Matemática Financeira com a Calculadora HP-12C

Matemática Financeira com a Calculadora HP -12C

37

4. J UROS COMPOSTOS 4.1 INTRODUÇÃO 5

Vimos no Capítulo 1 que a diferença entre os juros simples e os compostos está na forma de se calcular. Juros simples não levam em conta a atualização do capital. Em outras palavras, juros simples são calculados com base sempre no principal da transação. Ao contrário, juros compostos atualizam periodicamente a base de cálculo dos juros. Vamos ilustrar: Uma aplicação de R$ 1.000,00 é feita por três meses a juros de 10% a.m. No regime dos juros simples, calcularíamos 10% de R$ 1.000,00, por três meses:

10 Mês

Juros

Montante

1

10% de 1.000 = 100

1.100,00

2

10% de 1.000 = 100

1.200,00

3

10% de 1.000 = 100

1.300,00 tabela 4.1

Já no regime de juros compostos, a taxa de 10% deverá incidir sobre o montante do mês anterior: Mês

Juros

Montante

1

10% de 1.000 = 100

1.100,00

2

10% de 1.100 = 110

1.210,00

3

10% de 1.210 = 121

1.331,00

15

tabela 4.2

20

Disso, decorre que uma taxa simples de 10% a.m. eqüivalerá a uma taxa simples de 20% a.b., 30% a.t., etc, bastando uma simples multiplicação. Por outro lado, converter taxas compostas já não parece tão simples, pois, como vimos, uma taxa composta de 10% a.m. eqüivale a uma taxa composta de 21% a.b., 33,1% a.t., etc, não seguindo uma lógica linear. No próximo capítulo, nos ocuparemos destas conversões. Neste capítulo, estudaremos os procedimentos matemáticos envolvidos nos cálculos do sistema composto de juros, a operacionalidade da calculadora HP-12C e procuraremos ilustrar tais tópicos com exemplos tirados do comércio, dos bancos e do mercado financeiro.

25 4.2 FÓRMULA DO MONTANTE COMPOSTO Vamos deduzir a fórmula principal do regime composto baseando-nos no exemplo dado anteriormente. Seja a aplicação de R$ 1.000,00 a juros compostos de 10% a.m. durante 3 meses. Observe que o montante de cada mês será o montante do mês anterior mais os juros: 30 Mês

Montante

1

1.000 + 10%x1.000 = 1.000(1+10%)

2

1.000(1+10%) + 10%(1.000(1+10%))= 1.000(1+10%).(1+10%) = 1.000(1+10%)2

3

1.000(1+10%)2 + 10%(1.000(1+10%)2)= 1.000(1+10%)2.(1+10%)= 1.000(1+10%)3 tabela 4.3


35

38

Estas manipulações numéricas levaram em consideração a aplicação do princípio de cálculo dos juros compostos e também a aplicação de regras de fatoração. Caso o aluno não as reconheça prontamente, procure pelo menos se concentrar no resultado final para cada montante:

Mês

Montante

1

1.000(1+10%)

2

1.000(1+10%)2

3

1.000(1+10%)3

40

tabela 4.4

Observe que o expoente que aparece acima é igual ao mês em questão, o que faz com que possamos prever os montantes para os demais meses: Mês

Montante

5

1.000(1+10%)5

6

1.000(1+10%)6

10

1.000(1+10%)10

45

50

tabela 4.5

Lembrando que: 1.000 = principal (PV) 10% = taxa de juros ( i ) expoente = prazo (n), vamos substituir os números anteriores pelas letras que designam o que os mesmos representam:

i   FV = PV.1 +   100 

n

fórmula 4.1

55

onde: FV = futuro valor (montante) PV = presente valor (principal) i = taxa percentual de juros n = prazo

60

65

70

No caso do sistema simples, trabalhar com os juros é mais cômodo, enquanto que no sistema composto, trabalhar com o montante é mais imediato, considerando as fórmulas matemáticas dos mesmos. A partir de agora, ficará implícito que o regime utilizado no cálculo dos juros será o composto. Isso porque é o sistema mais justo, apesar de nem sempre ser o mais usado. Em contrapartida, quando o regime de juros simples for o utilizado, deixaremos bem claro no enunciado dos problemas. Veja um exemplo de utilização da fórmula acima. Calcule o montante da aplicação de R$ 600,00 a juros de 4,5% a.m. durante 7 meses. Solução: Temos as seguintes variáveis: PV = 600,00 i = 4,5% a.m. n = 7 meses Note que o prazo coincide com a unidade da taxa de juros. Assim, aplicando a fórmula:


39

 i  FV = PV.1 +   100 

n

7

 4,5  FV = 600 . 1 +   100  FV = 816,52

75

Para realizar tais operações na HP-12C, fazemos:

Pressione

Visor

4,5 ENTER 100 ÷

0,05

x

7y

1,36

600 x

816,52 Quadro 4.1

80 Ainda neste capítulo, aprenderemos a calcular este montante a partir dos registradores financeiros da calculadora HP-12C. 4.3 EXERCÍCIOS 85

1) Calcule o montante da aplicação de R$ 1.000,00 a juros de 2,8% a.m. durante 9 meses. 2) Qual o montante produzido pela aplicação de R$ 1.200,00 a juros de 4% a.b. durante 9 bimestres? 3) Qual o montante da aplicação de R$ 1.400,00 a juros de 3,5% a.m. durante 2 anos? 4.4 INCOMPATIBILIDADE ENTRE PRAZO E TAXA DE JUROS

90

95

100

Nos cálculos dos juros compostos, vamos procurar sempre expressar o período conforme a unidade da taxa de juros e não o contrário. Isto é porque a taxa de juros incide sobre o valor atualizado, o que torna a conversão das taxas de juros compostas um cálculo exponencial, enquanto que a conversão de taxas simples era linear (bastando dividir ou multiplicá-las). Logo, vamos dividir ou multiplicar o período e não a taxa composta, pois este é convertido da mesma maneira em ambos regimes. O procedimento de conversão é feito através de multiplicação ou de divisão, conforme passamos de um período unitariamente maior para menor e vice-versa, respectivamente. Por exemplo, 7% a.s. e 3 anos. Começamos, novamente, pelo período: Um ano são quantos semestres? A resposta, neste caso, é direta: um ano são 2 semestres. Logo, temos que multiplicar os anos (3) por 2, o que resulta em 6 semestres. Outro exemplo, 5 meses e taxa de 4% a.t.. Começamos a partir do período e perguntamo-nos: Um mês são quantos trimestres? Como a resposta é invertida, isto é, um trimestre são 3 meses, temos que dividir por 3: um mês é eqüivale a 1/3 = 0,3333 semestre.


105

40

4.5 EXERCÍCIOS 4) Qual o montante da aplicação de R$ 500,00 à taxa de 40% a.a. durante 9 meses? 5) Qual o montante da aplicação de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5,3% a.b. durante 1 ano? 6) Qual o rendimento da aplicação de R$ 3.000,00 a juros de 27% a.a. durante 8 trimestres?

110 4.6 CÁLCULO DO PRINCIPAL Quando o valor desconhecido for o capital principal, podemos utilizar uma fórmula específica como n

i   veremos a seguir. Para isolar o PV na fórmula, transferimos o fator  1 +  que estava multiplicando para 100   o outro lado da igualdade, onde passará a dividir:

i   FV = PV.1 +  100   FV = PV n  i   1+   100 

115

PV =

n

FV i   1 +  100  

n

fórmula 4.2

Exemplo: Qual o principal capaz de gerar um montante de R$ 3.000,00 ao longo de 6 meses aplicado à taxa de 4% a.m.? 120

125

Solução 1: Aplicação da fórmula específica: 3000 PV = 6 4   1 +   100 

PV = 2.370 ,94 Solução 2: Aplicação da fórmula 4.1: 130

i   FV = PV.1 +   100 

n

4   3000 = PV.1 +   100  3000 = PV 6  4   1+   100  PV = 2 .370 ,94

6


41

4.7 EXERCÍCIOS 135

7) Qual o principal capaz de gerar um montante de R$ 5.000,00 ao longo de 10 meses submetido ao rendimento de 4% a.m.? 8) Qual o capital que deverá ser investido a juros de 2,1% a.m. para que possa em 5 meses totalizar R$ 1.000,00? 9) Qual o capital a ser n i vestido segundo uma taxa de juros de 3,0% a.m. para que possa totalizar R$ 2.400,00 em 11 meses?

140 4.8 CÁLCULO DA TAXA Isolar a taxa de juros da fórmula básica exige um pouco mais de cuidados. Partido da fórmula 4.1, passamos o PV para o lado esquerdo da igualdade:

i   FV = PV.1 +   100  FV  i  =  1+  PV  100 

145

n

n

Agora, passaremos o expoente n para o lado esquerdo, lembrando que a operação inversa da potenciação é a radiciação: FV i n = 1+ PV 100 Passaremos o 1 que está somando para diminuir no lado esquerdo: n

150

FV i −1= PV 100

Só falta agora passar o 100 que está dividindo para multiplicar no lado esquerdo:  FV  100 . n − 1 = i  PV    Invertendo a equação obtida:

 FV  i = 100 . n − 1  PV    155

fórmula 4.3

160

Exemplo: Qual a taxa de juros mensal da aplicação de R$ 2.000,00 que resultou em juros de R$ 500,00 em 8 meses? Solução: PV = 2000 n = 8 meses FV = 2000 + 500 = 2500 Aplicando a fórmula específica:

165

 2500  i = 100 . 8 − 1  2000    i = 2,83 % a.m.

170


42

Para calcular o resultado da fórmula na HP-12C, digitamos:

Pressione

Visor

500 ENTER 2000 ÷

1,25

x

8 1/x y

1,03

1-

0,03

100 x

2,83 Quadro 4.2

175 4.9 EXERCÍCIOS

180

185

10) Qual a taxa de juros mensal da aplicação de R$ 3.000,00 que resultou em juros de R$ 1.000,00 em 12 meses? 11) O capital de R$ 400,00 foi aplicado durante 5 meses e rendeu juros de R$ 90,00. Qual a taxa mensal desta aplicação? 12) O capital de R$ 800,00 foi submetido a uma aplicação e resultou em montante de R$ 944,00 após 7 meses. Qual a taxa mensal da aplicação?

4.10 CÁLCULO DO PERÍODO Para se isolar o n da fórmula básica, é necessário utilizar o conceito de logaritmo. No quadro da página seguinte, temos informações adicionais sobre este assunto. A fórmula do prazo, após alguns passos algébricos, é:

190

 FV  LN    PV  n=  i  LN1 +  100   fórmula 4.4

195

onde: LN = logaritmo natural ou neperiano

Logaritmo é uma palavra que significa expoente. Assim, o logaritmo de 49 na base 7 é 2, porque o expoente que elevamos à base 7 para dar 49 é 2. Matematicamente: 200

205

7 2 = 49 ⇒ log 7 49 = 2 Percebemos, então, que o logaritmo é, no mínimo, uma maneira de isolarmos o expoente numa igualdade. Uma base bastante utilizada em aplicações da matemática é aquela que utiliza como base o número e, cuja aproximação é 2,7183. O logaritmo nesta base é chamado logaritmo neperiano e é denotado conforme abaixo: log e x = ln x Antes do advento das máquinas de calcular, os logaritmos prestaram grande apoio aos cientistas do passado, principalmente por causa de suas propriedades notáveis. É possível com logaritmos transformar multiplicações em somas e divisões em subtrações, o que representa uma excelente vantagem operacional. Estas propriedades também auxiliam na dedução de fórmulas matemáticas. As principais são:

210 log (x . y) = log x + log y log (x / y) = log x – log y n

log x = n . log x


43 fórmulas 4.5

215 As bases foram omitidas, mas estas propriedades são válidas para todas as bases (inclusive a base e). Exemplo: Qual o prazo do investimento de R$ 400,00 que rendeu R$ 61,17, sabendo que a taxa foi de 2,4% a.m.? 220

Solução: Usando a fórmula específica: 225

 FV  LN   PV   n= i   LN1 +  100    461,17  LN   400 ,00  = 6 meses n= 2,4   LN 1 +   100  Para calcular a expressão acima:

Pressione

Visor

461,17 ENTER 400 ÷

1,15

g LN

0,14

2,4 ENTER 100 ÷ 1 +

1,02

g LN

0,02

÷

6,00 Quadro 4.3

230 4.11 EXERCÍCIOS

235

13) Qual o prazo de uma aplicação de R$ 3.000,00 que totalizou R$ 3.978,71 sob taxa de 2,60% a.m.? 14) Qual o prazo capaz de transformar o capital de R$ 300,00 em R$ 400,00 submetido à taxa de 1,5% a.m.? 15) Qual o prazo de um investimento de R$ 1.000,00 que rendeu juros de R$ 250,00, sabendo que a taxa aplicada foi de 3,1% a.m.? 16) Qual o prazo da aplicação de R$ 500,00 que totalizará R$ 800,00 quando submetido à taxa de 45% a.a.? 17) Qual o prazo capaz de dobrar um capital quando submetido a juros de 50% a.a.?

240 4.12 NA CALCULADORA HP-12C Os registradores financeiros a serem usados aqui são as teclas superiores esquerdas do teclado da máquina: n , i, PV e FV:

245


44 figura 4.1

250

Temos que informar três destes valores e digitar a quarta tecla para obter a resposta. O período de n e da taxa i devem coincidir em unidade, ao contrário do que era feito para juros simples, onde o período era necessariamente em dias e a taxa anual. Para recuperar um valor dos registradores financeiros, pode-se usar a tecla RCL (recupera). Exemplo: Qual o montante da aplicação de R$ 900,00 durante 8 meses sob taxa de 1,43% a.m.? Solução: Vamos lembrar a notação em diagrama de fluxos de caixa:

255

260

265

gráfico 4.1

Precisamos informar à máquina os valores conhecidos: PV = - 900 i = 1,43 n=8 Note que PV aparece negativo já que a HP-12C diferencia valores positivos e negativos: Um valor é positivo quando representa uma entrada de capital; é negativo quando representa uma saída de capital. Num investimento, para o investidor, PV será sempre negativo, enquanto que FV será sempre positivo, sucedendo-se o oposto para o tomador do dinheiro.

Pressione

Visor

f CLEAR FIN

(mantido)

900 CHS PV

-900,00

1,43 i

1,43

8n

8,00

FV

1.008,26 Quadro 4.4

270

Outro exemplo: Qual a taxa de juros a que deverá ser submetido um capital de R$ 500,00 para que o mesmo renda R$ 100,00 de juros em 7 meses de aplicação? Solução: Fazendo a notação em diagrama de fluxos de caixa:

figura 4.2


45

275 Note que PV deverá ser digitado negativo enquanto que FV é positivo:

Pressione

Visor

f CLEAR FIN

(mantido)

500 CHS PV

-500,00

600 FV

600,00

7n

7,00

i

2,64 Quadro 4.5

280

Logo, a taxa é de 2,64% a.m., pois sua unidade sempre concordará com a unidade do prazo (neste caso, meses). Uma curiosidade da HP-12C é que, normalmente, para períodos fracionários, a mesma calcula os juros como sendo simples. Assim, um investimento de R$ 100,00 durante 2,5 meses à taxa de 10% a.m. nos dá um montante de R$ 127,05:

285 Pressione

Visor

f CLEAR FIN

(mantido)

100 CHS PV

-100,00

10 i

10,00

2.5 n

2,50

FV

127,05 Quadro 4.6

290

295

300

Ao fornecer o prazo de 2,5 meses, inicialmente, a HP-12C entende que serão 2 meses de juros compostos, o que transforma nosso capital em R$ 121,00: 100,00 → 110,00 → 121,00 Usando o capital de R$ 121,00, a HP-12C aplica agora juros simples para o restante do prazo (fracionário) : 10% a.m. em juros simples eqüivalem a 5% em 0,5 mês ou 15 dias: 121,00 + 5% = 127,05. Este procedimento é usado nos EUA e é chamado convenção linear para períodos fracionários. No entanto, no Brasil, o mesmo não é usado e, mesmo para prazos fracionários, considera-se o regime composto. Para modificar a máquina neste sentido, você deverá pressionar as teclas STO EEX, ocasião em que aparecerá a letra C permanentemente no visor de sua máquina. Você notará que, mesmo desligando a máquina, o indicador C não será esquecido. Para retornar à condição americana, pressione novamente as teclas STO EEX. Nos exercícios, só iremos utilizar a convenção linear quando explícito no problema, já que estamos no Brasil, exceto, quando explícito estiver o contrário. Continuando o exemplo do quadro anterior:

Pressione

Visor

STO EEX

(aparece o C)

FV

126,91 Quadro 4.7

305

Este resultado pode ser confirmado pela fórmula 4.1 do montante composto. Outra característica da HP-12C é que a mesma ao calcular prazos e, caso estes tenham partes decimais, o resultado será o inteiro seguinte. Assim, se um prazo resultou em 3,2 meses, a calculadora mostrará 4 meses. Esta consideração é útil quando não houver a possibilidade de o rendimento ser dado numa unidade menor, por exemplo, taxa em meses e prazo em dias. No entanto, quando isso não for o caso, vamos preferir a fórmula 4.4 apresentada anteriormente, que faz uso de logaritmos neperianos.

Matemática Financeira com a Calculadora HP -12C 310

46

Podemos, ainda, lançar mão do recurso de programação da calculadora HP-12C, o que foge ao objetivo deste livro, mas poderá ser encontrado em detalhes no livro Curso Completo de Calculadora HP-12C.

4.13 EXERCÍCIOS 315

320

325

330

335

340

345

350

355

360

365

18) Qual é o montante da aplicação de R$ 450,00 a juros de 3,5% a.m. durante 8 meses? 19) Qual é o rendimento da aplicação de R$ 450,00 a juros de 3,5% a.m. durante 8 meses? 20) Qual o principal capaz de gerar um montante de R$ 3.400,00 em 6 meses sob taxa de 2,34% a.m.? 21) Certa quantia foi investida durante 7 meses sob a taxa de 2,99% a.m. e resultou em R$ 6.145,19. Descubra o valor de tal quantia. 22) Uma loja anuncia que seus produtos podem ser comprados à vista ou em 30 dias sem acréscimo. No entanto, um cliente conseguiu do gerente um desconto de 10% sobre o valor para pagamento à vista. Qual é a taxa de juros a ser paga caso comprasse em 30 dias? 23) Uma pessoa precisa de R$ 1.000,00 e estuda três alternativas de pagamento: (A) Uma única parcela de R$ 1.100,00 daqui a 1 mês. (B) Uma única parcela de R$ 1.600,00 daqui a 5 meses. (C) Uma única parcela de R$ 1.900,00 daqui a 7 meses. Qual delas tem a maior taxa de juros e em qual delas pagam-se juros maiores? 24) Um investidor comprou um título no mercado financeiro cujo prazo era de 3,5 meses e valor nominal R$ 500,00. Se o valor negociado foi de R$ 400,00, calcule: a) a taxa mensal simples de seu investimento; b) a taxa composta de seu investimento 25) Uma duplicata de valor nominal igual a R$ 1.000,00 é descontada com 1 mês antes do vencimento sob juros simples de 7% a.m. Se o banco onde se fez o desconto cobra R$ 6,00 por título e R$ 10,00 por borderô como tarifas administrativas, calcule as taxas mensais de investimento: a) simples; b) composta. 26) Qual o capital a ser investido de modo que, aplicado a juros de 2% a.m., renda em 5 meses R$ 93,67? 27) Qual o capital que, investido a 3% a.m. em 11 meses, capitalizou juros de R$ 768,47? 28) Uma aplicação de R$ 2.400,00 é feita à taxa de 3,13% a.m. de juros, durante 6 meses. Após isso, serão descontados 20% dos rendimentos brutos para o Imposto de Renda (IR). Determinar: a) o rendimento bruto; b) o valor descontado para o IR; c) o ganho do investidor, expresso em taxa de juros mensal, descontado o imposto. 29) Calcule o montante resgatado por uma aplicação de R$ 3.400,00 à taxa de 3,05% a.m. de juros, durante 7 meses, sabendo que incidem 20% de imposto de renda sobre os rendimentos brutos e 0,38% de CPMF sobre o saque final do dinheiro. Qual o ganho do investidor, descontados IR e CPMF? 30) Repetir o problema 28 supondo que o imposto de renda fosse recolhido antecipadamente e que fosse pago à parte. 31) Repetir o problema 29 supondo que o imposto de renda fosse recolhido antecipadamente e que fosse pago à parte. 32) Um investidor sabe que, num tipo específico de aplicação, terá que pagar 15% sobre os rendimentos para o IR. Qual o prazo, então, que deverá aplicar seu dinheiro para que o mesmo gere um montante líquido igual ao dobro do que aplicou, se a taxa de juros ao mês for de 4%? 33) Repetir o problema anterior, caso o IR fosse de 10% sobre os rendimentos líquidos. 34) Repetir o problema 32, caso o IR fosse de 20% sobre os rendimentos líquidos.


4.14 RESPOSTAS 370

375

380

385

390

395

400

405

410

415

1) R$ 1.282,15 2) R$ 1.707,97 3) R$ 3.196,66 4) R$ 643,53 5) R$ 2.726,47 6) R$ 1.838,70 7) R$ 3.377,82 8) R$ 901,30 9) R$ 1.733,81 10) 2,43% a.m. 11) 4,14% a.m. 12) 2,39% a.m. 13) 11 meses 14) 19 meses e 10 dias 15) 7 meses e 10 dias 16) 1 ano, 3 meses e 6 dias 17) 1 ano, 8 meses e 16 dias 18) R$ 592,56 19) R$ 142,56 20) R$ 2.959,42 21) R$ 5.000,00 22) 11,11% a.m. 23) a- i = 10,00% a.m. e J = R$ 100,00 b- i = 9,86% a.m. e J = R$ 600,00 c- i = 9,60% a.m. e J = R$ 900,00 Maior taxa, alternativa a. Maiores juros, alternativa c. 24) a- 7,14% a.m. b- 6,58% a.m. 25) a- 9,41% a.m. b- 9,41% a.m. 26) R$ 899,97 27) R$ 2.000,18 28) a- R$ 487,50 b- R$ 97,50 c- 2,54% a.m. 29) montante = R$ 4.021,30 ganho do investidor = 2,43% a.m. 30) a- R$ 487,50 b- R$ 97,50 c- 2,45% a.m. 31) montante = R$ 4.179,86 ganho do investidor = 2,32% a.m. 32) 19 meses e 25 dias 33) 19 meses e 2 dias 34) 20 meses e 21 dias

47

Matemática Financeira com a Calculadora HP-12C

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