ISEA-PREPARATORIA ABIERTA
GUIA DE MATEMATICAS I
Introducción La formación integral de un buen estudiante como persona requiere conformar un criterio de modo que le permita desenvolverse en el medio que lo rodea de acuerdo a su capacidad y personalidad. El objetivo de esta guía es que el estudiante desarrolle en el uso diario y constante de la matemática, un razonamiento lógico deductivo, así como de proveerlo de los elementos fundamentales y de las técnicas, para manipular esos elementos. El enfoque moderno de la matemática es procurar que el alumno asimile ideas que luego pueda aplicar con su propia técnica ampliando sus habilidades.
UNIDAD I MODULO I. “CONJUNTOS” CONJUNTO: Colección o agregado de ideas u objetos de cualquier especie, siempre y cuando estas ideas u objetos estén tan claros y definidos como para decidir si pertenecen o no al conjunto. ELEMENTO: Son las ideas u objetos cualesquiera que sean, que forman al conjunto. Para simbolizar que un objeto es elemento de, escribimos: X∈ ∈A que se lee “x es un elemento del conjunto A” o por el contrario m∉ ∉A que se lee “m no es un elemento del conjunto A”. Ejemplo de conjuntos: A= {números pares} B= {los días de la semana} Los elementos del conjunto A son: {2,4,6,8….} Los elementos del conjunto B son:{ lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}. Generalmente usamos letras mayúsculas para denotar conjuntos y minúsculas para elementos. Para denotar un conjunto, la forma de escribir los nombres de los elementos que lo forman es entre un par de llaves o corchetes , por ejemplo las vocales del alfabeto: A = {a,e,i,o,u}.
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ESCRITURA DE CONJUNTOS. FORMA ENUMERATIVA (por extensión): Consiste en anotar todos los elementos que pertenecen al conjunto: A = {0,1,2,3,4,5,6,7}
B = {a,e,i,o,u}
FORMA DESCRIPTIVA (por comprensión): Consiste en encerrar entre las llaves o corchetes la condición para pertenecer al conjunto o la descripción de los elementos que lo forman, ejemplo A = {personas mayores de 18 años} B = {los días de la semana } ORACIÓN ABIERTA: Es toda oración en la que interviene alguna variable. X es un número dígito x es un número par Sea E ={x | X es una de las estaciones del año}y el conjunto para el reemplazamiento para x es conjunto M: M = {primavera, verano, otoño, invierno, lunes, abril, frío} Entonces solo elementos de M se pueden usar para reemplazar a la variable x de la oración abierta. x es una de las estaciones del año. primavera es una de las estaciones del año. verano es una de las estaciones del año. otoño es una de las estaciones del año. invierno es una de las estaciones del año. lunes es una de las estaciones del año. abril es una de las estaciones del año. frío es una de las estaciones del año.
En las oraciones anteriores observamos que algunos elementos de M al reemplazar a la variable x forman una oración verdadera y otros una falsa. CONJUNTO DE REEMPLAZAMIENTO: Conjunto que nos proporciona los elementos para reemplazar a la variable en una oración abierta. Notación para construir conjuntos: E = {x ∈ M | x es una estación del año} Conjunto de reemplazamiento M = {primavera, verano, otoño, invierno, lunes, abril, frío}. Conjunto de verdad E = {primavera, verano, otoño, invierno} CONJUNTO DE VERDAD: Son los elementos del conjunto de reemplazamiento que hacen que la oración sea verdadera. Es conveniente observar que al considerar una oración abierta debemos conocer previamente el conjunto de reemplazamiento para poder determinar el conjunto de verdad. Ejemplo: P = {x ∈A | x sea un numero} Para determinar el conjunto de verdad P es necesario conocer los elementos que forman el conjunto de reemplazaniento A, así, si A = {botón, 3, papel,2} entonces P = {3,2}.
VARIABLE: Una variable es una letra usada para representar a cualquier elemento del conjunto de reemplazamiento. 2
X, es un día de la semana. En este caso la x sirve para representar a: lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo.
MODULO II. CARDINALIDAD: Es el número de elementos contenidos en un conjunto. A = {2,4,6,8} n(A) = 4 Quiere decir que el conjunto A tiene 4 elementos. B = {mesa, silla, pelota, escritorio, gis, lámpara} n(B)= 6 El conjunto B tiene 6 elementos CONJUNTO FINITO: Es aquel en el que es posible determinar el número de elementos que a él pertenecen. A = {x es número par menor que 20} Los números pares menores que 20 son: A = { 2,4,6,8,10,12,14,16,18} En este conjunto puedo determinar cuantos elementos forman parte de mi conjunto. CONJUNTO INFINITO: Es aquel en el que no es posible terminar de enumerar sus elementos. A = { números naturales} Los números naturales son todos aquellos que utilizamos para contar, es decir no puedo determinar hasta que número abarca mi conjunto. NUMEROS NATURALES: Son los que nos sirven para contar. “N” N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9....} CONJUNTO UNIVERSAL: Esta formado por la totalidad de los elementos considerados para una determinada operación. Es equivalente al conjunto de reemplazamiento. ”U” U = {números pares mayores que 4 y menores que 16} Quiere decir que en este caso el conjunto tiene que contener los siguientes valores: U = {6,8,10,12,14} ni un elemento más, porque estos son los elementos considerados para la operación. CONJUNTO VACIO: Es el conjunto que no tiene elementos. Φ = { } A= {Números enteros pares mayores que 2 y menores que 4} No existen números enteros que sean pares mayores que 2 y menores que 4 ya que son números consecutivos, en este caso se dice que es un conjunto vacío. CONJUNTOS EQIVALENTES: Son aquellos que poseen la misma cardinalidad, aunque sus elementos sean diferentes. A = B ; n(A) = n (B). A = { 1,2,3,4} B = {lápiz, goma, sacapuntas, libro} n(A) = 4 n(B)= 4 Ambos conjuntos tienen 4 elementos aunque éstos sean diferentes. CONJUNTOS IGUALES: Dos conjuntos son iguales, si son equivalentes y los elementos de uno son también los elementos del otro. A = {1,3,5,7,9} B = {5,7,1,9,3} Ambos conjuntos tienen los mismos elementos.
MODULO III
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SUBCONJUNTO: Cuando los elementos de un conjunto también pertenecen a otro conjunto. ⊆ A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} B = {3,4,5,6} B ⊆ A se lee, B es subconjunto de A, quiere decir que B tiene parte de los elementos que tiene el conjunto A. o sea todos los elementos de B están en A y pueden ser iguales. Cuando decimos que un conjunto es subconjunto de otro estamos dando la idea de pertenencia o también la de partición, ejemplo: A ⊆ B significa A subconjunto B o también A pertenece a B o también A esta incluido en B. Ejemplo: V ={vocales del alfabeto}y A ={todas las letras del alfabeto}. Podemos decir que V⊂ A es decir, cualquier vocal es elemento del alfabeto, pero A ⊂ V porque en el alfabeto hay letras que no son vocales y por lo tanto no son elementos de V. Entonces se dice que V es un subconjunto propio de A, y nunca tiene la misma cardinalidad. V⊂A porque V es solo una parte de A, no pueden ser iguales. Esta idea del subconjunto propio nos sirve para establecer entre los conjuntos la idea de mayor (>) y menor (<). Números primos: son aquellos números que no tienen mas divisores que ellos mismos y la unidad. Los números naturales son los números que utilizamos a diario para contar: 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. Están formados por el número 1, los números primos y los números compuestos. Entre los primeros 10 números naturales encontramos 4 primos: 2, 3, 5 y 7. Del 1 al 100 hay 25 primos. Del 1 al 1000 hay 168 y a medida que avanzamos por la recta se hacen cada vez más escasos, siendo su distribución muy irregular. Los números primos son importantes porque son los átomos de la Matemática. Todos los demás números se construyen a partir de ellos. Los números primos (prime numbers, en inglés) son infinitos como lo demostró Euclides alrededor del año 300 A.C. Los primos menores que 10 son extraordinarios: El 2 es el único primo par. El 2 y el 3 son los únicos primos contiguos. El 5 es el único primo terminado en 5. Por último: 3, 5 y 7 forman la única tríada de primos gemelos en toda la recta numérica. Números compuestos. Las lagunas, desiertos o boquetes son los sectores de la recta numérica en donde no aparece ningún primo. Por ejemplo; una pequeña laguna está localizada en el intervalo que contiene a los números 8, 9 y 10. Se sabe que éstas regiones formadas por números compuestos pueden llegar a tener cualquier longitud que se desee. Los números compuestos son los que tienen más de 2 divisores. Los divisores de un número son los números que pueden dividirlo en forma exacta (Sin generar resto). Por ejemplo: Los divisores del 4 son: 1, 2 y 4. Los divisores del 6 son: 1, 2, 3 y 6. Entre los primeros 10 números naturales se encuentran los siguientes compuestos: 4, 6, 8, 9 y 10.son múltiplos de aquellos que son factores; así 12 es múltiplo de 2, de 3, de 4 y de 6, estos también pueden decir que son factores de 12; se dice que sé factoriza un numero cuando se expresa como producto de sus factores.
MODULO IV Si reunimos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B, obtendremos un tercer conjunto y la operación efectuada la llamaremos unión y los elementos de este tercer confuto pertenecen tanto a A como a B. 4
La unión de 2 conjuntos se señala con el símbolo “∪” entonces A ∪ B = {x ∈ A o x ∈ B}que leemos “x sea elemento de A o de B”. Una intersección se señala con el símbolo de “∩” invertida y es la operación entre 2 conjuntos para obtener un tercero cuyos elementos son los que simultáneamente pertenecen a los dos conjuntos dados.
CONJUNTO COMPLEMENTARIO: Son los elementos que pertenecen al universo pero no están incluidos en el conjunto dado. U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4} A′= {5,6,7,8,9} Se lee A′ prima y quiere decir que es el conjunto que complementa al universo, esto es, son los elementos que le faltan al conjunto A para ser igual que el universo. CONJUNTOS DISJUNTOS: Cuando hay dos conjuntos que no tienen ningún elemento en común. A = {1,2,3,4} B = {5,6,7,8} A y B no comparten ningún elemento, esto es, no tienen elementos comunes. REPRESENTACION DE CONJUNTOS EN DIAGRAMAS DE VENN Un diagrama de Ven, son figuras cerradas en el plano que nos sirven para esquematizar operaciones entre conjuntos. Se considera que cada figura encierra a los elementos del conjunto al cual representa.
OPERACIONES CON CONJUNTOS Ejemplo: El rectángulo nos indica el conjunto universal o de reemplazamiento, los círculos A y B muestran conjuntos disjuntos ya que no tienen elementos comunes. Los elementos 1,2,3, son elementos de A; 4,5,6,7, son elementos de B y 8,9,10 no son ni de A ni de B, pero si del universo. 10
U A 1 2 3 8
4 5
B 6 7 9
UNION. Cuando se juntan los elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto, forman un tercer conjunto llamado unión, que se representa con la letra “U”. Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {3, 5, 7, 9, 10}
A∪B ={1,2,3,4,5,7,9,10} Diagrama de Venn.
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INTERSECCION. Se define como la operación entre dos conjuntos para obtener un tercero, cuyos elementos pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos. Se representa con el símbolo ∩ Ejemplo: Representación Diagrama de Venn
A∩B = {2,4,6,8,10}
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} A ∩ B = {2, 4, 6, 8, 10}
CONJUNTO COMPLEMENTO O COMPLEMENTARIO. Son los elementos que están en el universo pero no están en el conjunto representado y se representan con la letra que representa al conjunto y una comita arriba y se lee como “prima” Ejemplo:
U = {letras del alfabeto} A {letras consonantes} A’ = {vocales}
Representación en un diagrama de Venn U A A′
UNIDAD II MODULO V “LÓGICA MATEMÁTICA”
RAZONAMIENTO INDUCTIVO: Es la conclusión general que se obtiene tomando como referencia un hecho particular. Juan es un niño (hecho particular) 6
Todas las personas que se llamen Juan son niños (conclusiones generales) Todos los niños se llaman Juan.
RAZONAMIENTO DEDUCTIVO: Es una conclusión particular que se obtiene a partir de un hecho general. Todos los animales son seres vivos El león es un animal Entonces, el león es un ser vivo PROPOSICION. Enunciado u oración que deberá ser falsa o verdadera. El 5 es un número natural (V) Marte es un animal (F) PROPOSICION SIMPLE: Una sola oración que será falsa o verdadera. Las proposiciones simples son oraciones declarativas que tienen un sujeto y un predicado. No tienen componentes unidos por conjunciones como “y” , “o”, “si...entonces” y generalmente utilizan el verbo ser.
e
Ejemplo: “6 es un numero par” puede rescribirse como “6 es un elemento del conjunto de números pares” y graficar como en la figura.
números pares 6
conjuntos mortales
Ejemplo: “Todo hombre es mortal”se rescribe como “El conjunto de todos los hombres es un subconjunto del conjunto de todos los mortales”.
conjunto hombres
PROPOSICION ABIERTA: Es aquella que tiene alguna variable y un conjunto de reemplazamiento para ella. Se dice que las proposiciones abiertas tienen un conjunto de verdad , el cual es un subconjunto de su conjunto de reemplazamiento. El conjunto de verdad lo forman los elementos que hacen que la proposición sea verdadera.
Diagrama de Venn para la proposición abierta: N números pares
“x es un numero par” x ∈ N
N múltiplos de 4
“x es un multiplo de 4” ; x ∈ N
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Nota: Numero par es aquel que al dividirlo entre dos da un residuo = cero. Numero impar es aquel que al dividirlo entre dos da un residuo =1.
MODULO VI PROPOSICIONES COMPUESTAS: Es la unión de dos proposiciones simples mediante un conectivo lógico (“y”, “o”, “sí…entonces”), partiendo de estas pueden construirse otras cada vez mas complejas. Usaremos también la partícula “no” aunque solo afecta a una proposicion. Los conjuntos de verdad de una proposicion compuesta dependerá de los valores de verdad de las proposiciones componentes. Existen tres tipos de oraciones compuestas que son: CONJUNCION: Es la unión de dos proposiciones simples unidas por el conectivo lógico “y” Ejemplo: Laura es una mujer y piensa El número cinco es número dígito y es impar Para que una conjunción sea verdadera, las dos proposiciones deberán ser verdaderas. Para que una conjunción sea falsa, una de las proposiciones deberá ser falsa. diagrama de Venn: x > 5 y x es un numero par ; x ∈ N .Esta conjunción solo sera verdadera para elementos de N que siendo números pares sean a la vez mayores que 5. El conjunto solución o de verdad quedaría como: {x ∈ N | x > 5 y x es par}. Este conjunto pertenece a la intersección del conjunto A = {x∈N|x>5}con el conjunto B = {x∈N | x es par }.
N
números menores que 5
444 4
núm. pares
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La CONJUNCIÓN, se representará como una intersección de conjuntos. X es número dígito y es número par. Primero determinamos, los elementos de la primer proposición{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9} Después los elementos de la segunda proposición{2,4,6,8,10,12…} y vemos cuales son los números que cumplen con la condición de ser números dígitos y a la vez pares. En este caso el resultado sería:{ 2,4,6,8} El conjunto solución de esta conjunción sería la Intersección entre el primer y segundo conjuntos, es decir, {2,4,6,8}.
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A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} B = {2,4,6,,8,10,12} U = ´{2,4,6,8}
DISYUNCION: Son dos proposiciones simples unidas mediante el conectivo lógico “o” la proposición compuesta que se forma se llama proposición disyuntiva. Ejemplo: x > 5 o x es un numero par; x ∈N. Esta disyunción es verdadera para elementos de N que cumplan una cualquiera de las dos afirmaciones es decir que dichos elementos pertenecen al conjunto solución de x > 5 o pertenecen al conjunto solución de x es par, o pertenecen a ambos . se observa que la solución corresponde a la unión de un conjunto D = {x ∈N | x > 5} con un conjunto E = {x ∈N | x es par}. En la grafica de las proposiciones abiertas en un mismo conjunto de reemplazamiento nos da una mejor idea de la solución , ya que solo 1, 3, 5 no pertenecen a la solución. N D
E números
1
números numeros mayores que 5
3
pares
5 D∪E
Para que una disyunción sea verdadera, cualquiera de las proposiciones será verdadera. Una disyunción será falsa, únicamente cuando las dos proposiciones sean falsas. Para encontrar el conjunto solución de una disyunción primero determinamos que elementos componen a cada una de las proposiciones y después las unimos como si se tratara de una UNIÓN de conjuntos. Ejemplo x es menor que 6 o x es par; x ∈N. {x ∈N | x<6 o x es par}= {1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,14,16,...} diagrama N 1 3 5
num 4 2 par
La disyunción debe ser verdadera o falsa para un solo conjunto de reemplazamiento.
MODULO VII Cuantificador universal. Antepuesto a una variable para decir que "para todo" elemento de un cierto conjunto se cumple la proposición dada a continuación. Normalmente, en 9
lógica, el conjunto al que se refiere es el universo o dominio de referencia , en el cual aparecen todas las constantes. Expresión “para todo x”que se aplica a proposiciones abiertas que contienen la variable x para indicar referencia a una totalidad de sujetos. Si consideramos un tipo de proposiciones simples en los que se menciona la cantidad de sujetos que intervienen, Ejemplo “ todos los múltiplos de 6 son números pares”, al decir todos estamos cuantificando ,hablamos de cantidad de múltiplos; para graficarlo utilizamos el lenguaje de conjuntos diciendo que el conjunto de sujetos es un subconjunto del conjunto que forma el predicado. Ejemplo: “ el conjunto de todos los multiplos de 6 es un subconjunto del conjunto de los números pares. pares multiplo de 6
Cuantificador existencial. Se usa para indicar que al menos un elemento de un conjunto A cumple con una propiedad. Expresión “existe un x tal que”. Que se aplica a proposiciones abiertas que contienen la variable x para afirmar la existencia de algún sujeto. Hipótesis. Es una proposición que se toma como punto de partida de una prueba PROPOSICIONES EQUIVALENTES. Son aquellas que tienen el mismo valor de verdad o el mismo conjunto de verdad. Una proposicion universal afirmativa es entonces lógicamente equivalente a una implicación. Ejemplo : “Si x <6, entonces x <10, x∈ conjunto de números enteros”. Para determinar su valor de verdad recurrimos al lenguaje de conjuntos y sus diagramas. La proposicion equivalente seria “ El conjunto de números enteros menores que 6 es subconjunto del conjunto números enteros menores que 10”. U = conjunto de números enteros. A = {1,2,3,4,5} B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A⊆B
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enteros números < 10
números < 6
Grafica de implicación verdadera
NEGACIÓN. Aunque la partícula “no” afecte solo a una proposicion, consideramos que la negación de una proposicion dada forma una proposicion compuesta. El valor de verdad de la proposicion así compuesta es el opuesto del valor de verdad de la proposicion dada. Ejemplo: “ x es un múltiplo de 4; x ∈N” , cuya negación seria “es falso que x es múltiplo de 4; x ∈N o “ x no es no es múltiplo de 4; x∈N”. De acuerdo a lo antes dicho la proposicion es verdadera para los elementos del conjunto de reemplazamiento que hagan falsa a la proposicion original,. Ver diagrama se observa que la parte sombreada (coloreada)representa la solución.
N multipl de 4
La negación de una conjunción: Sea “x > 3 y x <10; x∈N. en lenguaje de conjuntos es la intersección de {x ∈ N | x >3} con {x∈N | x<10}. La negación de la proposicion conjuntiva será entonces “ es falso que x >3 y x < 10 ; x∈N “y el conjunto solución es el complemento del conjunto solución de la proposicion original como se indica en el diagrama ; la unión de los complementos es igual al complemento de la intersección, (A′U B′) = (A∩B)′ entonces la negación quedaría como {x∈N| x 10}que en el lenguaje común seria {x ∈N | x 3 o x 10 }
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Grafica de conjunción A = x <3 B = x < 10 A∩B N
Grafica de la negación de la conjuncion: N A=x>3 B = x <10 ( A ∩ B)′
A′
B′ x>3
x < 10
Grafica de la negación de la conjunción
Leyes de Morgan: 1. -La negación de una conjunción, es la disyunción delas negaciones. 2. -La negación de una disyunción, es la conjunción de las negaciones.
MODULO VIII IMPLICACION. Es cuando se unen dos proposiciones mediante el conectivo lógico “sí… entonces” Se considera un tipo razonamiento donde hay una hipótesis y una posible conclusión. Ejemplo: Si un animal vuela, entonces es un ave. En el diagrama de Venn la implicación se representa como un subconjunto, en donde la conclusión es el conjunto mayor y la hipótesis el subconjunto. Si 3 es primo, entonces tiene solo dos divisores. Ejemplo :
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Si cambiamos el orden de las proposiciones dejando en su lugar al conectivo lógico, formamos una variante de la implicación , a la que llamamos conversa o reciproca de la implicación , cambiemos el orden de las proposiciones de la siguiente implicación “ si un numero entero es múltiplo de 8, entonces es numero par” . “ Si un numero entero es par , entonces es múltiplo de 8”. Considerando el diagrama de Venn para la implicación dada , se aprecia que es verdadera ya que el conjunto de múltiplos de 8 es subconjunto del de números pares , pero no sucede lo mismo con las proposiciones invertidas por lo que la conversa es falsa. Contra ejemplo, el 4 es par, pero no es múltiplo de 8. Por lo anterior podemos concluir lo siguiente: Aun cuando una implicacion sea verdadera su conversa puede no serlo.Diagrama pares múltiplos de 8
Nota: Las proposiciones que tienen el mismo valor de verdad o el mismo conjunto de verdad las llamamos proposiciones equivalentes. Una proposición universal afirmativa es entonces lógicamente equivalente a una Implicación verdadera.
VARIANTES DE LA IMPLICACION CONVERSA. Se cambian de orden las proposiciones que componen la implicación y se respeta su conectivo lógico. Si tiene alas, entonces vuela Su conversa sería: Si vuela, entonces tiene alas INVERSA. Se niega cada una de las proposiciones que componen la implicación. Si es un animal, entonces, es un ser vivo. Su inversa sería: Si no es un animal, entonces no es un ser vivo CONTRAPOSITIVA. Se logra cuando se invierte el orden de las proposiciones y a la vez se niegan ambas. Si x es mayor que 7, entonces x es mayor que 4 Su contra positiva sería: Si x no es mayor que 4, entonces x no es mayor que 7 DOBLE IMPLICACION. Operación binaria la cual conecta dos proposiciones para el conectivo lógico “sí y solo sí”. Es decir es lo mismo que una proposición “implica a la otra y es implicado por ella”.
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Silogismos o Reglas de Interferencia. En cualquier sistema matemático los postulados y las definiciones son las bases para las demostraciones. La hipótesis la constituimos con postulados o definiciones y las relaciones lógicamente validas que establecemos entre diferentes proposiciones simples o compuestas, nos llevan a admitir la validez de la conclusión al aceptar la hipótesis; esto es lo que constituye una demostración. Estas relaciones también llamadas argumentación, toman el nombre de reglas de interferencia o silogismos, según su estructura. Los silogismos se forma de tres proposiciones, premisa mayor, implicación aceptada como verdadera; premisa menor, también aceptada como verdadera y nos dice en un termino, algo que es elemento del conjunto que se menciona en ala hipótesis de la premisa mayor; a este se le llama él termino medio, este nunca aparece en la conclusión; la tercera proposición o conclusión se forma suprimiendo él termino medio, conjunto que aparece en ambas premisas y tomando él termino de la premisa menor como elemento del conjunto de la premisa mayor.
UNIDAD III MODULO IX LOS NUMEROS REALES. Un sistema matemático es un conjunto de elementos y una o más operaciones con ellos. La suma como la multiplicación son operaciones binarias en el conjunto de números naturales “N”. Ejemplo: A cada par de números naturales se les pude asociar con otro numero natural único, al 3 y al 4 la suma lo asocia con el 7 y la multiplicación lo asocia con el 12.
Definición: Una operación binaria en un conjunto es una regla que nos asocia a cada par de elementos del conjunto con otro elemento único del mismo conjunto. Los números enteros se usan para resolver diferentes problemas de suma, 2 números sumados dan el mismo numero; 5 + a = 5 siendo a elemento de “N”, se definieron en aditivos y negativos; así por cada numero natural “n”hay un inverso o negativo “-n”; este nuevo conjunto lo llamaremos “E”y se define como el conjunto de números enteros positivos, negativos y cero. Los números racionales. “Un numero x es racional si se puede representar como el cociente de dos enteros, siendo el divisor diferente de cero”. Se designan con la letra “D”. Existen números que no cumplen con la definición anterior, por lo que no son elementos del conjunto “D”, y se les llama irracionales y se les designa con la letra “D′”.
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Propiedad reflexiva. Todo numero es igual a sí mismo. Propiedad de simetría. Si un numero es igual a otro, entonces este es igual al primero. Propiedad transitiva. Si un numero es igual a un segundo numero y este igual a un tercero, entonces el primero es igual al primero. Propiedad de sustitución. Si un numero igual a otro en cualquier expresión que aparezca el primero puede reemplazarse por el segundo sin alterar el valor de la expresión. Propiedad aditiva o de suma. Si a, b, c y d son cuatro números reales y a = b y c= d entonces a + c = b + d. Propiedad Multiplicativa: Si a, b, c, d, son 4 elementos de R y a = b y c = d entonces ac = bd. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Las ecuaciones son la forma de realizar operaciones con letras, así mismo representan la forma de descubrir incógnitas por medio de fórmulas. Estas ecuaciones son útiles para descubrir números perdidos. Ejemplo: A + 3 = 12 En esta ecuación tenemos que descubrir el valor de A, para hacerlo, el primer pasa a seguir es despejar la incógnita. Para despejarla, tenemos que pasar el número que se encuentra en el primer miembro de la ecuación al segundo, es decir, el número que se encuentra antes del signo igual (=) al otro lado. Al pasar el número al otro lado, tenemos que cambiar el signo del número, esto es, si el número es positivo, pasa negativo, si el número es negativo pasa positivo, si el número está sumando pasa restando o si el número está restando, pasa sumando. En resumen, pasan al otro lado con el signo contrario. A = 12 – 3 Ya que pasamos el número al otro lado, lo que tenemos que hacer es la operación y tendremos el resultado de la ecuación. A = 12- 3 A = 9. Para comprobar que el resultado que tenemos es el correcto sustituimos el valor de la letra por el que obtuvimos como resultado. A + 3 = 12 A=9 9 + 3 = 12. Ahora con base en el ejemplo anterior resuelve las siguientes ecuaciones: 4 + b = 15 40 + a = 60 60 – a = 16 En el caso de esta ecuación los pasos para resolverla serían: 60 – a = 16 -a = 16 – 60 -a = -44
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Aquí restamos y colocamos el signo del número mayor como lo mencionamos anteriormente, pero se observa que la incógnita tiene un valor negativo (-a), pero en las ecuaciones NINGUNA incógnita debe tener valor negativo, lo que hacemos entonces es cambiar los signos de la incógnita y del resultado entonces tendremos: -a = - 44 Con el cambio de signos tendremos: a = 44 Para comprobar que el resultado es el correcto verificamos sustituyendo valores: 60 – 44 = 16 16 = 16
MODULO X
POSTULADOS DE CAMPO Todo conjunto cuyos elementos cumplan con estos seis postulados (cerradura, conmutativo, asociativo, distributivo, identidad, inversos) para las operaciones de suma y multiplicación, forma por este motivo lo que se llama un campo; los números reales cumplen con los postulados por eso nos referimos al campo de los números reales. Postulado 3-7.-Cerradura: Para la suma; Si a y b son ∈ R, y a los números a y b los llaman sumandos a, b ∈R ⇒( a + b) ∈ R. En la multiplicación es igual pero a y b les llamaremos factores. Postulado 3.8.-Conmutativo: Para la suma: Si a y b son números reales el orden en que se sumen no afecta el resultado. Igual que a la multiplicación. Ab. ∈ R ⇒a + b = b + a. ......Suma Ab. ∈ R ⇒a · b = b · a...........multiplicación. Postulado 3.9.-Asociativo: para la suma: Si a, b, c son tres números reales es igual que a la suma de a y b se le sume el valor de c ; o que al valor a se le sume el valor de b y c. Esta es igual para la multiplicación en lugar de sumar se multiplica. Ejemplo: 2,3,8 ∈de R ⇒(2+3) + 8 = 2 +(3 + 8). Suma. 2,3,8∈ de R ⇒(2·3) · 8 = 2 · (3 · 8). Multiplicación. Postulado 3.10.- Distributivo: A la izquierda: Sean a, b, c ∈ de R ⇒ a · (b + c) = a · b + a · c . A la derecha sean a, b, c, ∈de R ⇒ ( a + b) · c = a · c + b · c . De acuerdo con este postulado podemos convertir un producto de sumas en unas sumas de productos. Ejemplo: (a +b) · (c + d), se convierte en la suma de cuatro productos, (a · c + a · d) + (b · c + b · d) Postulado 3.11.-Identidad: Para la suma; la suma de cualquier elemento de R y el cero es el mismo elemento, por lo que al numera cero le llamamos el elemento identidad para la suma. A ∈de R implica a + 0 = a
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Para la multiplicación: a elemento de R ⇒a · 1 = a. Él numera cero es diferente del numero uno: Como tanto el 0 como el 1, son números reales para los que la multiplicación y la suma son conmutativas el postulado queda: Si a ∈de R ⇒ a + 0 = 0 +a =a, a·1 = 1 · a = a
Postulado 3.12.-Inversos : Para la suma; para todo a elemento de R existe otro elemento de R (-a) llamado el inverso para la suma de modo que la suma de los dos es 0. Para la multiplicación tenemos el inverso de R que es 1/a de modo que el producto de los dos es 1. En cada caso el elemento identidad corresponde a la operación efectuada, y siendo estas operaciones conmutativas nuestro postulado pude extenderse a: a + (-a) 0 (-a) +a = 0 a· (1/a)= 1/a · a = 1; a ≠ 0 Todo numero real tiene un inverso para la suma y oro para la multiplicación estos inversos son elementos únicos. Teorema 3.3.- El inverso para la suma de a ∈ es (-a) y es único. Teorema 3.4.- El inverso para la multiplicación de a∈R, es a≠0 y es único. Conclusión.- b resulta ser igual a (-a) por lo que solo hay un inverso que es (-a). Corolario teorema 3.4 Si el producto de dos números es 1, entonces un numero es inverso multiplicativo del otro. Teorema 3.7.- Ley de la cancelación para la suma. X+z=y+z⇒x=y Definición: Una igualdad no se altera si sumamos o multiplicamos en ambos lados de la igualdad por un mismo numero. Teorema 3.8.- Ley de la cancelación para la multiplicación: xz = yz, z≠0 ⇒ x =y Teorema 3.9.-Si x=y ⇔ -x = -y; esto nos indica que dos números son iguales si y solo si sus inversos son iguales. Teorema 3.10.- Si x = y⇔ 1/x = 1/y, x, y≠ 0. Ejem: Sea 3x + 5 = 23 una ecuación con una variable, x ∈ R. Entonces x = 6.
MODULO XI Postulados de las operaciones binarias; suma, resta, multiplicación en expresiones algebraicas enteras. Teorema 3-11. -El inverso aditivo del numero cero es el mismo cero.-0 = 0 Teorema 3-12. ( -a) · b = - (ab). Teorema 3-13. (-a) ( - b) = ab. Teorema 3.14. –(a +b) = (-a) + (-b) Podemos decir que; el producto de factores del mismo signo es positivo y el producto de factores de signos contrarios es negativo. Lo más importante que hay que tener en cuenta para la realización de ecuaciones son las reglas de los signos, estas son: (+) (+) = (+) (-) (-) = (+) (+) (-) = (-) (-) (+) = (-) Esto es, signos iguales en multiplicación o división, dan números POSITIVOS. Signos diferentes en multiplicación o división dan números NEGATIVOS.
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Así mismo en sumas y restas: - Signos iguales se suman o restan según sea el caso - Signos diferentes, en suma, SE RESTAN y en resta SE SUMAN y en ambos casos se pone el signo del número mayor. Ejemplo: SUMAS RESTAS (-3) + 2 = -1 (-6) – (-4) = -2 2 + (-5) = -3 6 - (-4) = 10 (-3) + (-3)= -6 (-8) – 4 = - 12 4 + 6 = 10 7 – 3 = 4.
La resta se define como: la operación binaria que asocia a dos números reales sean estos x, y, con otro numero real único llamado la resta o la diferencia “r” de manera x – y = r que doble implicación (equivale) x = y + r Ejemplo: 7 – 2 = 5, ya que 7 = 2 + 5. Teorema 3.15.-La operación de restar un numero equivale a sumar el inverso de ese numero, a – b = a + (-b) = r.
MODULO XII La división.-Es una operación binaria que asocia a dos números reales x y y, con un numero real único llamado el cociente “R” de modo que si y ≠ 0, x ÷ y = x/y = c ⇔ x = c · y Nota.- Se emplean dos símbolos según la notación empleada; símbolo raya con diéresis se llama dividendo el primer numero y el segundo se llama divisor; el otro símbolo se usa en fracciones y al numero de arriba se le llama numerador y al de abajo se le llama denominador, en ambos casos el resultado único es el cociente “R”. Teorema 3.17.-La operación de dividir dos números reales es equivalente a multiplicar el numerador por él reciproco del denominador. a/b = a ·1/b = c; b ≠ 0. Teorema de la división.- Este queda definido solo si el denominador es diferente de cero ( 0). Teoremas sobre fracciones: Teorema 3.18. x/y · z/w = xz/ yw; ( y, w ≠ 0). Teorema 3.20. a/b= c/d ⇔ ad = bc ; (b,d ≠ 0) Teorema 3.21. 1/a sobre b = b/ a ; a, b ≠ 0) MULTIPLO DE UN NUMERO. Es aquel que contiene a un determinado número, un número exacto de veces. 10 es múltiplo de 2, porque lo contiene 5 veces pues 2 x 5 = 10 25 es múltiplo de 5, porque lo contiene 5 veces pues, 5 x 5 = 25
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DIVISOR. Un número se considera divisor de otro si lo divide en una cantidad exacta de veces. Ejemplo 2 es divisor de 10 porque lo divide exactamente en 5 partes ya que 10/2 = 5 DIVISIBILIDAD. Es la propiedad que tiene un número para ser dividido entre otro exactamente. Mas que poder repetir las definiciones de los términos tratados hasta este modulo, es la comprensión de estos términos la que facilitara el desarrollo de la habilidad y destreza en las evaluaciones numéricas. Por lo anterior no debemos quedarnos con dudas, tenemos que consultar ya sea con otros textos, con el asesor, con nuestro tutor, etc. Lo importante es clarificar la información recibida para aplicarla solucionando todos los problemas que se presenten.
UNIDAD IV APLICACIONES MODULO XIII Expresión algebraica. Se llama expresión algebraica a las combinaciones de números, literales, variables y signos de operación (+, -, x, ÷) Es la forma de representar los números con letras, ejemplo: A, b, c, d, e, f, x, y, z, etc. Son números cualquiera. a + b = La suma de dos números cualquiera. B + 3 = La suma de un número más tres. X + y = la suma de dos números. 3 a = El triple de un número. 2x³ + 5/3 x² + 6ax – 15 a²; esta es una expresión compuesta de 4 términos Termino.-O monomio a una expresión algebraica la cual no esta enlazada por los signos de operación ( +, -). Los términos, están formados por factores mismos que pueden ser numéricos o literales. Se dice que un factor o varios factores pueden ser el coeficiente del resto de los factores que forman ese termino. En él termino 6ax tenemos: 6 es el coeficiente para el producto ax. 6a es el coeficiente para x. 6x es el coeficiente para a. Coeficiente: se usa para señalar al coeficiente numérico ( incluyendo el signo) y se indica el coeficiente para la literal que nos interese. Ejemplo: En él termino: -5axy El coeficiente: –5 El coeficiente para x es: –5ay 19
El coeficiente para y es: –5ax El coeficiente para xy: es –5a Nota : Se dice que dos o más términos son semejantes cuando difieren únicamente en el coeficiente, el resto de los factores deben ser idénticos.
Suma y resta de expresiones algebraicas. Para determinar la suma o la resta de las expresiones algebraicas realizamos una operación llamada también de reducción de términos semejantes, aplicamos los postulados asociativos, conmutativo, y distributivo. Ejemplo: 2x +3y –4 con x – y + 2.·.. (2x + 3y -4) +( x –y +2) =.................dado ( 2x +x) + (3 y –y) + (-4 +2). postulado conmutativo y asociativo = ( 2 + 1)x + (3 –1) y + (-4 + 2). postulado distributivo = 3x + 2y + (-2). propiedad de sustitución (2x + 3y –4) + ( x – y +2 ) = 3x + 2y -2 .. Teorema de la resta. De lo anterior podemos considerar las operaciones de sumar y restar en los pasos siguientes: 1. Eliminar los paréntesis o símbolos de asociación aplicando los teoremas sobre inversos que correspondan. 2. Identificar los términos semejantes y asociarlos aplicando el postulado conmutativo cuando sea necesario. 3. Operar solo con los coeficientes de los términos semejantes ( esto corresponde en los ejemplos a la aplicación del postulado distributivo).
MODULO XIV POTENCIA, BASE, EXPONENTES, DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA. Llamamos potencia a la representación de un producto de factores iguales al factor que se repite y le escribe él numero de veces que se repite en la parte superior derecha. Base. La base es el factor de la potencia. Exponente. Es él numero de veces que el factor se repite. Cuando el exponente es la unidad, no se escribe.
Teorema 4.1. Dice a ∈ de R, m, n ∈ de N. entonces a a la m potencia · a a la n potencia que es igual a a la m veces más n veces. 1.Para multiplicar se escriben los multinomios uno abajo del otro, ordenando los términos con la potencia descendente de una letra. 2.Se multiplica cada termino del multinomio inferior por todos los términos del multinomio de arriba procurando que cada termino se escriba inmediatamente debajo de su semejante para facilitar la reducción de términos semejantes. 3.Se reducen términos semejantes.
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Nota.-El termino con coeficiente cero, tiene valor cero, independientemente de los valores que se asignen a la “x” y a la “y” de modo que se omite en la respuesta por el postulado de identidad.
División de expresiones algebraicas. Polinomios Teorema 4.4. a ∈R, a≠ y m, n ∈n Teorema 4.5. a + b/c = a/c +b/c·c≠ 0 Para dividir un multinomio entre un monomio se divide cada termino del multinomio entre el monomio. El procedimiento es semejante al de la división aritmética o sea una multiplicación y una resta, con un cociente o residuo si no es cero. Ejemplo: (ax + b) (cx + d) = acx + (bc + ad) Decimos que todo termino algebraico es “racional entero” para una o varias letras, si esta formado del producto de potencias positivas enteras de dichas letras y cualquier otro factor que no las contenga.
MODULO XV Productos notables: (cuadrado de un binomio, cubo de un binomio, binomios conjugados. En las multiplicaciones de las expresiones algebraicas algunas se repiten con mucha frecuencia y otras aunque no iguales, pueden tomar la misma forma de ellas de modo que los productos que resultan se repiten constantemente. Es por esa razón que estos productos s les llamamos productos notables. Ejemplo: (ax + b) (cx + d) = ax² + (bc + ad) x + bd)
Dos binomios con términos semejantes se pueden multiplicar usando solo los coeficientes, lo que puede hacerse mentalmente. Así (2a + 3) (3a + 5) = 6a² + (9 – 10) a – 15. Cuadrado de un binomio trinomio cuadrado perfecto. (a + ــb)² = a² +- 2ab + b². cubo de un binomio ( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab²+-b³ Binomios conjugados: Este caso es el único que no resulta un trinomio. A los factores que solo difieren en un signo se le llama binomios conjugados y su producto es una diferencia de cuadrados. Ejemplo: (2x + 5)(2x – 5) = (2x)² - (5)² = 4x²- 25. Factorizacion: Factorizamos completamente cuando llegamos a una expresión en cualquier factorizacion posterior produce números fraccionarios. “En una factorizacion completa los factores son solo números primos”. Ejemplo: 2x + 6y = 2 (x + 3y). Factor común 21
Ejemplo: Descompónganse en factores 2ax² – 4ay² + 8a²x este tiene un factor común que es 4a por lo tanto quedaría 2a ( x²- 2y² + 4ax)
Diferencia de cuadrados. Ejemplo: 4x² – 9y² :es una diferencia de cuadrados (2x)²- (3y²) producto de binomios conjugados 4x² – 9y² = (2x)² – (3y)² = (2x + 3y) (2x - 3y) Trinomios: x²- 8x – 20 Si utilizamos 1 como coeficiente de x², la factorizacion se concretaría a buscar dos factores cuyo producto sea –20 y la suma de – 8; encontramos que -10 y + 2 cumplen. ( x – 10) ( x + 2). Cuando un trinomio es el cuadrado de un binomio le llamamos TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
MODULO XVI Expresiones algebraicas fraccionarias. Suma de fracciones . Mínimo común múltiplo. Multiplicación y división de fracciones. Simplificación de fracciones complejas. En el manejo de las fracciones es conveniente tener presente él x xz Teorema 3.19 = ( y, z ≠ 0 ) nos permite: y yz xz x 1- Aplicado de derecha a izquierda = simplificar un factor en el numerador y xy y denominador. 54 27 • 2 9 • 3 9 Ejemplos: = = = 48 24 • 2 8 • 3 8 x2 − 4 ( x + 2)( x − 2) x − 2 = = 2 6 x( x − 2) 6x 6 x + 12 x x 2 − 6x − 9 ( x − 3) 2 x−3 = = . x−9 ( x + 3)( x − 3) x + 3
Para determinar la suma de dos o mas fracciones con diferente denominadores debemos cambiar las fracciones por otras equivalentes y con un denominador común , preferentemente el mínimo para que el resultado sea lo mas simple posible, al que llamaremos mínimo común múltiplo (MCM); este MCM lo encontramos como sigue: 1. Factorice totalmente todos los números y expresiones. 2. Forme un producto con cada uno de los factores positivos diferentes, escogiendo el que tenga el exponente mas grande. Ejemplo: 75, 15, 36, 6. 75 = 5² · 3. 15 = 5 · 3. 36 = 3² · 2². 6 = 3 · 2. 22
La factorizacion es completa si los factores son solo números primos.
Multiplicación y división de fracciones Para la multiplicación : Aplicamos el teorema 3.18 : (
x z xz • = y, w ≠ 0 ). y w yw
Antes de efectuar las multiplicaciones en numerador y denominador, es conveniente factorizar cada factor e indicar los productos a simplificar. Para la división de dos fracciones
1 a Aplicamos el teorema de la división: = a • y b b
El teorema 3.21 : (
1 b = ). a a b
Simplificación de fracciones complejas: A una fracción que contiene en su numerador o en su denominador o en ambos, mas fracciones, le llamamos fracción compleja. A este tipo de fracción debe simplificarse a una fracción con enteros o polinomios en su numerador y denominador, antes de efectuar operaciones. Método 1-Consiste en efectuar operaciones de suma en numerador y denominador hasta tener la división en dos fracciones y continuamos. Método 2- Consiste en usar el MCM en todos denominadores de la expresión aplicando x xz el teorema 3.19 . = ( y, z ≠ 0 ) y distribuir ese factor. MCM = x. y yz
De estos 16 módulos que hemos resumido es muy importante la percepción, la atención y en su caso la memorización, la comprensión y significado de la terminología y de los símbolos, con el propósito de que los puedas aplicar en las diferentes situaciones de la realidad, sin restar importancia a la mecanización de algunas operaciones; debes tener presente que existe responsabilidad del estudiante de efectuar los ejercicios y o problemas necesarios para desarrollar la habilidad que le permita concentrar sus mejores esfuerzos en el planteo de problemas y en la aplicación efectiva de la teoría asimilada, mas que en el desarrollo de las operaciones.
Nota: Es importante que NO TE QUEDEN DUDAS, cualquiera que tengas consulta tu libro de texto, o bibliografía sobre el tema, así como con tu asesor, tutor según sea el caso. Ahora continua resolviendo tus ejercicios. EJERCICIOS DE MATEMATICAS 1. Completa los espacios siguientes con las palabras adecuadas. A un conjunto de jugadores de béisbol se le llama _______________________ A un conjunto formado por tres guitarristas se le llama_____________________ A un grupo de alumnos que termina una carrera profesional se les llama_____________ 23
La reunión de soldados de un país forma un _________________________. 2. Contesta correctamente de acuerdo a la relación de pertenencia que corresponda. F = {clavel, rosa, perfume, violeta, gardenia} Margarita _______ F Clavel ________ F Perfume ___________ F Hermosa ________F Violeta _______ F Laura ____________ F 3. Da dos ejemplos de conjuntos equivalentes. 4. Menciona cual es la cardinalidad de los siguientes conjuntos. A = { 3,2,5,6,7,8} n(A) = B = { 7,3,4,5,6,7,8,9} n(B) = C = {2} n(C)= 5. Escribe la definición de conjunto universal, conjunto vacío y conjunto equivalente.
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1.
Diga qué operación se lleva a acabo en el siguiente esquema
a) A’ ∩ B b) (A ∪ B)’ c) (A ∩ B)’ d) A ∪ B’
Notación Un factor importantísimo en la comprensión de las matemáticas es la interpretación de los símbolos, el autor de este libro a utilizado los símbolos que señalamos a continuación, otros autores podrán utilizar diferente simbología o usar estos. ∈....... Es un elemento de ∉.......No es un elemento de { }.......Conjunto | ........ Tal que + .........Símbolo de la operación suma n(a) .....Cardinal del conjunto A ..... ---Y así sucesivamente µ ........Conjunto universal Φ........Conjunto de vació
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N........Conjunto de los números naturales · .......Símbolo de la operación de multiplicación ≠ .......No es igual a ⊆ ........Subconjunto ⊈.........No es subconjunto de ⊂........Subconjunto propio de >.........Mayor que <.........Menor que ≤ .......Menor o igual que ≥.........Mayor o igual que ∪.........Unión con ∩ ........Intersección con ′...........Complemento de ⊈..........No es subconjunto propio de ⇒........Símbolo de implicación − ........Símbolo de la operación diferencia o resta. ⊈ ........No es mayor que ⊈..........No es menor que ÷ .......Símbolo de la operación división: también se usa el símbolo − como a/b. ⇔ .......Doble implicación o equivalencia ∼.........No es falso que ∆.........Triangulo ⊈ .........Angulo R ........Conjunto de los números reales E .........Conjunto de los números enteros D.........Conjunto de los números racionales D′′........Conjunto de los números irracionales ¶ .........Pi √.........Símbolo de la operación raíz cuadrada % ..........Tanto porciento
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