La Ley de Gauss 1.
Introducci´ on
− La ley de Gauss desempe˜ na un papel importante dentro de la electrost´atica y del electromagnetismo por dos razones b´asicas: 1. En primer lugar, porque permite calcular de forma simple el campo el´ectrico debido a una distribuci´on de cargas cuando ´esta presenta buenas propiedades de simetr´ıa. En estos casos, suele resultar mucho m´as simple usar la ley de Gauss que obtener E por integraci´on directa sobre la distribuci´on de cargas, tal y como se ha descrito en el tema anterior. 2. En segundo lugar, porque la ley de Gauss constituye una ley b´asica, no s´olo de la electrost´atica, sino del electromagnetismo en general. De hecho, constituye una de las ecuaciones de Maxwell (que son las ecuaciones que permiten describir todos los fen´omenos electromagn´eticos). − Como veremos, la ley de Gauss es esencialmente una ecuaci´on matem´atica que relaciona el campo el´ectrico sobre una superficie cerrada con la carga el´ectrica encerrada en su interior. − La ley de Gauss puede interpretarse cualitativamente de forma simple usando el concepto de l´ıneas de campo. Como se vi´o en el tema anterior, el n´ umero de l´ıneas de campo que parten de una carga q es proporcional a dicha carga. De este modo, si una superficie cerrada imaginaria encierra una carga en su interior, el n´ umero total de l´ıneas que pasan a trav´es de ella debe ser proporcional a la carga neta en su interior (ver Fig. 1). Adem´as, como se puede apreciar en la figura, el n´ umero de l´ıneas debe ser independiente de la forma de la superficie que encierra a la carga. Este es esencialmente, desde un punto de vista cualitativo, el significado de la ley de Gauss: el n´ umero de l´ıneas de campo que atraviesan una cierta superficie cerrada es directamente proporcional a la carga neta encerrada en su interior.
Figura 1:
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Flujo El´ ectrico
− El flujo el´ ectrico dΦ a trav´es de una superficie elemental da se define como el producto escalar del vector campo E en dicho punto por el vector elemento de a ´rea da (ver Fig. 2 (a)): dΦ = E · da
(1)
Figura 2: − El flujo total a trav´es de una cierta superficie S, a lo largo de la cual el campo E puede variar de punto a punto, se obtiene dividiendo S en peque˜ nos elementos de superficie ∆a, en cada uno de los cuales E se puede suponer uniforme, y sumando el flujo a trav´es de cada uno de estos elementos de superficie (Fig. 2 (b)), Φ=
X
E · ∆a =
S
Z
S
E · da
(2)
Por tanto, el flujo el´ ectrico a trav´es de una superficie arbitraria S es igual a la integral de superficie del campo E sobre dicha superficie. − Si la superficie es cerrada, la integral de superficie se suele designar mediante que el flujo a trav´es de una superficie cerrada S se suele escribir: Φ=
I
S
I
, de modo S
E · da
(3)
− Es conveniente hacer notar los siguientes puntos en torno al flujo el´ectrico a trav´es de una superficie: Significado: el flujo el´ectrico a trav´es de una superficie puede interpretarse como una medida del n´ umero de l´ıneas de campo que atraviesan dicha superficie; en el caso de una superficie cerrada, las l´ıneas de campo que salen a trav´es de la superficie dan una contribuci´on positiva al flujo, mientras que las l´ıneas que entran dan una contribuci´on negativa. Por tanto, el flujo el´ectrico a trav´es de una superficie cerrada es una medida del n´ umero neto de l´ıneas que pasan a trav´es de dicha superficie, es decir, del n´ umero de l´ıneas que salen menos el n´ umero de l´ıneas que entran; las unidades de flujo el´ectrico en el sistema internacional son Newton · m2 /C; 2
3.
La Ley de Gauss
− Ley de Gauss: el flujo el´ectrico neto a trav´es de una superficie cerrada cualquiera es igual a la carga neta que se encuentra dentro de ella dividida por ε 0 :
Φ=
I
Q E · da = εint 0 S
(4)
donde Qint es la carga neta en el interior de S. − Notar los siguientes puntos en relaci´on a la ley de Gauss: Significado f´ısico: la ley de Gauss nos dice que el flujo a trav´es de una superficie cerrada es proporcional a la carga el´ectrica Qint encerrada en su interior, Φ=
Qint ε0
El flujo es positivo si la carga es positiva, y negativo si la carga es negativa. De esta manera, lo que nos dice la ley de Gauss es que la carga el´ectrica constituye la fuente del flujo el´ectrico: las cargas positivas (flujo positivo) son las fuentes y las cargas negativas (flujo negativo) son los sumideros. Desde un punto de vista cualitativo, dado que el flujo el´ectrico a trav´es de una superficie cerrada es una medida del n´ umero neto de l´ıneas de campo que pasan a trav´es de dicha superficie (n´ umero de l´ıneas que salen menos n´ umero de l´ıneas que entran), la ley de Gauss nos dice que el n´ umero neto de l´ıneas de campo que pasan a trav´es de una superficie cerrada es proporcional a la carga neta encerrada en su interior. Por tanto, la carga el´ectrica constituye la fuente de las l´ıneas de campo (las cargas positivas son las fuentes, donde nacen las l´ıneas de campo, y las cargas negativas los sumideros, donde terminan las l´ıneas de campo). Resumiendo: lo que nos dice la ley de Gauss es que la carga el´ectrica constituye la fuente del flujo el´ectrico o, lo que es lo mismo, la fuente de las l´ıneas de campo (las cargas positivas son las fuentes y las cargas negativas son los sumideros). Es importante fijarse en que el campo el´ectrico que aparece en la integral de superficie de la ley de Gauss es el campo el´ectrico debido a todas las cargas presentes en el problema, tanto a las cargas situadas dentro de la superficie cerrada S sobre la que se calcula el flujo como a las cargas situadas fuera de ella, mientras que el flujo Φ a trav´es de dicha superficie s´olo depende de la carga en su interior. Notar que si cambiamos la posici´on de las cargas dentro o fuera de S, o a˜ nadimos m´as cargas fuera de S, aunque el valor del campo E en cada punto de la superficie S var´ıa, si mantenemos la misma carga neta dentro de la superficie, el flujo Φ=
I
S
E · da
a trav´es de S sigue siendo el mismo e igual a la carga total dentro de S dividida por ε0 . El flujo a trav´es de una superficie cerrada s´olo depende de la carga dentro de ella; no depende de la forma de la superficie, ni de la posici´on de las cargas dentro de ella, o del n´ umero y posici´on de las cargas fuera de S, siempre y cuando mantengamos la misma carga neta dentro de S. 3
La ley de Gauss constituye una ley fundamental, no s´olo de la electrost´atica, sino del electromagnetismo. De hecho, es una de las ecuaciones de Maxwell, que son las ecuaciones b´asicas del electromagnetismo.
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Algunas Aplicaciones de la Ley de Gauss
− La ley de Gauss permite calcular de forma simple el campo el´ectrico debido a distribuciones de carga con alto grado de simetr´ıa, particularmente para distribuciones de carga con simetr´ıa esf´erica, cil´ındrica o plana. − Definiremos una superficie gaussiana como cualquier superficie cerrada imaginaria que empleamos en la ley de Gauss para calcular el campo el´ectrico debido a una cierta distribuci´on de cargas. − Para aplicar la ley de Gauss al c´alculo del campo el´ectrico debido a una cierta distribuci´on de cargas con propiedades de simetr´ıa adecuadas es aconsejable seguir el siguiente procedimiento: 1. Seleccionar una superficie gaussiana que tenga las siguientes propiedades: (a) la superficie debe tener la misma simetr´ıa que la correspondiente distribuci´on de carga; (b) en cada punto de la superficie, E debe ser normal o tangencial a la superficie; (c) en todos los puntos en los que E es normal a la superficie, E debe tomar un valor constante. Los casos m´as frecuentes son: (a1) para cargas puntuales o distribuciones de carga con simetr´ıa esf´erica, debe elegirse como superficie gaussiana una esfera centrada en la carga o cuyo centro coincida con el centro de la distribuci´ on de carga; (a2) para l´ıneas de carga o cilindros uniformemente cargados, debe elegirse una superficie cil´ındrica coaxial con la l´ınea de carga o cilindro; (a3) para planos (o l´aminas) cargados que tienen simetr´ıa plana, debe elegirse como superficie gaussiana un cilindro peque˜ no sim´ etrico con el plano. 2. Calcular el flujo Φ a trav´es de dicha superficie. 3. Calcular la carga total Qint dentro de la superficie, y usar ley de Gauss, Φ = Qint /ε0 , para obtener el campo E.
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