INTRODUO LGICA ARGUMENTATIVA - :: Apostilas Virtual

ANDRÉ REIS RACIOCÍNIO LÓGICO TEORIA 107 QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS GABARITADAS ¾ Teoria e Seleção das Questões: Î Prof. André Reis

¾ Organização e Diagramação: Î Mariane dos Reis

1ª Edição OUT − 2012 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. É vedada a reprodução total ou parcial deste material, por qualquer meio ou processo. A violação de direitos autorais é punível como crime, com pena de prisão e multa (art. 184 e parágrafos do Código Penal), conjuntamente com busca e apreensão e indenizações diversas (arts. 101 a 110 da Lei nº 9.610, de 19/02/98 – Lei dos Direitos Autorais).

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SUMÁRIO 1.

ESTRUTURAS LÓGICAS / OPERAÇÕES LÓGICAS ........................................................................ 05 Questões de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 17

2.

RACIOCÍNIO SEQUENCIAL .............................................................................................................. 24 Questões de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 26

3.

RACIOCÍNIO VERBAL....................................................................................................................... 29 Questões de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 30

4.

RACIOCÍNIO MATEMÁTICO ............................................................................................................. 31 Questões de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 49

GABARITOS ....................................................................................................................................... 56

Raciocínio Lógico

Teoria e Questões por Tópicos

Prof. André Reis

RACIOCÍNIO LÓGICO RACIOCÍNIO LÓGICO- QUANTITATIVO: Esta prova tem o objetivo de medir a habilidade do candidato em entender a estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, coisas ou eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Nenhum conhecimento mais profundo de lógica formal ou matemática será necessário para resolver as questões. Baseado no conteúdo programático pedido no edital e nas questões das provas de concursos realizadas pela FCC, referente à disciplina de Raciocínio Lógico-Quantitativo, enumeramos, a seguir, os pontos mais relevantes, visando facilitar e orientar os estudos dos candidatos. Vamos trabalhar!

1

ESTRUTURAS LÓGICAS / OPERAÇÕES LÓGICAS.

1 − Introdução à Lógica Argumentativa

Proposição Simples e Composta

Proposições Para a lógica matemática, uma proposição representa uma sentença em forma de palavras ou símbolos, que exprime uma ideia, à qual poderemos atribuir apenas dois valores: verdadeiro ou falso. Apenas às sentenças declarativas poderemos atribuir tais valores. Assim, as sentenças interrogativas e explicativas não serão consideradas proposições.

Uma proposição é considerada simples quando não contem qualquer outra proposição como sua componente. Uma proposição simples não pode ser subdividida em outras proposições. Na prática, a proposição simples não apresenta conectivos lógicos do tipo: “e”, “ou”, “se...entao...” e “se, e somente se”. Se uma proposição não for simples será chamada composta. As proposições compostas contêm como suas componentes, proposições simples. Exemplos:

Exemplos: f

João corre todos os dias.

f

O número 10 é par.

f

Todos os homens trabalham.

f

Paulo comprou um livro.

f

Ana mora em São Paulo.

f

2 é um número par.

¾

Não são proposições f

Onde você mora?

f

Que susto!

f

Preste atenção!

f

x é maior que y.

f

Faça uma redação.

f

Escreva uma poesia.

f

Ana viaja ou Luís compra um livro.

f

Carla vai a Roma e Pedro vai à França.

f

Se corro então fico cansado

f

Um número é par se e somente se for múltiplo de 2.

Todos esses exemplos são proposições compostas pois existem conectivos lógicos ligando proposições simples. Esses conectivos estão negritados.

Sentenças Abertas São sentenças nas quais aparecem variáveis. Substituindo valores nessas variáveis, transformamos uma sentença aberta em uma proposição. Exemplo: f

De um modo geral não são proposições, sentenças interrogativas, imperativas, interjeições e expressões com variáveis. Note que para uma dada proposição necessariamente devemos associar um e apenas um valor lógico: verdadeiro ou falso. Caso você não consiga associar esse valor, a sentença pode até exprimir uma ideia, mas não é considerada uma proposição.

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Qual é o número que somado com 3 é igual a 10?

Solução: x + 3 = 10 é a interpretação lógica do problema. Substituindo x por 7, a sentença aberta assume o valor verdadeiro. Substituindo x por 8, a sentença aberta assume um valor falso. Note que substituindo em x transformamos uma sentença aberta em uma proposição. De um modo geral, as expressões interpretadas por variáveis são sentenças abertas.


Raciocínio Lógico


A disjunção “p ou q” pode ser escrita como: p ∨ q: Silvana fala espanhol ou Silvana fala alemão.

Exemplos: f

x+ y é um número positivo

f

x é menor que y

f

2x + 3y = 10

Prof. André Reis

Para que uma disjunção lógica seja verdadeira, basta que pelo menos uma de suas componentes seja verdadeira.

Conectivos Lógicos Vimos que proposições consideradas simples são quando não apresentam conectivos em sua composição. Já as proposições compostas apresentam tais conectivos. Portanto, os conectivos são elementos que transformam as proposições simples em compostas. Assim como na matemática básica, podemos definir as quatro operações fundamentais, na lógica podemos trabalhar com quatro conectivos fundamentais.

Essa definição equivale a dizer que uma disjunção só será falsa quando todas as suas componentes foram falsas. Resumindo essa definição em uma tabela-verdade, para duas proposições simples teremos:

Conectivo “e” (conjunção lógica) Duas ou mais premissas ligadas por esse conectivo caracteriza a chamada conjunção lógica.

q

p ∨ q

v

v

v

v

f

v

f

v

v

f

f

f

Conectivo “se...entao...” (condicional)

Exemplo: f

p

Considere as premissas simples:

Duas proposições quaisquer ligadas pelo conectivo “se...então...”representa uma condicional. A condicional se p então q pode ser simbolicamente representada por p → q.

p. Alfredo comprou um carro. q: Inês comprou um livro. A composição Alfredo comprou um carro e Inês comprou um livro é uma conjunção, cuja representação é p ∧ q.

p

→

q lê-se: se p então q

Obs: podemos ler também como p implica em q. p ∧ q lê-se: p e q Uma proposição composta por conjunção lógica é verdadeira quanto todas suas componentes são verdadeiras. Se pelo menos uma das componentes for falsa, então toda a proposição é falsa. Por duas proposições simples podemos resumir as possibilidades na seguinte tabelaverdade:

A proposição p é chamada condição e a proposição q é chamada conseqüente. Podemos ainda afirmar que “p é suficiente para q” e “q é necessário para p”. Essas duas últimas afirmações serão detalhadas mais adiante. Para que uma condicional seja falsa é necessário que a condição seja verdadeira e a conseqüência seja falsa. Resumindo em uma tabela-verdade para duas premissas p e q temos:

p

Q

p ∧ q

P

Q

v

V

v

v

V

v

v

F

f

v

F

f

f

v

f

f

V

v

f

f

f

f

F

v

p

→

q

Conectivo “ou” (disjunção lógica)

Observe que uma condicional só é falsa em uma situação, caso contrário é verdadeira.

Duas ou mais premissas ligadas pelo conectivo “ou” caracteriza a chamada disjunção lógica cujo símbolo é “ ∨ ”.

Conectivo “se, e somente se” (bicondicional)

p ∨ q lê-se: p ou q Exemplo: f

A bicondicional “p se, e somente se q” é representada simbolicamente por p ↔ q.

Considere as proposições simples: p: Silvana fala espanhol.

p

q: Silvana fala alemão.


Denominamos bicondicional a proposição composta por duas proposições quaisquer ligadas pelo conectivo “se e somente se”

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↔ q lê-se p e somente se q


Raciocínio Lógico


Exemplo:

Exercícios Propostos

f

p: x é um número par.

f

q: x é um múltiplo de 2.

f

p ↔ q: x é um número par se e semente se x é um múltiplo de 2.

Como o próprio nome e representação simbólica sugerem, uma bicondicional pode ser escrita como duas condicionais: p

→

q “se p então q” e q

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→

1. As sentenças abaixo podem ser abertas ou declarativas. Faça a classificação: a) b) c) d) e)

A terra gira. x + 4 = 10. x > y. Luis fala italiano. Pedro pilota motos.

p “se q então p”. Soluções:

Uma bicondicional é verdadeira quando p e q têm o mesmo valor lógico, isto é, ambas verdadeiras ou ambas falsas.

a) premissa

O quadro de tabela-verdade resume a definição dada.

d) premissa

p

↔q

p

Q

v

V

v

v

F

f

f

V

f

f

f

v

b) Se é verdade que os homens são imortais, não é verdade que _________________________

f

“é falsa que p”

Soluções: b) Os homens são mortais c) Os cavalos voam 3. Considere as premissas: p: Luis estuda Matemática. q: Luis estuda Lógica. r: Luis passa no concurso

Dada uma premissa p, sua negação pode ser feita: “não p”.

c) Se não é verdade que os cavalos não voam então é verdade que________________________

a) Luis não mente

Como primeira definição de uma negação lógica de uma premissa p, podemos entender como a troca do valor lógico de p. Sendo assim, se p for verdadeira sua negação será falsa e se p for falsa sua negação será verdadeira.

f

e) premissa

a) Se é verdade que Luis mente então não é verdade que ______________________________

Negação de Premissas

“não é verdade que p”.

c) aberta

2. Complete as lacunas fazendo a negação da premissa:

Note que, para valores iguais de p e q a bicondicional é verdadeira.

f

b) aberta

Determine as proposições compostas: a) p → (q ∧ r)

A negação de p será representada simbolicamente por ~p. ~p lê-se: não p O quadro tabela-verdade para a negação de uma premissa será: p

~p

v

f

f

v

Se Luis estuda Matemática então estuda Lógica e passa no concurso b) (~p ∧ ~q) → ~r Solução: Se Luis não estuda Matemática e não estuda Lógica então não passa no concurso c) r ↔ (p ∨ q)

Se p for verdadeira sua negação é falsa e se p for falsa sua negação é verdadeira.


Solução:

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Solução Luis passa no concurso se, e somente se, estuda Matemática ou estuda lógica


Raciocínio Lógico


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2. Todo A é B e nenhum C é A.

Proposições Categóricas

Solução: Observe que não foi dada relação alguma entre os conjuntos E c B. então temos as possíveis representações:

Introdução É estudado na Teoria dos conjuntos que os diagramas de Venn-Euler facilitam a compreensão das relações entre dois conjuntos distintos. Para fixar recordes que um conjunto A pode ser representado por:

Nenhum C é B

Algum C é B

Onde U representa o conjunto universo. Todo C é B

Na lógica de argumentação, esses diagramas são úteis na representação de proposições como: •

Todo A é B

•

Algum A é B

•

Nenhum A é B

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

Proposições categóricas

Essas proposições são simbolicamente representadas por:

Nas três possibilidades foram satisfeitas as condições iniciais: Todo A é B e nenhum C é A. para que uma conclusão seja necessariamente verdadeira, ela deve satisfazer a essas três representações. 3. Todo A é B e nem todo C é B mas algum C é A. Solução: A representação da proposição é:

Todo A é B

Algum A é B

4. Dado que rodo A é R e nenhum G é A, segue necessariamente que: a) b) c) d) e)

Nenhum A é B

Algum R não é G. Nenhum G é r. Todo G é R. Algum G não é R. Todo R é A.

Solução: a primeira ideia para resolver esse tipo de questão é representar as possibilidades dos diagramas.

Exemplos: 1. Todo A é B e nenhum C é B.

1)

Solução: A proposição composta pode ser representada por:

Algum G é R

2) Algum G é R


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Raciocínio Lógico


3)

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Para uma implicação lógica:

Todo G é R

Negando a condição, nada podemos concluir para a conseqüência.

A→B Para que uma conclusão seja sempre válida, ela deve satisfazer todas as possíveis representações. Observe que a conclusão Algum R não é G satisfaz as 3 possibilidades e portanto, é a resposta da questão.

Equivalente da Implicação Lógica A proposição categórica “todo A é B” é equivalente a dizer que A implica em B. Representando simbolicamente. → ←

A→B

~A → ?

Vamos analisar a implicação: Se João canta então Maria dorme. “Se João não canta então...” nada podemos afirmar para a conseqüência, pois a condição foi negada. É importante observar que a maior parte das pessoas afirmaria: “Se João não canta então Maria não dorme”. Porém, pelo exposto anteriormente a afirmação está ERRADA. Então guarde que: negando a condição, nada podemos afirmar para a conseqüência.

equivalente

Para entender essa equivalência, vamos tomar um exemplo pratico: considere A o conjunto dos paulistas e B o conjunto dos brasileiros. Todo paulista é brasileiro

Voltando ao exemplo dos paulistas e brasileiros faremos agora mais uma indagação: é possível que um cidadão não seja brasileiro e seja paulista? Resposta: Não! É claro que uma pessoa não pode ser paulista sem que ela seja brasileira. Em termos matemáticos podemos escrever: um elemento que não pertence a B com certeza não pertence a A.

Se um elemento não pertencer a B, com certeza não pertence a A. é equivalente a dizer que se é paulista é brasileiro. A → B (A implica em B). Esse exemplo é muito útil e sugere algumas conseqüências de uma implicação. A afirmação recíproca “todo brasileiro é paulista” é evidentemente falsa, pois um cidadão brasileiro não é necessariamente paulista. Conclusão:

Portanto, se A implica em B, a negação de B implica na negação de A.

A→B ~B → ~ Ã

Se A implica em B, não necessariamente B implica em A Outra questão que poderia ser formulada è a seguinte: um cidadão não paulista é brasileiro ou não? Depende! Temos não paulistas brasileiros e não brasileiros. Em termos matemáticos podemos escrever: um elemento que não pertence a A pode ou não pertencer a B Se um elemento não pertence a A, não podemos ter certeza se lê pertence ou não a B.

Vamos analisar a implicação: Se João canta então Maria dorme. “Se Maria não dorme então João não canta”. Observe que negando a conseqüência temos de negar a condição conforme foi exposto acima.

A→B


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Raciocínio Lógico


Exercícios Propostos 1. Ou Celso viaja ou Maria estuda. Se Maria estuda então Carla vai ao cinema. Se Carla vai ao cinema então o Brasil fica na Europa. Ora, o Brasil não fica na Europa. Quais são as conclusões?

Celso ∨ Maria estuda. Maria estuda → Carla vai ao cinema. Carla vai ao cinema → o Brasil fica na Europa. Dado: o Brasil não fica na Europa utilizaremos a teoria: A → B então ~B → ~A. Sendo assim, a 1ª conclusão é que Carla não vai ao cinema. Voltando à 1ª implicação concluímos que Maria não estuda. Na disjunção lógica, pelo menos uma premissa deve ser verdadeira. Como Maria não estuda então Celso viaja. Carla não vai ao cinema. Maria não estuda. Celso viaja.

Solução: Jardim tem flores → galo canta. Jardim não tem flores → quintal sem abelha.

A→B

Então, a 1ª conclusão é que o jardim tem flores. Voltando à 1ª implicação temos se o jardim tem flores o galo canta. O galo canta.

A simbologia acima apresenta que a negação da proposição composta p e q é feita por ~p ou ~q Exemplos: a) R: João anda e Maria dorme. ~R: João não anda ou Maria não dorme. b) Q: Pedro canta e Luis lê. ~Q:Pedro não canta ou Luis não lê

Negação da disjunção ( ∨ ) Regra de negação

A simbologia acima representa que a negação da composição “p implica em q” é feita por p e ~q. Exemplos: a) R: Carlos é alto ou Dado é magro. ~R: Carlos não é alto e Dado não é magro.

~B → ~A

O jardim tem flores.

~(p ∧ q) ↔ ~p ∨ ~q

~p(p ∨ q) ↔ p ∧ ~q

Como o quintal está cheio de abelhas, foi negada a conseqüência na 2ª implicação.

2)

Negação da Conjunção ( ∧ )

Obs: O conectivo “e” é substituído pelo conectivo “ou”.

2. Se o jardim tem flores o galo canta, mas se o jardim não tem flores o quintal fica sem abelhas. Mas o quintal está cheio de abelhas. Quais são as conclusões?

1)

Para podermos resolver questões mais abrangentes na argumentação lógica vamos abordar neste tópico a negação de proposições compostas, categóricas e outros tipos de sentenças.

Regra de negação:

Solução: Podemos resumir através dos símbolos lógicos.

1) 2) 3)

Prof. André Reis

b) Q: Ernesto canta ou Flávia dorme. ~Q: Ernesto não canta e Flávia não dorme. Obs: O conectivo “ou” é substituído pelo conectivo “e”

3. Quando o dia amanhece João sai para trabalhar. Dado que o dia não amanheceu, qual é a conclusão?

Negação da Implicação Regra da negação

Solução: nenhuma. A condição foi negada. Vimos na teoria que, caso a condição seja negada, nada podemos concluir.

A simbologia acima representa que a negação da composição “p implica em q” é feita por p e ~q.

Negação Na primeira parte da introdução à lógica de argumentação vimos que a negação de uma premissa p tem como conseqüência a troca de valor lógico de p. Para retomar as ideias recorde a tabela-verdade. P

~p

V

f

F

v


~(p → q) ↔ p ∧ ~q

Exemplos: a) R: Se Bernardo tem um livro então Carla tem uma flor. ~R: Bernardo tem um livro e Carla não tem uma flor. b) S: Se Luis dança Maria chora. ~S: Luis dança e Maria não chora. A negação é feita ligando as proposições p e ~q pelo conectivo “e”.

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Raciocínio Lógico


Para fixar melhor esta ideia de negação de uma implicação, podemos imaginar a representação em diagramas.

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c) S: Alguns políticos são honestos. ~S:Nenhum político é honesto. d) Q: nenhum filósofo é trabalhador.

A → B é o mesmo que

~Q: Algum filósofo é trabalhador. 2. Se Júlio e Paulo mentiram então Nestor comprou um livro. Mas Nestor não comprou um livro. Qual é a conclusão?

Negar A → B significa dizer que tem um elemento de A que não pertence a B. Em símbolos: x∈Aex

∉B

Solução: Júlio mentiu e Paulo mentiu → Nestor comprou um livro. A negação da conseqüência implica na negação da condição. Portanto: Júlio disse a verdade ou Pedro disse a verdade'.

Negação da Bicondicional Regra de negação:

3. Se é verdade que Bia canta toda vez que Luíza canta, então não é verdade que:

~(p ↔ q) ↔ (~p ∧ q) ∨ (p ∧ ~q) Podemos interpretar a negação da bicondicional da seguinte forma: (~p e q) ou (p ∧ ~q). Exemplos:

a) b) c) d)

Bia não canta. Se Bia não canta Luiza não canta. Luíza canta. Luiza canta e Bia não canta.

Solução: Letra D.

a) R: x é par se e somente se x é múltiplo de 2. ~R: x não é par e é múltiplo de 2 ou x é par e não é múltiplo de 2. b) S: Carlos canta se e somente se Luis viaja. ~S: Carlos não canta e Luis viaja ou Carlos canta e Luis não viaja. Obs: são as negações das duas condicionais que podemos transformar a bicondicional.

Negação das Proposições Categóricas.

Bia canta toda vez que Luiza canta significa que: Luiza canta → Bia canta. Não é verdade a negação dessa implicação. Luíza canta e Bia não canta. Obs: ~(~p) ↔ p Se p é verdade, então não é verdade a negação de p.

Argumento É considerado um argumento, toda afirmação que é conseqüência de uma seqüência finita de proposições. Um argumento de premissas P1, P2, ..., Pn e de conclusão Q é representado por P1, P2, P3, ..., Pn Q

• Todo A é B. Negação: existe pelo menos um A que não é B. • Algum A é B.

Lê-se: “Que decorre de P1, P2, ..., Pn” ou “P1, P2, P3, ..., Pn acarretam em Q”, etc.

Negação: nenhum A é B. • Nenhum A é B.

Silogismos

Negação: Algum A é B. Não podemos nos esquecer de que, basicamente, negar uma premissa verdadeira significa torná-la falsa, e negar uma premissa falsa significa torná-la verdadeira.

Exemplo: Sabe-se que x = 3 ou x =2. Mas x ≠ 3, logo x = 2.

Exercícios Propostos

Esse tipo de silogismo é chamado disjuntivo. Dado que A ou B sabemos que uma delas, pelo menos, deve ocorrer. Se A não ocorre significa que ocorre B. Se B não ocorre então A ocorre. Representamos um silogismo disjuntivo por:

1. Negar as proposições: a) p: A terra gira. ~p: A Terra não gira. b) R: Todos os homens são poetas.

(A ∨ B) ∧ ~A → B ou (A ∨ B) ∧ ~B → A

~R: Existe pelo menos um homem que não é poeta.


São argumentos formados por duas premissas e uma conclusão.

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Raciocínio Lógico


Podemos ler a representação anterior da seguinte forma: “A ou B e não A então B”. O que significa dada a ocorrência de A ou B quando A não ocorre necessariamente B deve ocorrer ou quando B não ocorre. A deve ocorrer. Há um outro tipo de silogismo chamado hipotético. Simbolicamente ele pode ser representado por: p→q

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Exercícios Propostos 1. André, Beto e Caio trocam acusações: André diz: Beto mente. Beto diz: Caio mente. Caio diz: André e Beto mentem. Baseando nessas acusações, é correto afirmar que:

q→r p→r Se p implica em q e q implica em r, então p implica em r.

a) b) c) d) e)

André e Beto mente. André diz a verdade. Apenas Caio diz a verdade. Apenas André mente. André e Caio mentem.

Solução:

A Validade do Argumento

Fazendo a 1ª suposição “André diz a verdade”.

Um argumento é válido se, e somente se, a conclusão for verdadeira toda vez que as premissas forem verdadeiras. Um argumento de premissas P1, P2, ... Pn e conclusão q é válida se a implicação (P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn) → Q for verdadeira. O argumento não válido é chamado sofisma ou falácia. Um argumento só é sofismo quando premissas verdadeiras acarretam em outra conclusão falsa. Em qualquer outra situação, o argumento é válido. Exemplo Dado que x = 2 e y = 3. Concluímos que x + y é um número par. Solução: Se x = 2 e y = 3 são verdadeiras, x + y = 5 que é ímpar. É um sofisma. Partindo de premissas verdadeiras a conclusão deve ser verdadeira.

Argumentos que envolvem Verdades e Mentiras

• Se a afirmação de André é verdadeira então Beto mente, ou seja, Caio diz a verdade. • Se Caio diz a verdade então André e Beto mentem. Contradição!! Observe que na suposição feita André diz a verdade e Beto mente. 2ª suposição: Beto diz a verdade •

Se Beto diz a verdade, André está mentindo.

•

Se Beto diz a verdade, Caio está mentindo.

Observe que realmente Caio mente quando afirma que Beto e André mentem, pois Beto diz a verdade. Não há contradição Resposta: André e Caio mentem. 2. Tenho 3 pastas A, B e C.Uma delas é preta, a outra marrom e a terceira marfim, não necessariamente nesta ordem. Sabendo que apenas uma das declarações é verdadeira: A é preta

Neste tópico apresentaremos várias argumentações que apresentam os vocábulos “verdades” e “mentiras”. Na realidade, cada situação apresenta algum raciocínio inerente ao problema. De um modo geral, devemos conduzir as soluções por duas ideias centrais:

B não é preta C não é marfim Então qual é a cor de cada uma das pastas? Solução:

•

Podemos atribuir a quem pertence a verdade ou mentira fazendo suposições.

1ª suposição: é verdade que “A é preta”.

•

Em cada suposição não podemos encontrar contradições. Caso seja encontrada alguma contradição, então a suposição inicial feira, está equivocada. Devemos escolher outra suposição para conduzir o problema.

2ª suposição: é verdade que “B não é preta”.

Não existe uma regra que resolva todas as situações. Devemos ler o enunciado com a maior atenção possível, usar as duas ideias centrais apresentadas e muito bom senso.


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•

•

Já chegamos a uma contradição pois B não é preta também é uma verdade.

Neste caso B pode ser marrom ou marfim. Construímos então o quadro abaixo. B = marrom C = marfim A = preta B = marfim C = marfim A = marrom


Raciocínio Lógico •


Observe que na suposição, “C não é marfim” é falsa, pois existe apenas uma verdade. No primeiro quadro concluímos que A é preta. Contradição!

Se A fosse preta existiram duas verdades. No segundo quadro também há contradição.

•

Problemas sobre Correlacionamento São problemas nos quais são dadas informações arbitrárias envolvendo: pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios. O objetivo é descobrir o correlacionamento entre os dados dessas informações.

3ª suposição: É verdade que “C não é marfim” •

Neste caso C pose ser preta ou marrom. C = preto B = preta A=? C = marrom B = preta A = marfim

Dito de outra forma, quando o exercício lhe pedir que identifique "quem usou o quê, quando, com quem, de que cor etc.

Exercício Proposto

O última quadro não apresenta contradições pois na suposição de que apenas “C não é marfim” é verdadeira, concluímos que B é preta donde a única possibilidade é: A = marfim B = preta C = marrom

3. Antônio, Beto, Carlos e Daniel trocam acusações sobre quem quebrou a vidraça do vizinho quando estavam jogando bola:

1. (Agente Administrativo/2010-FCC) Três Agentes Administrativos - Almir, Noronha e Creuza - trabalham no Departamento Nacional de Obras Contra as Secas: um, no setor de atendimento ao público, outro no setor de compras e o terceiro no almoxarifado. Sabe-se que: •

Esses Agentes estão lotados no Ceará, em Pernambuco e na Bahia;

•

Almir não está lotado na Bahia e nem trabalha no setor de compras;

•

Creuza trabalha no almoxarifado;

•

O Agente lotado no Ceará trabalha no setor de compras.

Antônio afirma: Beto é o culpado Beto afirma: Carlos é o culpado

Com base nessas informações, é correto afirmar que o Agente lotado no Ceará e o Agente que trabalha no setor de atendimento ao público são, respectivamente,

Carlos afirma: Danilo é inocente Danilo afirma: Antonio é inocente. Se existir apenas uma verdade nestas declarações podemos concluir que: a) b) c) d) e)

Prof. André Reis

Apenas Antônio é culpado. Beto e Carlos são os culpados. Apenas Carlos é inocente. Antônio ou Danilo são os culpados. Danilo e Carlos são inocentes.

a) Almir e Noronha. b) Creuza e Noronha. c) Noronha e Creuza. d) Creuza e Almir. e) Noronha e Almir. Solução: Primeiro Passo: preparação da tabela principal.

Solução: Observe que se Beto fosse culpado ou Carlos culpado, então teria mais de um culpado, pois existe apenas uma verdade nas declarações. Assim: 1ª suposição: Carlos disse a verdade. Então todos os outros estão mentindo; pelo enunciado da questão. Beto culpado (M) Carlos culpado (M) Danilo inocente (V)

Será construída, como meio de facilitação visual para a resolução desse tipo de problema, a seguinte tabela dita principal. São três grupos de informações: Agente, Local de Trabalho e Lotação. Escolha um deles e coloque cada um de seus elementos em uma linha. Neste exercício, escolhemos os Agentes (Almir, Noronha e Creuza) como grupo de referência inicial.

Antônio inocente (M)

LOCAL DE TRABALHO

Concluímos que Antônio é o culpado.

Atend.

2ª suposição: Danilo disse a verdade. Fazendo a mesma análise anterior, concluímos que Danilo é o culpado.

Compras

Almox.

Almir Noronha Creuza


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ESTADOS DE LOTAÇÃO Ceará

Pernam.

Bahia

Raciocínio Lógico


Segundo Passo: construção da tabela-gabarito.

Marque um "S" na tabela principal, na célula comum a Creuza e "Almoxarifado", e "N" das demais células correspondentes a esse "S".

Essa tabela não servirá apenas como gabarito, mas em alguns casos ela é fundamental para que você enxergue informações que ficam meio escondidas na tabela principal. Haverá também ocasiões em que ela lhe permitirá conclusões sobre um determinado elemento. É o caso, por exemplo, de serem quatro possibilidade e você notar que três já estão preenchidas na tabela-gabarito. Nesse caso, você perceberá que só resta uma alternativa para a célula não-preenchida.

LOCAL DE TRABALHO Atend.

AGENTES

LOCAL DE TRABALHO

Compras

Almox.

Almir Noronha N

N

Atend. Almir

Compras

Almox.

N

N

Noronha N

N

Retire os elementos do enunciado e preencha a tabela principal com "S" (Sim) ou "N" (Não), de acordo com as informações fornecidas. Ao encontrar um "S" em uma célula, preencha o restante da linha e da coluna com "N". Imediatamente marcado um "S", preencha a tabelagabarito com a informação quando possível.

Atend.

Compras

Almox.

Almir

S

N

N

Noronha

N

Creuza

N

AGENTES

Almir

LOCAL DE TRABALHO

Creuza

Bahia

Bahia N

ESTADO DE LOTAÇÃO

Almoxarifado

N

Creuza trabalha no almoxarifado; Registre essa informação imediatamente na tabela-gabarito:

Atend.

Compras

Almox.

Almir

S

N

N

Noronha

N

S

N

Creuza

N

N

S

AGENTES

ESTADO DE LOTAÇÃO

Almir

Almir

Noronha

Noronha

Creuza

Pernam.

Pela tabela principal acima, percebemos que Noronha trabalha no setor de "Compras", pois foi a única alternativa que ficou de "Local de Trabalho" para ele. Assim, teremos a tabela principal e tabela-gabarito a seguir:

Creuza

LOCAL DE TRABALHO

Ceará

S

LOCAL DE TRABALHO

AGENTES

ESTADOS DE LOTAÇÃO

Atendimento

Noronha

2.

N

Noronha


N

Bahia

N N

Almir

Almir não está lotado na Bahia e nem trabalha no setor de compras;

Pernam.

Pernam.

Pela tabela acima, percebemos que Almir trabalha no setor de "Atendimento", pois foi a única alternativa que ficou de "Local de Trabalho" para ele. Assim, teremos a tabela principal e tabelagabarito a seguir:

Em nosso exercício:

Ceará

Ceará

S

LOCAL DE TRABALHO

Almox.


N

Creuza

ESTADO DE LOTAÇÃO

Terceiro Passo: início do preenchimento das tabelas (principal e gabarito) com as informações mais óbvias do problema, aquelas que não deixam margem a nenhuma dúvida.

Compras

Bahia

S

LOCAL DE TRABALHO

Creuza

Atend.

Pernam.

Após as informações "1" e "2" a nova tabela principal será dada por:

Noronha

LOCAL DE TRABALHO

Ceará

N

Creuza

Almir

1.


N

Um outro ponto que deve ser ressaltado é que as duas tabelas se complementam para visualização das informações. Por isso, a tabela-gabarito deve ser usada durante o preenchimento da tabela principal, e não depois. A primeira linha de cabeçalho será preenchida com os nomes dos grupos. Nas outras linhas, serão colocados os elementos do grupo de referência inicial na tabela principal (no nosso exemplo, o grupo de Agentes).

Prof. André Reis

Creuza

Almoxarifado


14

LOCAL DE TRABALHO Atendimento Compras Almoxarifado


ESTADOS DE LOTAÇÃO Ceará

Pernam.

Bahia N

ESTADO DE LOTAÇÃO

Raciocínio Lógico 3.


O Agente lotado no Ceará trabalha no setor de compras. Pelas informações da tabela principal acima, concluímos que o Agente lotado no Ceará, que trabalha no setor de Compras é Noronha. LOCAL DE TRABALHO Atend.

Compras

Almir

S

Noronha

N

Creuza

N


Almox.

Ceará

N

N

N

S

N

S

N

S

N

Pernam.

Bahia

N

N

LOCAL DE TRABALHO

Almir

Tautologias, Contingências e Contradições Tautologia Denomina-se tautologia a proposição que é sempre verdadeira. A tabela-verdade de uma tautologia contém em sua última coluna apenas valores lógicos verdadeiros.

N

Contingência

Registre essa informação imediatamente na tabela-gabarito: AGENTES

Prof. André Reis

Denomina-se contingência a proposição composta que pode ser verdadeira ou falsa. A tabela-verdade de uma contingência contém, em sua última coluna valores lógicos verdadeiros ou falsos.

ESTADO DE LOTAÇÃO

Contradição

Atendimento

Noronha

Compras

Creuza

Ceará

Almoxarifado

Diante das novas informações a tabela principal será dada por: LOCAL DE TRABALHO


Atend.

Compras

Almox.

Ceará

Almir

S

N

N

N

Noronha

N

S

N

S

Creuza

N

N

S

N

Pernam.

Bahia

Denomina-se contradição a proposição que é sempre falsa. A tabela-verdade de uma contradição contém, em sua última coluna, apenas valores lógicos falsos. Exemplo 1.

Vamos verificar se a proposição composta abaixo é uma tautologia, contingência ou contradição.

N N

Se João canta então João canta ou Maria compra um livro

N

Conclusões finais baseadas na tabela acima: a) Almir está lotado em "Pernambuco", pois foi a única alternativa que ficou de "Estados de Lotação" para ele; b) Creuza está lotado na "Bahia", pois foi a única alternativa que ficou de "Estados de Lotação" para ela;

Vamos denominar p: João canta e q: Maria compra um livro. Então a proposição composta pode ser descrita como: p → (p ∨ q) Construindo um quadro de possibilidades

Assim as tabelas finais (principal e gabarito) serão as seguintes: LOCAL DE TRABALHO


Atend.

Compras

Almox.

Ceará

Pernam.

Bahia

Almir

S

N

N

N

S

N

Noronha

N

S

N

S

N

N

Creuza

N

N

S

N

N

S

AGENTES Almir Noronha Creuza

LOCAL DE TRABALHO

ESTADO DE LOTAÇÃO

Atendimento

Pernambuco

Compras

Ceará

Almoxarifado

Bahia

p

q

p ∨ q

p → (p ∨ q)

v

v

v

v

v

f

v

v

f

v

v

v

f

f

f

v

•

A última coluna da tabela apresenta apenas valores verdadeira, portanto trata-se de uma TAUTOLOGIA.

•

Note que construímos todas as possibilidades para p e q. Em seguida, analisamos a tabela verdade da disjunção p ∨ q. E finalmente a tabela-verdade da implicação p → (p ∨ q)

Assim o Agente lotado no Ceará e o Agente que trabalha no setor de atendimento ao público são respectivamente: Noronha e Almir. Gabarito: Letra "e"


15


Raciocínio Lógico 2.


Demonstrar que a proposição p ∨ (p ∧ ~q) é uma contingência. Solução: construindo a tabela verdade p

q

~q

(p ∧ ~q)

p ∨ (p ∧ ~q)

v

v

f

f

v

v

f

v

v

v

f

v

f

f

f

f

f

v

f

f

Observe que é suficiente ser paulista para ser brasileiro, mas não é necessário ser paulista para ser brasileiro, ou seja, basta ser paulista para ser brasileiro, mas não precisa ser paulista para ser brasileiro, pois existem brasileiros que não são paulistas. Dessa forma, podemos escrever P → B, onde P é suficiente para B, mas não necessário. Agora observe que é necessário ser brasileiro para ser paulista, mas não é suficiente. Afirmamos que é necessário pois se um elemento “estiver fora” do conjunto B então ele “está fora” de A. Para as conclusões finais, observe que não basta se brasileiro para ser paulista.

A construção foi feira por etapas:

Condição Suficiente

1ª) As possibilidades para p e q (1ª coluna)

3.

Prof. André Reis

2ª) Na 2ª coluna a tabela de negação de q.

Se A é suficiente para B temos que:

3ª) Na 3ª coluna a operação entre parênteses (p ∧ ~q).

•

A → B (A implica em B).

4ª) Na 4ª coluna o resultado final.

•

Todo A é B

Se Paulo e Luís viajam então Paulo viaja. (representação em forma de conjunto)

Solução: Fazendo p: Paulo viaja e q: Luís viaja, a proposição pode ser escrita como: (p ∧ q) → p Construindo a seqüência da tabela-verdade p

q

p ∧q

(p ∧ q) → p

v

v

V

v

v

f

F

v

f

v

F

v

f

F

F

v

•

A ocorrência de A acarreta na ocorrência de B.

Condição Necessária Se B é necessária para A:

É uma tautologia.

•

A→B

•

Todo A é B

Condição Suficiente, Condição Necessária, Condição Necessária e Suficiente Vamos abordar neste tópico a relação que existe entre conjuntos e operadores lógicos. De uma forma em geral, a lógica matemática se preocupa em conectar ideias e tirar conclusões a partir destas. Quando abordamos situações em geral, temos condições impostas para tais. Essas condições muitas vezes são suficientes para desencadear um processo de conclusões ou ainda necessárias para que as conclusões possam surgir. Para ilustrar, vamos abordar uma situação cotidiana e, a partir dela faremos as definições matemáticas. Voltemos a um exemplo inicial: considere a afirmação: todo paulista é brasileiro.

Condição Necessária e Suficiente Se A é necessária e suficiente para B, então: •

A ↔ B (equivalência lógica)

•

Todo A é B e todo B é A.

•

A=B

•

Se A ocorre então B também ocorre.

•

Se A não ocorre então B não ocorre.

Representando em forma de conjuntos.

P: conjunto dos paulistas. B: conjunto dos brasileiros.


16


Raciocínio Lógico


Exemplos: 1.

3.

Considere que A é necessária para B e é suficiente para C. Considere ainda que C é necessária e suficiente para D. Assim, quando D não ocorre tiramos quais conclusões?

•

• • •

Solução: Ana vai ao parque → Bia fica triste. Escrevendo a equivalente:

A é necessário para B A é suficiente para C C é necessária e suficiente para D

Bia não fica triste → Ana não vai ao parque. •

Quando D não ocorre, são conclusões: 1)

C não ocorre.

2)

A não ocorre

3)

B não ocorre

Bia não ficar triste é suficiente para Ana não ir ao parque .

Alternativa "B" 4.

Recorde que: P→q ~q → ~p A não ocorrência de q acarreta na não ocorrência de p. 2.

Toda vez que Ana vai ao parque Bia fica triste. Então, Bia não ficar triste é condição suficiente para: a) Ana ir ao parque. b) Ana não ir ao parque c) Não podemos concluir.

Solução: o primeiro passo para a solução é escrever o problema em forma de operações lógicas: B →A A→C C→D

Prof. André Reis

O gato miar é condição suficiente para o pássaro cantar. Quando o pássaro não canta concluímos que: a) O gato mia.

(ESAF) O rei ir à caça é condição necessária para a duquesa sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e, é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Quais as conclusões? Solução: A questão apresentava as alternativas possíveis dentre as conclusões que vamos tirar. O primeiro passo seria utilizar as operações lógicas: Duque sair do castelo → rei ir á caça. Rei ir à caça → duquesa ir ao jardim.

b) O gato não mia.

Conde encontrar a princesa ↔ barão sorrir.

c) Não podemos tirar conclusões.

Duquesa ir ao jardim → conde encontrar a princesa. Dado que: o barão não sorriu, temos as conclusões:

Solução: gato miar → pássaro cantar. Quando o pássaro não canta concluímos que o gato não mia. Alternativa "B".

1)

O conde não encontra a princesa.

2)

A duquesa não foi a jardim.

3)

O rei não foi a caça.

4)

O duque não saiu do castelo.

QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS

Estruturas Lógicas 1. [Anal. Jud.-(Espec. Anal. Sist.)-(CAT)-(T1)-TJ-RJ/2012-FCC].(Q.33) O Congresso Triangular de determinada especialidade médica ocorre anualmente em uma dentre três cidades: Belo Horizonte, Rio de Janeiro ou São Paulo. Existem duas regras para definir a sede do Congresso Triangular de determinado ano: − uma mesma cidade não pode sediar o congresso em dois anos consecutivos; − em qualquer período de cinco anos consecutivos, uma mesma cidade não pode sediar mais do que duas edições do congresso. Em 2007, a cidade de Belo Horizonte sediou o Congresso Triangular que, em 2012, ocorrerá no Rio de Janeiro. Em 2009, ele não aconteceu no Rio de Janeiro. Apenas com essas informações, pode-se concluir que, em 2010, o Congresso Triangular a) certamente ocorreu no Rio de Janeiro. b) certamente ocorreu em Belo Horizonte. c) pode ter ocorrido no Rio de Janeiro ou em Belo Horizonte. d) certamente ocorreu em São Paulo. e) pode ter ocorrido no Rio de Janeiro ou em São Paulo.


17


Raciocínio Lógico


2. [Téc. Bancário III-(Ár. Inform.)-(Desenv.)-(CA01)-(T1)BANESE/2012-FCC].(Q.38) A tabela a seguir mostra a situação dos quatro primeiros colocados em um campeonato de futebol faltando uma rodada para o seu término. Colocação

Equipe

Pontos

Número de Vitórias

1ª

A

74

23

2ª

B

73

21

3ª

C

72

21

4ª

D

68

20

Prof. André Reis

4. [Auditor-Fiscal Trib. Munic. I-(Gestão Trib.)-(P1)-(CA01)(T1)-Pref. Munic.-SP/2012-FCC].(Q.49) As letras A, B, C, D, E, F, G e H deverão ser distribuídas pelos oito quadrados da figura abaixo, de modo que em cada quadrado seja escrita uma única letra e todas as letras sejam escritas uma única vez. Duas letras que ocupem posições consecutivas no alfabeto (por exemplo, A e B, ou ainda, F e G) não poderão ser escritas em quadrados ligados por uma linha.

Na última rodada, acontecerão os seguintes jogos: Equipe A x Equipe B

Equipe C x Equipe D

O campeão será o time que tiver conquistado o maior número de pontos no campeonato. Em caso de empate nesse critério, o campeão é aquele com o maior número de vitórias. Em cada jogo, uma equipe ganha 3 pontos em caso de vitória, 1 ponto em caso de empate e 0 ponto em caso de derrota. Em relação às chances de cada equipe sagrar-se campeã, considere as afirmativas abaixo. I. Se a equipe A vencer ou empatar sua partida, será a campeã. Caso contrário, não leva o título. II. Se a equipe B vencer sua partida, será a campeã. Caso contrário, não leva o título. III. Se a equipe C vencer sua partida e as equipes A e B empatarem seu jogo, C será a campeã. Caso contrário, não leva o título. Está correto o que se afirma em a) I e II, apenas. b) II e III, apenas. c) II, apenas. d) III, apenas. e) I, II e III. 3. [Auditor-Fiscal Trib. Munic. I-(Gestão Trib.)-(P1)-(CA01)(T1)-Pref. Munic.-SP/2012-FCC].(Q.48) Arlete e Salete são irmãs gêmeas idênticas, mas com uma característica bem diferente: uma delas só fala a verdade e a outra sempre mente. Certo dia, um rapaz que não sabia qual das duas era a mentirosa perguntou a uma delas: "Arlete é mentirosa?". A moça prontamente respondeu: "Sim". Analisando somente a resposta dada, o rapaz pôde concluir que havia se dirigido a a) Arlete, e que ela era a irmã mentirosa. b) Arlete, e que ela não era a irmã mentirosa. c) Arlete, mas não pôde decidir se ela era a irmã mentirosa. d) Salete, e que ela não era a irmã mentirosa. e) Salete, mas não pôde decidir se ela era a irmã mentirosa.


18

Nessas condições, para que o problema possa ser resolvido, no quadrado destacado pelo sombreado a) poderá ser escrita a letra A ou a letra H. b) poderá ser escrita a letra B ou a letra G. c) poderá ser escrita a letra C ou a letra F. d) deverá, necessariamente, ser escrita a letra A. e) deverá, necessariamente, ser escrita a letra D. 5. [Auditor-Fiscal Trib. Munic. I-(Gestão Trib.)-(P1)-(CA01)(T1)-Pref. Munic.-SP/2012-FCC].(Q.50) Para a prova final de um concurso de televisão, serão colocadas 20 caixas no palco, numeradas de 1 a 20. Em cada caixa, haverá uma pista diferente, que ajudará a desvendar o enigma da noite. Um a um, os 20 concorrentes serão sorteados para ter acesso às pistas, de acordo com a seguinte regra: − o 1º sorteado lerá as pistas das caixas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 e 20, − o 2º sorteado lerá apenas as pistas das caixas 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 e 20, − o 3º sorteado lerá apenas as pistas das caixas 3, 6, 9, 12, 15 e 18, − o 4º sorteado lerá apenas as pistas das caixas 4, 8, 12, 16 e 20, − o 5º sorteado lerá apenas as pistas das caixas 5, 10, 15 e 20, − o 6º sorteado lerá apenas as pistas das caixas 6, 12 e 18, e assim sucessivamente, até o 20º sorteado, que só lerá a pista da caixa 20. Algumas pistas serão lidas por um número par de concorrentes e as demais serão lidas por um número ímpar de concorrentes. A quantidade de pistas lidas por um número ímpar de concorrentes é


Raciocínio Lógico


Prof. André Reis

a) 4. b) 5. c) 7. d) 8. e) 10.

9. [Aux. Fiscal. Financ.II-(CAU)-(T1)-TCE-SP/2012-FCC].(Q.21) Durante um almoço, três amigas escreveram, ao mesmo tempo, as seguintes frases em seus respectivos diários:

6. [Assist. Adm. Jr.-(C34)-(T1)-METRÔ-SP/2012-FCC].(Q.40) Três técnicos da Cia. do Metropolitano de São Paulo − Aurélio, Dante e Jorge − trabalham nas Linhas 1, 2 e 3, onde atuam nas áreas Administrativa, de Manutenção e de Segurança, não respectivamente. Considere as seguintes informações:

Júlia → Ontem foi segunda-feira, mas amanhã será terça.

Paula → Hoje é sexta-feira e ontem foi domingo, mas amanhã será quarta-feira.

− Jorge trabalha na área de Segurança; − o que trabalha na Linha 1 atua na área de Manutenção; − Aurélio não trabalha na Linha 3 e não trabalha na área Administrativa. Com base nessas informações, é correto afirmar que o técnico que trabalha na Linha 1 e aquele que atua na área Administrativa são, respectivamente, a) Aurélio e Jorge. b) Aurélio e Dante. c) Jorge e Dante. d) Jorge e Aurélio. e) Dante e Jorge. 7. [Ag. Fiscal. Financ.-(CAF)-(T1)-TCE-SP/2012-FCC].(Q.22) Um homem e uma mulher estão postados de costas um para o outro. O homem voltado para o SUL e a mulher para o NORTE. A mulher caminha 5 metros para o NORTE, gira e caminha 10 metros para o OESTE, gira e caminha 15 metros para o SUL, gira e caminha 20 metros para o LESTE. O homem caminha 10 metros para o SUL, gira e caminha 20 metros para o LESTE, gira e caminha 30 metros para o NORTE, gira e caminha 40 metros para o OESTE. A partir dessas informações, a distância entre a reta que representa a trajetória LESTE, da mulher, e a reta que representa a trajetória OESTE, do homem, é, em metros, igual a a) 10. b) 20. c) 30. d) 35. e) 40.

Luíza → Hoje é terça-feira, mas ontem foi quinta. Apesar de as frases serem inconsistentes como um todo, cada amiga registrou exatamente uma informação correta em seu diário. Desse modo, o almoço ocorreu numa a) segunda-feira. b) terça-feira. c) quarta-feira. d) quinta-feira. e) sexta-feira. 10. [Aux. Fiscal. Financ.II-(CAU)-(T1)-TCE-SP/2012-FCC].(Q.23) De acordo com as regras do campeonato mundial de certa modalidade, o troféu é de posse transitória, isto é, a seleção vencedora de uma edição do campeonato manterá o troféu em seu poder apenas até a próxima edição, quando ele será transferido à nova campeã. Somente quando uma seleção vencer, no total, cinco edições do torneio, ela terá direito à posse definitiva do troféu. Se todos os títulos desse campeonato ficarem restritos a apenas quatro seleções diferentes, então o número máximo de edições que deverão ser disputadas até que uma das quatro conquiste a posse definitiva do troféu é igual a a) 6. b) 16. c) 17. d) 20. e) 21. Instruções: Para responder às questões de números 11 e 12, considere as informações a seguir. No jogo do "liga-pontos", dois jogadores, de maneira alternada, vão unindo os pontos de uma malha quadriculada por meio de linhas retas horizontais ou verticais. Cada linha deve ligar dois pontos adjacentes da malha, como exemplificado na figura, em que já foram traçadas sete linhas retas.

8. [Ag. Fiscal. Financ.-(CAF)-(T1)-TCE-SP/2012-FCC].(Q.30) O sábio sabe que nem tudo sabe. O tolo sabe menos do que o sábio sabe. Então, a partir dessas afirmações, é verdade que a) Os tolos nada sabem. b) Alguns tolos sabem mais do que todos os sábios. c) O tolo sabe tudo o que sabe. d) O tolo pode saber que nem tudo sabe. e) O sábio não sabe o que o tolo sabe.


Quando um quadrado pequeno da malha é cercado por quatro linhas retas, diz-se que uma casa foi fechada.

19


Raciocínio Lógico


11. [Aux. Fiscal. Financ.II-(CAU)-(T1)-TCE-SP/2012-FCC].(Q.24) Considere uma malha quadriculada que possua n linhas e n colunas de pontos, como mostrado na figura.

Prof. André Reis

13. [Aux. Fiscal. Financ.II-(CAU)-(T1)-TCE-SP/2012-FCC].(Q.26) Para escolher a roupa que irá vestir em uma entrevista de emprego, Estela precisa decidir entre uma camisa branca e uma vermelha, entre uma calça azul e uma preta e entre um par de sapatos preto e outro azul. Quatro amigas de Estela deram as seguintes sugestões: Amiga 1 → Se usar a calça azul, então vá com os sapatos azuis. Amiga 2 → Se vestir a calça preta, então não use a camisa branca. Amiga 3 → Se optar pela camisa branca, então calce os sapatos pretos. Amiga 4 → Se escolher a camisa vermelha, então vá com a calça azul.

Sabendo que Estela acatou as sugestões das quatro amigas, conclui-se que ela vestiu

O número total de casas que podem ser fechadas nessa malha é dado por

a) a camisa branca com a calça e os sapatos azuis. b) a camisa branca com a calça e os sapatos pretos. c) a camisa vermelha com a calça e os sapatos azuis. d) a camisa vermelha com a calça e os sapatos pretos. e) a camisa vermelha com a calça azul e os sapatos pretos. 14. [Aux. Fiscal. Financ.II-(CAU)-(T1)-TCE-SP/2012-FCC].(Q.28) Em uma empresa, todo diretor tem direito a plano de saúde executivo e metade dos funcionários do setor de vendas também tem esse direito. Além disso, todos os funcionários do setor de vendas usam carro da frota da empresa para trabalhar. Sabendo que nenhum funcionário dessa empresa pode se tornar diretor se não falar inglês, conclui-se que, necessariamente,

a) (n −1) × (n − 1). b) n × n. c) (n + 1) × (n + 1). n n d) × . 2 2 ⎛n ⎞ ⎛n ⎞ e) ⎜ + 1⎟ × ⎜ + 1⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ 12. [Aux. Fiscal. Financ.II-(CAU)-(T1)-TCE-SP/2012-FCC].(Q.25) Em uma malha quadriculada de 16 pontos como a da figura, o número máximo de linhas que podem ser desenhadas simultaneamente sem que nenhuma casa seja fechada é igual a

a) algum funcionário da empresa que usa carro da frota tem direito a plano de saúde executivo. b) todo funcionário dessa empresa que fala inglês tem direito a plano de saúde executivo. c) no setor de vendas dessa empresa existe pelo menos um funcionário que é diretor. d) existem diretores nessa empresa que usam carro da frota para trabalhar. e) pelo menos 50% dos funcionários do setor de vendas dessa empresa não falam inglês. 15. [Aux. Fiscal. Financ.II-(CAU)-(T1)-TCE-SP/2012-FCC].(Q.30) Leia a manchete a seguir. Cada uma das 32 seleções que participarão da Copa do Mundo de 2014 terá de escolher uma única dentre as 12 cidades sedes para se concentrar ao longo de todo o torneio.

Considerando o conteúdo da manchete, conclui-se que, necessariamente, a) algumas cidades serão escolhidas por duas e outras por três seleções. b) todas as cidades sedes terão de receber pelo menos uma seleção. c) alguma cidade sede não será escolhida por nenhuma das 32 seleções. d) pelo menos uma cidade sede será escolhida por mais de duas seleções. e) nenhuma cidade sede poderá receber mais do que três seleções.

a) 16. b) 17. c) 18. d) 19. e) 20.


20


Raciocínio Lógico


Prof. André Reis

GABARITOS (107 QUESTÕES) 1

ESTRUTURA LÓGICAS / OPERAÇÕES LÓGICAS.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 C A E B A B C D B C A D C A D E D C D C E C A D 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 A C A C A D E E A E D

2 1 E

RACIOCÍNIO SEQUENCIAL 2 C

3 B

4 E

5 C

6 D

7 C

8 B

9 C

10 A

3 1 D

4

11 E

12 C

13 D

14 D

15 B

16 E

17 B

18 D

19 E

20 D

RACIOCÍNIO VERBAL 2 E

3 A

4 C

5 C

6 D

7 D

8 A

RACIOCÍNIO MATEMÁTICO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 E E C B D A C D E A E B C B A D B B C A D A E B 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 C E B D D B B E A E C C C E C E E D D B


56


INTRODUO LGICA ARGUMENTATIVA - :: Apostilas Virtual

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