JURNAL MATEMATIKA “LOG

Jurnal “LOG!K@” , Jilid 6, No. 1, 2016, Hal. 62 - 70 ISSN 1978 – 8568

SIFAT ADITIF KATEGORI HOMOTOPI KOMPLEKS-U Gustina Elfiyanti Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta Email: [email protected]

Abstract: Davvaz and Shabbani-Solt introduced a notion of chain U-complex as a generalization of chain complex by replacing kernels with submodules U . They used the definitions to generalize some results in homological algebra. In this paper we propose a generalization of homotopy category of complexes called homotopy category of U-complexes by replacing the objects with chain Ucomplexes, morphisms with U-homotopy equivalent classes of morphisms of Ucomplexes. We prove that this category is an additive category. Keywords: chain U-complex, morphisms of U-complexes, U-homotopy homotopy category of U-complexes, additive category. Abstrak: Davvaz dan Shabbani-Solt mengenalkan rantai rantai kompleks-U sebagai perumuman rantai kompleks dengan mengganti kernel dengan submodul U. Mereka menggunakan definisi tersebut untuk memperumum beberapa hasil dalam aljabar homologi. Tulisan ini bertujuan untuk membuat perumuman kategori homotopi kompleks yang disebut kategori homotopi kompleks-U dengan mengganti objek dengan rantai kompleks-U dan morfisma dengan kelas ekivalen homotopi-U dari morfisma kompleks-U. Diperoleh bahwa kategori ini merupakan kategori aditif. Kata kunci: rantai kompleks-U, morfisma kompleks-U, homotopi-U, kategori homotopi kompleks-U, kategori aditif.

PENDAHULUAN Dalam kehidupan manusia biasanya mengklasifikasikan objek-objek berdasarkan kemiripan sifat yang dimiliki. Pengklasifikasian tersebut bertujuan untuk mempermudah mempelajari/mengkaji objek yang diminati. Karena objek-objek yang berada dalam kelompok yang sama memiliki sifat yang sama maka untuk mengkaji kelompok tersebut kita tidak perlu mempelajari semua anggotanya tapi cukup perwakilannya saja. Hal yang sama juga berlaku dalam aljabar, objek yang dibahas adalah himpunan atau koleksi himpunan yang dilengkapi dengan suatu struktur. Metode pengklasifikasian dilakukan dengan pemetaan, khususnya isomorfisma. Jika terdapat suatu isomorfisma antara dua objek maka kedua objek tersebut memiliki sifat yang sama. Sehingga kajian mengenai suatu struktur aljabar dapat dilakukan melalui kelas-kelas isomorfisma dari objeknya. Pendekatan yang mengoptimalkan kajian sifat-sifat pemetaan ini adalah pendekatan kategori. Kategori adalah suatu struktur aljabar yang terdiri dari koleksi objek, koleksi homomorfisma antar objek dan sebuah operasi komposisi. Jika objek dari kategori berupa rantai kompleks, yaitu rantai modul-R dan homomorfisma modul-R dengan sifat komposisi setiap homomorfisma yang bertetanggaan adalah nol, maka kategori tersebut kategori kompleks.

Sifat Aditif Kategori Homotopi Kompleks-U

dn1

Suatu rantai kompleks jika Im  dn1   d

1 n

dn

dn1

 X n1  X n  X n1  X n2™

dikatakan barisan eksak

0 . Suatu pertanyaan natural adalah bagaimana jika 0 diganti dengan

U n 1 sebuah submodul dari X n 1 . Dalam [1], Davvaz dan Parnian-Garmaleky mengenalkan perumuman dari konsep ini yang disebut barisan eksak- U , yang merupakan modifikasi dari notasi barisan eksak biasa dan menjawab permasalahan di atas. Mereka kemudian memperumuman beberapa hasil untuk barisan eksak biasa pada barisan eksak- U . Dalam [2], Anvariyeh dan Davvaz melanjutkan penelitian dalam topik ini dan fokus dalam aplikasi barisan eksak- U dan mempelajari barisan terpisah- U . Kemudian dalam [3] Davvaz dan Shabani-Solt membuat perumuman beberapa topik dalam aljabar homologi. Mereka mengenalkan konsep rantai kompleks- U , morfisma kompleks-U, homologi- U dan fungtor. Mereka menggunakan konsep tersebut untuk mencari perumuman dari Lema Lambek, Lema Ular, Homomorfisma Penghubung dan Segitiga Eksak. Elfiyanti dkk. [4] menggunakan penelitian Davvaz dan Shabani-Solt untuk membuat perumuman kategori kompleks yang disebut kategori kompleks-U. Tulisan ini bertujuan untuk melanjutkan penelitian [3] dan [4] dengan membuat perumuman kategori homotopi kompleks, yang disebut kategori homotopi kompleks- U , diperoleh bahwa kategori ini adalah kategori aditif. KATEGORI KOMPLEKS Pada bagian ini dipaparkan beberapa teori dasar yang bersumber dari [5], [6] , [7], [8] dan [9] dengan notasi penulisan disesuaikan dengan [6]. Suatu kategori terdiri dari: kelas objek Ob yang elemennya disebut objek dari , koleksi himpunan Hom  X , Y  satu untuk setiap pasangan terurut objek-objek dari X , Y  dan koleksi pemetaan

: Hom  X , Y   Hom Y , Z   Hom  X , Z  gf  f , g untuk setiap triple terurut X , Y , Z  . Ketiga data ini harus memenuhi: 1. Setiap morfisma f secara tunggal menentukan X , Y  sehingga

f  Hom  X , Y  .

Dengan kata lain jika  X , Y    X  , Y   maka Hom  X , Y   Hom  X  , Y    . 2. Untuk setiap X 

terdapat morfisma 1X  Hom  X , X  dinamakan identitas pada X

sehingga jika f  Hom  X , Y  dan g  Hom W , X  maka f 1X  f dan 1X g  g. 3. Komposisi morfisma bersifat asosiatif, yaitu jika f  Hom  X , Y  , g  Hom Y , Z  dan h  Hom  Z ,W  maka h  gf    hg  f .

Jika X objek di maka 1X tunggal. Dengan demikian terdapat korespondensi satu-satu antara kelas objek di dan kelas morfisma identitas, oleh karena itu dalam mendefinisikan sifat-sifat pada kategori cukup melihat morfisma dan komposisi (bukan objek). Pernyataan yang sederhana dalam kategori adalah suatu komposisi morfisma sama dengan suatu

63

Gustina Elfiyanti

komposisi lainnya, misalkan gf  g  f  . Dalam hal ini kita katakan diagram berikut komutatif jika . f

X f X





Y g

g

 Y

Suatu kategori dikatakan kategori aditif jika berlaku: A1 Untuk setiap pasang objek X , Y di maka himpunan Hom dan komposisi Hom

 X , 0

merupakan grup abel

 X , Y   Hom Y , Z   Hom  X , Z  bilinier atas

A2 Kategori memuat objek 0 (yaitu untuk setiap objek di Hom  X , 0  dan Hom  0, X  memuat tepat satu unsur. A3 Untuk setiap pasang objek X , Y di

.

maka himpunan

terdapat koproduk X  Y .

Kategori aditif dikatakan kategori abel jika setiap morfismanya punya kernel dan kokernel serta untuk setiap morfisma f : X  Y di maka morfisma natural

ko Im  f   Im  f  . adalah barisan tak hingga X   X n , d n n ,

Rantai kompleks atas kategori aditif dengan X  Ob

dan d n (disebut differensial) adalah morfisma di Hom

 X n , X n1 

yang

memenuhi d d  0 untuk setiap n  . Rantai kompleks dapat ditulis sebagai barisan objek dan morfisma berikut. X n

X n 1

X   X n , d nX  :

dnX1

dnX1

dnX1

 X n1  X n  X n 1  X n 2™

Morfisma antara rantai kompleks X   X n , d nX 

n

dan Y  Yn , d nY 

n

adalah barisan

morfisma f   f n n sehingga diagram di bawah komutatif, yaitu f n1dnX  dnY f n untuk setiap

n

.

™

™

d nX1

X n 1 ™  fn1

d nX

Xn  fn

d nY1

Yn 1

™

X n 1 ™  fn1

d nY

™

Yn

™

Yn 1

™

Koleksi semua rantai kompleks atas bersama morfisma kompleks dan operasi komposisi membentuk kategori kompleks, dinotasikan dengan C   . Jika kategori abel, yaitu kategori aditif yang setiap morfismanya punya kernel dan kokernel serta untuk setiap

64

Sifat Aditif Kategori Homotopi Kompleks-U

kompleks f : X  Y maka

morfisma

isomorfisma, maka C 



morfisma

koIm  f   Im  f  merupakan

natural

juga kategori abel.

PERUMUMAN RANTAI KOMPLEKS Pada bagian ini dipaparkan hasil penelitian Davvaz dan Shabani-Solt. Untuk selanjutnya menyatakan kategori abel R  Mod , yaitu kategori modul atas gelanggang komutatif dengan kesatuan R. Definisi 1. Rantai kompleks- U X atas kategori





adalah keluarga X  X ,U X , d X   X n ,U nX , d nX 

n

dengan U nX  X n objek di dan setiap X n dan dnX : X n  X n1 adalah homomorfisma modul-R, sehingga untuk setiap n  berlaku: 1. dnX dnX1  X n1   U nX1

Im  dnX   U nX1

2.

Rantai kompleks- U X dapat ditulis sebagai barisan objek dan morfisma berikut. dnX1

 X ,U X , d X  :

dnX

dnX1

 X n1 ™ X n ™ X n1 ™ X n2™

Dari definisi di atas maka jelas bahwa rantai kompleks adalah rantai kompleks-0, dengan 0 barisan submodul 0. Begitu juga dengan rantai X ,U X , d X dengan sifat dnX dnX1  X n1   U nX1 juga rantai kompleks- U X . Jika

 X ,U



X



, d X  rantai kompleks- U X maka Im  d nX1  

 d  U  . X n

1

X n 1

Contoh 2 1. Pandang rantai modul-R dan rantai homomorfisma berikut 2x

™

32

2x

™

Maka X 



32

32

™

, 4 , 2x



32

™

adalah rantai kompleks- 4

dan Y 



32

, 2 ,2y



adalah

rantai kompleks- 2 . 2.

Untuk rantai modul-R dan rantai homomorfisma berikut 4x

™

32

maka Z 

™



32

4x

32

™

32

™



, 8 , 4 x adalah rantai kompleks  8 .

Definisi 3 (Morfisma kompleks-U) Misalkan X ,U X , d X dan Y ,U Y , d Y









kompleks- U Y . Morfisma kompleks- U

masing-masing adalah rantai kompleks- U X dan atas

65

adalah morfisma rantai kompleks

Gustina Elfiyanti

 

f   f n : X n  Yn n

U

X

dengan f n U nX  U nY . Morfisma ini disebut juga rantai pemetaan-

,U Y  .

Contoh 4 Misalkan X 



32

, 4 , 2x



dan Y 



32



, 2 , 2 y . Definisikan f n :

32



32

sebagai

4 x maka diagram berikut komutatif

fn : x

2x

™

X: f

32

4 x

™

32

4 x

32

™

32

4 x

2y

™

Y:

2x

™

2y

™

™

32

™

32



karena 4 4  16  2 maka f adalah rantai pemetaan  4 , 2 Proposisi 5 Misalkan X ,U X , d X



  adalah rantai kompleks-U sehingga d d  X   U dan Y ,U , d  rantai kompleks-U . Jika f   f : X  Y  pemetaan rantai kompleks, maka f juga rantai pemetaan- U ,U  X

X

Y

X n

X n 1

n 1

X n 1

Y

n

X

n n

n

Y

Definisi 6 (Homotopi ) Misalkan X ,U X , d X dan Y ,U X , d Y masing-masing adalah rantai kompleks- U X dan













rantai kompleks- U Y . Misalkan pula f , g adalah dua rantai pemetaan- U X ,U Y . Pemetaan





f dan g dikatakan homotop- U X ,U Y , dinotasikan dengan f

g jika terdapat barisan

morfisma h   hn : X n  Yn1 n X: f Y:

™

™

d nX1

X n 1  fn1

™

hn

d nX

Xn  fn

d nY1

Yn 1

™

™

X n 1 ™  fn1

hn1 d nY

™

Yn

Yn 1

™

sehingga untuk setiap n  berlaku: 1. f n  gn  dnY1hn  hn1dnX

 

2. hn U nX  U nY1





Barisan h   hn n disebut rantai homotopi- U X ,U Y . Jika g  0 maka f dikatakan





homotop- U X ,U Y ke 0.

66

Sifat Aditif Kategori Homotopi Kompleks-U

Lema 7 Relasi homotop- U X ,U Y , , adalah relasi ekivalen.





Bukti: 1. Akan dibuktikan " " bersifat reflektif. Misalkan rn  0 untuk setiap n  maka dnY1rn  rn1dnX  f n  f n  0 dan jelas rn (U nX )  0Cn1  U nY1 maka f 2.

Akan dibuktikan "

U

X

f .

" bersifat simetris. Misalkan f

g maka terdapat rantai homotopi-

,U Y  , r   rn : X n™ Yn1 n , sehingga dnY1rn  rn1dnX  f n  gn dan rn (U nX )  U nY1.

Misalkan s   sn n adalah rantai homotopi  U X ,U Y  dengan sn  rn , sehingga

d nY1rn  rn 1d nX  f n  g n  (d nY1rn  rn 1d nX )  ( f n  g n )d nY1 (rn )  (rn 1 )d nX  g n  f n d nY1sn  sn 1d nX  g n  f n Karena rn (U nX )  U nY1 tertutup maka rn (U nX )  sn (U nX )  U nY1 . Jadi g

f , maka

terbukti " " bersifat simetris. 3.

Akan dibuktikan " " bersifat transitif. Misalkan f

g dan g

h , maka terdapat rantai

homotopi  U X ,U Y  , r   rn : X n™ Yn1 n dan s   sn : X n™ Yn1 n sehingga dnY1rn  rn1dnX  f n  gn , dnY1sn  sn1dnX  gn  hn dan rn (U nX )  U nY1 , sn (U nX )  U nY1 .

Perhatikan. f n  gn  gn  hn  dnY1rn  rn1dnX  dnY1sn  sn1d nX  d nY1 (rn  sn )  (rn1  sn1 )d nX Definisikan t   tn n dengan tn  rn  sn untuk setiap n  , maka f n  gn  gn  hn  dnY1 (rn  sn )  (rn1  sn1 )dnX  dnY1tn  tn1dnX  f n  hn .

Karena

sn (U nX )  U nY1 maka jelas tn (U nX )  U nY1 . Terbukti f

h, dan "

rn (U nX )  U nY1

dan

" bersifat transitif.

Lema 8 Himpunan kelas ekivalen relasi homotopi membentuk grup abel. Bukti: Misalkan f  HomC

HomC terdapat

,U 

 X , Y  , karena



f  g  HomC

 X , Y  cukup dibuktikan f subgrup dari HomC r   rn : X n  Yn1 n dan s   sn : X n  Yn1 n

,U 

dan f n  hn  dnY1sn  sn1dnX . Perhatikan

67

 X , Y  | f g subhimpunan dari X , Y  . Misalkan g , h  f maka ,U  

,U 

sehingga f n  gn  dnY1rn  rn1dnX

Gustina Elfiyanti

gn  hn  dnY1rn  rn1dnX  dnY1sn  sn1dnX  dnY1  rn  sn    rn1  sn1  dnX Definisikan t   tn  rn  sn : X n  Yn1 n , karena rn U nX   U nY1 dan sn U nX   U nY1 maka tn U nX   U nY1. Dengan demikian t n adalah rantai homotopi- U X ,U Y  , oleh karena itu

g  h  f . Terbukti f subrup dari HomC

,U 

 X ,Y .

Karena operasi penjumlahan fungsi

bersifat komutatif maka f grup abel. Lema 9 Misalkan X ,U X , d X , Y ,U X , d Y dan Z ,U Z , d Z









 masing-masing adalah rantai kompleksg : X  Y dan f 

U X , rantai kompleks- U Y dan rantai kompleks- U Z . Jika f

maka f  f Bukti: Misalkan

g : Y  Z ,

g g : X  Z. f n  gn  dnY1hn  hn1dnX , f n  gn  dnZ1hn  hn 1dnY , hn U nX   U nY1 dan hn U nY  

U nZ1. Pandang diagram komutatif berikut:

X:  f g Y:

™

X n 1  fn1  gn1

™

 f   g Z:

d nX1

™

hn

™

Xn  fn  gn

Yn 1  n1  g n1

™

Yn  f   g n

™

™

Yn 1  f

hn 1

n

d nZ1

Z n 1

 fn1  gn1

d nY

™

hn

™

X n 1

hn1

d nY1

 f ™

d nX

 n 1  g n 1

d nZ

™

Zn

™

Z n 1

Akan dibuktikan terdapat sn : X n  Z n1 sehingga dnZ1sn  sn1dnX  f n f n  gn gn

f n f n  g n g n  f n  f n  g n    f n  g n  g n  f n  d nY1hn  hn 1d nX    d nZ1hn  hn 1d nY  g n  f n d nY1hn  f n hn 1d nX  d nZ1hn g n  hn 1d nY g n  d nZ1 f n1hn  f n hn 1d nX  d nZ1hn g n  hn 1 g n 1d nX  d nZ1  f n1hn  hn g n    f n hn 1  hn 1 g n 1  d nX

pilih sn  f n1hn  hn gn maka sn : X n  Z n1 dan berlaku



f n f n  gn gn  dnZ1sn  sn 1dnX .



Dengan demikian kondisi 1 pada Definisi homotopi- U X ,U Z dipenuhi. Selanjutnya akan dibuktikan sn U nX   U nZ . Karena g adalah rantai pemetaan- U X ,U Y  maka gn U nX   U nY ,

68

Sifat Aditif Kategori Homotopi Kompleks-U

maka hn gn U nX   hn U nY   U nY1. Kemudian karena f  adalah rantai pemetaan- U X ,U Y  maka f n1hn U nX   f n1 U nY1   U nZ1. Jadi diperoleh sn U nX   U nZ . PERUMUMAN KATEGORI HOMOTOPI KOMPLEKS Dalam (4) kategori kompleks- U atas didefinisikan analog dengan kategori kompleks yaitu kategori yang objeknya berupa rantai kompleks- U atas , morfismanya adalah morfisma kompleks- U atas , dan operasinya adalah komposisi pemetaan biasa. Kategori ini merupakan kategori abelian. Selanjutnya pada bagian ini akan dipaparkan tentang kategori homotopi kompleks- U atas .





Dari Lema 7 diketahui bahwa relasi homotop- U X ,U Y , , adalah relasi ekivalen. Kemudian berdasarkan Lema 9, komposisi dua morfisma kompleks- U yang homotop- U , , juga homotop- U , maka kita dapat mendefinisikan kategori homotopi kompleks sebagai berikut. Definisi 10 (Kategori Homotopi Kompleks ) Kategori homotopi kompleks- U atas , dinotasikan dengan K  ,U  , adalah kategori yang objeknya berupa rantai kompleks- U atas , morfismanya adalah morfisma kompleks- U atas modulo homotopi, dan operasi komposisinya adalah komposisi pemetaan biasa Teorema 11 Kategori homotopi K  ,U  merupakan kategori aditif. Bukti Misalkan X ,U X , d X , Y ,U X , d Y dan A1.





Akan

dibuktikan

HomK

,U 

 X , Y   HomK



HomK ,U 

,U 

 X ,Y 

Y , Z  ™ HomK

grup ,U 

abel

X,Z

dan

bilinier

komposisi atas

.

Penjumlahan f  g didefinisikan sebagai f  g dengan f , g masing-masing adalah unsur di f dan g . Karena K   kategori aditif maka f  g memenuhi syarat pertama homotopi- U . Karena U nY1 submodul maka f  g memenuhi syarat kedua

f  g  HomK

homotopi- U . Oleh karena itu

,U 

 X , Y  . Persyaratan

lainnya dari

kategori abel dapat dibuktikan dengan mudah, begitu juga dengan pembuktian sifat bilinier. A2.

Objek nol di K  ,U  adalah sama dengan objek nol di C  ,U  yaitu kompleks-0,

0 A3.

, 0 , 0  dengan 0 adalah objek nol pada kategori

Dari (4) diketahui koproduk dari X dan Y sebagai

X  Y   X n  Yn ,U nX Y , d nX Y 

n

69

.

Gustina Elfiyanti

dengan U nX Y  U nX  U nY



dan dnX Y  x, y   dnX  x  , dnY  y 



bersama morfisma

1X : X n  X n  Yn dan 1Y : Yn  X n  Yn dan memenuhi sifat universal: setiap objek

Z di C  ,U  dan morfisma kompleks- U f X : X  Z , fY : Y  Z adalah terdapat tunggal f : X  Y  Z , terdapat tunggal morfisma kompleks- U , yang memenuhi

f X  f 1X dan fY  f 1Y sehingga diagram berikut komutatif:

Zn  f X n 1X n

Xn

™

 fn X n  Yn

 fY  n 1Y n



Yn

Karena relasi homotopi- U adalah relasi ekivalen dan tertutup terhadap operasi komposisi maka diagram dari kelas eivalen 1X ,1Y dan f berikut komutatif.

Zn  f X n

Xn

1X n ™

 fn X n  Yn

 fY  n

1Y n 

Yn

Dan jika terdapat g : X  Y  Z sehingga g1X  f X dan g1Y  fY maka maka f Terbukti bahwa kategori homotopi kompleks-U adalah kategori aditif.

g.

REFERENSI [1] B.Davvaz dan Y.A Parnian – Gramaleky, 1999, A Note on Exact Sequence, Bull. Malaysian Math. Soc. (2) 22, 53-56. [2] S.M. Anvariyeh dan B.Davvaz, 2002, U-Split Exact Sequence, Far East J. Math. Sci. (FJMS) 4 (2), 209-219. [3] B.Davvaz dan H.Shabani-Solt, 2002, A generalization of Homological Algebra, J.Korean Math. Soc, 39 (6), 881-898. [4] G. Elfiyanti, I. Muchtadi-Alamsyah, D. Nasution dan U.Amartiwi, 2015, Abelian Property of the Category of U-Complexes, Journal of Applied Mathematical Sciences, Hikari, submitted. [5] C.A Weibel, 1994, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, United Kingdom. [6] T. Holm, P. Jørgensen dan R.Rouquier, 2010, Trianglated Categories, London Math.Soc. Lecture Note Series 375, Cambridge University Press. [7] S. König dan Zimmermann, 1998, A. Derived Equivalences for Group Rings, Lecture Note In Mathematics 1685. Springer. [8] D. Nasution, 2008, The Geometri of Chain Complexes, Master Thesis, ITB, Bandung. [9] S.I. Gelfand dan Y.U.I. Manin, 1997, Methods of Homological Algebra, 2nd Editio, Heidelberg: Springer-Verlag.

70