Jurnal Ilmu dan Inovasi Fisika Vol. 01, No. 02 (2017) 28 – 33 © Departemen Fisika FMIPA Universitas Padjadjaran
ENERGI TOTAL KEADAAN DASAR ATOM BERILIUM DENGAN TEORI GANGGUAN LIU KIN MEN *1, SETIANTO1, BAMBANG M. WIBAWA2 1
2
Departemen Fisika Fakultas MIPA Universitas Padjadjaran, Jl. Raya Bandung-Sumedang Km 21, Jatinangor 45363
Departemen Teknik Elektro Fakultas MIPA Universitas Padjadjaran, Jl. Raya Bandung-Sumedang Km 21, Jatinangor 45363 * email :
[email protected]
Abstrak. Atom Berilium adalah suatu atom yang mempunyai 4 buah elektron pada kulitnya. Pada keadaan dasar, dua elektron menduduki orbital 1s dan dua elektron lainnya menduduki orbital 2s. Fungsi gelombang total keadaan dasar ditentukan berdasarkan determinan Slater. Hamiltonian total merupakan gabungan dari Hamiltonian masingmasing elektron dan suku interaksi di antara keempat elektron bersangkutan. Dengan diperolehnya fungsi gelombang total dan Hamiltonian total, maka energi total keadaan dasar atom Berilium dapat ditentukan. Perhitungan dilakukan dengan teori gangguan dan diperoleh 𝐸0 = −363,75 𝑒𝑉. Kata kunci : Atom Berilium, keadaan dasar, teori gangguan Abstract. Beryllium atom is an atom that has four electrons in the shell. In the ground state, two electrons occupy the 1s orbital and two other electrons occupy the 2s orbital. The ground state total wave function is determined by the Slater determinant. The total Hamiltonian is a combination of each electron Hamiltonian and interaction term between the four electrons. By obtaining the total wave function and total Hamiltonian, then the ground state total energy of Beryllium atom can be determined. The calculation performed by perturbation theory and obtained 𝐸0 = −363,75 𝑒𝑉. Keywords : Beryllium atom, ground state, perturbation theory
1. Pendahuluan Dalam teori kuantum atom Hidrogen yaitu suatu atom yang hanya mempunyai satu elektron pada kulitnya, melalui persamaan Schrodinger diperoleh fungsi-fungsi gelombang (orbital-orbital) elektron dan energi-energi yang bersangkutan [1,2]. Hasil-hasil ini selanjutnya dipergunakan sebagai basis untuk menggambarkan atom-atom dengan sejumlah elektron, khususnya berkaitan dengan energi total keadaan dasar dan energi total keadaan eksitasi [3]. Untuk energi total keadaan dasar, penentuan telah dilakukan pada atom Litium [4] dan atom Berilium [5]. Di sisi lain untuk energi total keadaan eksitasi, penentuan telah dilakukan pada atom Litium [6]. Semua penentuan ini dilakukan dengan metode variasi. Cara lain yang perhitungannya lebih sederhana adalah dengan teori gangguan. Untuk itu dalam kajian ini dilakukan perhitungan energi total keadaan dasar atom Berilium dengan teori gangguan.
Jurnal Ilmu dan Inovasi Fisika, ISSN: 2549-0516
28
29
Jurnal Ilmu dan Inovasi Fisika, ISSN: 2549-0516
Tingkat-tingkat energi dan fungsi-fungsi gelombang atom Berilium tidak diperoleh secara langsung melalui persamaan Schrodinger. Tingkat-tingkat energi dan fungsifungsi gelombang ini didasarkan pada atom Hidrogen ( biasanya dikenal sebagai mirip-Hidrogen ). Berilium adalah suatu contoh dari atom-atom dengan banyak elektron. 2. Metode Penelitian Fungsi gelombang total keadaan dasar dari atom dengan banyak elektron ( Nelektron ) diungkapkan oleh determinan Slater yaitu: 𝜑1(1)𝛽(1) … 𝜑𝑁/2 (1)𝛽(1) 𝜑1(2)𝛽(2) … 𝜑𝑁/2 (2)𝛽(2) | , … … … 𝜑1 (𝑁)𝛽(𝑁) … 𝜑𝑁/2 (𝑁)𝛽(𝑁)
𝜑1 (1)𝛼(1) 1 | 𝜑1 (2)𝛼(2) 𝛹0 = … √𝑁! 𝜑1 (𝑁)𝛼(𝑁)
sedangkan Hamiltonian totalnya adalah: ̂ = ∑𝑖( 𝐻𝑖 + 1 ∑𝑗≠𝑖 𝑒 𝐻 2 4𝜋𝜖
2
0 𝑟𝑖𝑗
).
Dalam hal ini 𝜑1(1)𝛼(1) menyatakan orbital 1 yang diduduki oleh elekron 1 dan mempunyai spin 𝛼 , dan dengan cara yang sama berarti suku yang terakhir 𝜑𝑁/2 (𝑁)𝛽(𝑁) menyatakan orbital N/2 yang diduduki oleh elektron N dan mempunyai spin 𝛽 . Selanjutnya 𝑒 adalah muatan elektron, 𝜖0 adalah permitivitas ruang hampa, 𝑟𝑖𝑗 adalah jarak antara elektron ke−𝑖 dan elektron ke−𝑗, karena itu suku kedua sebelah kanan dari persamaan adalah potensial interaksi di antara elektron-elektron, dan: 𝐻𝑖 = −
ћ2 2 𝑍𝑒 2 ∇𝑖 − 2𝑚 4𝜋𝜖0 𝑟𝑖
adalah Hamiltonian dari elektron tunggal. Untuk Berilium pada keadaan dasar ( terdiri dari 4 buah elektron, 2 elektron menduduki orbital 1s dan 2 elektron menduduki orbital 2s ), fungsi gelombang totalnya adalah: 𝜑1𝑠 (1)𝛼(1) 1 𝜑 (2)𝛼(2) 𝛹0 = 24 | 1𝑠 √ 𝜑1𝑠 (3)𝛼(3) 𝜑1𝑠 (4)𝛼(4)
𝜑1𝑠 (1)𝛽(1) 𝜑1𝑠 (2)𝛽(2) 𝜑1𝑠 (3)𝛽(3) 𝜑1𝑠 (4)𝛽(4)
𝜑2𝑠 (1)𝛼(1) 𝜑2𝑠 (2)𝛼(2) 𝜑2𝑠 (3)𝛼(3) 𝜑2𝑠 (4)𝛼(4)
𝜑2𝑠 (1)𝛽(1) 𝜑2𝑠 (2)𝛽(2) | , 𝜑2𝑠 (3)𝛽(3) 𝜑2𝑠 (4)𝛽(4)
sedangkan Hamiltonian totalnya adalah: ̂ = 𝐻1 + 𝐻2 + 𝐻3 + 𝐻4 + 𝑒 𝐻 4𝜋𝜖 𝑒2 4𝜋𝜖0 𝑟34
2
0 𝑟12
𝑒2
+ 4𝜋𝜖
0 𝑟13
𝑒2
+ 4𝜋𝜖
0 𝑟14
𝑒2
+ 4𝜋𝜖
0 𝑟23
𝑒2
+ 4𝜋𝜖
0 𝑟24
+
.
Dalam teori gangguan, energi total keadaan dasar ditentukan berdasarkan hubungan:
30
Liu Kin Men dkk
̂|𝛹0 > , 𝐸0 = < 𝛹0 |𝐻 ̂ adalah dalam hal ini 𝛹0 adalah fungsi gelombang total keadaan dasar dan 𝐻 ̂ mengandung Hamiltonian total dari sistem yang bersangkutan. Di sini 𝛹0 dan 𝐻 parameter 𝑍 yang nilainya diambil sama dengan 4 yaitu nomor atom dari atom Berilium. 3. Hasil dan Pembahasan Berdasarkan fungsi gelombang total dan Hamiltonian total yang telah dituliskan pada bagian sebelumnya, diperoleh energi total keadaan dasar atom Berilium adalah: 𝐸0 = 2𝐸1𝑠 + 2𝐸2𝑠 + 𝐽11 + 4𝐽12 + 𝐽22 − 2𝐾12 , dalam hal ini 𝐸1𝑠 =< 𝜑1𝑠 (1)|𝐻1 |𝜑1𝑠 (1) > =< 𝜑1𝑠 (2)|𝐻2 |𝜑1𝑠 (2) > =< 𝜑1𝑠 (3)|𝐻3 |𝜑1𝑠 (3) > =< 𝜑1𝑠 (4)|𝐻4 |𝜑1𝑠 (4) > 𝐸2𝑠 =< 𝜑2𝑠 (1)|𝐻1|𝜑2𝑠 (1) > =< 𝜑2𝑠 (2)|𝐻2 |𝜑2𝑠 (2) > =< 𝜑2𝑠 (3)|𝐻3 |𝜑2𝑠 (3) > =< 𝜑2𝑠 (4)|𝐻4 |𝜑2𝑠 (4) > 𝐽11 = < 𝜑1𝑠 (1)𝜑1𝑠 (2) |
𝑒2 | 𝜑 (1)𝜑1𝑠 (2) > 4𝜋𝜖0 𝑟12 1𝑠
= < 𝜑1𝑠 (1)𝜑1𝑠 (3) |
𝑒2 | 𝜑 (1)𝜑1𝑠 (3) > 4𝜋𝜖0 𝑟13 1𝑠
= < 𝜑1𝑠 (1)𝜑1𝑠 (4) |
𝑒2 | 𝜑 (1)𝜑1𝑠 (4) > 4𝜋𝜖0 𝑟14 1𝑠
= < 𝜑1𝑠 (2)𝜑1𝑠 (3) |
𝑒2 | 𝜑 (2)𝜑1𝑠 (3) > 4𝜋𝜖0 𝑟23 1𝑠
𝑒2 | 𝜑 (2)𝜑1𝑠 (4) > = < 𝜑1𝑠 (2)𝜑1𝑠 (4) | 4𝜋𝜖0 𝑟24 1𝑠 = < 𝜑1𝑠 (3)𝜑1𝑠 (4) | 𝐽12 = < 𝜑1𝑠 (1)𝜑2𝑠 (2) | = < 𝜑1𝑠 (1)𝜑2𝑠 (3) |
𝑒2 | 𝜑 (3)𝜑1𝑠 (4) > 4𝜋𝜖0 𝑟34 1𝑠
𝑒2 | 𝜑 (1)𝜑2𝑠 (2) > 4𝜋𝜖0 𝑟12 1𝑠
𝑒2 | 𝜑 (1)𝜑2𝑠 (3) > 4𝜋𝜖0 𝑟13 1𝑠
Jurnal Ilmu dan Inovasi Fisika, ISSN: 2549-0516
𝑒2 | 𝜑 (1)𝜑2𝑠 (4) > = < 𝜑1𝑠 (1)𝜑2𝑠 (4) | 4𝜋𝜖0 𝑟14 1𝑠 = < 𝜑1𝑠 (2)𝜑2𝑠 (3) |
𝑒2 | 𝜑 (2)𝜑2𝑠 (3) > 4𝜋𝜖0 𝑟23 1𝑠
= < 𝜑1𝑠 (2)𝜑2𝑠 (4) | =< 𝜑1𝑠 (3)𝜑2𝑠 (4) |
𝑒2 | 𝜑 (2)𝜑2𝑠 (4) > 4𝜋𝜖0 𝑟24 1𝑠
𝑒2 | 𝜑 (3)𝜑2𝑠 (4) > 4𝜋𝜖0 𝑟34 1𝑠
𝐽22 = < 𝜑2𝑠 (1)𝜑2𝑠 (2) |
𝑒2 | 𝜑 (1)𝜑2𝑠 (2) > 4𝜋𝜖0 𝑟12 2𝑠
𝑒2 | 𝜑 (1)𝜑2𝑠 (3) > = < 𝜑2𝑠 (1)𝜑2𝑠 (3) | 4𝜋𝜖0 𝑟13 2𝑠 = < 𝜑2𝑠 (1)𝜑2𝑠 (4) |
𝑒2 | 𝜑 (1)𝜑2𝑠 (4) > 4𝜋𝜖0 𝑟14 2𝑠
= < 𝜑2𝑠 (2)𝜑2𝑠 (3) |
𝑒2 | 𝜑 (2)𝜑2𝑠 (3) > 4𝜋𝜖0 𝑟23 2𝑠
= < 𝜑2𝑠 (2)𝜑2𝑠 (4) |
𝑒2 | 𝜑 (2)𝜑2𝑠 (4) > 4𝜋𝜖0 𝑟24 2𝑠
=< 𝜑2𝑠 (3)𝜑2𝑠 (4) |
𝑒2 | 𝜑 (3)𝜑2𝑠 (4) > 4𝜋𝜖0 𝑟34 2𝑠
Dan 𝐾12 = < 𝜑1𝑠 (1)𝜑2𝑠 (2) | = < 𝜑1𝑠 (1)𝜑2𝑠 (3) | = < 𝜑1𝑠 (1)𝜑2𝑠 (4) |
𝑒2 | 𝜑 (1)𝜑1𝑠 (2) > 4𝜋𝜖0 𝑟12 2𝑠
𝑒2 | 𝜑 (1)𝜑1𝑠 (3) > 4𝜋𝜖0 𝑟13 2𝑠
𝑒2 | 𝜑 (1)𝜑1𝑠 (4) > 4𝜋𝜖0 𝑟14 2𝑠
= < 𝜑1𝑠 (2)𝜑2𝑠 (3) |
𝑒2 | 𝜑 (2)𝜑1𝑠 (3) > 4𝜋𝜖0 𝑟23 2𝑠
= < 𝜑1𝑠 (2)𝜑2𝑠 (4) |
𝑒2 | 𝜑 (2)𝜑1𝑠 (4) > 4𝜋𝜖0 𝑟24 2𝑠
31
32
Liu Kin Men dkk
𝑒2
=< 𝜑1𝑠 (3)𝜑2𝑠 (4) |4𝜋𝜖
0 𝑟34
| 𝜑2𝑠 (3)𝜑1𝑠 (4) > .
Dengan substitusi orbital-orbital 1s dan 2s dari atom Berilium: 𝜑1𝑠 = 𝜑2𝑠 =
1
4 3 −4𝑟⁄𝑎 0 )2 𝑒 √𝜋 𝑎0 (
4 3
1
4𝑟
( )2 (2 − 𝑎 ) 𝑒 2𝜋 𝑎
4√
0
0
−2𝑟⁄ 𝑎0
,
diperoleh: 𝐸1𝑠 = − 𝐸2𝑠
𝑒2 (4)2 = −217,6 𝑒𝑉 8𝜋𝜖0 𝑎0
𝑒 2 (4)2 = − = −54,4 𝑒𝑉 8𝜋𝜖0 𝑎0 (2)2
𝐽11 = −
𝑒2 5 (− ) (4) = 68 𝑒𝑉 8𝜋𝜖0 𝑎0 4
𝐽12 = −
𝑒2 17 (− ) (4) = 22,83 𝑒𝑉 4𝜋𝜖0 𝑎0 81
𝐽22
𝑒2 121 (− ) (4) = 25,71 𝑒𝑉 = − 4𝜋𝜖0 𝑎0 512
dan: 𝑒2
𝐾12 = − 4𝜋𝜖
0 𝑎0
16
(− 729) (4) = 2,39 𝑒𝑉 .
Karena itu energi total keadaan dasar atom Berilium dengan teori gangguan adalah: 𝐸0 = −363,75 𝑒𝑉 . 4. Kesimpulan Telah dilakukan perhitungan energi total keadaan dasar atom Berilium dengan teori gangguan dan diperoleh 𝐸0 = −363,75 𝑒𝑉 . Suku interaksi antar elektron memberikan kontribusi yang cukup besar bagi energi total. Pengambilan nilai 𝑍 = 4 membuat hasil perhitungan energi total sedikit bergeser dari nilai yang diharapkan. Ucapan terima kasih Penulis menyampaikan terima kasih kepada Haeruman, Heri Sembiring, Muhammad Rizqan Akbar, dan Apollos Theophilus Silitonga atas diskusi-diskusi berkaitan dengan topik yang dikaji. Terima kasih juga disampaikan kepada Kosam Erawan dan Anda Suhanda atas dukungan-dukungan yang diberikan dalam Penyelesaian tulisan ini
Jurnal Ilmu dan Inovasi Fisika, ISSN: 2549-0516
33
Daftar Pustaka 1. 2. 3. 4.
Siregar, R.E. , Fisika Kuantum, Widya Padjadjaran, 2010. Gasiorowicz, S. , Quantum Physics, John Wiley and Sons, 2003. Siregar, R. E. , Struktur Elektronik Atom dan Molekul, Diktat, 2014. Liu, K. M. , Energi Total Keadaan Dasar Atom Litium dengan Metode Variasi, Laporan Penelitian Mandiri, Tidak Dipublikasikan, 2014. 5. Liu, K. M. , Energi Total Keadaan Dasar Atom Berilium dengan Metode Variasi, Laporan Penelitian Mandiri, Tidak Dipublikasikan, 2016. 6. Liu, K. M. dan Setianto, Energi Total Keadaan Eksitasi Atom Litium dengan Metode Variasi, Jurnal Ilmu dan Inovasi Fisika , Volume 01, No. 01, 2017, 610.
