BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi Kontinu 1.1
Fungsi distribusi
Definisi: Misalkan X peubah acak. Fungsi distribusi (kumulatif) dari X adalah FX (x) = P (X ≤ x) Contoh: 1. Misalkan X ∼ Bin(3, 0.5), maka fungsi distribusi F (x) adalah fungsi tangga berikut 0, 1/8, F (x) = 1/2, 7/8, 1,
x ∈ (−∞, 0); x ∈ [0, 1); x ∈ [1, 2); x ∈ [2, 3); x ∈ [3, ∞).
2. Misalkan X peubah acak dengan ‘support’ S = [a, b], b > 0. Misalkan peluang X akan berada di selang S proporsional terhadap panjang selang. Dengan kata lain, P (x1 ≤ X ≤ x2 ) = λ (x2 − x1 ),
1
untuk a ≤ x1 ≤ x2 ≤ b. Untuk menentukan λ, misalkan x1 = a dan x2 = b. Maka, P (a ≤ X ≤ b) = 1 = λ (b − a) ⇒ λ = 1/(b − a) Fungsi distribusinya: 0, F (x) = P (X ≤ x) = P (a ≤ X ≤ x) =
x−a , b−a
1,
x < a; x ∈ [a, b]; x > b.
Peubah acak X dikatakan berdistribusi Uniform, X ∼ U (a, b). Sifat-sifat fungsi distribusi: • F (−∞) = 0 dan F (∞) = 1 • F merupakan fungsi tidak turun; F (a) ≤ F (b) untuk a ≤ b • F adalah fungsi kontinu kanan; lim²→0+ F (x + ²) = F (x) Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi F (x). • Jika b ≥ a, maka P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a) • Untuk setiap x, P (X = x) = lim²→0+ P (x − ² < X ≤) = F (x) − F (x−) (Perhatikan notasi F (x−) dan kasus apabila fungsi distribusi kontinu kiri) Definisi: Distribusi dari peubah acak X dikatakan KONTINU jika fungsi distribusi disetiap x kontinu dan fungsi distribusi tersebut dapat diturunkan. Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi FX (x). • Misalkan g(X) fungsi naik satu-satu kontinu. Untuk y yang berada di daerah hasil dari g, fungsi invers x = g −1 (y) ada. Misalkan Y = g(X). Fungsi distribusi dari Y adalah P (Y ≤ y) = P (g(X) ≤ y) = P (X ≤ g −1 (y)) = FX (g −1 (y)) • Misalkan g(X) fungsi turun satu-satu kontinu. Untuk y yang berada di daerah hasil dari g, fungsi invers x = g −1 (y) ada. Misalkan Y = g(X). Fungsi distribusi dari Y adalah P (Y ≤ y) = P (g(X) ≤ y) = P (X > g −1 (y)) = 1 − FX (g −1 (y)) MA3081 Stat.Mat.
2
K. Syuhada, PhD.
• Misalkan X ∼ U (0, 1) dan Y = g(X) = hX + k, h < 0. Maka X = g −1 (Y ) = FX (x) = FY (y) = Y ∼ Latihan: 1. Misalkan X peubah acak kontinu yang memiliki fungsi distribusi FX (x) yang naik murni. Misalkan Y = FX (X). Tentukan distribusi dari Y 2. Misalkan U peubah acak berdistribusi U (0, 1). Misalkan FX (x) fungsi distribusi yang naik murni dari X. Tentukan fungsi distribusi dari peubah acak FX−1 (U ) 3. Misalkan U1 , U2 , . . . , Un sampel acak dari U (0, 1). Bangkitkan sampel acak dari FX (x) (ambil contoh misalnya untuk FX (x) = 1 − e−λ x , x > 0) Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi FX (x). Misalkan Y = g(X) fungsi kontinu tidak monoton. Kita ketahui bahwa pada fungsi yang monoton, FY (y) = P (Y ≤ y) = P (g(X) ≤ y) dimana dalam hal ini setiap solusi inverse x = g −1 (y) digunakan untuk menentukan FY (y) dengan menggunakan FX (g −1 (y)). Untuk X ∼ U (−1, 2) dan g(X) = Y = X 2 , kita dapatkan fungsi distribusi dari Y : FY (y) =
MA3081 Stat.Mat.
3
K. Syuhada, PhD.
1.2
Unsur Peluang
Misalkan X peubah acak kontinu, 4x bilangan positif kecil. Definisikan h(a, b) =def P (a ≤ X ≤ a + b) = FX (a + b) − FX (a) Untuk h(x, 4x) = P (x ≤ X ≤ x + 4x), maka deret Taylor-nya disekitar 4x = 0 adalah h(x, 4x) = F (x + 4x) − F (x) ¯ d = h(x, 0) + h(x, 4x) ¯4x=0 4x + o(4x) d4x = = dimana lim
4x→0
o(4x) =0 4x
Fungsi ·
¸ d dF (x) = F (x) 4x dx disebut DIFERENSIAL. Dalam statistika, diferensial dari fungsi distribusi adalah UNSUR PELUANG (yang merupakan pendekatan terhadap h(x, 4x)). d Unsur peluang adalah fungsi linier dari dx F (x). Contoh: Misalkan F (x) = 1 − e−3x untuk x ≥ 0. Apakah F (x) suatu fungsi distribusi? Hitung unsur peluang di x = 2. Cari pendekatan untuk P (2 ≤ X ≤ 2.01). Densitas rata-rata pada selang (x, x + 4x) didefinisikan: Density rata-rata =def
P (x ≤ X ≤ x + 4x) 4x
Sedangkan fungsi densitas peluang atau fungsi peluang (f.p) di x adalah limit
MA3081 Stat.Mat.
4
K. Syuhada, PhD.
densitas rata-rata saat 4x → 0: f.p = f (x) =def lim
4x→0
P (x ≤ X ≤ x + 4x) 4x
= = =
d F (x) dx
Catatan: Unsur peluang dituliskan sebagai dF (x) = f (x)4x. Sifat-sifat fungsi peluang: • f (x) ≥ 0 untuk semua x R∞ • −∞ f (x) = 1 Hubungan antara fungsi peluang dan fungsi distribusi: d F (x) dx Z x F (x) = f (u)du f (x) =
−∞
Z
b
P (a < X < b) = ... = ... = ... = F (b) − F (a) =
f (x)dx a
Latihan: 1. Misalkan λ bilangan riil positif. Jika F (x) = 1 − e−λx , maka f (x) = 2. Jika X ∼ U (a, b) maka F (x) = dan f (x) = 3. *Misalkan f (x) = c/(1 + x2R) untuk −∞ < x < ∞ dan c konstanta. ∞ Fungsi f (x) tak negatif dan −∞ (1 + x2 )−1 dx = π. Berapa nilai c agar f (x) menjadi fungsi peluag? Tentukan fungsi distribusinya. 4. *Pandang distribusi waktu tunggu. Misalkan T adalah waktu kedatangan kejadian ke-r dalam Proses Poisson dengan laju λ. Tentukan fungsi peluang dari T
MA3081 Stat.Mat.
5
K. Syuhada, PhD.
Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang f (x) dan Y = g(X) fungsi yang terdiferensial bernilai tunggal. Maka fungsi peluang dari Y : ¯ ¯ ¯ d −1 ¯ −1 fY (y) = fX (g (y)) ¯¯ g (y)¯¯ dy untuk ‘support’ Y = g(X). Komponen J(y) =
d −1 g (y) dy
adalah transformasi Jacobian. BUKTI: Misalkan g(x) memiliki lebih dari satu fungsi invers maka unsur peluang yang terpisah harus dihitung untuk setiap fungsi invers. Contoh, misalkan X ∼ U (−1, 2) dan Y = g(X) = X 2 . Maka untuk y ∈ [0, 1], terdapat 2 fungsi invers yaitu ?, dan satu fungsi invers untuk y ∈ (1, 4] yaitu ?. Fungsi peluang dari Y adalah: f (y) =
MA3081 Stat.Mat.
6
K. Syuhada, PhD.
1.3
Ekspektasi
Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang f (x). Nilai harapan dari X, jika ada, adalah Z ∞ E(X) = µX = f (x)dx −∞
Catatan: nilai ekspektasi dikatakan ada jika nilai integral adalah hingga. Misalkan X rv dengan pdf f (x). Maka nilai harapan dari g(X), jika ada, adalah Z ∞ E[g(X)] = g(x)f (x)dx −∞
. Operator integral bersifat linier. Jika g1 (X) dan g2 (X) fungsi-fungsi yang memiliki ekspektasi dan a, b, c konstanta, maka E[ag1 (X) + bg2 (X) + c] = aE[g1 (X)] + bE[g2 (X)] + c Contoh/Latihan: 1. Jika distribusi X simetrik di sekitar c dan nilai harapanny ada maka E(X) = c. Bukti: Z
∞
E(X − c) =
(x − c)f (x) dx Z−∞ c
=
Z
∞
(x − c)f (x)dx + −∞
Z
(x − c)f (x)dx c
Z
∞
∞
uf (c − u)du + uf (c + u)du =− 0 0 Z ∞ = u(f (c + u) − f (c − u)) du = 0 0
2. Misalkan X ∼ U (a, b). Tunjukkan bahwa distribusi tersebut simetrik disekitar (a + b)/2.
MA3081 Stat.Mat.
7
K. Syuhada, PhD.
Bukti: µ
¶ µ ¶ a+b a+b 1 f −δ =f +δ = 2 2 b−a £ ¤ untuk δ ∈ − b−a , b−a 2 2 3. Misalkan X berdistribusi Cauchy dengan fungsi peluang f (x) =
1 h i, 2 σπ 1 + (x−µ) 2 σ
dengan µ, σ konstanta yang memenuhi |µ| < ∞ dan σ ∈ (0, σ). Tunjukkan bahwa fungsi peluang simetrik di sekitar µ namun ekspektasinya bukanlah µ. 4. Misalkan X ∼ Exp(λ). Nilai harapan dari X adalah...
MA3081 Stat.Mat.
8
K. Syuhada, PhD.
1.4
Distribusi Bivariat
Suatu fungsi fX,Y (x, y) dikatakan fungsi peluang bivariat jika • fX,Y (x, y) ≥ 0, untuk semua x, y R∞ R∞ • −∞ −∞ fX,Y (x, y) dxdy = 1 Jika fX,Y (x, y) fungsi peluang bivariat maka Z x Z FX,Y (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) = −∞
y
fX,Y (u, v) dvdu −∞
Sifat-sifat fungsi distribusi bivariat: 1. FX,Y (x, ∞) = FX (x) 2. FX,Y (∞, y) = FY (y) 3. FX,Y (∞, ∞) = 1 4. FX,Y (−∞, y) = FX,Y (x, −∞) = FX,Y (−∞, −∞) = 0 5. fX,Y (x, y) =
∂2 ∂x∂y
FX,Y (x, y)
fX,Y (x, y)4x4y adalah unsur peluang bersama, P (x ≤ X ≤ x + 4x, y ≤ Y ≤ y + 4y) = fX,Y (x, y)4x4y + o(4x4y) Contoh/Latihan: 1. Jika (X, Y ) ∼ U (a, b, c, d) maka fX,Y (x, y) = 2. Untuk soal no 1 di atas, misalkan a = c = 0, b = 4, d = 6 maka P (2.5 ≤ X ≤ 3.5, 1 ≤ Y ≤ 4) = P (X 2 + Y 2 > 16) = 3. Jika fX,Y (x, y) = 6/5(x + y 2 ) untuk x ∈ (0, 1) dan y ∈ (0, 1). Tentukan P (X + Y < 1).
MA3081 Stat.Mat.
9
K. Syuhada, PhD.
Untuk menentukan fungsi peluang marginal, integralkan “peubah yang tidak diinginkan”: Z ∞ fX (x) = fX,Y (x, y) dy −∞
Z
∞
fY (y) =
fX,Y (x, y) dx −∞
Z
∞
Z
∞
fX,Y (x, y) =
fW,X,Y,Z (w, x, y, z) dwdz −∞
−∞
Pada fungsi peluang fX,Y (x, y) = 6/5(x + y 2 ) diperoleh fX (x) = fY (y) = dan nilai harapan Z
∞
Z
∞
g(x, y) fX,Y (x, y) dxdy =
E(g(X, Y )) = E(X) = −∞
MA3081 Stat.Mat.
−∞
10
K. Syuhada, PhD.
1.5
Distribusi Bersyarat
Misalkan fX,Y (x, y) adalah fungsi peluang bersama, maka fungsi peluang Y , diberikan X = x, adalah fY |X (y|x) =def
fX,Y (x, y) , fX (x)
asalkan fX (x) > 0. Contoh: Misalkan X dan Y memiliki distribusi bersama fX,Y (x, y) = 8xy, 0 < x < y < 1, maka fX (x) = E(X r ) = fY (y) = E(Y r ) = fX|Y (x|y) = fY |X (y|x) = E(X r |Y = y) = E(Y r |X = x) = Misalkan (X, Y ) adalah peubah acak berpasangan dengan fungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Pandang persoalan memprediksi Y setelah X = x terobservasi. Prediktor dinotasikan sebagai yˆ(x). Prediktor terbaik didefinisikan sebagai fungsi Yˆ (X) yang meminimumkan h i2 Z ∞ Z ∞ ˆ E Y − Y (X) = (y − yˆ(x))2 fX,Y (x, y) dydx −∞
−∞
Prediktor terbaik adalah yˆ(x) = E(Y |X = x). BUKTI: Contoh/Latihan: 1. Misalkan X dan Y memiliki distribusi bersama fX,Y (x, y) = 8xy, 0 < x < y < 1, MA3081 Stat.Mat.
11
K. Syuhada, PhD.
maka fY |X (y|x) = yˆ(x) = 2. Misalkan (Y, X) berdistribusi normal bivariat dengan E(Y ) = µY , E(X) = 2 µX , V ar(Y ) = σY2 , V ar(X) = σX , Cov(X, Y ) = ρX,Y σX σY . Distribusi bersyarat Y , diberikan X, adalah (Y |X = x) ∼ 3. Tunjukkan bahwa h i EX fY |X (y|X) = fY (y) 4. Buktikan n h io h i EX E h(Y )|X = E h(Y ) 5. Buktikan h V ar(Y ) = EX
i h i V ar(Y |X) + V ar E(Y |X)
6. Misalkan X dan Y memiliki distribusi bersama fX,Y (x, y) =
3y 2 , 0
Maka fY (y) = E(Y r ) = · · · , E(Y ) = · · · , V ar(Y ) = · · · fX (x) = fY |X (y|x) = E(Y r |X = x) = · · · , E(Y |X = x) = · · · , V ar(Y |X = x) = · · · V ar(E(Y |X)) = E(V ar(Y |X)) =
MA3081 Stat.Mat.
12
K. Syuhada, PhD.
1.6
Fungsi Pembangkit Momen
Misalkan X peubah acak kontinu, fungsi pembangkit momen dari X adalah Z ∞ tX MX (t) = E(e ) = etx f (x)dx, −∞
asalkan ekspektasi ada untuk t disekitar 0. Jika semua momen dari X tidak ada, maka fungsi pembangkit momen juga tidak ada. Fungsi pembangkit momen berkaitan dengan fungsi pembangkit peluang MX (t) = GX (et ) asalkan GX (t) ada untuk t disekitar 1. Jika MX (t) adalah fungsi pembangkit peluang maka MX (0) = 1. Contoh/Latihan: 1. Jika fX (x) = λe−λx I0,∞ (x), maka MX (t) = 2. Jika MX (t) ada maka Ma+bX (t) = 3. Jika P Xi , i = 1, . . . , n saling bebas, MXi (t) ada untuk setiap i, dan S = Xi , maka MS (t) = 4. Fungsi pembangkit momen bersifat unik. Setiap distribusi memiliki fungsi pembangkit momen yang unik, dan setiap fungsi pembangkit momen berkorespondensi dengan tepat satu distribusi. Akibatnya, jika fungsi pembangkit momen ada maka fungsi pembangkit momen tersebut secara unik menentukan distribusinya. Beri contoh. 5. Pandang turunan dari MX (t) yang kemudian dievaluasi di t = 0. Apa yang dapat anda katakan? Dapatkah kita mendapatkan momen orde tinggi? 6. Dapatkah hasil diatas digunakan untuk distribusi diskrit? Ambil contoh distribusi Geometrik dengan parameter p.
MA3081 Stat.Mat.
13
K. Syuhada, PhD.
7. Misalkan Y ∼ U (a, b). Gunakan fungsi pembangkit momen untuk mendapatkan momen pusat µµ ¶r ¶ a+b 2 E((Y − µY ) ) = E Y − 2
MA3081 Stat.Mat.
14
K. Syuhada, PhD.
