode ter pelagem arlequim e não ser belicoso. e) Nenhum dos meus cães tem pelagem arlequim. 40. Todo objeto que é acessório é sempre barato. Tudo o que é barato é descartável. Logo: a) Se eu tenho um objeto que é acessório então ele é necessariamente barato e é descartável. b) Se eu tenho um objeto que é acessório então ele é barato, mas não é necessariamente descartável. c) Se eu tenho um objeto que é acessório então ele é descartável, mas não é necessariamente barato. d) Existe algum objeto barato que não é um acessório. e) Existe algum objeto descartável que não é barato. 41. Todo anel é brilhante. Tudo o que é brilhante é caro. Meu presente não é caro. Logo: a) Existe alguma coisa que é brilhante, mas que não é cara. b) Meu presente é um anel e não é brilhante. c) Meu presente é brilhante, mas não é um anel. d) Meu presente não é um anel e não é brilhante. e) Existe alguma coisa cara que não é brilhante. 42. Com base em um conjunto de hipóteses uma pessoa deduziu logicamente que um determinado evento ocorreria. Porém, ao contrário do previsto, o tal evento não ocorreu. Assim, esta pessoa deve logicamente concluir que: a) Todas as hipóteses que ela usou para deduzir que o evento ocorreria são falsas. b) Várias das hipóteses que ela usou para deduzir que o evento ocorreria são falsas. c) Pelo menos uma das hipóteses que ela usou para deduzir que o evento ocorreria é falsa. d) Várias das hipóteses que ela usou para deduzir que o evento ocorreria são verdadeiras. e) Pelo menos uma das hipóteses que ela usou para deduzir que o evento ocorreria é verdadeira. 43. “Sei que todos os cisnes são brancos. Sei também que o animal que você me trouxe é um cisne. Logo, posso concluir que o animal que você me trouxe é branco.” Considere que a conclusão dada no texto acima tenha se mostrado errada. Nestas condições pode-se afirmar corretamente que: a) O argumento não é válido, ou seja, não está bem construído e, portanto, duas hipóteses verdadeiras levaram a uma conclusão falsa. 55
b) O argumento é falacioso, ou seja, embora bem construído duas premissas verdadeiras levaram a uma conclusão falsa. c) O argumento não é válido, ou seja, não está bem construído e, portanto, pelo menos uma das duas hipóteses é falsa. d) O argumento é legí mo, ou seja, está bem construído e a verdade de suas premissas levaria necessariamente a uma conclusão também verdadeira. Como a conclusão mostrou-se falsa as duas premissas u lizadas têm que ser necessariamente falsas. e) O argumento é legí mo, ou seja, está bem construído e a verdade de suas premissas levaria necessariamente a uma conclusão também verdadeira. Como a conclusão mostrou-se falsa pelo menos uma das duas premissas u lizadas tem que ser necessariamente falsa. 44. Com base em um conjunto de hipóteses uma pessoa deduziu que um determinado evento ocorreria. Conforme o previsto, o tal evento ocorreu mesmo. Assim sendo: a) Todas as hipóteses que a pessoa usou para deduzir que o evento ocorreria são necessariamente verdadeiras. b) Várias das hipóteses que a pessoa usou para deduzir que o evento ocorreria são verdadeiras, mas não necessariamente todas elas. c) Pelo menos uma das hipóteses que a pessoa usou para deduzir que o evento ocorreria tem que ser verdadeira. d) Pelo menos uma das hipóteses que a pessoa usou para deduzir que o evento ocorreria é falsa. e) Nada se pode garan r sobre a verdade das hipóteses que a pessoa usou para deduzir que o evento ocorreria. 45. Considere o seguinte argumento: “Sei que uma moeda normal não pode dar ‘cara’ em vinte lances consecu vos. Sei também que você jogou uma moeda vinte vezes e que esta moeda é normal. Com base nisto posso concluir que você não obteve uma sequência de vinte ‘caras’ consecu vas.” Admita que a conclusão dada neste argumento tenha se mostrado verdadeira. Nestas condições pode-se garan r que: a) O argumento não é válido, ou seja, não está bem construído e, por isso, um conjunto com hipóteses não todas verdadeiras puderam levar a uma conclusão verdadeira. b) O argumento é falacioso, ou seja, embora bem construído o conjunto das hipóteses, ainda que todas verdadeiras, não seria capaz de garan r que aquela conclusão fosse sempre verdadeira. c) O argumento não é válido, ou seja, não está bem construído e, portanto, pelo menos uma das duas hipóteses é falsa. d) O argumento é legí mo, ou seja, está bem construído e a verdade de suas premissas levaria necessariamente a uma conclusão verdadeira. Mas a recíproca não está garan da, ou seja, uma conclusão verdadeira não implica em que as premissas sejam todas verdadeiras. Este, alias, é o caso aqui, pois sabemos que, embora muito improvável, é possível que uma moeda normal possa dar ‘cara’ vinte vezes consecu vamente. e) O argumento é legí mo, ou seja, está bem construído e a verdade de suas premissas levaria necessariamente a uma conclusão também verdadeira. Como a conclusão mostrou-se verdadeira as duas premissas u lizadas têm que ser necessariamente verdadeiras. 56
46. Considere o seguinte argumento: “ Todas as pessoas nascidas sob o signo de peixes são sensíveis e cria vas e eu notei que você é sensível e cria vo. Assim eu deduzi que você só pode ser do signo de peixes! “ Com relação ao argumento acima é correto que: a) Este é um argumento falacioso, ou seja, está mal construído e, assim sendo, mesmo que as premissas apresentadas sejam verdadeiras isto não garan rá que a conclusão seja verdadeira nem implicará que seja falsa. b) Este é um argumento falacioso, ou seja, está bem construído, mas ainda que suas premissas sejam verdadeiras não se pode garan r que a conclusão será verdadeira. c) Este é um argumento inválido, ou seja, está mal construído, mas ainda que suas premissas sejam verdadeiras sua conclusão será necessariamente falsa. d) Este é um argumento legí mo, ou seja, está bem construído e, portanto, uma vez que suas premissas sejam verdadeiras sua conclusão será necessariamente verdadeira também. e) Este é um argumento válido, ou seja, está bem construído e, portanto, uma vez que alguma de suas premissas seja falsa sua conclusão será necessariamente falsa também. 47. (AFC/STN/2000) Em uma pequena comunidade sabe-se que nenhum filósofo é rico e que alguns professores são filósofos. Assim, pode-se afirmar corretamente que, nesta comunidade, a) Alguns filósofos são professores. b) Alguns professores são filósofos. c) Nenhum filósofo é professor. d) Alguns professores não são filósofos. e) Nenhum professor é filósofo. 48. Entre as proposições abaixo a única verdadeira é: a) 5 é par e 3 é par. b) 5 é ímpar e 3 é par. c) 5 é par e 3 é ímpar. d) 5 é ímpar e 3 é ímpar. e) 5 e 3 são pares. 49. Entre as proposições abaixo a única falsa é: a) 10 é ímpar ou 5 é ímpar. b) 10 é par ou 5 é ímpar. c) 10 é par ou 5 é par. d) 10 5. e) 10 5. 50. Entre as proposições abaixo a única verdadeira é: a) Ou 6 é ímpar ou 5 > 10. b) Ou 6 é par ou 5 é ímpar. c) Ou 6 é inteiro ou 5 < 10. d) Ou 6 > 10 ou 5 é par. e) Ou 6 é ímpar ou 5 é inteiro. 57
51. Seja X a proposição composta “se A então B”, onde A e B são duas proposições quaisquer. Assinale a única incorreta: a) Caso A seja uma proposição verdadeira e B uma proposição falsa, X será falsa. b) Caso A e B sejam proposições falsas, X será uma proposição verdadeira. c) Caso A seja uma proposição falsa e B uma proposição verdadeira, X será falsa. d) Caso A e B sejam proposições verdadeiras, X será uma proposição verdadeira. e) A proposição X é equivalente à proposição “se não B então não A”. 52. A proposição composta “A se e somente se B” , onde A e B são duas proposições quaisquer, é verdadeira: a) Somente quando A e B são ambas falsas. b) Somente quando A é verdadeira e B é falsa. c) Somente quando A é falsa e B é verdadeira. d) Somente quando A e B são ambas verdadeiras. e) Somente quando A e B têm o mesmo valor lógico, ou seja, A e B são ambas verdadeiras ou A e B são ambas falsas. 53. Entre as proposições abaixo assinale a única falsa considerando que A e B representam duas proposições quaisquer: a) A negação de “A e B” pode ser corretamente enunciada como “Não A ou não B”. b) A negação de “A ou B” pode ser corretamente enunciada como “Não A e não B”. c) A negação de “Todo A é B” pode ser corretamente enunciada como “Algum A não é B”. d) A negação de “Se A então B” pode ser corretamente enunciada como “A e não B”. e) A negação de “Nenhum A é B” pode ser corretamente enunciada como “Todo A é B”. 54. (Vunesp) Todo A é B e todo C não é B. Portanto: a) Algum A é C. b) Nenhum A é C. c) Nenhum A é B. d) Algum B é C. e) Nenhum B é A. 55. (Vunesp) Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo: a) Seu esforço é condição suficiente para vencer. b) Seu esforço é condição necessária para vencer. c) Se você não se esforçar, então não irá vencer. d) Você só vencerá caso se esforce. e) Mesmo que se esforce, você não vencerá. 56. (Vunesp) Se os os de músicos sempre são músicos, então: a) Os sobrinhos de não músicos nunca são músicos. b) Os sobrinhos de não músicos sempre são músicos. c) Os sobrinhos de músicos sempre são músicos. d) Os sobrinhos de músicos nunca são músicos. e) Os sobrinhos de músicos quase sempre são músicos. 58
57. (AFC/CGU/2004) Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Logo: a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto. b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia. c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro. d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto. e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro. 58. (AFC/CGU/2006) Se X está con do em Y, então X está con do em Z. Se X está con do em P, então X está con do em T. Se X não está con do em Y, então X está con do em P. Ora, X não está con do em T. Logo: a) Z está con do em T e Y está con do em X. b) X está con do em Y e X não está con do em Z. c) X está con do em Z e X não está con do em Y. d) Y está con do em T e X está con do em Z. e) X não está con do em P e X está con do em Y. 59. (AFC/CGU/2004) Uma professora de matemá ca faz as três seguintes afirmações: “X > Q e Z < Y”; “X > Y e Q > Y, se e somente se Y > Z”; “R ≠ Q, se e somente se Y = X”. Sabendo-se que todas as afirmações da professora são verdadeiras, conclui-se corretamente que: a) X > Y > Q > Z b) X > R > Y > Z c) Z < Y < X < R d) X > Q > Z > R e) Q < X < Z < Y 60. (AFC/CGU/2006) Márcia não é magra ou Renata é ruiva. Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva. Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina. Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra. Assim, a) Márcia não é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina. b) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina. c) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz não é bailarina. d) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz é bailarina. e) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz não é bailarina. 61. (AFC/CGU/2006) Ana é ar sta ou Carlos é compositor. Se Mauro gosta de música, então Flávia não é fotógrafa. Se Flávia não é fotógrafa, então Carlos não é compositor. Ana não é ar sta e Daniela não fuma. Pode-se, então, concluir corretamente que: a) Ana não é ar sta e Carlos não é compositor. b) Carlos é compositor e Flávia é fotógrafa. c) Mauro gosta de música e Daniela não fuma. d) Ana não é ar sta e Mauro gosta de música. e) Mauro não gosta de música e Flávia não é fotógrafa. 59
62. (AFC/CGU/2004) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou Homero é honesto. Logo, a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo. e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. 63. (AFC/CGU/2006) Três meninos estão andando de bicicleta. A bicicleta de um deles é azul, a do outro é preta, a do outro é branca. Eles vestem bermudas destas mesmas três cores, mas somente Artur está com bermuda de mesma cor que sua bicicleta. Nem a bermuda nem a bicicleta de Júlio são brancas. Marcos está com bermuda azul. Desse modo, a) a bicicleta de Júlio é azul e a de Artur é preta. b) a bicicleta de Marcos é branca e sua bermuda é preta. c) a bermuda de Júlio é preta e a bicicleta de Artur é branca. d) a bermuda de Artur é preta e a bicicleta de Marcos é branca. e) a bicicleta de Artur é preta e a bermuda de Marcos é azul. 64. (AFC/CGU/2006) Amigas desde a infância, Beatriz, Dalva e Valna seguiram diferentes profissões e hoje uma delas é arquiteta, outra é psicóloga, e outra é economista. Sabe-se que ou Beatriz é a arquiteta ou Dalva é a arquiteta. Sabe-se, ainda, que ou Dalva é a psicóloga ou Valna é a economista. Sabe-se, também, que ou Beatriz é a economista ou Valna é a economista. Finalmente, sabe-se que ou Beatriz é a psicóloga ou Valna é a psicóloga. As profissões de Beatriz, Dalva e Valna são, pois, respec vamente, a) psicóloga, economista, arquiteta. b) arquiteta, economista, psicóloga. c) arquiteta, psicóloga, economista. d) psicóloga, arquiteta, economista. e) economista, arquiteta, psicóloga. 65. (AFC/CGU/2006) Pedro encontra-se à frente de três caixas, numeradas de 1 a 3. Cada uma das três caixas contém um e somente um objeto. Uma delas contém um livro; outra, uma caneta; outra, um diamante. Em cada uma das caixas existe uma inscrição, a saber: Caixa 1: “O livro está na caixa 3.” Caixa 2: “A caneta está na caixa 1.” Caixa 3: “O livro está aqui.” Pedro sabe que a inscrição da caixa que contém o livro pode ser verdadeira ou falsa. Sabe, ainda, que a inscrição da caixa que contém a caneta é falsa, e que a inscrição da caixa que contém o diamante é verdadeira. Com tais informações, Pedro conclui corretamente que nas caixas 1, 2 e 3 estão, respec vamente, a) a caneta, o diamante, o livro. b) o livro, o diamante, a caneta. c) o diamante, a caneta, o livro. d) o diamante, o livro, a caneta. e) o livro, a caneta, o diamante. 60
66. (AFC/CGU/2006) Um professor de lógica encontra-se em viajem em um país distante, habitado pelos verdamanos e pelos men manos. O que os dis ngue é que os verdamanos sempre dizem a verdade, enquanto os men manos sempre mentem. Certo dia, o professor depara-se com um grupo de cinco habitantes locais. Chamemo-los de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon. O professor sabe que um e apenas um no grupo é verdamano, mas não sabe qual deles o é. Pergunta, então, a cada um do grupo quem entre eles é verdamano e obtém as seguintes respostas: Alfa: “Beta é men mano” Beta: “Gama é men mano” Gama: “Delta é verdamano” Delta: “Épsilon é verdamano” Épsilon, afônico, fala tão baixo que o professor não consegue ouvir sua resposta. Mesmo assim, o professor de lógica conclui corretamente que o verdamano é: a) Delta. b) Alfa. c) Gama. d) Beta. e) Épsilon. 67. (AFC/CGU/2004) Três homens são levados à presença de um jovem lógico. Sabe-se que um deles é um honesto marceneiro, que sempre diz a verdade. Sabe-se, também, que um outro é um pedreiro, igualmente honesto e trabalhador, mas que tem o estranho costume de sempre men r, de jamais dizer a verdade. Sabe-se, ainda, que o restante é um vulgar ladrão que ora mente, ora diz a verdade. O problema é que não se sabe quem, entre eles, é quem. À frente do jovem lógico, esses três homens fazem, ordenadamente, as seguintes declarações: O primeiro diz: “Eu sou o ladrão.” O segundo diz: “É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão.” O terceiro diz: “Eu sou o ladrão.” Com base nestas informações, o jovem lógico pode, então, concluir corretamente que: a) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o terceiro. b) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo. c) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o segundo. d) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o terceiro. e) O marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo. 68. (AFC/CGU/2006) Perguntado sobre as notas de cinco alunas (Alice, Beatriz, Cláudia, Denise e Elenise), um professor de Matemá ca respondeu com as seguintes afirmações: 1. “A nota de Alice é maior do que a de Beatriz e menor do que a de Cláudia”; 2. “A nota de Alice é maior do que a de Denise e a nota de Denise é maior do que a de Beatriz, se e somente se a nota de Beatriz é menor do que a de Cláudia”; 3. “Elenise e Denise não têm a mesma nota, se e somente se a nota de Beatriz é igual à de Alice”. 61
Sabendo-se que todas as afirmações do professor são verdadeiras, conclui-se corretamente que a nota de: a) Alice é maior do que a de Elenise, menor do que a de Cláudia e igual à de Beatriz. b) Elenise é maior do que a de Beatriz, menor do que a de Cláudia e igual à de Denise. c) Beatriz é maior do que a de Cláudia, menor do que a de Denise e menor do que a de Alice. d) Beatriz é menor do que a de Denise, menor do que a de Elenise e igual à de Cláudia. e) Denise é maior do que a de Cláudia, maior do que a de Alice e igual à de Elenise. 69. (AFC/CGU/2006) Cinco irmãs nasceram, cada uma, em um Estado diferente do Brasil. Lúcia é morena como a cearense, é mais moça do que a gaúcha e mais velha do que Maria. A cearense, a paulista e Helena gostam de teatro tanto quanto Norma. A paulista, a mineira e Lúcia são, todas, psicólogas. A mineira costuma ir ao cinema com Helena e Paula. A paulista é mais moça do que a goiana, mas é mais velha do que a mineira; esta, por sua vez, é mais velha do que Paula. Logo: a) Norma é gaúcha, a goiana é mais velha do que a mineira, e Helena é mais moça do que a paulista. b) Paula é gaúcha, Lúcia é mais velha do que Helena, e a mineira é mais velha do que Maria. c) Norma é mineira, a goiana é mais velha do que a gaúcha, e Maria é mais moça do que a cearense. d) Lúcia é goiana, a gaúcha é mais moça do que a cearense, e Norma é mais velha do que a mineira. e) Paula é cearense, Lúcia é mais velha do que a paulista, e Norma é mais moça do que a gaúcha.
GABARITO 1. e 2. d 3. e 4. c 5. a 6. c 7. a 8. c 9. e 10. a 11. d 12. b 13. b 14. b 15. d 16. c
62
17. e 18. e 19. a 20. d 21. d 22. e 23. a 24. c 25. d 26. d 27. d 28. a 29. c 30. e 31. e 32. e
33. a 34. a 35. c 36. a 37. d 38. b 39. e 40. a 41. d 42. c 43. e 44. e 45. d 46. a 47. d 48. d
49. e 50. e 51. c 52. e 53. e 54. b 55. a 56. a 57. e 58. e 59. b 60. a 61. b 62. c 63. c 64. d
65. c 66. d 67. b 68. b 69. e
SEQUÊNCIAS Denominaremos genericamente como sequência a toda fila ordenada de termos (números, letras, figuras, palavras, etc) que obedeçam a um padrão de formação. Exemplos: 1. Na sequência (13, 18, 23, 28, 33, 38) cada termo, a par r do segundo, é igual ao anterior adicionado de 5 unidades. 2. Na sequência (A, D, G, J) as letras foram tomadas de três em três, em ordem alfabé ca, a par r do “A”, ou seja: A, b, c, D, e, f, G, h, i, J. 3. Na sequência (triângulo – 0, quadrado – 2, pentágono – 5, hexágono – 9) tem-se os nomes de figuras planas a par r de três lados, acompanhados do número de diagonais em cada um deles, isto é: triângulo – nenhuma diagonal; quadrado – duas diagonais; pentágono – cinco diagonais e hexágono – nove diagonais.
Determinação de um Termo por Indução São comuns as questões de concurso onde se deve encontrar o valor de um termo de uma dada sequência sem que seja declarado o padrão de formação de seus termos. Em tais questões é necessário descobrir o padrão de formação e isto exige um po de raciocínio, conhecido como raciocínio induƟvo ou indução, no qual nossas conclusões jus ficam-se apenas por sua coerência em relação aos casos anteriores. Algo como: ‘se todos os casos anteriores obedeceram a este padrão, então o próximo deverá obedecê-lo também’. É importante salientar que não há nenhum po de garan a lógica ou matemáƟca de que as conclusões ob das por indução estejam certas. Existem, aliás, na matemáca alguns exemplos célebres de conclusões incorretas ob das a par r de raciocínios indu vos. Entretanto, o que se pretende verificar com as questões que envolvem a percepção de padrões é a capacidade do candidato de formular e testar hipóteses. Exemplos: 1. Determinar na sequência abaixo o valor do termo indicado por x: (2, 8, 32, 128, x) Solução: Cada termo, a par r do segundo, é igual ao quádruplo do anterior. Deste modo, seguindo o mesmo padrão o valor do termo x será 1284 = 512 2. Determinar na sequência abaixo o valor do termo indicado por x: (2, 3, 5, 8, 12, x) 63
Solução: Cada termo, a par r do segundo, foi ob do do termo anterior somando-se 1, 2, 3, e 4, respec vamente. Assim, seguindo o mesmo padrão o valor do termo x será 12 5 = 17 3. Determinar na sequência abaixo o valor do termo indicado por x: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, x) Solução: Cada termo, a par r do terceiro, foi ob do somando-se os dois anteriores. Veja: 11=2, 12=3, 23=5, 35=8, 58=13. Então, seguindo o mesmo padrão teremos: x = 813 = 21 4. Determinar na sequência abaixo a letra que deve ocupar o lugar do x: (B, F, J, O, x) Obs.: As letras K, W e Y não devem ser consideradas. Solução: As letras foram tomadas de quatro em quatro, a par r de “B”. Con nuando a sequência temos: B, c, d, e, F, g, h, i, J, l, m, n, O, p, q, r, S. Deste modo, a letra que deve ocupar o lugar de x deve ser o “S”.
Determinação de um Termo dada uma Fórmula Geral Nas sequências numéricas, é bastante comum encontrarmos uma fórmula ou expressão matemáƟca que permita determinarmos o valor de um dado termo conhecendo-se somente a posição ocupada por ele. Exemplos: 1. Considere a sequência numérica (a1, a2, a3, .....) onde cada termo an é dado pela expressão: an = 3n + 4 Onde n indica a posição ocupada pelo termo na sequência. Nestas condições, qual será o valor do vigésimo termo da sequência? 64
Solução: Usando a fórmula geral dada, o valor do vigésimo termo será: a20 = 320 4 a20 = 60 4 = 64 2. Considere a sequência numérica (a1, a2, a3, .....) onde cada termo an é dado pela expressão: an = 2n2 – 3 Onde n indica a posição ocupada pelo termo na sequência. Nestas condições, qual será o valor encontrado na décima posição desta sequência? Solução: Usando a fórmula geral dada, o valor do décimo termo será: a10 = 2102 – 3 a10 = 2100 – 3 a10 = 200 – 3 = 197
Determinação de um Termo dada uma Fórmula de Recorrência Frequentemente pode-se estabelecer uma fórmula de recorrência capaz de produzir o valor de um certo termo conhecendo-se os valores de alguns dos termos anteriores da sequência. Exemplo: 1. Considere a sequência numérica (a1, a2, a3, .....) onde cada termo an , a parƟr do segundo, é dado pela expressão an = 2an – 1 3 , onde n e n–1 indicam as posições ocupadas por termos consecuƟvos na sequência. Sabendo que a1 = 0, qual será o valor encontrado na sexta posição desta sequência? Solução: Analisando a fórmula dada, vemos que o valor de cada termo é calculado dobrando o valor do termo anterior e adicionado 3 unidades ao resultado. Deste modo os valores dos seis primeiros termos da sequência são: a1 = 0 a2 = 20 3 = 3 a3 = 23 3 = 9 a4 = 29 3 = 21 a5 = 221 3 = 45 a6 = 245 3 = 93 65
No nosso exemplo, para obtermos o valor do sexto termo vemos que usar a fórmula de recorrência cinco vezes. Daí já é possível notar que a determinação de algo como o trigésimo ou o quinquagésimo termo de uma sequência, usando somente uma fórmula de recorrência, não seria nada ‘confortável’ caso não dispuséssemos do valor de um termo próximo ao termo desejado. Em tais casos, seria melhor encontrar uma outra saída para o problema. 2. Considere a sequência numérica (a1, a2, a3, .....) onde cada termo an , a parƟr do terceiro, é dado pela seguinte fórmula de recorrência an = an – 1 an – 2 . Sabendo que os valores dos dois primeiros termos da sequência são definidos como a1 = 3 e a2 = 4, determinar o valor do oitavo termo. Solução: De acordo com a fórmula apresentada, o valor de cada termo é conseguido adicionando-se os valores dos dois termos imediatamente anteriores a ele na sequência. Assim, teremos: a1 = 3 a2 = 4 a3 = 3 4 = 7 a4 = 4 7 = 11 a5 = 7 11 = 18 a6 = 11 18 = 29 a7 = 18 29 = 47 a8 = 29 47 = 76 O valor do oitavo termo da sequência é 76.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nas questões de 1 a 13 cada uma das sequências apresentadas segue um determinado padrão de formação. Procure descobrir qual é o padrão de cada sequência e encontre o valor que deve ocupar o lugar de cada incógnita, x ou y. (Note que em algumas das sequências é possível encontrarmos mais de um padrão que se ajuste a todos os termos.) 1.
2.
66
(30, 37, 44, 51, x) a) 55 b) 56 (9876, 7654, 5432, x) a) 1234 b) 2345 c) 3.210 d) 3456 e) 4321
c) 57
d) 58
e) 59
3.
(17, 20, 21, 24, 25, 28, x) a) 31 b) 29 c) 30
4.
(2, 3, 4, 5, 8, 7, x, y) a) x = 16 e y = 9 b) x = 9 e y = 16 c) x = 6 e y = 5 d) x = 5 e y = 6 e) x = 16 e y = 9
5.
(50, 360, 140, 180, 230, 90, x, y) a) x = 45 e y = 320 b) x = 360 e y = 50 c) x = 50 e y = 30 d) x = 180 e y = 50 e) x = 320 e y = 45
6.
(243, 424, 245, 426, 247, x) a) 248 b) 249 c) 428
7.
124 a) 5
,
36 9
,
30 6
b) 6
,
48 8
c) 7
,
d) 27
e) 28
d) 429
e) 250
63 x
d) 8
e) 9
c) 3
d) 2
e) 1
10. (3, 6, 10, 15, 21, x) a) 28 b) 27
c) 26
d) 25
e) 24
11. (2, 6, 12, 20, 30, x) a) 32 b) 38
c) 42
d) 48
e) 52
12. (3, 10, 13, 23, 36, x) a) 56 b) 57
c) 58
d) 59
e) 60
13. (77, 49, 36, 18, x) a) 7 b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
8.
(1.568, 1586, 1658, x, y) a) x = 1.856 e y = 1.685 b) x = 1.685 e y = 1.856 c) x = 1.658 e y = 1.865 d) x = 1.865 e y = 1.658 e) x = 1.568 e y = 1.568
9.
(37, 26, 17, 10, 5, x) a) 5 b) 4
67
Nas questões de 14 a 17 encontre a letra que deve ocupar o lugar de x em cada uma das sequências alfabé cas apresentadas (considere o alfabeto sem as letras K, W e Y): 14. (E, J, O, R, x) a) T b) A
c) L
d) B
e) D
15. (R, O, L, H, x) a) A b) B
c) C
d) D
e) E
16. (B, D, G, L, x) a) P b) Q
c) R
d) S
e) T
17. (S, Q, N, I, x) a) A b) B
c) C
d) D
e) E
Nas questões de 18 a 21 complete a úl ma sequência seguindo o mesmo padrão da anterior (considere o alfabeto sem as letras K, W e Y): 18. (B, E, G, J) (C, F, H, ?) a) M b) J c) L
d) P
e) Q
19. (E, G, A, C) (L, N, G, ?) a) E b) F c) G
d) H
e) I
20. (E, B, F, A) (M, I, N, ?) a) E b) F c) G
d) H
e) I
21. (J, L, N, H) (D, E, G, ?) a) Z b) A c) B
d) C
e) D
22. Considere a sequência numérica tal que o valor do termo na n-ésima posição é determinado pela expressão an = n2 – 2n. Qual é o valor do vigésimo termo desta sequência? a) 420 b) 360 c) 280 d) 220 e) 180 23. Dada a sequência numérica cujo termo geral é expresso por an = 2n – 1, qual o valor da soma dos seis primeiros termos desta sequência? a) 36 b) 38 c) 46 d) 48 e) 56 24. Sabe-se que os valores da sequência cujo termo geral e dado por dn = n(n–3)2 correspondem, a par r do terceiro termo, ao número de diagonais de um polígono com n lados. Assim, por exemplo, um quadrado (n = 4) tem d4 = 4(4–3)2 = 2 diagonais enquanto um hexágono (n =6) tem d6 = 6(6–3)2 = 9 diagonais. 68
A questão é: Qual o polígono no qual o número de diagonais é igual ao número de lados? a) Octógono. b) Hexágono. c) Pentágono. d) Heptágono. e) Eneágono. 25. Numa sequência cujo valor do primeiro termo é 4, cada termo, a par r do segundo, pode ser descrito como an = an–1 + 5. Qual é o valor do quinto termo desta sequência? a) 34 b) 54 c) 44 d) 64 e) 24 26. Numa sequência o valor do primeiro termo é 1 e cada termo, a par r do segundo, pode ser descrito como an = 2an–1 + 5. Determine o valor do 11o termo desta sequência. a) 6.193 b) 3.619 c) 6.139 d) 3.916 e) 9.631 27. (FCC/TRF 1ª Reg./2006) Assinale a alterna va que completa a série seguinte: C3, 6G, L10,... a) C4
b) 13M
c) 9I
d) 15R
e) 6Y
28. (FCC/ TRF 1ª Reg./2006) Assinale a alterna va que completa a série seguinte: 9, 16, 25, 36,... a) 45
b) 49
c) 61
d) 63
e) 72
29. (FCC/ TRF 1ª Reg./2006) Qual dos cinco desenhos representa a comparação adequada?
a)
69
b)
c)
d) e) 30. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) No esquema abaixo, observe que há uma certa relação entre as duas primeiras palavras. GATO – GALO : : LEÃO – ? A mesma relação deve exis r entre a terceira palavra e a quarta, que está faltando. Essa quarta palavra é a) cachorro. b) cobra. c) cavalo. d) golfinho. e) sabiá. 31. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) Chama-se persistência de um número inteiro e posi vo o número de etapas necessárias para, através de operações sucessivas, obter-se um número de um único algarismo. Como é mostrado no exemplo seguinte, a persistência do número 1 642 é 3:
Com base na definição e no exemplo dados, é correto afirmar que a persistência do número 27 991 é a) menor que 4. b) 4 c) 5 d) 6 e) maior que 6. 32. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) Na sentença seguinte há duas palavras grifadas, cada qual seguida de uma lacuna. Essas lacunas devem ser preenchidas por palavras, 70
de modo que a primeira palavra tenha, para a segunda, a mesma relação que a terceira tem para com a quarta. Primeiro está para ............ assim como janeiro está para .................. . Assim, as palavras que preenchem a primeira e a segunda lacunas são, respec vamente, a) fileira e mês. b) ganho e verão. c) vitória e reis. d) úl mo e dezembro. e) número e mês. 33. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) Em quatro das alterna vas que seguem, os pares de números apresentam uma caracterís ca comum. A alterna va cujo par não tem tal caracterís ca é a) (6;36) b) (9;54) c) (11;63) d) (12;72) e) (15;90) 34. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) Considere que os termos da sequência (5, 12, 10, 17, 15, 22, 20,...) obedecem a uma lei de formação. Assim, o termo que vem após o número 20 é a) menor que 25. b) maior que 30. c) a metade de 52. d) o triplo de 9. e) par. 35. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) Dos cinco grupos de 4 letras que aparecem nas alterna vas abaixo, quatro têm uma caracterís ca comum. Se a ordem alfabé ca adotada exclui as letras K, W e Y, então o único grupo que NÃO tem a caracterís ca dos outros é a) GHJI b) CDGF c) STXV d) QRUT e) NORP 36. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) O triângulo seguinte é composto de uma sucessão de números ímpares posi vos. Observe que, em cada linha, a soma dos elementos sugere uma regra geral. 71
Nessas condições, a soma dos elementos da 30ª linha desse triângulo é um número compreendido entre a) 2 500 e 3 000 b) 3 000 e 3 500 c) 20 000 e 25 000 d) 25 000 e 30 000 e) 30 000 e 35 000 37. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) No início de certo mês, Frida e Sada elaboraram um relatório no qual constava o número de pessoas que cada uma delas havia atendido no mês anterior. Observou-se, então, que Frida atendera a 361 pessoas, 15 a mais que o dobro do que Sada havia atendido. Para calcular quantas pessoas Sada atendeu, Frida efetuou 361 + 15 e, em seguida dividiu por 2 o resultado ob do, concluindo que 188 pessoas foram atendidas por Sada. Rela vamente aos cálculos efetuados por Frida, é verdade que a) estão corretos. b) não estão corretos, pois ela deveria ter efetuado 188 2 e ob do 376. c) não estão corretos, pois ela deveria ter efetuado 15 2 e a resposta correta seria 361 – 30 331. d) não estão corretos, pois ela deveria ter efetuado 361 – 15 e a resposta correta seria 346 : 2 173. e) não estão corretos, pois ela deveria ter efetuado 188 2 e a resposta correta seria 376 – 15 361. Instruções: Para responder às questões de números 38 e 39, você deve observar que, em cada um dos dois primeiros pares de palavras dadas, a palavra da direita foi formada a par r da palavra da esquerda segundo um determinado critério. Você deve descobrir esse critério e usá-lo para associar a terceira palavra àquela que deve ser corretamente colocada no lugar do ponto de interrogação. 38. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) capitular – lar loucura – cura batalho – ? a) alho b) bolha
72
c) atola d) atalho e) talho 39. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) telefonar – arte robustecer – erro cadastro – ? a) troca b) roca c) cada d) caro e) orca 40. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) Você faz parte de um grupo de pessoas que estão sentadas em torno de uma grande mesa circular. Um pacote com 25 balas deve ser passado sucessivamente para as pessoas ao redor da mesa, de modo que cada uma se sirva de uma única bala e passe o pacote com as balas restantes para a pessoa sentada à sua direita. Se você pegar a primeira e a úl ma balas do pacote, considerando que pode ter se servido de outras, o total de pessoas sentadas nessa mesa poderia ser a) 7 b) 9 c) 12 d) 13 e) 15 41. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) Em um dado instante, um elevador estava parado no andar médio de um prédio. A par r de então, ele recebeu algumas chamadas que o fizeram deslocar-se sucessivamente: subiu quatro andares, desceu seis, subiu oito e, quando subiu mais quatro andares, chegou ao úl mo andar do edi cio. O total de andares desse prédio era a) 21 b) 19 c) 15 d) 13 e) 11 42 Colocando as letras em ordem, qual a palavra que não pertence ao mesmo grupo das demais? a) HOILF b) OIT c) IPA d) ROMAÇ e) OTEN 43. Qual a letra que deve ser colocada no lugar do asterisco para completar corretamente a sequência: 108( C ) 648( S ) 325( T ) 214( * ) a) A
b) B
c) C
d) D
e) E 73
44. Observe o exemplo: SOPA ( PALA ) GERAL No exemplo dado, a palavra do meio, entre parênteses, segue uma lei de formação que depende das outras duas palavras. Seguindo a mesma lei, qual a palavra que se deve colocar entre os parênteses no caso abaixo? FOCA ( ..... ) ATLAS a) b) c) d) e)
FALA CALA FALTA FACA CASA
45. Observe o exemplo: 326 ( 20 ) 423 No exemplo dado, o número do meio, entre parênteses, segue uma lei de formação que depende dos outros dois números. Seguindo a mesma lei, qual o número que se deve colocar entre os parênteses no caso abaixo? 427 ( ..... ) 113 a) 20
b) 21
c) 41
d) 45
e) 73
46. Qual a palavra que não pertence ao mesmo grupo das demais? a) Carro b) Canapé c) Camisa d) Colo e) Carícia 47. Colocando as letras em ordem, qual a palavra que não pertence ao mesmo grupo das demais? a) CUÉ b) UNORA c) SÉVUN d) TRAME e) ARTRE 74
48. Que número completa a sequência: livro (5) olho (4) castor (6) noite (?) a) b) c) d) e)
3 4 5 6 7
49. Observe a sequência abaixo e descubra quais os números que faltam. 1 8 9 64 25 ? 49 1 4 27 16 125 ? 343 a) 16 64 b) 36 216 c) 32 128 d) 216 36 e) 128 32 50. Colocando as letras em ordem, qual a palavra que não pertence ao mesmo grupo das demais? a) ORTEP b) LARAMEO c) ZALU d) FORRE e) TIVOLEA 51. Observe o exemplo: 28 ( 82 ) 13 No exemplo dado, o número do meio, entre parênteses, segue uma lei de formação que depende dos outros dois números. Seguindo a mesma lei, qual o número que se deve colocar entre os parênteses no caso abaixo? 16 ( ..... ) 17 a) b) c) d) e)
17 61 67 71 76 75
SENHA ALFABÉTICA Nas questões 52 a 58 deve-se descobrir uma palavra-chave. Para deduzir qual é a palavra-chave são mostradas, como pistas, cinco outras palavras-teste, cada uma delas seguida de dois números: • o primeiro número, em negrito, indica a quan dade coincidências exatas entre as letras da palavra testada e da palavra-chave (letras certas nos lugares certos); • o segundo número indica a quan dade de coincidências parciais (letras certas mas em lugares errados). Assim, para a palavra-chave CERTO teríamos: PERTO: 4-0 (4 coincidências exatas: E, R, T, O e nenhuma coincidência parcial) NERVO: 3-0 (3 coincidências exatas: E, R , O e nenhuma coincidência parcial) TERNO: 3-1 (3 coincidências exatas: E, R, O e 1 coincidência parcial: T) uma palavra-chave é sempre formada por letras dis ntas. 52. Assinale a alterna va que corresponde à palavra-chave. M S R R M
Ê I Ó O O
S M I L A
0–0 0–1 1–0 0–1 0–1
a) ALI b) LIA c) ELA d) RIA e) DIA 53. Assinale a alterna va que corresponde à palavra-chave. R T P S a) AMOR b) ROMA c) MORA d) ROAM e) ARMO 76
I R U O
J E M L
O M A A
0–2 0–2 0–2 0–2
54. Assinale a alterna va que corresponde à palavra. P C S P P
U O U R O
N N R E L
H T D S A
O: A: O: O: R:
0–0 3–0 0–1 0–2 0–1
a) BESTA b) CORTA c) CESTA d) CARTA e) NESTA 55. Assinale a alterna va que corresponde à palavra-chave. M M N F C
A Ó A R A
D V V A S
R E I C A
E: L: O: O: L:
0–0 3–0 2–1 0–2 2–0
d) BANAL e) SENIL
a) CANAL b) COVIL c) CANIL
56. Assinale a alterna va que corresponde à palavra-chave. F F L S P
I O I U L
L R M M U
M M A I M
E: A: R: A: A:
0–0 2–0 0–1 1–2 3–0
a) POUSA b) LOUSA c) PAUSA d) LOURA e) CAUSA 77
57. Assinale a alterna va que corresponde à palavra-chave. V R R G R
I O O O E
S G S S V
T U N T O
O: E: E: A: A:
0–0 3–1 1–1 1–1 3–0
d) RANGE e) RÉGUA
a) RENOVA b) VERONA c) RAVINA
58. Assinale a alterna va que corresponde à palavra-chave. B T P A B a) PRIMO b) ROMPE c) CURTO
E U O M R
S M B B U
T B R A T
A: A: E: R: O:
0–0 0–2 1–2 0–2 3–0
d) PRUMO e) SURTO
GABARITO 1. d 2. c 3. b 4. a 5. e 6. c 7. e 8. b 9. d 10. a 11. c 12. d 13. b 14. a 15. e 16. b
78
17. d 18. c 19. e 20. d 21. c 22. b 23. a 24. c 25. e 26. c 27. d 28. b 29. e 30. e 31. a 32. d
33. c 34. d 35. a 36. d 37. d 38. d 39. b 40. c 41. a 42. d 43. d 44. e 45. d 46. d 47. a 48. c
49. d 50. d 51. b 52. a 53. a 54. c 55. b 56. a 57. e 58. d
ANOTAÇÕES: ______________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________
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