Probabilidade Distribuições Uniforme, Geométrica, Hipergeométrica e Multinomial
Distribuição Uniforme |
Usada comumente nas situações em que não há razão para atribuir probabilidades diferentes a um conjunto possíveis de valores da variável aleatória em um determinado intervalo z z
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tempo de chegada de um vôo distância de posição de cargas em uma ponte, em relação a um pilar terminal
Usualmente associamos uma distribuição uniforme a uma determinada variável aleatória, simplesmente por falta de informação mais precisa, além do conhecimento do seu intervalo de valores
Distribuição Uniforme
1 f (x) = a ≤ x ≤b b −a
Distribuição Uniforme EXEMPLO |
Devido a situações imprevisíveis de tráfego, o tempo que um estudante leva para ir de sua casa à aula matutina segue uma distribuição uniforme entre 22 e 30 minutos.
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Se ele sai de casa precisamente às 7:35 da manhã, qual a probabilidade dele não se atrasar para a aula das 8:00 horas?
Distribuição Uniforme SOLUÇÃO |
Seja X o tempo (minutos) de chegada do estudante à aula depois de 8:00 horas
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Qual fórmula representa a variável aleatória X ?
1 f ( x) = 8
−3 ≤ x ≤ 5
Distribuição Uniforme |
Em termos dos valores de X, qual probabilidade estamos realmente interessados em calcular? Î P ( -3 ≤ X ≤ 0 ) !!!
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Do gráfico acima temos que: Î P( -3 ≤ X ≤ 0 ) = 3 . (1/8) = 3/8
Distribuição Geométrica |
Aplicada em experimentos que satisfazem a todas as condições de experimentos binomiais, exceto por: z
Não ter um número finito de provas.
P( x) = p.(1 − p )
x −1
Exemplo |
Suponha que a probabilidade de um componente de computador ser defeituoso é de 0,2. Numa mesa de testes, uma batelada é posta à prova, um a um. Determine a probabilidade do primeiro defeito encontrado ocorrer no sétimo componente testado.
P(7) = 0,2.(1 − 0,2)
7 −1
= 0,0524
Distribuição Hipergeométrica |
No caso de amostragem sem reposição de uma população finita, não podemos utilizar a Distribuição Binomial, pois não satisfaz ao critério de probabilidade constante (p) em cada experimento. Nestes casos, utilizamos a Distribuição Hipergeométrica.
Distribuição Hipergeométrica |
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Aplica-se em situações onde: z Há N objetos (indivíduos) na população z A população divide-se em dois tipos: M objetos do tipo A e N – M objetos do tipo B z Escolhe-se uma amostra de tamanho n da população z Seja X uma variável aleatória igual ao número de objetos do tipo A na amostra. X tem distribuição hipergeométrica com parâmetros N, M e n Ex.: Suponha-se que haja N transistores, dos quais M são MOSFET e N-M são BJT. Extrai-se uma amostra aleatória de n transistores, sem reposição. Qual a probabilidade de exatamente k transistores serem do tipo MOSFET?
Distribuição Hipergeométrica |
Aplica-se em situações onde: z z z z
Há N objetos (indivíduos) na população A população divide-se em dois tipos: M objetos do tipo A e N – M objetos do tipo B Escolhe-se uma amostra de tamanho n da população Seja X uma variável aleatória igual ao número de objetos do tipo A na amostra. X tem distribuição hipergeométrica com parâmetros N, M e n
⎛ M ⎞⎛ N − M ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ x ⎠⎝ n − x ⎠ ⎝ P( X = x) = ⎛N⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝n⎠
Distribuição Hipergeométrica A! B! . ( A − x)! x! ( B − n + x)!(n − x)! P( x) = ( A + B )! ( A + B − n)!n! | | | |
A objetos de um tipo B objetos restantes de outro tipo n objetos extraídos sem reposição x: objetos do tipo A
Exemplo 1 |
Numa Loteria, um apostador escolhe 6 números de 1 a 54. Qual a probabilidade dele acertar 5 números? z
M=6; N-M=48; n=6; x=5
6! 48! . 288 (6 − 5)!5! (48 − 6 + 5)!(6 − 5)! P( x) = = = 1,1151x10 −5 (6 + 48)! 25827165 (6 + 48 − 6)!6!
Exemplo 2 |
Na Mega-Sena, um apostador escolhe 7 dezenas dentre 60. Qual a probabilidade dele acertar as 6 dezenas corretas? Compare com a probabilidade dele acertar as 6 dezenas jogando apenas 6 dezenas. z
M=6; N-M=60-6=54; n=7; x=6
⎛ M ⎞⎛ N − M ⎞ ⎛ 6 ⎞⎛ 60 − 6 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ x ⎠⎝ n − x ⎠ ⎝ 6 ⎠⎝ 7 − 6 ⎠ 54 ⎝ P( X = x) = = = = 1,3982 ⋅10 −7 386206920 ⎛N⎞ ⎛ 60 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝n⎠ ⎝7⎠
Exemplo 2 |
Comparando com a probabilidade de acertar 6 dezenas, jogando apenas 6: z
M=6; N-M=60-6=54; n=6; x=6
⎛ 6 ⎞⎛ 60 − 6 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ 6 ⎠⎝ 6 − 6 ⎠ 1 ⎝ P ( X = 6) = = = 1,9974 ⋅10 −8 50063860 ⎛ 60 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝6⎠
Preços das Jogadas na MegaSena Dezenas
Aposta
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 7 28 84 210 462 924 1716 3003 5005
Valor
1,50 10,50 42,00 126,00 315,00 693,00 1.386,00 2.574,00 4.504,50 7.507,50
Fonte: www.caixa.gov.br Acesso em 04.04.2006
Exemplo 2 |
Dividindo a probabilidade de acertar 6 jogando 7, com a probabilidade de acertar 6 jogando 6, tem-se: −7
1,3982 ⋅10 ≈7 −8 1,9974 ⋅10 Isto significa que, jogando 7 dezenas, tem-se uma chance 7 vezes maior de acertar as 6 dezenas corretas. Com efeito, o preço pago por um cartão de 7 dezenas é 7 vezes maior que o preço de um cartão com 6 dezenas!
Distribuição Multinomial A Distribuição Binomial se aplica apenas nos casos que envolvem mais que 2 tipos de resultados. A Multinomial envolve mais que duas categorias. | Por exemplo, para três resultados: |
n! x1 x2 x3 P( x) = . p1 . p2 . p3 ( x1!).( x2 !).( x3!)
Exemplo |
Um experimento de genética envolve 6 genótipos mutuamente excludentes identificados por A, B, C, D, E e F, todos igualmente prováveis. Testados 20 indivíduos, determine a probabilidade de obter exatamente: z
5 A; 4 B; 3 C; 2 D; 3 E; 3 F
20! P( x) = .(1 / 6) 5 .(1 / 6) 4 .(1 / 6) 3 .(1 / 6) 2 .(1 / 6) 3 .(1 / 6) 3 5!.4!.3!.2!.3!.3! P( x) = 0,000535
