MODUL 1
INTEGRAL
Sekilas Info Orang yang pertama kali menemukan integral tertentu adalah George Friedrich Bernhard Riemann, seorang Matematikawan asal Jerman yang lahir pada tahun 1826. Riemann menjelaskan integral tertentu dengan menggunakan luas daerah yang dihitungnya menggunakan poligon dalam dan poligon luar. Untuk mengenang jasanya, integral tertentu tersebut dinamakan integral Riemann. Riemann meninggal pada tahun 1866. Sumber : Calculus and Geometry Analtic.
Standar Kompetensi : Memahami integral tak tentu dan integral tentu fungsi aljabar dan trigonometri
Kompetensi Dasar :
Menggunakan konsep, sifat dan aturan dalam perhitungan integral tak tentu dan integral tentu
Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar
2
BAB I.
PENDAHULUAN
A. Deskripsi Dalam modul ini Anda akan mempelajari penyelesaian integral tak tentu dan integral tentu fungsi aljabar dan trigonometri, menghitung integral dengan metode subtitusi dan integral parsial, menghitung luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva dan menghitung volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat. B. Prasyarat Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai konsep diffrensial fungsi aljabar dan fungsi trigonometri serta siswa mampu menggambar grafik suatu fungsi pada bidang koordinat. C. Petunjuk Penggunaan Modul Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut: 1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya. 2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah,
kemudian
tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan. D. Tujuan Akhir Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat: 1. Menentukan penyelesaian integral tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri. 2. Menghitung integral tentu fungsi aljabar dan trigonometri 3. Merumuskan integral tentu untuk luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan menghitungnya. 4. Merumuskan integral tentu untuk untuk volum benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat dan menghitungnya.
3
BAB II.
PEMBELAJARAN
1. Kegiatan Belajar 1 a. Definisi : Jika F(x) adalah fungsi yang bersifat F’(x) = f(x), maka F(x) merupakan antiturunan atau integral dari f(x). atau dengan kata lain ntegral merupakan operasi balikan (invers) dari diffrensial. Integral tak tentu a. Defnisi Integral tak tentu :
f ( x)dx F ( x) C F ' ( x) f ( x) , dimana c adalah konstanta
b. Teorema Pengintegralan
Teorema 1 Jika k merupakan suatu konstanta maka
k dx kx C ;
C = konstanta
Contoh 1.1 1. 5 dx 5 x C 2.
2 dx 2x C
3.
dx x C Teorema 2 Jika n merupakan bilangan rasional dan n 0, maka dimana
C = Konstanta
x
n
dx
1 n 1 x C , n 1
4 Contoh 1.2: 1.
x
2.
4
5
dx
1 51 1 x C x6 C 5 1 6 3 4
x dx x dx 3
3
3.
x 3
x4
1 4 1 x C 3 1 4
1 7 4
7 4
x C
dx x
1
4 3
1 3
x
4 4 3 x. x C 7
dx dx 1
1 1 3 x C 1 3 1 2 3
1
33 2 x C 2
2 3
1
x C
Teorema 3 Jika f (x) adalah suatu fungsi yang terintegralkan dan k adalah konstanta maka
k. f ( x) dx k f ( x) Contoh 1.3 : 1. 3t 3 dt 3 t 3 dt
1 3 1 3 t C 3 1 3 t4 C 4
5 3
5 3 5 2. x dx x 2 dx 2 2 3 5 1 2 1 3 x C 2 2 1 5 52 x 2 C 25 x2 x C
Teorema 4 Jika f (x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang terintegralkan maka
f ( x) g ( x)dx f ( x) dx g ( x) dx Contoh 1.4: 1.
x
2
2 x 1dx x 2 dx 2 x dx dx
1 3 2 x c1 x 2 c 2 x c3 3 2 1 x 3 x 2 x C; c1 c 2 c3 C 3
2.
x 1 x 1 x 1 dx 2 2 dx 2 dx 2 dx 2 x x x x x
3 2
x dx x 2 dx 3
1 1 1 3 x 2 x 21 C 2 1 2 1
2 x
3.
2 x
1 2
2x 4 dx 4x 2
x 1 C 1 C x 2
16 x 16dx
4 3 16 2 x x 16 x C 3 2 4 x 3 8 x 2 16 x C 3
6
Teorema 5 Teknik Integral subtitusi Jika u(x) suatu fungsi yang dapat didifrensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol, maka u x .nu ' ( x)dx r
n ux r 1 C dimana C adalah konstanta dan r - 1. r 1
Contoh 1.5 : 1.
6 x x 2
3
8
4 dx
Misalkan :
u x x 3 4 du 3x 2 dx du 3 x 2 dx 2du 6 x 2 dx
maka
8
2 3 3 2 6 x x 4 dx x 4 6 x dx 8
u 8 .2du 2 u 8 du 1 2 u 9 C 9 9 2 x3 4 C 9
2.
x 1x
2
2
2 x 9 dx
Misalkan :
u ( x) x 2 2 x 9 du 2x 2 dx du (2 x 2)dx 1 du ( x 1)dx 2
7 maka
x 1x
2
2 x 9 dx u 2 2
1 du 2
1 2 u du 2 11 u3 C 23 1 u3 C 6 3 1 x 2 2x 9 C 6
3.
x
3
12 x 2 dx dx x 3 x 2
1
1 2
Misalkan : 1
u x x 2 2 1
du 1 2 x dx 2 1 1 du x 2 dx 2
1 2
2du x dx
maka :
x
u 3 2du 2 u 3 du 1 2 u 2 C 2 2
1 x 2 2 C 1 C 2 x 2
3
12 x 2 dx dx x 3 x 2
1
1 2
8
4.
10 4 x
10 4 x
x 2x 3 dx x 3
3
2
5x 6
dx
10 4 x
x
2
5x 6
1 3
dx
Misalkan : u x x 2 5 x 6 du 2x 5 dx 2du (4 x 10)dx
maka :
10 4 x
x
5 x 6 2du
1 3
2
dx
1
u3
1 3
2 u du 3 23 2 u C 2 3x 2 5 x 6 3 C 2
3 3 x 2 5 x 6 C 2
Teorema 6a Teknik Integral Parsial Jika u(x) dan v(x) fungsi-fungsi yang dapat didifrensialkan, maka
u dv uv v du Contoh 1.6a : 1.
x 5x 7
dx
9 Misalkan : ux du 1 du dx dx dv 5 x 7 2 dx
1
v dv v 5 x 7
1 2
dx
1 1 1 5 x 7 2 1 C 1 5 2 1 1 1 25 x 7 2 C 5 1 2 5 x 7 2 C 5
maka : x
5x 7
dx udv uv v du 1 1 2 2 x 5 x 7 2 c1 5 x 7 2 dx 5 5
1 3 2x 5 x 7 2 c1 2 1 2 5 x 7 2 c2 5 553
1 3 2x 5 x 7 2 c1 4 5 x 7 2 c2 5 75 2 2 5 x 7 x 5 x 7 C ; c1 c 2 C 5 15 2 10 x 14 5x 7 x C 5 15
2 15 x 10 x 14 5x 7 C 5 15 2 5 x 14 5 x 7 C 75
10 2.
x
7 x 8 dx
Misalkan :
ux du dx dv 7 x 8 2 dx 1
v 7 x 8 2 dx 1
3 12 7 x 8 2 C 73 3 2 7 x 8 2 C 21
maka :
x
7 x 8 dx udv uv vdu 3 3 2 2 x 7 x 8 2 c1 7 x 8 2 dx 21 21 3 5 2x 7 x 8 2 c1 2 1 2 7 x 8 2 c2 21 21 7 5
2 x 35 7 x 8 C ; c1 c 2 C 3 35 x 14 x 16 2 7 x 8 2 C 21 35 3 2 7 x 8 2 21x 16 C 735
3.
2x 5
Misalkan :
3 2 7 x 8 2 21
5x 2 dx
u 2x 5 du 2dx dv 5 x 2 2 dx 1
v 5 x 2 2 dx 1
3 12 5 x 2 2 c 53 3 2 5 x 2 2 c 15
11
2x 5
5x 2 dx udv uv vdu 3 3 2 2 2 x 5 5 x 2 2 c1 5 x 2 2 2 dx 15 15 3 5 2 4 12 2 x 55 x 2 2 c1 5 x 2 2 c 2 15 15 5 5
3 2 5 x 2 2 2 x 5 2 5 x 2 C 15 25
3 2 5 x 2 2 50 x 125 10 x 4 C 15 25 3 2 40 x 1215 x 2 2 C 375
Teorema 6b Teknik Integral Parsial Jika u(x) dan v(x) fungsi-fungsi yang dapat didifrensialkan, maka u dv d:apat diintegralkan dengan metode : u(x)
dv
(fungsi u(x)didiffrensialkan)
(fungsi dv diintegralkan)
....................... ....................... ....................... ....................... 0
....................... + ....................... – ....................... + ....................... – ....................... dst
Contoh 1.6b 1.
xdx 2x 1
x2 x 1 2 dx udv
1
Misalkan :
ux dv 2 x 1 2 dx
x (didifrensialkan)
1
2 x 1 2 dx 1
(diintegralkan)
1
0
2 x 1 c
+
1 2 x 1 2 x 1 c – 3
12
xdx
2x 1
x 2x 1
1 2 x 1 2 x 1 C 3
1 2 x 1 x 2 x 1 C 3 1 x 1 2 x 1 C 3 2.
x
2
6 3x 5dx udv
x
2
6
3x 5 dx 3 2 3x 5 2 c 9
2x
5 4 3x 5 2 c 135 7 8 3x 5 2 c 2835
2 0
x
2
3 5 7 2 2 8x 3x 5 2 16 3x 5 2 C x 6 3x 5 2 9 135 2835 3 2 4x 3x 5 8 9 x 2 30 x 25 C 3x 5 2 x 2 6 9 15 315
6 3x 5dx
2 2 2 3 2 3x 5 2 315 x 1890 252 x 420 x 72 x 240 x 200 C 9 315
3 2 135 x 2 432 x 2090 3x 5 2 C 2835
13
Teorema 7 Teknik Integral Fungsi Trigonometri
cos x dx sin x C 2. sin x dx cos x C 3. sec x dx tan x C 4. cot x. cos ec x dx cos ec x C 5. tan x .sec x dx sec x C 6. cos ec x dx cot x C
1.
2
2
7.
cosax b dx a sin ax b C
8.
sin ax b dx a cosax b C
1
1
1 n 1 9. sin n x dx sin n 1 x. cos x sin n 2 x dx n n 1 n 1 10. cos n x dx cos n 1 x.sin x cos n 2 x dx . n n
Contoh 1.7 :
x 1. sin dx 6 6 1 x 1 cos C 6 6 6 x 6 cos C 6 6 2.
cos
2
xdx
cos 2 x 1 sin 2 x ..........*) cos 2 x 1 2 sin 2 x 2 sin 2 x cos 2 x 1 1 1 cos 2 x. ...... * *) 2 2 dari persamaan * dan * * maka : sin 2 x
1 1 cos 2 x 1 cos 2 x 2 2 1 1 cos 2 x 2 2
14 Maka
cos
2
1 1 xdx cos 2 x dx 2 2 1 1 1 x . sin 2 x C 2 2 2 2 x sin 2 x C 4
3. sin 5 x cos x dx Misalkan:
sin
5
u sin x du cos x dx
x cos x dx u 5 du 1 u6 C 6 1 sin 6 x C 6
sin x. cos x
1 sin x
4.
2
2
dx
Misalkan :
u 1 sin 2 x du 2 sin x cos x dx 1 du sin x. cos x dx 2 1 du sin x. cos x 1 2 dx u 2 du 2 2 u 2 1 sin 2 x 1 1 u 1 C 2 1 C 2 1 sin 2 x
5. sin 3 x dx
sin
3
x dx sin 2 x sin x 1 cos 2 x sin x
15 Misalkan : u cos x du sin x dx du sin x dx
sin
3
x dx sin 2 x sin x 1 cos 2 x sin x
1 u 2 du 1 u u 3 C 3 1 cos 3 x cos x C 3
6.
sin x
dx x Misalkan :
u x 1 12 du du du x dx dx dx 1 1 2 1 2 2 x 2 x dx 2du x dx 2u.du sin x sin u x dx u 2udu 2 sin u du
2 cos u C 2 cos x C
Integral Tentu Definisi : b
Integral tentu :
f ( x)dx F (b) F (a) a
Teorema yang digunakan untuk menghitung integral tentu sama teorema yang pada integral tak tentu di atas.
16 Contoh 1.8 : 5
1.
3dx
1
3x 1 5
3(5) 3(1) 18 3x 3 2 x 4 2. dx (3 2 x 2 4 x 3 )dx 3 x 1 1 4
4
4
2 2 3x 2 x x 1 2 2 3(4) 31 2 2 4 16 1 1 12 3 2 8 72 4 1 8 75 3 9 8 8
2 x 4x 2
3.
2
3
4 x 8 dx
1
Misalkan :
u x 2 4x 8 du (2 x 4)dx maka 3 2 2 x 4 x 4 x 8 dx u 3 du 2
2
1
1
2
4 1 x2 4x 8 4 1
1 4 8 84 1 1 4 84 4 4 81 64 4 256 81 4 175 3 43 4 4
17 2
4.
2 sin x
3
cos x dx
0
Misalkan:
u 2 sin x du cos x dx du cos x dx
2
2
0
0
3 3 2 sin x cos x dx u du
1 42 2 sin x 4 0 1 2 14 1 2 04 4 4 15 4
5.
x cos x dx 0
x
cos x dx
1
Sinx
0
– cos x
x cos x dx x sin x cos x
0
0
sin cos 0 sin 0 cos 0 1 1 2
18 Rangkuman 1 1. Teorema pengintegralan a. fungsi konstan k dx kx C , k dan C adalah konstan 1 n 1 x C , n bilangan rasional dan n 1 n 1 c. Perkalian konstan dengan fungsi k. f x dx k f x
x
b. pangkat
n
dx
f x g x dx f x dx g x dx e. pengurangan dua fungsi f x g x dx f x dx g x dx 1 f. Teknik integral subtitusi u x u ' x dx ux C n 1 g. Teknik integral parsial u dv u.v v du h. cos x dx sin x c i. sin x dx cos x c d. penjumlahan dua fungsi
n 1
n
2. Integral tentu dari fungsi f(x) pada interval a, b adalah
b
f x dx a
Tugas 1 1. Tentukan integral berikut : 2
1
a.
x 3 dx
f.
b.
5x
g.
x
h.
x
i.
x sinx
j.
4
dx
4 x 6 3x 5 8 c. dx x5 d.
x 4 x
3
dx
1 1 e. 2 1 x x
2
dx
2. Tentukan fungsi f(x) jika diketahui a. f ' x 5x 2 2 x dan f 0 2 b. f ' x x 2 3x 2 6 x dan f 2 1 1 c. f ' t dan f 3 18 t 1 1 d. f ' t 2t 1 dan f 1 2
x 1 x
3
dx
4 x 1 dx 2
1 x dx 2
1 dx
sin x 1 cos x
dx
19
3. Hitunglah integral berikut : 2
a.
0
x2
3
9 x
2 3 3
dx
f.
cos
5
x sin x dx
0
1
b.
x 2
2
x 1 dx
g.
cos 5x sin x dx 0
0
2
4 tan 2 x sec 2 x dx
c.
h.
x dx
2
2
2 cos 3x cos x dx
i.
sin
0
0
2
e.
3
0
0
d.
cos 6
x dx
2
2 sin x cos x dx
j.
0
cos
5
x dx
0
2. Kegiatan Belajar 2 Aplikasi Integral Tujuan Pembelajaran : 1. Menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva 2. Merumuskan integral tentu untuk luas daerah dan menghitungnya 3. Merumuskan integral tentu untuk volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap bidang koordinat dan menghitungnya
a. Menghitung Luas Daerah Teorema 1 Luas daerah diatas sumbu-x Jika daerah R adalah daerah yang dbatasi oleh kurva y f x , sumbu-x, garis x = a dan garis x = b dengan f x 0 dan kontinu pada selang a x b , maka luas daerah R adalah : b
L( R) f x dx a
20
Contoh 2.1 : 1. Luas daerah yang dibatasi kurva f x 4 x 2 , sumbu-x garis x = 0 dan garis x = 1
Jadi luas daerahnya adalah 3
2 satuan luas 3
2. Luas daerah yang dibatasi kurva y 5x 4 , sumbu-x, garis x = 0 dan garis x = 2 2
LR 5 x 4 dx
y= 5x + 4
0
4 +
2
5 x 2 4 x 2 0
R
5 2 5 2 42 0 40 2 2 10 8 18
0
+ 2
Jadi luas daerahnya adalah 18 satuan luas
Teorema 2 Luas daerah di bawah sumbu-x Jika daerah S adalah daerah yang dbatasi oleh kurva y f x , sumbu-x, garis x = a dan garis x = b dengan f x 0 dan kontinu pada selang a x b , maka luas daerah S adalah : b
L( s) f x dx a
21 Contoh 2.2 Luas daerah yang dibatasi kurva y
1 x 2 , sumbu-x, garis x = 4 dan sumbu-y. 4
-
Jadi luas daerahnya adalah 6 satuan luas
Teorema 3 Jika daerah T adalah daerah yang dbatasi oleh kurva y f x , sumbu-x, garis x = a dan garis x = c dengan f x 0 pada interval a x b , dan f x 0 pada interval b x c maka luas daerah T adalah : b
c
a
b
L(T ) f x dx f x dx
Contoh 2.3 Luas daerah yang dibatasi kurva f x sin x, 0 x 2 dan sumbu-x
Jadi luas daerahnya adalah 4 satuan luas
22
Teorema 4a Jika daerah U adalah daerah tertutup yang dbatasi dua kurva yaitu y1 f x dan y 2 g x , garis x = a dan garis x = b pada interval a x b , maka luas daerah U adalah : b
b
b
a
a
a
L(U ) f x dx g x dx f x g x dx
Contoh 2.4 : Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva f x 4 x 2 , garis x = 0 dan garis y = 1 Tentukan batas pengintegralan dengan cara mencari titik potong kedua kurva y 4 x2 y 1 0 3 x2 x2 3 x 3
karena daerah dibatasi oleh garis x = 0 maka batas pengintegralan yang diambil adalah x 0 dan x 3 . LU
3
y
1
y2
0
4 x 1dx 3
2
0
3 x dx 3
2
0
1 3x x 3 3 0
3
3 0
1 3 3 3
3
2 3
Jadi luas daerahnya adalah 2 3 satuan luas
23
Teorema 4b Luas daerah antara dua kurva yang saling berpotongan f(x)
di dua titik adalah
L
D D 6a 2
g(x) a
b. Menghitung Volume Benda Putar Teorema 5 Jika daerah R adalah daerah yang dbatasi kurva y f x , sumbu-x, garis x = a dan garis x = b dengan a b jika daerah R diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o maka volume benda putar tersebut adalah : b
V f x dx 2
a
Teorema 6 Jika daerah S adalah daerah yang dbatasi kurva x f y , sumbu-y, garis x = a dan garis x = b dengan a b jika daerah S diputar mengelilingi sumbu-y sejauh 360o maka volume benda putar tersebut adalah : b
V f y dx 2
a
b
24 Contoh 2.6 : Volume benda putar, daerah yang dibatasi oleh kurva f x 4 x 2 , sumbu-x, sumbu-y diputar sejauh 360o mengelilingi : a. sumbu-x b. sumbu-y
a.
Jadi volumenya jika diputar mengelilingi sumbu-x adalah
256 satuan volume 15
b. Untuk menentukan volume benda putar yang mengelilingi sumbu-y, maka fungsi y 4 x 2 diubah menjadi fungsi dengan variabel y, sehingga fungsinya menjadi
y 4 x2 x2 4 y x 4 y Sehingga volumenya
Jadi volumenya jika diputar mengelilingi sumbu-y adalah 8 satuan volume
25
Teorema 7 Jika daerah T dibatasi oleh kurva f x dan g x , dengan f x g x pada interval a, b diputar mengelilingi sumbu-x, sejauh 360o maka volume benda putar tersebut adalah : b
V T f x g x dx 2
2
a
Contoh 2.7 : Volume daerah yang dibatasi oleh kurva f ( x) x 2 , Sumbu- x, sumbu-y, garis x = 2 dan y = - 1 yang diputar sejauh 360 o mengeliling sumbu-x
Jadi volumenya adalah
2 satuan volume 3
26
Rangkuman 2
1. Luas daerah tertutup yang terletak b
a. di atas sumbu-x L f x dx a b
b. di bawah sumbu-x L f x dx a b
c
a
b
c. di atas dan di bawah sumbu-x L f x dx f x dx b
d. di antara dua kurva L f x g x dx a
e. di antara dua kurva yang saling berpotongan di dua titik L
D D 6a 2
2. Volume benda putar dari daerah yang dbatasi kurva dan diputar mengellingi : b
a. sumbu-x V f x dx 2
a b
b. sumbu-y V f y dx 2
a b
c. sumbu-x dan dibatasi kurva f(x) dan g(x)
2
2
V f x g x dx 2
a
b
d. sumbu-y dan dibatasi kurva f(y) dan g(y)
V f y g y dx 2
a
Tugas 2 1. Gambarlah dan hitunglah luas daerah-daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut : a. y x, sumbu-x, gars x = 0, dan garis x = 6 3 b. f x sin x pada interval , dan sumbu-x 2 2
c. f x x 2 dan y x 2 d. y sin x dan y cos x pada interval 0, 2 e. y 2 x 2 8x dan y x 2 3x 4
27 f. y x 3 dan y x 2 2. Tentukan volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva berikut a. y x x 2 , sumbu-x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o b. y x 2 , sumbu-x dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o c. y tan x , sumbu-x dan garis x
2
diputar mengililingi sumbu-x sejauh 360od.
d. y x dan y x 2 diputar mengelilingi sumbu-y sejauh 360o. e. y x 2 , y x 2 1 dan garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu-y sejauh 360o.
28
BAB III.
TES FORMATIF
