제1장 광학 제4판 제목: OPTICS, 4th
CHAPTER 11
푸리에 광학
목차 11.1 서론 11.2 푸리에 변환 11.3 광학적 응용
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11.1 서론
푸리에 해석(Fourier analysis) - 공간주파수(spatial frequency) 프라운호퍼 회절(Fraunhofer diffraction)
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11.2 푸리에 변환 11.2.1 1차원 변환 공간변수를 가진 1차원 함수 f(x) [7.56] 푸리에 코사인 변환 및 사인 변환(Fourier cosine and sine transforms) [7.57]
k = 각공간주파수(angular spatial frequency) 푸리에 적분의 복소수 형태 (11.4) (11.5)
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푸리에 변환 (11.6) (11.7a) (11.7b)
진폭 스펙트럼(amplitude spectrum) 위상 스펙트럼(phase spectrum)
역 푸리에 변환(inverse Fourier transform)
(11.8)
흔히 f(x)와 F(k)를 푸리에 변환쌍이라 부른다. 공간주파수 를 도입하면 푸리에 변환과 그 역변환을 더 욱 대칭적인 형태로 나타낼 수 있다.
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가우스 함수의 변환 이 함수는 개별적인 광자를 파동 다발(wave packet)로 (11.11) 나타내거나, TEM00 모드의 레이저 광속에서 복사조도 의 단면 분포 또는 가간섭 이론에서 열복사광(thermal light)을 통계적으로 다루는 등 많은 문제와 밀접한 (11.12) 관계를 가진다.
가우스 확률함수
a가 증가함에 따라 f(x)는 좁아지지만 F(k)는 넓어진다. 다시 말해 펄스폭이 짧아질수록 주파수 대역폭(bandwidth)은 넓어지게 된다. 11-6
11.2.2 2차원 변환 광학에서는 일반적으로 2차원 신호를 다룬다[예 : 구멍(aperture) 에서의 전기장 분포 또는 상면에서 선속밀도 분포]. 푸리에 변환쌍은 (11.13) (11.14)
kx와 ky는 각각 x, y축 방향의 각공간주파수 식 (11.13)의 의미는 복소인자 F(kx, ky)에 의해 진폭과 위상이 동시에 적절히 가중된 exp[2i(kxx+kyy)] 형태의 기본함수가 선형 결합하여 함 수 f(x, y)를 나타내고 있다는 것이다.
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3차원의 경우와 마찬가지로, 임의의 파는 여러 가지 방향과 전파상수 를 가진 평면파의 선형 결합으로 합성될 수 있다. 주어진 kx, ky값에 대해 기본함수의 지수 혹은 위상은 직선 (11.15)
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원통함수의 변환 원통함수(cylinder function) (11.19)
(11.25)
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푸리에 변환자로서의 렌즈
수렴렌즈의 앞 초평면에 놓인 슬라이드에 평행광이 비치고 있다. 이 물체는 평면파를 산란시키며, 이들은 렌즈에 의해 모아져 평행한 광 선 다발이 뒤 초평면에 맺히게 된다. 소위 변환평면(transform plane) ∑t 에 스크린을 놓으면 그 위에 물체의 원거리 회절무늬를 관찰할 수 있 다. 바꾸어 말하면 물체면의 전기장 분포, 즉 구멍함수(aperture function) 는 렌즈에 의해 원거리 회절무늬로 변환된다.
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11.2.3 디랙 델타함수
공간영역에서 뾰족한 펄스와 같은 어떤 자극을 생각해 볼 수 있다. 어두운 배경 속에서 빛나는 작은 광원은 본질적으로 매우 국소적인 2차원 공간 펄스-복사조도의 스파이크(spike)이다. 디랙 델타함수(Dirac delta function) (x) (11.26) (11.27)
델타함수의 선택성(sifting property) (11.30) 2차원으로 확장 (11.34) (11.35) (11.36) 11-11
델타함수의 다른 표현 (11.39) 변위와 위상 이동 (11.40) 공간적으로(혹은 시간적으로) 좌표 이동된 함수의 푸리에 변환은 원래 함 수의 푸리에 변환에 선형적인 위상을 갖는 지수함수를 곱한 것과 같음 사인함수와 코사인함수 빗살 모양처럼 균일하게 배열되어 있는 델타함수를 생각해 보자 (11.41) (11.42)
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그림 11.13 그림 11.14
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11.3 광학적 응용 11.3.1 선형계 입력신호 f(y, z)가 어떤 광학계를 통과한 후 출력 g(Y, Z)로 되었다고 하자. 선형계는 다음 조건을 만족한다: 1. 상수 a가 곱해진 입력신호 f(y, z)는 출력 ag(Y, Z)를 생성한다. 2. 입력신호가 두 함수(또는 그 이상)의 가중된 결합, 즉 af ₁(y, z)+bf ₂(y, z) 일 때, 출력은 마찬가지로 ag₁(Y, Z)+bg₂(Y, Z)가 된다. 여기서 f ₁(y, z)와 f ₂(y, z)는 각각 g₁(Y, Z)와 g₂(Y, Z)의 출력을 생성한다. 선형계가 정상성(stationarity)을 가진다면, 다시 말해 입력 위치가 바뀌 어도 출력의 형태는 변치 않고 단지 출력의 위치만 변한다면 그러한 계를 공간불변(space invariant)이라고 한다. 선형계의 작용을 L { }라는 기호로 나타낸다면 입력과 출력의 관계는 (11.46) (11.47) L {(y’-y)(z’-z)} = 임펄스 응답(impulse response) 11-16
물체면(스스로 발광하는, 즉 가 간섭성이 없는 광원)에서 복사조 도 분포가 I0(y, z)이고, 믈체면과 상면 간의 배율을 1로 가정하면 (11.49) S(y, z; Y, Z)는 점퍼짐함수 (point-spread function)
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공간불변계에 있어서는 (11.50) (11.51) 역상관 적분(convolution integral) 11.3.2 역상관(convolution) 적분 (11.52) 하나의 함수를 다른 함수의 각 점에 가중하여 배분하는 과정 역상관 정리 (11.53) (11.54)
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주파수 역상관 정리(frequency convolution theorem) (11.56)
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11.3.3 회절이론과 푸리에 방법 프라운호퍼 회절 (11.61) 구멍함수(aperture function) (11.62)
A0(y, z) = 구멍에서 전기장 진폭의 변화 exp[i(y, z)] = 위치에 따른 위상변화 공간주파수 kY, kZ (11.64) (11.65) 상면 위의 주어진 위치에는 각각 거기에 대응하는 공간주파수가 존재한다 (11.66) 11-20
(11.67) 프라운호퍼 회절무늬에서의 전기장 분포는 구멍에 걸친 전기장 분포(즉, 구 멍함수)의 푸리에 변환이다 상면의 전기장 분포는 구멍함수와 공간주파수 스펙트럼이다. 따라서 역변 환은 (11.68) 즉, (11.69) 회절 구멍이 작을수록 회절된 빛의 각도 분포, 즉 공간주파수의 대역폭이 증가한다. 단일 슬릿
사각 구멍 11-21
영의 실험 : 이중 슬릿 구멍이 실제 슬릿과 같이 어느 정도의 폭을 가지고 있는 경우
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삼중 슬릿
무족화 회절무늬에서 2차 최대 또는 측엽 (side lobe), 즉 발을 줄이는 과정 A0(y, z)를 서서히 감소하게 만들면 높 은 주파수 성분이 줄어들고, 결과적으 로 측엽이 억제되는 것이다.
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배열 정리
N개의 동일한 구멍이 있는 스크린에 가간섭성 단색광이 입사하는 경우, 상면 위의 한 점 P에서의 결과적인 프라운호퍼 회절장 E(Y, Z) (11.70) 전체 배열에 대한 총구멍함수의 변환 (11.74) (11.73)
배열정리(array theorem) 유사한 방향으로 배치된 동일한 구멍의 배열에 의한 프라운호 퍼 회절에서 전기장의 분포는 각 구멍함수의 푸리에 변환(즉, 회절장의 분포)에 동일한 형태로 배치된 점광원 배열에 의하여 얻어지는 회절무늬(A의 변환)를 곱한 것과 같다 11-24
11.3.4 스펙트럼과 상관관계 파스발 공식 (11.76) 파워 스펙트럼(power spectrum) 혹은 분광에 너지 분포(spectrum energy distribution) 공간영역에서 (11.77)
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로렌츠 곡선 형태 감쇄조화파
파워 스펙트럼 (11.79)
=스펙트럼 선폭
공명곡선(resonance profile) 혹은 로렌츠 곡선(Lorentz profile) 로렌츠 선폭확대(Lorentz broadening) 자연선폭(natural linewidth) 11-26
자체상관과 상호상관 자체상관(autocorrelation) (11.82) 양변의 (푸리에) 변환을 취하면 (11.83) 위너-킨친(Wiener-Khintchine) 정리의 한 형태 상호상관(cross-correlation) (11.85) 상관분석이란 기본적으로 두 신호 사이의 비슷한 정도를 결정하기 위하여 그들을 비교하는 하나의 방법이다. 예를 들면, 상관분석은 무작위(random) 배경잡음 속에서 신호를 추출하는 데 이용된다.
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광학적으로 2개의 2차원 공간함수를 상관시키는 과정
두 슬라이드가 다르면 영상은 그 함수들의 상호상관을 나타내게 된다. 마찬가지로, 슬라이드 중 하나를 180도 회전시키면 역상관을 얻게 된다(그림 11.25).
점 P의 복사조도는 g(x, y)의 자체상관함수 (11.88) 상관도(correlogram)
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함수 f(t)의 자체상관이란 실제적으 로는 그 함수와 다른 시간에서의 함숫값 f(t+)을 비교하는 것이다 .
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상호상관은 상대적 이동시간 에 따른 두 파형 f(t)와 h(t)의 유사성 척도이다. 그러나 자체상관과 달리 =0에 별다른 의미는 없다.
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광학적 패턴인식(optical pattern recognition)
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11.3.5 전달함수 광학계의 성능을 평가하는 매우 유용한 지수는 다음과 같이 정 의되는 대비도(contrast) 혹은 변조도(modulation)이다: (11.89)
모든 공간주파수에서 물체 변조도에 대한 영상 변조도의 비율을 변 조전달함수(modulation Transfer Function) 혹은 MTF라 정의한다.
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렌즈 1의 분해능 한계가 높다는 사실에도 불구하고, 렌즈 2가 특 정한 검출기(그림에 그 한계주파 수를 나타낸)에 부착되었을 때 더 좋은 성능을 보일 것이다.
선형연산자 기능을 하는 광소자는 사인파 입력신호를 왜곡되지 않은 사 인파 출력으로 변환시킨다 퍼짐함수가 좌우대칭이면, 영상의 복사조도는 이동하지 않은 사인파 이지만, 비대칭 퍼짐함수는 그림 11.48에서 볼 수 있는 것처럼 출력 을 조금 옆으로 밀게 될 것이다. 어느 경우든 퍼짐함수의 형태에 관 계없이 물체가 조화함수꼴이면 영상도 조화함수꼴이다.
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물체가 푸리에 성분으로 이루어진 것으로 본다면, 이 각각의 조화 성분이 광학계에 의해 이에 상응하는 영상의 조화 성분으로 변환되는 방식이 결상 과정의 핵심이다. 이 변환을 수행하는 함수를 광학적 전달함수(optical transfer function) 또는 OTF라 한다. 이 함수는 공간주파수에 따라 변하는 복소수이며 그 크기는 변조전달함수(modulation transfer function, MTF)이 고 위상은 자연히 위상전달함수(phase transfer function, PTF)이다. 전자는 물체에서 영상으로 바뀌는 과정에서 주파수에 따라 감소되는 대비도의 지 수이다. 후자는 이때의 상대적인 위상 이동을 나타낸다. MTF는 자기 테이프와 필름에서부터 망원경, 대기권 그리고 눈 등에 이르 기까지 온갖 종류의 광소자와 광학계의 성능을 나타내는 수단으로 널리 사용되고 있다. 더구나 광학계를 구성하는 독립적인 광소자들의 MTF가 주 어지면, 전체 MTF는 종종 단순히 이들의 곱으로 주어진다는 장점이 있다. 예: 30선/mm에서 변조도 0.3인 물체를 적절한 조건하에서 30선/mm에서 의 MTF가 0.5인 렌즈를 가진 사진기를 이용하여 30선/mm에서 MTF가 0.4 인 Tri-X와 같은 필름에 촬영할 경우, 영상의 변조도는 0.3X0.5X0.4=0.06
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영상은 (공간불변과 비간섭성의 조건하에서) 물체복사조도와 점퍼짐 함수의 역상관으로 표현된다: (11.90) 공간주파수 영역에서 이에 대응하는 관계는 푸리에 변환을 취하여, (11.91)
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영상의 복사조도 분포의 주파수 스펙트럼은 물체의 복사조도 분포의 주파 수 스펙트럼과 퍼짐함수의 변환을 곱한 것과 같다 물체 스펙트럼을 영상 스펙트럼으로 전환시켜 주는 비규격화 OTF(unnormalized OTF)를 다음과 같이 정의한다: (11.92) 공간주파수가 0일 때의 값으로 나눈 일련의 규격화 전달함수(normalized transfer function)를 정의하는 것이 관례가 되었다. 규격화 퍼짐함수는
규격화 OTF는 2차원에서는
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