Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
Keeksistensian dan Ketunggalan Fungsi Sinus dan Cosinus Yundari dan Helmi Jurusan Matematika FMIPA Universitas Tanjungpura, Abstrak. Fungsi transenden umumnya hanya dikenal secara geometri dan sifat-sifat aljabarnya saja. Sifat-sifat lanjut dari fungsi-fungsi tersebut belum tergali secara mendalam. Pada makalah ini, penulis membahas kajian tentang fungsi sinus dan cosines secara analisis yaitu tentang keeksistensian dan ketunggalan fungsi sinus dan cosinus. Hasilnya menunjukkan bahwa fungsi sinus dan fungsi cosines memenuhi sifat–sifat ketunggalan dan keeksistensian.
Kata Kunci. Fungsi trigonometri, sinus dan cosinus
PENDAHULUAN Pada Kalkulus dasar telah dikaji tentang fungsi-fungsi transenden seperti fungsi eksponen, logaritma, trigonometri dan hiperbolik. Pembahasan fungsi-fungsi tersebut hanya dibahas secara geometri dan sifat-sifat aljabarnya saja. Sifat-sifat lanjutan dari fungsi-fungsi tersebut belum tergali secara mendalam. Tujuan makalah ini, menganalisis salah satu fungsi transendenya itu fungsi trigonometri yang meliputi fungsi sinus dan cosines tentang keeksistensian dan ketunggalan. METODE PENELITIAN Metode penelitian yang digunakan adalah studi pustaka dari beberapa buku teks. Pengertian-pengertian dasar dan teorema-teorema yang merupakan konsep awal perlu dipahami agar mudah mengikuti bahasan selanjutnya. Teori dasar tersebut adalah fungsi-fungsi transenden[1], barisan dan deret fungsi pada [2], fungsi kontinu, terbatas [3] dan integral Riemann[2,3]. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada makalah ini dibahas tentang keeksistensian dan ketunggalan dari fungsi sinus dan cosines serta sifat-sifat lanjut masing-masing fungsi tersebut. Fungsi sinus dan coisinus yang dibahas
merupakan fungsi dari ke , fungsi sinus dinotasikan dengan sedangkan fungsi Cosinus dinotasikan dengan . Keeksistensian Fungsi Sinus Dan Cosinus Sebelum membahas tentang keeksistensian dari fungsi sinus dan cosinus, diberikan teorema fundamental kalkulus yang akan digunakan pada saat menunjukkan keeksistensian kedua fungsi trigonometri tersebut. Teorema 1 [3] Jika diberikan f fungsi yang terintegral Riemann pada [a,b] dan f kontinu di tititk maka untuk terdifensial di c dan Berikut adalah teorema yang menjelaskan bahwa fungsi Sinus dan Cosinus eksist. Teorema 2 [1].Fungsi dan ada jika memenuhi: (i) dan untuk setiap (ii) dan Bukti: Karena fungsi dan kontinu pada maka terintegral, sehingga dapat didefinisikan barisan fungsi kontinu dan dengan (1) Semirata 2013 FMIPA Unila |591
Yundari dan Helmi: Keeksistensian dan Ketunggalan Fungsi Sinus dan Cosinus
(2) (3) Untuk setiap , . Berdasarkan teorema 1 maka diperoleh bahwa fungsi dan terdiferensial di setiap titik dan dan (4) Untuk setiap Secara induksi menggunakan deret untuk fungsi sinus dan cosinus, dapat ditunjukkan bahwa Misalkan dan diperoleh
diberikan maka jika , selanjutnya
maka diperoleh . Selanjutnya akan ditunjukkan turunan pertama dan kedua dari masing-masing fungsi trigonometri tersebut. Karena untuk , sehingga diperoleh barisan konvergen seragam pada Akibatnya limit fungsi C terdiferensial pada dan untuk . Karena A >0 sebarang maka diperoleh untuk Analog untuk maka dapat ditunjukkan bahwa S terdiferensial pada dan untuk setiap . Hal ini menunjukkan bahwa dan untuk setiap Selanjutnya
(5)
Karena
, maka barisan
konvergen seragam pada interval , dengan sebarang Dengan kata lain, konvergen untuk setiap . Didefinisikan dengan untuk , sehingga diperoleh C kontinu pada . Karena untuk setiap maka diperoleh . Dengan menggunakan (2) ,jika dan , diperoleh . Analog dengan (5) maka diperoleh , Dengan barisan seragam pada Didefinisikan
juga konvergen interval dengan untuk , sehingga diperoleh S kontinu pada . Karena untuk setiap 592| Semirata 2013 FMIPA Unila
dapat
diperoleh . Teorema keeksistensian fungsi sinus dan cosines ini menghasilkan suatu akibat dari sifat-sifat fungsi sinus dan cosines yaitu: 1. dan untuk 2. untuk sifat ini dikenal dengan identitas Pitagoras. Ketunggalan Fungsi Sinus Dan Cosinus Setelah menunjukkan keeksistensian fungsi sinus dan cosinus, selanjutnya akan dibahas tentang ketunggalan fungsi sinus dan cosinus. Teorema 3. Fungsi C dan S yang memenuhi sifa t dan untuk setiap dan dan adalah tunggal. Bukti: Diambil dan dua fungsi dari ke yang memenuhi untuk setiap dan untuk . Jika dimisalkan , maka untuk dan
Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
untuk setiap . Diambil sebarang dan . Karena dan = kontinu pada , maka terdapat K> 0 sedemikian sehingga dan untuk setiap . Dengan menerapkan deret Taylor untuk D pada dan diketahui untuk setiap diperoleh untuk setiap terdapat suatu titik sehingga
Jika dipenuhi
Dari definisi inilah muncul sifat-sifat dari fungsi sinus dan cosinus yang telah digunakan untuk menyelesaikan masalahmasalah yang berhubungan dengan barisan dan deret fungsi pada bilangan real khususnya yang memuat fungsi trigometri. Teorema 5. Jika , maka 1. 2. 3.
atau maka diperoleh . Karena
sehingga diperoleh . Karena diambil sebarang maka disimpulkan bahwa untuk setiap . Dengan cara yang sama juga untuk untuk setiap . Dengan telah di tunjukkanya keeksistensian dan ketunggalan fungsi sinus dan cosines maka dapat didefinisikan fungsi sinus dan cosines sebagai berikut. Definisi 4. Ketunggalan fungsi dan yang memenuhi sifat dan untuk setiap dan dan berturut-turut disebut dengan fungsi Sinus dan Cosinus dan ditulis dan untuk
KESIMPULAN Fungi sinus dan cosines memiliki keeksistensianya itu memenuhi dan untuk setiap , dan Fungsi Sinus dan cosines memiliki ketunggalan dan keeksistensian DAFTAR PUSTAKA Bartle R.G and Shernert,D.R.(2000). Introduction to Real Analysis. John Willey & Sons.Inc, New York Purcell, Edwin J. Dan Varberg, Dale. (1987). Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 2. Edisi kelima. Penerjemah: I NyomanSusila, dkk. Bandung: Erlangga Royden H.L.,(1989). Real Analysis, Macmillan Publishing Company, New York.
Semirata 2013 FMIPA Unila |593
