NÚMERO 19 SEPTIEMBRE DE 2005 Volumen II

Matlab y el diseño de filtros digitales.

Ricardo Valerio Bautista Cuéllar

NÚMERO 19 SEPTIEMBRE DE 2005 Volumen II ISSN 1696-7208

Matlab y el diseño de filtros digitales. Ricardo Valerio Bautista Cuéllar En este artículo pretendemos mostrar cómo con ayuda de herramientas para cálculo numérico podemos diseñar filtros digitales apropiados para una gran diversidad de aplicaciones. Aunque en el curriculum para Técnicos Superiores en Desarrollo de Productos Electrónicos no se contemplan estos contenidos, sí resulta de interés que conozcan los alumnos la existencia de herramientas no específicas para diseño de circuitos pero que pueden facilitar mucho la labor de diseño, en este caso de filtros. Tal vez estamos comentiendo un error al decir “no específicas” ya que Matlab tiene una completa gama de herramientas para diseño de filtros mediante esta utilidad. Pero también es cierto que esta “toolbox” ha ido desarrollandose a lo largo de los años pues esas funciones especiales no son 1



más que scripts totalmente desarrollados y comprobados en base a los comandos matemáticos básicos de Matlab. O, lo que es lo mismo, nosotros mismos podemos enriquecer la gama de herramientas mediante el desarrollo de scripts propios para realizar determinadas tareas (por ejemplo, para automatizar determinados diseños). En definitiva, el texto aquí desarrollado se dirige principalmente a los compañeros de mi especialidad (Sistemas Electrónicos) para que puedan usar los resultados y conocimientos aquí mostrados a la hora de mostrar a los alumnos otras formas de realizar diseños electrónicos a la vez que adquieren unos conocimientos básicos sobre filtrado.

Breve introducción a Matlab. Matlab es tanto un entorno poderoso para cálculo computacional como un lenguaje de programación que maneja de forma sencilla matrices y aritmética compleja. Es un gran paquete de software que tiene muchas utilidades avanzadas desarrolladas y ha llegado a ser una herramienta estándar para muchos trabajos en las disciplinas de la ciencia y la ingeniería, donde el cálculo asistido por ordenador siempre ha tenido vital importancia. Entre otras muchas cosas, permite la realización de gráficos de forma sencilla tanto en tres como en dos dimensiones. Matlab tiene dos modos diferentes para la ejecución de comandos: el modo interactivo y el modo batch. En el modo interactivo, los comandos son tecleados (o cortados y pegados) en la ventana de comandos de Matlab. En el modo batch, una serie de comandos se salvan en un fichero de texto (usando para ello el editor propio de Matlab con las funciones de depurado que posee o cualquier otro editor de textos) sin tener que recordad o teclear de nuevo el conjunto completo de comandos. También, cuando usamos el editor de matlab, existen herramientas de depurado simples que pueden llegar a ser de gran cuando el script (el archivo .m) comienza a ser grande y complicado. 2



3



El diseño de filtros En el texto no tratamos de mostrar de forma teórica cuales son las técnicas más habituales para el diseño de filtros discretos en el dominio de la frecuencia si no más bien de una forma cualitativa. Para ello mostramos las características propias de algunas implementaciones.

Como regla general, cualquier algoritmo o sistema de tratamiento puede interpretarse como un filtro. Aquí se entiende por filtro aquel sistema lineal e invariante que permite el paso de las componentes de la señal existentes en un determinado intervalo frecuencial, y elimina las demás. De forma ideal, el módulo de la respuesta frecuencial del filtro toma un valor constante en el margen de frecuencias que queremos conservar, que se denomina banda de paso. El intervalo de frecuencias complementario al anterior en que la respuesta en magnitud es nula se denomina banda de rechazo o atenuada. La banda de transición es aquella que se sitúa entre dos bandas cuyas atenuaciones están específicada, por tanto, se caracteriza porque no imponemos al filtro ningún requisito en dicho intervalo frecuencial dando libertad de esa forma al diseño del filtro siempre y cuando se cumplan los requisitos impuestos en la banda de paso y de rechazo. Los cuatro filtros básicos, desde el punto de vista ideal del comportamiento del módulo de la respuesta frecuencial, según sea la posición relativa de bandas de paso y bandas atenuadas, reciben el nombre de paso bajo, paso alto, paso banda y elimina banda, dependiendo de la parte del espectro de frecuencias en la que se centra la banda de paso. Por ejemplo, el paso bajo se caracteriza

4



porque deja pasar todas las componentes frecuenciales de la señal en el rango bajo de las frecuencias, por debajo de una determinada frecuencia de corte, siendo el resto de componentes atenuadas por el filtro. Es el típico filtro que en amplificación se emplea en una etapa previa al amplificador para que el ruido no se amplifique y llegue a saturar al mismo. El filtro paso alto presenta el comportamiento complementario al paso bajo; el filtro paso banda cancela las bajas y las altas frecuencias (bandas atenuadas inferior y superior), y conserva una banda determinada de frecuencias; el último, presenta bandas de paso en baja y alta frecuencia, y una banda atenuada en un margen de frecuencias intermedio.

Hasta el momento hemos hablado de características ideales, de ahí que a los filtros que cumplen la condición de eliminar completamente la señal de su banda atenuada y que no altera la señal en la banda de paso se denominen ideales.

En este texto vamos a presentar cómo se puede obtener diseños de filtros que aproximen la respuesta ideal del filtro en el dominio digital (o Z). Para ello obtenemos la respuesta impulsional h[n] correspondiente y su correspondiente transformada en Z H(z). El estudio se limita al diseño de filtros lineales, invariantes, causales, estables y que puedan describirse por una ecuación en diferencias finitas de coeficientes reales y constantes.

En el diseño de filtros digitales se pueden distinguir dos tipos básicos. Por un lado, aquellos en la que la respuesta impulsional del filtro tiene un número finito L de muestras 5



distintas de cero, lo que da lugar a la denominación abreviada de filtros FIR (Finite Impulse Response). La función de transferencia de un filtro FIR es polinómica en z-1, y su orden es L-1. Esto implica que el filtro tiene L-1 ceros distribuidos en el plano complejo z y todos los polos en el origen. Por ello suele hablarse de los filtros FIR como filtros sólo ceros. Por otro lado, existen los llamados filtros recurrentes cuya respuesta impulsional tiene longitud infinita o filtros IIR (Infinite Impulse Response). Un filtro IIR tiene Q ceros y P polos distribuidos en el plano complejo.

Para que un sistema sea realizable debe ser causal y estable. En ningún caso el filtro diseñado puede tener una respuesta frecuencial ideal. Por tanto, el filtro se diseña de modo que su función de transferencia

presente una

respuesta frecuencial cuyo módulo se

aproxime al

ideal. En esta aproximación se permite una

tolerancia

alrededor del valor teórico unidad del

módulo de la

respuesta frecuencial en la banda de paso y sobre el valor nulo en la banda atenuada. Esas tolerancias suelen recibir el nombre de rizado. Además, se acepta una banda de transición entre la banda de paso y la atenuada. Estas especificaciones suelen plasmarse en modo de plantilla como la de abajo en la que se plasmen las libertades o tolerancias y las especificaciones frecuenciales del filtro, en el caso de la figura, paso bajo. Especificaiones del filtro que vamos a diseñar. En el texto mostramos las características de diversos métodos aplicados para el disdiseño de un filtro FIR de fase lineal pasobaja con las siguientes especificaciones: 6



w p = 0.1π , ws = 0.22π , δ p = 0.01, δ s = 0.001

donde las primeras dos magnitudes son correspondientes a las frecuencias de corte de la banda de paso y la banda de rechazo, entre ellas se extiende la banda de paso. Las dos últimas son las tolerancias permitidas tanto en la banda de paso como en la de rechazo.

Filtros FIR Existen diversos métodos para el diseño de filtros FIR, entre ellos destacan tres. El más sencillo es el de enventanado de la respuesta impulsional. Durante mucho tiempo se ha trabajado en el diseño de filtros analógicos obteniendo para ello implementaciones caracterizadas porque al llevarlas al campo digital tenían una respuesta de tipo IIR. Parece más o menos intuitivo el pensar que si tomamos la secuencia infinita de la respuesta impulsional h(n) y nos quedamos con una parte de ella, el resultado desde el punto de vista de la función de filtrado del sistema sería el mismo. Aunque grosso modo eso es así, desde el punto de vista frecuencial se producen una serie de deformaciones en el espectro del filtro obtenido que nos llevarían a considerables errores a no ser por el uso de ventanas pensadas para este uso. Esas ventanas no son más que secuencias de longitud finita que tienen una respuesta frecuencial que permite que al ser multiplicadas por la función de transferencia utilizada el error no sea muy grande. Esto es una descripción intuitiva y nada rigurosa del sentido del enventanado. Básicamente se utilizan tres tipos de ventanas, la de Kaiser, la de Hamming y la de Blackman. Nosotros estudiaremos más adelante un ejemplo concreto.

7



Otra metodología simple para el diseño de filtros la ofrece el muestreo en frecuencia de la respuesta Ideal. El procedimiento asegura un error nulo para la aproximación en un conjunto finito de frecuencias

equiespaciadas, aquéllas en las que se muestrea la

respuesta frecuencial ideal. El diseño por muestreo en frecuencia es muy popular dada su sencillez. Presenta, sin embargo, importantes deficiencias. No es posible controlar directamente la amplitud del error. Tampoco se conoce un criterio estimativo del orden del filtro. Para conseguir un comportamiento ajustado a una plantilla debe acudirse a una estrategia de ensayo y error tediosa, que en la mayoría de los casos proporciona un filtro de orden excesivo y que, incluso, no garantiza la existencia de solución.

La tercera metodología empleada es la del uso de filtros óptimos, considerados así aquellos con rizado de amplitud constante. La respuesta frecuencial que ofrecen los filtros diseñados mediante la manipulación directa del comportamiento ideal (el enventanado de la respuesta impulsional o el muestreo de la respuesta frecuencial) presenta un error en las bandas de paso y atenuadas cuya amplitud crece en las proximidades de las bandas de transición. La solución a ese problema que aporta esta metodología es la de repartir el error por las diversas bandas usando una función que lo permita. En nuestro caso, para ejemplificar, usaremos el método de Parks-McClellan o también denominado método de Remez.

A continuación presentamos dos ejemplos de diseño de filtros FIR empleando Matlab. Entre las propiedades que podremos comprobar en los resultados del enventanado para la 8



obtención de filtros FIR está, gracias al ajuste del orden del filtro por el método de Remez, que la anchura de la banda de transición del filtro, que se corresponde con la anchura del lóbulo principal de la transformada de la ventana, es tanto menor cuanto mayor sea la longitud, y en definitiva el orden, de la misma. También descubriremos el por qué la ventana de Kaiser es una de las más utilizadas. Sólo dos parámetros son necesarios para la obtención del filtro y dichos parámetros (beta y N) son fácilmente obtenibles a partir de unas fórmulas fáciles de usar. Su sencillez, por tanto, es lo más destacable. Y podremos observar que a diferencia del caso de los filtros IIR, el cumplimiento de los requisitos del filtro no se realiza de una forma tan exacta e inmediata. Esta característica es propia del uso de la técnica de enventanado en la que generalmente se acepta un notable sobrecumplimiento de los requerimientos para la banda de paso, debido a que los máximos del error en la banda de paso y la banda atenuada son del mismo orden de magnitud, ya que ambos provienen de la amplitud de los lóbulos secundarios de la transformada de la ventana. Por último, veremos que el orden del filtro FIR obtenido por el método de Remez es menor que el obtenido usando la ventana de Kaiser. Como recordaremos más adelante, del estudio del diseño de filtros analógicos la aproximación que menor orden requiere para satisfacerlas es aquella en que los máximos del valor absoluto del error en la banda de paso son todos iguales, así como en la banda de atenuación. Es la aproximación elíptica la que al tener un comportamiento de rizado constante en ambas bandas posibilita que el error presente alternativamente máximos y mínimos. Es por tanto de esperar que el 9



caso de diseño de filtros FIR no sea distinto y este tipo de comportamiento resulte óptimo. Esto se traduce en que para una selectividad y una discriminación dada no exista un diseño de menor orden que el que presenta comportamiento con rizado de amplitud constante. O de otra forma, fijados el orden y la selectividad del filtro, no puede obtenerse un diseño con menor discriminación, desde el punto de vista de los filtros FIR. KAISER El código Matlab para la obtención de una aproximación de este tipo es muy sencillo. kw = KAISER(N,Beta); hn=fir1(N-1,Wp,kw); [Yz,w]=freqz(hn,1,512);

La función de matlab Kaiser nos da la respuesta de la ventana a partir de dos parámetros: beta y el orden(N), que se obtienen mediante unas fórmulas relacionadas con el valor de la atenuación en la banda de paso y la anchura de la banda de paso. Por otro lado la función fir1 realiza la obtención del filtro(de la secuencia) hn mediante una serie de manipulaciones matemáticas que aquí no vamos a profundizar. El lector puede consultar el MITRA o cualquier otro libro dedicado al procesamiento digital de la señal. Lo importante es que la función de matlab fir1 requiere como entradas la ventana a emplear(en nuestro caso kw), la frecuencia de corte de la banda de paso (Wp) y el orden deseado. Luego, mediante la función freqz obtenemos la respuesta en frecuencia del sistema diseñado. El orden del filtro para cunplir las especificaciones que hemos tomado para el diseño es de 63, cálculo que se realiza de forma sencilla en el entorno de trabajo.

10



La respuesta en magnitud del filtro es fácilmente obtenible mediante la función plot. plot(w/pi,abs(Yz));grid xlabel('Frecuencia normalizada');ylabel('Magnitud');title('espectro de salida');

Media nte un sencil lo zoom podemos ver el detalle respuesta en magnitud mostrado. Normalmente esto se realiza para comprobar que el diseño cumple con las especificaciones. Como se observa, la respuesta del filtro es paso baja, como deseamos. Especialmente de interés resulta conocer la respuesta en magnitud del sistema para conocer como se atenúan las distintas componentes espectrales de la señal (secuencia) de entrada a nuestro filtro. La obtención de esa respuesta se obtiene de forma sencilla mediante los siguientes comandos: M = 20*log10(abs(Yz)); plot(w/pi,M-M(1));grid axis([0 1 -100 10]) xlabel('Frecuencia normalizada');ylabel('Gain dB');title('espectro de salida dB');

11



Otro parámetro importante es la respuesta de fase del filtro, que interesa sea lo más lineal posible, de ahí que usualmente se suela representar su

der iva da, den om ina da retardo de grupo. El hecho de que sea lo más lineal posible el retardo de fase implica que el retardo de grupo sea constante. Esto implica que el filtro no influya ni distorsione la salida deseada del filtro en la banda de paso, objetivo primordial de un filtro.

Como se observa el retardo de grupo es casi constante, lo cual es una caracteristica muy buena de este tipo de filtros. Los filtros FIR tienen un mejor comportamiento desde el

12



punto de vista del retardo de grupo y de la distorsión de fase que provoque el filtro que los filtros IIR. Filtro de igual rizado (Remez) La obtención de esta aproximación es más compleja que la que hemos empleado con anterioridad. Si bien, el empleo de las funciones de matlab remez y remezord facilitan la labor, la complejidad de los comandos a emplear es mayor. La estimación del orden del filtro dada por la función remezord utilizada no era lo suficientemente buena al presentar una atenuación en la banda de rechazo insuficiente así como un rizado insuficiente en la de paso. Esta característica de comprobación de las restricciones a aplicar al filtro es algo importante a la hora de abordar este tipo de diseños. Al ser el orden un factor muy crítico en una implementación pues marca los recursos a emplear, existe ocasiones que las aproximaciones efectuadas para el cálculo automático del orden no sean exactas, por lo que tendremos que modificar manualmente el orden, si bien sirve de base poder

obtener

la

para

solución

deseada. En la figura se observa como la de

paso

no

cumplía

banda

las

especificaciones (la atenuación permitida de la banda de paso

era

13



menor de 0.01). Por ello, hemos aumentado manualmente el orden del filtro desde los 42 dados por la estimación hasta los 47 para los que el filtro cumple las especificaciones. La respuesta en magnitud de este filtro, tal como se observa en las figuras siguientes, es de tipo oscilatorio o de igual rizado, en las bandas de interés. Esa característica es la que hace del filtro Remez el de menor orden (u

óptimo) para una aproximación tipo FIR. La respuesta en magnitud en decibelios también nos muestra ese rizado en las bandas de paso y de rechazo.

14



El retardo de grupo y el retardo de fase también nos muestran un comportamiento apropiado y deseable para nuestro filtro (fase lineal).

15



Filtros IIR En el caso de los filtros con respuesta al impulso de longitud infinita, la expresión de la función de transferencia en el dominio Z es en forma de cociente de polinomios. Por eso, la forma de obtener en general la salida en este tipo de filtros es mediante fórmulas recursivas.

Una de las particularidades de estos filtros respecto a los tipo FIR es el hecho de que su comportamiento respecto a la fase es peor. Además, estos filtros proceden directamente de la aplicación de métodos que tradicionalmente se han aplicado en el desarrollo de filtros analógicos tales como eran las aproximaciones de Butterword, Chebyshev o Elíptica.

En nuestros resultados veremos que la implementación que mayor coste computacional requeriría es la Butterword mientras que la que menos (menor orden) es la elíptica. Por su parte, tanto la implementación chebyshev directa como inversa son del mismo orden y, por tanto, de igual complejidad computacional. Esto implica que para unas restricciones dadas el orden (en definitiva, el coste computacional de nuestro sistema) será mayor con la aproximación Butterword y menor con la elíptica.

Por otra parte, se comprueba en las mismas gráficas que se manifiestan las características propias de cada una de las aproximaciones tratadas.

16



Las aproximaciones Chebychev y elíptica o de Cauer presentan rizado con amplitud constante en la banda de paso. La elíptica presenta también un rizado en la banda atenuada, al igual que la chebyshev inversa, que sin embargo presenta una banda de paso plana.

Como ya hemos mencionado, la aproximación elíptica es, entre todas, la que requiere menor orden, por lo que es comúnmente utilizada cuando el principal interés se centra en minimizar el orden del filtro; sin embargo, veremos que su fase es la que más se aleja del comportamiento lineal, tal como se observa en las gráficas, entre las diversas aproximaciones.

También comprobaremos que la aproximación inversa de Chebychev proporciona filtros con menor distorsión de fase que la aproximación elíptica a costa de aumentar ligeramente el orden. La aproximación de Chebychev precisa igual orden que la inversa de Chebychev, pero su fase se comporta considerablemente peor.

Finalmente, comprobaremos que la aproximación de Butterworth es la que presenta una fase más próxima al ideal para un orden dado, pero el orden que necesita para cumplir las especificaciones suele ser notablemente mayor al que requieren las demás. Butterworth Para la realización de este tipo de filtros digitales mediante Matlab se emplean básicamente dos comandos. Por un lado buttord que, a partir de las especificaciones de 17



atenuación máxima en la banda de paso y mínima en la de rechazo así como de las respectivas frecuencias de corte de cada una de las bandas, nos da el orden del filtro y la frecuencia natural del filtro. Por otro lado, a partir del orden del filtro y de la frecuencia natural, la función butter nos da los polinominios correspondientes al numerador y al denominador de la función de transferencia. Mediante sencillas transformaciones por medio de las funciones filter y freqz podemos obtener la respuesta en Z del filtro digital. El orden del filtro obtenido mediante esta aproximación es de 11. Si bien en un primer momento nos puede sugerir este orden que computacionalmente es más eficiente que las implementaciones tipo FIR, debemos tener en cuenta que el error de fase implicita en este tipo de filtros IIR hace no tan aconsejable este tipo de filtrado cuando la linealidad de la fase es lo que prime. La respues ta

en

magnit

ud del filtro Butterword cumple los requisitos buscados. Si vemos la función de transferencia en dB podemos comprobar que la atenuación en la banda de rechazo es muy superior a la que se le

18



pedía al filtro. Esta característica es propia de los filtros Butterword y repercute en el orden de este tipo de aproximación, orden que es superior a otras aproximaciones debido al exceso de atenuación que provee en la banda de rechazo. La respuesta de fase de esta aproximación, sin embargo, es mejor que la del resto de aproximaciones IIR como veremos, siendo algo más próxima a la ideal, pero nunca tan buena como la de los filtros FIR estudiados.

Cheby shev-I Matlab dispon e

de

funcio nes semejantes a las anteriores para el desarrollo de aproximaciones chebyshev. En este caso, en la aproximación tipo I de chebyshev o llamada también directa, las funciones a utilizar son la chen1ord y la cheby1.

El orden obtenido a partir de esa función, que requiere las mismas entradas de datos que la correspondiente de la aproximación Butterword, es de 7. Este orden es muy inferior al de las anteriores aproximaciones. Si pensamos en términos de coste, el área de silicio requerido (en la FPGA, en el ASIC o en el circuito que vaya a implementar el filtrado digital) es mucho menor y, por ende, el coste.

19



La respuesta en magnitud de esta aproximación explica por sí misma el orden menor de esta aproximación. Vemos que la banda de paso no es totalmente plana. Decimos que la banda de paso de la Butterword es máximamente plana y es una cualidad interesante si lo que se pretende es perturbar lo menos posible la magnitud de la señal de entrada en esa banda. Sin embargo, esa característica implica un coste en términos de orden que se reduce en el caso de la chebyshev directa al introducir un rizado en la banda de paso tal como se observa en las figuras adjuntas.

Al

observar la respuesta en dB podemos comprobar que el rizado de la banda de paso es apenas apleciable. De hecho, el rizado en la banda de paso, en media, no introduce grandes variaciones en la magnitud de la señal de entrada y en muchas aplicaciones puede ser admisible. La característica que más se ve afectada es la fase, como vemos en las gráficas, siendo la misma no tan cercana al comportamiento lineal.

20



Chebysh ev-II Mediante las funcione s

de

matlab cheb2ord y cheby2 obtenemos de forma relativamente sencilla la aproximación buscada. El orden es 7, igual que la anterior aproximación. Eso se debe a que la forma de obtener una a partir de la otra es mediante una sencilla transformación matemática que implica dejar inalterado el orden de la aproximación. El único cambio que se introduce es que el rizado se traslada a la banda de rechazo siendo ahora la banda de paso máximamente plana como lo era en el caso de Buterword. Si bien, el orden es menor pues ahora no tenemos un exceso de atenuación en la banda de rechazo tan acentuado como en el caso de la Butterword.

21



La respuesta de fase de esta aproximación tampoco es excesivamente buena.

Elíptico Ellipord y ellip son

las funciones en este caso a aplicar. El orden del filtro en nuestro caso es 5, menos de la mitad del orden necesario para el caso del Butterword. Para explicar el por qué del menor orden de esta aproximación basta con fijarnos en las bandas de paso y de rechazo de este filtro. Por un lado, mientras que la banda de paso del Butterword es máximamente plana la del elíptico manifiesta un rizado, por otro, mientras que el Butterdord ocasionaba un exceso de atenuación en la banda de rechazo no necesario, el elíptico manifiesta también un rizado en la misma. Ambas circunstancias ocasionan que el orden del filtro sea incluso menor que la aproximación Chebyshev, tanto directa como inversa.

22



La respuesta de fase tampoco es tan buena como la de los filtros FIR. En

conclusión Hemos podido comprobar la importancia de disponer de una herramienta de cálculo potente para el diseño de sistemas electrónicos complejos como pueden ser los filtros. Dentro de esas herramientas Matlab se sitúa como una de las más empleadas y la que, por el momento, a conseguido mayor aceptación y desarrollo. Por ende, hemos visto las principales características de los filtros digitales que se usan hoy día para aplicaciones diversas en los sistemas electrónicos. Así, podemos concluir que, cuando la fase juega un papel fundamental en el tratamiento de la señal (por ejemplo, en el caso de comunicaciones de datos) es mejor el uso de filtros FIR de mayor coste pero de fase lineal. Mientras que cuando la fase no toma gran importancia (por ejemplo, en aplicaciones de audio, donde el oido humano no es capaz de discernir pequeñas variaciones de la fase) el empleo de filtros IIR, de menor coste, es el apropiado.

BIBLIOGRAFÍA •

“Digital Signal Processing. A computer-based approach.” S.K. Mitra. Ed. Mc-Graw Hill

•

“Digital communication systems”, P.Z. Preebles. Ed. Prentice Hall International.

•

“Digital Signal Processing Handbook”, Madisetti y Williams. Ed. CRC Press.

•

“Signals and Systems”, A.V. Oppenheim. Ed. Prentice-Hall.

23

NÚMERO 19 SEPTIEMBRE DE 2005 Volumen II

Recommend Documents