MATERI LOGARITMA
Oleh : Hartono
Materi disampaikan pada Pelatihan Mapel Matematika SMA/ SMK Program Pascasarjana UNY Yogyakarta 2012
Kompetensi Kompetensi yang diharapkan dicapai oleh para peserta setelah membaca modul ini dan mengikuti pelatihan adalah mampu : memahami konsep logaritma dan sifat-sifatnya serta mampu menerapkan konsep logaritma pada permasalahan terkait
Indikator Indikator yang digunakan untuk melihat capaian kompetensi para peserta adalah peserta mampu : 1. Menjelaskan sifat-sifat logaritma 2. Menerapkan sifat-sifat logaritma untuk menghitung nilai dari bentuk logaritma 3. Menyelesaikan persamaan yang berkaitan dengan logaritma
Logaritma Logaritma merupakan kebalikan dari perpangkatan. Untuk itu, sebelum membahas tentang logaritma perlu melakukan reviu mengenai perpangkatan dan sifat-sifatnya. Disamping itu pembahasan pada modul ini, semesta pembicaraan dibatasi pada himpunan semua bilangan riel.
Definisi 1 : Misalkan m dan n adalah bilangan-bilangan asli dan a adalah bilangan riel positip yang tidak sama dengan 1. (1) a m a a a m faktor 1 (2) a m m a (3) a o 1, a 1 a . Berdasarkan definisi di atas dapat diturunkan beberapa sifat yang berkaitan dengan perpangkatan seperti berikut ini : Sifat 1 : Untuk bilangan-bilangan asli m dan n berlaku (1.1) a m a n a m n (1.2)
am a mn n a
(1.3) (a m ) n a mn (a n ) m (1.4) (ab) n a n b n a an (1.5) ( ) n n b b
Contoh 1 : Ada berapa digit hasil dari 413 5 27 ? Jawab : 27 digit. Sebelum membahas logaritma isilah bagian titik titik berikut ini dengan angka yang sesuai
2 4
2 8
2 12
2 16
Selanjutnya akan dibahas konsep ataupun sifat yang berkaitan dengan logaritma. Perhatikan persamaan berikut ini : a x c dengan a 0 dan a 1.
Apabila solusinya ada, maka solusinya adalah suatu bilangan riel yang dinotasikan dengan a log c ( dibaca : logaritma dari c dengan bilangan pokok a ) atau dituliskan x a log c . ( Pertanyaan : Kapan solusinya ada?, sehingga bentuk a log c akan bermakna manakala ........)
Secara umum didefinisikan sebagai berikut : Definisi 2 :
ab c b a log c dengan a 0 dan a 1 .
Sifat-sifat yang dapat diturunkan berdasarkan definisi di atas adalah : (2.1) a
a log c
c
(2.2) a log a b b (2.3) a log a 1 (2.4) a log 1 0 (2.5)
am
log a n
n m
(2.6) a log xy a log x a log y (2.6a) a log b n n a log b (2.7) a log
x a log x a log y y
p log b a (2.8) log b p log a
dengan p 0 dan p 1
Catatan : Logaritma dengan bilangan pokok e yakni e log x dituliskan ln x ( logaritma natural ). Bilangan e adalah bilangan irasional yang didefinisikan sebagai hasil limit dari (1 1n ) n untuk n .
Contoh 2: Hitunglah
81
log 3 3 . Bentuk ini dapat dituliskan sebagai 3 3 Sehingga berdasarkan sifat (2.5) hasilnya 2 . 4 8
34
3
log 3 2 .
Contoh 3: (UN SMK 2009/2010) Nilai 2 log 12 2 log 6 2 2 log 2 adalah ..... Contoh 4 : (UN SMK 2005/2006) Jika 7 log 150 .....
7
log 2 p,
Contoh 5: (UN SMK 2008/2009) 3 log 5 m dan 3 log 2 n
7
log 3 q,
maka
4
7
log 5 r
maka
log 45 adalah .....
Contoh 6: Jika 2 log 3 a , nyatakan 27 log 32 dalam bentuk a. Berdasarkan sifat (2.8) , (2.2) dan (2.6a) dapat ditulis 27
log 32
Jadi
27
2
log 32 2 log 2 5 5 5 . 2 2 2 3 log 27 log 3 3 log 3 3a
log 32
5 . 3a
Contoh 7: (UM UGM ) Jika 2 x a dan 2 y b dengan x, y 0 maka
2x 3y dapat x 2y
dituliskan dalam bentuk 1
2 2
log ab (penjabarannya sebagai latihan) log ab 2
Persamaan logaritma. Secara umum untuk menyelesaikan persamaan logaritma ( persamaan yang berkaitan dengan logaritma) sering digunakan konsep atau fakta bahwa a
log x a log y
x y.
Kadangkala dalam persamaan logaritma tersebut ada bentuk logaritma dengan bilangan pokoknya berbeda, apabila terjadi demikian maka kita uasahakan untuk memanipulasi bentuk persamaan ke dalam bentuk logaritma dengan bilangan pokok yang sama terlebih dahulu kemudian baru diselesaikan. Disamping itu ada juga persamaan logaritma dikaitkan dengan bentuk persamaan yang lain seperti persamaan kuadrat atau bentuk persamaan lainnya Contoh 8 : Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 4 log(7 x) 3
Contoh 9 : Tentukan solusi dari persamaan logaritma 4 log(9 x) 2 log( x 4) 0 Contoh 10 : Carilah nilai-nilai x yang memenuhi persamaan x log(3 x 2 ) 2 Contoh 11 : Diberikan persamaan a log(9 x) 2 a log( x 2) 0 dengan a 0 dan a 1 . Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Contoh 12 : Tentukan himpunan penyelesaian dari 4 log x x log 8
7 2
Daftar Pustaka
Purcell, E. J. and Varberg, D (1987), Kalkulus dan Geometri Analitis, terjemahan edisi ke-5, Jakarta : Erlangga Sartono Wirodikromo (2000), Matematika 2000 untuk SMU, Jakarta : Erlangga
