UNIVERSIDADE DA MADEIRA Departamento de Gestão e Economia
MICROECONOMIA I 1º Semestre 2005/2006
CADERNO DE EXERCÍCIOS Resolução
A. TEORIA DO CONSUMIDOR A.1.
A RESTRIÇÃO ORÇAMENTAL DO CONSUMIDOR
A.1.1. Defina os seguintes conceitos: a) Cabaz de bens Combinação de quantidades consumíveis de um conjunto de bens. b) Conjunto de possibilidades de consumo Conjunto de cabazes que podem ser comprados pelo consumidor num dado momento, gastando parcial ou totalmente o seu rendimento monetário. c) Restrição orçamental Lugar geométrico dos cabazes que podem ser comprados se todo o rendimento do consumidor for gasto. d) Custo de oportunidade de um bem Quantidade do outro bem que é preciso sacrificar para consumir mais uma unidade do bem. e) Bem numerário Bem em relação ao qual é medido o preço do outro bem e o rendimento do consumidor.
A.1.2. Considere um consumidor que enfrenta os preços Px e Py e dispõe de um rendimento M. Para cada um dos casos seguintes, determine, analítica e graficamente, o conjunto de possibilidades de consumo e a restrição orçamental. a)
Px = 2 ; Py = 4 ; M = 10
CPC: 2 x + 4 y ≤ 10 RO: 2 x + 4 y = 10 b) Px = 3 ; Py = 5 ; M = 15 CPC: 3x + 5y ≤ 15 RO: 3x + 5y = 15 c) Px = 5 ; Py = 1 ; M = 25 CPC: 5x + y ≤ 25 RO: 5x + y = 25 d) Px = 1,5 ; Py = 6 ; M = 45 CPC: 1,5x + 6 y ≤ 45 RO: 1,5x + 6 y = 45 e) Px = 4 ; Py = 7 ; M = 56 CPC: 4 x + 7 y ≤ 56 RO: 4 x + 7 y = 56
1
A.1.3. O que acontece à restrição orçamental se: a) o preço do bem X duplica e o do bem Y triplica A restrição orçamental torna-se menos inclinada e desloca-se para a esquerda
b) o preço do bem X quadruplica e o do bem Y triplica A restrição orçamental torna-se mais inclinada e desloca-se para a esquerda
c) ambos os preços duplicam A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a esquerda
d) ambos os preços duplicam e o rendimento triplica A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a direita
e) ambos os preços triplicam e o rendimento duplica A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a esquerda
f)
o preço do bem X e o rendimento duplicam A restrição orçamental roda para a direita
A.1.4. O Paulo tem uma mesada de 120 euros que lhe é paga pelos pais. A mesada é gasta exclusivamente em jantares e bilhetes de teatro. a) Identifique formalmente o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo, sabendo que cada jantar custa 20 euros e cada bilhete de teatro custa 10 euros. 20 j + 10b ≤ 120
b) No mês de Agosto, o Paulo será visitado pelos avós que lhe dão sempre 100 euros. Durante esse mês, o Paulo pretende ir a 8 jantares e assistir a 8 espectáculos de teatro. Será que vai conseguir? E se ele passar a ir jantar a restaurantes mais baratos, onde o preço médio da refeição é 15 euros? Qual é, neste caso, o custo de oportunidade para o Paulo de ir a um jantar? M = 120 + 100 = 220
(j, b) = (8 , 8) ⇒ 20 × 8 + 10 × 8 = 240 > 220 →
não consegue consumir este cabaz.
(j, b) = (8 , 8) ⇒ 15 × 8 + 10 × 8 = 200 < 220 →
consegue consumir este cabaz.
CO =
15 = 1,5 10
c) Dadas as fracas notas obtidas nos exames, os pais do Paulo reduziram-lhe a mesada para metade e proibiram-no de ir a mais de 2 jantares no mês de Agosto (os avós não sabem de nada). Identifique o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo nesta situação. M = 60 + 100 = 160
⎧20 j + 10b ≤ 160 ⎨ ⎩j ≤ 2
2
d) Suponha que o Paulo pode beneficiar de 10% de desconto no preço dos bilhetes de teatro se adquirir o cartão jovem. Sabendo que o cartão jovem custa 10 euros, deverá o Paulo comprá-lo? M = 60 + 100 − 10 = 150 Pb ′ = 0,9 × 10 = 9
⎧20 j + 9b ≤ 150 ⎨ ⎩j ≤ 2
Se adquirir o cartão, o Paulo expande o seu conjunto de possibilidades de consumo, logo deverá adquiri-lo. e) Descreva o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo se o cartão jovem lhe possibilitar 2 entradas gratuitas em espectáculos de teatro, adicionalmente ao desconto mencionado na alínea anterior. M = 60 + 100 − 10 + 2 × 9 = 168 ⎧20 j + 9b ≤ 168 ⎪ ⎨j ≤ 7,5 ⎪j ≤ 2 ⎩
f)
Durante as férias, o Paulo fez um curso de Verão no qual tirou muito boas notas. Consequentemente, os pais decidiram levantar-lhe as restrições aos jantares e subsidiarem-lhe as idas ao teatro em 5 euros; no entanto, mantiveram a redução da mesada. Admitindo que o Paulo não tem cartão jovem, determine de novo, analítica e graficamente, o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo. M = 60 + 100 = 160 Pb ′ = 10 − 5 = 5 20 j + 5b ≤ 160
A.1.5. Suponha que a Companhia de Telefones cobra mensalmente 30 euros, o que garante aos seus assinantes o acesso à rede e a possibilidade de fazer 30 minutos de chamadas por mês. Chamadas acima deste limite pagam um preço unitário de 15 cêntimos. a) Escreva e represente a restrição orçamental de um consumidor representativo que tem um rendimento M para gastar em minutos de chamadas telefónicas (T) e num bem compósito (C) cujo preço é igual a 1. ⎧0,15 T + 1C = M − 30 + 30 × 0,15 ⎪ M − 30 ⎨ ⎪⎩C ≤ 1
⇔
3
⎧0,15T + 1C = M − 25,5 ⎨ ⎩C ≤ M − 30
chamadas telefónicas
bem compósito
b) Suponha que a companhia pondera duas alterações relativas à actual estrutura de preços: i) diminuir para 20 o número de minutos oferecidos com a assinatura mensal; ou ii) aumentar o preço unitário de chamadas acima dos 30 minutos para 20 cêntimos. Represente graficamente as restrições orçamentais correspondentes às duas alternativas. ⎧0,15 T + 1C = M − 30 + 20 × 0,15 ⎪ i) ⎨ M − 30 ⎪⎩C ≤ 1
⇔
⎧0,20 T + 1C = M − 30 + 30 × 0,20 ⎪ ii) ⎨ M − 30 ⎪⎩C ≤ 1
⇔
⎧0,20 T + 1C = M − 24 ⎨ ⎩C ≤ M − 30
alternativa i
alternativa ii
chamadas telefónicas
RO inicial
⎧0,15 T + 1C = M − 27 ⎨ ⎩C ≤ M − 30
bem compósito
A.1.6. A Ana consome dois bens, carne (C) e peixe (P), ambos adquiridos no hipermercado, aos preços Pc = 7,5 e PP = 10 . Para chegar ao hipermercado, a Ana demora 45 minutos. Para adquirir uma unidade de C demora mais 15 minutos, enquanto que para a aquisição de uma unidade de P são precisos mais 12 minutos. a) Represente o conjunto de possibilidades de escolha da Ana, admitindo que esta tem um rendimento de 150 unidades monetárias e o seu tempo disponível para compras é de 4 horas e meia.
4
⎧7,5c + 10p ≤ 150 ⎨ ⎩15c + 12p ≤ 60 × 4,5 − 45
⇔
⎧7,5c + 10p ≤ 150 ⎨ ⎩15c + 12p ≤ 225
20 RO
15 peixe
RT
10 5 0 0
2,5
5
7,5
10 12,5 carne
15
17,5
20
22,5
b) A Ana muda de emprego e passa a não ter tempo para ir ao hipermercado. No seu prédio, há um supermercado onde a Ana não perde tempo e enfrenta os preços Pc = 10 e Pp = 15 . Neste novo emprego, além das 150 unidades monetárias, a Ana recebe 10,5 unidades de C, que não pode vender. Represente o novo conjunto de possibilidades de escolha. ⎧10 c + 15p ≤ 150 + 10,5 × 10 ⎪ 150 ⎨ ⎪⎩p ≤ 15
⇔
⎧10 c + 15p ≤ 255 ⎨ ⎩p ≤ 10
12 10
peixe
8 6 4 2 0 0
2,5
5
7,5
10 12,5 15 17,5 20 22,5 25 27,5 carne
A.1.7. O João vive em Santana e desloca-se todos os dias ao Funchal, onde tem uma pastelaria. O seu rendimento diário é de 200 euros, que é gasto em bilhetes de autocarro (B) e outros bens (X). O bilhete custa 2 euros, enquanto o preço dos outros bens é de 10 euros. O tempo útil diário do João é de 8 horas, gastando 1 hora na viagem Santana – Funchal e 15 minutos para adquirir uma unidade de X. a) Represente o conjunto de possibilidades de escolha do João. ⎧2b + 10 x ≤ 200 ⎨ ⎩1b + 0,25 x ≤ 8
b) Nos dias em que o João tem de fazer mais de duas viagens entre Santana e o Funchal, fica de mau humor. Isto reduz-lhe a clientela da pastelaria, 5
implicando uma redução do rendimento diário do João de 50 euros. Represente de novo o conjunto de possibilidades de escolha. ⎧2b + 10 x ≤ 200 se b ≤ 2 ⎪ ⎨2b + 10 x ≤ 150 se b > 2 ⎪1b + 0,25 x ≤ 8 ⎩
c) Depois da quarta viagem, o João chega a casa depois do supermercado fechar. Isso obriga-o a fazer as compras num outro supermercado, onde o estacionamento custa 1 euro. ⎧2b + 10 x ≤ 200 se b ≤ 2 ⎪ ⎪2b + 10 x ≤ 150 se 2 < b ≤ 4 ⎨ ⎪2b + 10 x ≤ 149 se b > 4 ⎪⎩1b + 0,25 x ≤ 8
d) Suponha agora que, a partir da segunda passagem, o João passa a ir na carrinha da pastelaria. Nesse caso, o tempo necessário para a viagem é de meia hora e o custo do combustível 1 euro. Represente novamente o conjunto de possibilidades de escolha do João, considerando um rendimento de 200 euros. ⎧2b + 10 x ≤ 200 ⎪ ⎪1b + 10 x ≤ 200 ⎨ ⎪1b + 0,25 x ≤ 8 ⎪⎩0,5b + 0,25 x ≤ 8
se
b≤2
se
b>2
se
b≤2
se
b>2
6
A.2.
UTILIDADE E PREFERÊNCIAS
A.2.1. Defina os seguintes conceitos: a) Bem económico Produto (ou serviço) definidos pelas suas características físicas, de localização e tempo, e que proporciona a satisfação de uma necessidade do consumidor. b) Mal económico Produto (ou serviço) cujo consumo causa uma diminuição na satisfação do consumidor. c) Bem neutral Produto (ou serviço) cujo consumo não afecta a satisfação do consumidor. d) Utilidade Forma de medir a satisfação dos desejos do consumidor. Valor atribuído ao uso de um ou mais bens. e) Utilidade marginal de um bem Variação na utilidade total de um consumidor quando a quantidade consumida de um bem aumenta de uma forma infinitesimal, mantendo-se a quantidade consumida dos outros bens. f)
Curva de indiferença Conjunto de cabazes de dois bens em relação aos quais o consumidor é indiferente, isto é, que proporcionam o mesmo nível de utilidade.
g) Taxa marginal de substituição no consumo de Y por X Mede o número de unidades de Y que têm de ser sacrificadas por unidade infinitesimal a mais de X de forma a que o consumidor mantenha o nível de satisfação.
A.2.2. Enumere e explique os axiomas e hipóteses das relações de preferência e as propriedades das curvas de indiferença. Axioma da exaustão ou da relação completa Uma ordem de preferências é completa se permite ao consumidor ordenar todas as combinações possíveis de bens e serviços. Axioma da transitividade Dizer que uma ordem de preferências é transitiva significa que, relativamente a três cabazes A, B e C, se o consumidor prefere A a B e B a C, então gostará mais de A que de C. Hipótese da não saciedade ou monotocidade Esta hipótese significa simplesmente que, quando todo o resto se mantém constante, uma maior quantidade de um bem é melhor que uma menor quantidade desse mesmo bem.
7
Hipótese da convexidade Sejam 3 cabazes, A, B e C tais que B é pelo menos tão bom como A e C é estritamente preferido a A. A hipótese da convexidade implica que qualquer combinação linear dos cabazes B e C é preferível a A. Economicamente, esta hipótese relaciona-se com a necessidade de um consumidor ser compensado com maiores quantidades de um bem, à medida que sacrifica sucessivas unidades de outro. Ou seja: a taxa marginal de substituição no consumo entre dois bens é decrescente. Hipótese da continuidade Os cabazes que são preferidos ou indiferentes a um determinado cabaz e os cabazes que são menos preferidos ou indiferentes formam conjuntos fechados. Esta hipótese é meramente técnica. Propriedade 1: As curvas de indiferença têm inclinação negativa. Propriedade 2: As curvas de indiferença nunca se intersectam. Propriedade 3: Curvas de indiferença para NE representam níveis de satisfação mais elevados. Propriedade 4: As curvas de indiferença são convexas em relação à origem. Propriedade 5: As curvas de indiferença são densas em todo o espaço de bens.
A.2.3. Diga, de entre as situações seguintes, aquelas que violam os axiomas e hipóteses que regem as preferências. a) A Isabel gosta mais de chocolates que de caramelos e prefere caramelos a rebuçados; mas entre rebuçados e chocolates, escolhe os primeiros. Viola o axioma da transitividade b) O Francisco não sabe se gosta mais de duas horas de vela ou três de natação. Viola o axioma da exaustão c) Quanto mais toca piano, mais a Catarina gosta de tocar. Viola a hipótese da convexidade d) Depois de quatro horas de estudo, o Diogo já não estuda mais nenhuma. Viola a hipótese da monotocidade e) A Beatriz começou a gostar mais de ir à praia depois de ir muitas vezes. Viola a hipótese da convexidade
A.2.4. Represente graficamente os mapas de indiferença para os seguintes casos: a) Dois bens económicos
8
bem
bem
bem
b) Um bem e um mal económico
mal
bem
c) Um bem económico e um neutro
neutro
d) Existência de um ponto de saciedade
9
y
x
e) Bens complementares y
x
f)
Bens substitutos y
x
A.2.5. Represente as preferências dos consumidores para os seguintes casos, verificando em cada um se se tratam de preferências bem comportadas. a) O Gonçalo bebe sempre um café com um copo de água.
10
6
copos de água
5 4 3 2 1 0 0
1
2
3 cafés
4
5
6
b) A Graça é indiferente entre utilizar papel A4 pautado e papel A4 liso. 6 5
liso
4 3 2 1 0 0
1
2
3 pautado
4
5
6
c) Ao almoço, a Maria não consegue comer mais de 220 gramas de carne, mas
coca-cola
bebe toda a Coca-Cola que lhe servirem.
0
40
80
120 160
200 240 carne
280 320
360 400
440
d) O Pedro é indiferente entre jogar uma hora de futebol ou duas horas de ténis.
11
5 4
ténis
3 2 1 0 0
0,5
1
futebol
1,5
2
2,5
e) A D. Carlota bebe sempre cada chávena de chá com meio pacote de açúcar. 4 3,5 3 açúcar
2,5 2 1,5 1 0,5 0 0
f)
1
2
3 chá
4
5
6
A Joaninha adora leite com torradas. Ao lanche, não consegue comer mais de
leite
4 torradas, mas bebe todo o leite que lhe servirem.
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 torradas
A.2.6. Considere as seguintes funções utilidade: i.
U = x 0,5 y 0,5
ii. U = −3 + x + y iii. U = min{x, y}
12
iv. U = x + y Para cada uma delas: a) Indique o tipo de preferências. b) Represente o mapa de indiferença. c) Calcule as utilidades marginais. d) Determine a taxa marginal de substituição de y por x. e) Encontre uma função que represente as mesmas preferências. U = min{x, y}
U=x+ y
Cobb-Douglas
Substitutos perfeitos
Complementares
Quasi-lineares
U1
U2
bem
U1 bem
b)
U = −3 + x + y
U2
U3
U1
U2
U3
bem
c)
U1 bem
a)
U = x 0,5 y 0,5
U2
U3
U3
bem
bem
Umg x = 0,5x −0,5 y 0,5
Umg x = 1
Umg x = 0
Umg x = 1
−0,5
Umg y = 1
Umg y = 0
Umg y = 0,5y −0,5
Umg y = 0,5x
0,5
TMS y,x =
y x
d)
y
V = 2 x 0,5 y 0,5
e)
TMS y,x = 1
Não tem
TMS y,x = 2 y
V = +x + y
V = min{3x,3y}
V = x2 + 2 x y + y
A.2.7. A utilidade que um consumidor retira da utilização de gás e de electricidade é dada pela função U = 2 x 0,5 y 0,5 em que x = n.º de litros gás/dia e y = n.º Kw/hora. a) Identifique as diferentes combinações de x e y que permitem ao consumidor atingir o nível de utilidade de 2 e 4. Qual o conceito subjacente? U=2
⇔
2 x 0,5 y 0,5 = 2
⇔
y=
1 x
U=4
⇔
2 x 0,5 y 0,5 = 4
⇔
y=
4 x
O conceito aqui subjacente é o de curva de indiferença.
b) Admita que este consumidor se encontra actualmente a consumir 5 litros de gás por dia e 0,2 Kw/hora. Qual a quantidade de electricidade que teria de sacrificar, se quisesse consumir um litro adicional de gás, de forma a manter o mesmo nível de satisfação?
(5 ; 0,2 )
⇒
U = 2 × 5 0,5 × 0,2 0,5 = 2
2 = 2 × 6 0,5 × y 0,5
⇔
y =16
13
A.2.8. O António tem uma função de utilidade U = x y . a) Suponha que inicialmente consome 4 unidades do bem x e 12 unidades do bem y. Se passar a consumir 8 unidades do bem y, quantas unidades terá de consumir do bem x de modo a que a sua utilidade de mantenha constante?
(x, y ) = (4,12 )
⇒
48 = 8 x
x=6
⇔
U = 4 × 12 = 48
b) Calcule a TMS x,y . O que acontece ao valor desta taxa quando o António aumenta o consumo do bem x? ∂TMS x,y Umg y x TMS x,y = = → >0 Umg x y ∂x c) Responda novamente às alínea a) e b) admitindo que as preferências do António são descritas por U = x + ln y .
(x, y ) = (4,12 ) 6,48 = x + ln 8 TMS x,y =
⇒
U = 4 + ln 12 ≈ 6,48
⇔
x ≈ 4,41
Umg y 1 y 1 = = Umg x 1 y
→
∂TMS 1,2 ∂x 1
=0
O consumo do bem x não influencia a taxa a que o António se dispõe a trocar os bens.
d) De entre os seus amigos, quem tem as mesmas preferências que o António? Considere o quadro abaixo e a função utilidade inicial. Ana
V = 1000 xy
Filipa
W = xy
Sofia Margarida Teresa Bernardo
Ana
Z = −1/ (xy + 1) F = xy − 10000 G = x/y H = x (y + 1)
1000 x x = 1000 y y x = y
TMS x,y =
Filipa
TMS x,y
Sofia
TMS x,y =
Margarida
TMS x,y =
x y
Teresa
TMS x,y =
− x y2 x =− 1y y
Bernardo
TMS 2,1 =
x y +1
− 1 x (x y )−2
− 1 y (x y )
−2
=
x y
A Teresa e o Bernardo não têm as mesmas preferências do António.
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A.2.9. Comente as seguintes afirmações: a) Não é possível que duas curvas de indiferença «bem comportadas» se cruzem. A frase é verdadeira. Para prová-lo assumamos que a frase é falsa ou seja que duas curvas de indiferença bem comportadas se podem cruzar, conforme mostrado na figura.
A
C B=D
U1 U0
Por definição, diferentes curvas de indiferença representam diferentes níveis de utilidade. E uma curva de indiferença bem comportada é aquela que respeita, entre outros, o axioma da transitividade e a hipótese da monoticidade. Se, no gráfico, as preferências não violarem o axioma da monoticidade, então C será preferido a A porque tem o mesmo de um dos bens, mas mais do outro. Como C e B estão na mesma curva de indiferença são, por definição, indiferentes entre si. Então B deveria, sendo as preferências transitivas, ser preferível a A. Mas B e A estão sobre a mesma curva de indiferença, significando isso que são indiferentes. Ou seja, duas curvas de indiferença que se intersectem violam o axioma da transitividade e a hipótese da monotocidade, logo não podem ser bem comportadas.
b) Se as preferências forem monotónicas, então a linha diagonal (no espaço dos bens) que passa pela origem cruza cada curva de indiferença apenas 1 vez. Consideremos que a frase é falsa. Se é falsa é porque a linha diagonal (no espaço dos bens) que passa pela origem pode cruzar cada curva de indiferença mais que 1 vez. Vamos admitir que a cruza em dois pontos distintos, A e B. Se A e B estão sobre a diagonal, então um destes pontos tem de estar acima e à direita do outro. Mas se está acima e à direita, então representa um cabaz com mais de ambos os bens o que, pela hipótese da monotocidade, implica uma utilidade superior. Mas se tem utilidade superior não pode, por definição, estar sobre a mesma curva de indiferença. Então, a frase tem de ser verdadeira.
c) Se dois bens forem substitutos perfeitos então a taxa marginal de substituição ou é igual a zero ou é infinito. Se dois bens são substitutos perfeitos, então a utilidade marginal associada a cada um deles é constante. Logo, também é constante a taxa marginal de substituição.
15
Se esta for zero ou infinito é porque uma das utilidades marginais é zero ou infinito. Mas isso não faz sentido. Portanto, a frase é falsa.
d) A convexidade estrita das preferências pode ser entendida como uma expressão formal de uma preferência dos consumidores por diversificação. A convexidade das curvas de indiferença decorre da hipótese de taxa marginal de substituição (TMS) decrescente. Esta hipótese estabelece que, ao longo de qualquer curva de indiferença, quanto maior a quantidade de um bem um consumidor possuir, tanto mais exige receber desse bem, para renunciar a uma unidade do outro bem. Ou seja, os consumidores estão, geralmente, dispostos a prescindir de bens que já possuem em grande quantidade, para obterem mais unidades daqueles que, naquele momento, detêm em menor quantidade. Mas isso significa uma preferência dos consumidores por diversificação.
e) Para que a taxa marginal de substituição no consumo seja decrescente, é preciso que a utilidade marginal seja decrescente. Frase falsa como facilmente se constata pela análise do seguinte contra-exemplo. TMS y,x =
Umg x . Se x tiver uma utilidade marginal constante, para que a taxa Umg y
marginal de substituição seja decrescente a utilidade marginal de y terá de ser crescente.
16
A.3.
A ESCOLHA ÓPTIMA DO CONSUMIDOR
A.3.1. Para cada um dos consumidores i.
deduza as funções procura de ambos os bens;
ii. determine a escolha óptima; iii. calcule o nível de satisfação; e iv. avalie a taxa marginal de substituição no ponto óptimo. a) Consumidor A: U = 5x 0,5 y 0,5 ; Px = 2 ; Py = 10 ; m = 100 FUNÇÕES PROCURA ⎧max U = 5x 0,5 y 0,5 ⎪ x ,y ⎨ ⎪⎩s.a. Px x + Py y = m ⎧∂Γ ∂x = 0 ⎪ ⎨∂Γ ∂y = 0 ⎪∂Γ ∂λ = 0 ⎩
→
(
Γ = 5x 0,5 y 0,5 + λ m − Px x − Py y
⎧5 × 0,5 x −0,5 y 0,5 − λPx = 0 ⎪⎪ 0,5 − 0,5 − λPy = 0 ⎨5 × 0,5 x y ⎪ ⎪⎩m − Px x − Py y = 0
⇔
⎧ 2,5 x −0,5 y 0,5 λPx = ⎪ 0,5 − 0,5 λPy ⎨ 2,5 x y ⎪P x + P y = m y ⎩ x Px ⎧ ⎪y = P x y ⎪ ⎨ ⎪P x + P Px x = m y ⎪ x Py ⎩
⇔
⇔
⎧ y Px ⎪x = P y ⎨ ⎪P x + P y = m y ⎩ x Px ⎧ ⎪y = P x y ⎨ ⎪P x + P x = m x ⎩ x
⇔
⇔
⇔
)
⎧2,5 x −0,5 y 0,5 = λPx ⎪⎪ 0,5 − 0,5 = λPy ⎨2,5x y ⎪ ⎪⎩Px x + Py y = m Px ⎧ ⎪y = P x y ⎨ ⎪P x + P y = m y ⎩ x
0,5 m ⎧ ⎪y = P ⎪ y ⎨ 0 , 5 m ⎪x = ⎪⎩ Px
ESCOLHA ÓPTIMA ⎧Px = 2 ⎪ ⎨Py = 10 ⎪ ⎩m = 100
⇒
0,5 × 100 ⎧ =5 y= ⎪⎪ 10 ⎨ ⎪x = 0,5 × 100 = 25 2 ⎩⎪
NÍVEL DE SATISFAÇÃO U = 5 × 25 0,5 × 5 0,5 ≈ 55,9
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO TMS y,x
(25;5 )
=
Umg x 5 = = 0,2 Umg y (25;5 ) 25
b) Consumidor B: U = 2 x 0,4 y 0,6 ; Px = 1 ; Py = 6 ; m = 50 FUNÇÕES PROCURA ⎧max U = 2 x 0,4 y 0,6 ⎪ x ,y ⎨ ⎪⎩s.a. Px x + Py y = m
→
(
Γ = 2x 0,4 y 0,6 + λ m − Px x − Py y
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)
⇔
⇔
⎧∂Γ ∂x = 0 ⎪ ⎨∂Γ ∂y = 0 ⎪∂Γ ∂λ = 0 ⎩
⇔
⎧2 × 0,4 x −0,6 y 0,6 − λPx = 0 ⎪⎪ 0,4 − 0,4 − λPy = 0 ⎨2 × 0,6 x y ⎪ m − Px x − Py y = 0 ⎩⎪
⇔
⎧0,8 x −0,6 y 0,6 = λPx ⎪⎪ 0,4 − 0,4 = λPy ⎨1,2 x y ⎪ P x + Py y = m ⎩⎪ x
⎧ 0,8 x −0,6 y 0,6 Px ⎧ 2 y Px ⎧ λPx = ⎪ ⎪ 3x = P ⎪y = 1,5 P x 0,4 − 0,4 λPy ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ y y ⎨ 1,2 x y ⎪P x + P y = m ⎪P x + P y = m ⎪P x + P y = m y y y ⎩ x ⎩ x ⎩ x Px 0,6 m ⎧ ⎧ y= Px ⎧ ⎪y = 1,5 P x ⎪ Py y ⎪ ⎪y = 1,5 P x ⎪ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ y ⎨ ⎪P x + P 1,5 Px x = m ⎪P x + 1,5 P x = m ⎪x = 0,4 m y x x ⎩ ⎪ x ⎪⎩ Py Px ⎩ ESCOLHA ÓPTIMA 0,6 × 50 ⎧ ⎧Px = 1 y= =5 ⎪ ⎪⎪ 6 ⎨Py = 6 ⇒ ⎨ ⎪ ⎪x = 0,4 × 50 = 20 ⎩m = 50 1 ⎩⎪ NÍVEL DE SATISFAÇÃO U = 2 × 20 0,4 × 5 0,6 ≈ 17,4
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO Umg x 2×5 1 TMS y,x = = = (20;5 ) Umg y (20;5 ) 3 × 20 6
c) Consumidor C: U = x 3 y 2 ; Px = 1,5 ; Py = 4 ; m = 45 FUNÇÕES PROCURA ⎧max U = x 3 y 2 ⎪ x ,y → Γ = x 3 y 2 + λ m − Px x − Py y ⎨ ⎪⎩s.a. Px x + Py y = m ⎧3 x 2 y 2 − λPx = 0 ⎧3 x 2 y 2 = λPx ⎧∂Γ ∂x = 0 ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ 3 ⇔ ⎨2 x 3 y = λPy ⇔ ⎨∂Γ ∂y = 0 ⇔ ⎨2 x y − λPy = 0 ⎪∂Γ ∂λ = 0 ⎪m P x P y 0 ⎪ ⎩ ⎪⎩ − x − y = ⎪⎩Px x + Py y = m ⎧3 x 2 y 2 2 Px ⎧ ⎧ 3y Px λPx = y= x = ⎪ ⎪ ⎪ 3 3 Py λPy ⇔ ⎨ 2 x Py ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ 2x y ⎪P x + P y = m ⎪P x + P y = m ⎪P x + P y = m y y y ⎩ x ⎩ x ⎩ x
(
2 Px ⎧ 2 Px ⎧ ⎪y = 3 P x ⎪y = 3 P x y ⎪ ⎪ y ⇔ ⎨ ⎨ 2 P 2 x ⎪P x + p x = m ⎪P x + p x=m y x ⎪⎩ x ⎪ x 3 P 3 y ⎩ ESCOLHA ÓPTIMA 0,4 × 45 ⎧ ⎧Px = 1,5 y= = 4,5 ⎪ ⎪ 4 ⎪ ⇒ ⎨ ⎨Py = 4 ⎪ ⎪x = 0,6 × 45 = 18 ⎩m = 45 ⎪⎩ 1,5 NÍVEL DE SATISFAÇÃO U = 18 3 × 4,5 2 = 118098
)
⇔
0,4 m ⎧ ⎪y = P ⎪ y ⎨ 0 , 6 m ⎪x = ⎪⎩ Px
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
18
⇔
⇔
TMS y,x
(18;4,5 )
=
Umg x 3 × 4,5 = = 0,375 Umg y (18;4,5 ) 2 × 18
d) Consumidor E: U = 2 x + 3y ; Px = 1 ; Py = 4 ; m = 60 FUNÇÕES PROCURA
⎧⎪max U = 2 x + 3y x ,y ⎨ ⎪⎩s.a. Px x + Py y = m
⎧m 2 Px > ⎪P 3 Py x ⎪ ⎪⎡ m ⎤ 2 Px ⎪ = x = ⎨ ⎢0 ; ⎥ 3 Py ⎪⎣ Px ⎦ ⎪ 2 Px ⎪0 < 3 Py ⎪⎩
→
ESCOLHA ÓPTIMA ⎧Px = 1 Px ⎪ = 0,25 ⎨Py = 4 ⇒ Py ⎪ ⎩m = 60 NÍVEL DE SATISFAÇÃO U = 2 × 60 + 3 × 0 = 120
⇒
2 Px ⎧ > ⎪0 3 Py ⎪ ⎪⎡ m⎤ 2 Px ⎪ = y = ⎨ ⎢0 ; ⎥ 3 Py ⎪⎢⎣ Py ⎥⎦ ⎪m 2 Px ⎪ < ⎪⎩ Py 3 Py
60 ⎧ = 60 ⎪x = 1 ⎨ ⎪⎩y = 0
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO Umg x 2 TMS y,x = = (60;0 ) Umg y (60;0 ) 3
e) Consumidor F: U = 5x + 2 y ; Px = 3 ; Py = 1 ; m = 12 FUNÇÕES PROCURA
⎧⎪max U = 5x + 2 y x ,y ⎨ ⎪⎩s.a. Px x + Py y = m
→
ESCOLHA ÓPTIMA ⎧Px = 3 Px ⎪ =3 ⎨Py = 1 ⇒ Py ⎪ ⎩m = 12 NÍVEL DE SATISFAÇÃO U = 5 × 0 + 2 × 12 = 24
⎧m 5 Px > ⎪P 2 Py ⎪ x ⎪⎡ m ⎤ 5 Px ⎪ x = ⎨ ⎢0 ; ⎥ = P 2 Py x ⎦ ⎪⎣ ⎪ 5 Px ⎪0 < 2 Py ⎪⎩
⇒
⎧x = 0 ⎪ 12 ⎨ ⎪⎩y = 1 = 12
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO Umg x 5 TMS y,x = = (0;12 ) Umg y (0;12 ) 2
f)
Consumidor G: U = 3x + 4 y ; Px = 6 ; Py = 8 ; m = 150 FUNÇÕES PROCURA
19
5 Px ⎧ > ⎪0 2 Py ⎪ ⎪⎡ m⎤ 5 Px ⎪ y = ⎨ ⎢0 ; ⎥ = P 2 Py ⎥ y ⎦ ⎪⎣⎢ ⎪m 5 Px ⎪ < ⎪⎩ Py 2 Py
⎧⎪max U = 3x + 4 y x ,y ⎨ ⎪⎩s.a. Px x + Py y = m
→
ESCOLHA ÓPTIMA ⎧Px = 6 Px 3 ⎪ ⇒ = ⎨Py = 8 Py 4 ⎪ ⎩m = 150 NÍVEL DE SATISFAÇÃO U = 3 × 25 = 75
3 Px ⎧ > ⎪0 4 Py ⎪ ⎪⎡ m⎤ 3 Px ⎪ y = ⎨⎢0 ; ⎥ = 4 Py ⎪⎣⎢ Py ⎦⎥ ⎪m 3 Px ⎪ < ⎪⎩ Py 4 Py
⎧m 3 Px > ⎪P 4 Py ⎪ x ⎪⎡ m ⎤ 3 Px ⎪ x = ⎨ ⎢0 ; ⎥ = 4 Py ⎪⎣ Px ⎦ ⎪ 3 Px ⎪0 < 4 Py ⎪⎩
⇒
⎧x ∈ [0 ; 25] ⎨ ⎩y ∈ [0 ;18,75]
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO Umg x 3 TMS y,x = = Umg y 4
g) Consumidor H: U = min {2 x , 5y} ; Px = 2 ; Py = 10 ; m = 72 FUNÇÕES PROCURA ⎧⎪max U = min {2 x , 5y} x ,y → ⎨ ⎪⎩s.a. Px x + Py y = m ⎧x = 2,5y ⎨ ⎩2,5 Px y + Py y = m
⇔
⎧2 x = 5y ⎨ ⎩Px x + Py y = m
⇔
⎧x = 2,5y ⎨ ⎩Px x + Py y = m
⇔
m ⎧ ⎪x = P + 0,4 P x y ⎪ ⎨ m ⎪y = ⎪⎩ p y + 2,5 Px
⎧x = 2,5y ⎪ m ⇔ ⎨y = ⎪ p y + 2,5 Px ⎩
ESCOLHA ÓPTIMA 72 ⎧ ⎧Px = 2 x= = 12 ⎪ 2 + 0,4 × 10 ⎪ ⎪ ⎨Py = 10 ⇒ ⎨ 72 ⎪ ⎪y = = 4,8 ⎩m = 72 ⎪⎩ 10 + 2,5 × 2 NÍVEL DE SATISFAÇÃO U = min {2 × 12 ; 5 × 4,8} = 24 TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO Não faz sentido
h) Consumidor I: U = min {3x , y} ; Px = 6 ; Py = 2 ; m = 48 FUNÇÕES PROCURA ⎧⎪max U = min {3x , y} ⎧3x = y x ,y → ⎨ ⎨ ⎩Px x + Py y = m ⎪⎩s.a. Px x + Py y = m 3m ⎧ ⎧y = 3x ⎪y = P + 3 P x y ⎪ ⎪ m ⇔ ⎨ ⎨x = m ⎪ ⎪x = p x + 3 Py ⎩ ⎪ + p 3 Py x ⎩ ESCOLHA ÓPTIMA
20
⇔
⎧y = 3x ⎨ ⎩Px x + 3 Py x = m
⇔
3 × 48 ⎧ ⎧Px = 6 ⎪⎪y = 6 + 3 × 2 = 12 ⎪ ⎨Py = 2 ⇒ ⎨ 48 ⎪ ⎪x = =4 ⎪⎩ ⎩m = 48 6 + 3×2 NÍVEL DE SATISFAÇÃO U = min {3 × 4 ;12} = 12
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO Não faz sentido
i)
Consumidor H: U = min {2 x , y} ; Px = 4 ; Py = 2 ; m = 100 FUNÇÕES PROCURA ⎧⎪max U = min {2 x , y} ⎧2 x = y x ,y → ⎨ ⎨ ⎩Px x + Py y = m ⎪⎩s.a. Px x + Py y = m m ⎧ ⎧y = 2 x ⎪y = P + 0,5 P y x ⎪ ⎪ m ⇔ ⎨ ⎨x = m ⎪ ⎪x = p x + 2 Py ⎩ ⎪⎩ p x + 2 Py ESCOLHA ÓPTIMA 100 ⎧ ⎧Px = 4 y= = 25 ⎪ ⎪ 2 + 0,5 × 4 ⎪ P = 2 ⇒ ⎨ y ⎨ ⎪ ⎪x = 100 = 12,5 = m 100 ⎩ ⎪⎩ 4 + 2×2 NÍVEL DE SATISFAÇÃO U = min {2 × 12,5 ; 25} = 25
⇔
⎧y = 2 x ⎨ ⎩Px x + 2 Py x = m
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO Não faz sentido
j)
Consumidor K: U = 4 x + ln y ; Px = 10 ; Py = 1 ; m = 62,5 FUNÇÕES PROCURA ⎧⎪max U = 4 x + ln y x ,y → Γ = 4x + ln y + λ m − Px x − Py y ⎨ ⎪⎩s.a. Px x + Py y = m ⎧4 − λPx = 0 ⎧4 = λPx ⎧∂Γ ∂x = 0 ⎪ −1 ⎪ ⎪ ⇔ ⎨y −1 = λPy ⇔ ⎨∂Γ ∂y = 0 ⇔ ⎨y − λPy = 0 ⎪∂Γ ∂λ = 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩m − Px x − Py y = 0 ⎩Px x + Py y = m λPx Px Px ⎧ 4 ⎧ ⎧ ⎪ −1 = λP ⎪4 y = P ⎪y = 4 P ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ y y y ⎨y ⎪P x + P y = m ⎪P x + P y = m ⎪P x + P y = m y y y ⎩ x ⎩ x ⎩ x P ⎧ Px ⎧ y= x Px ⎧ ⎪ y = y 4 Py ⎪ ⎪ = 4P ⎪⎪ 4 Py ⎪ ⎪ y ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ ⎨ P m− x ⎪P x + Px = m ⎪ ⎪P x + p Px = m x y 4 ⎪⎩ x ⎪x = ⎪ 4 Py 4 ⎩ ⎪⎩ Px ESCOLHA ÓPTIMA
(
21
)
⇔
10 ⎧ ⎪y = 4 × 1 = 2,5 ⎪ ⇒ ⎨ 10 62,5 − ⎪ 4 =6 ⎪x = 10 ⎩ NÍVEL DE SATISFAÇÃO U = 4 × 6 + ln 2,5 ≈ 24,9 ⎧Px = 10 ⎪ ⎨Py = 1 ⎪ ⎩m = 62,5
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO Umg x 4 TMS y,x = = = 10 (6;2,5 ) Umg y (6;2,5 ) 2,5 −1
k) Consumidor L: U = y + 0,5x 2 ; Px = 6 ; Py = 2 ; m = 28 FUNÇÕES PROCURA ⎧max U = y + 0,5 x 2 ⎪ x ,y → ⎨ ⎪⎩s.a. Px x + Py y = m ⎧x = 0 m ⇒ u1 = ⎨ Py ⎩y = m Py u1 > u 2 ⎧m Px x=⎨ ⎩0
⇔
m 0,5m 2 > Py Px2
(
)
solução de canto : x = 0 ∧ y = m Py ∨ (x = m Px ∧ y = 0 ) ⎧x = m Px ⎨ ⎩y = 0 ⇔
⇒
u2 =
0,5m 2 Px2
Px2 > 0,5m Py
2 se Px Py ≤ 0,5m
⎧0 y=⎨ ⎩m Px
se Px2 Py ≥ 0,5m
ESCOLHA ÓPTIMA ⎧Px = 6 Px2 ⎪ = ⇒ = 18 > 0,5m = 14 P 2 ⎨ y Py ⎪ ⎩m = 28 NÍVEL DE SATISFAÇÃO U = 14 + 0,5 × 0 2 = 14
⇒
2 se Px Py ≤ 0,5m se Px2 Py ≥ 0,5m
⎧x = 0 ⎨ ⎩y = 14
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO Umg x 0 = = =0 TMS y,x (0;14 ) Umg y (0;14 ) 1
l)
Consumidor M: U = 3x + 12 y 0,5 ; Px = 2 ; Py = 0,5 ; m = 100 FUNÇÕES PROCURA ⎧max U = 3 x + 12 y 0,5 ⎪ x ,y → Γ = 3x + 12 y 0,5 + λ m − Px x − Py y ⎨ ⎪⎩s.a. Px x + Py y = m ⎧3 − λPx = 0 ⎧3 = λPx ⎧∂Γ ∂x = 0 ⎪ −0,5 ⎪ ⎪ − λPy = 0 ⇔ ⎨6 y − 0,5 = λPy ⇔ ⎨∂Γ ∂y = 0 ⇔ ⎨6 y ⎪∂Γ ∂λ = 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩m − Px x − Py y = 0 ⎩Px x + Py y = m
(
λPx ⎧ 3 ⎪ −0,5 = λP y ⎨ 6y ⎪P x + P y = m y ⎩ x
⇔
P ⎧ − 0,5 = x ⎪0,5y Py ⎨ ⎪P x + P y = m y ⎩ x
22
⇔
2 ⎧ ⎛ ⎞ ⎪⎪y = 4⎜ Px ⎟ ⎜ Py ⎟ ⎨ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪⎩Px x + Py y = m
)
⇔
2 ⎧ ⎛ ⎞ ⎪y = 4⎜ Px ⎟ ⎜ Py ⎟ ⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ ⎛P ⎪Px x + 4 Py ⎜ x ⎜ Py ⎪⎩ ⎝
⇔
2
⎞ ⎟ =m ⎟ ⎠
2 ⎧ ⎛ ⎞ ⎪y = 4⎜ Px ⎟ ⎜ Py ⎟ ⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ Px2 =m ⎪Px x + 4 Py ⎩⎪
⇔
2 ⎧ ⎛ ⎞ ⎪y = 4⎜ Px ⎟ ⎜ Py ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎨ P2 ⎪ m−4 x Py ⎪ ⎪x = Px ⎩
ESCOLHA ÓPTIMA 2 ⎧ ⎛ 2 ⎞ ⎪ = ⎜ ⎟ y 4 ⎜ 0,5 ⎟ = 64 ⎧Px = 2 ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎨Py = 0,5 ⇒ ⎨ 22 ⎪ = ⎪ 100 − 4 ⎩m 100 0,5 ⎪x = = 34 ⎪⎩ 2 NÍVEL DE SATISFAÇÃO U = 3 × 34 + 12 × 64 0,5 = 198 TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO Umg x 3 = = =4 TMS y,x (34;64 ) Umg y (34;64 ) 6 × 64 − 0,5
A.3.2. A Joana tem a seguinte função de utilidade: U = 10 x 0,5 y 0,5 e aufere 100 euros por semana que gasta no consumo dos bens X e Y, cujos preços são, respectivamente, Px = 2 e Py = 1 , ambos denominados em euros.
a) Suponha que a Joana detém hoje 12,5 unidades do bem X e 75 unidades do bem Y. Qual a TMS Y,X nesse cabaz de dotações iniciais? Como se compara com os preços relativos? Se a Joana puder realizar trocas no mercado, que trocas tenderá ela a fazer? Explique a lógica do seu raciocínio. TMS y,x
(12,5;75 )
=
Umg x P y = =6> X =2 PY Umg y (12,5;75 ) x (12,5;75 )
A Joana dispõe-se a trocar 6 unidades de Y por 1 de X. No mercado, para ter 1 unidade adicional de X, exigem 2 unidades de Y. Logo, a Joana trocará Y por X.
b) Qual o cabaz semanal óptimo da Joana? ⎧max U = 10 x 0,5 y 0,5 ⎪ x ,y ⎨ ⎪⎩s.a. 2 x + y = 100 ⎧∂Γ ∂x = 0 ⎪ ⎨∂Γ ∂y = 0 ⎪∂Γ ∂λ = 0 ⎩
⇔
Γ = 10x 0,5 y 0,5 + λ (100 − 2 x − y )
⎧5 x −0,5 y 0,5 − 2λ = 0 ⎪⎪ 0,5 −0,5 −λ = 0 ⎨5 x y ⎪100 − 2 x − y = 0 ⎪⎩
⇔
⎧5 x −0,5 y 0,5 = 2λ ⎪⎪ 0,5 − 0,5 =λ ⎨5x y ⎪2 x + y = 100 ⎪⎩
⎧y ⎪ =2 ⎨x ⎪⎩2 x + y = 100
⇔
⎧y = 2 x ⎨ ⎩2 x + y = 100
⎧ 5 x −0,5 y 0,5 2λ ⎪ 0,5 −0,5 = λ ⎨5 x y ⎪ ⎩2 x + y = 100 ⎧y = 2 x ⎨ ⎩2 x + 2 x = 100
→
⇔
⇔
⎧y = 2 x ⎨ ⎩x = 25
⇔
23
⎧y = 50 ⎨ ⎩x = 25
⇔
⇔
c) Qual a utilidade marginal do rendimento da Joana? ⎧5 x −0,5 y 0,5 = 2λ ⎪ ⎨x = 25 ⎪y = 50 ⎩
⇒
5 × 25 − 0,5 × 50 0,5 = 2λ
⇔
λ ≈ 3,54 =
∂U ∂m
A.3.3. Suponha que, para um determinado consumidor, a taxa marginal de substituição
( )
avaliada na combinação de consumo x0 é TMS1,2 x 0 = 0,5 . Sabendo que p1 / p 2 = 1 , diga se este cabaz será escolhido pelo consumidor. Em caso de
resposta negativa, indique que tipo de trocas estará ele disposto a efectuar. Se para este consumidor os bens 1 e 2 forem substitutos perfeitos, então x0 pode ser a escolha do consumidor desde que corresponda a um cabaz em que todo o rendimento é gasto no bem 1. Caso contrário, x0 não será o cabaz óptimo e este consumidor dispõe-se a trocar o bem 2 pelo bem 1.
A.3.4. Um consumidor tem preferências descritas pela função utilidade U = x + 0,25 y , adquire os bens aos preços Px = 1 e Py = 2 e dispõe de 100 unidades monetárias de rendimento. a) Indique, sem efectuar cálculos, a escolha óptima de consumo. Para este consumidor, os bens x e y são substitutos. O bem x tem maior utilidade marginal e tem menor custo, logo o cabaz óptimo será afectar todo o rendimento ao consumo do bem x: (x, y ) = (100 , 0 ) .
b) Suponha que uma guerra obriga a um esquema de racionamento do bem X, de acordo com o qual cada consumidor só pode adquirir 50 unidades desse bem. Qual é a escolha óptima do consumidor? O consumidor continua a escolher o máximo que puder de x, portanto o cabaz óptimo será (x, y ) = (50 , 25) .
c) Responda de novo à questão anterior admitindo que, em vez do esquema de racionamento, o preço do bem X sobe para 3 unidades monetárias. TMS y,x =
P 3 1 = 4 > x = = 1,5 Py 2 0,25
⎛ 100 ⎞ A solução óptima continua a ser gastar todo o rendimento em 1: (x, y ) = ⎜ ,0⎟ ⎠ ⎝ 3
A.3.5. Seja o José Pedro com a seguinte função de utilidade U = 2 x y . a) Determine os consumos óptimos de X e Y, sujeitos à restrição orçamental 5 x + 4 y ≤ 100 .
24
⎧⎪max U = 2 x y x ,y → Γ = 2x y + λ (100 − 5x − 4 y ) ⎨ ⎪⎩s.a. 5x + 4 y = 100 ⎧2 y = 5λ ⎧2 y − 5λ = 0 ⎧∂Γ ∂x = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨2 x = 4 λ ⎨∂Γ ∂y = 0 ⇔ ⎨2 x − 4 λ = 0 ⎪5x + 4 y = 100 ⎪100 − 5x − 4 y = 0 ⎪∂Γ ∂λ = 0 ⎩ ⎩ ⎩ ⎧y = 1,25x ⎧y = 1,25x ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎩5x + 4 y = 100 ⎩5x + 4 × 1,25x = 100 b) Suponha, agora, que o José Pedro está sujeito
⇔
⎧ 2 y 5λ = ⎪ ⎨ 2x 4λ ⎪⎩5x + 4 y = 100
⇔
⎧y = 1,25x ⎧y = 12,5 ⇔ ⎨ ⎨ ⎩x = 10 ⎩x = 10 a um sistema de racionamento.
Os preços das senhas de X e Y são 3 e 6, respectivamente, existindo um racionamento total de 80 senhas. Determine os novos consumos óptimos. Poderá resolver-se a questão pelo método dos multiplicadores de Lagrange? Porquê? Serão ambas as restrições activas no cabaz óptimo? ⎧max U = 2 x y ⎪⎪ x,y ⎨ ⎧3x + 6 y ≤ 100 ⎪s.a. ⎨ ⎪⎩ ⎩x + y ≤ 80
Γ = 2x y + λ(100 − 3x − 6 y ) + μ(80 − x − y )
→
As restrições sobre as variáveis não se podem exprimir com equações. Assim, não se pode recorrer ao método dos multiplicadores de Lagrange. Tem de se fazer uso das condições de Kuhn-Tucker: ⎧(1) : ⎪(2 ) : ⎪ ⎪(3) : ⎪ ⎪(4 ) : ⎨ ⎪(5) : ⎪(6 ) : ⎪ ⎪(7 ) : ⎪(8 ) : ⎩
2 y − 3λ − μ = 0 2 x − 6λ − μ = 0 3x + 6 y ≤ 100 x + y ≤ 80 λ(100 − 3x − 6 y ) = 0 μ(80 − x − y ) = 0 λ≥0 μ≥0
Se λ = 0
⎧(1) : 2 y − μ = 0 ⎨ ⎩(2 ) : 2 x − μ = 0
⎧2 y = μ ⎨ ⎩2 x = μ
⇔
⎧y = 0,5μ ⎨ ⎩x = 0,5μ
⇔
Substituindo em (6) vem: μ(80 − 0,5μ − 0,5μ ) = 0 μ=0 μ = 80
⇒x=y=0
⇔
μ = 0 ∨ μ = 80
→ não é solução
⇒ x = y = 40
⇒
3 × 40 + 6 × 40 = 360
→ viola (3), não é solução.
Se μ = 0
⎧(1) : 2 y − 3λ = 0 ⎨ ⎩(2 ) : 2 x − 6λ = 0
⇔
⎧2 y = 3λ ⎨ ⎩2 x = 6λ
⇔
⎧y = 1,5λ ⎨ ⎩x = 3λ
Substituindo em (5) vem: λ(100 − 9λ − 9λ ) = 0 μ=λ=0
⇔
λ = 0 ∨ λ = 100 18
→ não é solução, já se viu anteriormente
25
λ=
100 18
⎧x = 50 3 ⇒⎨ ⎩y = 25 3
⇒
50 25 + = 25 → não viola (4) 3 3
λ ,μ > 0
⎧(5) : λ(100 − 3x − 6 y ) = 0 ⎨ ⎩(6 ) : μ(80 − x − y ) = 0
⇔
⎧100 − 3x − 6 y = 0 ⎨ ⎩80 − x − y = 0
⇔
⎧x = 380 3 ⎨ ⎩y = − 140 3
Também não é solução. Portanto, (x , y ) = (50 3 , 25 3) e μ = 0 , ou seja, a restrição do racionamento total de 80 senhas não é activa.
c) Faça a representação gráfica dos dois equilíbrios. y 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
RO a) RO b) RO b) U=250 U=277,78
X0
0
X1 20
40
60
80
100 x
A.3.6. Comente as seguintes afirmações: a) A escolha óptima do consumidor caracteriza-se pela igualdade entre a taxa marginal de substituição e o rácio dos preços. A frase é falsa. Embora seja verdadeira para preferências bem comportadas, não se aplica, por exemplo, a bens substitutos perfeitos.
b) Dois indivíduos com cabazes de consumo idênticos têm certamente preferências idênticas. Considerem-se dois consumidores cujas preferências são dadas por U = x + 2 y e U = x + 3y e que dispõem ambos de 100 u.m. Os preços são Px = 2 e Py = 1 . Para
ambos os consumidores a escolha óptima será x = 0 e y = 0 . Ou seja, eles escolhem o mesmo cabaz. No entanto, não apresentam a mesma TMS pelo que as suas preferências não são idênticas. Portanto, este exemplo demonstra que a frase é falsa.
c) Se a função utilidade de um consumidor é do tipo U(x, y ) = x α y β , a percentagem de rendimento gasta no consumo do bem Y é sempre igual a β .
26
A frase é falsa, pois com uma função utilidade do tipo U(x, y ) = x α y β a percentagem de rendimento gasta no consumo do bem Y será sempre igual a β . Passando a demonstrar: α+β ⎧max U = x α y β ⎪ x ,y → Γ = x α y β + λ m − Px x − Py y ⎨ ⎪⎩s.a. Px x + Py y = m ⎧α x α −1y β − λPx = 0 ⎧α x α −1y β = λPx ⎧∂Γ ∂x = 0 ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ α β ⇔ ⎨β x α y β −1 = λPy ⇔ ⎨∂Γ ∂y = 0 ⇔ ⎨β x y − λPy = 0 ⎪∂Γ ∂λ = 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎩m − Px x − Py y = 0 ⎪⎩Px x + Py y = m ⎧ α x α −1y β β Px ⎧ α y Px ⎧ λPx ⎪ α β −1 = ⎪β x = P ⎪y = α P x λPy ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ y y ⎨β x y ⎪P x + P y = m ⎪P x + P y = m ⎪P x + P y = m y y y ⎩ x ⎩ x ⎩ x β Px β Px ⎧ ⎧ β Px ⎧ y= x ⎪y = α P x ⎪y = α P x ⎪ α Py y ⎪ ⎪ ⎪ y ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎨ P β x ⎪P x + p ⎪P x + β p x = m ⎪⎛1 + β ⎞ P x = m x=m ⎟ x y x ⎪ x ⎪⎩ x ⎪⎩⎜⎝ P α α⎠ α y ⎩
(
)
β ⎧ m ⎪ α+β ⎪y = Py ⎪ ⇔ ⎨ ⇔ ⇔ α ⎪ m ⎪ α+β ⎪x = Px ⎩ d) Se dois bens são complementares perfeitos, o consumidor vai sempre escolher β Px ⎧ ⎪y = α P x y ⎪⎪ m ⎨ ⎪x = β⎞ ⎛ ⎪ ⎜1 + ⎟ Px ⎪⎩ α ⎝ ⎠
β Px ⎧ ⎪y = α P x y ⎪⎪ ⎨ m ⎪x = α + β ⎪ Px α ⎩⎪
β Px ⎧ ⎪y = α P x y ⎪⎪ α ⎨ m ⎪ α+β ⎪x = ⎪⎩ Px
comprar igual quantidade de ambos. Se dois bens são complementares perfeitos serão consumidos sempre na mesma proporção o que não significa que se consuma igual quantidade de ambos. Como exemplo tomem-se as alíneas g)-i) do exercício A.3.1. A frase é, então, falsa.
e) Quando as preferências são quasi-lineares, a escolha do consumidor é sempre uma solução de canto. Uma solução de canto é aquela em que o rendimento é gasto em apenas um dos bens. A frase é, obviamente, falsa: basta ver o exemplo das alíneas j)-l) do exercício A.3.1.
f)
Se dois bens são substitutos perfeitos e TMS x,y > Px Py , o consumo de X é nulo. A frase é verdadeira. Se a TMS x,y é maior que o preço relativo de x, então TMS y,x é menor que o preço relativo de x. Como TMS y,x é o rácio da utilidade marginal de x e de y, dizer que aquela é menor que o rácio dos preços de x e de y significa que x tem um custo relativo superior à satisfação relativa que proporciona. E, como tal, não compensa comprá-lo.
27
A.4.
ANÁLISE DE ESTÁTICA COMPARADA
A.4.1. Defina os seguintes conceitos: a) Curva consumo-rendimento Lugar geométrico dos cabazes de equilíbrio do consumidor correspondentes a diferentes níveis de rendimento.
b) Bem normal Bem cujo consumo varia proporcionalmente menos ou na mesma proporção do rendimento monetário.
c) Bem inferior Bem cujo consumo varia inversamente com o rendimento.
d) Curva de Engel Representação da relação entre a quantidade consumida de um bem e o rendimento do consumidor.
e) Curva consumo-preço Lugar geométrico dos cabazes de equilíbrio de um consumidor que resultam de variações no preço de um bem.
f)
Bem de Giffen Bem cuja procura varia directamente com o seu preço.
g) Efeito substituição Variação na quantidade procurada de um bem, resultante da variação no preço desse bem, mantendo-se constante o rendimento real do consumidor (se esse rendimento real estiver expresso em termos de poder de compra(nível de satisfação), tem-se a abordagem à Slutsky(Hicks)).
h) Efeito rendimento Variação na quantidade procurada de um bem, resultante da alteração do rendimento real do consumidor (se esse rendimento real estiver expresso em termos de poder de compra(nível de satisfação), tem-se a abordagem à Slutsky(Hicks)).
A.4.2. Mostre que um bem de Giffen é necessariamente inferior. A variação no consumo de um bem devida a uma alteração do respectivo preço pode ser desdobrada em dois efeitos, o substituição e o rendimento: Δx = Δx s + Δx n
⇔
x (p ′, m) − x (p, m) = [x (p ′, m′) − x (p, m)] + [x (p ′, m) − x (p ′, m′)]
Enquanto o efeito substituição tem de ser negativo – isto é, por efeito substituição, a variação no consumo tem sinal oposto ao da variação no preço – o efeito rendimento pode ser negativo ou positivo.
28
Um bem de Giffen é aquele cuja procura ordinária varia directamente com o seu preço, ceteris paribus. Portanto, a variação total tem de ter sinal positivo. Ora, para que a soma de uma parcela negativa com outra seja positiva, esta outra parcela tem de ser positiva. Logo, para que um bem seja de Giffen, o efeito rendimento tem de ter sinal positivo. Mas um bem só tem efeito rendimento de sinal positivo se for inferior. Concluindo: um bem de Giffen tem de ser necessariamente inferior.
A.4.3. Considere o espaço de consumo de 2 bens, X e Y, relativo a um determinado consumidor. Apresente uma interpretação gráfica dos efeitos substituição e rendimento numa situação em que o preço do bem X diminui. O bem X é um bem normal. Efectue as explicações que entender necessárias para acompanhar a leitura do gráfico. Reporte-se às abordagens de Hicks e Slutsky. ABORDAGEM DE HICKS Para decompor a variação total em efeito substituição e efeito rendimento, Hicks determina a quantidade consumida de X num cenário em que o preço deste bem diminui, mas o bem-estar do consumidor mantém-se. Ou seja, Hicks encontra uma restrição orçamental (a verde) com o mesmo declive que a restrição orçamental final (a azul claro) mas que seja tangente à curva de indiferença que também o é à restrição orçamental inicial (a azul escuro). y RO inicial RO final RO intermédia CI ES ER E1
E2 EI
x
ABORDAGEM DE SLUTSKY Para decompor a variação total em efeito substituição e efeito rendimento, Slutsky determina a quantidade consumida de X num cenário em que o preço deste bem diminui, mas o poder de compra do consumidor mantém-se. Ou seja, Slutsky encontra uma restrição orçamental (a verde) com o mesmo declive que a restrição orçamental final (a azul claro) mas que passa pelo cabaz inicial. Dada essa restrição orçamental (a verde), Slutsky calcula a quantidade óptima de X.
29
y
RO inicial RO final RO intermédia ES ER E1
E2 EI
x
A.4.4. Determine e represente as curvas i.
consumo-rendimento
ii. consumo-preço do bem X iii. consumo-preço do bem Y iv. de Engel do bem X v. de Engel do bem Y para as seguintes situações: a)
U = 5x 0,5 y 0,5 ; Px = 2 ; Py = 10 ; m = 100 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO P y 2 TMS y,x = x ⇔ = ⇔ y = 0,2 x x 10 Py
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X Px ⎧ ⎧ y Px ⎪TMS y,x = ⎧Px x = 10 y ⎪ = P ⇔ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ x 10 y ⎨ ⎩Px x + 10 y = 100 ⎪Px x + 10 y = 100 ⎪ ⎩ ⎩Px x + Py y = m ⎧Px x = 10 y ⇔ y =5 ⎨ ⎩10 y + 10 y = 100 CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y ⎧ Px 2 ⎧y ⎪⎪TMS y,x = P ⎪x = P ⎪⎧Py y = 2 x ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ y y ⎨ ⎪⎩2 x + Py y = 100 ⎪ ⎪2 x + P y = 100 y ⎪⎩Px x + Py y = m ⎩ ⎧Py y = 2 x ⇔ x = 25 ⎨ ⎩2 x + 2 x = 100 CURVA DE ENGEL DO BEM X 0,5m 0,5m x= ⇔ x= ⇔ x = 0,25m 2 Px CURVA DE ENGEL DO BEM Y
30
y=
0,5m Py
⇔
y=
0,5m 10
⇔
y = 0,05m
b) U = 2 x 0,4 y 0,6 ; Px = 1 ; Py = 6 ; m = 50 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO P 0,4 y 1 TMS y,x = x ⇔ = ⇔ y = 0,25x 0,6 x 6 Py CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X Px ⎧ ⎧ 0,4 y Px = ⎪TMS y,x = ⎪ P ⇔ ⎨ 0,6 x ⇔ 6 y ⎨ ⎪ ⎪P x + 6 y = 50 ⎩ x ⎩Px x + Py y = m ⎧Px x = 4 y ⇔ y =5 ⎨ ⎩4 y + 6 y = 50 CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y ⎧ Px 1 ⎧ 0,4 y ⎪⎪TMS y,x = P ⎪ 0,6 x = P ⇔ ⎨ ⇔ y y ⎨ ⎪ ⎪x + P y = 50 y ⎪⎩Px x + Py y = m ⎩ ⎧Py y = 1,5x ⇔ x = 20 ⎨ ⎩x + 1,5x = 50 CURVA DE ENGEL DO BEM X 0,4m 0,4m x= ⇔ x= ⇔ x = 0,4m 1 Px CURVA DE ENGEL DO BEM Y 0,6m 0,6m y= ⇔ y= ⇔ y = 0,1m 6 Py
c)
⎧Px x = 4 y ⎨ ⎩Px x + 6 y = 50
⎪⎧Py y = 1,5x ⎨ ⎪⎩x + Py y = 50
⇔
⇔
U = x 3 y 2 ; Px = 1,5 ; Py = 4 ; m = 45 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO P 3y 1,5 TMS y,x = x ⇔ = ⇔ y = 0,25 x 2x 4 Py CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X Px ⎧ ⎧ 3y Px ⎪TMS y,x = = ⎧Px x = 6 y ⎪ Py ⇔ ⎨ ⇔ ⇔ ⎨ 2x 4 ⎨ ⎩Px x + 4 y = 45 ⎪Px x + 4 y = 45 ⎪ ⎩ ⎩Px x + Py y = m ⎧Px x = 6 y ⇔ y = 4,5 ⎨ ⎩6 y + 4 y = 45 CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y ⎧ Px ⎧ 3y 1,5 = ⎧⎪Py y = x ⎪⎪TMS y,x = P ⎪ ⇔ ⎨ 2 x Py ⇔ ⎨ ⇔ y ⎨ ⎪⎩1,5x + Py y = 45 ⎪ ⎪1,5x + P y = 45 y ⎪⎩Px x + Py y = m ⎩ ⎧Py y = x ⇔ x = 18 ⎨ ⎩1,5x + x = 45 CURVA DE ENGEL DO BEM X 0,6m 0,6m x= ⇔ x= ⇔ x = 0,4m 1,5 Px CURVA DE ENGEL DO BEM Y
31
y=
0,4m Py
⇔
y=
0,4m 4
⇔
y = 0,1m
d) U = 2 x + 3y ; Px = 1 ; Py = 4 ; m = 60 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO Px 1 2 = < = TMS y,x ⇒ y = 0 4 3 Py CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X se Px < 8 3 ⇒ y = 0 se Px = 8 3 ⇒ y = 15 − 2 3 x se Px > 8 3 ⇒ x = 0 CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y se Py < 1,5
⇒
x=0
se Py = 1,5
⇒
y = 40 − 2 3 x
se Py > 1,5 ⇒ y = 0 CURVA DE ENGEL DO BEM X m m x= ⇔ x= ⇔ x=m 1 Px CURVA DE ENGEL DO BEM Y y=0 e) U = 5x + 2 y ; Px = 3 ; Py = 1 ; m = 12 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO Px 3 5 = > = TMS y,x ⇒ x = 0 1 2 Py CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X se Px < 2,5 ⇒ y = 0 se Px = 2,5 ⇒ y = 12 − 2,5x se Px > 2,5 ⇒ x = 0 CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y se Py < 1,2
⇒
x=0
se Py = 1,2
⇒
y = 10 − 2,5x
se Py > 1,2 ⇒ y = 0 CURVA DE ENGEL DO BEM X x=0 CURVA DE ENGEL DO BEM Y m m y= ⇔ y= ⇔ y =m 1 Py
f)
U = 3x + 4 y ; Px = 6 ; Py = 8 ; m = 150 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
É todo o espaço dos bens. CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X se Px < 6 ⇒ y = 0 se Px = 6 ⇒ y = 18,75 − 0,75x se Px > 6 ⇒ x = 0 CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y se Py < 8
⇒
x=0
32
se Py = 8
⇒
y = 18,75 − 0,75x
se Py > 8 ⇒ y = 0 CURVA DE ENGEL DO BEM X É todo o espaço dos bens. CURVA DE ENGEL DO BEM Y É todo o espaço dos bens.
g)
U = min {2 x , 5y} ; Px = 2 ; Py = 10 ; m = 72 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO 2 x = 5y ⇔ y = 0,4 x CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X 2 x = 5y ⇔ y = 0,4 x CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y 2 x = 5y ⇔ y = 0,4 x CURVA DE ENGEL DO BEM X m m m x= ⇔ x= ⇔ x= 2 0 , 4 10 + × 6 Px + 0,4Py
CURVA DE ENGEL DO BEM Y m m y= ⇔ y= 10 + 2,5 × 2 Py + 2,5Px
⇔
CURVA DE ENGEL DO BEM Y 3m 3m y= ⇔ y= 6 + 3× 2 Px + 3Py
y = 0,25m
y=
m 15
h) U = min {3x , y} ; Px = 6 ; Py = 2 ; m = 48 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO y = 3x CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X y = 3x CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y y = 3x CURVA DE ENGEL DO BEM X m m m ⇔ x= ⇔ x= x= 6 + 3×2 12 Px + 3Py
i)
⇔
U = min {2 x , y} ; Px = 4 ; Py = 2 ; m = 100 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO y = 2x CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X y = 2x CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y y = 2x CURVA DE ENGEL DO BEM X m m x= ⇔ x= ⇔ x = 0,125m 4 + 2×2 Px + 2Py
CURVA DE ENGEL DO BEM Y m m y= ⇔ y= 2 + 0,5 × 4 Py + 0,5Px
j)
⇔
U = 4 x + ln y ; Px = 10 ; Py = 1 ; m = 62,5 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
33
y = 0,25m
TMS y,x =
Px
⇔
4
=
10 1
⇔ y = 2,5 Py y CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X Px ⎧ Px ⎧ 4 ⎪TMS y,x = ⎧Px = 4 y ⎪ −1 = P 1 ⇔ ⇔ ⎨y ⇔ ⎨ y ⎨ ⎩Px x + y =´62,5 ⎪ ⎪P x + y = 62,5 ⎩ x ⎩Px x + Py y = m ⎧Px = 4 y 62,5 ⇔ y= ⎨ 4 yx y 62 , 5 + = 1 + 4x ⎩ CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y ⎧ Px 10 ⎧ 4 ⎧⎪Py y = 2,5 ⎪⎪TMS y,x = P ⎪ −1 = P ⇔ ⎨y ⇔ ⎨ y y ⎨ ⎪⎩10 x + Py y = 62,5 ⎪ ⎪10 x + P y = 62,5 y ⎪⎩Px x + Py y = m ⎩ ⎧Py y = 2,5 ⇔ x=6 ⎨ ⎩10 x + 2,5 = 62,5 CURVA DE ENGEL DO BEM X P m− x m − 2,5 4 x= ⇔ x= ⇔ x = 0,1m − 0,25 10 Px CURVA DE ENGEL DO BEM Y P 10 y= x ⇔ y= ⇔ y = 2,5 4 ×1 4 Py −1
⇔
k) U = y + 0,5x 2 ; Px = 6 ; Py = 2 ; m = 28 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO Se m ≤ 36 ⇒ x = 0 ∧ 0 < y ≤ 18 Se m ≥ 36 ⇒ x ≥ 6 ∧ y = 0 CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X Se Px ≤ 28 ⇒ x ≥ 28 ∧ y = 0 Se Px ≥ 28 ⇒ x = 0 ∧ y = 14 CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y Se Py ≤ 18 7 ⇒ x = 0 ∧ y ≥ 98 9 Se Py ≥ 18 7 ⇒ x = 14 3 ∧ y = 0 CURVA DE ENGEL DO BEM X Se m ≤ 36 ⇒ x = 0 Se m ≥ 36 ⇒ x = m 6 CURVA DE ENGEL DO BEM Y Se m ≤ 36 ⇒ y = 0,5m Se m ≥ 36 ⇒ y = 0
l)
U = 3x + 12 y 0,5 ; Px = 2 ; Py = 0,5 ; m = 100 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO P 3 2 TMS y,x = x ⇔ = ⇔ y = 64 − 0,5 0,5 Py 6y
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X Px ⎧ Px ⎧ 3 ⎪TMS y,x = ⎪ − 0,5 = P 0,5 ⇔ ⎨ 6y y ⎨ ⎪ ⎪P x + 0,5y = 100 ⎩ x ⎩Px x + Py y = m
34
⇔
⎧⎪Px = 0,25y 0,5 ⎨ ⎪⎩Px x + 0,5y =´100
⇔
⎧⎪Px = 0,25y 0,5 100 − 0,5y ⇔ x= ⎨ 0,5 0,25y 0,5 ⎪⎩0,25y x + 0,5y = 100 CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y ⎧ Px 2 ⎧ 3 ⎪⎪TMS y,x = P ⎪ − 0,5 = P 6 y ⇔ ⎨ ⇔ y y ⎨ ⎪ ⎪2 x + P y = 100 y ⎪⎩Px x + Py y = m ⎩ 4 ⎧ ⎪Py = 0,5 y ⇔ y = (25 − 0,5x )2 ⎨ ⎪2 x + 4 y 0,5 = 100 ⎩ CURVA DE ENGEL DO BEM X m−4
Px
x=
4 ⎧ ⎪Py = 0,5 y ⎨ ⎪2 x + P y = 100 y ⎩
2
Py
⇔ x = 0,5m − 16 Px CURVA DE ENGEL DO BEM Y
⎛P y = 4⎜ x ⎜P ⎝ y
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
⇔
⎛ 2 ⎞ y = 4⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0,5 ⎠
2
⇔
y = 64
A.4.5. Calcule: i.
efeito substituição e efeito rendimento à Slutsky
ii. efeito substituição e efeito rendimento à Hicks iii. variação no excedente iv. variação compensatória v. variação equivalente para as seguintes situações: a)
U = 5x 0,5 y 0,5 ; Px = 2 ; Py = 10 ; m = 100 ; Px ′ = 5 ⎧Px = 2 ⎪ ⎨Py = 10 ⎪ ⎩m = 100
⇒
xi =
0,5 × 100 = 25 2
yi =
0,5 × 100 =5 10
⎧P ′ = 5 ⎪⎪ x 0,5 × 100 0,5 × 100 = 10 y f = =5 ⎨Py = 10 ⇒ x f = 5 10 ⎪ ⎪⎩m = 100 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY m′ = P ′ x + P y = 5 × 25 + 10 × 5 = 175 x
i
⎧P ′ = 5 ⎪⎪ x ⎨Py = 10 ⎪ ′ m = 170 ⎩⎪
y
⇒
i
x′ =
0,5 × 175 = 17,5 5
ES = 17,5 − 25 = −7,5 ER = 10 − 17,5 = −7,5
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
35
⇔
0,5
0,5
0,5 0,5 ⎛ 0,5m′′ ⎞ ⎛ 0,5m′′ ⎞ ⎛ 0,5m′′ ⎞ ⎛ 0,5m′′ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⇔ 5 × 25 0,5 × 5 0,5 = 5⎜ U i = 5⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ P ′ ⎟ ⎜ Py ⎟ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ 0,25m′′ 2 125 = ⇔ m′′ ≈ 158 50 ⎧P ′ = 5 ⎪⎪ x 0,5 × 158 ⇒ x′ = = 15,8 ⎨Py = 10 5 ⎪ ′′ ⎪⎩m = 158 ES = 15,8 − 25 = −9,2 ER = 10 − 15,8 = −5,8
⇔
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 50 50 ⇔ Px = x= Px x Px = 2
⇒
x = 25
Px = 5
⇒
x = 10
⎛ 10 50 ⎞ ⎛ 25 50 ⎞ 25 ΔXC = XC f − XC i = ⎜ ∫ dx − 10 × 5 ⎟ − ⎜ ∫ dx − 25 × 2 ⎟ = 50[ln x ]10 0 − 50[ln x ]0 = ⎜ x ⎟ ⎜ x ⎟ ⎝0 ⎠ ⎝0 ⎠ = 50[(ln 10 − ln 0 ) − (ln 25 − ln 0 )] ≈ −45,81
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA VC = m′′ − m = 158 − 100 = 58
VARIAÇÃO EQUIVALENTE ⎛ 0,5m′′′ ⎞ ⎟⎟ U f = 5⎜⎜ ⎝ Px ⎠
0,5
⎛ 0,5m′′′ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ Py ⎟ ⎝ ⎠
0,5
⇔
⎛ 0,5m′′′ ⎞ 5 × 10 0,5 × 5 0,5 = 5⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
0,25m′′′ 2 ⇔ m′′′ ≈ 63 20 VE = m′′′ − m = 63 − 100 = −37
50 =
b) U = 2 x 0,4 y 0,6 ; Px = 1 ; Py = 6 ; m = 50 ; Py ′ = 4 ⎧Px = 1 0,4 × 50 0,6 × 50 ⎪ = 20 y i = =5 ⎨Py = 6 ⇒ x i = 1 6 ⎪ ⎩m = 50 ⎧Px = 1 0,4 × 50 0,6 × 50 ⎪⎪ ′ = 20 y f = = 7,5 ⎨Py = 4 ⇒ x f = 1 4 ⎪ ⎪⎩m = 50 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY m′ = P x + P ′ y = 1 × 20 + 4 × 5 = 40 x
i
y
i
⎧Px = 1 ⎪⎪ ′ 0,6 × 40 =6 ⎨Py = 4 ⇒ y ′ = 4 ⎪ ′ ⎪⎩m = 40 ES = 6 − 5 = 1 ER = 7,5 − 6 = 1,5
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
36
0,5
⎛ 0,5m′′′ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 10 ⎠
0,5
⇔
⎛ 0,4m′′ ⎞ ⎟⎟ U i = 2⎜⎜ ⎝ Px ⎠
0,4 ⎛
⎞ ⎜ 0,6m′′ ⎟ ⎜⎜ ′ ⎟⎟ ⎝ Py ⎠
0,6
⎛ 0,4m′′ ⎞ 2 × 20 0,4 × 5 0,6 = 2⎜ ⎟ ⎝ 1 ⎠
⇔
20 0,4 × 5 0,6 = 0,4 0,4 × 0,15 0,6 m′′
0,4
⎛ 0,6m′′ ⎞ ⎟ ⎜ ⎝ 4 ⎠
0,6
⇔
m′′ ≈ 39
⇔
⎧Px = 1 0,6 × 39 ⎪⎪ ′ = 5,85 ⎨Py = 4 ⇒ y ′ = 4 ⎪ ′′ ⎪⎩m = 39 ES = 5,85 − 5 = 0,85 ER = 7,5 − 5,85 = 1,65
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 30 30 ⇔ Py = y= y Py Py = 6
⇒
y =5
Py = 4
⇒
y = 7,5
⎛ 7,5 30 ⎞ ⎛ 5 30 ⎞ ΔXC = XC f − XC i = ⎜ ∫ dy − 5 × 6 ⎟ = 30[ln y ]70,5 − 30[ln y ]50 = dy − 7,5 × 4 ⎟ − ⎜ ∫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 y ⎠ ⎝0 y ⎠ = 30[(ln 7,5 − ln 0 ) − (ln 5 − ln 0 )] ≈ 12,16
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA VC = m′′ − m = 39 − 50 = −11 VARIAÇÃO EQUIVALENTE ⎛ 0,4m′′′ ⎞ ⎟⎟ U f = 2⎜⎜ ⎝ Px ⎠
0,4
⎛ 0,6m′′′ ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ Py ⎟ ⎠ ⎝
0,6
20 0,4 × 7,5 0,6 = 0,4 0,4 × 0,10,6 m′′′ VE = m′′′ − m = 63 − 50 = 13
c)
⎛ 0,4m′′′ ⎞ 2 × 20 0,4 × 7,5 0,6 = 2⎜ ⎟ ⎝ 1 ⎠
⇔
⇔
0,4
⎛ 0,6m′′′ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠
m′′′ ≈ 63
U = x 3 y 2 ; Px = 1,5 ; Py = 4 ; m = 45 ; Px ′ = 3 ⎧Px = 1,5 ⎪ ⎨Py = 4 ⎪ ⎩m = 45
⇒
xi =
0,6 × 45 = 18 1,5
yi =
0,4 × 45 = 4,5 4
⎧P ′ = 3 ⎪⎪ x 0,6 × 45 0,4 × 45 = 9 yf = = 4,5 ⎨Py = 4 ⇒ x f = 3 4 ⎪ ⎪⎩m = 45 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY m′ = P ′ x + P y = 3 × 18 + 4 × 4,5 = 72 x
i
y
i
⎧P ′ = 3 x 0,6 × 72 ⎪⎪ ⇒ x′ = = 10,8 ⎨Py = 4 4 ⎪ ′ ⎪⎩m = 72 ES = 10,8 − 18 = −7,2 ER = 9 − 10,8 = −1,8
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS ⎛ 0,6m′′ ⎞ ⎟ Ui = ⎜ ⎜ P ′ ⎟ ⎝ x ⎠
3
⎛ 0,4m′′ ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ Py ⎟ ⎠ ⎝
2
3
⇔
⎛ 0,6m′′ ⎞ ⎛ 0,4m′′ ⎞ 18 3 × 4,5 2 = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠
37
2
⇔
0,6
⇔
18 3 × 4,5 2 = 0,2 3 × 0,12 m′′ 5 ⎧P ′ = 3 ⎪⎪ x ⎨Py = 4 ⎪ ′′ m = 68 ⎩⎪
m′′ ≈ 68
0,6 × 68 = 13,6 3
x′ =
⇒
⇔
ES = 13,6 − 18 = −4,4 ER = 9 − 13,6 = −4,6
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 27 27 x= ⇔ Px = Px x Px = 1,5 Px = 3
⇒ ⇒
x = 18 x=9
⎞ ⎞ ⎛ 18 27 ⎛ 9 27 dx − 9 × 3 ⎟ − ⎜ ∫ dx − 18 × 1,5 ⎟ = 27[ln x ]90 − 27[ln x ]18 ΔXC = XC f − XC i = ⎜ ∫ 0 = ⎟ ⎟ ⎜ x ⎜ x ⎠ ⎠ ⎝0 ⎝0 = 27[(ln 9 − ln 0 ) − (ln 18 − ln 0 )] ≈ −18,71
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA VC = m′′ − m = 68 − 45 = 23 VARIAÇÃO EQUIVALENTE ⎛ 0,6m′′′ ⎞ ⎟⎟ U f = ⎜⎜ ⎝ Px ⎠
3
⎛ 0,4m′′′ ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ Py ⎟ ⎠ ⎝
2
3
⎛ 0,6m′′′ ⎞ ⎛ 0,4m′′′ ⎞ ⎟⎟ ⎜ 9 × 4,5 = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 1,5 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 3
⇔
9 3 × 4,5 2 = 0,4 3 × 0,12 m′′ 5 ⇔ VE = m′′′ − m = 30 − 45 = −15
2
2
⇔
m′′′ ≈ 30
d) U = 2 x + 3y ; Px = 1 ; Py = 4 ; m = 60 ; Px ′ = 3 ⎧Px = 1 ⎪ ⎨Py = 4 ⎪ ⎩m = 60
⇒
xi =
60 = 60 1
yi = 0
⎧P ′ = 3 x 60 ⎪⎪ = 15 ⎨Py = 4 ⇒ x f = 0 y f = 4 ⎪ ⎪⎩m = 60 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY m′ = P ′ x + P y = 3 × 60 + 4 × 0 = 180 x
i
y
i
⎧P ′ = 3 ⎪⎪ x ⇒ x′ = 0 ⎨Py = 4 ⎪ ′ ⎪⎩m = 180 ES = 0 − 60 = −60 ER = 0 − 0 = 0
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS m′′ m′′ Ui = 2 × 0 + 3 × ⇔ 2 × 60 + 3 × 0 = 2 × 0 + 3 × Py 4 ⎧P ′ = 3 ⎪⎪ x ⇒ x′ = 0 ⎨Py = 4 ⎪ ′′ ⎪⎩m = 160 ES = 0 − 60 = −60 38
⇔
m′′ = 160
ER = 0 − 0 = 0
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE ⎧x = 60 Px se Px < 8 3 ⎪ ⎨x ∈ [0 ; 22,5] se Px = 8 3 ⎪x = 0 se P > 8 3 x ⎩ Px = 1 ⇒
x = 60
Px = 3
x=0
⇒
⎛ ⎞ 8 60 60 ΔXC = XC f − XC i = 0 − ⎜ 22,5 × + ∫ dx − 60 × 1⎟ = −60[ln x ]60 22,5 = −60 (ln 60 − ln 22,5) ≈ −58,85 ⎜ ⎟ 3 22,5 x ⎝ ⎠ VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA VC = m′′ − m = 160 − 60 = 100 VARIAÇÃO EQUIVALENTE m′′ m′′ Uf = 2 × + 3 × 0 ⇔ 2 × 0 + 3 × 15 = 2 × + 3×0 Px 1 VE = m′′′ − m = 22,5 − 60 = −37,5 e) U = 5x + 2 y ; Px = 3 ; Py = 1 ; m = 12 ; Py ′ = 0,8 ⎧Px = 3 ⎪ ⎨Py = 1 ⎪ ⎩m = 12
⇒
xi = 0
yi =
⇔
m′′ = 22,5
12 = 12 1
⎧Px = 3 ⎪⎪ ′ 12 = 15 ⎨Py = 0,8 ⇒ x f = 0 y f = 0 ,8 ⎪ ⎪⎩m = 12 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY m′ = P x + P ′ y = 3 × 0 + 0,8 × 12 = 9,6 x
i
⎧Px = 3 ⎪⎪ ′ ⎨Py = 0,8 ⎪ ′ m = 9,6 ⎩⎪
y
i
y′ =
⇒
9,6 = 12 0,8
ES = 12 − 12 = 0 ER = 15 − 12 = 3
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS m′′ m′′ Ui = 5 × 0 + 2 × ⇔ 5 × 0 + 2 × 12 = 5 × 0 + 2 × Py 0,8 ⎧Px = 3 ⎪⎪ ′ 9,6 = 12 ⎨Py = 0,8 ⇒ y ′ = 0,8 ⎪ ′ ⎪⎩m = 9,6 ES = 12 − 12 = 0 ER = 15 − 12 = 3
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE ⎧y = 12 Py se Px < 1,2 ⎪ ⎨y ∈ [0 ;10 ] se Px = 1,2 ⎪y = 0 se P > 1,2 x ⎩ Py = 1 ⇒
Py = 0,8
y = 12
⇒
y = 15
39
⇔
m′′ = 9,6
ΔXC = XC f − XC i =
15
12 dy − (15 − 12 ) × 0,8 + 12 × (1 − 0,8 ) = 12[ln x ]15 12 = 12(ln 15 − ln 12 ) ≈ 2,68 y 12
∫
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA VC = m′′ − m = 9,6 − 12 = −2,4
VARIAÇÃO EQUIVALENTE m′′ m′′ Uf = 5 × 0 + 2 × ⇔ 5 × 0 + 2 × 15 = 5 × 0 + 2 × Py 1
⇔
VE = m′′′ − m = 15 − 12 = 3
f)
U = 3x + 4 y ; Px = 6 ; Py = 8 ; m = 150 ; Py ′ = 10
⎧Px = 6 ⎪ ⎨Py = 8 ⎪ ⎩m = 150
⇒
x i ∈ [0 ; 25]
y i ∈ [0 ;18,75]
⎧Px = 6 ⎪⎪ ′ 150 = 25 y f = 0 ⎨Py = 10 ⇒ x f = 6 ⎪ ⎪⎩m = 150 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
Indeterminado EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS Indeterminado VARIAÇÃO NO EXCEDENTE Indeterminada VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA Indeterminada VARIAÇÃO EQUIVALENTE Indeterminada
g)
U = min {2 x , 5y} ; Px = 2 ; Py = 10 ; m = 72 ; Py ′ = 5
⎧Px = 2 ⎪ ⎨Py = 10 ⎪ ⎩m = 72
⇒
xi =
72 = 12 2 + 0,4 × 10
yi =
72 = 4,8 10 + 2,5 × 2
⎧Px = 2 ⎪⎪ ′ 72 72 = 18 y f = = 7,2 ⎨Py = 5 ⇒ x f = 2 0 , 4 5 + × 5 + 2 ,5 × 2 ⎪ ⎪⎩m = 72 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY m′ = P x + P ′ y = 2 × 12 + 5 × 4,8 = 48 x
⎧Px = 2 ⎪⎪ ′ ⎨Py = 5 ⎪ ′ m = 48 ⎩⎪
i
y
⇒
i
y′ =
48 = 4,8 5 + 2,5 × 2
ES = 4,8 − 4,8 = 0 ER = 7,2 − 4,8 = 2,4
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
40
m′′ = 15
⎧ ⎫ m′′ m′′ ⎪ ⎪ U i = min ⎨2 ,5 ⎬ ′ + P 2 , 5 P y x ⎪ ⎪⎩ Px + 0,4Py ⎭ ⎧Px = 2 ⎪⎪ ′ 48 = 4,8 ⎨Py = 5 ⇒ y ′ = 5 + 2,5 × 2 ⎪ ′ ⎪⎩m = 48 ES = 4,8 − 4,8 = 0 ER = 7,2 − 4,8 = 2,4
⇔
2 × 12 = 2 ×
m′′ 2 + 0,4 × 5
⇔
m′′ = 48
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 72 72 y= ⇔ Py = −5 Py + 5 y Py = 10 Py = 5
⇒ ⇒
y = 4,8 y = 7,2
⎞ ⎞ ⎛ 4,8 72 ⎛ 7,2 72 − 5 dy − 4,8 × 10 ⎟ = ΔXC = XC f − XC i = ⎜ ∫ − 5 dy − 7,2 × 5 ⎟ − ⎜ ∫ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎠ ⎠ ⎝ 0 y ⎝ 0 y = 72[ln y ]70,2 − [5y ]70,2 − 36 − 72[ln y ]04,8 + [5y ]04,8 + 48 = = 72(ln 7,2 − ln 4,8 ) − 5 (7,2 − 4,8 ) + 12 ≈ 29,2
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA VC = m′′ − m = 48 − 72 = −24 VARIAÇÃO EQUIVALENTE m′′′ m′′′ ⎪⎧ U f = min ⎨2 ,5 ⎪⎩ Px + 0,4Py Py + 2,5Px VE = m′′′ − m = 108 − 72 = 36
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
⇔
2 × 18 = 2 ×
m′′′ 2 + 0,4 × 10
h) U = min {3x , y} ; Px = 6 ; Py = 2 ; m = 48 ; Px ′ = 4 ⎧Px = 6 ⎪ ⎨Py = 2 ⎪ ⎩m = 48
⇒
xi =
48 =4 6 + 3×2
yi =
3 × 48 = 12 6 + 3×2
⎧P ′ = 4 ⎪⎪ x 48 3 × 48 = 4,8 y f = = 14,4 ⎨Py = 2 ⇒ x f = 4 + 3×2 4 + 3×2 ⎪ ⎪⎩m = 48 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY m′ = P ′ x + P y = 4 × 4 + 2 × 12 = 40 x
i
y
i
⎧P ′ = 4 ⎪⎪ x 40 ⇒ x′ = =4 ⎨Py = 2 4 + 3×2 ⎪ ′ ⎪⎩m = 40 ES = 4 − 4 = 0 ER = 4,8 − 4 = 0,8
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS ⎧ ⎫ m′′ 3m′′ ⎪ 3m′′ ⎪ U i = min ⎨3 , ⇔ ⎬ ⇔ 12 = ′ ′ 4 + 3×2 ⎪⎩ Px + 3Py Px + 3Py ⎪⎭
41
m′′ = 40
⇔
m′′′ = 108
⎧P ′ = 4 x 40 ⎪⎪ ⇒ x′ = =4 ⎨Py = 2 4 + 3×2 ⎪ ′ ⎪⎩m = 40 ES = 4 − 4 = 0 ER = 4,8 − 4 = 0,8
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 48 48 x= ⇔ Px = −6 Px + 6 x Px = 6
⇒
x=4
Px = 4
⇒
x = 4,8
⎞ ⎞ ⎛ 4 48 ⎛ 4,8 48 − 6 dx − 4 × 6 ⎟ = ΔXC = XC f − XC i = ⎜ ∫ − 6 dx − 4,8 × 4 ⎟ − ⎜ ∫ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎠ ⎠ ⎝0 x ⎝ 0 x
= 48[ln x ]04,8 − [6 x ]04,8 − 19,2 − 48[ln x ]04 + [6 x ]04 + 24 = = 48(ln 4,8 − ln 4 ) − 6 (4,8 − 4 ) + 4,8 ≈ 8,75
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA VC = m′′ − m = 40 − 48 = −8 VARIAÇÃO EQUIVALENTE m′′′ 3m′′′ ⎪⎧ U f = min ⎨3 , ⎪⎩ Px + 3Py Px + 3Py VE = m′′′ − m = 57,6 − 48 = 9,6
i)
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
⇔
3 × 4,8 = 3 ×
m′′′ 6 + 3×2
⇔
m′′′ = 57,6
U = min {2 x , y} ; Px = 4 ; Py = 2 ; m = 100 ; Px ′ = 5 ⎧Px = 4 ⎪ ⎨Py = 2 ⎪ ⎩m = 100
⇒
xi =
100 = 12,5 4 + 2×2
yi =
100 = 25 2 + 0,5 × 4
⎧P ′ = 5 x 100 100 100 200 ⎪⎪ yf = ⇒ xf = = = ⎨Py = 2 5+ 2×2 9 2 + 0,5 × 5 9 ⎪ ⎪⎩m = 100 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY m′ = P ′ x + P y = 5 × 12,5 + 2 × 25 = 112,5 x
i
⎧Px = 5 ⎪ ⎨Py = 2 ⎪ ′ ⎩m = 112,5
y
⇒
i
x′ =
112,5 = 12,5 5+ 2×2
ES = 12,5 − 12,5 = 0 ER = 100 9 − 12,5 = − 25 18
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS ⎧ ⎫ m′′ m′′ m′′ ⎪ ⎪ U i = min ⎨2 , ⎬ ⇔ 25 = ′ ′ 2 + 0,5 × 5 ⎪⎩ Px + 2Py Py + 0,5Px ⎪⎭ ⎧Px = 5 112,5 ⎪ ⇒ x′ = = 12,5 ⎨Py = 2 5+ 2×2 ⎪ ′ ⎩m = 112,5 ES = 12,5 − 12,5 = 0
42
⇔
m′′ = 112,5
ER = 100 9 − 12,5 = − 25 18
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 100 100 x= ⇔ Px = −4 Py + 4 x Px = 4
⇒
x = 12,5
Px = 5
⇒
x = 100 9
⎞ ⎛ 12,5 100 ⎛ 100 9 100 ⎞ 100 − 4 dx − 12,5 × 4 ⎟ = ΔXC = XC f − XC i = ⎜ ∫ − 4 dx − × 5⎟ − ⎜ ∫ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 9 ⎠ ⎠ ⎝ 0 x ⎝ 0 x = 100[ln x ]0
100 9
− [4 x ]0
100 9
,5 ,5 − 500 9 − 100[ln x ]12 + [4 x ]12 + 50 = 0 0
= 100(ln 100 9 − ln 12,5) − 4 (100 9 − 12,5) + 50 9 ≈
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA VC = m′′ − m = 112,5 − 100 = 12,5
VARIAÇÃO EQUIVALENTE ⎧⎪ ⎫⎪ m′′′ m′′′ U f = min ⎨2 , ⎬ ⎪⎩ Px + 2Py Py + 0,5Px ⎪⎭ 800 100 VE = m′′′ − m = − 100 = − 9 9 j)
⇔
200 m′′′ = 9 2 + 0,5 × 4
⇔
m′′′ =
800 9
⇔
m′′ ≈ 64,23
U = 4 x + ln y ; Px = 10 ; Py = 1 ; m = 62,5 ; Py ′ = 2 ⎧Px = 10 ⎪ ⎨Py = 1 ⎪ ⎩m = 62,5
⇒
xi =
62,5 − 0,25 × 10 =6 10
yi =
10 = 2,5 4 ×1
⎧Px = 10 ⎪⎪ ′ 62,5 − 0,25 × 10 10 ⇒ xf = = 6 yf = = 1,25 ⎨Py = 2 10 4 ×2 ⎪ ⎪⎩m = 62,5 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY m′ = P x + P ′ y = 10 × 6 + 2 × 2,5 = 65 x
i
y
i
⎧Px = 10 ⎪⎪ ′ 10 = 1,25 ⎨Py = 2 ⇒ y ′ = 4×2 ⎪ ′ ⎪⎩m = 65 ES = 1,25 − 2,5 = −1,25 ER = 1,25 − 1,25 = 0
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS m′′ − 2,5 10 Ui = 4 + ln ⇔ 4 × 6 + ln 2,5 = 0,4m′′ − 1 + ln 1,25 10 4×2 ⎧Px = 10 10 ⎪⎪ ′ ⇒ y′ = = 1,25 ⎨Py = 2 4×2 ⎪ ′′ m = 64,23 ⎩⎪ ES = 1,25 − 2,5 = −1,25 ER = 1,25 − 1,25 = 0
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 10 2,5 y= ⇔ Py = 4Py y
43
Py = 1 ⇒
y = 2,5
Py = 2
y = 1,25
⇒
⎞ ⎞ ⎛ 2,5 2,5 ⎛ 1,25 2,5 dy − 1,25 × 2 ⎟ − ⎜ ∫ dy − 2,5 × 1⎟ = 2,5[ln y ]10,25 − 2,5[ln y ]20,5 = ΔXC = XC f − XC i = ⎜ ∫ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎠ ⎠ ⎝0 y ⎝ 0 y = 2,5[(ln 1,25 − ln 0 ) − (ln 2,5 − ln 0 )] ≈ −1,73
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA VC = m′′ − m = 64,23 − 62,5 = 1,73
VARIAÇÃO EQUIVALENTE m′′ − 2,5 10 Uf = 4 + ln ⇔ 4 × 6 + ln 1,25 = 0,4m′′ − 1 + ln 2,5 10 4 ×1 VE = m′′′ − m = 60,77 − 62,5 = −1,73 k) U = y + 0,5x 2 ; Px = 6 ; Py = 2 ; m = 28 ; Px ′ = 4 ⎧Px = 6 ⎪ ⎨Py = 2 ⎪ ⎩m = 28
⇒
xi = 0
y i = 14
⎧P ′ = 4 ⎪⎪ x ⎨Py = 2 ⎪ m = 28 ⎩⎪
⇒
xf = 7
yf = 0
m′′ ≈ 60,77
⇔
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY m′ = P x + P ′ y = 4 × 0 + 2 × 14 = 28 x
i
y
i
⎧P ′ = 4 x ⎪⎪ ⇒ x′ = 7 ⎨Py = 2 ⎪ ′ ⎪⎩m = 28 ES = 7 − 0 = 7 ER = 7 − 7 = 0
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 2
⎛ m′′ ⎞ ⎛ m′′ ⎞ U i = o + 0,5 ⎜ ⇔ 14 + 0,5 × 0 2 = 0,5 ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎧P ′ = 4 ⎪⎪ x ⇒ x ′ ≈ 5,3 ⎨Py = 2 ⎪ ⎪⎩m′′ = 448 ES = 5,3 − 0 = 5,3 ER = 7 − 5,3 = 1,7
2
⇔
m′′ =
448
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE ⎧28 Px se Px ≤ 28 x=⎨ se Px ≥ 28 ⎩0 Px = 6
⇒
x=0
Px = 4
⇒
x=7 7
ΔXC = XC f − XC i = ∫
28
(
)
(
)
28 dx − 7 − 28 × 4 − 0 = 28[ln x ]7 − 7 − 28 × 4 ≈ 1 28 x
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA VC = m′′ − m = 448 − 28 = −6,83
44
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
l)
2 2 ⎛ m′′′ ⎞ ⎛ m′′′ ⎞ U f = 0 + 0,5 ⎜ ⇔ 0 + 0,5 × 7 2 = 0,5 ⎜ ⇔ ⎟ ⎟ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ VE = m′′′ − m = 42 − 28 = 14 U = 3x + 12 y 0,5 ; Px = 2 ; Py = 0,5 ; m = 100 ; Px ′ = 1
⎧Px = 2 ⎪ ⎨Py = 0,5 ⎪ ⎩m = 100
⇒
xi =
m′′′ = 42
2
100 − 4 × 2 2 0,5 = 34 2
⎛ 2 ⎞ y i = 4⎜⎜ ⎟⎟ = 64 ⎝ 0,5 ⎠
⎧P ′ = 1 2 ⎪⎪ x 100 − 4 × 12 0,5 ⎛ 1 ⎞ P 0 , 5 ⇒ x = = = = 92 y 4 ⎜ ⎟ ⎨ y i i ⎜ 0,5 ⎟ = 16 1 ⎝ ⎠ ⎪ ⎪⎩m = 100 EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY m′ = P ′ x + P y = 1 × 34 + 0,5 × 64 = 66 x
i
y
i
⎧P ′ = 1 x 66 − 4 × 12 0,5 ⎪⎪ = 58 ⎨Py = 0,5 ⇒ x i = 1 ⎪ ′ ⎪⎩m = 66 ES = 58 − 34 = 24 ER = 92 − 58 = 34
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS 0,5
⎡ ⎛ 1 ⎞2 ⎤ m′′ − 4 × 12 0,5 + 12 × ⎢4 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ Ui = 3 1 ⎢⎣ ⎝ 0,5 ⎠ ⎥⎦ ⎧P ′ = 1 ⎪⎪ x 58 − 4 × 12 0,5 P 0 , 5 x ⇒ = = 50 = ⎨ y i 1 ⎪ ′′ ⎪⎩m = 58 ES = 50 − 34 = 16 ER = 92 − 50 = 42 VARIAÇÃO NO EXCEDENTE 100 − 8Px2 x= Px Px = 2
(
⇔
− x + x 2 + 3200 Px = 16
⇔
⇒
x = 34
Px = 1 ⇒
x = 92 92
(
− x + x 2 + 3200 ΔXC = XC f − XC i = ∫ 16 34
)
0,5
3 × 34 + 12 × 64 0,5 = 3m′′ − 24 + 48
)
0,5
dx − (92 − 34 ) × 1 + 34 × (2 − 1) =
92 92 ⎞ 1 ⎛⎜ ⎡ x 2 ⎤ ⎡0,5x x 2 + 3200 + 1600 ln⎛ x + x 2 + 3200 ⎞⎤ ⎟ − 24 = + = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎥⎦ 34 ⎟⎟ 16 ⎜⎜ ⎢⎣ − 2 ⎥⎦ 34 ⎢⎣ ⎝ ⎠ ≈ 57,31 VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
VC = m′′ − m = 58 − 100 = −42
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
45
⇔
m′′ = 58
⎡ ⎛ 2 ⎞2 ⎤ m′′ − 4 × 22 0,5 Uf = 3 + 12 × ⎢4 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ 2 ⎢⎣ ⎝ 0,5 ⎠ ⎥⎦ VE = m′′′ − m = 184 − 100 = 84
0,5
⇔
3 × 92 + 12 × 16 0,5 = 1,5m′′ − 48 + 96
A.4.6. Comente as seguintes afirmações: a) A curva de Engel de um bem de Giffen é positivamente inclinada. Um bem de Giffen é necessariamente inferior. Um bem inferior é aquele cuja quantidade consumida varia inversamente com o rendimento. Logo, a curva que representa a relação entre quantidade consumida e rendimento, a curva de Engel, é negativamente inclinada. Portanto, a frase é falsa. b) A probabilidade de um bem ser inferior para um dado consumidor aumenta à medida que aumenta o seu nível de rendimento. Preferências quasi-lineares implicam que a procura de um dos bens não dependa do rendimento. Se não depende do rendimento, também não tem efeito rendimento. E se não tem efeito rendimento não pode ser inferior. Portanto, a frase é falsa. c) A curva consumo-preço de um bem normal nunca pode ser decrescente. A curva consumo-preço de um bem é o lugar geométrico dos cabazes de equilíbrio que resultam de variações no preço desse bem. Admitamos, sem perda de generalidade, que o bem em questão é o X e é normal. Se é normal, terá de ser ordinário. Um bem ordinário é aquele cuja quantidade consumida varia inversamente com o seu preço. Portanto, à medida que o preço de X baixa, a quantidade consumida vai estar cada vez mais à direita. Dizer que a curva consumo-preço não pode ser decrescente significa, neste contexto, que a quantidade consumida de Y ou não varia ou aumenta. Mas não há nada que garanta que assim seja. Logo, a frase é falsa. d) Para um orçamento inteiramente gasto em dois bens, um aumento no preço de um deles causará necessariamente um descréscimo no consumo de ambos, a não ser que pelo menos um dos bens seja inferior. Falso. Basta pensar em preferências Cobb-Douglas. Nenhum dos bens é inferior e, no entanto, quando o preço de um deles aumenta, o consumo do outro não se altera. Portanto, apenas um dos bens vê o seu consumo reduzido. e) Quando o efeito rendimento é superior ao efeito substituição mas de sentido contrário a este, estamos na presença de um bem de Giffen. A variação no consumo de um bem devida a uma alteração do respectivo preço pode ser desdobrada em dois efeitos, o substituição e o rendimento: Δx = Δ x s + Δ x n
⇔
x (p ′, m) − x (p, m) = [x (p ′, m′) − x (p, m)] + [x (p ′, m) − x (p ′, m′)]
O efeito substituição tem sempre sinal negativo. Se o efeito rendimento for positivo e de maior magnitude que o efeito substituição, o efeito total – que é a 46
⇔
m′′ = 184
soma dos dois – será positivo. Mas um efeito total positivo significa que a quantidade consumida varia positivamente com o preço. E isso é a definição de um bem de Giffen. A frase é, pois, verdadeira. f)
Um bem inferior é necessariamente um bem de Giffen. A frase é falsa. A variação no consumo de um bem devida a uma alteração do respectivo preço pode ser desdobrada em dois efeitos, o substituição e o rendimento: Δx = Δx s + Δx n
⇔
x (p ′, m) − x (p, m) = [x (p ′, m′) − x (p, m)] + [x (p ′, m) − x (p ′, m′)]
Um bem inferior é aquele cuja quantidade consumida varia inversamente com o rendimento. Para estes bens, o efeito rendimento é positivo. Ou seja, tem sinal oposto ao do efeito substituição. Obviamente, o sinal do efeito total dependerá da magnitude dos dois efeitos referidos, podendo o bem ser de ordinário ou de Giffen. g) Se um bem é normal para qualquer nível de rendimento, então a curva de Engel é negativamente inclinada. Um bem normal é aquele cuja quantidade consumida varia positivamente com o rendimento. Logo, a curva que representa a relação entre quantidade consumida e rendimento, a curva de Engel, é positivamente inclinada. Portanto, a frase é verdadeira. h) A variação compensatória é, em termos absolutos, sempre superior à variação equivalente. Embora geralmente a variação compensatória seja, em termos absolutos, superior à variação equivalente, tal não sucede, por exemplo, com as preferências quasilineares, caso em que as duas medidas têm sempre o mesmo valor absoluto. Logo, a frase é falsa.
47
A.5.
PROCURA DE MERCADO
A.5.1. Determine a função procura do mercado do bem X dadas as seguintes funções procura individuais: x i = 10 − 0,1p
i = 1,K ,10
p = 30 − 2 x j
j = 1, K ,5
x t = 25 − 3,06 p
t = 1, K ,25
x i = 10 − 0,1p p = 30 − 2 x j
→ ⇔
x t = 25 − 3,06 p
⎧ 25
X=
X=
X=
X=
5
xi = 0
⇔
p = 100
x j = 15 − 0,5 p →
xt = 0
⇔
→
xj = 0
⇔
p = 30
P = 25 3,06 ≈ 8,17
10
⎪∑ x t + ∑ x j + ∑ x i se 0 ≤ p ≤ 25 3,06 j=1 i=1 ⎪t =1 ⎪⎪ 5 10 ⇔ ⎨∑ x j + ∑ x i se 25 3,06 < p ≤ 30 i=1 ⎪ j=1 ⎪ 10 ⎪∑ x i se 30 < p ≤ 100 ⎪⎩ i=1 ⎧25 (25 − 3,06 p ) + 5 (15 − 0,5 p ) + 10 (10 − 0,1p ) se 0 ≤ p ≤ 25 3,06 ⎪ ⎨5 (15 − 0,5 p ) + 10 (10 − 0,1p ) se 25 3,06 < p ≤ 30 ⎪10 (10 − 0,1p ) se 30 < p ≤ 100 ⎩ ⎧(625 − 76,5 p ) + (75 − 2,5 ) + (100 − p ) se 0 ≤ p ≤ 25 3,06 ⎪ ⇔ ⎨(75 − 2,5 p ) + (100 − p ) se 25 3,06 < p ≤ 30 ⎪100 − p se 30 < p ≤ 100 ⎩ ⎧800 − 80 p se 0 ≤ p ≤ 25 3,06 ⎪ ⎨175 − 3,5 p se 25 3,06 < p ≤ 30 ⎪100 − p se 30 < p ≤ 100 ⎩
⇔
A.5.2. O Pedro e o Carlos são irmãos com preferências musicais idênticas. A procura individual de CDs pode ser expressa pela função p = 15 − x i . a) Determine a função procura agregada dos dois. p = 15 − x i ⇔ x i = 15 − p
X = ∑ x i = 2 (15 − p ) = 30 − 2p Suponha que cada CD custa 3 u.m.
b) Calcule a elasticidade-preço da procura individual p dx i p p ε= = × (− 1) = x i dp 15 − p 15 − p p = 3 ⇒ ε = 0,25 c) Calcule a elasticidade-preço da procura agregada p dX p p ε= = × (− 2 ) = X dp 30 − 2p 15 − p p=3
⇒
ε = 0,25
48
d) Compare e analise os resultados obtidos nas alíneas b) e c). A elasticidade-preço da procura individual é a mesma da procura agregada.
A.5.3. Considere a seguinte função procura linear: y = 10 − 2p . a) Represente a função e indique em que zonas a procura é elástica, rígida e unitária. p 6 5
elástica
4
rígida unitária
3 2 1 0 0
ε =1
1
2
3
4
p dy =1 ⇔ y dp
⇔
5
6
7
8
9
p × (− 2 ) = 1 10 − 2p
10
⇔
11 y
2p =1 10 − 2p
⇔
p = 2,5
p > 2,5 ⇒ ε > 1 P < 2,5 ⇒ ε < 1 b) Identifique o ponto da recta que corresponde ao máximo da despesa total. DT = p × y = p (10 − 2p ) = −2p 2 + 10 max DT
⇒
∂DT ∂p = 0
⇔
10 − 4p = 0
⇔
p = 2,5
A.5.4. Seja a função de utilidade U = x 0,25 y 0,25 . Para a compra de X e Y, o consumidor individual dispõe de um nível de rendimento M. Calcule: a) A elasticidade procura-preço do bem X. ⎛ 0,5m ⎞ ⎛ 0,5m ⎞ P dx Px P2 ε xx = x = × ⎜ − 2 ⎟ = x × ⎜ − 2 ⎟ = −1 ⎟ ⎜ x dPx 0,5m Px ⎝ Px ⎠ 0,5m ⎜⎝ Px ⎟⎠ b) A elasticidade procura-preço do bem Y. ⎛ 0,5m ⎞ ⎛ 0,5m ⎞ Py dy Py Py2 ⎟ ⎜ = × ⎜ − 2 ⎟ = −1 ε yy = = × − 2 y dPy 0,5m Py ⎜ Py ⎟ 0,5m ⎜ Py ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ c) A elasticidade procura-preço cruzada do bem X em relação ao bem Y. Py dx Py ε xy = = ×0 = 0 x dPy 0,5m Px d) A elasticidade procura-preço cruzada do bem Y em relação ao bem X. P dy Px ε yx = x = ×0 = 0 y dPx 0,5m Py e) A elasticidade procura-rendimento do bem X. m dx m 0,5 ηx = = × =1 x dm 0,5m Px Px f) A elasticidade procura-rendimento do bem Y.
49
ηy =
m dy m 0,5 = × =1 y dm 0,5m Py Py
g) Verifique que ε xx + ε xy + η x = 0 , onde ε xx , ε xy e respectivamente,
a
elasticidade
procura-preço
directa
η x representam,
do
bem
X,
a
elasticidade procura-preço cruzada entre o bem X e o bem Y e a elasticidade procura-rendimento do bem X. ε xx + ε xy + η X = −1 + 0 + 1 = 0
50
B. TEORIA DO PRODUTOR B.1.
TECNOLOGIA
B.1.1. Defina os seguintes conceitos: a) Factor produtivo b) Produtividade média Produto total por unidade de factor. c) Produtividade marginal Acréscimo do produto total por unidade adicional do factor, mantendo-se o outro constante. d) Lei dos rendimentos marginais decrescentes Lei segundo a qual se aumentarmos a quantidade de um dos factores produtivos, mantendo fixas as quantidades dos restantes, os resultantes acréscimos do produto são cada vez menores, podendo atingir-se uma região de acréscimos do produto negativos. e) Rendimentos crescentes à escala Tecnologia em que o acréscimo de x% na utilização de todos os factores produtivos permite obter um acréscimo do produto superior a x%. f)
Rendimentos constantes à escala Tecnologia em que o acréscimo de x% na utilização de todos os factores produtivos permite obter um acréscimo do produto igual a x%.
g) Rendimentos decrescentes à escala Tecnologia em que o acréscimo de x% na utilização de todos os factores produtivos permite obter um acréscimo do produto inferior a x%.
B.1.2. Determinada empresa tem a seguinte função de produção: Q = L2K − L3 , em que K e L são factores de produção e Q é a quantidade produzida. A empresa encontrase a produzir na dimensão K = 18 . a) Determine a expressão analítica do produto total, produtividade média e produtividade marginal do factor L. Produto total: Q = 18L2 − L3 Q = 18L − L2 Produtividade média: L ∂Q Produtividade marginal: = 36L − 3L2 ∂L
51
b) Represente
graficamente
as
funções
mencionadas,
acompanhadas
do
respectivo estudo, e explicando os zeros e andamento de tais funções. 1000 800 600 PT
400
PMe PMg
200 0 -200
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
L
-400
A função produto total apresenta dois zeros, para L = 0 e L = 18 . É crescente até L = 12 ; neste ponto tem um máximo e a partir daí é decrescente.
Os zeros da produtividade média são também os da função produto total ( L = 0 e L = 18 ). A função é crescente até L = 12 ; neste ponto tem um máximo e a partir
daí é decrescente. A produtividade marginal apresenta dois zeros, para L = 0 e L = 12 . É crescente até L = 6 ; neste ponto tem um máximo e a partir daí é decrescente. c) Faça a leitura geométrica da produtividade média e produtividade marginal do factor L a partir do gráfico da produção total. Os zeros da produtividade média são os mesmos do produto total. Ou seja, produto total e produtividade média têm o mesmo sinal. O primeiro zero da produtividade marginal coincide com o primeiro zero do produto total; o segundo ocorre no ponto em que o produto total é máximo. Portanto, a produtividade marginal é positiva enquanto o produto total for crescente. d) Estabeleça as relações entre as funções produto total, produtividade média e produtividade marginal do factor L. Os zeros do produto total e da produtividade média coincidem. O andamento da função produto total é dado pelo comportamento da sua derivada, que corresponde à produtividade marginal. Assim, a função produto total tem um máximo quando a produtividade marginal é zero. À esquerda desse ponto, a produtividade marginal é positiva, logo a função produto total é crescente; à sua direita, a produtividade marginal é negativa, pelo que a função produto total é decrescente. O máximo da produtividade média ocorre no ponto em que a curva desta intersecta a curva da produtividade marginal. À esquerda deste ponto, a 52
produtividade marginal é superior à produtividade média, logo esta é crescente; à direita, a produtividade marginal é inferior à produtividade média, portanto esta é decrescente. e) A partir de que nível de utilização do factor L se começa a verificar a lei dos rendimentos marginais decrescentes? Justifique. A partir de L = 6 , o aumento da quantidade de trabalho resulta em acréscimos do produto cada vez menores. O que corresponde ao estabelecido pela lei dos rendimentos marginais decrescentes. f)
Qual o volume de produção para o qual é máxima a produtividade média do factor fixo? Pme K = Q K . Como K está fixo, a sua produtividade média será máxima quando o
produto total for máximo, o que ocorre para L = 12 .
B.1.3. Uma função de produção Cobb-Douglas é dada por f (x, y ) = A x α y β . O tipo de rendimentos à escala desta função vai depender dos valores de α+β. Relacione-os com os diferentes tipos de rendimentos à escala.
(
)
f (tx, ty ) = A (tx )α (ty )β = At α x α t β y β = t α +β Ax α y β = t α +β f (x, y )
Se α + β < 1 tem-se rendimentos decrescentes à escala (DRS). Se α + β = 1 tem-se rendimentos constantes à escala (CRS). Se α + β > 1 tem-se rendimentos crescentes à escala (IRS).
B.1.4. Considere a expressão genérica da função de produção do tipo Cobb-Douglas com dois factores, trabalho (L) e capital (K): y = ALα K β . a) Determine
as
expressões
algébricas
da
produtividade
média
e
da
produtividade marginal de ambos os factores. Pme L = y L = ALα −1K β
Pmg L = ∂y ∂L = αALα −1K β Pme K = y K = ALα K β −1 Pmg K = ∂y ∂K = β ALα K β −1
b) Verifique se se trata de uma função homogénea. Quais as condições que se têm de verificar para que o processo de produção que ela traduz admita rendimentos constantes, decrescentes ou crescentes à escala?
(
)
y (tL, tK ) = A (tL )α (tK )β = t α +β ALα K β = t α +β y (L, K )
→ fç homogénea de grau α+β
α + β < 1 → função homogénea de grau inferior a 1 → DRS α + β = 1 → função homogénea de garu 1 → CRS α + β > 1 → função homogénea de grau superior a 1 → IRS
53
B.1.5. Caracterize as seguintes funções de produção quanto a rendimentos à escala e produtividades marginais: a)
y = 4K 0,5L0,5 y (tK, tL ) = 4 (tK )0,5 (tL )0,5 = t y (K, L ) 0,5
Pmg K = ∂y ∂K = 0,5 × 4L K
−0,5
→ CRS
= 2(L K )0,5
Pmg L = ∂y ∂L = 0,5 × 4L−0,5 K 0,5 = 2(K L )0,5 Ambas as produtividades marginais são positivas e obedecem à LRMD.
b)
y = αK 2 + β L2
y (tK, tL ) = α(tK )2 + β(tL )2 = t 2 y Pmg K = ∂y ∂K = 2αK Pmg L = ∂y ∂L = 2βL
→ IRS
Ambas as produtividades marginais não obedecem à LRMD. O seu sinal depende dos parâmetros α e β. c)
y = min {aK, bL} y (tK, tL ) = min {atK, btL} = ty → CRS Pmg K = 0 Pmg L = 0 Ambas as produtividades marginais são nulas, não obedecendo à LRMD.
d)
y = 4K + 2L y (tK, tL ) = 4 tK + 2tL = ty → CRS Pmg K = ∂y ∂K = 4 Pmg L = ∂y ∂L = 2 Ambas as produtividades marginais são positivas e não obedecem à LRMD.
e)
y = K 0,5L0,6
y (tK, tL ) = (tK )0,5 (tL )0,6 = t 1,1y (K, L )
→ IRS
Pmg K = ∂y ∂K = 0,5L0,6 K −0,5 = 0,5(L K )0,5 L0,1 Pmg L = ∂y ∂L = 0,6L−0,4 K 0,5 = 0,6(K L )0,4 K 0,1 Ambas as produtividades marginais são positivas e obedecem à LRMD.
B.1.6. Comente as seguintes afirmações: a) Desde que seja usado um só factor na produção de um bem e que a tecnologia apresente rendimentos decrescentes à escala, a produtividade marginal do factor é decrescente. Consideremos a seguinte função de produção Q = f (L ) . O Teorema de Euler estabelece que se y = f (x 1, x 2 ,K, x n ) é uma função homogénea de grau α , então
n
∂y
∑ x i ∂x i=1
= α y . No caso da função de produção
i
∂Q = αQ . Como a tecnologia é DRS, 0 < α < 1 pelo que ∂L ∂Q ∂Q Q L < Q . Dividindo tudo por L fica < ou seja Pmg L < Pme L . ∂L ∂L L
considerada vem L
54
Mas se Pmg L < Pme L , então a produtividade marginal é decrescente. Portanto, a frase é verdadeira. b) Se a tecnologia apresenta rendimentos constantes à escala então duplicar a quantidade usada de um factor de produção duplica a quantidade produzida. Falso, como se comprova pelo seguinte contra-exemplo. Q = K 0,5 L0,5 é uma função de produção que exibe CRS. Se K = 4 e L = 9 , então Q = 6 . Duplicando apenas a quantidade de K, vem Q ≈ 8,485 que não é, obviamente, o dobro da quantidade produzida inicial. c) Se a tecnologia apresenta rendimentos decrescentes à escala, então ao duplicar a produção, passamos para uma isoquanta inferior. Falso. As isoquantas são lugar geométrico das várias combinações de factores que permitem produzir uma mesma quantidade. Se a tecnologia é DRS, para se duplicar a produção, ter-se-á de mais que duplicar as quantidades utilizadas de factores. Se se está a aumentar as quantidades de factores, então está-se numa isoquanta superior. d) Se a tecnologia exibir rendimentos constantes à escala, então a produtividade marginal dos factores é constante. Falso. Basta tomar como contra-exemplo a alínea a) do exercício B.1.5.
55
B.2.
MINIMIZAÇÃO DE CUSTOS
B.2.1. Defina os seguintes conceitos: a) Custo fixo Custo que não varia com o nível de produção e que a empresa tem de suportar ainda que nada produza. b) Custo variável Custo que varia com o nível de produção c) Custo total Soma dos custos variáveis e custos fixos. d) Custo fixo médio Custo fixo por unidade produzida. e) Custo variável médio Custo variável por unidade produzida. f)
Custo total médio Custo total por unidade produzida.
g) Custo marginal Acréscimo no custo total por produzir mais uma unidade.
B.2.2. Explique porque é que a curva de custo marginal intersecta as curvas de custo total médio e custo variável médio nos respectivos pontos mínimos.
Admita-se que se está a produzir numa zona em que o custo médio é decrescente. Então, nesta zona, o custo marginal tem de ser inferior ao custo médio: a única forma de baixar uma média é adicionando-lhe números que lhe são inferiores. Analogamente, se o custo médio é crescente, o custo marginal tem de lhe ser superior. Sabe-se, então, que a curva do custo marginal fica abaixo da do custo médio à esquerda do mínimo desta; e acima à direita. O que implica que no ponto mínimo as duas curvas se intersectam. Este mesmo argumento se aplica ao caso da curva do custo variável médio.
B.2.3. Os custos de uma empresa são mostrados parcialmente na tabela abaixo. Complete os espaços que estão em branco. Q 0 1 2 3
CT 24 40 74 108
CF 24 24 24 24
CV 0 16 50 84
CTMe – 40 37 36
56
CFMe – 24 12 8
CVMe – 16 25 28
CMg – 16 34 34
4 5 6
160 220 282
24 24 24
136 196 258
40 44 47
6 4,8 4
34 39,2 43
52 60 62
B.2.4. Para cada uma das situações seguintes, determine as estruturas de custos de curto e longo prazo.
a)
Q = K 0,5L0,5 ; r = 1 ; w = 4 ; K = 2
CURTO PRAZO K=2
Q = 2 0,5 L0,5
⇒
CT = wL + rK
⇔
Q 2 = 2L
CT = 4 × 0,5Q 2 + 1 × 2
⇔
L = 0,5Q 2
⇔
CT = 2Q 2 + 2
⇔
CV = 2Q 2 CF = 2 CT 2Q 2 + 2 2 CTme = = = 2Q + Q Q Q CV 2Q 2 = = 2Q Q Q CF 2 CFme = = Q Q Cmg = ∂CT ∂Q = 4Q CVme =
LONGO PRAZO ⎧⎪min CT = 4L + K L,K ⎨ ⎪⎩s.a. K 0,5 L0,5 = Q ⎧∂Γ ∂L = 0 ⎪ ⎨∂Γ ∂K = 0 ⎪∂Γ ∂λ = 0 ⎩
⇔
→
⎧4 − λ 0,5 K 0,5 L−0,5 = 0 ⎪⎪ − 0,5 0,5 L =0 ⎨1 − λ 0,5 K ⎪ 0,5 0,5 ⎪⎩Q − K L = 0
⎧ λ 0,5 K 0,5 L−0,5 4 = ⎪ − 0,5 0,5 1 L ⎨ λ 0,5 K ⎪ 0,5 0,5 ⎩K L = Q ⎧K = 4L ⎨ ⎩2L = Q
⇔
(
Γ = 4L + K + λ Q − K 0,5 L0,5
⇔
⎧K ⎪ =4 ⎨L ⎪K 0,5 L0,5 = Q ⎩
⎧K = 4L ⎨ ⎩L = 0,5Q
CT = CV = wL + rK
⇔
⇔
)
⇔
⎧λ0,5 K 0,5 L−0,5 = 4 ⎪⎪ − 0,5 0,5 L =1 ⎨λ0,5 K ⎪ 0,5 0,5 ⎪⎩K L = Q
⇔
⇔
⎧⎪K = 4L ⎨ 0,5 0,5 ⎪⎩K L = Q
⎧⎪K = 4L ⎨ ⎪⎩(4L )0,5 L0,5 = Q
⇔
⎧K = 2Q ⎨ ⎩L = 0,5Q
CT = CV = 4 × 0,5Q + 1 × 2Q
⇔
CT = CV = 4Q
CTme = CVme = 4Q Q = 4 Cmg = ∂CT ∂Q = 4
b)
Q = K 0,3L0,2 ; r = 5 ; w = 5 ; K = 4 CURTO PRAZO K=4
⇒
Q = 4 0,3 L0,2
CT = wL + rK
⇔
⇔
Q 5 = 4 1,5 L
CT = 5 × 4 −1,5 Q 5 + 5 × 4
⇔ ⇔
CV = 5 × 4 −1,5 Q 5 CF = 20 CT 5 × 4 −1,5 Q 5 + 20 20 CTme = = = 5 × 4 −1,5 Q 4 + Q Q Q
57
L = 4 −1,5 Q 5 CT = 5 × 4 −1,5 Q 5 + 20
⇔
CV 5 × 4 −1,5 Q 5 = = 5 × 4 −1,5 Q 4 Q Q CF 20 CFme = = Q Q CVme =
Cmg = ∂CT ∂Q = 25 × 4 −1,5 Q 4
LONGO PRAZO ⎧⎪min CT = 5L + 5K L,K ⎨ ⎪⎩s.a. K 0,3 L0,2 = Q ⎧∂Γ ∂L = 0 ⎪ ⎨∂Γ ∂K = 0 ⎪∂Γ ∂λ = 0 ⎩
→
(
Γ = 5L + 5K + λ Q − K 0,3 L0,2
⎧5 − λ0,2 K 0,3 L−0,8 = 0 ⎪⎪ − 0,7 0,2 L =0 ⎨5 − λ0,3 K ⎪ 0,3 0,2 ⎪⎩Q − K L = 0
⇔
⎧ λ 0,2 K 0,3 L−0,8 5 = ⎪ − 0,7 0,2 5 L ⎨ λ 0,3 K ⎪ 0,3 0,2 ⎩K L = Q
⇔
⎧⎪K = 1,5L ⎨ 0,3 0,5 ⎪⎩1,5 L = Q
⎧⎪K = 1,5L ⎨ 0,6 ⎪⎩1,5 L = Q 2
⇔
CT = CV = wL + rK
⇔
(
CT = CV = 1,5 −0,6 + 1,5
( Cmg = ∂CT ∂Q = (1,5
0,4
⎧ 2K =1 ⎪ ⎨ 3L ⎪K 0,3 L0,2 = Q ⎩
c)
⇔
⎧λ0,2 K 0,3 L−0,8 = 5 ⎪⎪ − 0,7 0,2 L =5 ⎨λ0,3 K ⎪ 0,3 0,2 ⎪⎩K L = Q
⇔
⇔
⎧⎪K = 1,5L ⎨ 0,3 0,2 ⎪⎩K L = Q
⎧⎪K = 1,5L ⎨ ⎪⎩(1,5L )0,3 L0,2 = Q
⇔
⎧⎪K = 1,5 0,4 Q 2 ⎨ ⎪⎩L = 1,5 − 0,6 Q 2
CT = CV = 5 × 1,5 −0,6 Q 2 + 5 × 1,5 0,4 Q 2
)5Q
CTme = CVme = 1,5 −0,6 + 1,5 −0,6
⇔
)
+ 1,5
⇔
2 0,4
0,4
)5Q Q = (1,5 )10Q 2
−0,6
+ 1,5
0,4
)5Q
Q = 4K + 2L ; r = 5 ; w = 4 ; K = 2
CURTO PRAZO K=2
⇒
Q = 4 × 2 + 2L
CT = wL + rK
⇔
⇔
L = 0,5Q − 4
CT = 4 (0,5Q − 4 ) + 5 × 2
⇔
CT = 2Q − 16 + 10
CV = 2Q − 16 CF = 10 6 CT 2Q − 6 CTme = = =2− Q Q Q 16 CV 2Q − 16 CVme = = =2− Q Q Q CF 10 CFme = = Q Q Cmg = ∂CT ∂Q = 2
LONGO PRAZO TMSTK,L = 0,5 < w r = 0,8 CT = CV = wL + rK
⇔
⇒
L=0
Q = 4K
⇔
K = 0,25Q
CT = CV = 4 × 0 + 5 × 0,25Q
⇔
CT = CV = 1,25Q
CTme = CVme = 1,25Q Q = 1,25 Cmg = ∂CT ∂Q = 1,25
d)
Q = K + 3L ; r = 2 ; w = 1,5 ; K = 6
CURTO PRAZO 58
⇔
⇔
K=6
⇒
Q = 6 + 3L
CT = wL + rK
⇔
L = 1 3Q − 2
CT = 1,5 (1 3 Q − 4 ) + 2 × 6
⇔
CV = 0,5Q − 6 CF = 12 CT 0,5Q + 6 CTme = = = 0,5 + Q Q CV 0,5Q − 6 CVme = = = 0,5 − Q Q CF 12 CFme = = Q Q Cmg = ∂CT ∂Q = 0,5
⇔
CT = 0,5Q − 6 + 12
6 Q 6 Q
LONGO PRAZO TMSTK,L = 3 > w r = 0,75 CT = CV = wL + rK
⇔
⇒
K=0
⇔
Q = 3L
CT = CV = 1,5 × 1 3 Q + 2 × 0
⇔
L = 1 3Q
⇔
CT = CV = 0,5Q
CTme = CVme = 0,5Q Q = 0,5 Cmg = ∂CT ∂Q = 0,5
e)
Q = min {2K , 3L} ; r = 8 ; w = 12 ; K = 9
CURTO PRAZO 2K = 3L ∧ K = 9 CT = wL + rK
⇔ ⇔
18 = 3L
⇔
L=6
CT = 12 × 6 + 8 × 9
⇔
CT = 144 = CF
CV = 0 CTme = CFme =
144 Q
CVme = 0 LONGO PRAZO 2K = 3L = Q
⇔
CT = CV = wL + rK
K = 0,5Q ∧ L = 1 3 Q
⇔
CT = CV = 12 × 1 3 Q + 8 × 0,5Q
⇔
CT = CV = 8Q
CTme = CVme = 8Q Q = 8 Cmg = ∂CT ∂Q = 8
B.2.5. Considere a seguinte função de produção Q = 10KL . a) Encontre as quantidades óptimas dos factores produtivos L e K necessários à produção de 1024 unidades de produto, tendo em conta que a empresa os adquire às taxas de 2 u.m. e 5 u.m., respectivamente. ⎧⎪min CT = 2L + 5K L,K ⎨ ⎪⎩s.a. 10KL = 1024
→
Γ = 2L + 5K + λ(1024 − 10KL )
59
⎧∂Γ ∂L = 0 ⎧2 − 10λK = 0 ⎪ ⎪ ⇔ ⎨∂Γ ∂K = 0 ⇔ ⎨5 − 10λL = 0 ⎪∂Γ ∂λ = 0 ⎪1024 − 10KL = 0 ⎩ ⎩ ⎧K 2 ⎧K = 0,4L ⎪ = ⇔ ⎨ ⎨L 5 ⎩10 × 0,4L × L = 1024 ⎪⎩10KL = 1024
⎧10 λK = 2 ⎪ ⎨10 λL = 5 ⎪10KL = 1024 ⎩ ⇔
⎧K = 0,4L ⎨ ⎩L = 16
⇔
⇔
⎧10 λK 2 = ⎪ ⎨ 10λL 5 ⎪⎩10KL = 1024 ⎧K = 6,4 ⎨ ⎩L = 16
b) Determine o custo por unidade de produto. Cme =
CT 2 × 16 + 5 × 6,4 = = 0,0625 Q 1024
c) Suponha que a empresa introduz uma série de inovações de forma que a função de produção se altera para Q = 15KL . Se a empresa pretender manter o mesmo nível de produção, terá de alterar as quantidades dos factores produtivos? Se sim, para quanto? ⎧⎪min CT = 2L + 5K L,K ⎨ ⎪⎩s.a. 15KL = 1024
→
Γ = 2L + 5K + λ(1024 − 15KL )
⎧∂Γ ∂L = 0 ⎧2 − 15λK = 0 ⎪ ⎪ ⇔ ⎨∂Γ ∂K = 0 ⇔ ⎨5 − 15λL = 0 ⎪∂Γ ∂λ = 0 ⎪1024 − 15KL = 0 ⎩ ⎩ ⎧K 2 ⎧K = 0,4L ⎪ = ⇔ ⎨ ⎨L 5 ⎩15 × 0,4L × L = 1024 ⎪⎩15KL = 1024
⎧15λK = 2 ⎪ ⎨15λL = 5 ⎪15KL = 1024 ⎩ ⇔
⎧K = 0,4L ⎨ ⎩L ≈ 13,1
⇔
⇔
⎧15λK 2 = ⎪ ⎨ 15λL 5 ⎪⎩15KL = 1024 ⎧K = 5,24 ⎨ ⎩L = 13,1
d) Verifique se o custo unitário é afectado. Cme =
CT 2 × 13,1 + 5 × 5,24 = ≈ 0,05 Q 1024
B.2.6. Considere a seguinte função de produção Q = 10K 0,5L05 . a) Apresente a expressão das isoquantas que se podem obter a partir desta função de produção. Qual seria o aspecto deste mapa de isoquantas? Justifique. 10K 0,5L0,5 = Q ⇔ 100KL = Q 2 ⇔ K = 0,01Q 2 L−1 Estas isoquantas serão convexas e negativamente inclinadas.
b) Deduza a expressão geral da taxa marginal de substituição técnica relativa às isoquantas deste mapa. TMSTK,L =
Pmg L 0,5 × 10K 0,5 L−0,5 K = = − 0 , 5 0 , 5 Pmg K 0,5 × 10K L L
c) Sabendo que r = 1 e w = 4 , calcule o máximo produto que se pode obter com um custo de 32 u.m. Qual o valor da taxa marginal de substituição nesse ponto?
60
⎧⎪max Q = 10K 0,5 L0,5 ⎨ L,K ⎪⎩s.a. 4L + K = 32 ⎧∂Γ ∂L = 0 ⎪ ⎨∂Γ ∂K = 0 ⎪∂Γ ∂λ = 0 ⎩
⇔
→
Γ = 10K 0,5L0,5 + λ(32 − 4L − K )
⎧5K 0,5 L−0,5 − 4 λ = 0 ⎪⎪ − 0,5 0,5 L −λ = 0 ⎨5K ⎪32 − 4L − K = 0 ⎪⎩
⇔
⎧5K 0,5 L−0,5 = 4 λ ⎪⎪ −0,5 0,5 L =λ ⎨5K ⎪4L + K = 32 ⎪⎩
⇔
⎧ 5K 0,5 L− 0,5 4λ ⎪ − 0,5 0,5 = λ ⎨ 5K L ⎪4L + K = 32 ⎩
⎧K ⎧K = 4L ⎧K = 4L ⎧K = 16 ⎪ =4 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎨L ⎩4L + K = 32 ⎩4L + 4L = 32 ⎩L = 4 ⎪⎩4L + K = 32 (L,K ) = (4;16 ) ⇒ Q = 10 × 16 0,5 × 4 0,5 = 80 16 TMSTK,L = =4 (4;16 ) 4 d) Se os preços se mantiverem constantes, qual a combinação de factores que
minimizará o custo para uma produção de 80? Qual é o custo nesse ponto? ⎧⎪min CT = 4L + K L,K → Γ = 4L + K + λ 80 − 10K 0,5 L0,5 ⎨ 0,5 0,5 ⎪⎩s.a. 10K L = 80 ⎧4 − λ5K 0,5 L−0,5 = 0 ⎧λ5K 0,5 L−0,5 = 4 ⎧ λ5K 0,5L− 0,5 ⎧∂Γ ∂L = 0 4 ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 0,5 0,5 − 0,5 0,5 − 0,5 0,5 ∂ Γ ∂ = K 0 ⇔ − λ = ⇔ λ = ⇔ 1 5 K L 0 5 K L 1 1 λ 5 K L ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎪∂Γ ∂λ = 0 ⎪ ⎪ ⎪10K 0,5L0,5 = 80 0,5 0,5 0,5 0,5 ⎩ ⎩ ⎪⎩80 − 10K L = 0 ⎪⎩10K L = 80 ⎧K ⎧⎪K = 4L ⎧K = 4L ⎧K = 16 ⎪ =4 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎨L 0,5 0,5 20 L 80 = ⎪⎩10(4L ) L = 80 ⎩ ⎩L = 4 ⎪10K 0,5 L0,5 = 80 ⎩
(
(L, K ) = (4;16 )
⇒
CT = 1 × 16 + 4 × 4 = 32
61
)
C. MERCADOS C.1.
CONCORRÊNCIA PERFEITA
1
2
C.1.1. Q = 5K 3 L 3 é a função de produção de certa empresa. a) Suponha que os preços dos factores são r = 2 e w = 4 e que a empresa opera num mercado concorrencial. Calcule a oferta individual da empresa. Comente o resultado. ⎧min CT = 4L + 2K ⎪ L,K ⎨ 1 2 ⎪⎩s.a. Q = 5K 3 L 3
→
1 2 Γ = 4L + 2K + λ⎛⎜ Q − 5K 3 L 3 ⎞⎟ ⎝ ⎠
⎧∂Γ ∂L = 0 ⎪ ⎨∂Γ ∂K = 0 ⎪∂Γ ∂λ = 0 ⎩
⇔
⎧4 − 10 3 λK 31 L− 31 = 0 ⎪ −2 2 ⎪ ⎨2 − 5 3 λK 3 L 3 = 0 ⎪ 1 2 ⎪Q − 5K 3 L 3 = 0 ⎩
⎧ 2K ⎪L =2 ⎨ ⎪5K 31 L 23 = Q ⎩
⇔
⎧⎪K = L ⎨ 1 2 ⎪⎩5L 3 L 3 = Q
CT = 4L + 2K
⇔
P = Cmg
P = 1,2
⇔
⇔
⎧10 3 λK 31 L− 31 = 4 ⎪ −2 2 ⎪ ⎨5 3 λK 3 L 3 = 2 ⎪ 1 2 ⎪5K 3 L 3 = Q ⎩
⇔
⎧10 3 λK 31 L− 31 4 ⎪ = ⎪ − 23 23 2 ⎨ 5 3 λK L ⎪ 1 2 ⎪⎩5K 3 L 3 = Q
⎧K = 0,2Q ⎨ ⎩L = 0,2Q
CT = 4 × 0,2Q + 2 × 0,2Q
⇔
CT = 1,2Q
⇒
Cmg = 1,2
⎧[0, ∞ ] se p ≥ 1,2 q=⎨ se p < 1,2 ⎩0 Esta empresa exibe rendimentos constantes à escala, pelo que a sua curva da ⇔
⇒
oferta coincidirá com a sua curva de custo médio de longo prazo, sendo uma linha recta. Ou seja, a empresa está disposta a oferecer qualquer quantidade quando p = C min e não oferece nada para preços abaixo deste.
b) Se nesta indústria existirem mais 90 empresas tecnologicamente idênticas, qual será a oferta agregada?
⎧[0, ∞ ] se p ≥ 1,2 Q =⎨ se p < 1,2 ⎩0
c) Sabendo que a procura é dada por Q = 100 − P , calcule o equilíbrio de mercado. P = 1,2
⇒
Q = 100 − 1,2 = 98,8
C.1.2. Certa empresa em concorrência perfeita tem uma função custo total dada por CT = 0,2Q 2 − 5Q + 30 . Se o preço for de 6: a) Que quantidade deverá a empresa vender? P = Cmg ⇔ 6 = 0,4Q − 5 ⇔ Q = 27,5 b) Que lucro obtém a empresa a esse preço? 62
(
)
π = RT − CT = 6 × 27,5 − 0,2 × 27,5 2 − 5 × 27,5 + 30 = 121,25
c) Deverá a empresa encerrar? O lucro é positivo, logo a empresa não deverá encerrar.
C.1.3. A função lucro de uma empresa que actua num mercado perfeitamente competitivo é dada por: π = PQ − 2Q 3 + 20Q 2 − 80Q − 10 . a) Calcule a função oferta de curto prazo. CT = 2Q 3 − 20Q 2 + 80Q + 10 ⎧p = Cmg ⎨ ⎩p ≥ CVme
⇔
⎧⎪p = 6Q 2 − 40Q + 80 ⎨ ⎪⎩p ≥ 2Q 2 − 20Q + 80
⇔
⎧⎪6Q 2 − 40Q + 80 − p = 0 ⎨ 2 ⎪⎩6Q − 40Q + 80 ≥ 2Q 2 − 20Q + 80
⎧ 40 + (− 40 )2 − 4 × 6 × (80 − p ) ⎪Q = ⎨ 2×6 ⎪ 2 4 Q 20 Q 0 − ≥ ⎩
⇔
⎧ 40 + 24p − 320 ⎪Q = ⎨ 12 ⎪Q ≥ 5 ⎩
Q ≥5
⇒
⎧ 40 + 24p − 320 ⎪ Q =⎨ 12 ⎪0 ⎩
⇒
Cmg ≥ 30
⇒
p ≥ 30
⇔
⇔
se p ≥ 30 se p < 30
b) Determine e represente o limiar de encerramento e de rentabilidade. Limiar de encerramento min CVme ⇒ ∂CVme ∂Q = 0 Q = 0 se p < 30 Limiar de rentabilidade min Cme ⇒ ∂Cme ∂Q = 0 π ≥ 0 se p ≥ 31,98
⇔
4Q − 20 = 0
⇔
4Q − 20 − 10 Q 2 = 0
⇔
Q =5
⇔
⇒
CVme = 30
Q ≈ 5,1 ⇒
CVme = 31,98
c) Sabendo que a procura de mercado é Q = 1000 − 10P e que existem 20 empresas no mercado, calcule o preço de equilíbrio. ⎧ 40 + 24p − 320 ⎪ q=⎨ 12 ⎪0 ⎩ ⎛ 40 + 24P − 320 20⎜⎜ 12 ⎝
se p ≥ 30 se p < 30
⎞ ⎟ = 1000 − 10P ⎟ ⎠
40 + 24P − 320 = 600 − 6P 24P − 320 = (560 − 6P )
2
⇔
⇔
⇔
24P − 320 = 560 − 6P
P=
se p ≥ 30 se p < 30
40 + 24P − 320 = 50 − 0,5P 12 ⇔
24P − 320 = 313600 − 6720P + 36P 2
⇔
36P 2 − 6744P + 313920 = 0 P = 86,3561 ⇒
⎧ 40 + 24p − 320 ⎪20 × Q =⎨ 12 ⎪0 ⎩
⇔
⇔
6744 ± 6744 2 − 4 × 36 × 313920 2 × 36
⇔
Q = 136,439
C.1.4. A indústria produtora do bem y é constituída por um grande número de pequenas empresas de diferentes dimensões cujas funções de custo total pertencem à
63
família de curvas: C (Q ) = 0,04Q 3 − 0,9Q 2 + (11 − k )Q + 5k 2 , onde k é o parâmetro definidor da dimensão da empresa. Nesta indústria existem 3 tipos de empresas, a produzir nas seguintes dimensões: k1 = 1; k 2 = 1,1875 e k 3 = 3 . a) Obtenha a expressão analítica das funções oferta de curto prazo para cada um dos tipos de empresas. CT = 0,04 Q 3 − 0,9Q 2 + 10Q + 5
k =1 ⇒ p = Cmg
p = 0,12Q 2 − 1,8Q + 10
⇔ ⇔
⎧ ⎪7,5 + Q =⎨ ⎪0 ⎩
0,48p − 1,56
0,24
2
⇔
Q ≥ 11,25
se p ≥ 30 se p < 30
CT = 0,04 Q 3 − 0,9Q 2 + 9,8125Q + 7,05078125
⇔
p = 0,12Q 2 − 1,8Q + 9,8125
⇔
2
p ≥ CVme
⇔
⎧ ⎪7,5 + Q =⎨ ⎪0 ⎩
0,48p − 1,47
k=3
1,8 ± 0,48p − 1,56
0,12Q − 1,8Q + 10 ≥ 0,04 Q − 0,9Q + 10
0,24
⇔
p = Cmg
Q =
2
p ≥ CVme
k = 1,1875
⇔
Q =
1,8 ± 0,48p − 1,47 0,24
2
0,12Q − 1,8Q + 9,8125 ≥ 0,04Q − 0,9Q + 9,8125
0,24
⇔
Q ≥ 11,25
se p ≥ 4,75 se p < 4,75
CT = 0,04 y 3 − 0,9y 2 + 8 y + 45
⇔
p = Cmg
⇔
p = 0,12Q 2 − 1,8Q + 8
⇔
2
p ≥ CVme
⇔
⎧ ⎪7,5 + Q =⎨ ⎪0 ⎩
0,48p − 0,6
Q =
1,8 ± 0,48p − 0,6 0,24
2
0,12Q − 1,8Q + 8 ≥ 0,04 Q − 0,9Q + 8
0,24
⇔
Q ≥ 11,25
se p ≥ 2,9375 se p < 2,9375
b) Determine o preço e a quantidade de equilíbrio de curto prazo, sabendo que a procura e oferta agregadas são dadas por: Qd =
1 1 (72,62 − P) e Q s = (P − 58,25) 0,005664 0,002
1 1 (P − 58,25) = (72,62 − P) 0,002 0,005664
⇔
p = 62
⇒
Q = 1875
c) Determine os níveis de produção individuais dos três tipos de empresas. P = 62
⇒
⎧Q 1 = 29,63 ⎪ ⎨Q 2 = 29,66 ⎪Q = 30 ⎩ 3
64
C.1.5. Suponha um sector que funciona de acordo com os princípios da concorrência perfeita e em que existem empresas com diferentes estruturas de custos: 30 empresas do tipo A: CT = 3Q + 6Q 2 40 empresas do tipo B: CT = 5Q + 10Q 2 10 empresas do tipo C: CT = 9Q − 3Q 2 + 0,5Q 3 Obtenha a curva da oferta desta indústria. OFERTAS INDIVIDUAIS Empresa tipo A ⎧P = Cmg ⎨ ⎩P ≥ CVme ⎧P − 3 ⎪ Q = ⎨ 12 ⎪⎩0
⇔
⎧P = 12Q + 3 ⎨ ⎩P ≥ 6Q + 3
⎧P = 12Q + 3 ⎨ ⎩12Q + 3 ≥ 6Q + 3
⇔
P−3 ⎧ ⎪Q = 12 ⎨ ⎪⎩Q ≥ 0
⇔
⇔
P−3 ⎧ ⎪Q = 12 ⎨ ⎪⎩P ≥ 3
se P ≥ 3 se P < 3
Empresa tipo B ⎧P = Cmg ⎧P = 20Q + 5 ⎧P = 20Q + 5 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎨ ⎩P ≥ CVme ⎩P ≥ 10Q + 5 ⎩20Q + 5 ≥ 10Q + 5 ⎧Q = 0,05P − 0,25 ⎧0,05P − 0,25 se P ≥ 5 ⇒ Q =⎨ ⎨ se P < 5 ⎩P ≥ 5 ⎩0
⇔
⎧Q = 0,05P − 0,25 ⎨ ⎩Q ≥ 0
⇔
Empresa tipo C
⎧P = Cmg ⎨ ⎩P ≥ CVme
⇔
⎧⎪P = 1,5Q 2 − 6Q + 9 ⎨ ⎪⎩P ≥ 0,5Q 2 − 3Q + 9
⎧ 6 ± (− 6 )2 − 4 × 1,5 × (9 − P) ⎪⎪Q = ⎨ 2 × 1,5 ⎪ 2 ⎩⎪Q − 3Q ≥ 0 ⎧ 6 ± 6P − 18 ⎪Q = ⎨ 3 ⎪P ≥ 4,5 ⎩
⇒
⇔
⎧⎪1,5Q 2 − 6Q + 9 − P = 0 ⎨ ⎪⎩1,5Q 2 − 6Q + 9 ≥ 0,5Q 2 − 3Q + 9
⎧ 6 ± 6P − 18 ⎪Q = 3 ⎨ ⎪Q 2 − 3Q ≥ 0 ⎩
⇔
⎧ 6 ± 6P − 18 ⎪ Q =⎨ 3 ⎪0 ⎩
OFERTA AGREGADA PARA CADA TIPO ⎧2,5P − 7,5 se P ≥ 3 QA = ⎨ se P < 3 ⎩0 ⎧2P − 10 se P ≥ 5 QB = ⎨ se P < 5 ⎩0 ⎧ 60 + 10 6P − 18 se P ≥ 4,5 ⎪ QC = ⎨ 3 ⎪0 se P < 4,5 ⎩ OFERTA DA INDÚSTRIA ⎧0 ⎪2,5P − 7,5 ⎪ ⎪ Q = ⎨10 + 2P + 10 6P − 18 3 ⎪ ⎪ 10 6P − 18 ⎪2,5 + 4,5P + 3 ⎩
se P < 3 se 3 ≤ P < 4,5 se 4,5 ≤ P < 5 se P ≥ 5
65
se P ≥ 4,5 se P < 4,5
⇔
⇔
⎧ 6 ± 6P − 18 ⎪Q = ⎨ 3 ⎪Q ≥ 0 ∨ Q ≥ 3 ⎩
⇔
C.1.6. A procura agregada num sector concorrencial é Q = 1200 − 200P e a curva do custo total de cada empresa é CT = Q 3 − 2Q 2 + 4Q . a) Determine a curva da oferta individual de cada empresa, o número de empresas e o equilíbrio no longo prazo. ⎧P = Cmg ⎨ ⎩P ≥ CVme
⇔
⎧⎪P = 3q 2 − 4 q + 4 ⎨ ⎪⎩P ≥ q 2 − 2q + 4
⎧ 4 + (− 4 )2 − 4 × 3 × (4 − P ) ⎪q = ⎨ 2×3 ⎪ 2 ⎩2q − 2q ≥ 0 ⎧ 4 + 12P − 32 se p ≥ 3 ⎪ q=⎨ 6 ⎪0 se p < 3 ⎩ P=3
⇒
⎧⎪3q 2 − 4 q + 4 − p = 0 ⎨ 2 ⎪⎩3q − 4 q + 4 ≥ q 2 − 2q + 4
⇔
⎧ 4 + 12P − 32 ⎪q = ⎨ 6 ⎪q ≥ 1 ⎩
⇔
Q = 1200 − 200 × 3 = 600 ∧ q = 1 ⇒
⇔
⇔
⎧ 4 + 12P − 32 ⎪q = ⎨ 6 ⎪p ≥ 3 ⎩
n = 600
b) A expansão da curva da procura para Q = 1600 − 200P foi acompanhada pela criação de barreiras à entrada. Determine o equilíbrio de mercado. ⎧ 4 + 12P − 32 ⎪600 × Q =⎨ 6 ⎪0 ⎩
se p ≥ 3 se p < 3
400 + 100 12P − 32 = 1600 − 200P 12P − 32 = 12 − 2P 4p 2 − 36p + 176 = 0
⇔ p=
⇔
100 12P − 32 = 1200 − 200P
12P − 32 = (12 − 2P ) 15 +
(− 15)
2
2
− 4 × 1 × 44
2 ×1
⇔
⇔
12P − 32 = 144 − 48P + 4P 2 ⇔
P=4
⇒
Q = 800
c) Compare graficamente esta situação, do ponto de vista do excedente do consumidor e do produtor, com a que se verificaria sem barreiras à entrada. P 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0
200
400 Yd
600
800
Ys (C/b)
1000 1200 1400 1600 1800 Ys (S/b)
66
Q
⇔
C.1.7. Suponha que a procura de viagens de táxis numa dada cidade é dada por: Q = 1000 − 5P , onde Q é medido em quilómetros por ano e P é o preço em u.m.
por quilómetro. A curva da oferta de longo prazo é dada por Q S = 4P − 80 . a) Se esta indústria for perfeitamente competitiva, mostre que o número de viagens de equilíbrio é Q = 400 . Qual será o preço de equilíbrio? QD = QS
⇒
1000 − 5P = 4P − 80
⇔
P = 120
⇒
Q = 400
b) Para a situação de equilíbrio, determine o excedente do consumidor e o excedente do produtor. XC =
(200 − 120 ) × 400 2
= 16000
XP =
(120 − 20 ) × 400 2
= 20000
c) Suponha que a Câmara Municipal dessa cidade decide controlar o trânsito, limitando o número de viagens para Q = 300 . Nestas condições, qual o valor da perda social líquida? XC =
(200 − 120 ) × 400 − (140 − 120 )(400 − 300 ) = 15000
XP =
(120 − 20 ) × 400 − (120 − 95)(400 − 300 ) = 15000
2
2
2
2
ΔBE = (15000 + 15000 ) − (16000 + 20000 ) = −6000
d) Em relação à alínea anterior, como é que o excedente do consumidor e do produtor é afectado, se P = 140 e P = 95 ? Compare os resultados obtidos. P = 140 XC = XP =
(200 − 140 ) × 300 2
= 9000
→
ΔXC = 9000 − 15000 = −6000
(95 − 20 ) × 300 + (140 − 95) × 300 = 24750 2
→
ΔXP = 24750 − 15000 = 9750
P = 95 XC =
(200 − 140 ) × 300 + (140 − 95) × 300 = 22500
2 ( 95 − 20 ) × 300 XP = = 7500 2
→
→
ΔXC = 22500 − 15000 = 7500
ΔXP = 7500 − 15000 = −7500
C.1.8. Certa indústria, perfeitamente competitiva, é composta por 10000 produtores, cada qual apresentando a seguinte função custo total: CT = 0,5Q 2 + Q + 2 . A curva da procura de mercado é dada por Q = 70000 − 10000P . a) Deduza as curvas de oferta de curto prazo da empresa e da indústria. ⎧P = Cmg ⎨ ⎩P ≥ CVme
⇔
⎧P = q + 1 ⎨ ⎩P ≥ 0,5q + 1
⇔
67
⎧P = q + 1 ⇔ ⎨ ⎩q + 1 ≥ 0,5q + 1
⎧P = q + 1 ⎨ ⎩q ≥ 0
⇔
⎧q = P − 1 ⇒ ⎨ ⎩p ≥ 1
⎧P − 1 q=⎨ ⎩0
se P ≥ 1 se P < 1
→
⎧10000P − 10000 se P ≥ 1 Q =⎨ se P < 1 ⎩0
b) Qual a quantidade produzida por cada empresa perfeitamente concorrencial e pela indústria? Determine o lucro económico de cada empresa. QD = QS
P=4
⇒
⇒
(
70000 − 10000P = 10000P − 10000
q=3
⇔
P=4
⇒
Q = 30000
)
π = 4 × 3 − 0,5 × 3 2 + 3 + 2 = 2,5
c) Admita que CMg = 0,5Q + 0,5 é a função de custo marginal de cada empresa no longo prazo e que está vedada a entrada no mercado a novos produtores. Determine o equilíbrio de mercado. ⎧P = Cmg ⎨ ⎩P ≥ CVme
⎧q = 2p − 1 ⇒ ⎨ ⎩p ≥ 0,5 YD = YS P=83 π=
⎧P = 0,5q + 0,5 ⎨ ⎩0,5q + 0,5 ≥ 0,25q + 0,5
⇔
⎧P = 0,5q + 0,5 ⎨ ⎩q ≥ 0
⎧2p − 1 q=⎨ ⎩0
→
⎧20000P − 10000 se P ≥ 0,5 Q =⎨ se P < 0,5 ⎩0
⇔
⇒ ⇒
se P ≥ 0,5 se P < 0,5
70000 − 10000P = 20000P − 10000
⇔
P=
8 3
⇔
⇒
Y=
130000 3
q = 13 3
2 8 13 ⎛⎜ 13 ⎞ 169 ⎛ 13 ⎞ × − 0,25 × ⎜ ⎟ + 0,5 × ⎟ = ⎜ 3 3 ⎝ 3 ⎟⎠ 3 ⎝ 3 ⎠
d) Suponha agora que são permitidas as importações deste bem, cujo preço de importação é 0,5. Que sucederá, no longo prazo, a esta indústria nacional? Se as importações custam 0,5 é 0,5 o preço que as empresas nacionais terão de praticar. Mas a esse preço, a quantidade oferecida é zero. Logo, o bem será oferecido exclusivamente por importações e esta indústria desaparece.
C.1.9. Comente as seguintes afirmações: a) Se existem rendimentos constantes à escala numa indústria perfeitamente competitiva, então a curva da oferta da indústria é horizontal no longo prazo. Considere-se uma função de produção Q = f (K, L ) , tal que (K 0 , L 0 ) é a combinação óptima de factores para produzir Q 0 . Então, para todo o λ > 0 , (λK 0 , λL 0 ) é a combinação óptima para produzir λQ 0 . Logo, se o custo de produzir Q 0 é CT0 , o de produzir λQ 0 será λCT0 . Ou seja, o custo médio é sempre constante. Pelo que o custo marginal também o será (e igual àquele). Tratando-se de uma indústria perfeitamente competitiva, da condição de maximização do lucro resulta que P = Cmg . Como o custo marginal é constante, o preço é constante, o que corresponde a uma curva da oferta horizontal. A frase é, então, verdadeira.
68
b) Suponha que uma indústria concorrencial está em equilíbrio de longo prazo. Se houver uma contracção da procura agregada, no novo equilíbrio de longo prazo, o preço será menor. Falso. Esta situação não se verifica se a produção apresentar rendimentos constantes à escala, caso em que a curva da oferta é horizontal, o que significa que o preço é sempre o mesmo e os ajustamentos se fazem exclusivamente pela quantidade.
c) Como existe livre entrada e saída de empresas num mercado de concorrência perfeita, o número de empresas a operar no mercado no longo prazo é indeterminado. Falso. Como existe livre entrada e saída de empresas, o lucro terá de ser zero. Logo o preço terá de igualar o custo médio. Conhecendo o preço, determina-se a quantidade transaccionada no mercado (por substituição na procura) e a quantidade oferecida por cada empresa (por substituição na oferta individual). Sabendo quanto se produz no total e quanto produz cada empresa, calcula-se o número de empresas. Este é, pois, determinado endogenamente, sendo indeterminado apenas no caso de tecnologia CRS.
d) Num mercado de concorrência perfeita, como existe livre entrada e saída de empresas no mercado, o lucro de curto prazo de cada empresa nunca é negativo. Falso. O que caracteriza o curto prazo é a existência de custos fixos, os quais têm de ser suportados pela empresa, quer esta produza ou não. Logo, no curto prazo, os custos variáveis são os únicos que interessam: a empresa não deve encerrar desde que o preço seja igual ou superior ao custo variável médio. No entanto, esta condição não garante a rentabilidade.
69
C.2.
MONOPÓLIO E OLIGOPÓLIO
C.2.1. Mostre matematicamente que um monopolista estabelecerá sempre um preço acima do custo marginal. O objectivo do monopolista é, naturalmente, a maximização do lucro, pelo que: max π = RT − CT
⇒
∂π ∂q = 0
⇔
RMg = CMg
Pense-se na receita marginal como a soma do ganho na receita resultante das novas vendas e a perda devida a vender a quantidade anterior ao novo preço que é inferior. Quando o monopolista vende Q 0 unidades, a sua receita é Q 0 P0 . Para vender mais ΔQ , terá de reduzir o preço para P0 − ΔP , pelo que a sua receita será: RT = (P0 − ΔP )(Q 0 + ΔQ ) = P0 Q 0 + P0 ΔQ − ΔPQ 0 − ΔPΔQ
Para calcular a receita marginal é subtrair a receita total inicial e dividir pela variação do produto: + P0 ΔQ − ΔPQ 0 − ΔPΔQ ) − P0 Q 0 ΔP = P0 − Q 0 − ΔP ΔQ ΔQ Ora, se o monopolista iguala o custo marginal à receita marginal e esta é inferior ao RMg =
(P0 Q 0
preço, então o preço é superior ao custo marginal.
C.2.2. Determine o lucro máximo, o correspondente preço e a quantidade de um monopolista
cujas
funções
procura
e
custo
total
são,
respectivamente:
P = 3000 − 5Q e CT = 200 + 10Q 2 .
(
)
π = RT − CT = (3000 − 5Q )Q − 200 + 10Q 2 = −15Q 2 + 3000Q − 200 max π ⇒ ∂π ∂Q = 0 ⇔ − 30Q + 3000 = 0 ⇔ Q = 100 Q = 100 ⇒ p = 2500 ∧ π = 149800
C.2.3. Uma empresa monopolista utiliza um factor de produção, L, que adquire ao preço fixo de 5 u.m., para produzir o bem Y. As funções procura do bem e de produção são, respectivamente: P = 50 − y e y = 2L . Determine os valores de P, y e L que maximizam o lucro do monopolista. y = 2L
⇔
L = 0,5y
⇒
CT = 5L = 2,5y
π = RT − CT = (50 − y )y − 2,5y = − y 2 + 47,5y
max π
⇒
∂π ∂y = 0
⇔
− 2 y + 47,5 = 0
70
⇔
y = 23,75
⇒
p = 26,25
∧
L = 11,875
C.2.4. Considere uma empresa que é um monopólio no mercado do produto final. Esta empresa enfrenta uma procura dada pela expressão P = 100 − Q e possui uma função custo total representada por CT = 10 + Q 2 . a) Tendo como objectivo a maximização do lucro, que quantidade deverá este monopolista produzir? E qual o preço que deverá praticar?
(
)
π = RT − CT = (100 − Q )Q − 10 + Q 2 = −2Q 2 + 100 Q − 10
max π
⇒
∂π ∂Q = 0
⇔
− 4Q + 100 = 0
⇔
Q = 25
⇒
p = 75
b) Determine a quantidade e o preço no caso do monopolista optar por uma estratégia de maximização do valor das vendas. max RT
⇒
∂RT ∂Q = 0
⇔
100 − 2Q = 0
⇔
Q = 50
⇒
p = 50
C.2.5. As curvas de custo total e da procura de um monopolista são dadas, respectivamente, por: CT = 200 + 2Q e P = 180 − 4Q . a) Determine o lucro do monopolista. π = RT − CT = (180 − 4Q )Q − (200 + 2Q ) = −4Q 2 + 178Q − 200 max π ⇒ ∂π ∂Q = 0 ⇔ − 8Q + 178 = 0 ⇔ Q = 22,25 Q = 22,25 ⇒ p = 91 ∧ π = 1780,25
b) Suponha que o monopolista é obrigado a praticar o preço correspondente ao mercado de concorrência perfeita. Qual seria a variação líquida no bem-estar dos consumidores? P = CMg ΔXC =
⇔
P=2
⇔
Q = 44,5
(180 − 2 ) × 44,5 (180 − 91) × 22,25 2
−
2
= 2959,25
C.2.6. Um monopolista enfrenta a seguinte procura: P = 104 − 0,004Q . Inicialmente, a sua tecnologia era traduzida pela função custo total: CT0 = 0,02Q 2 + 72Q , mas, devido à adopção de uma política redutora de custos, essa tecnologia foi substituída, passando o custo total a ser representado por: CT1 = 0,04Q 2 + 12Q . a) Determine a produção e o preço praticado pelo monopolista, antes e depois da inovação tecnológica. Antes da inovação tecnológica π = RT − CT = (104 − 0,004 Q )Q − 0,02Q 2 + 72Q = −0,024 Q 2 + 32Q max π ⇒ ∂π ∂Q = 0 ⇔ − 0,048Q + 32 = 0 ⇔ Q = 2000 3 Q = 2000 3 ⇒ p = 304 3
(
)
Depois da inovação tecnológica π = RT − CT = (104 − 0,004 Q )Q − 0,04 Q 2 + 12Q = −0,044 Q 2 + 92Q max π ⇒ ∂π ∂Q = 0 ⇔ − 0,088Q + 92 = 0 ⇔ Q = 11500 11
(
)
71
Q = 11500 11 ⇒
p = 1098 11
b) Analise os efeitos daquela alteração no mercado, evidenciando os ganhos e perdas do monopolista e dos consumidores. ΔXC =
(104 − 1098 11) × 11500 11 (104 − 304 3) × 2000 3 −
2
2
≈ 11133,84
2 2 ⎡ 11500 ⎤ ⎡ 2000 ⎤ ⎛ 11500 ⎞ ⎛ 2000 ⎞ Δπ = ⎢− 0,044 × ⎜ ⎥ − ⎢− 0,024 × ⎜ ⎥ ≈ 37424,24 ⎟ + 92 × ⎟ + 32 × 11 ⎦⎥ ⎣⎢ 3 ⎦⎥ ⎝ 11 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎣⎢
C.2.7. As empresas Bordados Maravilha e Bordados Espanto são as únicas produtoras de bordados (Q). A curva de custos é a mesma para ambas e igual a CT = 0,5Q 2 . A procura de bordados é dada por P = 100 − 0,5Q . Admitindo que as empresas têm um comportamento Cournot, determine o equilíbrio da indústria. Função reacção da empresa Bordados Maravilha (M) π M = [100 − 0,5(q M + qE )]q M − 0,5q 2M = −q 2M + (100 − 0,5qE )q M max π M
⇒
∂π M ∂q M = 0
⇔
− 2q M + 100 − 0,5qE = 0
⇒
q M = 50 − 0,25qE
Função reacção da empresa Bordados Espanto (E) π E = [100 − 0,5(q M + qE )]qE − 0,5qE2 = −qE2 + (100 − 0,5q M )qE
max π E
⇒
∂π E ∂qE = 0
⇔
− 2qE + 100 − 0,5q M = 0
⇒
qE = 50 − 0,25q M
Equilíbrio ⎧q M = 50 − 0,25qE ⎨ ⎩qE = 50 − 0,25q M
⇔
⎧q M = 40 ⎨ ⎩qE = 40
⇒
Q = 80
⇒
P = 60
⇒
⎧π M = 1600 ⎨ ⎩π E = 1600
C.2.8. Num determinado mercado existem apenas dois produtores e a curva da procura é P = 200 − 2Q . As curvas de custos de cada um dos produtores são: c1 = 6q12 e c 2 = 2q 22 . Determine:
a) O equilíbrio de Cournot. Função reacção da empresa 1 π 1 = [200 − 2 (q1 + q 2 )]q1 − 6 q12 = −8q12 + (200 − 2q 2 )q1
max π1
⇒
∂π1 ∂q1 = 0
⇔
− 16q1 + 200 − 2q 2 = 0
⇒
q1 = 12,5 − 0,125q 2
⇒
q 2 = 25 − 0,25q1
Função reacção da empresa 2 π 2 = [200 − 2(q1 + q 2 )]q 2 − 2q 22 = −4 q 22 + (200 − 2q1 )q 2 max π 2
⇒
∂π 2 ∂q 2 = 0
⇔
− 8q 2 + 200 − 2q1 = 0
Equilíbrio
72
⎧q1 = 12,5 − 0,125q 2 ⎨ ⎩q 2 = 25 − 0,25q1
P=
4200 31
⇔
⎧q1 = 300 31 ⇒ ⎨ ⎩q 2 = 700 31
Q =
1000 31
⇒
⎧π1 = 749,22 ⎨ ⎩π 2 = 2039,54
⇒
b) O equilíbrio de Stackelberg. Empresa 1 é líder Função reacção da empresa 2 π 2 = [200 − 2(q1 + q 2 )]q 2 − 2q 22 = −4 q 22 + (200 − 2q1 )q 2
max π 2
⇒
∂π 2 ∂q 2 = 0
⇔
− 8q 2 + 200 − 2q1 = 0
⇒
q 2 = 25 − 0,25q1
Equilíbrio π1 = [200 − 2q1 − 2(25 − 0,25q1 )]q1 − 6q12 = 150 q1 − 7,5q12 max π1
⇒
⎧q1 = 10 ⎨ ⎩q 2 = 22,5
∂π1 ∂q1 = 0
⇒
Q = 32,5
⇔
− 15q1 + 150 = 0
⇒
P = 135
⇒
⇒
q1 = 10
⇒
q 2 = 22,5
⎧π1 = 750 ⎨ ⎩π 2 = 2025
Empresa 2 é líder Função reacção da empresa 1 π1 = [200 − 2(q1 + q 2 )]q1 − 6q12 = −8q12 + (200 − 2q 2 )q1 max π1
⇒
∂π1 ∂q1 = 0
⇔
− 16q1 + 200 − 2q 2 = 0
⇒
q1 = 12,5 − 0,125q 2
Equilíbrio π 2 = [200 − 2q 2 − 2(12,5 − 0,125q 2 )]q 2 − 2q 22 = 175q 2 − 3,75q 22 max π 2
⇒
⎧q1 = 115 12 ⎨ ⎩q 2 = 70 3
∂π 2 ∂q 2 = 0
⇒
Q =
395 12
⇔
⇒
− 7,5q 2 + 175 = 0
P=
805 6
⇒
⇒
q 2 = 70 3
⇒
q 2 = 115 12
⎧π1 = 734,72 ⎨ ⎩π 2 = 2041,67
C.2.9. Num determinado mercado de oligopólio, a curva da procura é P = 200 − 2Q e as curvas de custos de cada um dos produtores são: c1 = 2q12 e c2 = 12q2 . Determine:
a) O equilíbrio de Cournot. Função reacção da empresa 1 π1 = [200 − 2(q1 + q 2 )]q1 − 2q12 = −4 q12 + (200 − 2q 2 )q1
max π1
⇒
∂π1 ∂q1 = 0
⇔
− 8q1 + 200 − 2q 2 = 0
⇒
q1 = 25 − 0,25q 2
Função reacção da empresa 2 π 2 = [200 − 2(q1 + q 2 )]q 2 − 12q 2 = −2q 22 + (188 − 2q1 )q 2 max π 2
⇒
∂π 2 ∂q 2 = 0
⇔
− 4 q 2 + 188 − 2q1 = 0
Equilíbrio
73
⇒
q 2 = 47 − 0,5q1
⎧q1 = 25 − 0,25q 2 ⎨ ⎩q 2 = 47 − 0,5q1 P=
636 7
⇒
⇔
⎧q1 = 106 7 ⎨ ⎩q 2 = 276 7
⇒
Q =
382 7
⇒
⎧π1 = 917,22 ⎨ ⎩π 2 = 3109,22
b) O equilíbrio onde a empresa 2 assume a liderança do mercado. Função reacção da empresa 1 π1 = [200 − 2(q1 + q 2 )]q1 − 2q12 = −4 q12 + (200 − 2q 2 )q1 max π1
⇒
∂π1 ∂q1 = 0
⇔
− 8q1 + 200 − 2q 2 = 0
⇒
q1 = 25 − 0,25q 2
Equilíbrio π 2 = [200 − 2q 2 − 2(25 − 0,25q 2 )]q 2 − 12q 2 = 238q 2 − 1,5q 22
max π 2
⇒
⎧q1 = 31 6 ⎨ ⎩q 2 = 238 3
∂π 2 ∂q 2 = 0
⇔
− 3q 2 + 238 = 0
⇒
⇒
P = 31 ⇒
Q = 84,5
⇒
q 2 = 238 3
⇒
q 2 = 31 16
⎧π1 = 106,78 ⎨ ⎩π 2 = 1507,33
C.2.10. Considere duas empresas num mercado de oligopólio que enfrentam a seguinte curva da procura: P = 60 − Q . As empresas têm os seguintes custos: c A = q 2A + 4q A e cB = 1,5qB2 + 5qB .
a) Sabendo que as empresas se comportam à Cournot, determine: i.
Preço e quantidades de equilíbrio. Função reacção da empresa A
(
)
π A = [60 − (q A + qB )]q A − q 2A + 4 q A = −2q 2A + (56 − qB )q A max π A
⇒
∂π A ∂q A = 0
⇔
− 4 q A + 56 − qB = 0
⇒
q A = 14 − 0,25qB
Função reacção da empresa B
(
)
π B = [60 − (q A + qB )]qB − 1,5qB2 + 5qB = −2,5qB2 + (55 − q A )qB max π B
⇒
∂π B ∂qB = 0
⇔
− 5qB + 55 − q A = 0
⇒
qB = 11 − 0,2q A
⇒
P=
Equilíbrio ⎧q A = 14 − 0,25qB ⎨ ⎩qB = 11 − 0,2q A
⇔
⎧q A = 225 19 ⎨ ⎩qB = 164 19
⇒
Q =
389 19
ii. Bem-estar dos consumidores. XC =
(60 − 751 19) × 389 19 2
= 209,59
iii. Bem-estar dos produtores. π A = 280,47 e π B = 186,26
iv. Bem-estar social. BE = 676,32
b) Sabendo que a empresa A se comporta como líder, determine:
74
751 19
i.
Preço e quantidades de equilíbrio. Função reacção da empresa B
(
)
π B = [60 − (q A + qB )]qB − 1,5qB2 + 5qB = −2,5qB2 + (55 − q A )qB
max π B
⇒
∂π B ∂qB = 0
⇔
− 5qB + 55 − q A = 0
⇒
qB = 11 − 0,2q A
Equilíbrio
(
)
π A = [60 − q A − (11 − 0,2q A )]q A − q 2A + 4 q A = −0,9q 2A + 45q A max π A
⇒
∂π A ∂q A = 0
q A = 25
⇒
qB = 6
⇒
⇔
− 1,8q A + 45 = 0
Q = 31 ⇒
⇒
q A = 25
P = 29
ii. Bem-estar dos consumidores. XC =
(60 − 29) × 31 = 480,5 2
iii. Bem-estar dos produtores. π A = 0 e π B = 90
iv. Bem-estar social. BE = 570,5
C.2.11. Comente as seguintes afirmações: a) A solução de um mercado de monopólio pode ser eficiente. Verdadeira. A solução de monopólio será eficiente no caso em que a empresa monopolista consiga fazer discriminação perfeita de preços. Neste caso, o monopolista vende cada unidade adicional do bem ao preço máximo que os consumidores estão dispostos a pagar. Assim sendo, a receita marginal é igual à curva da procura. Logo, ao fazer Rmg = Cmg está a fazer-se P = Cmg , que é também a solução de concorrência perfeita. Esta solução é, tal como em concorrência perfeita, eficiente; no entanto, contrariamente a esta, não há excedente do consumidor, o qual é totalmente absorvido pelo monopolista.
b) Um monopolista que maximize o lucro escolherá sempre uma quantidade para a qual a procura tenha elasticidade unitária. Se o objectivo do monopolista é a maximização do lucro, ele escolherá uma quantidade para a qual Rmg = Cmg . Pense-se na receita marginal como a soma do ganho na receita resultante das novas vendas e a perda devida a vender a quantidade anterior ao novo preço que é inferior. Portanto, suponha que o monopolista pretende aumentar o produto de Q 0 para Q 0 + ΔQ . Quando vende Q 0 unidades, a sua receita é Q 0 P0 . Para vender mais ΔQ , terá de reduzir o
preço para P0 − ΔP , pelo que a sua receita será: RT = (P0 − ΔP )(Q 0 + ΔQ ) = P0 Q 0 + P0 ΔQ − ΔPQ 0 − ΔPΔQ
75
Para calcular a receita marginal é subtrair a receita total inicial e dividir pela variação do produto: Rmg =
(P0 Q 0
+ P0 ΔQ − ΔPQ 0 − ΔPΔQ ) − P0 Q 0 ΔP = P0 − Q 0 − ΔP ΔQ ΔQ
Repare-se que: ⎛ ⎛ 1⎞ ΔP Q 0 ⎞ ⎟ ⇔ RMg = P0 ⎜1 − ⎟ RMg = P0 ⎜⎜1 − ⎟ ⎜ ε ⎟⎠ ΔQ P0 ⎠ ⎝ ⎝ Assim, para valores da elasticidade inferiores a 1, a receita marginal virá ΔP → 0
⇒
Rmg = P0 −
ΔP Q0 ΔQ
⇔
negativa. Logo, a empresa monopolista não opera na zona inelástica da curva da procura. O que não é o mesmo que dizer que escolhe uma quantidade para a qual a procura tem elasticidade unitária. Portanto, a frase é falsa.
c) Colocar um imposto de quantidade sobre um monopolista causará sempre uma subida do preço no montante do imposto. Falso. Considere-se, sem perda de generalidade, um monopolista cujo custo marginal é constante e que enfrenta uma procura linear. Quando é colocado um imposto sobre este monopolista, o custo marginal aumenta no montante do imposto. Consequentemente, a intersecção entre custo marginal e receita marginal desloca-se para a esquerda, isto é, o preço de equilíbrio aumenta. Mas como a inclinação da curva da procura é metade da inclinação da curva da receita marginal, o preço aumenta em metade do montante do imposto. Esta situação está representada no gráfico abaixo:
Δp=t/2
Cmg+t t Cmg
Rmg Y’
D
Y*
Algebricamente, Rmg = Cmg
⇔
a − 2by = c + t
⇔
76
y=
a−c−t 2b
⇒
1 Δy =− Δt 2b
⇒
Δp 1 = Δt 2
