Elementos Finitos - DEECC - Universidade Federal do Ceará

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL: ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL

Elementos Finitos Professor: Evandro Parente Jr. Período: 2009/1

INFORMAÇÕES GERAIS Aulas: Segundas 8:00-9:30h Quintas 10:00-12:00h Sala 05 – Bloco 710 Professor: Evandro Parente Jr. Sala 12 – Bloco 710 Tel: 3366-9607 Ramal 23 [email protected] Site: http://www.deecc.ufc.br/professores/evandro.htm 2

Objetivos da disciplina

„

Geral „

„

Fornecer os conhecimentos necessários à análise de tensões em sólidos e estruturas através do Método dos Elementos Finitos (MEF).

Específicos „

„ „ „

Apresentar a formulação do MEF para análise de tensões. Mostrar os problemas e limitações do MEF. Aplicar o MEF à análise de problemas reais. Discutir a implementação computacional do método. 3

Conteúdo „ „ „

Introdução ao MEF. Trabalho Virtual e Energia Potencial. Método da Rigidez Direta. „

„

Formulação do MEF para problemas 1D. „ „

„

Funções de forma. Integração numérica.

Formulação do MEF para problemas 2D/3D. „ „

„

Barras e treliças.

Formulação isoparamétrica. Condições de convergência e “patch-test”.

Formulação do MEF para vigas e placas. 4

Bibliografia „

Básica „ „

„

Notas de aula. Cook, Malkus, Plesha & Witt (2002) – Concepts and Applications of Finite Element Analysis, 4a ed.

Complementar „ „

„

Bathe (1996) – Finite Element Procedures. Reddy (1993) – An Introduction to the Finite Element Method. Hughes (1987) – The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. 5

Avaliação „

Lista de exercícios (1/3). „ „ „

„

Trabalho final (1/3): „ „ „

„

A discussão entre os alunos é encorajada. Trabalho individual, não se aceitando soluções idênticas. Não será aceita entrega fora do prazo.

Resumo do trabalho: 30/Abr/2009. Relatório de andamento: 28/Mai/2009. Apresentação: 22/Jun/2009.

Provas escritas (1/3): „ „

AP1 – 23/Abr/2009. AP2 – 18/Jun/2009. 6

Análise de sistemas de engenharia Problema físico Simplificações e aproximações Modelo matemático Ex: equação diferencial

Discretização Modelo numérico Ex: Modelo de elementos finitos 7

Análise de sistemas de engenharia „

A seleção do modelo matemático depende da resposta a ser obtida. Exemplos: „ „

„

Um bom modelo deve: „ „ „

„

Distribuição de temperatura. Campo de tensões.

Considerar os aspectos essenciais do problema. Desprezar os fatores secundários. Fornecer resultados próximos das respostas reais.

Se as previsões do modelo não estão de acordo com as respostas reais é necessário refinar o modelo: „

Incluir aspectos inicialmente desprezados. 8

Análise de sistemas de engenharia „

„

Modelos numéricos são aproximações dos modelos matemáticos. Um método numérico é confiável se ele converge para a solução exata do modelo matemático. „ „ „ „

„

Garantia de convergência com o refinamento. Velocidade de convergência. Custo computacional envolvido. Facilidade de implementação e utilização.

A solução numérica de um problema não pode ser melhor do que o modelo matemático utilizado. 9

Discretização Problema: Determinação do perímetro de um círculo. R

Dividindo em n partes:

α

l = 2Rsen(α/2) α = 2π/n L = n l = 2πR sen(α/2) α/2 10

Discretização Laprox/Lexato

log(Laprox/Lexato- 1)

Verifica-se que a solução converge para o resultado exato. A velocidade de convergência é boa ? 11

Projeto estrutural „

Conceito „

„

„

Definição de uma configuração estrutural capaz de resistir às ações externas “transferindo” o efeitos destas ações até os apoios. Envolve a definição da geometria e materiais utilizados.

Requesitos „ „ „ „ „

Segurança (resistência + estabilidade). Conforto e estética. Durabilidade. Economia (construção e manutenção). Viabilidade construtiva. 12

Ações externas „

Peso próprio e cargas de utilização (sobrecarga).

„

Ações ambientais: „ „

Variação de temperatura. Forças de vento, neve, correntes marinhas, ondas, ...

„

Expansão/retração dos materiais.

„

Protensão.

„

Deslocamentos prescritos: „ „

Recalques de apoio. Terremotos.

13

Análise estrutural „

Conceito: „

„

„

Determinação das respostas mecânicas de uma estrutura devido a ações externas. Obs: a geometria e os materiais são conhecidos.

Respostas mecânicas: „ „ „ „ „

Deslocamentos e deformações Tensões e esforços internos. Cargas e modos de flambagem. Freqüências naturais e modos de vibração. Carga de ruptura. 14

Importância dos métodos numéricos „

„

A análise de estruturas envolve a solução de equações diferenciais parciais. Soluções analíticas exatas (fechadas) só existem em casos especiais: „ „ „

„

Geometria e condições de contorno simples. Certos tipos de carregamento. Material homogêneo.

A solução de problemas reais requer a utilização de métodos numéricos (aproximados): „ „ „

Método das Diferenças Finitas. Método dos Elementos Finitos. Método dos Elementos de Contorno. 15

Análise por elementos finitos

Malha

elemento Geometria Material

apoios

nó

carregamento

16

Análise por elementos finitos „

Dividir o domínio do problema em regiões (elementos finitos) de geometria simples: „ „

„

Aproximar os deslocamentos no interior dos elementos: „ „

„

„

Triângulos, quadriláteros, tetraedros, hexaedros,... Os elementos adjacentes são conectados através dos nós. Interpolar a partir dos valores nodais. Utilizar funções simples: lineares, quadráticas,...

Obter e resolver as equações de equilíbrio em função dos deslocamentos nodais (graus de liberdade). Calcular respostas no interior dos elementos: „ „

Deformações a partir do campo de deslocamentos. Tensões a partir das deformações. 17

Vantagens do MEF „

Aplicação a qualquer problema de campo: „

„ „

„ „

„

Não há restrição quanto a geometria do problema. Não há restrições sobre o carregamento e as condições de contorno do problema. O material pode variar de elemento para elemento. O modelo de elementos finitos parece com o corpo ou região a ser analisada. Um modelo pode incluir componentes com diferentes comportamentos: „

„

Tensões, transferência de calor, percolação, etc.

Barras, vigas, placas, cascas, sólidos, etc.

A aproximação é melhorada facilmente refinando a malha de elementos finitos ⇒ convergência.

18

Exemplo de aplicação: estrutura de edifício

http://www.csiberkeley.com/

19

Análise de um tanque esférico

http://www.csiberkeley.com/ 20

Contato pneu-pavimento

http://www.manufacturingcenter.com/dfx/

21

Contato pneu-pavimento

22

Modo de vibração de um copo

ABAQUS - Insights vol 7 23

Trem de pouso

http://www.abaqus.com/ 24

Fuselagem

http://www.abaqus.com/ 25

Fuselagem

Cargas e apoios

Configuração pós-flambagem 26

Pontes

Depois do terremoto

San Francisco Bay Bridge

http://www.adina.com/ 27

Pontes

28

Simulação de colisão

http://www.adina.com/

29

Simulação de colisão

30

Simulação de colisão

31

Trabalhos de anos anteriores „

Bruno Barros – Análise Estrutural da Fôrma de um Pilar em Concreto Armado. „

Verificação dos Estados Limites Último e de Utilização (deslocamentos excessivos) da forma de um pilar em Concreto Armado utilizando o MEF utilizando o programa ABAQUS/CAE. „

Analisar a influência dos componentes estruturais da fôrma de um pilar.

„

Projeto de norma 02:124.24-001: Fôrmas e Escoramentos para Estruturas de Concreto.

32

Trabalhos de anos anteriores „

Detalhe da estrutura „

„

Seção de 35x120cm e altura de concretagem de 2,36m. A estrutura básica da fôrma: „

„

„

„

Tipo de Análise: „

„

Estática.

Condições de Apoio: „

„

Molde de compensado plastificado de 18 mm. Longarinas de madeira bruta serrada. Tirante metálico (parafuso).

Deslocamento na base do pilar restringido nas três direções.

Carregamento: „

Empuxo do Concreto.

33

Trabalhos de anos anteriores „

Modelo de Analise „

Carregamento (Empuxo do Concreto). „ „

„

Estado Limite Último (Tensão Admissível). „

Molde. „ „

„

„

„

55 MPa (paralelo às camadas). 45 MPa (perpendicular às camadas).

Longarinas. „

„

Velocidade de Concretagem: 7m/h. Consistência do Concreto: 82,6 kN/m².

37,8MPa (Compressão). 50,3MPa (Tração).

Tirantes: 290 MPa.

Estado Limite de Utilização (Deslocamentos excessivos). „

δadm = 5mm (item 9.2.4 NBR14931/2004).

34

Trabalhos de anos anteriores „

Três análises (Estado Limite de Utilização): „ „ „

Somente o Molde (δ = 165,6 mm). Molde e Longarina (δ = 7,753 mm). Molde, Longarina e Tirante (δ = 7,753 mm).

35

Trabalhos de anos anteriores „

Bruno Feijo – Análise Estrutural de uma Torre de

Enerfia Eólica para Operação no Estado do Ceará. „

„

„

„

„

„

Análise de uma torre de energia eólica pelo Método dos Elementos Finitos. Foi utilizado o programa ABAQUS para modelar torres com diferentes secções. Análise preliminar utilizando o FTOOL e o ABAQUS para que pudessem ser feitas algumas verificações para validar o modelo. Perfil circular cônico, com 45 m de altura, diâmetro de base 3,00 m e no topo diâmetro aproximado de 1,42 m. Material aço, com módulo de elasticidade (E) de 205 GPa e coeficiente de Poison (υ) 0,3. Variação da espessura da parede ao longo da altura. 36

Trabalhos de anos anteriores „

Modelo de Elementos Finitos „ „ „

„

„

Carregamentos atuantes

Malha para os valores de 0.6, 0.4, 0.3 e 0.2 m. Engastado na base. Carga distribuída no topo da torre de 50 kN (Peso da hélice + gerador). Carga de vento estática (NBR 6123). Z (m )

q (N/ m 2)

≤ 5,00

421

< 10,00

478

< 15,00

518

< 20,00

538

< 30,00

580

< 40,00

741

< 50,00

635

Modelo seccionado em sete partes: a 5, 10, 15, 20, 30 e 40 m.

Malha

37

Trabalhos de anos anteriores „

Tensões Máximas Principais

Malha 0,6

Malha 0,4

Malha 0,3

Malha 0,2

38

Trabalhos de anos anteriores „

Fábio Anderson – Estabilidade de Placas Laminadas. (Artigo - Cilamce 2008)

Placa laminada „

„

„

Esquema de laminação

Estudar o comportamento de placas laminadas quando submetidas a carregamentos no plano; Calcular as cargas críticas utilizando o Método dos Elementos Finitos (MEF). Compara a solução numérica obtida pelo MEF com solução de problemas clássicos.

39

Trabalhos de anos anteriores „

Modelo de elementos finitos Carregamento biaxial

Elemento (Q8)

z

Condição de Apoio: Simplesmente apoiada h

x

y

Restrições

Nó

L

L

40

Trabalhos de anos anteriores Placa com laminação simétrica cross-ply (0/90)s E1/E2 Analítica FEMOOP ABAQUS Erro FEMOOP Erro ABAQUS Compressão Uniaxial (k = 0) 25 7.124 7.070 7.074 -0.76% -0.70% 40 7.404 7.328 7.318 -1.03% -1.16% Compressão Biaxial (k = 1) 25 3.562 3.542 3.537 -0.55% -0.69% 40 3.702 3.669 3.660 -0.89% -1.15%

1º Modo de flambagem da placa para o carregamento uniaxial: ABAQUS

FEMOOP

41

Trabalhos de anos anteriores „

Paulo Filho – Método dos Elementos Finitos em

Estruturas de Concreto: Revisão Bibliográfica e Exemplo de Aplicação do Método.

„

„

Verificação das tensões na região de furos que atravessam vigas de concreto na direção de sua largura . São adotados como parâmetro para a dispensa de verificação das tensões em torno dos furos as recomendações da NBR 42 6168 – Projeto de estruturas de concreto da ABNT .

Trabalhos de anos anteriores „

Modelagem da viga de concreto. „

Verificação de um furo maior que o diâmetro mínimo recomendado pela NBR 6118. „ Dimensão do furo de no máximo 12 cm e h/3;

Carregamento Malha

Apoios 43

Trabalhos de anos anteriores Distribuição das tensões σxx na viga .

Diagrama de tensões σxx na região do furo

Conclusão: As recomendações da NBR 6118 foram confirmadas pelo modelo numérico. 44

Utilização do MEF „

Análise preliminar: „ „

„

Obter uma solução aproximada do problema. Modelo analítico simplificado, fórmulas, análise experimental, análises anteriores, etc.

Análise por elementos finitos: „

Pré-processamento: „ „

„ „

Modelagem: geometria, apoios, carregamento, materiais, ... Geração de malha.

Análise numérica. Pós-processamento: „ „

Deformadas, modos de vibração/flambagem, animações,... Contornos e gráficos de tensões. 45

Utilização do MEF „

Verificação dos resultados „

Avaliação qualitativa: „

A resposta “parece” certa ? „ Deslocamentos (deformada). „ Tensões.

„

Existem erros grosseiros ?

„

O problema desejado foi resolvido ? Ou foi outro problema ?

„

„

O campo de deslocamentos satisfaz as condições de contorno esperadas ? „ Ex: deslocamentos e rotações nulas nos apoios. As simetrias esperadas estão presentes nas respostas ? 46

Utilização do MEF „

Verificação dos resultados (cont.) „

Avaliação quantitativa „ „

„

Comparar resultados de EF com as soluções preliminares. Verificar se o nível de discretização é satisfatório: „ Continuidade do campo de tensões. „ Estimadores de erros.

Revisão do modelo: „

Eliminar os erros grosseiros „

„ „

Dados de entrada (apoios, propriedades dos materiais,...)

Melhorar o modelo de elementos finitos. Refinar a malha. 47

Utilização do MEF INÍCIO Considerar o problema físico. Criar ou melhorar um modelo matemático.

Obter resultados aproximados para comparação com os resultados da análise pelo MEF.

Planejar a discretização do modelo matemático.

PRÉ-PROCESSAMENTO

EF

Física

NÃO Qual é a falha? Compreensão física ou modelagem?

Discretizar mais a malha.

Os erros estão pequenos? Alterar a malha modificaria pouco os resultados? SIM

PARAR

ANÁLISE PELO MEF

SIM Os resultados estão livres de erros grosseiros? Estão razoáveis do ponto de vista físico?

PÓS-PROCESSAMENTO

48

Utilização do MEF „

Por que estudar a teoria do MEF ? „

„ „

Existem programas comerciais utilizados a bastante tempo. Intensivamente testados: fabricantes e usuários. Os programas atuais possuem interface amigável. „

„

Sua utilização não requer grandes conhecimentos.

A obtenção de resultados confiáveis requer: „

Conhecimento do comportamento estrutural: „

„

Mecânica, resistência dos materiais, teoria das estruturas, ...

Conhecimento do MEF: „ „ „

Comportamento dos elementos utilizados. Características dos algoritmos de análise. Limitações e aproximações utilizadas pelo programa.

49

Modelos para análise de estruturas „

Questões envolvidas: „

Geometria.

„

Cinemática: „ „

„

Deslocamentos. Rotações.

Comportamento dos materiais. „

Relação tensão-deformação.

„

Carregamento.

„

Condições de contorno: „ „

Apoios. Carregamento.

50

Modelos para análise de estruturas „

Contínuos ou sólidos: „ „ „ „ „

„

Barra (1D). Estado Plano de Tensão. Estado Plano de Deformação. Sólido axissimétrico. Sólido 3D.

Estruturais: „ „ „ „

Vigas. Pórticos. Placas. Cascas. 51

Tipos de análise „

Estático x dinâmico „ „ „ „

„

As cargas atuantes são periódicas ou impulsivas ? A estrutura é muito flexível ? A freqüência do carregamento é próxima a da estrutura ? O comportamento do material é dependente do tempo ?

Linear x não-linear „ „ „ „ „ „

Os deslocamentos/rotações são grandes ? Qual a magnitude das deformações ? A região apoiada depende da deformação ? A relação tensão-deformação pode ser considerada linear ? O material sofre deformações permanentes ? Existe a formação de trincas ? 52

Tipos de análise „

Acoplada (multi-física) x desacoplada „ „ „ „

„

Termo-mecânico. Solo-estrutura. Fluido-estrutrura. Piezoelétrico.

Estado da prática: „ „ „ „

Depende do ramo de aplicação. Engenharia civil: estática, linear e desacoplada. Análise dinâmica: terremotos, edifícios altos,... Análise não-linear: problemas especiais. 53