Page 1 of 32
PEMBAHASAN UN SMA IPA TAHUN AJARAN 2011/2012
OLEH: SIGIT TRI GUNTORO, M.Si MARFUAH, S.Si, M.T
REVIEWER: UNTUNG TRISNA S., M.Si JAKIM WIYOTO, S.Si
Page 2 of 32
Alternatif penyelesaian: Misalkan, p : hari ini hujan q: saya tidak pergi r: saya nonton sepak bola maka Premis I: p → q Premis II
:q→r
Kesimpulannya adalah p → r . Jadi jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola JAWAB : B
Alternatif penyelesaian: Misalkan, : ada ujian sekolah : semua siswa belajar rajin maka pernyataan “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan rajin” dapat ditulis . Mengingat
sebagai
⇔
maka diperoleh
⇔
Page 3 of 32
Jadi negasi dari pernyataan “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan rajin” adalah “Ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin” JAWAB: B
Alternatif penyelesaian:
JAWAB: C
Page 4 of 32
Alternatif penyelesaian:
JAWAB: E
Alternatif penyelesaian:
JAWAB: A
Page 5 of 32
Alternatif penyelesaian: dan
Karena
akar-akar persamaan
maka
dan
Dengan mengingat hasil diatas perhatikan bahwa
Jadi JAWAB: B
Alternatif penyelesaian: Karena persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berbeda maka Diskriminan ( memenuhi variabel
Dari sini diperoleh
harus
. Kemudian diselesaikan untuk
sebagai berikut:
Didapatkan penyelesaian
atau JAWAB: B
Page 6 of 32
Alternatif penyelesaian: Misalkan suku banyak tersebut
. Berarti dipenuhi
(1) dan (2) dengan
dan
masing-masing merupakan suku banyak (polinomial) berderajat satu.
Dari (1) diperoleh (3) dan (4) Misalkan
(5)
maka sesuai (1), (2), (3), (4) dan (5) diperoleh
dan
selanjutnya ditulis sebagai sistem persamaan Page 7 of 32
; Solusi dari sistem persamaan (6) adalah
(6) dan
Mengingat (2) dan (5) maka diperoleh suku banyak JAWAB: B
Alternatif penyelesaian:
JAWAB: E
Alternatif penyelesaian: Misalkan,
Page 8 of 32
Dari permasalahan di atas dapat disusun model matematika sebagai berikut ; ;
; ;
yang ekuivalen dengan
.
Fungsi sasarannya adalah Karena mengharuskan
maka daerah penyelesaiannya adalah
(ruas garis AB) seperti
pada gambar berikut.
Selanjutnya dengan membandingkan hasil di titik berada pada titik
dan
maka diperoleh nilai maksimum
yaitu
JAWAB: A
Page 9 of 32
Alternatif penyelesaian:
Dari sini diperoleh
dan
.
Jadi,
JAWAB: E
Page 10 of 32
Alternatif penyelesaian:
Diketahui
yang menghasilkan penyelesaian
dan
. Karena
tegak lurus maka
.
Selanjutnya,
JAWAB: C
Page 11 of 32
Alternatif penyelesaian:
Diketahui
dan
. Proyeksi orthogonal
pada
adalah dengan
atau ditulis dengan JAWAB: D
Alternatif penyelesaian: Karena transformasi yang dilakukan tidak memuat dilatasi (perbesaran/pengecilan) maka yang perlu diperhatikan hanya titik pusat saja, sedangkan jari-jari tetap 2.
Page 12 of 32
Lingkaran
berpusat di (0,0). Oleh pencerminan terhadap garis
titik (4,0). Selanjutnya, oleh translasi
pusat berpindah ke
itk pusat bergeser ke titik
Jadi persamaan lingkaran yang baru adalah
JAWAB: A
Alternatif penyelesaian: Misalkan
, maka
yang menghasilkan penyelesaian
atau
. Karena
maka penyelesaiannya
atau Page 13 of 32
JAWAB: D
Alternatif penyelesaian: Perhatikan gambar terlihat bahwa grafik tersebut menggambarkan hubungan mengganti
. Dengan
maka diperoleh
JAWAB: D
Page 14 of 32
Alternatif penyelesaian:
JAWAB: B
20. Suatu pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1960 unit. Tiap tahun produksi turun sebesar 120 unit sampai tahun ke-16. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-16 adalah ... A. 45760 B. 45000 C. 16960 D. 16000 E. 9760 Alternatif penyelesaian: Soal di atas merupakan contoh soal deret aritmatika dengan: Suku pertama, U1 = a = 1960 ; Beda, b = −120 Ditanyakan total produksi pada tahun ke-16, yakni Sn dengan n = 16 Sn =
n ( 2a + ( n − 1) b ) 2
S16 =
16 ( 2 ⋅1960 + 15 ( −120 ) ) = 16960 unit 2
Jawab: C 21.
Barisan geometri dengan U7 = 384 dan rasio = 2. Suku ke-10 barisan tersebut adalah ... A. 1920 B. 3072 C. 4052 D. 4608 E. 6144 Page 15 of 32
Alternatif penyelesaian: Rasio, r = 2 U7 = ar 6 = 384 Suku ke-10, U10 = ar 9 = ar 6 ⋅ r 3 = 384 ⋅ 23 = 384 ⋅ 8 = 3072 Jawab: B 22.
Suku ketiga dan suku ketujuh suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 256. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah ... A. 500 B. 504 C. 508 D. 512 E. 516
Alternatif penyelesaian: Dari U3 = 16 diperoleh ar 2 = 16
(1)
ar 6 = 256
Dari U7 = 256 diperoleh
ar 2 ⋅ r 4 = 256
(2)
Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2), diperoleh
16 ⋅ r 4 = 256 r=2 atau r=−2 Karena pilihan yang diberikan semua bernilai positif, maka diambil r=2. Sehingga berlaku:
ar 2 = a ⋅ 22 = 4a = 16 ⇔ a = 4 Jumlah tujuh suku pertama, karena r>1 berlaku: S7 =
a ( r 7 − 1) r −1
=
4 ( 27 − 1) 2 −1
=
4 (128 − 1) 1
= 508 Jawab: C
23.
Pada kubus ABCD.EFGH , panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E ke bidang BGD adalah ... A.
1 3 3
B.
2 3 3
Page 16 of 32
C.
4 3 3
D.
8 3 3
E.
16 3 3
Alternatif penyelesaian:
H
G F
E
S
D
C T A
B
Jarak titik E ke bidang BGD adalah panjang ES. Perhatikan persegi panjang ACGE E
α
8 4 6
4 6
G
8
S A
T
4 2
C
4 2
Panjang EG = panjang AC = panjang diagonal sisi = 8 2 Panjang AT =
1 ⋅8 2 = 4 2 2
Panjang GT = panjang ET =
(
CG 2 + CT 2 = 82 + 4 2
)
2
= 96 = 4 6
Luas segitiga ETG = Luas ACGE – luas ATE – luas TCG
Page 17 of 32
1 1 = 8.8 2 − .4 2.8 − .4 2.8 = 32 2 2 2
(
)
1 ⋅ GT ⋅ tinggi 2 1 32 2 = ⋅ 4 6 ⋅ ES 2 2 ⋅ 32 2 ES = 4 6 16 = 3 3
Luas segitiga ETG =
Jadi Jarak titik E ke bidang BGD adalah
16 3 cm. 3
Jawab: E
24.
Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α . Nilai sin α = ..... A.
1 2 2
B.
1 3 2
C.
1 3 3
D.
2 2 3
E.
3 3 4
Alternatif penyelesaian: H
G
T F
E
D C
α A
B
Page 18 of 32
Perhatikan segitiga EAT. 2 2 E
T
Panjang ET = Panjang AT =
4
1 1 ⋅ panjang diagonal sisi = .4 2 = 2 2 2 2
( 4)
AE 2 + ET 2 =
2 6 α
sin(α ) =
A
2
(
+ 2 2
)
2
= 24 = 2 6
ET 2 2 1 = = 3 AT 2 6 3
Jawab: C 25.
Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segienam tersebut adalah ... A. 432 3 cm2 B. 432 cm2 C. 216 3 cm2 D. 216 2 cm2 E. 216 cm2
Alternatif penyelesaian: 12 cm
Setiap 60˚
segitiga
di
dalam
segienam
beraturan
merupakan segitiga sama sisi karena sudut-sudutnya sama besar (60˚). 12 cm 60˚
60˚
12 cm
12 cm 60˚
Menggunakan rumus sinus untuk luas segitiga, diperoleh: luas masing-masing segitiga =
1 1 1 ⋅12 ⋅12 ⋅ sin ( 60° ) = ⋅12 ⋅12 ⋅ 3 = 36 3 2 2 2 Page 19 of 32
Sehingga luas segienam keseluruhan = 6 ⋅ 36 3 = 216 3 cm2 Jawab: C 26.
Diketahui nilai sin α cos β =
1 3 dan sin (α − β ) = untuk 0° ≤ α ≤ 180° dan 5 5
0° ≤ β ≤ 90° . Nilai sin (α + β ) = ... A. −
3 5
B. −
2 5
C. −
1 5
D.
1 5
E.
3 5
Alternatif penyelesaian:
sin (α + β ) + sin (α − β ) = 2sin α cos β sin (α + β ) +
3 1 = 2⋅ 5 5
sin (α + β ) = −
1 5
Karena 0° ≤ α ≤ 180° dan 0° ≤ β ≤ 90° maka sin (α + β ) dapat bernilai negatif. Jawab: C
27.
Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ... A. {120˚, 150˚} B. {150˚, 165˚} C. {30˚, 150˚} D. {30˚, 165˚} E. {15˚, 105˚}
Page 20 of 32
Alternatif penyelesaian:
cos ( 4 x ) + 3sin ( 2 x ) = −1 1 − 2sin 2 2 x + 3sin ( 2 x ) = −1 ⇔ 2sin 2 ( 2 x ) − 3sin ( 2 x ) − 2 = 0 Misal y = sin ( 2 x )
⇔ 2 y2 − 3y − 2 = 0 ⇔ ( y − 2 )( 2 y + 1) = 0
⇔ y = 2∨ y = −
1 2
Karena y = sin ( 2 x ) tidak mungkin bernilai 2, maka akan ditentukan nilai x yang memenuhi y = sin ( 2 x ) = −
1 2
1 2 2 x = 210° ⇔ x = 105°
sin ( 2 x ) = −
Atau 2 x = 330° ⇔ x = 165°
Jadi himpunan penyelesaian untuk persamaan tersebut adalah {110˚, 165˚}. Jawaban tidak terdapat di pilihan jawaban yang disediakan.
28.
Nilai dari sin 75o − sin165o adalah ... A.
1 2 4
B.
1 3 4
C.
1 6 4
Page 21 of 32
D.
1 2 2
E.
1 6 2
Alternatif penyelesaian: Dengan menggunakan rumus sin A − sin B = ...
75° + 165° 75° − 165° sin 75o − sin165o = 2 cos sin 2 2 = 2 ⋅ cos (120° ) ⋅ sin ( −45° ) 1 1 = 2⋅ − ⋅ − 2 2 2 1 = 2 2 Jawab: D 29.
Nilai lim x→3
A. −
1 4
B. −
1 2
2 − x +1 = x −3
C. 1 D. 2 E. 4
Alternatif penyelesaian:
Page 22 of 32
lim x→3
2 − x +1 2 − x + 1 2 + x +1 = lim . x → 3 x −3 x −3 2 + x +1 4 − ( x + 1) = lim x →3 ( x − 3) 2 + x + 1
(
= lim x →3
= lim x →3
=−
)
− ( x − 3)
( x − 3) ( 2 +
x +1
)
−1
(2 +
x +1
)
1 4
Jawab: A
30.
cos 4 x − 1 = x → 0 x ⋅ tan 2 x
Nilai lim A. 4 B. 2 C. −1 D. −2 E. −4
Alternatif penyelesaian: 1 − 2sin 2 ( 2 x ) ) − 1 ( cos 4 x − 1 lim = lim x → 0 x ⋅ tan 2 x x →0 x. tan ( 2 x ) = lim x →0
−2sin 2 ( 2 x ) x.tan ( 2 x )
= −2 ⋅ lim x →0
sin ( 2 x ) sin ( 2 x ) ⋅ x tan ( 2 x )
= ( −2 ) ⋅ 2 ⋅
2 2
= −4
Jawab: E
Page 23 of 32
31.
Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya ( 5 x 2 − 10 x + 30 ) dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp50.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ... A. Rp10.000,00 B. Rp20.000,00 C. Rp30.000,00 D. Rp40.000,00 E. Rp50.000,00
Alternatif penyelesaian: Total penjualan = 50000x Total biaya produksi = ( 5x 2 − 10 x + 30 ) x dalam ribuan rupiah
= 5000 x 3 − 10000 x 2 + 30000 x
Keuntungan = total penjualan – total biaya produksi
= 50000 x − ( 5000 x3 − 10000 x 2 + 30000 x ) Apabila F(x) merupakan fungsi yang menyatakan keuntungan, maka
F ( x) = −5000 x3 + 10000 x 2 + 20000 x F(x) mencapai maksimal untuk F '( x) = 0
⇔ −15000 x 2 + 20000 x + 20000 = 0 ⇔ −3x 2 + 4 x + 4 = 0 ⇔ ( −3 x − 2 )( x − 2 ) = 0
⇔ x=
2 atau x = 2 3
Karena x menyatakan unit barang, maka x tidak mungkin berupa pecahan. Sehingga keuntungan maksimal diperoleh untuk x = 2. F ( x) = −5000 x 3 + 10000 x 2 + 20000 x = −5000.23 + 10000.2 2 + 20000.2 = 40000
Jadi keuntungan maksimal perusahaan tersebut adalah Rp40.000,00. Jawab: D Page 24 of 32
3
32.
∫ ( 2x
Nilai
2
+ 4 x − 3) dx = ...
1
A. 27
1 3
B. 27
1 2
C. 37
1 3
D. 37
1 2
E. 27
1 3
Alternatif penyelesaian: 3
3
∫ ( 2x
2
1
2 2 1 2 + 4 x − 3 ) dx = x3 + 2 x 2 − 3 x = ⋅ 27 + 2 ⋅ 9 − 9 − + 2 − 3 = 27 3 3 1 3 3 Jawab: A
3
33.
∫ ( sin ( 2 x ) + 3cos x ) dx = ...
Nilai
1
A.
3 +2 3 4
B.
3 +3 3 4
C.
1 1+ 2 3 4
)
D.
2 1+ 2 3 4
)
E.
3 1+ 2 3 4
(
(
(
)
Alternatif penyelesaian:
Page 25 of 32
1
3
1 3 ∫1 ( sin ( 2 x ) + 3cos x ) dx = − 2 cos 2 x + 3sin x 0
π
2 π 1 1 = − cos π + 3sin − − cos 0 + 3sin 0 3 3 2 2 1 1 1 1 3 −− = − . − + 3. 2 2 2 2 3 3 3 = + 4 2 3 = 1+ 2 3 4
(
)
Jawab: E 34.
Hasil dari ∫ 3 x 3 x 2 + 1dx = ... A. −
2 3 x 2 + 1) 3 x 2 + 1 + C ( 3
B. −
1 3 x 2 + 1) 3 x 2 + 1 + C ( 2
C.
1 3 x 2 + 1) 3 x 2 + 1 + C ( 3
D.
1 3 x 2 + 1) 3 x 2 + 1 + C ( 2
E.
2 3 x 2 + 1) 3 x 2 + 1 + C ( 3
Alternatif penyelesaian: Misal
t = 3 x 2 + 1 maka dt = 6 xdx 1 dx = dt 6x Sehingga berlaku:
Page 26 of 32
∫ 3x
3 x 2 + 1dx = ∫ 3 x ⋅ t ⋅
1 ⋅ dt 6x
1 12 t dt 2∫ 1 2 3 = ⋅ ⋅t2 + C 2 3 1 = ( 3 x 2 + 1) 3 x 2 + 1 + C 3 =
Jawab: C
35.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 + 3 x + 4 dan y = 1 − x adalah ... A.
2 satuan luas 3
B.
4 satuan luas 3
C.
7 satuan luas 4
D.
8 satuan luas 3
E.
15 satuan luas 3
Alternatif penyelesaian:
y = x 2 + 3x + 4
y = 1− x
Page 27 of 32
Misal f ( x) = x 2 + 3 x + 4 dan g ( x) = 1 − x Batas daerah yang dibatasi kedua kurva ditentukan sebagai berikut:
f ( x) = g ( x) 2
x + 3x + 4 = 1 − x x 2 + 4 x + 3 = 0 ⇔ ( x + 3)( x + 1) = 0 ⇔ x = −3 ∨ x = −1 Diperoleh luas= −1
∫ ( g ( x) − f ( x) )dx =
−3
−1
∫ ( (1 − x ) − ( x
2
)
+ 3x + 4 ) dx
−3 −1
=
∫ ( −3 − 4 x − x )dx 2
−3 −1
1 = −3x − 2 x − x3 3 −3 2
1 = 3 − 2 + − ( 9 − 18 + 9 ) 3 4 = 3 Jawab: B
36.
Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dengan
y = 2 x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360˚ adalah ... A. 2π satuan volume B. 3
1 π satuan volume 15
C. 4
4 π satuan volume 15
D. 12 E. 14
4 π satuan volume 15
2 π satuan volume 15
Alternatif penyelesaian:
Page 28 of 32
Untuk menentukan volume benda putar antara dua kurva, ditentukan terlebih dahulu titik potong dua kurva. Titik potong antara y1 = x 2 dan y2 = 2 x diperoleh untuk:
y1 = y2 ⇔ x 2 = 2 x ⇔ x ( x − 2 ) = 0 x = 0 dan x=2 Sehingga:
2 2 2 2 2 V = π ∫ ( y1 ) − ( y2 ) dx = π ∫ 4x − x 4 dx 0 0 2
1 4 1 4 4 = π x3 − x5 = π (8) − (32) − 0 = 4 π satuan volume 3 5 5 0 15 3 Jawab: C
37.
Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut: Ukuran
f
20 − 29
3
30 − 39
7
40 − 49
8
50 − 59
12
60 − 69
9
70 − 79
6
80 − 89
5
Nilai modus dari data pada tabel adalah ... A. 49, 5 −
40 7 Page 29 of 32
B. 49, 5 −
36 7
C. 49, 5 +
36 7
D. 49, 5 +
40 7
E. 49, 5 +
48 7
Alternatif penyelesaian: Modus = Tb +
fa . I dengan: f a + fb
Tb = tepi bawah kelas dengan frekuensi terbesar ( f=25) , yakni 49,5 fa = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya, yakni 12−8 = 4 fb = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sesudahnya, yakni 12− 9 = 3 I = interval kelas = 10 Jadi: Modus = 49,5 +
4 40 .10 = 49,5 + 4+3 7 Jawab: D
38.
Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari kata “WIYATA” adalah ... A. 360 kata B. 180 kata C. 90 kata D. 60 kata E. 30 kata
Alternatif penyelesaian: Permutasi n objek dari n objek yang terdiri dari sejumlah n1 objek q1, sejumlah n2 objek q2, … nk objek qk, dengan n1+n2+…+nk = n adalah
n
P( n1 ,n2 ,...........nk ) =
n! n1 ! n2 !...nk ! Page 30 of 32
Pada kata “WIYATA” terdapat 6 huruf, yang terdiri dari 1 huruf “W”, 1 huruf “I”, satu huruf “Y”, 1 huruf “T” dan 2 huruf “A”. Sehingga banyaknya susunan kata yang dapat dibentuk adalah ...
6
P(1,1,1,1,2) =
6! 6× 5× 4× 3 = = 360 1!1!1!1!2! 2
Jawab: A
Dalam kotak terdapat 3 kelereng merah dan 4 kelereng putih, kemudian diambil 3
39.
kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih adalah .... A.
3 35
B.
4 35
C.
7 35
D.
12 35
E.
22 35
Alternatif penyelesaian: Misal: A = kejadian terambil paling sedikit 2 kelereng putih. Maka ada dua kemungkinan kejadian, yakni terambil 2 kelereng putih dan satu kelereng merah, atau terambil 3 kelereng putih. S = ruang sampel, yaitu kejadian terambilnya 3 kelereng dari 7 kelereng
Maka peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih adalah P ( A) =
n ( A) n( S )
dengan n(A) kombinasi terambilnya paling sedikit 2 kelereng putih. Jadi:
Page 31 of 32
4! 3! 4! ⋅ + ( 2!2! 1!2! 3!1! 22 4 C2 ⋅ 3 C1 ) + 4 C3 P( A) = = = 7! 35 7 C3 3!4! Jawab: E
Page 32 of 32
