ASSÍNTOTAS Assíntota Vertical - Cálculo Online

 

ASSÍNTOTAS Assíntota Vertical Existem algumas funções racionais cujos gráficos se aproximam bastante de uma reta vertical, que é denominada assíntota vertical. x3 cujo gráfico está descrito na figura abaixo. Por exemplo, considere a função racional f  x   x2 Observe que existe uma “reta vertical imaginária” (definida por x = 2) tal que, quando a função se aproxima dessa reta, ela assume valores muito grandes positivos ou negativos. Indicamos tal fato escrevendo, f  x    quando x  2 e

f  x    quando x  2

Assim, quando uma função racional y  f  x  

g  x h x

apresenta

esse tipo de comportamento, dizemos que a função tem uma assíntota vertical em x = 2. Importante observar que x = 2 é uma raiz da função que está no denominador, ou seja, x = 2 é uma raiz de h  x   x  2 (a função não está definida para esse valor de x)

Considere agora, a função racional f  x  

x2  4 cujo gráfico está descrito na figura abaixo. x2

Observar que, apesar de x = 2 ser uma raiz da função que está no denominador, ou seja, de h  x   x  2 , não existe uma assíntota vertical nesse caso. Isso porque pudemos simplificar o fator comum x–2 presente no numerador e no denominador da função f (x). Assim, para que uma função racional y  f  x  

g  x

tenha h x uma assíntota vertical em x = a, não basta que x = a seja uma raiz da função h  x  . É preciso também que a função apresente

x3 , ou x2 ou quando x  a 

comportamento semelhante ao da função f  x   seja, f  x   

quando x  a 

RESUMINDO: Normalmente, para determinar assíntotas verticais para uma função y  f  x  

g  x h x

,

encontre os valores x = a nos quais h  x   0 e analise o comportamento de f quando x se aproxima de a.

Assim, uma assíntota vertical mostra o comportamento de uma função y  f  x  nas vizinhanças de um ponto x = a.

Profa. Lena Bizelli

  1. Assíntotas verticais podem também aparecer pelo comportamento unilateral.

2. O gráfico de uma função NUNCA cruza uma assíntota vertical. Por quê?

Assíntota Horizontal A existência de assíntotas horizontais depende do comportamento de uma função y  f  x  para valores positivos grandes de x e valores negativos grandes de x (ou seja, x  ). Por exemplo, considere a função racional f  x  

x3 cujo gráfico está descrito na figura abaixo. x2

Observe que existe uma “reta horizontal” (definida por y = 1) para a qual a função se aproxima, quando x assume valores muito grandes positivos ou muito grandes negativos. Indicamos tal fato escrevendo, lim f  x   1

x 

Assim, quando uma função racional y  f  x  

g  x h x

apresenta

esse tipo de comportamento, dizemos que a função tem uma assíntota horizontal y = 1.

Isso quer dizer que: quando o limite no infinito de uma função y  f  x  for igual a um número real L, então a reta horizontal y = L é denominada de assíntota horizontal. Portanto, uma assíntota horizontal mostra o comportamento de uma função y  f  x  para valores muito grandes de x positivos ou valores muito grandes de x negativos. RESUMINDO: Para determinar assíntotas horizontais para uma função y  f  x  , basta calcular o limite lim f  x  ou o limite lim f  x  e verificar se o resultado é um número real L. Se for, a reta y = L será

x 

x 

chamada de assíntota horizontal. Profa. Lena Bizelli

 

Diferente de uma assíntota vertical, o gráfico de uma função y  f  x  pode cruzar uma assíntota horizontal várias vezes. Por quê?

cos x (descrita na figura abaixo) possui uma assíntota horizontal x y  0 e o gráfico de f cruza essa assíntota uma infinidade de vezes.

Por exemplo, a função y 

Agora tente resolver os exercícios dados a seguir, para verificar se você compreendeu as idéias apresentadas até aqui.

Exercícios 1) Considere o gráfico de uma função f dado na figura abaixo, e calcule o que se pede.

(a) lim f  x  

(b) lim f  x  

(d) lim f  x  

(e) lim f  x  

x1

x

x1

(c) lim f  x   x1

x

(f) Dê as equações das assíntotas verticais, se existirem. (g) Dê as equações das assíntotas horizontais, se existirem. Profa. Lena Bizelli

 

2) Encontre as assíntotas verticais e horizontais, se existirem. (a) f  x  

x 3x  1

(e) f  x  

3x

(b) f  x  

x2 x2

(c) f  x  

2x x 9 2

 2x 1  (d) f  x      4  3x 

2

 2 x  5 2

Respostas 1) (a) +∞ (b) -∞ (c) +∞ (d) 1 (e) 0 2) (a) vertical: x 

1 1 ; horizontal: y  3 3

(b) vertical: x  2 ; horizontal: nenhuma (c) vertical: x  3 ; horizontal: y  0 (d) vertical: x 

4 4 ; horizontal: y  3 9

(e) vertical: x 

5 ; horizontal: y  0 2

Profa. Lena Bizelli