Ejemplos de Aplicación de los Métodos Numéricos a Problemas de Ingeniería Salvador Botello Rionda Centro de Investigación en Matemáticas A.C. RESUMEN Se presenta una descripción de algunos de los problemas importantes en el diseño asistido por computadora, utilizando métodos numéricos, que actualmente se abordan en ingeniería. Se describen además algunos ejemplos con desarrollos teóricos y computacionales que se realizan en el CIMAT (Centro de Investigación en Matemáticas A.C.) en Guanajuato, México. Este trabajo presenta un panorama general de algunas de las aplicaciones que pueden darse a los métodos numéricos.
INTRODUCCION Desde tiempos ancestrales el papel del ingeniero ha sido básicamente el mismo, tratar de conocer e interpretar los mecanismos de la naturaleza para así poder modificarla al servicio del hombre. Para ello ha utilizado sus conocimientos, intuición, experiencia y los medios naturales a los que en cada momento ha tenido disponibles. Con el gran poder de cómputo que se tiene en estos días, el ingeniero dispone de grandes ventajas para poder llevar a cabo su misión y abordar cada día retos mas ambiciosos en la solución de nuevos problemas, cuyos aspectos políticos, económicos, científicos o tecnológicos pueden tener un mayor impacto en la mejora de la calidad de vida del hombre. Encontramos así aplicaciones de los métodos numéricos en los ámbitos mas diversos desde sectores tecnológicos tan clásicos como la ingeniería estructural o la aerodinámica de aviones, hasta aplicaciones más sofisticadas como ingeniería de alimentos, ingeniería medica, diseño de fármacos, biología, etc.. En la actualidad, gracias a la gran evolución que han tenido los métodos numéricos y su implementación en potentes computadoras, es posible, por ejemplo, modelar el choque de un vehículo o hacer el análisis aerodinámicoestructural de un avión, resolviendo en cada caso sistemas algebraicos de ecuaciones con varios cientos de miles (a veces de millones) de incógnitas. Se presentan a continuación algunas aplicaciones de los métodos numéricos a diversos problemas de ingeníera Mecánica de Sólidos Existen hoy en día, un gran número de estructuras en ingeniería civil, que son modelados desde su concepción utilizando técnicas de elementos finitos. Ejemplos de ellas puede ser el edificio de la Unidad de Ciencias EconómicoAdministrativas de la Universidad de Guanajuato (UCEA), el cual se muestra en la Figura 1. Para modelarlo se utilizaron mas de 10,000 elementos de lamina plana, los cuales representan los materiales que forman la estructura (concreto y acero),
en Figura 2 pueden verse los resultados de isocontornos correspondientes a los momentos flectores máximos provocados por cargas de servicio estáticas en la estructura. En la Figura 3 pueden verse los primeros modos de vibración de la estructura, los cuales se pueden excitar bajo un movimiento sísmico. Dichos modos de vibración son obtenidos resolviendo un problema de valores y vectores propios generalizados [*].
Figura1.- Edificio de la Unidad Ciencias Económico-Administrativas de la Universidad de Guanajuato (UCEA).
Figura 2.- Malla de Elementos Finitos para el modelado del Edificio de la Unidad Ciencias Económico-Administrativas de la Universidad de Guanajuato (UCEA).
Figura 3.- Diagrama de momentos del edificio, resultado de la modelación numérica utilizando elementos finitos del Edificio de la Unidad Ciencias Económico-Administrativas de la Universidad de Guanajuato (UCEA).
Figura 4.- Primeros cuatro modos de vibración, resultado de la modelación numérica utilizando elementos finitos del Edificio de la Unidad Ciencias Económico-Administrativas de la Universidad de Guanajuato (UCEA).
El edificio de la UCEA se modeló bajo cargas estáticas (cargas de servicio por peso propio y cargas provocadas por el servicio del mismo edificio, como serían las personas, mobiliario, estanterías de biblioteca, etc.), bajo cargas sísmicas y de viento (siguiendo el reglamento de construcción de la ciudad de Guanajuato).
Figura 5.- Modelado numérico integral de una vivienda de interés social mexicana.
Figura 6.- Modelado numérico de la interacción entre dos cuerpos diferentes, una zapata de borde y el suelo sobre el que se apoya. Los métodos numéricos también pueden ser utilizados para estudiar el comportamiento de estructuras que son fabricadas en serie. Un ejemplo típico de esta aplicación es el modelado numérico de casas habitación de interés social. En este caso es muy importante hacer el modelado integral de la estructura, para ver su comportamiento como un todo y poder tomar acciones tanto de diseño como posibles reparaciones cuando sufre daño en condiciones de servicio. Un ejemplo práctico puede verse en la Figura 5. También es posible hacer la simulación numérica entre dos sólidos, cada uno de ellos con un comportamiento diferente. Un ejemplo típico es la interacción entre una cimentación (zapata) y el suelo sobre el que se apoya. El objetivo es determinar la máxima capacidad de carga que puede soportar el suelo en condiciones de servicio. En la Figura 6 pude verse el resultado de una simulación numérica de la interacción suelo-estructura.
En ocasiones es muy importante hacer el análisis de estructuras que fueron construidas hace muchos años. Estas estructuras pueden tener ya daños estructurales y es muy importante poder predecir si la estructura es estable o bien si requiere algún tipo de reparación. También es importante modelar el tipo de reparación, qué materiales se utilizarán y qué estrategia constructiva se va a utilizar. Un ejemplo de este tipo de modelaciones puede verse en la Figura 7, en donde se presentan los resultados de un análisis de daño sobre las naves centrales de la catedral de Barcelona.
Figura 7.- Modelado numerico de las naves centrales de la catedral de Barcelona.
Figura 8.- Simulación numérica de una presa en arco. En la Figura 8 se presenta un modelo de estudio de una presa en arco. En este tipo de estructuras debe tomarse en cuenta la capacidad de la roca sobre la cual se cimentará la cortina de la presa, la interacción con el fluido y garantizar que si se presenta una acción sísmica, la presa no se colapsará.
Figura 9.- Simulación de un golpe sobre un cráneo humano En la Figura 9 se presentan los resultados de hacer la simulación numérica de un golpe sobre un cráneo humano. En este punto vale la pena resaltar que un aspecto muy importante de este tipo de aplicaciones es contar con una descripción geométrica precisa del dominio a estudiar. Como puede verse en este ejemplo, la geometría que utilizamos es muy buena y fue obtenida utilizando un algoritmo diseñado para extraer el cerebro humano de un conjunto de imágenes de resonancia magnética [] (en donde también utilizamos métodos numéricos). Sin embargo, es importante mencionar que existen algunos preprocesadores comerciales que permiten en forma más o menos sencilla modelar la geometría a estudiar como GID []. Existen otro gran número de aplicaciones en la mecánica de sólidos como podrían ser: determinación de zonas de falla en materiales frágiles como el concreto, laminados de materiales compuestos, cerámicos; estudio de piezas en rango plástico para predecir su comportamiento en situaciones extremas; Modelos de daño para predecir el comportamiento de piezas mecánicas que ya están fracturadas y se requiere medir el grado de seguridad que aun pueden tener; modelos que permiten simular fatiga de los materiales que forman una pieza mecánica sometida a acciones dinámicas;
Mecánica de Fluidos Una rama muy importante de la ingeniería, es el estudio de la mecánica de fluidos, en donde las ecuaciones que gobiernan el fenómeno físico tienen ciertas peculariedades que las hacen difíciles de abordar desde el punto de vista numérico. Aquí se presentan problemas de bloqueo numérico de la solución y deben seguirse ciertas alternativas para hacer abordable el problema. Un tipo de problemas que es interesantes resolver es por ejemplo determinar las presiones que provoca el viento sobre una estructura determinada. Un estudio de ese tipo se realizó en el observatorio astronómico de Gran Canarias, construido por la Comunidad Económica Europea en las Islas Canarias a finales del siglo pasado. Se requería poder determinar qué deformaciones produciría el viento sobre la estructura del telescopio, pues se afectaría seriamente la calidad de las observaciones que se realizarían. En la Figura 10 pueden observarse las líneas de corriente que sigue el viento al entrar en la estructura que cubre el telescopio.
Figura 10.- Modelo y resultados de la simulación sobre el telescopio localizado en la isla de Gran Canaria, España.
Figura 11.- Simulación de aerodinámica de vehículos. Otro aspecto muy importante en una aplicación de la Mecánica de Fluidos es el de generar laboratorios virtuales para modelar fenómenos físicos. Por ejemplo el túnel de viento para modelar el paso de un vehículo a una cierta velocidad y determinar el coeficiente de penetración en el aire, el cual puede incidir en el gasto energético del vehiculo para poder mantener una velocidad constante. Un ejemplo de estas simulaciones puede verse en la Figura 11. Existen también problemas acoplados fluido-estructura, en donde el resultado de uno influye en los resultados que se esperan del otro. Un ejemplo muy típico de este tipo de problemas acoplados es el modelado de la vela de un barco (ver Figura 12). En este tipo de problemas, cuando el viento sopla sobre la vela, la deforma geométricamente hablando y modifica las presiones que el viento provoca sobre la vela. De esta forma la geometría de la vela se ve alterada, y los esfuerzos que actúan sobre la vela, pueden a su vez deformar aún más la geometría. Si no se realiza una simulación realista en este tipo de fenómenos, los resultados numéricos no representaran el fenómeno físico real. Otro tipo de interacción puede darse entre una estructura y el viento que la deforma, pues cuando esto sucede, se modifica la geometría de la estructura y a su vez cambia la distribución de presiones que el viento provoca sobre la estructura. El modelado de este tipo de fenómenos es muy importante en estructuras ligeras, con gran capacidad de deformación, las cuales pueden ser utilizadas en ferias, y que un daño de las mismas puede producir lesiones en un gran número de personas. Un ejemplo de este tipo de simulaciones puede verse en la Figura 13.
Figura 12.- Ejemplo de interacción fluido Estructura. Modelado de la vela de un barco como un problema acoplado.
Figura 13.- Simulación numérica de la interacción fluido-estructura.
Medios de Transporte En general, para la concepción y producción de un vehículo (ya sea un automóvil, un avión o un barco) es muy común utilizar modelos numéricos de dinámica de fluidos para simular el comportamiento del vehiculo en movimiento (ya sea en tierra, en aire o en ambos). Esto permite optimizar la forma geométrica exterior del mismo de manera que su resistencia al avance sea la mínima posible, lo que permitirá tener una vida útil más larga, menor consumo de combustible, que sea menos contaminante, que sea más ligero (más barato de producir). Pero el estudio no termina ahí. Los modelos anteriormente descritos deben acoplarse con estudios que permitan el modelado de situaciones extremas de servicio del vehículo que podrían afectar la seguridad de sus ocupantes, tales como: choque , vuelco, aterrizaje forzoso, etc., lo que exige hacer uso de modelos avanzados de dinámica estructural no lineal. Por otra parte, cada vez es más usual utilizar simulaciones numéricas para reproducir el ciclo de diseño y fabricación de piezas de los vehículos. Ejemplos de estos procesos pueden encontrase en: la embutición, el doblado y el corte de piezas de chapa para carrocerías y fuselajes; el modelado de la fabricación del monoblock de un motor, de una biela o de un pistón (problema termo-mecánico con cambio de fase para modelar la solidificación del colado de la pieza); el diseño de mejores sistemas de seguridad activos y pasivos en caso de colisión (refuerzos estructurales, bolsas de aire, etc.).
Figura 14.- Modelado del proceso de embutición de un punzón sobre una puerta de un coche.
La integración de todos estos modelos computacionales, que están fuertemente ligados a la aplicación de los métodos numéricos, están permitiendo concebir la denominada “fabrica virtual”, que permitirá optimizar todo el ciclo productivo. En la Figura 14, puede verse la simulación numérica de una prueba que se realiza en automóviles, para garantizar la seguridad de sus ocupantes ante un choque lateral. Este tipo de laboratorios virtuales es ampliamente utilizado en la industria automotriz.
Figura 15.- Modelado del choque de un coche. En la Figura 15, puede verse el resultado de la simulación numérica del choque de un coche. Los costos de las pruebas pueden bajarse y el número de pruebas que se pueden hacer en un lapso de tiempo es mucho mayor. Esto impacta significativamente en la seguridad que los usuarios reciben.
Figura 16.- Simulación numérica sobre el fuselaje de un avión F16. En la Figura 16, puede observarse el resultado de una simulación numérica en el fuselaje de un avión. Este tipo de modelos han tenido un desarrollo importante en la industria militar. Sin embargo, los resultados que se han obtenido permiten tener en estos momentos medios de transporte más seguros, eficientes, confortables y confiables. El continuo estudio y desarrollo de los métodos numéricos ha permitido poder hacer simulaciones cada vez más realistas de la vida útil de un vehiculo. Se ha logrado desarrollar modelos que permiten determinar el grado de deterioro que puede tener una pieza y modelar su comportamiento como parte de un sistema.
Procesamiento de Imágenes Médicas. El problema de registro en imágenes, un problema relevante de procesamiento de imágenes medicas, consiste en encontrar la transformación geométrica que ponga dos imágenes dadas en la mejor correspondencia posible. Una de sus aplicaciones más inmediatas es realizar el registro de un cerebro espécimen con el de un atlas anatómico [] en el que se conoce perfectamente a qué corresponde cada uno de los voxeles que forman la imagen, ver Figura 17. El aplicar una buena técnica de registro de imágenes entre el atlas y el espécimen, nos permitiría segmentar muy fácilmente cada una de las partes que integran la cabeza del espécimen. Lamentablemente, hacer esto resulta una tarea muy compleja, dado que aunque el espécimen sea el de una persona normal y tenga el mismo tipo de órganos que el atlas, el volumen y la forma de estos es muy variable. Existirán zonas dentro de las imágenes que requieran deformarse poco y otras que requieran de grandes campos de deformaciones. Además dichas zonas pueden estar contiguas lo que provocaría gradientes muy grandes del campo de deformaciones. Si tomamos en cuenta que el número de voxeles que debemos manejar es muy grande (decenas de millones), el diseño de algoritmos óptimos resulta en un sustancial ahorro de tiempo de cómputo.
Figura 17.- Ejemplo de aplicación al procesamiento de imágenes medicas para segmentación del cerebelo. a) Imagen Destino, b) Imagen Fuente, c) Imagen Fuente Transformada, d) Imagen Destino con máscara de cerebro calculada, e) Imagen Fuente con máscara de cerebelo definida a mano f) diferencias entre Imagen Fuente Transformada e Imagen Destino.
Optimización Multiobjetivo Es indudable que las técnicas de optimización son altamente aplicables a la gran mayoría de los procesos industriales. Sin embargo, hay algunas técnicas de optimización que requieren algunas condiciones muy características que los procesos requieren cumplir para poder ser económicamente viables. Es de todos conocido que las técnicas de optimización con varios objetivos han tenido un desarrollo sumamente importante en los últimos años, más aún cuando existe un compromiso entre los objetivos que se buscan. Una de las grandes virtudes de las técnicas de computación multiobjetivo es que permiten optimizar varias funciones de costo sin importar el tamaño del espacio de búsqueda ni la existencia de varios mínimos locales. Otra de sus virtudes es que puede trabajar con restricciones, las cuales pueden estar o no implícitas en la función de costo del problema. Una aplicación inmediata de este tipo de problemas es la optimización de formas. En este problema se desea obtener la mejor forma posible para una pieza mecánica que garantice condiciones de funcionalidad, servicialidad y que sea lo más económica posible. Este problema de bastante interés actualmente, en el cual están trabajando varios investigadores en el mundo. Un ejemplo típico de este tipo de aplicaciones es optimizar la forma de un puente. En la Figura 18 se presenta la geometría de la cual se inicia y se presenta la geometría final (utilizando 632 elementos finitos en su discretización espacial). También en esta figura se presenta el resultado final utilizando una malla más tupida con 1184 elementos.
Figura 18.- Ejemplo de optimización de forma. De una viga sólida, se busca la mejor geometría para un puente.
Figura 19 puede verse el resultado de una optimización de formas en el contexto de un problema con múltiples objetivos En este ejemplo se trata de obtener la mejor forma para una bicicleta, considerando cargas de servicio, pero además de obtener la bicicleta de menor peso se requiere minimizar la deformación que tendría para cada peso.
Figura 19.- Ejemplo de optimización de formas multiobjetivo. Un objetivo es minimizar el peso y el otro es minimizar la deformación en la bicicleta. Conclusiones Como ha podido constatarse a lo largo de este articulo, los métodos numéricos y su aplicación computacional, permite resolver diversos problemas físicos en forma eficiente. La cantidad de problemas que se abordan aumenta día a día y la calidad de los resultados se ajusta más a la realidad. La conjunción de las matemáticas y los métodos numéricos a permitido abordar problemas de mucho intereses tanto para la comunidad científica, como para que la sociedad se vea beneficiada de la aplicación de simulaciones numéricas.
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