Material de apoyo para docentes

•

MINISTERIO DE EDUCACIÓN PÚBUCA CENTRO NACIONAL DE DIDÁCTICA DEPARTAMENTO DE TELESECUNDARIA

Material de apoyo para docentes •

de Telesecundaria trfa me Trígono

E1Clborado por M.A . AnCl C. Esqui..., F .

• 2000

•

• Este documento es propiedad del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica

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• •

•

Este documento es propiedad del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica

•

•

MINISTERIO DE EDUCACIÓN PÚBLICA • CENTRO NACIONAL DE DIDACTICA DEPARTAMENTO DE TElESECUNDARIA

Material de apoyo para docentes de Telesecundaria , etrrQ Trígono",

Elaborado por M.A. Ana C. Esquivel F. •

•

., 2000


•

• "

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•

•


índice

•

•

., •

Indlce Razones trigonométricas de un triángulo

1

Triángulos especiales

4

Medición indirecta

10

Ilemes de selección

16

Respuestas

20

Bibliografia

21

Resolución de los ejercicios

22

Tabla de valores de las funciones trigonométricas

30

Semejanza y proporcional idad

31

Semejanza de triángulos

37

Teorema de Thales

43


52

Respuesta s

57

Bibliografia

59


60

Teo rema de Pttágoras

69

Teorema de la altura

76


78

Triángulos especiales

82

Itemes de selección

85


Respuestas

87

Bibliografía

88

•


90

•

ClasifICaCión de un triángulo conociendo la medida de sus lados

99

..•


11

•

•

La palabra trigonometria significa ' medida de un triángulo' . Los griegos y 105 hindúes vieron la trigonometría como una herramienta para usar en astronomía. A los primeros matemáticos árabes se les da el crédito de haber utilizado en sus cálculos , las seis razones trigonométricas.

Razones trigonométricas en un triángulo.

En un triángulo rectángulo, el lado que se opone al ángulo recto se llama hipotenusa y 105 otros dos lados se Haman catetos. En el triángulo rectángulo adjunto

e es la hipotenusa e

a es el cateto opuesto al ángulo ex.

a

b es el cateto adyacente al ángulo " b

En ese mismo triángulo: a es el cateto adyacente al ángulo p b es el cateto opuesto al ángulo p

En un triángulo rectángulo se definen las siguientes seis razones trigonométricas, para cada uno de 105 ángulos agudos. Por ejemplo, en el triángulo anterior se definen las seis razones para el ángulo ,, ( también se pueden definir para el ángulo p):

• sena

= longinlddelcatelo opuesto longitud de la hipotenusa

CSC a

=

longitud dela hipolenu.l'a longitud del cateto opuesto


1

COS a

cateto adyacente = longituddel longitud dela hipotenusa

sec o

longitud dela hipotenusa

= longitud delcateto adyacen te •

tan a

longitud delcateto opuesto

= longitud del cateto ad yacente

cot u

=

longitud del cateto adyacen te longituddelcateto opuesto

•

Observando las razones anteriores podemos notar que las razones trigonométricas de la columna de la derecha son las inversas de las razones trigonométricas de la co lumna de la izquierda y viceversa.

sen ex

COS

a

tan ex

.. . .

invers as

inversas inversas

•

esc ",

• •

sec a

cot ex

Es decir sen ex

=

cos ce

=

tan a

;;;;:

1

csca

seca

cota

Nota:

Como todos los triángulos rectángulos con un ángulo de medida a son semejantes , los valores de las razones trigonométricas dependen de la medida del angula y no de la longitud de los lados de: triánqulo.

De. Ane

c. EsauIVe! Fourfller


2

•

En el triángulo de la derecha definimos las razones trigonométricas para el ángulo a como sigue: •

•

sen a

ícateto opuesto 3 - = 0,6 = longitudde = longitud de la hipotenusa 5

~

5

caS a

tan a

tud de l ca teto adyacente 4 = longi = = 0,8 longitud de la hipo tenusa 5

a 4

longitud delcateto opuesto 3 - = 0,75 = longituddelca = teto adyacente 4

También podemos encontrar las razones trigonométricas del ángulo cas ~ y tan B.

sen

~

;; longitudd eJ catero opuesto ;; 4 ;; 0,8 longitud detah ípotenusa 5

cos

~

;; longi tuddel catetoadyacent(! ;; 3 ;; 0,6 Iongitud delahipotenusa 5

tan

~

=

longituddel cQteto opues to

=

longitud del ca teto adyacente

Observe que:

•

3

sen o. ;; cos

p

cos a. ;; sen

p

tan a = cal

4

3

~ , e slo

es, sen B,

;; 1,33

~

De: Ana C. EsqJllIeJ FOI.ITIIer Este documento es propiedad del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica

3

Como a y p son ángulos complementarios entonces podemos escribir

p=

90' - a, por lo que

• •

sen a = cos (90' • a) COS

a = sen (90' - al

tan a

Esto se conoce con el nombre de cofun ciones

= cet (90' - a l

Triángulos especiales Recordemos que los triángulos especiales son los triángulos rectángulos 30' • 60 ' - 90' Y 45' - 45' ·90' más conocidos cerno triángulos 30' - 60' Y 45' ·45' .

Consideremos el triángulo 45' - 45' cuyos catetos miden 1 unidad de longrtud. Aplicando el teorema de Pitágoras podemos calcular la longitud de la hipotenusa:

e'

~

e' = c'

e

1~' ~

J' + l ' I +

= 2 ~

.J2

Calculemos las razones tngonométncas del ángulo de 45'

~_

A1II!J c. Esquive'


F~

,

•

•

I

tan 45° =

= 1

I

Si consideramos un triángulo equilátero y trazamos la bisectriz de uno de sus ángulos entonces obtenemos un triángulo rectángulo cuyos ángulos miden 30", 60 " Y 90". Además si la longitud del lado del triángulo equilátero es 2 unidades, entonces la longitud de sus otros dos lados serán 1 y J3 unidades ( el cálculo se puede hacer aplicando el teorema de Pltágoras). Las razones trigonométricas para los ángulos de 3D" y de 60", del mencionado triángulo (triángulo semiequilátero) corresponden a:

sen 30"

= -2I

cos 30"

= -J32

tan 30"

= J3 = -J33

sen 60"

cos 60"

= J32 =

.J3

1 2

2

1

1

tan 60°

= J3

La siguiente tabla resume los valores encontrados:

.

Angulo

.

~ .--

,-

,:1

'. "" ~;'

Razón triaonométrica -...

_":l: n O,

seno

I o

-..n 2

-J3

-..n 2

-•

-J3

1

.. 3

~

~¡. .:"~ •

'ce ",

coseno

"

.

2

tangente

,,'

-'C:

45 ~

=7

. ,", ,",

,f3

-

o

I

-

3


s

La tabla anterior resume los valores de las razones básicas. Sin embargo, sabiendo que la cosecante, la secante y la cotangente son las inversas del seno, coseno y tangente respectivamente, se pueden calcular fácilmente los valores de estas razones para los ángulos de 30°, 60° Y45°.

..

• Ejercicios resueltos:

• Determine el valor de las seis razones trigonométricas para el ángulo e en el triángulo rectángulo de la derecha. Primero averiguamos la longitud del cateto opuesto al ángulo e. L1amámoslo x , 122 + .r'

,

144 + ,

r'

r'

•

12

= 13' = 169

= 169 -

, .r' =

13

144

25

x

= ES

x

=5

Las razones trigonométricas 1 para el ángulo 8 corresponden a:

sen 8

= -135

cos e

=

12 13

tan 8

=

5 12

Pefl - Profes«es de TeJesecundM'lfI

csc e

13 = -5

sec e

=

cot 8

= -125

13 12


•

6

•

Determine el valor de x en el triángulo adjunto. 30

•

En ese triángulo conocemos un ángulo, la longitud del cateto opuesto a ese ángulo y debemos averiguar la longitud del cateto adyacente. Eso nos sugiere que la razón trigonométrica que debemos usar, es la tangente tan 60 0

=

JO

,fi

=

JO

=

JO

x,fi x

.r

.r

r

30

=

,fi o bien si racionalizamos la expresión

17,32

~

•

30,fi

x = -

-

3

30

,fi

obtenemos

o

x = 1O,fi

J5

• Si cos 6 =

3

y L 6 es uno de ios ángulos agudos de un triángulo rectángulo,

Determine la medida de los tres lados del triángulo.

Si cos 6 =

J5

entonces el cateto adyacente al ángulo 6 mide 3 hipotenusa 3. Podemos dibujar el triángulo asi:

J5

y la

•

"


7

Aplicando el Teorema de Pitágoras enc ontramos la longITud del cateto que falta •

(Fsr

+

.l' ~

9 - 5

~

~

14 2

RI Los lados del triángulo miden

•

9

~

= 4

.r = x

•

x"

,

3'

~

,

5 + x"

x'

Fs, 3

Y 2 unidades.

Determine el valor de la siguiente expresión (no use decimales):

sen 30Ccos600 sell 600

Solución: I I .~elJ] OO cos 60o

sen 60°

1

= 1 2_ 4

_

2

_

1

_ J)

7] - 7J - 4Jj - 2Jj - 6 2

2 •

•

Pa ra.

ProIesf;K'e$

de Tfllesecundsna


8

Ejercicio No. 1

1. En los siguientes triángulos rectángulos encuentre el valor de la función tngonométnca indicada, para el ángulo o.

• a) Encuentre sen o, cos o, tan

°

b) Encuenlre sen

o, cos o, tan

°

c) Encuentre sen

p, cos p, tan p

8

re p 17

d) Encuentre sen p, cos

p, tan p

8

ts

p 17

2. Encuentre el valor de la incágnrta en cada uno de los siguientes tnángulos:

•

a)

b) 8 b

•


,

el

•

• 3. Encuentre I valor de cada una de las expresiones siguientes ( no use decimales):

a) cas 60° + tan 45' b) sen 30° + cos 60'

e) tan 45'

+ cos 30°

dl sen 30° tan 30° - cos 30 ° el

ta n 60 ° - tan 30"

tan 60' tan30'

Medición indirecta A menudo sucede que para medir ciertas distancias, por ejemplo la altura de un edificio o una montaña, se hace inconveniente y poco práctico utilizar una cinta métrica. Este tipo de distancias se miden indirectamente utilizando principios de trigonometría. Antes de resolver algunos de estos problemas vamos a dar dos definiciones: Se llama ángulo de elevació n al ángulo que se forma cuando el objeto y la linea de visión están por encima de la horizontal. """"-objeto

•

angula de elevación haizonIal

~, A"" C. ESOlIfVeI Fourmer Este documento es propiedad del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica

'0

Se llama ángulo de depresió n al ángulo que se forma cuando el objeto y la linea de visión, están por debajo de la horizonta l.

_1

._ ------ -- - -_.._-"'.. l ...... I

•

angulo de depreSión

""•

t/t! ' "'

~

. . - objeto

Ejercicios resueltos:

•

Desde un punto sobre el suelo, situado a 150 m de la base de un edificio, el ángu lo de elevación a la cúsp ide del mismo es de 40°. Calcular la altura del edificio. Solución:

Lo primero que hacemos es un dibujo que ilustre la situación presentada en el problema.

11

T

11 ' 11 u

.1

• •

150m

Como conocemos la longitud del cateto adyacente al ángulo e, y debemo s averiguar la longitud del cateto opuesto a ese mismo ángulo, entonces usaremos la tangente.

tan a

=

x

150

De.- Ana C. Esq¡lve/ Focn1Ief" Este documento es propiedad del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica

11

tan 40°

tan40'

. 150

x

.r 150

= x

0,84 · 150

=

x

=-

•

= 126

RI La anura del edificio es de 126 m.

•

Un piloto volando a una altrtud de 6000 m observa que el ángulo de depresión de un aeropuerto al cual se aproxima es de 64' . Calcular la distancia en tierra , desde un punto A directamente debajo del avión y hasta el aeropuerto.

Solución:

.. , 1a

")

~ ---... ~Io de depresión

0000 m

_______ p -'

"ii'tin'>

A

• No tas :

El ángulo de depresión y el ángulo de elevación señalados en el dibujo anterior son congruentes (altemos intemos entre paralelas)

El ángulo a es el complemento del ángulo de 64' por lo tanto mide 26' (90" - 64' )


• •

Las notas ant eriores nos permiten res olver el problema de dos formas:

tan a

=

tan 26"

=

1)

x

6000

•

0,488 .

6000

x 6000

= x

= 2928

x

tan p

=

6000 x

tan 64°

=

6000 x

tan 64°

=

6000 x

x

=

6000

2)

2 ,05

6000

x

= -2,05

.r

= 2926,8 RJ La distancia es de 2926,7 m

•

Ó

2928 m

Calcular el valor del ángulo 8 en la fig ura adjunta Soluc ión:

• tan 8

tan 8

= =

1,10 1,30

1,30 m -

-

-j

0,8461 5


13

e_ 40 °

•

RI La medida del ángulo e es de aproximadamente 40

o

•

•

* Nota:

A d~e re ncia de los dos primeros problemas, en este último debemos enco ntrar la medida del ángulo. Si se trabaja con tablas entonces debemos buscar en la columna de la función respectiva (en nuestro caso tangente), el valor más próximo posible al que tenemos. Seguidamente consultamos la columna de los valores de los ángulos en el renglón correspondiente al valor que habiamos selecciona do . En el problema anterior el valor de la función encontrado es tan e = 0,84615

En la tabla que se presenta al final del presente documento encontramos en la columna correspondiente a tangente, el valor 0,8391 que es el más apro ximado a 0,84615. Si en ese renglón buscamos la columna de los valores de lo s ángulos (la que dice grados) entonces encontramos 400.

Si estamos usando una calculadora y tenemos

tan a

=

0,84615

para avenguar el valor de

a

hacemos lo siguiente:

escribimos 0,84615 luego la tecla in. luego tan

En nuestro caso después de pulsar esas teclas nos aparece 40,23 que podemos redondear a 400

P /l rlJ· ProfesOff1S d" TtJJesfICundar,.


• •

Ejercicio No. 2

Resuelva los siguientes problemas:

• 1.

Una escalera está apoyada sobre un edificio. El ángulo que la esca lera fonna con el piso mide 38°. Si el largo de la escalera es de 42 m, detennin e la distanCia del pie de la escalera al ed ~ici o .

2.

Desde la cumbre de un faro de 660 m de atto, el ángulo de depresión con que se observa un bote en el mar es de 36°. Encontrar la distancia del bote al pie del faro.

3.

Desde un punto sobre el suelo, situado a 120 m de la base de un árbol, el ángulo de elevaCión a la cúspide del árbol es de 42°, Calcular la altura del árbol.

4.

Desde un punto B en el suelo, el ángulo de elevación hacia un globo mide 45°, El globo está atado a una cuerda que mide 1 500 m de longitud. ¿A qué altura se encuentra el globo del suelo?

5.

Una rampa de 600 m de largo se eleva a una distancia vertical de 38 m . Encuentre la medida de su ángulo de elevación.

6.

Las dimensiones de un rectángulo son 14 m y

6 m. Determine la medida

del ángulo que la diagonal fonna con el largo del rectángulo.

• •

•

' . ~..Íli

De· Ana C. Esquw~ Fcxrnter Este documento es propiedad del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica

is

Itemes de selección •

1. En la figura de la derecha la diagonal mayor mide 50 cm y forma con el lado un ángulo de 34°. Entonces el lado del rombo mide

(

)

20,73 cm

(

)

44,72 cm

)

30,16 cm

)

13,98 cm

(

•

2. Considere las siguientes afirmaciones: l. sen 30° ;;; ces 60°

11.

tan 45° ;

-.fi 2

11 1.

ces 6 0° ;;;

I 2

De las afirmaciones anteriores son verdaderas

1I Y

(

)

(

)

y 111

()

y 11

(

y 111

)

111

• •

P81"1l . Ptofesores de Tejeseel.Jnctaoa

De- Ana C . EISQUlYeI Fou"nle r Este documento es propiedad del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica

3. Desde un balcón que se encuentra a 6 m del suelo, un joven observa un objeto bajo un ángulo de depresión de 64 °, Entonces la distancia del joven al objeto es

•

(

)

13,69 m

(

)

6,68 m

(

)

2,93 m

(

)

5,39 m

4. De acuerdo a la figura de la derecha, cos a correspond e a

a (

12

5

-

)

R

13 12

(

)

5

-

12

5

(

13 12

(

5

5. De acuerdo a la figura de la derecha el cateto x mide 41lon

•

(

)

10 ,fj cm

(

)

ao cm

(

)

40 ,fj cm

(

)

SO'

,

20cm

•

De: AnaC. f eqUwl FOUTlief Este documento es propiedad del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica

17

6. Si cos 300 =

(

)

)

,fj 2

entonces sec 300 corresponde a

-2J

•

,fj 2

)

2

)

- 3-

2,fj

7. En un triángulo MPN, rectángulo en P, tan M =

(

)

-35

(

)

-

~. 6

Entonces sen M corresponde a

4

5

3

(

)

-

(

)

-

5 5

4

8. De acuerdo con los datos de la fIQu ra de la derecha, el valor de cos P corresponde a (

)

(

)

(

)

(

)

3

Jió

•

-3I

•

J

JIO 3

Par._Profesores de TeleMcundaru

Oc ,A"" C ,E ~ F~


'8

9. De acuerdo con los datos de la figura de la derecha , si AC = 50c11/ ,

entonces la medida en centímetro s de AB es

=-- - --8 ----=::.. e

L

)

7

(

)

17,54

(

)

12,21

(

)

14,29

35'

8

11. De acuerdo con los datos de la figura, ¿cual es el valoren metros de x?

(

• •

)

16,90

)

36,25

)

18,65

)

10,56

T ,

1

a ~

~

De. Ana C. Esquive! Foomier Este documento es propiedad del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica

Para: Prolesores de Telesecundaria

40m

25'

,.

e

12.En el dibujo de la derecha, ¿cuál es la medida del ángulo de elevación?

(

)

5°

)

85°

I 1

•

1200 m

(

)

2 1°

(

)

14°

1-

100 m

Respuestas Ejerc icio No. 1, página 9

= -257

cos o

=

24 25

tan o

7 = -24

b) sen o

24 = -25

cos 5

7 = -25

tan o

24 = -?

e) sen p

=

\S -

tan p

= -158

d) sen p

= -15 17

8

tan p

15 = -8

1. a) sen o

-

8

cos

17

P =

cos P

=

b) a = 5

2. a) b = 4

-

17

-

17

e) x = 7 ,f3

•

3. a)

3

2

b) 1

e)

+ ,f3 .::-:.--=

2

2

d)

3

De: Ana e Esq UIve! FoumlElr Este documento es propiedad del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica

Para : Pro/ewre6 de Telesecunda na

•

,f3

20

Ejercicio No. 2, página 15

•

1) 33,10m

2) 909 m

3)

4) 1060,5 m

5) 4'

6) 23'

Itemes de selección .

108 m

Página 16

1) e

2) b

3) b

7) b

8) a

9) a

4)

c

10) d

5) d 11)

a

6) d

12)

b

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De: Ana c. Esquivel Foumier Este documento es propiedad del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica

21

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2.

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•


29

T ABLA DE VALORES DE LAS FUNCIONES TRJGONOMÉTRICAS

.... ..

.' , GRADOS

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ?_o -

27 28 29 30 31 32 33 34 35 35 37 38 39 40

., 42 43 .:.<

.:.=

SENO

COSENO

TANGENTE

GRADOS

SENO

COSENO

TANGENTE

0 ,0000 0 ,0175 0,034 9 0 ,0523 0 ,0698 0 ,0872 0 ,104 5 0 ,1219 0 ,1392 0 ,1 564 0 ,1736 0 ,1908 0 ,2079 0,2 250 0 ,2<19 0 ,2588 0 ,2756 0,2924 0 ,3090

1,0000 0,9998 0 ,9990' 0,9986 0,997 6 0,9962 O, GG¿5 0,9925 0,9903 0, 9877 0,964 8 0.981 6 0,9781 0 ,9744 0,970 3 0,9659 0 ,9513 0 ,9653

0 ,6947 0 ,6820 0 ,669 1 0,656 1 0,6428 0,6293 0 ,6157 0 ,6016 0,5878 0 ,5736 0,5592 0,5446 0 ,5299 0 ,5150 0.5000 0.4646 0,46 95 0.4540 0 ,4384 0 ,4226 0 ,4067 0,3907 0 .3746

1,0355 1,0724 1,1106 1,1504 1,1918 1,2349 1,2799 1,3270 1,3764 1,428 1

0,90'5 5 0,9397 0,9336 0 ,9272 0,920 5 0,9135 0,9063 0, 8988 Q,8910 0 ,8829 0 ,6746 0,8660 0,8572 0 ,6480 0,8387 0.8290 0,8192 0 ,809 0 0,7986 0,7880 O,n 71 0 ,7660 0 ,7647 0 .7431 0,73 14 0,7193 0,70 71

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 52 53 54 85 56 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76

0,7193 0,7314

0 ,3256

0 ,0000 0 ,0175 0 ,0349 0,0524 0,0699 0 ,0875 0 ,1051 0 ,1228 0,1405 0 ,1564 0.1753 0,1944 0 ,2126 0,2309 0,2493 0,2679 0,2857 0,3057 0 ,3249 0 ,3443 0 ,3640 0 ,3839 0.4040 0 ,4245 0 ,4452 0,4663

0,342 0 O. 35 B~

0,3746 0 ,3907 0.4067 0 .4226 0.4364 0,4640 0,46 95 0.4648 0,5000 0 .5150

0,5299 0,5446 0,55 92 0,5735

0,5676 0,60 18 0,6157 0,6293 0,6426 0,6561

C S6 91 C.5820

( .:32-'7 C.7071

0 ,9511

0,4877

0,5095 0,5317 0.5543 O,577¿ 0 ,6009 0 ,6249 0 .6490' 0 .6745 0,7002 0,7265 0,7536 0,7813 0,8099 0,8391 0.8693 0,9004 0 ,9325 O. 9€S7 1,0000

77

78 79 80 81 82 83 84 85 86 67 88 89 90

0, 7431

0.7547 0,7660 0 ,7771

0, 7880 0 ,7986 0,8090 0 ,8192 0,8290 0 ,8387 0 ,S480 0.S672 0 ,8660 0 .5746

0, 8629 0,8910 0 ,8988 0 ,9053 0 ,9135 0,9205 0 ,9272 0 ,9336 0 ,9397 0,9455 0,9511 0 ,9553 0 ,96 13

0,9659 0,9703 0 ,9744 0 ,9781 0 ,9816 0 ,9648 0,9877 0,9903 0 ,9925 0 ,9945 0 ,9962 0 .9976 0 .9986 0 .9994

0,9999 1.0000

O , 35~

0 ,3420 0,3256

0,3090 0,292 4 0 ,2756 0,2568 O,24 H; 0,2250 0,2079 0 ,1908 0,1736 0,1564 0,1392 0,1219 0,104 5 0,0872 0 ,0695 0 ,0523 0 ,034;; 0 ,0175 0,000 0

•

1,48 26

1,5399 1,6003 1,6643 1,732 1 1.8040 1.8807 1.9526 2,0503 2, 1 ~5

2.2460 2.3559 2,475 1 2,605 1 2,7475 2,9042 3.077; 3 270;; 3 ,48 7 4 3 ,732 1

4 ,0108 4,3315 4 ,704 5 5 ,1':'4 5

5,6713 6 ,3136 7,1164

•

B . 1 ~3

9 ,5i ¿¿ 11.4301 14,3007 19,0911 25.6383 57.2900

•

se Este documento es propiedad del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica

•

Iltenotitls~No'eno AAo I~~!~II

Est imados(as) compañeros(as) "

Otro tema importante y po r lo ge neral de d ifici l comprensión para los est udiante s es el Teorema de Thale s y la reso lución de prob lemas relacionados con él Es esta la razó n del presente documento, cuyo fin es presentarle de una manera resumida, los principales aspectos del tópico

en cuestión. Antes de enunciar el Teorema de Thales es importante hablar de semejan za y proporcionalidad. De una manera intuitiva se con sidera que do s objetos so n semejantes si tienen la misma forma aunque no necesariamente el mismo tamaño . Por ejemplo una fotografía de la iglesia de su comunidad y la iglesia de su co munidad, pode mos co nsiderarlos como un ejemplo de do s figu ras semejantes . Ellas tienen la misma forma au nque d iferente tamaño. La fotografia es una reproducción de la iglesia. Los diferentes tipos de baterías redo ndita s semejantes.

A, AA, AAA son tam bién ejemplos de figu ras

• •

Para: Prof esores de r d esccundaria

De: Ana C. E...q uivel Foumíer


31

Cuando una fábrica de automóviles. barcos o aviones va a sacar al mercado un nuevo estilo, primero se hace un modelo. El automóvil. barco o avión y sus respectivos modelos son semejantes. Antes de enviar al espacio el transbordador Columbia, primero se hizo un modelo de él. La nave espacial y su modelo, son semejantes La siguiente es una forografla del original y un modelo del transbordador Columbia. •

l

f

ti ;; f \

,

,-. \

t

,:C\

Cuando vamos a un centro de fotocopiado y pedimos una reducción o ampliación de u n dibujo, estamos trabaja ndo nuevamente con el concepto de semejanza. Cuando hacemos dibujo s a escala, o mapas, también empleamos el concepto de figuras semejantes. Los mapas usualmente son trazados de tal manera, que mediante un calculo sencillo es posible determi nar la distancia entre dos puntos de una ciudad o de un pais. Para ello se usa lo que se llama escala del mapa . Podría ser por ejemplo 1 cm : I km. Esto significa que en el mapa cada centímetro representa l km. en la realidad. Por ejemp lo, si medirnos en el mapa la distancia entre dos puntos y nos da 3,5 cm., esto significa que en la ciudad esto s puntos están separado s 3.5 km.

•

•

Pare: Prtife.wro de Teíesecun daria

32


1\ 1'\)'0,\ \. ,, \)

e¡ (.,

" "'1

I{rJls·.o H ot PLA NE

.-

T OESAtUl:OLLO FO\ Ot'Hlrr&N0I10 0 1: D

.,

,

...

' .

Razón: Se denomina razón r ésut!!d~"de co~rpparar. dos cantidades. Cua ndo esta co mparación se hace por división se UarnrYa=on 'geom étr íca o /,or cociente y es de la que nos ocuparemos ahora' .

•

Por ejemplo, la razó n geo métrica (la llamaremos simplemente razón) entre 10 lápices y 20 lapices es

10

20

2

= 0,5

La razón entre el número de estudiantes de una sección (24 ) y el numero de mujere s de esa misma sección ( 12) es

24 - o sea ") 12 •

En una razón al prime r t érmino se le llama antecedente y al segundo t érmino se le llama

cOn!.ecuente

antecedente consecuente • •

Si la cornpcraci ór se ca ce por resta. u esta razón se le llama ra:on ontmética (l 1'0r di/en'ncia. Para: Prof esores de Td esecundaria De : A mI e E.~f/U ;"I!I Fournier

1

33


Proporci án: Es la igualdad de do s razones.

Por ejemplo, la razón entre 20 y 15 es

•

•

-20 =-4 = 133 15 3 . la razón entre 8 y 6 es

.! 6 = ':' 3 = 133 , ...

Podemos dec ir que la razón entre 20 y 15 es la misma que, entre 8 y 6. Escribimos en tal caso

8 -20 15 6

A la expresió n anterior se le llama proporción y se lee " veinte es a quince como ocho es a seis"

Otra manera de escribir las proporcione s es así

20

15 . . 8

6

Como una proporción está formad a por dos razones, entonces tenemos dos antecedente s y do s consecuentes. En el caso anterio r, 20 y 8 son los antecedentes y, 15 Y 6 son los consecuentes.

Sin embargo, tamb ién los términos de una proporc ión se suelen llamar de la siguiente manera:

Pare: Profesores de Teiesecundaria

De: Ana C. Escuíveí Foumíer


• •

2iP

"<'(J '3

~ JJ

~~ ~

~ .~

t

t

•

i~ ~~

medios

~

~ ~

~ ~

j

ext remos

~

~ •

I

Ejercicio No. 1: 1. Hallar la razón de cada uno de los siguientes pares de núm ero s:

al 70 Y 14 bl 30 Y 90 el 39 Y 13 d) 200 Y 50 el 4 Y 16

2, Compruebe, realizando la d ivisión, si las parejas de razones que se ofrecen a continuación, permiten formar una proporción En cada caso justifique su respuesta y si es afirmativa,

escriba la proporción respectiva. 21

v

]4

2

bl

15 : 3

y

20

4

el

100 : 300

al 3

•

dl 20 : 2

~

y

y

1 : 3

4 : 40

Para: Profesores de Td esecundaria


35

3. Para cada una de las propo rciones que aparecen a continuación. determine el pro ducto de multiplicar los extremos, 10 mismo que el de multiplicar los medios.

a)

6

b)

15

4 .. . . 9

6

6 \O

4

• e)

80

8

40

4

d)

10 : 18 .. . . 20

36

el

16

60 :: 8

30

4. Que relación puede establecerse entre el producto de los medios y el produc to de los extremos en una proporción?

Ley fundamental de las proporciones Esta ley o propiedad fundamenta l de las proporciones dice que:

En toda proporción el producto de los m edios es igual al produ cto de los extremos u:h : ; c:c1 <=>

u . d =b . c

•

•

Para: Profesore.. . l/t> Teíesecun daria

De: A na

e

Esquívei Fournier


Mediante la ley fundame ntal de la proporciones es posible determinar un término desco nocido en una proporci ón.

Ejemplo 25

x

•

8

4

4x

~

4x

=

=> 8

25 200 200

x

= - 4-

x

=

50

La prueba se realiza sustituye ndo el valor de la incógnita y efectuando los productos respectivo s:

4 : 8

25 : 50

8 = 50 200

=

4

200

Semej anza de tri ángulos

Intuitivamente se dice que dos triángulo s son semejantes SI tienen la misma forma pero no nec esariamente el mismo tamaño . Esta idea debe precisarse matemáticamente.

D

Consideremos los sigu ientes triángulo s

16

•

•

B

~ 10

Pura: Pmje..\flres de Telesecundaria

E L -_ _-----,=-

e

----'>.F

20

líe: A na C. E.\'quivel Foum íer


Si determinamos la razón entre los lados correspondientes AB y DE . AC y DF . EF tenemos que:

AH 7 -= -= VE 14 2

AC 8 = ; - =Dl: 16 o

HC y

HC \O -=- = EF 20 2

• Observe que las razones entre esos lados son iguale s. es decir; la razón entre 7 y 14. es la misma que entre 8 y 16. la misma que entre 10 y 20. Decimo s entonces que esos lados son profklrcjon u l es.

Es importante tener presente que cuando se establece la correspondencia entre los lado s de los triángulos. esta debe realizarse haciendo corresponder el lado de menor longitud de un triángu lo con el lado de menor longitud del otro triángulo ; el lado de mayor longitud de ese triángu lo inicial con el lado de mavor lonaitud del otro triángul o, el restante lado de ese mismo tri ánzu lo . inicial con el restante lado del otro triángulo . En el ejemplo anterior la correspondencia establecida fue la siguie nte.

-

-

AH --> DE

Be --> EF

-

AC --> v F

Sin embargo. esta corresponde ncia también se puede establecer de la siguiente manera:

VE --> AH

EF --> He

I)F --> Ae

en cuyo caso las respectivas razones ser án:

DE

14

_

= _ = o AH 7

EF

=

He

=

20 \O

= o

DF

16

= 8 Ae

•

Observamos que las razones de nuevo son iguales y por lo tamo decimos que esos lados son propo rcionales:

•

; Cuatro o mas segmentos de recta son proporcionales SI sus medicas forman una propcrcron PI/NI: ProJ t'.wrt!!> tk

Td~lInJ"ria

De: A na C. fiqlliJ'd Foemicr


JI

Si consideramos los triángulo s semejantes siguientes, podemos establecer la siguiente correspondencia entre lados:

•

l a d~

d e menor

km~ i tu d

...I

...

•

4.5

9

13.5

9

t

lados de mayor lon:.:itud

Además de la correspondencia entre lados, si determinamos la medida de los angula s correspondientes de los triángulo s anteriores entre encont raremos que miden lo mismo, es decir , son congruentes

Definicion:

Dos triángulos cuale squiera son semejantes si es posible establecer una correspond encia uno a uno entre sus vértices de manera que. los ángulos corre spond ientes son congruentes Y los lados correspondientes son propo rcionales Para indicar simbólicamente que los triángulos ó ABe y .6 DEF son semejantes, escribimos ti ABe

-

ti D1: F

• •

Pura: Profesores JI! Telesccu ndaria


La s relacio nes entre lados y ángulos correspondientes. que se derivan de la expresión

Ll A Be

-

Ll DEf

se obtienen de la siguiente manera: las dos prim eras (considerando ó letras del primer let ras del primer

•

letras del primer triángu lo con las dos primeras let ras del segundo triá ng ulo ABe como el primer triángulo y ó DEF como el segundo ) ~ las do s últimas triángulo co n las dos últimas letras del segundo triáng ulo ; la primera y la te rcer a tr iángu lo co n la primera y tercera let ras del segu ndo triángulo .

•

En cua nto a los ángulo s sería

,.,

,.,

6 A B~

6 Di[

t ---,-._ _--lI

t-+

H

t-+

Si tenemos ento nces que dado s dos tri ángulos MNP y T RS, A M NP - ti T RS pode mos afi rmar que:

A/N NP = TR ns

A.fP =~

rs

además

-< M " -<7". -<11' _ -
Criterios de semejanza

•

Aunque la definició n de triangu los semejantes establece seis co ndiciones para que dos triángulos sean semejantes, en algunos casos no es necesario probar las se is, pues el hecho de que se cumpla n t res. por ejemplo, implica que las otras autom áticament e se cumplen. Es asi co mo tenemos los siguientes criterios de semejanza

Para: Profesores ¡JI! Td/!!.l!C'III Jarw

•

De: A na C. Esquivei Fournier


40

1. A.A.A . (ángulo, ángu lo, án guln}

Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspond ientes congru entes

•

C'

e A'"-".L_

_

-.:§~

B'

B

< A = < A' , < B = < B' , < C _ < C'

=> t. ABC -

t. A' B' C'

2, LL.L. (lad o, lado, lado )

Si los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales, entonces los tri ángulos son semeja ntes. C'

C

--'>

L-

•

AB

~

•

A' R'

B

BC

AC

B'C'

A'l'

=~ =~

Para: Profesores (le Tetesecundaria

A ' L-- - - - --

<> t. ABC -

-----" B '

t. A'B' C'

De: Ana C. Esqu;"e/ Foumíer


3. L.A.L. (lado . ángulo. lad o)

Si do s trián gu los tienen do s lados co rrespo nd ientes proporcionales y los ángulos compre ndidos por esos lado s so n congruentes entonces los triángulos son semejante s.

e

A L---L

--" B

AB AC -=

DE

•

j'jf. '

ee-

Ó

ABe

óDEF

Thales de Milete ( 640-546 a.C, ) fue conocido como uno de los siete sabios de la antigua G recia . Llamado el padre del razonam iento deduct ivo. él intro dujo en Grecia el estudio de la

Geometr¡a. Fue matemático, maestro, fil ósofo, astrónomo, un suspicaz hombre de negocios y el primer geómet ra que probó sus teorías paso a paso . T bale s predijo correctamente un eclipse so lar en el año 585 a .C., y asombró a los egipcios cuando calculó la altura de la Gran Pirámide usando sombras y triángulos semejantes.

• •

Para: Profe sores de Tcíesecundaria

De: Ana C. E:'J.'quil·eJ Fournier


Teorema de Tila/es

"Si tres o más rectas paralelas intersecan do s rectas transversales, los seg mentos correspondientes determinado s sobre las rectas transversales. son proporcionales" .

• A

E

B

F

e

G

AE 11 BF /1 CG. I y

ni

son rectas transversales, entonces:

AB

EF

He

FG

=;;=

En la figura de la derecha tenemos que: A

1,

1 Y m son rectas tra nsversales

t, 11 Ir

11

B

E F

t,

• •

AH ; &'111

Be ;; 12cm

EF ;; 16C/11

FG ;; 24"111

/.,

e

G

/ Pura: Profesores de Telesecundaria

m

De: A na C. E!iqllivel Fou m íer


43

La razón entre AH

.

La razón ent re t.F

l'

l'

.

AH Be corresponde a =

8

Be =-12

EF FG

FG corresponde a =

16

=-24

.¡

=3

-1 3

=-

•

Co mo podemos observar las razones entre eso s segme nto s de recta so n iguales. por lo tanto los seg ment os de recta son pro porciona les. Por las propiedades de las proporciones algunas otras relacio nes que se pueden dar entre eso s segmentos de recta se detallan a continuación '

h

d

a

e

1,

a

1,

h

a e

d 1,

e d --a

h

-

1

Si llama mos a + b con e. y e + d con f . entonces podemos establecer tamb ién las siguientes proporciones

avb h

cs

a

e f o sea - = -

d

h

1,

d

1, Q Th

ó

a

- - =c -r d e (, 1

• •

Pura: P,.,,¡e..mres de Teíesecun durla

De: A na

e

E!Oquh·e{ Foumler


A manera de resumen podemos decir que las relaciones entre los seg mentos de recta que determinan dos rectas transversales en rectas paralelas. se dan en dos direcciones: una ho rizontal y otra ve rtical.

Vertical

H ariZ/JIIloI

• • h

d

t a b

-

b

- -e d

a

c -r d -a -b- b - d

-

e d

e

b a = e d

a

d b

= -

-a +h - - -c w-d e

a

A plicacián a problemas -E-7

-E-7

-E-7

A

1. En el dibujo de la derecha AH 11 CD II EF,

C

E ~ l,

11 Y 11 son transversales a las rectas anteriores.

Si CE

= Scm,

BD = 18em ,

,

DF = 9L'Jl1 . Encontrar la medida de AC . E AC

CE DF

~

• •

BD

AC 6 --- 18 9

D

F \

=>

=>

1,

AC =

18 . 6

- 9

=

-108 9

= 12

Respuesta: La medida de AC es 12 cm Pum: Prof eso res de Teíesecun daria

De: A na C. Esquiveí Fournier


45

Nata:

La anterior no es la única forrna de establecer la proporción. Pruebe con sus estudiantes otras proporciones que permitan resolver ese problema 2. Determine el valor de DE en la figura de la derecha

-- = 40cm, -Be = 32 cm .

o

sabiendo que AC

EF = 2-t cm

•

E

AC

DF

Be

FF

40

DF 24

DF

= 40 .24

===

~

F

960 DF = o ".

32

=:>

DF = 30

DE = DF - EF DE = 30- 24 DE = 6

Respuesta: DE mide 6 cm

Otra forma es averiguar primero la medida de AB ,lB -

AH -

=

,le - He

=

40

,1/1 =

'o - .,-

8

Seguidamente establecemos la proporción

ss

DE

Re

EF

===

• 8

DE 24

DE

8 ·2 4 DE=-

32

e>

192 DE = -

32

=6


•

Teor ema derivado del Teorema de Thales

"Un segmento de recta paralelo a un lado de untriángulo, determi na otro triángulo semejante al primero" A

•

D /-

DE // BC "" t>. ADE -

---"'E

8 '---------

- - -------' C

e

Aplicaciones 1. En la figura de la dere cha a)

Si MC

t>. ABC

= 20,

AC

M f----_~N

MN // AB .

A '-----

= 24, NC = 15

"'8

Calcule BC

Solución:

t>. ABC -

Co mo

24

•

-

•

24

20

""

t>.MNC

:=:::>

AC MC

=

AB MN

He

:--=-

NC

BC -15 15

=

20

HC

20HC = 360

Para: Profesores de Te íesecundariu

De: A"a C. Esquive! Fourn íer


"

360

BC

m

Be

~

20 18 •

2. Encontrar la altura de un árbol que proyecta una sombra de 4 m, sabiendo que a la misma hora una persona de 1,5 ro de estatura, proyecta una sombra de Ll m.

•

T

Solución:

• m

T 15m

1..

1.1 m

4m

Establecemos la proporción:

1,5

1,1

x

4

4 . 1,5

6 -

1, Ix

m

m

X

I.J x

Respuesta: La altura del árbol es 5,4 5 ro

=

5,4 5

B D

3. En la figura de la de rec ha Si

DE

~

AB m

ó

AD

12 em.

cm, AC

DE / / BC

~

~

•

8em

18em .

CL-- - -+- - - - " .A E

•

Enco ntrar la med ida de HC y CE

Para: Prtife,w 1'1!!; de Telesecundaria

De: A na C. E...quíveí Foem íer


..

Solución:

AB AD

~=

-128 -BC 6

=>

•

BC DE

~

=> 8 BC

=

BC

=

BC

=

BC

=

AB

12 . 6 12 . 6 8

72 8 9

AC

12 8

18

- =-

=AD =AE

AE

12 AE

=>

=

8 . 18 8 . 18 12

AE

=

AE

= -12

AE

=

144

12

E.C = AC - AE

• •

E.C

=

18 - 12

EC

=

6

Para: Profesores de Tele~cundaf'ia

De: A na C. Esquivd Foum íer


..

Tambi én EC puede calcularse mediante la proporción

AB AC -lJB =EC

DB = AB - AD

18 12 = = 4 EC

DB = 4

DB = 12 - 8

-

12 EC = 4 . 18

=>

tx:

=

EC

=

EC

~

4 . 18 12 72

12 6

Práctica:

M

l . Encontrar el valor de x y y en la figura adjunta, ti7QR sabiendo que ti MNP -

T

"

10

p

2. Carlos fue a un centro de fotocopiado y solicitó una ampliación de un mapa de Costa Rica. Si las dimensiones del original son 4 cm por 9 cm, determine el ancho de la ampliación sabiendo que el largo es 18 cm.

Para : Prtifesorn tk Tftoet,:llnJaria

lk: Ana

e

• •

E$qllil-e! Foumier


"

3. En el Il MNP , QR //

PM . p

= 12, QN = 4 Y

al Si PN

!vEN

= 24

lvfN

= 25

Encuentre NR .

•

= 15,

PQ Encuentre MR .

b) Si PN

=3 Y

R

= 6, QN = 4 Y

el Si I'Q

Encuentre d) Si QN

ML------''---- - - - -'''- N

NR

=7

Al A' .

= 8,

PN

= 18 Y

MR

=6

Encuentre NR 4. Si los segmentos de la figura de la derecha. tienen las longitudes indicadas,

¿ será

a)

Be 1/ DE ? Justifique su respuesta.

DF = 20

BF

= 16

= 30

Fe

= 25

FE

F

e

B

b)

DF

= 18

BF

=4

FE

=9

CE

=7

D

E

5. Tres lotes se ext iende n desde la Calle Chorotega hasta la Calle Boruca, según se muestra en la ilu stración. Los lindes latera les, son segmentos perpendiculares a la Calle Choroteg a. Si el frente total de los lotes en la Calle Boruca mide 180 m, encuentre la medida del frente de cada lote en dicha calle. Calle Boruca

• A

•

B

e

Calle Chorotega Para : Profl."S01'C.\ de Te íesecundar ía

De: Ana C. Esqui ve! Foumier


6. Para cada uno de los sigu ientes pares de triángulos, diga si los dos triángulo s son semeja ntes o no. En caso de que lo sean especifique el criterio de semej anza que justifica su respuesta .

bl

al

.

•

(.

w

e)

Itemes de selección 1. En la figura de la derecha

-

Si OA

(

)

= 20.

-

OH

AB / / lvfN .

= 16. ON = 11 . Entonces

DA! mide A

9.6

B

•

M

(

)

15

(

)

5

•

Pera: Profe.•wre.\ de Teiesecundaria


52

2. Sean los triángulos ABC y A'S 'C' semejantes. Si el ~

perímetro del 24 cm, y

-

A

AB e es 36 cm y el del Ó A' B 'e' es

R' C' ::;: 10 cm. entonces la medida de

-He

A'

es

•

•

(

)

86,4 cm

(

)

6,66 cm B

(

)

10 cm

(

)

15 cm

3. Si

ó DEF -

C'

B'

C

ó MNT entonces la medida del ángulo a corresponde a N

)

(

54" E

(

)

82"

(

)

90"

(

)

44"

a

M

F

O

4. Si los triángulos de la derecha son semejantes,

entonces el valor de r corresponde a (

)

24

(

)

16

(

)

4

%

, 6

(

)

25

• •

Para : Profesores de Teiesecundaria

De: Ana C. Esqu ível Foe mier


20

T

5. En la figura de la derecha el valor de y corresponde a .10

(

)

14

(

)

28

(

)

15

(

)

45

"

" •

6. El valor de x en la figura de la derecha es ,

m

(

)

(

)

2

(

)

5

(

)

20

>

,

"" m,

"

h

- 1

7. De acuerdo con losdatos de la figura, si MN 1/ AB. entonces -

la medida de AA! corresponde a

(

(

(

(

)

)

)

)

1'>-0

5

11

..

e

M

J

-60 11

7

N

s B

55 12

•

77

•

5

Para: PNife.\'I"l!.~ Je Telesecundaría

De: Ana C. Esc uivel Fournier


.

8. Las medidas de los lados de un triángulo son 36 cm. 42 cm y 28 cm respectivamen te. Si el lado mayor de otro t riángu lo semejante al anterior mide 63 cm, entonces el lado menor mide en centímetros

•

(

)

42 cm

(

)

63 cm

( )

54 cm

(

18,6 cm

)

9. De acuerdo con los datos de la f igura, si corresponde a

ó ABe

-

óDRE. entonces la medida de CE

e (

)

16

(

)

3

• E

" 3

(

)

12

A

D

(

)

4

B

8

10. En la f igu ra de la dere cha / 11/1 1/ /2, ento nces la medida de QS corresponde a

Para: Prof esores de Telesecundaria

De: A na C. E.r;qu;\·eJ Foemier


55

11. De acuerdo con lo s dato s de la figura. si .ó.. MNP mide

¡),. DEP

. entonces < m1P

(

)

70

N

(

)

68

~

(

)

72 M

(

)

•

D

P x

4"

70'

E

1". En la figura de la derecha

AB / / CIJ , ¿cual es la medida de AE ? B

( ) "O (

)

8 5

(

)

5

(

)

64 5

D

e 13. De acuerdo co n la figura de la derecha si AfN 11

sr

entonces el valor de x corresponde

a R

(

8

(

3"

,

M (

(

N

)

• 16

•

s Pura : Profesores de Tdesecu ndoria

,

T

De: A na C. Esquiveí Foem íer


56

14. Un árbol de 8 m de alto proyecta una sombra de 5.4 m. al mismo tiem po que la sombra de una persona es de 0,9 m . La estatura de la persona es

( )

0.8 1 m

)

1,33 m

)

1.20 m

)

1m

• (

15. En la figura de la derecha m // m) 11 mr , entonces la medida de AE corresponde a

) (

)

7,5

(

)

16

(

)

5

m

e 01:

01:

RESPUESTAS Ejercicio IVo. 1. Página 35

•

1.

a)

5

b)

I

3

¡ e)

3

a) No, porque las razones son diferentes e) Si, porque las razones son iguales

Pura: Profe.wTe., de Teiesecundaria

d)

4

e)

4

b) Si. porque las razones son iguales e) No, porque las razones son diferentes

¡le: Ano C. E.V¡U;l't'/ Fournier


"

3.

a) extremos 36, medios 36

b) extremos 60. medios 60

e) extremos 320. medios 320

d] extremos 360, medios 360

e) extremos 480. medios 480

•

4. Son iguales

Pr áctica: Página 50

y

1. x = 5

")

=

4

El ancho es 8 cm

3. al NR = 8

b) MR = 5

e)

MN = 17.5

d) NR

= 4.8

4. a) He noesporalela a DE b)

se

es pa ralela a DE

5. lote A mide 32.72m lote B mide -t9.09 lote e mide Q8 .18

6. al Si (L. L. L.)

b) Si (AA A)

e) Si (AAA)

/temes de selección . Página 52

• 1.

e

9.

e

10.

D

3. A

e

11. B

Para: Prof esores de Tdesecun daria

e

4. D

5. B

6. B

7.

I~

13 . B

14. B

15. A

D

lJe: A na C.

E\'qu;~'cd

8

A

Fourn ier


58

•

Blbll@grafia

•

/ ' Bolaños. G. y Rios. M. Matemática Acti va. Noveno A ño. 1 ed. San José, Costa Rica. Textos Modernos Cattleya . / Harley, Katherine. Prá ct icas de Matemática. 90 Año. 4a. edición . Alajuela. Producciones Acad émi cas Harley . / Meneses Rodríguez, Roxana Matemática Enseña nza-A p rendizaje 9 Año. 2 edició n. San José. Costa Rica . Ed iciones Farb en S.A. 1991 / ' Ministerio de Educación PUblica. Prueba de Tercer C iclo 98- 1. Fo rm ulario M-12

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Colombia. Editorial Norma. 1972

•

Para: Profesores de Teicsecunduria

De: AmI C. Esquiveí Foum íer


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Matenotitas~Noveno Estimados compañeros/as]: El presente documento tratara el lema "EI teorema de Pit ágoras" y triángu los especiales. ambos, temas de gran impo rtancia y utilidad. Espero que el doc umento sea de su agrado y le ayu de en su labor en el aula . Cualquier persona que haya estudiado álgebra o geometría ha o ído hablar del Teorema de Pit ágo ras. Este famoso teor ema es usado en muchas ramas de la Matemát ica. asi co mo en construcción, arquitect ura y mediciones Pit ágoras es generalmente co nsiderado como uno de los

grandes matemáticos griegos, pero se sabe muy poco acerca

Y THAG-~1

•

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de su persona Nació alred edor de año 582 a.C. y vivió primero en la isla de Sarnos, en el mar Egeo. y más tarde en el sur de Italia. Pitágoras y sus discípulos se dedicaron al estudio de la mate mática. la astronomía y la ñlosoña. Sus conocimientos de astro nomia fueron muy valiosos : en el siglo VI a.C. sabian que la tierra era redonda y que giraba alrededor del sol. No dejaron escritos de sus trabaj os. y nadie sabe có mo lograron obtener estos conocimientos , ni cuáles de sus de scu brimientos se debía n a Pitágoras mismo .

A ellos se les atribuye el haber convertido la geometria en una cie ncia. Demostraron el teorema de Pitágoras y descubriero n la existencia de los numeras irracionales. A pesar de que a este teorema se le dio nombre después de los matemáticos griegos, hay evidencia de él desde el tiempo de los bab ilonio s de Hammurabi . Qu izá el nombre es atribuido a Pitágoras porque el primer registro de pruebas escritas, proviene de su escuela

[ le: Ana C. E.o;qlli\'f:/ Fou rnier


os

Es importante recordar que el Teorema de Pitágoras se aplica en cualquier t riángulo rectángulo

Tri ángulo rect ángu lo es el que tiene un angula recto. Los lados que forman el ángu lo recto se llaman coletos y el lado op uesto al ángulo recto se llama hip otenusa, La hipotenusa de un triángu lo rectángulo es ad emás el lado de mayor longitud .

• m

e

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hipotenusa

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a

n

b

catetos

a y h so n ca tetos e es la hipotenusa

m y 11 son careros p es la hipotenusa

Co mo la suma de los ángu los internos de todo triangu la es 180°. entonces los ángulos agu dos de

un triángulo rectángulo son complementarios. es decir la suma de ellos es 90°.

'-"'

--"' Q--o:"

Para: Prflj (!.\f'''''·!i tú: Td csecun daria

•

De: Ana e Esquiveí Fo emier


70

Teorema de Pit ágoras .. En todo triángulo rectángulo. el cuadrado de la longit ud de la hipotenusa es igu al a la suma de los cuadrados de las lo ngitudeas de los catetos",

e

a

b

En la siguiente ilustración se presenta de una manera intuitiva este teorema, Al final de este documento encuentra la cuadricula para que lo trabaje con sus estu d iantes.

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Para : Profesores de Telesecundu ria

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De : Ana e E.'i,/uiw!l Foum ier


11

Si contamo s los triángulos en los cuadrados a y b. los catetos del triángu lo rectángulo. observará que hay 8 en cada uno. El cuadrado en la hipotenusa de l triángul o. e, contiene 16 triángulos. Se piensa que los babilonios usaron este patrón como una prueba del Teorema de I . P·nagoras .

•

Ej ercicios resuelto»

/ ' En un triángulo rectángulo un cateto mide 4 cm y la hipotenusa mide 8 cm . Encontrar la med ida del otro cateto

Por el Teorema de Pitágoras se cumple que

x=

+ 4'

. x'

= 8'

+ 16

=

64

x'

=

-

16

.

64

x'

= 48

x

=

,

,

•

.J4s

x

= ~2 ~ . 3

x

=

4J3

x = 6,93

ó

R" .\PUt·SIO: La medida del ot ro cateto es 6,93 cm .

•

' T0 rnado ' [......... oe : "u' o .

,

~"

.•••..

~-

---, •• o.,.-.. , ; --,.. . , . ~.

Tr:l du ccion '. uore.ace. I. ~

Para: Profotm:s de Teíesecundaríu


12

. / Determ inar la longitu d de la diago nal de un rect ángulo cuyas dime nsione s son 16 ro de largo y 12 ro de ancho.

Por el teorema de Pit ágoras sabernos que d

d'

~

d'

~

16'

•

"

12: 16

256 + 144

d' = 400 d

~

d

~

,/400 20

Respuesta: La diagonal del rect ángulo mide 20 m.

/ ' Una escalera de 12 m de longitud se encue ntra reco stada a una pared que es perpend icular al suelo. Si el pie de la escalera se encuentra a 5 m de la pared. ¿ que altura alcanza la escalera en la pared?

Por el Teorema de Pit ágora s sabemos que

x' + 5: x2 + 25

x' x'•

122

~

-

=

144

~

119

-

25

,

x =

,Ji19

x

10.90

~

144

Respuesta: La altura que alcanza la escalera en la pared es de 10,90 m. Para: Profesores de Telesecunda ria


73

/" Enco ntrar la medida del lado de un cuadrado cuya diagona l mide 7

J2

cm

Por el Teorem a de Pitágoras se cumple que ,

,

x· + x' 2 x~

~

:2 x=

~

.

x· =

~

49 . 2

•

x

98 98 2

,

49

x'

x

( 7.fi )'

~

J49

x = 7 Respuesta: El lado del cuadrado mide 7 cm.

Ejercicio 1\'0 , 1

l . En cada uno de los sigui entes casos , encuent re el valor de la incógnita. para el triángulo de la derecha

a) b) e) d) e) t)

Si Si Si Si Si Si

a = 12 )' b = 16. entonces e = ') a = 14 Y c = 25, entonces b = ') a = l Y b = 2, entonces e = ? b = 18 Y e == 20, entonces a :. ? a = 7 Y b = 7, entonces e = ? a = 6 Y e = 12, entonce s b = ?

, • b

•

Para: Profeso res de Teíesecu ndar ía

De : A na C. Esq u lvel Foum íer


.,

Una persona cam ina 6 kilómetro s hacia el norte, después 3 kilómetros hacia el este y, luego, 4 kilómetro s hacia el sur. ¿A que distancia está del punte de pan ida?

3. Los lados de un triángu lo miden 6 cm, l O cm y 12 cm, respecti vamente ¿ E s este un triángulo rectángu lo? ¿ Si lo es, cuál de los lado s es la hipotenu sa? 4, ¿ Cuales de los sigu ientes conju ntos de numera s podrian ser las longitudes de los lados de un

•

triángulo rectángulo? a) 30, 40, 60

b) 16, 30, 34 e) 10,24,26

Nota : Se conoce como l em a p itagórica a un co njunto de tres números que satisfac en el teorema de Pitágo ras.

5. ¿ Cuáles de las sig uientes temas de números co nst ituyen una tema pitagórica?

al 8, 15.1 7 b) 7,10. 13 9, 12.15

el

6. El lado de un rombo mide 10 cm. Si la longitud de una de las diag onales es 12 cm, determinar el área del ro mbo. 7. En la figur a de la derecha AS 1/ De . Si los segmentos tienen las longitudes indicadas en la figu ra, determine el área del trapecio .

10

17 h

A'---.,.--J,----- - - - - - ,..,. • E •

8. Determine la longitud de la diagonal de un cuadrado sabiendo que su lado mide

a)

9 cm

b)

,f6 em

Pura: Profesores tIt· Tde.\ ,·,·u nt/ur;u


7

9. El triángulo de la derecha es equilátero. Si la longitud de cada lado es 10 cm. i. cuál es la longitud de la altura co rrespondiente a AB ? ¿ Cuál es el área del Ó ABe ?

e

'" A L-_---'-J_

•

----" B

Teorema de la altura

«En to do triángulo rectángu lo, el cuadrado de la longitud de la altura sobr e la hipotenusa es igua l al producto de las lo ngitudes de los segmentos que esa altura dete rmina sobre la hipot enusa"

;a

! "'V l'

Este teorema tam bién puede enunciarse asi:

"En un triángulo rect ángulo la alt ura sobre la hipotenusa es media proporcional entre las medidas de los dos segmentos que esta altura determi na sobre la hipo tenusa"

-ax

ra

a ;

v

a'

;

t ie: A"a

e

~

xy

•

,

"'V . Para: Prof esores (1e Teiesecu ndaria

E.\l{ui~"e1 Foumier


"

Ejercicios resueltos

/ ' En un triángulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa la divide en dos segmentos cuyas medidas son 25 cm y 5 cm. Determine la medida de esta altura.

s as

a

,-

a'

~

5

a'

~

125

a

=

a

~

. )

.,/125 5

.J5

11,18

Ó

Respuesta: La medida de la altura trazada sobre la hipotenusa es 11 ,1 8 cm

./ La altura trazada sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, determina en ella dos segmentos cuyas longitudes son 9 dm y 16 dm. Determine la longitud de cada cateto.

x'

= 9·

,

x:

•

~

144

x

~

.fi44

x

~

12

~

b'

~

" x

+ 9'

x'

,

1 2~

+ 9'

a'

=

.

a'

b'

22 5

a'•

b =

__o .fi2s

a

~

b

15

a

=

~

x' + 16'

a' = 12:: + 16'

b' = 144 + 8 1 ~

b

a

,

b'

,

16

~

=

144 + 256 400 .,/400 20

Respuesta: Los catetos mid en 15 dm y 20d m. Para: Prof esore... de T'eiesecundaria

/JI!: Ana

e

E...qUil'l!! Foum íer


ro

[temes de seleccion

1. Si la longitud de la diagonal de un cuadrad o es 1;

·/ 2 cm entonces el área de ese

cuadrado corresponde a ( (

15 )

60

(

225

(

30

2. ¿ Cua l de las siguientes ternas de números es una terna pitagórica?

-

(

)

' 1. ....

)

(

)

4. 4

J17 .

(

)

,-. o., 12

)

6. 8. 24

16

, .' . El valor de la d iago nal x del trapecio de la derecha co rresponde a

(

)

12 144

(

(

)

2,/7

(

)

28

Para: Prof esores

I/~

Teiesecundarla

...f(;?

9

•

De: A mI

c:

Esq u ívet Foum ier


7'

4. Si el area del triángulo adju nto es de 30 m: >entonces la hipotenusa mide

(

)

(

)

l~

(

)

13 m

(

)

17 m

,~

6m m

•

h

5. De acuerdo con los dato s de la figura. si el área del trapecio es de 14 cm::! entonces la altura " a ,. mide 2a

(

)

2 cm

(

)

J'i cm

(

)

4 cm

¡I:a ~

•

5a

(

6

)

~5"

cm

La altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide 20 cm es igua l a

(

)

20 ,ÍJ cm

(

)

10

(

)

JO./5

(

)

JO,ÍJ

•

Para: Profesora.. ,J..' Tdesecundaria


~

~

7. Si la lo ngitud de la diag onal de un cuadrado es 50 dm, entonces el per ímetro del cuadrado es

(

)

1 ~SO

200

(

•

( ) s 000 (

8

)

100 n

El va lor de "o " en la figura adjunta co rresponde a

(

)

64

(

)

8

(

)

20

(

)

40

\6

•

9. La suma de los lados congruentes de un triángulo isóscele s es 12 cm . Si la medida del lado desigual es 8 cm, entonces la lo ng itud de la a ltura sobre ese lado es igual a

(

)

20 cm

(

)

4,{5

cm

(

)

2 ..[5

cm

(

P,"II :

10cm

Prof esores de Tdcsccunduria

•

De : Ana

e

E.\f/uíw!l Fou mier


80

10. La diago nal mayor de un rombo mide 24 dm y la d iago nal menor 10 dm Entonce s el lado de ese ro mbo mide

(

13 dm

(

17 dm

• (

)

26dm

(

)

60 dm

11. La a ltura de un triángulo equilátero cuyo lado mid e 8

(

)

4 ,fi cm

(

)

12 cm

(

)

4

(

)

4cm

J6

J3

cm es igual a

cm

129 cm

12. El lado de u n rombo mide centímetros la otra diag onal?

y una de sus diag onales mide 4 cm. ¿Cuánto mide en

,-

(

)

"'

(

)

5

(

)

50

(

)

10

Puru : Profesores de Telesec un daria

D/!: A mI e Esquivet Fournier


•

Tri ángulos especiales Si trazamos una de las diagonales de un cuadrado este queda divid ido en dos t riángu los rectángulos. Como las diagonales de un cuadrado son bisectrices de los angulas entonces cada uno de los nuevos ángulos mide 45°. Tenem os ento nces la siguiente situación: •

I

I

d

I

Cada uno de los cateto s del triángu lo rectángulo anterior corresponde al lado del cuadrado .

Mediant e el Teo rema de Pitágor as podemos calcular el valor de la diagonal de un cuadrado en términos del lado.

Al triá ngulo anterior se le conoce como el t riángulo 45-45 -90 o más sim ple 45-45. Debemos recordar que éste es el tri ángul o rectángu lo cuyos catetos tienen la mi sma longitud y cuy a diagonal es igual a la longitud del lado multiplicado por

PaNI: Irofesorcs (le Teíesecu ndoría

J2 .

De: Al/u C. Esquivet Foem íer


82

Otro de los triángulos especiales es el que se forma al traza r la altura de un triángu lo equilá tero

•

Co mo en un triángulo equilátero la altura es también bisectriz, ento nces el ángulo del cual ésta parte y que por ser un triángulo equilátero mide 60°, queda dividido en dos ángulos congruente s de medida 30° cada uno. Por otro lado como la altura es también media na. entonces el lad o sobre el cual cae. queda dividido en d05 segmentos co ngruentes.

Q

I

:

. f

Podemos encontrar la altura de un triángulo equ ilátero en función de su lado aplica ndo el Teorema de Pitágoras, así:

el

f -

l' 4

41' - l' 4 PUTa:Profesores J(. Telesecundaria


,1

=

a

3/2 4

~ " 4

¡

a

•

-o J3

No/a :

Al triá ngulo anterior se le conoce como el triángulo 30-60-90 o más simple 30-60 . Debemos recordar que este es el triángulo rectángulo cuyos catetos miden. uno la mitad de la hipotenusa y el otro la mitad de la hipotenusa multiplicado por ·/ 3. Si bien es cierto que es importante recordar estas fórmulas porque pueden facilitarnos la resolución de problemas, es más importa nte recordar de dónde salen. pues aunque se olviden sabriamos cómo volver a obtenerlas.

Ejercicios resueltos:

,,,-' Determine la longitud de la diagonal de un cuadrado. si su lado mide 8 cm.

Ya anteriormente se resolvieron algunos problemas similares aplicando el Teorema de Pitágoras. Vamos a resolverlo ahora aplicando la fórmula

I~

d

¡ .Ji

d

8.Ji Respuesta: La diagonal del cuadrado mide 8

Para: Profesores de Teíesecundaria

Ji

cm.

De: A na e Esquivet Fo urnier


.

/~ La medida de cada uno de los lados de un triángul o equ ilátero es 10 dm. Determine la

medida de la altura .

I = JOdm

a =

•

a

~

a

~

a

-

?

-,I 13 10

2 13 .

". (i, Respuesta: La altura del triángulo mide

sJ3

dm

Itemes de selección

1. La altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide 30 cm es igual a

(

)

JO 13 cm

(

)

15

(

)

JO cm

(

13 cm

45 cm

Pura: Prof nt,rn JI' T'desecenduria

De: A na e Esqlli Pf!l Fo em íer


.

')

Si en un triángulo rectángulo isósceles uno de los catetos mide 4 medida de la hipoten usa es

( )

8,fi

(

8

)

(

../2

dm, entonces la

•

16

3. Si la medida del perimetro de un cuadrado es 64 m, entonces la longitud de la diagon al es

( )

64,fi

( )

8,fi

( )

16 ,fi

(

128

)

4. Determine el valor de x en la figura de la derecha 6

(

",.

3

(

(

. CS0 ~'

,'

)

6

( ) ,f3

Puru: Profesores tit' Teiesecunduria


.

4. Si el perímetro de un triángulo equ ilátero es 30 cm, en to nces el área d e dicho triángu lo es

•

( )

10 '¡;' em'

( )

25 '¡;' em'

( )

50'¡;' em'

(

50'¡;' em'

)

Respuestas Ejercicio No. 1, p ágina 74

1.

a)

c = 20

d)

a

= 2 .JJ9

b)

b

~

el

e

= 7 12

7

2.

6,7 km

3.

No es un triá ngu lo rectángulo

4.

a)

No es tr iángu lo rectángulo

b)

Si es triángulo rectángu lo

e)

Si es triángul o rectángulo

a)

Si forman una te rna pitagórica

b)

No forman u na terna pitag órica

e)

Si forman u na terna pitag órica

-., 6.

96 cm:::

7.

El área del trapecio es 17'2

Para: Pro/estire., de Teíesecundaria

e)

e ~

J5

De: Anl1 e Esquivel Fo umier


8

9

9.Ji

a)

b)

z Ji

La altura es 5 J3 cm y el área 25 ../3 cm'

•

/temes de seleccián, página 78

1.

e

,

b

3.

a

4.

e

5.

a

6.

d

7.

d

8.

b

9.

e

JO.

a

11.

b

12.

d

Itemes de seteccl án, p ágina 85

1.

b

2.

e

3.

e

4.

a

5.

b

Bibliografia

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HITa: Pmje.wre.\ de Teíesecundaria

De: A na e Esquive! Foum icr


88

•

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,. Clasificación de un triáng ulo conociendo la medida de sus lados

• Un triángulo es rectángulo cuando el cu adrado del lado mayor es igual que la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

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el triángulo es rectángulo

Un triángulo es ac u tán g ulo cuando el cuadrado del lado mayor es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

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De: Ana C. Esquive! Fowner


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Un triángulo es oblusángulo cuando el cuadrado del lado mayor es mayo r que la suma de los cuad rados de los otros dos lados.

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Material de apoyo para docentes

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