PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika Program Studi Matematika

Oleh : Skolastika Augustia Sarasvati NIM: 133114026

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017


THE PARAMETER ESTIMATION OF RAYLEIGH DISTRIBUTION USING LEAST SQUARE METHOD AND MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD

A Thesis Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains Mathematics Study Program

Written by: Skolastika Augustia Sarasvati Student Number: 133114026

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2017


iii


iv


HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini saya persembahkan untuk Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu memberkati dan memberikan kemudahan lewat orang-orang baik hati yang berada di sekelilingku terutama dalam perjuanganku menyelesaikan skripsi ini. Kedua orangtuaku Bonaventura Saptono Arko dan Teresia Atik Solikhati Adik-adikku, yaitu Ano, Awgia, Sekal, Zita. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku dosen pembimbing skripsi yang terbaik. Semua orang yang akan membaca skripsi saya.

v


vi


vii


ABSTRAK Distribusi Rayleigh dengan parameter tunggal memiliki satu parameter yaitu parameter 𝑏. Pendugaan parameter distribusi Rayleigh dapat dilakukan dengan berbagai metode. Dalam skripsi ini dibahas pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan menggunakan dua metode yaitu Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method). Konsep dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menduga parameter dengan memilih garis regresi yang terdekat dengan semua data yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error). Sedangkan, konsep dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah menduga parameter distribusi yang memaksimumkan fungsi likelihood. Pendugaan parameter distribusi Rayleigh diterapkan pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan. Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) dipilih sebagai kriteria pembanding kedua metode penduga. Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Rayleigh adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat yang minimum. Dari hasil penerapan pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang menunjukkan bahwa Metode Kemungkinan Maksimum lebih baik dalam menduga parameter distribusi Rayleigh. Kata kunci: distribusi Rayleigh, pendugaan parameter, Metode Kuadrat Terkecil, Metode Kemungkinan Maksimum, Rata-Rata Kuadrat Galat.

viii


ABSTRACT Rayleigh distribution with single parameter has a parameter namely parameter b. The parameter of Rayleigh distribution can be estimated using several methods. In this final assignment, writter will estimated the parameter estimation of Rayleigh distribution using two methods which are Least Square Method and Maximum Likelihood Method. In general, Least Square Method estimate the parameter by selecting the regression line that best fit among all data which minimizes the Sum of Square Error. Meanwhile the concept of Maximum Likelihood Method is to estimate the parameter distribution that maximizes the likelihood function. The parameter estimation of Rayleigh distribution is implemented on the data of the annual biggest wave’s height in Kalukalukuang Island’s offshore, South Sulawesi. Mean Square Error is chosen as the comparasm criteria for both methods. Method which has minimum Mean Square Error is the best one. From our attempts on the annual biggest wave’s height data in Kalukalukuang Island’s offshore shows that Maximum Likelihood Method is a better method to estimate the parameter of Rayleigh distribution. Keywords: Rayleigh distribution, parameter estimation, Least Square Method, Maximum Likelihood Method, Mean Square Error

ix


KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala berkat dan karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Skripsi yang berjudul “Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh Dengan Metode Kuadrat Terkecil Dan Kemungkinan Maksimum” ini diajukan untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penulis mendapat banyak dukungan dan bantuan dalam proses menyelesaikan tugas akhir ini. Oleh karena itu, dengan tulus hati penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada: 1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing tugas akhir yang dengan penuh kesabaran telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta memberikan masukan, arahan, bimbingan, dan nasihat kepada penulis. 2. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Program Studi. 3. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku wakil ketua program studi Matematika dan Dosen Pembimbing Akademik yang selalu memberikan arahan yang berkaitan dengan perkuliahan. 4. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi. 5. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Sc., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen program studi matematika yang telah membagikan ilmu dan pengalaman selama masa perkuliahan. 6. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi yang telah banyak membantu dalam proses administrasi. 7. Kedua orang tuaku yang selalu memberikan doa, semangat, dukungan, arahan, dan nasihat sampai skripsi ini selesai.

x


xi


DAFTAR ISI

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .......................................................... iii HALAMAN PENGESAHAN ...................................................................................... iv HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................................. iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ...................................................................... vi LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN .......................................................... vii ABSTRAK ................................................................................................................. viii ABSTRACT ................................................................................................................. ix KATA PENGANTAR .................................................................................................. x DAFTAR ISI ............................................................................................................... xii DAFTAR TABEL ...................................................................................................... xiv DAFTAR GAMBAR .................................................................................................. xv BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................. 1 A. Latar Belakang ..................................................................................................... 1 B. Rumusan Masalah ................................................................................................ 2 C. Batasan Masalah .................................................................................................. 3 D. Tujuan Penulisan ................................................................................................. 3 E. Manfaat penulisan ................................................................................................ 3 F. Metode Penulisan................................................................................................. 4 G. Sistematika Penulisan .......................................................................................... 4 BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................................... 6 A. Distribusi Probabilitas ......................................................................................... 6 B. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya................................................................. 13 C. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen ........................................................... 18 D. Pendugaan Parameter......................................................................................... 23 xii


E. Selang Kepercayaan........................................................................................... 25 F. Ukuran Penduga Yang Baik .............................................................................. 29 G. Metode Kuadrat Terkecil ................................................................................... 31 H. Metode Kemungkinan Maksimum .................................................................... 35 I. Uji Kolmogorov-Smirnov .................................................................................. 39 J. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov .................... 41 BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM .......... 44 A. Distribusi Rayleigh ............................................................................................ 44 B. Karakteristik Distribusi Rayleigh Satu Parameter ............................................. 47 C. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil .. 49 D. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum ......................................................................................................... 51 E. Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Rayleigh ............................................... 53 Pendugaan Selang Distribusi Rayleigh .............................................................. 58 BAB IV PENERAPAN PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEGH 61 A. Penerapan pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Squared Method) pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan. ........................................ 61 B. Pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum ................................................................................. 65 C. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov .................... 69 D. Perbandingan Pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum .................... 71 BAB V PENUTUP ...................................................................................................... 73 A. Kesimpulan ........................................................................................................ 73 B. Saran .................................................................................................................. 74 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................. 75 LAMPIRAN .............................................................................................................. 756

xiii


DAFTAR TABEL Tabel 2.1 Data Contoh 2.10 ........................................................................................ 34 Tabel 2.2 Data Contoh 2.13 ........................................................................................ 42 Tabel 2.3 Perhitungan Uji Kolmogorov Contoh 2.13 ................................................. 42 Tabel 4.1 Tinggi gelombang signifikan maksimum per arah per tahun di laut .......... 62 Tabel 4.2 Perhitungan Uji Kolmogorov-Smirnov pada data tinggi gelombang laut. 69

xiv


DAFTAR GAMBAR

Gambar 2. 1 Grafik Distribusi Gamma ..................................................................... 17 Gambar 2. 2 Grafik Distribusi Chi-Square ................................................................ 18 Gambar 2. 3 Kurva Distribusi Eksponensial dengan𝑃(𝑎 ≤ 𝑈 ≤ 𝑏) = 0.90 ............ 28 Gambar 2. 4 Grafik penduga Kuadrat Terkecil ........................................................ 35 Gambar 2. 5 Grafik 𝐹0 (𝑥𝑖 ) dan 𝐹𝑛 (𝑥𝑖 ) ..................................................................... 43 Gambar 3. 1 Grafik fungsi distribusi Rayleigh dengan nilai b = 0.5, 0.8, 1, 1.5, 2, 3. ..................................................................................................................................... 45 Gambar 3. 2 Grafik fungsi distribusi kumulatif distribusi Rayleigh ......................... 46 Gambar 4. 1 Grafik distribusi Rayleigh dengan parameter skala b = 1.715623 ..... 65 Gambar 4. 2 Grafik fungsi probabilitas distribusi Rayeligh dengan b = 1.757045 67 Gambar 4. 3 Grafik 𝐹0 (𝑥𝑖 ) dan 𝐹𝑛 (𝑥𝑖 ) ..................................................................... 70

xv


BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi Rayleigh adalah salah satu distribusi peluang kontinu yang biasa digunakan dalam pemodelan data kelangsungan hidup. Distribusi Rayleigh diperkenalkan oleh Lord Rayleigh pada tahun 1880. Distribusi Rayleigh dikenal secara luas di bidang oseanografi dan dalam teori komunikasi untuk menggambarkan puncak sesaat kekuatan sinyal radio yang diterima. Distribusi ini juga merupakan distribusi penting dalam statistik dan diterapkan di beberapa bidang seperti kesehatan, pertanian, biologi, dan ilmu-ilmu lainnya. Variabel acak 𝑋 dikatakan mempunyai distribusi Reyleigh dengan satu parameter 𝑏 bila fungsi densitasnya 2

𝑓(𝑥; 𝑏) =

𝑥 (−𝑥2 ) 𝑒 2𝑏 , 𝑏2

𝑥 ≥ 0, 𝑏 > 0

Pendugaan parameter merupakan salah satu persoalan yang penting dalam bidang statistika. Pendugaan adalah bidang dari statistika yang berhubungan dengan menduga nilai-nilai karakteristik dari populasi (parameter) berdasarkan data yang diukur atau data empiris yang memiliki komponen acak. Pendugaan parameter adalah suatu metode untuk menduga nilai parameter populasi dengan menggunakan nilai-nilai dari sampel. Penduga dibagi menjadi dua bagian yaitu penduga titik (point estimation) dan penduga selang (interval estimation). 1. Penduga titik (Point Estimation) Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal yang dengan sebaikbaiknya menduga parameter yang sebenarnya.

1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2

2. Penduga Selang (Interval Estimation) Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang memiliki peluang yang besar akan memuat parameter sebenarnya. Dalam skripsi ini, pendugaan parameter distribusi Rayleigh dilakukan dengan menggunakan dua metode yaitu Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method). Konsep dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menduga parameter dengan memilih garis regresi yang terdekat dengan semua data yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error). Sedangkan, konsep dari Metode Kemungkinan

Maksimum

adalah

menduga

parameter

distribusi

yang

memaksimumkan fungsi likelihood. Selain itu, dalam skripsi ini juga akan dilakukan perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum untuk menduga parameter distribusi Rayleigh. Untuk menentukan metode mana yang lebih baik dalam pendugaan parameter distribusi Rayleigh penulis akan menggunakan RataRata Kuadrat Galat (Mean Square Error) sebagai kriteria pembanding. Rata-Rata Kuadrat Galat adalah ukuran keakuratan dari penduga. Penduga (estimator) adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam bentuk rumus yang memberitahukan bagaimana cara menghitung nilai suatu penduga berdasarkan pengukuran yang termuat di dalam sampel. Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Rayleigh adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat minimum.

B. Rumusan Masalah Masalah yang akan dibicarakan pada skripsi ini adalah: 1. Bagaimana sifat-sifat distribusi Rayleigh? 2. Bagaimana pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil?


3. Bagaimana pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum? 4. Bagaimana memilih metode terbaik dalam pendugaan parameter distribusi Rayleigh?

C. Batasan Masalah Skripsi ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut: 1. Dalam pendugaan parameter distribusi, penulis hanya akan membahas penduga titik dan penduga selang distribusi Rayleigh dengan satu parameter. 2. Dalam pendugaan parameter distribusi, penulis hanya akan membahas pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum. 3. Penulis tidak membahas perluasan dari distribusi Rayleigh.

D. Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah dapat menduga parameter distribusi Rayleigh satu parameter dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum.

E. Manfaat penulisan Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah: 1.

Dapat mempelajari metode untuk pendugaan parameter distribusi Rayleigh yaitu dengan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum.

2.

Dapat mengetahui seberapa baik Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum dalam pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan satu parameter.


F. Metode Penulisan Metode yang digunakan penulis dalam penulisan skripsi ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnaljurnal yang berkaitan dengan distribusi Rayleigh dan metode-metode yang digunakan dalam pendugaan parameter.

G. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II LANDASAN TEORI A. Distribusi Probabilitas B. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya C. Momen dan Fungsi Pembangkit Moment D. Penduga Parameter E. Selang Kepercayaan F. Ukuran Penduga Yang Baik G. Metode Kuadrat Terkecil H. Metode Kemungkinan Maksimum I. Uji Kolmogorov-Smirnov J. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov BAB III ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM A. Distribusi Rayleigh


B. Sifat-Sifat Distribusi Rayleigh C. Pendugaan Paramater Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil D. Pendugaan Paramater Distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum BAB

IV

PENERAPAN RAYLEIGH

BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA

PENDUGAAN

PARAMETER

DISTRIBUSI


BAB II LANDASAN TEORI

Dalam proses pembuatan skripsi ini diperlukan beberapa konsep dan teori yang mendukung dalam ilmu statistika. Berikut akan dijelaskan beberapa teori yang berkaitan dengan pendugaan parameter, antara lain distribusi probabilitas, distribusi Gamma dan sifat-sifatnya, momen dan fungsi pembangkit momen, pendugaan parameter, selang kepercayaan dan sebagainya. A. Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas berkaitan erat dengan variabel random, jenis distribusi probabilitas, fungsi distribusi kumulatif dan karakteristik distribusi probabilitas yang akan dijelaskan pada subbab ini. 1. Variabel Random Definisi 2.1 Variabel random adalah fungsi yang bernilai real yang domainnya adalah ruang sampel. Huruf kapital, misalnya 𝑋, adalah notasi untuk variabel random dan huruf kecil 𝑥, menyatakan nilainya.

Definisi 2.2 Variabel 𝑋 dikatakan diskrit jika nilai-nilainya berhingga atau tak berhingga terbilang. Jika tidak memenuhi hal tersebut maka variabel acak 𝑋 dikatakan kontinu. Contoh: a. Banyaknya mahasiswa matematika setiap tahun mulai dari tahun 2010. b. Banyaknya kecelakaan mobil di Kabupaten Magelang setiap bulan selama satu tahun.

6


2. Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas dibagi atas dua macam, yaitu distribusi probabilitas diskrit yang dilambangkan dengan 𝑝(𝑥) dan distribusi probabilitas kontinu (fungsi densitas) yang dilambangkan dengan 𝑓(𝑥). a. Distribusi Probabilitas Diskrit Definisi 2.3 Himpunan pasangan terurut (𝑥, 𝑝(𝑥)) adalah distribusi probabilitas dari variabel random diskrit 𝑋 jika 1)

0 ≤ 𝑝(𝑥) ≤ 1 untuk setiap 𝑥

2)

∑𝑥 𝑝(𝑥) = 1

Contoh 2.1 Distribusi Geometrik 𝑝(𝑥) = 𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1 ,

𝑥 = 1, 2, 3, . . .

Akan ditunjukkan bahwa distribusi Geometrik memenuhi definisi 2.3 1) Diketahui 𝑝(𝑥) = 𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1 untuk 𝑥 = 1, 2, 3, .. maka diperoleh 𝑝(𝑥) positif untuk setiap 𝑥. Jadi terbukti 0 ≤ 𝑝(𝑥) ≤ 1 untuk setiap 𝑥. 2) Jumlah deret tak hingga suatu deret geometri dengan 𝑎 merupakan suku 𝑎

pertama dan 𝑟 merupakan rasio antar suku adalah 𝑆∞ = 1− 𝑟. Dengan 𝑎

menggunakan jumlah deret tak hingga dari deret geometri 𝑆∞ = 1− 𝑟 maka diperoleh 𝑎 = 𝑝 dan 𝑟 = 1 − 𝑝 sehingga 𝑝 ∑ 𝑝(𝑥) = = 1. 1 − (1 − 𝑝) 𝑥

b. Distribusi Probabilitas Kontinu Dalam beberapa literatur istilah distribusi probabilitas kontinu disebut juga fungsi densitas (density function).


Definisi 2.4 Fungsi 𝑓(𝑥) adalah distribusi probabilitas untuk variabel random kontinu 𝑋, jika 1)

𝑓(𝑥) ≥ 0,untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅

2)

∫−∞ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 1

∞

Contoh 2.2 a) Distribusi Normal 1

𝑓(𝑥) =

𝜎 √2𝜋

exp [− (

1 ) ((𝑥 − 𝜇)2 )] , 2𝜎 2

−∞ < 𝑥 < ∞

Akan ditunjukkan bahwa distribusi Normal memenuhi definisi 2.4 1) Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅, terbukti bahwa 𝑓(𝑥) ≥ 0. ∞

2) ∫−∞ 𝜎

1

∞

1

1

Misalkan 𝑚 =

𝑥−𝜇 𝜎 ∞

, 𝑑𝑚 =

𝑑𝑥 𝜎 1

1

, 𝜎 𝑑𝑚 = 𝑑𝑥, 2

misalkan 𝑄 = ∫−∞ 𝜎 𝑒 −(2)𝑚 𝜎 𝑑𝑚 √2𝜋 ∞

1

−∞

√2𝜋

𝑄 2 = (∫

1

∞

1

−∞

√2𝜋

2

𝑒 −(2)𝑚 𝑑𝑚) (∫

1

2

𝑒 −(2)𝑛 𝑑𝑛)

∞

1 1 2 2 = ∬ 𝑒 −(2)(𝑚 +𝑛 ) 𝑑𝑚 𝑑𝑛 2𝜋 −∞

0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋,

0≤𝑟≤∞

𝑚 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃,

𝑛 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑄2 =

1 𝑥−𝜇 2 ) 𝜎

exp [− (2𝜎2 ) ((𝑥 − 𝜇)2 )] 𝑑𝑥 = ∫−∞ 𝜎 𝑒 −2 ( √2𝜋 √2𝜋

1 2𝜋 ∞ −(1)(𝑟 2 𝑐𝑜𝑠2 𝜃+ 𝑟2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃) |𝐽|𝑑𝑟 𝑑𝜃 ∫ ∫ 𝑒 2 2𝜋 0 0

𝜕𝑚 𝜕𝑚 |𝐽| = | 𝜕𝜃 𝜕𝑟 | = |−𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 cos 𝜃| 𝜕𝑛 𝜕𝑛 𝑟 cos 𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝑟 = |(−𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃)(sin 𝜃) − (𝑟 cos 𝜃)(cos 𝜃)|

𝑑𝑥 = 1.


= |−𝑟 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 − 𝑟 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃| = |−𝑟| |𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃| = 𝑟 𝑄2 = =

1 2𝜋 ∞ −(1)𝑟2 (𝑐𝑜𝑠2 𝜃+ 𝑠𝑖𝑛2 𝜃) ∫ ∫ 𝑒 2 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 2𝜋 0 0 1

2𝜋

∞

1

2

−( )𝑟 ∫ ∫0 𝑒 2 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 2𝜋 0

Misal 𝑤 = 𝑟 2 , 𝑑𝑤 = 2𝑟 𝑑𝑟,

𝑑𝑤

= 𝑟 𝑑𝑟

2

1 2𝜋 ∞ −(1)𝑤 𝑑𝑤 = ∫ [∫ 𝑒 2 ] 𝑑𝜃 2𝜋 0 2 0 =

∞ 1 1 2𝜋 1 ∫ |−2 𝑒 −2𝑤 | 𝑑𝜃 2𝜋 0 2 0 1

2𝜋

= 2𝜋 ∫0 −(0 − 1)𝑑𝜃 =

1 2𝜋 ∫ −(−1)𝑑𝜃 2𝜋 0

=

1 2𝜋 1 |𝜃|2𝜋 ∫ 1 𝑑𝜃 = 2𝜋 0 2𝜋 0

=

1 (2𝜋 − 0) = 1 2𝜋

Jadi, ∞

𝑄2 = 1 → 𝑄 = ∫

−∞ 𝜎

1

1

√2𝜋

2

𝑒 −(2)𝑚 𝜎 𝑑𝑚 = 1.

b) Distribusi Eksponensial 𝑓(𝑥) = 𝜆𝑒 −𝜆 𝑥 ,

𝜆 > 0, 𝑥 ≥ 0

Akan ditunjukkan bahwa distribusi Eksponensial memenuhi definisi 2.4 1) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅, terbukti bahwa 𝑓(𝑥) ≥ 0. ∞

∞

2) ∫−∞ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫0 𝜆𝑒 −𝜆 𝑥 𝑑𝑥 −1 ∞ = |𝜆𝑒 −𝜆 𝑥 ( ) | 𝜆 0 ∞

= − (|𝑒 −𝜆 𝑥 |0 ) = −(0 − 1) = 1.


3. Fungsi Ditribusi Kumulatif Definisi 2.5 Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) dari sebuah variabel random diskrit dan kontinu 𝑋 didefinisikan sebagai berikut , jika 𝑋 diskrit

∑ 𝑝(𝑥) ∀𝑋≤𝑥 𝑥

𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) =

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 { −∞

, jika 𝑋 kontinu

4. Karakteristik Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas dicirikan oleh adanya konstanta mean dan variansi yang merupakan karakteristiknya. a. Mean Definisi 2.6 Mean atau nilai harapan (expected value) dari suatu variabel random X dinotasikan sebagai 𝜇 atau 𝐸(𝑋) didefinisikan sebagai ∑ 𝑥𝑝(𝑥) 𝐸(𝑋) =

,jika 𝑋 diskrit

∀𝑥 ∞

∫ 𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 { −∞

, jika 𝑋 kontinu

b. Variansi Definisi 2.7 Jika 𝑋 adalah variabel random, maka variansi dari 𝑋 ditulis 𝑉(𝑋) didefinisikan sebagai 𝑉(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))2 ]. Teorema 2.1 𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋 2 ) − (𝐸(𝑋))

2


Bukti: 𝑉(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))2 ] = 𝐸(𝑋 2 − 2𝑋𝐸(𝑋) + (𝐸(𝑋))2 = 𝐸(𝑋 2 ) − 2𝐸(𝑋)𝐸(𝑋) + (𝐸(𝑋)) 𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋 2 ) − (𝐸(𝑋))2

2

∎

Contoh 2.3 a) Jika 𝑥 berdistribusi Geometrik 𝑝(𝑥) = 𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1 ,

𝑥 = 1, 2, 3, . . .

Berdasarkan definisi 2.6, akan ditunjukkan mean dari distribusi Geometrik ∞

∞

𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑝(𝑥) = ∑ 𝑥 𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1 = 𝑝 ∑ 𝑥(1 − 𝑝)𝑥−1 ∀𝑥

𝑥=1

𝑥=1

𝐸(𝑋) = 𝑝[1 + 2(1 − 𝑝) + 3(1 − 𝑝)2 + 4(1 − 𝑝)3 +. . . ] (1 − 𝑝)𝐸(𝑋) = 𝑝[(1 − 𝑝) + 2(1 − 𝑝)2 + 3(1 − 𝑝)3 + 4(1 − 𝑝)4 +. . . ] 𝐸(𝑋)(1 − (1 − 𝑝)) = 𝑝[1 + (1 − 𝑝) + (1 − 𝑝)2 + (1 − 𝑝)3 + (1 − 𝑝)4 +. . . ]. Jumlah deret tak hingga suatu deret geometri dengan 𝑎 merupakan suku 𝑎

pertama dan 𝑟 merupakan rasio antar suku adalah 𝑆∞ = 1− 𝑟. Dengan menggunakan deret geometri tersebut diperoleh 𝑎 = 𝑝 dan 𝑟 = 1 − 𝑝 sehingga jumlah deret tak hingga dari 𝑝[1 + (1 − 𝑝) + (1 − 𝑝)2 + (1 − 𝑝)3 + (1 − 𝑝)4 +. . . ] dapat ditulis kembali menjadi 𝑝 𝐸(𝑋)𝑝 = 1 − (1 − 𝑝) 𝐸(𝑋)𝑝 = 1. 1

Jadi, 𝐸(𝑋) = 𝑝. Berdasarkan Teorema 2.1, akan ditunjukkan variansi dari distribusi Geometrik 𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋 2 ) − [𝐸(𝑋)]2


Telah ditunjukkan pada contoh di atas berdasarkan definisi 2.6 bahwa 1 𝐸(𝑋) = , 𝑝 maka untuk mencari 𝑉 (𝑋) yang perlu dihitung terlebih dahulu adalah ∞

𝐸(𝑋

2)

∞

2

2

= ∑ 𝑥 𝑝(𝑥) = ∑ 𝑥 𝑝(1 − 𝑝) ∀𝑥

𝑥−1

= 𝑝 ∑ 𝑥 2 (1 − 𝑝)𝑥−1

𝑥=1

𝑥=1

2 𝑥−1 Misalkan 𝑞 = 1 − 𝑝, 𝑝 = 1 − 𝑞, ∑∞ = 𝑥=1 𝑥 (𝑞) ∞

= 𝑝 ∑ 𝑥 2 (𝑞)𝑥−1 = 𝑝 ( 𝑥=1

1+ 𝑞 (1− 𝑞)3

1+ 𝑞 1+1−𝑝 2−𝑝 )=𝑝 ( )= . 3 3 (1 − 𝑞) 𝑝 𝑝2

Jadi, variansi distribusi Geometrik adalah 𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋 2 ) − [𝐸(𝑋)]2 =

2−𝑝 1 2 2−𝑝 1 1−𝑝 − ( ) = − 2= 2 . 2 2 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝

b) Jika 𝑥 berdistribusi Normal 𝑓(𝑥) =

1 𝜎 √2𝜋

exp [− (

1 ) ((𝑥 − 𝜇)2 )] , 2𝜎 2

−∞ < 𝑥 < ∞

Berdasarkan definisi 2.6, akan ditunjukkan mean dari distribusi Normal ∞

𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = −∞

=

∞

1

∫

𝜎 √2𝜋

𝑥𝑒

−

∞

1 𝜎 √2𝜋

∫

1 𝑥−𝜇 2 ) 𝜎 𝑑𝑥

𝑥 𝑒 −2 (

−∞

1 (𝑥−𝜇)2 2𝜎2 𝑑𝑥

−∞

Misalkan 𝑦 = 𝑥 − 𝜇, 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥, 𝑥 = 𝑦 + 𝜇 𝐸(𝑋) =

∞

1 𝜎 √2𝜋

= 𝜇+𝜎

∫

(𝑦 + 𝜇) 𝑒

−

1 (𝑦)2 2𝜎2 𝑑𝑦

−∞ 1

∞

∫ 𝑦𝑒 √2𝜋 −∞

−

1 2𝜎2

(𝑦)2

𝑑𝑦 = 𝜇.

Berdasarkan Teorema 2.1, akan ditunjukkan variansi dari distribusi Normal ∞

𝑉(𝑋) = 𝐸[(𝑥 − 𝜇)2 ] = ∫ (𝑥 − 𝜇)𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 −∞


=

1 𝜎 √2𝜋

∞

∫ (𝑥 − 𝜇)𝑒

−(

1 )((𝑥−𝜇)2 ) 2𝜎2

𝑑𝑥

−∞

Misalkan 𝑦 = 𝑥 − 𝜇, 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥, 𝑥 = 𝑦 + 𝜇, =

1 𝜎 √2𝜋

∞

∫ (𝑦 2 )𝑒

−(

1 )((𝑦)2 ) 2𝜎2

Misal 𝑢 = 𝑦, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑦, 𝑑𝑣 = 𝑦𝑒 =

1 𝜎 √2𝜋

|

𝑑𝑦

−∞ −(

∞ 1 2 2 −(2𝜎2 )((𝑦) ) 𝑦 (−𝜎 𝑒 )| 0

1 )((𝑦)2 ) 2𝜎2

−

1 𝜎 √2𝜋

𝑑𝑦, 𝑣 = −𝜎 2 𝑒 ∞

∫ −𝜎 2 𝑒

−(

−(

1 )((𝑦)2 ) 2𝜎2

1 )(𝑦 2 ) 2𝜎2 𝑑𝑦

−∞

2

= 0 + 𝜎 .1 = 𝜎2. Jadi, variansi dari distribusi Normal adalah 𝑉(𝑋) = 𝜎 2 .

B. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya Definisi 2.8 Fungsi Gamma didefinisikan sebagai ∞

𝛤(𝛼) = ∫ 𝑥 𝛼−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 0

Fungsi Gamma adalah salah satu fungsi yang penting dalam statistika karena dapat digunakan untuk menyelesaikan integral yang rumit dalam mencari fungsi pembangkit momen, variansi, rata-rata dan momen.

Teorema 2.2 Fungsi Gamma memiliki sifat 1. 𝛤(𝛼) = (𝛼 − 1)𝛤(𝛼 − 1) untuk setiap 𝛼 > 1 Bukti: Berdasarkan definisi 2.8 ∞

𝛤(𝛼) = ∫ 𝑥 𝛼−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥, 0

misalkan 𝑢 = 𝑥 𝛼−1 maka 𝑑𝑢 = (𝛼 − 1)𝑥 𝛼−2 dan 𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑥 maka 𝑣 = −𝑒 −𝑥


∞

𝛤(𝛼) = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 0 ∞

= lim [−𝑥 𝛼−1 𝑒 −𝑥 ]𝑏0 − ∫ −(𝛼 − 1)𝑥 𝛼−2 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑏→∞

0 ∞

=

lim [−𝑥 𝛼−1 𝑒 −𝑥 ]𝑏0 𝑏→∞

+ (𝛼 − 1) ∫ 𝑥 𝛼−2 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 0 ∞

= lim [−𝑥 𝛼−1 𝑒 −𝑥 ]𝑏0 + (𝛼 − 1) ∫ 𝑥 (𝛼−1)−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑏→∞

0

𝑏 𝛼−1 = lim ( 𝑏 ) + (𝛼 − 1)𝛤(𝛼 − 1) 𝑏→∞ 𝑒 exp((𝛼 − 1) ln 𝑏) = − lim [ ] + (𝛼 − 1)𝛤(𝛼 − 1) 𝑏→∞ 𝑒𝑏 = − lim [exp((𝛼 − 1) ln 𝑏 − 𝑏)] + (𝛼 − 1)𝛤(𝛼 − 1) 𝑏→∞

ln 𝑏) = − lim {exp [(𝛼 − 1)𝑏 ( − 1)]} + (𝛼 − 1)𝛤(𝛼 − 1) 𝑏→∞ 𝑏 = (𝛼 − 1)𝛤(𝛼 − 1). 2. 𝛤(𝑛) = (𝑛 − 1)! Dengan 𝑛 bilangan bulat positif. Bukti: Berdasarkan sifat Gamma 𝛤(𝛼) = (𝛼 − 1)𝛤(𝛼 − 1), sehingga diperoleh 𝛤(𝑛) = (𝑛 − 1)𝛤(𝑛 − 1) = (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)𝛤(𝑛 − 2) = (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)𝛤(𝑛 − 3) = (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)(𝑛 − 4) … (3)(2)(1)𝛤(1) Berdasarkan definisi 2.8 maka diperoleh ∞

𝛤(1) = ∫ 𝑥1−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 0

(2.1)


𝑝

= lim ∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑝→∞ 0

= lim [−𝑒 −𝑥 ]𝑝0 𝑝→∞

=1 Persamaan (2.1) menjadi 𝛤(𝑛) = (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)(𝑛 − 4) … (3)(2)(1)𝛤(1) = (𝑛 − 1)!. 1

3. 𝛤 (2) = √𝜋 Bukti: 1

Akan dibuktikan bahwa 𝛤 (2) = √𝜋 Berdasarkan definisi 2.8 ∞

𝛤(𝛼) = ∫ 𝑥 𝛼−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥, 0 2

misalkan 𝑥 = 𝑢 , 𝑑𝑥 = 2𝑢 𝑑𝑢 ∞

2

𝛤(𝛼) = ∫ 𝑢2𝛼−2 𝑒 −𝑢 2𝑢 𝑑𝑢 0 ∞

2

= 2 ∫ 𝑢2𝛼−2 𝑒 −𝑢 𝑢 𝑑𝑢 0 ∞

2

= 2 ∫ 𝑢2𝛼−1 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 0 1

ketika 2𝛼 − 1 = 0 maka 𝛼 = 2, sehingga diperoleh ∞ 1 2 𝛤 ( ) = ∫ 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 2 0

1 2 1 1 [𝛤 ( )] = [𝛤 ( )] [𝛤 ( )] 2 2 2 ∞

2

∞

2

= (2 ∫ 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢) (2 ∫ 𝑒 −𝑣 𝑑𝑣) 0

=

2 2 ∞ ∞ 4 ∫0 ∫0 𝑒 −(𝑢 +𝑣 )

0

𝑑𝑢 𝑑𝑣.


Integral tersebut dapat diselesaikan dengan mengubah integral kartesius menjadi integral polar. Misalkan 𝑢 = 𝑟 cos 𝜃, 𝑣 = 𝑟 sin 𝜃 maka 𝑢2 + 𝑣 2 = 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 = 𝑟 2 (𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜃) = 𝑟2 𝜋

∞ 2 1 2 2 [𝛤 ( )] = 4 ∫ ∫ 𝑒 −𝑟 𝑑𝑢 𝑑𝑣 2 0 0 𝜋 2

∞

2

= 4 ∫ ∫ 𝑒 −𝑟 𝑟𝑑𝑟 𝑑𝑣 0

0 𝜋 2

∞

2

= 4 (∫ 𝑑𝜃) (∫ 𝑒 −𝑟 𝑟𝑑𝑟) 0

0

misalkan 𝑠 = 𝑟 2 , 𝑑𝑠 = 2𝑟 𝑑𝑟 𝑏 𝜋 1 = 4 ( ) (− lim ∫ 𝑒 −𝑠 𝑑𝑠) 2 2 𝑏→∞ 0

= −𝜋 lim [−𝑒 −𝑠 ]𝑏0 𝑏→∞

= −𝜋(0 − 1) = 𝜋. Definisi 2.9 Sebuah variabel random 𝑋 dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter 𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0 jika dan hanya jika fungsi densitas 𝑋 adalah −

𝑥

𝑥 𝛼−1 𝑒 𝛽 𝑓(𝑥) = { 𝛽 𝛼 𝛤(𝛼) , 0, ∞

dengan 𝛤(𝛼) = ∫0 𝑥 𝛼−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥.

𝑥 > 0, 𝛼 > 0, 𝛽 > 0 selainnya


0.5

ß=1,a=2 ß=2,a=2 ß=3,a=2 ß=5,a=1 ß=9,a=0.5 ß=7.5,a=1 ß=0.5,a=1

0.4

f(x)

0.3

0.2

0.1

0.0 0

5

10

15

x

Gambar 2. 1 Grafik Distribusi Gamma Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.1

Definisi 2.10 Misal 𝑣 adalah sebuah bilangan bulat positif. Sebuah variabel random 𝑋 dikatakan berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas 𝑣 jika dan hanya jika 𝑋 merupakan 𝑣

variabel random yang berdistribusi Gamma dengan parameter 𝛼 = 2 dan 𝛽 = 2. Fungsi densitasnya adalah 𝑣

𝑥

𝑥 2−1 𝑒 −2 , 𝑥2 > 0 𝑓(𝑥) = 2𝛼 𝛤 (𝑣 ) 2 {0, selainnya


0.5

v=1 v=2 v=3 v=4 v=6 v=9

0.4

f(x)

0.3

0.2

0.1

0.0 0

2

4

6

8

10

x

Gambar 2. 2 Grafik Distribusi Chi-Square Grafik diatas diproduksi dengan program R pada lampiran A.2

C. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen Definisi 2.11 Momen ke – 𝑘 dari variabel random 𝑋 di sekitar titik asal didefinisikan sebagai 𝐸(𝑋 𝑘 ) dan dinotasikan dengan 𝜇 ′ 𝑘 . Contoh 2.4 Tentukan momen saat k=1 dan saat k=2. Jawab:


Untuk k=1, 𝐸(𝑋) = 𝜇1 ′ = 𝜇. Untuk k=2, 𝐸(𝑋 2 ) = 𝜇2 ′ . Hal ini dapat berguna saat mencari variansi, berdasarkan Teorema 2.1 𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋 2 ) − (𝐸(𝑋))

2

= 𝜇2 ′ − 𝜇 2 . Definisi 2.12 Fungsi pembangkit momen 𝑚(𝑡) untuk variabel random 𝑋 didefinisikan sebagai 𝑚(𝑡) = 𝐸(𝑒 𝑡𝑥 ). Fungsi pembangkit momen dikatakan ada jika ada sebuah konstanta positif 𝑏 berhingga untuk |𝑡| ≤ 𝑏.

Definisi 2.13 Fungsi Pembangkit Momen dari variabel random 𝑋 adalah 𝐸(𝑒 𝑡𝑥 ) dan dinyatakan dengan 𝑚𝑥 (𝑡). Sehingga ∑ 𝑒 𝑡𝑥 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∞

𝑚𝑥 (𝑡) =

∫ 𝑒 𝑡𝑥 𝑓(𝑥), { −∞ Contoh 2.5 1. Fungsi Pembangkit Momen distribusi Normal ∞

𝑚𝑥 (𝑡) = ∫ 𝑒 𝑡𝑥 𝑓(𝑥) −∞ ∞

=∫ 𝑒

1

𝑡(𝑥−𝜇)

𝜎√2𝜋

0

−(𝑥−𝜇)2 𝑒 2𝜎2

misalkan 𝑢 = 𝑥 − 𝜇 ∞

= ∫ 𝑒 𝑡𝑢 0

=

1 𝜎√2𝜋

1 𝜎√2𝜋 ∞

∫ 𝑒 0

𝑡𝑢

−(𝑢)2 2𝜎2

𝑑𝑥

−(𝑢)2 𝑒 2𝜎2

𝑑𝑥

𝑒

jika 𝑋 diskrit

𝑑𝑥

jika 𝑋 kontinu


= = =

=

𝜎√2𝜋 𝜎√2𝜋 𝜎√2𝜋

=

2

2

2

∫ 𝑒

𝜎√2𝜋 𝜎 𝑡2

𝑒

𝑡2

𝜎2 2

2

𝜎2

𝑢2 2𝜎2 𝑡𝑢 + 2𝜎2 2𝜎2 𝑑𝑥

−

1 (𝑢2 −2𝜎2 𝑡𝑢) 2𝜎2 𝑑𝑥

∫ 𝑒

=𝑒

𝜎2 2

𝑒𝑡

∞

∫ 𝑒

2𝜎

−𝑡 2

𝜎2 2

∙𝑒

−

1 (𝑢2 −2𝜎2 𝑡𝑢) 2𝜎2 𝑑𝑥

2

∞

∫ 𝑒

−

1 (𝑢2 −2𝜎2 𝑡𝑢+𝜎4 𝑡 2 ) 2𝜎2 𝑑𝑥

0 ∞

∫ ∞

∫ 0

= 𝑒𝑡

1 (𝑢2 −2𝜎2 𝑡𝑢) 2𝜎2 𝑑𝑥

0

𝑒

−

1 (𝑢2 −2𝜎2 𝑡𝑢+𝜎4 𝑡 2 ) 2𝜎2

𝜎√2𝜋

0 𝑡2

−

0

2

2

−

∞

𝜎√2𝜋

1

𝑑𝑥

0

1

𝜎√2𝜋

(𝑢)2 2𝜎2

0

2

1

=𝑒

∫ 𝑒

𝜎2

2𝜎

𝑡𝑢−

0

∞

1

𝑒𝑡

∫ 𝑒 ∞

1

𝑒𝑡 =

∞

1

1 𝜎√2𝜋

𝑒

−

(𝑢−𝜎2 𝑡) 2𝜎2

𝑑𝑥

2

𝑑𝑥

2

2

Jadi, fungsi pembangkit momen distribusi Normal adalah 𝑚𝑥 (𝑡) = 𝑒 𝑡 2. Fungsi Pembangkit Momen distribusi Gamma ∞

𝑚𝑥 (𝑡) = ∫ 𝑒 𝑡𝑥 𝑓(𝑥) −∞ ∞

=∫ 𝑒 0 ∞

=∫ 0

𝑡𝑥

−𝑥 1 𝛼−1 𝛽 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 𝛽 𝛼 𝛤(𝛼)

−𝑥 1 𝛼−1 𝑡𝑥 𝛽 𝑥 𝑒 𝑒 𝑑𝑥 𝛽 𝛼 𝛤(𝛼)

∞ 𝑥 1 𝑡𝑥− = 𝛼 ∫ 𝑥 𝛼−1 𝑒 𝛽 𝑑𝑥 𝛽 𝛤(𝛼) 0

2 2𝜎 2

.


∞ 𝑥 1 − +𝑡𝑥 = 𝛼 ∫ 𝑥 𝛼−1 𝑒 𝛽 𝑑𝑥 𝛽 𝛤(𝛼) 0

=

∞ 1 1 𝛼−1 −𝑥(𝛽 − 𝑡) ∫ 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 𝛽 𝛼 𝛤(𝛼) 0 1

1

misalkan 𝑠 = 𝛽 − 𝑡 =

∞ 1 1 𝛼−1 −𝑥( 𝑠 ) ∫ 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 𝛽 𝛼 𝛤(𝛼) 0

=

1 [𝛤(𝛼)𝑠(𝛼)] 𝛽 𝛼 𝛤(𝛼)

𝑠𝛼 = 𝛼 𝛽 1

1

Ingat 𝑠 = 𝛽 − 𝑡 =

1−𝛽𝑡 𝛽

𝛽

, maka 𝑠 = 1−𝛽𝑡

𝛽 𝑠 1 − 𝛽𝑡 𝛽 1 1 = = ∙ = 𝛽 𝛽 1 − 𝛽𝑡 𝛽 1 − 𝛽𝑡 Jadi, fungsi pembangkit momen distribusi Gamma adalah 𝛼 𝑠𝛼 𝑠 𝛼 1 𝑚𝑥 (𝑡) = 𝛼 = ( ) = ( ) = (1 − 𝛽𝑡)−𝛼 . 𝛽 𝛽 1 − 𝛽𝑡

Teorema 2.3 Sifat-sifat Fungsi Pembangkit Momen 1. Jika 𝑋 adalah variabel random dan 𝑐 adalah sebuah konstanta, maka 𝑚𝑐𝑋 (𝑡) = 𝑚𝑋 (𝑐𝑡). 2. Jika 𝑋 adalah variabel random dan 𝑐 adalah sebuah konstanta, maka 𝑚𝑋+𝑐 (𝑡) = 𝑒 𝑐𝑡 ∙ 𝑚𝑥 (𝑡). 3. Jika 𝑋 adalah variabel random dan 𝑎 & 𝑏 adalah dua buah konstanta, maka 𝑎𝑡 𝑡 𝑚(𝑋+𝑎) (𝑡) = 𝑒 𝑏 ∙ 𝑚𝑥 ( ). 𝑏 𝑏


Bukti: 1. 𝑚𝑐𝑋 (𝑡) = 𝐸(𝑒 (𝑐𝑋)𝑡 ) = 𝐸(𝑒 (𝑐𝑡)𝑋 ) = 𝑚𝑋 (𝑐𝑡). 2. 𝑚𝑋+𝑐 (𝑡) = 𝐸(𝑒 (𝑋+𝑐)𝑡 ) = 𝐸(𝑒 (𝑡𝑋) 𝑒 (𝑐𝑡) ) = 𝑒 𝑐𝑡 ∙ 𝑚𝑥 (𝑡). 3. 𝑚(𝑋+𝑎) (𝑡) = 𝐸 (𝑒 (

(𝑋+𝑎) )𝑡 𝑏

) = 𝐸 (𝑒 (

(𝑋𝑡+𝑎𝑡) ) 𝑏

) = 𝐸 (𝑒 (

(𝑋𝑡) ) 𝑏

𝑒(

(𝑎𝑡) ) 𝑏

𝑏

𝑎𝑡

𝑡

) = 𝑒 𝑏 ∙ 𝑚𝑥 (𝑏).

Teorema 2.4 Teorema Ketunggalan Misalkan 𝑚𝑥 (𝑡) dan 𝑚𝑦 (𝑡) adalah fungsi pembangkit momen dari variabel acak 𝑋 dan 𝑌. Jika kedua fungsi pembangkit momen ada dan 𝑚𝑥 (𝑡) = 𝑚𝑦 (𝑡) untuk semua nilai dari 𝑡, maka 𝑋 dan 𝑌 mempunyai distribusi probabilitas yang sama. Bukti: Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi. Pada skripsi tersebut, teorema ketunggalan dibuktikan secara umum dengan menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu 𝜑𝑥 (𝑡) = 𝐸(𝑒 𝑖𝑡𝑥 ), dengan 𝑖 adalah bilangan kompleks. Perhatikan bahwa fungsi pembangkit momen (FPM) adalah bentuk khusus dari fungsi karakteristik, bukti dilakukan dengan menunjukan bahwa bila 𝐹 dan 𝐺 adalah fungsi distribusi kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama, yaitu ∞

∫ 𝑒 −∞

∞ 𝑖𝑡𝑥

𝑑𝐹(𝑥) = ∫ 𝑒 𝑖𝑡𝑥 𝑑𝐺(𝑥)

∀𝑡 ∈ ℝ,

−∞

maka 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥). (Skripsi halaman 54). Berdasarkan teorema ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi pembangkit momen dengan fungsi probabilitas ∎


Teorema 2.5 Misalkan 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 adalah variabel acak yang saling bebas dengan fungsi pembangkit momen 𝑚𝑋1 (𝑡), 𝑚𝑋2 (𝑡), … , 𝑚𝑋𝑛 (𝑡). Jika 𝑈 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛 , maka 𝑚𝑈 (𝑡) = 𝑚𝑋1 (𝑡) × 𝑚𝑋2 (𝑡) × … × 𝑚𝑋𝑛 (𝑡). Bukti: 𝑚𝑈 (𝑡) = 𝐸(𝑒 𝑡𝑈 ) = 𝐸(𝑒 𝑡(𝑋1 +𝑋2 +⋯+𝑋𝑛) ) = 𝐸(𝑒 𝑡𝑋1 𝑒 𝑡𝑋2 … 𝑒 𝑡𝑋𝑛 ) = 𝐸(𝑒 𝑡𝑋1 ) × 𝐸(𝑒 𝑡𝑋2 ) × … × 𝐸(𝑒 𝑡𝑋𝑛 ) = 𝑚𝑋1 (𝑡) × 𝑚𝑋2 (𝑡) × … × 𝑚𝑋𝑛 (𝑡)

∎

D. Pendugaan Parameter Pendugaan parameter adalah bidang dari statistika yang berhubungan dengan menduga nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukur atau data empiris yang memiliki komponen random. Pendugaan parameter adalah suatu metode untuk menduga nilai parameter populasi dengan menggunakan nilai-nilai dari sampel.

Definisi 2.15 Parameter adalah suatu konstanta yang menggambarkan (merupakan karakteristik) populasi. Sebuah keluarga parametrik fungsi densitas adalah kumpulan fungsi densitas yang diindeks oleh suatu kuantitas yang disebut parameter.


Contoh 2.6: 1. Populasi 𝑓(𝑥) =

berdistribusi 1 𝜎 √2𝜋

Normal

dengan

fungsi

densitasnya

adalah

1

exp [− (2𝜎2 ) ((𝑥 − 𝜇)2 )] , −∞ < 𝑥 < ∞ memiliki parameter

𝜇 dan 𝜎 2 , dengan 𝜇 merupakan rata-rata populasi dan 𝜎 2 merupakan variansi populasi. 2. Populasi berdistribusi Eksponensial fungsi densitasnya adalah 𝑓(𝑥; 𝜆) = 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 , dengan 𝜆 > 0. Maka untuk setiap 𝜆 > 0, 𝑓(𝑥; 𝜆) adalah fungsi densitas. Kumpulan dari 𝑓(𝑥; 𝜆) adalah keluarga parametrik dari fungsi densitas.

Definisi 2.16 Penduga (estimator) adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam suatu rumus yang digunakan untuk menghitung nilai dari pendugaan yang didasarkan atas pengukuran di dalam sampel.

Penduga dibagi menjadi dua bagian yaitu penduga titik (point estimation) dan penduga selang (interval estimation). Definisi 2.17 Penduga Titik (Point Estimation) Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal yang dengan sebaik-baiknya menduga parameter yang sebenarnya.

Contoh 2.7 Rata-rata sampel yang dinyatakan dalam suatu rumus 𝑛

1 𝑥̅ = ∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1

merupakan salah satu penduga titik dari rata-rata populasi 𝜇.


Definisi 2.18 Penduga Selang (Interval Estimation) Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang memiliki peluang yang besar akan memuat parameter sebenarnya.

E. Selang Kepercayaan Penduga selang adalah metode yang digunakan untuk menghitung 2 nilai yang akan membentuk titik-titik batas interval. Idealnya hasil dari interval akan memiliki 2 sifat. Pertama ia akan memuat parameter 𝜃, kedua, intervalnya akan relatif sempit. Kedua titik batas dari interval merupakan fungsi dari pengukuran sampel yang akan bervariasi secara acak dari sampel yang satu dengan sampel yang lain. Jadi, panjang dan letak dari interval bersifat random. Kita tidak dapat secara pasti mengetahui letak dari parameter 𝜃, tapi kita tahu bahwa letaknya di dalam selang tersebut. Jadi tujuan kita adalah ingin menentukan interval yang relatif sempit tetapi mempunyai peluang yang besar untuk memuat parameter 𝜃. Penduga selang sering disebut dengan Selang Kepercayaan (Confidence Interval). Titik batas atas dan titik batas bawah dari selang kepercayaan disebut juga batas atas dan batas bawah kepercayaan. Peluang bahwa selang kepercayaan akan memuat parameter 𝜃 disebut koefisien kepercayaan. Dari sudut pandang praktis, koefisien kepercayaan mengidentifikasi berapakah 𝑖 dalam sampling berulang, selang yang terbentuk akan memuat parameter 𝜃 yang menjadi sasaran. Contoh, misal koefisien kepercayannya 95% , artinya jika ada sampling sebanyak 100 kali maka 95 selang yang terbentuk akan memuat 𝜃. Jika diketahui bahwa koefisien kepercayaan yang terkait dengan penduga itu tinggi, maka dapat dipercaya bahwa setiap selang kepercayaan yang dibangun dengan menggunakan hasil dari sampel tunggal akan memuat parameter 𝜃. Misalkan 𝜃̂𝐿 dan 𝜃̂𝑈 secara berturut-turut merupakan batas atas dan batas bawah selang kepercayaan random untuk parameter 𝜃.


Maka, jika 𝑃 (𝜃̂𝐿 ≤ 𝜃 ≤ 𝜃̂𝑈 ) = 1 − 𝛼 , peluang (1 − 𝛼) adalah koefisien kepercayaan. Interval random yang didefinisikan dengan [𝜃̂𝐿 , 𝜃̂𝑈 ] disebut selang kepercayaan dua sisi. Memungkinkan juga untuk membentuk selang kepercayaan satu sisi batas bawah yaitu 𝑃 (𝜃̂𝐿 ≤ 𝜃) = 1 − 𝛼, selang kepercayaannya adalah [𝜃̂𝐿 , ∞). Dengan cara yang sama, dapat dibentuk selang kepercayaan satu sisi batas atas yaitu 𝑃 (𝜃 ≤ 𝜃̂𝑈 ) = 1 − 𝛼, selang kepercayaannya adalah (−∞, 𝜃̂𝑈 ]. Metode yang sering digunakan untuk mencari selang kepercayaan disebut metode Pivot. Metode Pivot bergantung pada suatu nilai yang disebut kuantitas Pivot. Kuantitas Pivot memiliki 2 ciri: 1. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter 𝜃, dengan 𝜃 adalah kuantitas yang tidak diketahui. 2. Distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot tidak bergantung pada parameter 𝜃. Jika distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot diketahui, maka logika berikut dapat digunakan untuk bentuk penduga selang. Jika 𝑌 merupakan variabel random, 𝑐 > 0 adalah konstan, dan 𝑃(𝑎 ≤ 𝑌 ≤ 𝑏) = 0.7; maka jelas bahwa 𝑃(𝑐𝑎 ≤ 𝑐𝑌 ≤ 𝑐𝑏) = 0.7. Dengan cara yang sama untuk setiap konstan 𝑑, 𝑃(𝑎 + 𝑑 ≤ 𝑌 + 𝑑 ≤ 𝑏 + 𝑑) = 0.7. Peluang kejadian 𝑃(𝑎 ≤ 𝑌 ≤ 𝑏) tidak dipengaruhi dengan perubahan skala atau translasi dari 𝑌.

Contoh 2.8 Diberikan suatu populasi, dengan variabel random Y, memiliki distribusi Eksponensial dengan mean θ. Dengan menggunakan 𝑌, buatlah selang kepercayaan bagi 𝜃 dengan koefisien kepercayaan 0.90.


Jawab: Fungsi densitas untuk Y adalah sebagai berikut 𝑦 1 ( ) 𝑒 −θ , 𝑦≥0 𝑓(𝑦) = { θ 0, selainnya 𝑌

Dengan menggunakan metode Pivot, akan ditunjukkan bahwa U = θ memenuhi syarat sebagai kuantitas Pivot. 𝑌 F𝑢 (𝑢) = 𝑃(𝑈 ≤ 𝑢) = 𝑃 ( ≤ 𝑢) = 𝑃(𝑌 ≤ θ𝑢) = F𝑌 (θ𝑢) θ 𝑦 𝑦 𝑦 1 −𝑡 F𝑌 (y) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑒 θ 𝑑𝑡 = 1 − 𝑒 −θ −∞ −∞ θ

(2.2) (2.3)

Dari (2.2) dan (2.3) diperoleh 𝑢𝜃

𝑢

F𝑌 (θ𝑢) = 1 − 𝑒 − θ = 1 − 𝑒 −θ

f𝑢 (𝑢) = F𝑢 ′ (𝑢) = F𝑌 ′ (θ𝑢) = 𝑒 −𝑢 𝑌

U = θ adalah kuantitas Pivot, karena 1. U merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter 𝜃 yang tidak diketahui. 2. f𝑢 (𝑢) tidak bergantung pada 𝜃. Karena akan dibuat penduga selang dengan koefisien kepercayaan sama dengan 0.90, akan dicari 𝑎 dan 𝑏 untuk 𝑃(𝑎 ≤ 𝑈 ≤ 𝑏) = 0.90


𝑓(𝑢)

0.05

0.05

0.90

𝑢

a

b

Gambar 2. 3 Kurva Distribusi Eksponensial dengan 𝑃(𝑎 ≤ 𝑈 ≤ 𝑏) = 0.90 𝑎

∞

𝑃(𝑈 < 𝑎) = ∫0 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 = 0.05 dan 𝑃(𝑈 > 𝑏) = ∫𝑏 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 = 0.05 Maka, 1 − 𝑒 −𝑎 = 0.05 𝑒 −𝑎 = 1 − 0.05

𝑒 −𝑏 = 0.05 𝑙𝑛(𝑒 −𝑏 ) = ln(0.05)

𝑒 −𝑎 = 0.95

−𝑏 = −2.99573

ln(𝑒 −𝑎 ) = ln(0.95)

𝑏 = 2.99573

−𝑎 = −0.0512 𝑎 = 0.0512 Diperoleh 𝑎 = 0.0512 dan 𝑏 = 2.99573 sehingga 𝑃(𝑎 ≤ 𝑈 ≤ 𝑏) = 0.90 menjadi 𝑃(0.0512 ≤ 𝑈 ≤ 2.99573) = 0.90 𝑌 ≤ 2.99573) = 0.90 𝜃 0.0512 1 2.99573 𝑃( ≤ ≤ ) = 0.90 𝑌 𝜃 𝑌 𝑌 𝑌 𝑃( ≥𝜃≥ ) = 0.90 0.0512 2.99573 𝑌 𝑌 𝑃( ≤𝜃≤ ) = 0.90 2.99573 0.0512

𝑃 (0.0512 ≤


Jadi, selang kepercayaan bagi 𝜃 dengan koefisien kepercayaan 0.90 adalah 𝑃(

𝑌 𝑌 ≤𝜃≤ ) = 0.90. 2.99573 0.0512

F. Ukuran Penduga Yang Baik Penduga yang baik adalah penduga yang mendekati nilai parameter yang sebenarnya. Ciri-ciri penduga yang baik adalah penduga yang tak bias atau memiliki bias yang sekecil mungkin.

Bias dan Rata-rata Galat dari Penduga Titik Definisi 2.19 Misalkan 𝜃̂ adalah penduga titik dari parameter 𝜃, maka 𝜃̂ adalah penduga tak bias jika E(θ̂) = θ. Jika E(θ̂) ≠ θ, maka θ̂ disebut bias.

Definisi 2.20 Bias dari penduga titik 𝜃̂ didefinisikan sebagai 𝐵(𝜃̂) = 𝐸(𝜃̂) − 𝜃.

Contoh 2.9 Diberikan 𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 , … , 𝑦𝑛 merupakan sampel random dari populasi memiliki fungsi densitas sebagai berikut 𝑦 1 − (θ+1) ( )𝑒 , 𝑓(𝑦) = { θ + 1 0,

𝑦 > 0, 𝜃 > −1 selainnya

Tentukan penduga yang tak bias bagi 𝜃. Apakah 𝑌̅ merupakan penduga yang tak bias bagi 𝜃? Jawab: Akan dicoba 𝑌̅ sebagai penduga 𝜃.


𝑛

∑𝑛𝑖=1 𝑌𝑖 1 1 1 ̅ 𝐸(𝑌) = 𝐸 ( ) = 𝐸 (∑ 𝑌𝑖 ) = ∑ 𝐸(𝑌𝑖 ) = 𝑛(𝜃 + 1) = 𝜃 + 1. 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑖=1

Jadi 𝑌̅ bias. Biasnya dari 𝑌̅ adalah 1, maka 𝐸(𝑌̅) = 𝜃 + 1 𝐸(𝑌̅ − 1) = 𝜃 Jadi, 𝑌̅ − 1 adalah penduga tak bias dari 𝜃.

Definisi 2.21 Rata-rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) dari penduga titik 𝜃̂ adalah 2 𝑀𝑆𝐸(𝜃̂) = 𝐸 [(𝜃̂ − 𝜃 ) ].

Rata-rata Kuadrat Galat dari sebuah penduga 𝜃̂ adalah fungsi dari variansi dan biasnya.

Teorema 2.6 2 𝑀𝑆𝐸(𝜃̂) = 𝑉(𝜃̂) + [𝐵(𝜃̂) ]

Bukti: 2 𝑀𝑆𝐸(𝜃̂) = 𝐸 [(𝜃̂ − 𝜃) ] 2

= 𝐸 [(𝜃̂ − 𝐸 (𝜃̂)) + (𝐸(𝜃̂) − 𝜃) ] 2

2

= 𝐸 [(𝜃̂ − 𝐸 (𝜃̂)) + 2 (𝜃̂ − 𝐸 (𝜃̂)) (𝐸(𝜃̂) − 𝜃) + (𝐸(𝜃̂) − 𝜃) ] 2

2 = 𝐸 [(𝜃̂ − 𝐸 (𝜃̂)) ] + 𝐸 [2 (𝜃̂ − 𝐸 (𝜃̂)) (𝐸(𝜃̂) − 𝜃)] + 𝐸 [(𝐸(𝜃̂) − 𝜃) ] 2 = 𝑉(𝜃̂) + 2𝐸 [(𝜃̂ − 𝐸 (𝜃̂)) 𝐵(𝜃̂)] + [𝐵(𝜃̂)] 2 = 𝑉(𝜃̂) + 2𝐵(𝜃̂)𝐸 [(𝜃̂ − 𝐸 (𝜃̂))] + [𝐵(𝜃̂)] 2 = 𝑉(𝜃̂) + 2𝐵(𝜃̂)𝐸 (𝜃̂) − 𝐸[𝐸(𝜃̂)] + [𝐵(𝜃̂)]


2 = 𝑉(𝜃̂) + 0 + [𝐵(𝜃̂ )] 2 = 𝑉(𝜃̂) + [𝐵(𝜃̂)]

∎

G. Metode Kuadrat Terkecil Regresi linear adalah metode statistika yang digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel terikat (dependen;𝑌) dengan satu atau lebih variabel bebas (independen;𝑋).

Definisi 2.22 Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 ,

𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛

dengan 𝑌𝑖 = pengamatan ke- 𝑖 variabel dependen 𝑌 𝑋𝑖 = pengamatan ke- 𝑖 variabel independen 𝑥 𝛽0 = intersep (konstanta) 𝛽1 = parameter regresi 𝑢𝑖 = galat (error) dari pengamatan ke-𝑖 Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga parameter model regresi. Misalkan (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) pasangan sampel random berukuran 𝑛 pengamatan dari suatu populasi, berdasarkan definisi 2.22 maka persamaan garis regresinya adalah 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 . Metode Kuadrat Terkecil bertujuan untuk menentukan penduga dari 𝛽0 dan ̂0 dan 𝛽 ̂1. Dengan asumsi 𝐸(𝑢𝑖 ) = 0 persamaan regresi akan diduga 𝛽1, yaitu 𝛽 dengan ̂0 + 𝛽 ̂1 𝑋𝑖 . ̂𝑖 = 𝛽 𝑌 Tujuan dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menemukan dari 𝛽0 dan 𝛽1 yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error;SSE).


Definisi 2.23 Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error;SSE) didefinisikan sebagai berikut 𝑛

𝑛

̂0 + 𝛽 ̂1 𝑥𝑖 )]2 . 𝑆𝑆𝐸 = ∑(𝑦𝑖 − 𝑦̂) = ∑[𝑦𝑖 − ( 𝛽 𝑖 2

𝑖=1

𝑖=1

̂0 dan 𝛽 ̂1 Jumlah Kuadrat Galat (SSE) akan memiliki nilai minimum jika nilai 𝛽 memenuhi persamaan

𝜕𝑆𝑆𝐸 ̂0 𝜕𝛽

= 0 dan

𝜕𝑆𝑆𝐸 ̂1 𝜕𝛽

= 0. Dengan menggunakan turunan

̂0 dan 𝛽 ̂1, maka diperoleh parsial terhadap 𝛽 ̂0 + 𝛽 ̂1 𝑥𝑖 )]2 𝜕𝑆𝑆𝐸 𝜕( ∑𝑛𝑖=1[𝑦𝑖 − ( 𝛽 = ̂0 ̂0 𝜕𝛽 𝜕𝛽

=0

𝑛

̂0 + 𝛽 ̂1 𝑥𝑖 )] = − ∑ 2[𝑦𝑖 − ( 𝛽

=0

𝑖=1 𝑛

𝑛

̂0 + 𝛽 ̂1𝑥𝑖 ) ) = 0 = −2 (∑ 𝑦𝑖 − ∑( 𝛽 𝑖=1

𝑖=1

𝑛

𝑛

̂0 − 𝛽 ̂1 ∑ 𝑥𝑖 ) = (∑ 𝑦𝑖 − 𝑛𝛽 𝑖=1

=0

𝑖=1

𝑛

𝑛

̂0 + 𝛽 ̂1 ∑ 𝑥𝑖 ∑ 𝑦𝑖 = 𝑛𝛽 𝑖=1

(2.4)

𝑖=1

dan ̂0 + 𝛽 ̂1 𝑥𝑖 )]2 𝜕( ∑𝑛𝑖=1[𝑦𝑖 − ( 𝛽 𝜕𝑆𝑆𝐸 = =0 ̂1 ̂1 𝜕𝛽 𝜕𝛽 ̂0 + 𝛽 ̂1 𝑥𝑖 )]𝑥𝑖 = 0 = − ∑𝑛𝑖=1 2[𝑦𝑖 − ( 𝛽 ̂0 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 − 𝛽 ̂1 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 2 ) = 0 = −2(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝛽 ̂0 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 − 𝛽 ̂1 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 2 ) = 0 = (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝛽 𝑛

𝑛

𝑛

̂0 ∑ 𝑥𝑖 + 𝛽 ̂1 ∑ 𝑥𝑖 2 ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 = 𝛽 𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

(2.5)


Persamaan (2.4) dan (2.5) dapat diselesaikan dengan metode Eliminasi maka ̂0 dan 𝛽 ̂1 sebagai berikut akan diperoleh 𝛽 1 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ∑𝑛𝑖=1(𝑌𝑖 − 𝑌̅) (𝑥𝑖 − 𝑥̅ ) 𝑛 ̂ (2.6) 𝛽1 = = 1 ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 2 − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )2 𝑛 1 1 − 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 + 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 2 ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ̂0 = 𝛽 1 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 2 − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )2 𝑛 1 𝑛 1 ∑𝑖=1 𝑥𝑖 2 ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 − ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑛 𝑛 = 1 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 2 − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )2 𝑛 1 𝑛 1 1 1 ∑𝑖=1 𝑦𝑖 (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 2 − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )2 ) − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ) ( ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ) 𝑛 𝑛 𝑛 =𝑛 1 𝑛 𝑛 ∑𝑖=1 𝑥𝑖 2 − (∑𝑖=1 𝑥𝑖 )2 𝑛 1 𝑛 1 1 1 ∑𝑖=1 𝑥𝑖 2 ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 − ( 2 ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )2 ) − ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 + ( 2 ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )2 ) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 = 1 𝑛 𝑛 ∑𝑖=1 𝑥𝑖 2 − (∑𝑖=1 𝑥𝑖 )2 𝑛 1 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 1 𝑛 1 𝑛 = ∑ 𝑦𝑖 − ( ∑ 𝑥𝑖 ) 1 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 2 2 ∑ (∑ ) 𝑥 − 𝑥 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖 𝑖=1 𝑖 𝑛 ̂1 𝑥̅ (2.7) = 𝑦̅ − 𝛽 ̂0 dan 𝛽 ̂1 pada persamaan (2.6) dan (2.7) adalah penduga yang Penduga 𝛽 ̂0 dan 𝛽 ̂1 adalah titik memiliki jumlah kuadrat galat yang paling minimum, maka 𝛽 minimum.

Contoh 2.10 ̂0 + 𝛽 ̂1 𝑥𝑖 untuk 𝑛 = 15 Tentukan koefisien dari garis lurus dengan model 𝑦̂𝑖 = 𝛽 titik data yang diberikan dalam tabel di bawah ini dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil.


Tabel 2.1 Data Contoh 2.10 No Roe (𝑥𝑖 ) Gaji (𝑦𝑖 ) 1 14.1 1095 2 10.9 1001 3 23.5 1122 4 5.9 578 5 13.8 1368 6 20.0 1145 7 16.4 1078 8 16.3 1094 9 10.5 1237 10 26.3 833 11 25.9 567 12 26.8 933 13 14.8 1339 14 22.3 937 15 56.3 2011 Sumber data: Wooldridge, Jeffrey M. (2009). Introduction Econometrics (4th Edition). South-Western: Cengage Learning. Halaman: 37.

Jawab: Dengan menggunakan persamaan kuadrat terkecil yang dimiliki, maka diperoleh hasil 1 1 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 361935.1 − (303.8)(16338) 𝑛 15 ̂1 = 𝛽 = 1 1 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 2 − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )2 8106.78 − (303.8)2 𝑛 15 = 15.884 ̂0 = 𝑦̅ − 𝛽 ̂1 𝑥̅ = 1089.2 − (15.884 ∗ 20.25333) = 767.4784 𝛽 Jadi, penyelesaiannya adalah 𝑦̂ = 767.4784 + 15.884 𝑥.


1000 0

500

Y

1500

2000

35

0

10

20

30

40

50

60

X

Gambar 2.4 Grafik penduga Kuadrat Terkecil Penyelesaian contoh 2.10 dan Grafik diproduksi dengan program R dapat dilihat pada lampiran A.3.

H. Metode Kemungkinan Maksimum Dasar pemikiran dari Metode Kemungkinan Maksimum diilustrasikan dalam suatu contoh berikut. Misalkan terdapat sebuah kotak yang memuat tiga bola. Diketahui bahwa setiap bola mungkin berwarna merah atau putih, tetapi tidak diketahui banyaknya bola untuk setiap warna. Dipilih sampel secara random dua bola tanpa pengembalian. Jika sampel random menghasilkan dua bola merah, dapat disimpulkan bahwa jumlah bola merah pada kotak haruslah dua atau tiga (jika terdapat nol atau satu bola merah pada kotak, maka tidak mungkin untuk memperoleh dua bola merah ketika mengambil sampel tanpa pengembalian). Jika terdapat dua bola merah dan satu bola putih pada kotak, peluang terpilihnya dua bola merah secara random adalah


(22)(10) (32)

=

1 3

Jika terdapat tiga bola merah di dalam kotak, peluang terpilihnya tiga bola merah secara random adalah (32) (32)

=1

Oleh karena itu dipilih tiga sebagai perkiraan jumlah bola merah di dalam kotak, karena perkiraan ini memaksimumkan peluang dari sampel yang diamati. Tentu saja, ada kemungkinan bahwa kotak hanya berisi dua bola merah, tetapi hasil yang diamati memberikan kepercayaan lebih bahwa ada tiga bola merah di dalam kotak. Contoh ini mengilustrasikan suatu metode untuk menemukan suatu penduga yang dapat diaplikasikan di berbagai situasi. Metode ini disebut Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method).

Definisi 2.24 Misalkan 𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 adalah variabel random kontinu berukuran 𝑛 dengan fungsi densitas 𝑓(𝑥; 𝜃) dan 𝜃 adalah parameter yang tidak diketahui. Fungsi likelihood dari sampel random adalah fungsi densitas bersama dari 𝑛 variabel random dan merupakan fungsi dari parameter yang tidak diketahui. Fungsi likelihood dinotasikan

dengan

𝐿 (𝑥|𝜃)

dan

didefinisikan

sebagai

𝐿 (𝑥|𝜃) =

∏𝑛𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 ; 𝜃), dengan 𝑓(𝑥𝑖 ; 𝜃) adalah notasi fungsi probabilitas dari 𝑥𝑖 dengan parameter 𝜃.

Definisi 2.25 Bila fungsi kemungkinan 𝐿 (𝜃) bergantung pada 𝑘 buah parameter yaitu 𝜃1 , 𝜃2 , . . . , 𝜃𝑘 maka tujuan dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah menentukan

penduga

dari

𝜃

yang

memaksimumkan

𝐿 (𝑥|𝜃) =


𝐿 (𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 |𝜃1 , 𝜃2 , . . . , 𝜃𝑘 ) atau ekuivalen dengan memaksimumkan fungsi log-likelihood 𝑙(𝑥|𝜃) dengan 𝑙 = ln 𝐿 (𝑥|𝜃). Nilai parameter 𝜃 dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi loglikelihood. Hal tersebut dapat diperoleh dengan mencari turunan parsial pertama dari fungsi log-likelihood-nya terhadap setiap parameternya. Sehingga, MLE 𝜃̂ merupakan penyelesaian persamaan

𝜕𝐿 𝜕𝜃

= 𝜃. Misalkan terdapat 𝑘 parameter yang

tidak diketahui, maka pendugaan 𝜃𝑖 dengan Metode Kemungkinan Maksimum 𝜕𝐿 𝜕𝜃𝑖

= 0 dengan 𝑙 = ln(𝜃1 , 𝜃2 , . . . , 𝜃𝑘 ) dan 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑘.

Contoh 2.11 Misalkan 𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 adalah sampel random berdistribusi Normal dengan ratâ2 dengan menggunakan Metode rata 𝜇 dan variansi 𝜎 2 . Tentukan 𝜇̂ dan 𝜎 Kemungkinan Maksimum. Jawab: 𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 adalah variabel random kontinu berdistribusi Normal dengan ratarata 𝜇 dan variansi 𝜎 2 maka fungsi probabilitas densitasnya didefinisikan sebagai berikut 𝑓(𝑥) =

1

1 exp [− ( 2 ) ((𝑥𝑛 − 𝜇)2 )] , 2𝜎 𝜎 √2𝜋

Berdasarkan definisi 2.24 maka diperoleh 𝑛

𝐿

(𝜇|𝜎 2 )

= ∏ 𝑓(𝑥𝑖 ; 𝜇, 𝜎 2 ) = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ; 𝜇, 𝜎 2 ) 𝑖=1

= 𝑓(𝑥1 |𝜇, 𝜎

2)

× 𝑓(𝑥2 |𝜇, 𝜎 2 ) × … × 𝑓(𝑥𝑛 |𝜇, 𝜎 2 )

1 1 =[ exp (− ( 2 ) ((𝑥1 − 𝜇)2 ))] × … 2𝜎 𝜎 √2𝜋 ×

1 𝜎 √2𝜋

exp (− (

1 ) ((𝑥𝑛 − 𝜇)2 )) 2𝜎 2

−∞<𝑥 <∞


𝑛

𝑛

1 2 1 = ( 2 ) exp [− ( 2 ) ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2 ] 𝜎 2𝜋 2𝜎 𝑖=1

Fungsi log-likelihood dari persamaan di atas adalah 𝑛

𝑛

1 2 1 ln[𝐿 (𝜇|𝜎 2 )] = ln {( 2 ) exp [− ( 2 ) ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2 ]} 𝜎 2𝜋 2𝜎 𝑖=1

𝑛

=

𝑛 1 1 [ln ( 2 )] − 2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2 2 𝜎 2𝜋 2𝜎 𝑖=1

𝑛

𝑛 𝑛 1 = ln 𝜎 2 − ln 2𝜋 − 2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2 2 2 2𝜎 𝑖=1

Penduga Kemungkinan Maksimum dari 𝜇 dan 𝜎 2 adalah penduga yang memaksimumkan ln[𝐿 (𝜇|𝜎 2 )], dengan mencari nilai turunan parsial terhadap 𝜇 dan 𝜎 2 , maka diperoleh 𝑛

∂ln[𝐿 (𝜇|𝜎 2 )] 1 = 2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇) 𝜕𝜇 𝜎

(2.6)

𝑖=1

𝑛

∂ln[𝐿 (𝜇|𝜎 2 )] 𝑛 1 = − + ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2 2 2 4 𝜕𝜎 2𝜎 2𝜎 𝑖=1

Jika persamaan (2.6) diselesaikan maka akan diperoleh 𝑛

1 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇) = 0 𝜎2 𝑖=1

𝑛

∑(𝑥𝑖 − 𝜇) = 0 𝑖=1 𝑛

∑ 𝑥𝑖 − 𝑛𝜇 = 0 𝑖=1

𝜇̂ =

∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 = 𝑥̅ 𝑛

(2.7)


dan jika persamaan (2.7) diselesaikan maka akan diperoleh 𝑛

𝑛 1 − + 4 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2 = 0 2 2𝜎 2𝜎 𝑖=1

𝑛

1 𝑛 2 ∑(𝑥 − 𝜇) = 𝑖 2𝜎 4 2𝜎 2 𝑖=1

𝑛

1 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2 = 𝑛 𝜎2 𝑖=1

𝑛

̂2 = 1 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2 𝜎 𝑛 𝑖=1

Dengan substitusi hasil dari persamaan (2.6) yaitu 𝜇 = 𝑥̅ maka hasil dari 1

persamaan (2.7) menjadi 𝜎 2 = 𝑛 ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 . Jadi, penduga kemungkinan ̂2 adalah 𝜇̂ = 𝑥̅ dan 𝜎 ̂2 = 1 ∑𝑛 (𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 . maksimum untuk 𝜇̂ dan 𝜎 𝑛 𝑖=1

I.

Uji Kolmogorov-Smirnov Hal yang sangat penting dalam prosedur statistik adalah menentukan distribusi yang mendasari suatu kumpulan data. Uji kecocokan (goodness of fit test) biasanya mengkaji sebuah variabel random dari beberapa distribusi yang tidak diketahui, yaitu suatu fungsi tertentu. Pada dasarnya uji ini mencakup perhitungan distribusi frekuensi kumulatif yang akan terjadi dibawah distribusi teoritisnya. Misalkan variabel random 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 berasal dari distribusi yang tidak diketahui 𝐹(𝑥), dan dimisalkan 𝑥(1) < 𝑥(2) < . . < 𝑥(𝑛) adalah statistik terurut, akan diuji hipotesis bahwa 𝐹(𝑥) adalah sama dengan suatu distribusi tertentu 𝐹𝑛 (𝑥).


Definisi 2.26 Misalkan 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 adalah variabel random. Fungsi distribusi empiris 𝐹𝑛 (𝑥) didefinisikan sebagai 𝑛

1 𝐹𝑛 (𝑥) = ∑ 1(𝑥𝑖 ≤ 𝑥) 𝑛 𝑖=1

Contoh 2.12 Diberikan 10 sampel random yang memuat 𝑥1 = 0.621, 𝑥2 = 0.503, 𝑥3 = 0.203, 𝑥4 = 0.477, 𝑥5 = 0.710, 𝑥6 = 0.581, 𝑥7 = 0.329, 𝑥8 = 0.480, 𝑥9 = 0.554, 𝑥10 = 0.382. Berdasarkan definisi 2.26 fungsi distribusi empirisnya adalah 𝑛

1 𝐹𝑛 (𝑥(𝑖) ) = ∑ 1(𝑥𝑖 ≤ 𝑥(𝑖) ) 𝑛 𝑖=1

Dengan 𝑥(𝑖) adalah statistik terurut dari 𝑥𝑖 , 𝑖=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Maka akan diperoleh 𝑥(𝑖)

0.203 0.329 0.382 0.477 0.480 0.503 0.554 0.581 0.621 0.71

𝐹𝑛 (𝑥(𝑖) ) 0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

Definisi 2.27 Statistik Uji Kolmogorov-Smirnov 𝐷𝑛 didefinisikan sebagai 𝐷𝑛 = 𝑚𝑎𝑘𝑠 (𝐷+ , 𝐷− ) 𝐷+ = 𝑚𝑎𝑘𝑠 (𝐹𝑛 (𝑥) − 𝐹0 (𝑥(𝑖) )) 𝐷− = 𝑚𝑎𝑘𝑠 (𝐹0 (𝑥(𝑖) ) − 𝐹𝑛−1 (𝑥𝑖 )) Dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Hipotesis uji Kolmogorov-Smirnov adalah 𝐻0 : 𝐹(𝑥) = 𝐹0 (𝑥)

0.80

0.90 1.00


Untuk setiap 𝑥 dengan 𝐹0 (𝑥) adalah fungsi distribusi kumulatif yang diketahui, dan 𝐻1 : 𝐹(𝑥) ≠ 𝐹0 (𝑥) Jika 𝐷𝑛 ≥ 𝐷𝛼 (𝑛) yang diberikan oleh tabel Kolmogorov-Smirnov, maka 𝐻0 ditolak pada tingkat signifikansi 𝛼. 𝐷𝛼 (𝑛) adalah nilai kritis Kolmogorov-Smirnov pada tingkat 𝛼 dan ukuran sampel 𝑛. Tabel 𝐷𝛼 (𝑛) dapat dilihat pada lampiran A.4.

J.

Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov Uji Kolmogorov-Smirnov dapat juga digunakan untuk menguji apakah data berdistribusi Rayleigh atau tidak. Uji distribusi Rayleigh dengan KolmogorovSmirnov dilakukan setelah pendugaan parameter distribusi Rayleigh. Langkah-langkah uji Kolmogorov-Smirnov untuk distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut 1. 𝐻0 = data berdistribusi Rayleigh 2. 𝐻1 = data tidak berdistribusi Rayleigh 3. Tentukan tingkat signifikansi 𝛼 4. Statistik Uji: 𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷− ) 5. Wilayah kritis 𝐻0 ditolak jika 𝐷𝑛 ≥ 𝐷𝛼 (𝑛) 6. a) Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar b) Hitunglah 𝐹0 (𝑥) berdasarkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh c) Berdasarkan definisi 2.26 hitunglah fungsi distribusi empiris 𝐹𝑛 (𝑥) d) Berdasarkan definisi 2.27 hitunglah nilai 𝐷+ dan 𝐷− dan tentukan maksimum dari 𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷− ) 7. Kesimpulan


Contoh 2.13 Ujilah apakah data berikut berdistribusi Rayleigh dengan parameter skala 𝑏 = 2 Tabel 2.2 Data Contoh 2.13 No 𝑥𝑖

1 2

No 11 4.2 𝑥𝑖 Jawab:

2 0.2

3 1

4 1.8

5 2.7

6 5

7 3.6

8 1.4

9 4.7

10 1.5

12 3

13 2.1

14 2.4

15 3.1

16 4

17 2.8

18 3.2

19 4.1

20 2.6

1. 𝐻0 = data berdistribusi Rayleigh dengan parameter skala 𝑏 = 2 2. 𝐻1 = data tidak berdistribusi Rayleigh 3. Tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05 4. Statistik Uji: 𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷− ) 5. Wilayah kritis 𝐻0 ditolak jika 𝐷𝑛 ≥ 𝐷𝛼 (𝑛) = 0.29408 6. a) Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar b) Akan dihitung 𝐹0 (𝑥) berdasarkan definisi fungsi distribusi kumulatif dari 𝑥2

distribusi Rayleigh, yaitu 𝐹(𝑥) = 1 − exp (− (2𝑏2)) c) Akan dihitung fungsi distribusi empiris 𝐹𝑛 (𝑥) berdasarkan definisi 2.26 d) Akan dihitung nilai 𝐷+ dan 𝐷− berdasarkan definisi 2.27 dan menentukan maksimum dari 𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷− ) Tabel 2.3 Perhitungan Uji Kolmogorov Contoh 2.13 𝑖 1 2 3 4 5 6 7

𝑥(𝑖) 0.20 1.00 1.40 1.50 1.80 2.00 2.10

𝐹0 (𝑥(𝑖) ) 𝐹𝑛 (𝑥(𝑖) ) 𝐹𝑛−1 (𝑥(𝑖) ) 0.0050 0.0500 0.0000 0.1175 0.1000 0.0500 0.2173 0.1500 0.1000 0.2452 0.2000 0.1500 0.3330 0.2500 0.2000 0.3935 0.3000 0.2500 0.4238 0.3500 0.3000

𝐷+ 0.0450 -0.0175 -0.0673 -0.0452 -0.0830 -0.0935 -.0.0738

𝐷− 0.0050 0.0675 0.1173 0.0952 0.1330 0.1435 0.1238


8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.5132 0.4000 0.5704 0.4500 0.5980 0.5000 0.6247 0.5500 0.6753 0.6000 0.6992 0.6500 0.7220 0.7000 0.8021 0.7500 0.8647 0.8000 0.8777 0.8500 0.8897 0.9000 0.9368 0.9500 0.9561 1.000 Maksimum

2.40 2.60 2.70 2.80 3.00 3.10 3.20 3.60 4.00 4.10 4.20 4.70 5.00

0.3500 0.4000 0.4500 0.5000 0.5500 0.6000 0.6500 0.7000 0.7500 0.8000 0.8500 0.9000 0.9500

-0.1132 -0.1204 -0.0980 -0.0747 -0.0753 -0.0492 -0.0220 -0.0521 -0.0647 -0.0277 0.0103 0.0132 0.0439 0.0450

0.1632 0.1704 0.1480 0.1247 0.1253 0.0992 0.0720 0.1021 0.1147 0.0777 0.397 0.0368 0.0061 0.1704

𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷− ) = 0.1704

0.0

0.2

0.4

F

0.6

0.8

F0(xi) Fn(xi)

1

2

3

4

5

Xi

Gambar 2.5 Grafik 𝐹0 (𝑥(𝑖) ) dan 𝐹𝑛 (𝑥(𝑖) ) Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.5. 7. Kesimpulan 𝐻0 diterima sebab 𝐷𝑛 = 0.0.18949 ≤ 𝐷𝛼 (𝑛) = 0.29408, maka data di atas berdistribusi Rayleigh dengan parameter skala 𝑏 = 2.


BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM A. Distribusi Rayleigh Definisi 3.1 Variabel random 𝑋 dikatakan mempunyai distribusi Rayleigh dengan satu parameter bila fungsi probabilitasnya 2

𝑥 (−𝑥2 ) 2𝑏 , 𝑓(𝑥; 𝑏)= {𝑏 2 𝑒 0,

𝑥 ≥ 0,

𝑏>0

selainnya

dengan 𝑏 adalah parameter skala (scale parameter). Berdasarkan definisi 2.4, akan ditunjukkan bahwa fungsi probabilitas distribusi Rayleigh merupakan fungsi densitas. 1) 𝑓(𝑥, 𝑏) ≥ 0,untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅 Jelas bahwa 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅. ∞

2) ∫−∞ 𝑓(𝑥, 𝑏) 𝑑𝑥 = 1 ∞

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ∫−∞ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 1 𝑥2

1

Misalkan 𝑢 = (2𝑏2 ) maka 𝑑𝑢 = 𝑏2 𝑥 𝑑𝑥 ∞

∞

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 0

0

2

𝑥 −( 𝑥 2 ) 𝑒 2𝑏 𝑑𝑥 𝑏2 𝑐

= lim ∫ 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 = lim −𝑒 −𝑢 |𝑐0 𝑐→∞ 0

𝑐→∞

= lim − 𝑒 −𝑐 + 𝑒 0 = 1. 𝑐→∞

Terbukti bahwa 𝑓(𝑥) adalah fungsi densitas.

44


Grafik fungsi probabilitas distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut

1.4

b=0.5 b=0.8 b=1 b=1.5 b=2 b=3

1.2 1.0

f(x)

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0

2

4

6

8

x

Gambar 3.1 Grafik fungsi distribusi Rayleigh dengan nilai 𝑏 = 0.5, 0.8, 1, 1.5, 2, 3. Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.6

Definisi 3.3 Jika diketahui bahwa fungsi probabilitas dari distribusi Rayleigh seperti yang diberikan pada definisi 3.2, maka fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh dapat ditentukan. Berdasarkan definisi 2.5 maka diperoleh 𝑥

𝐹 (𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 0 2

𝑥

𝑡 −( 𝑡 ) = ∫ 2 𝑒 2𝑏2 𝑑𝑡 0 𝑏 𝑡2

1

Misalkan 𝑢 = (2𝑏2 ) maka 𝑑𝑢 = 𝑏2 𝑡 𝑑𝑡


2

𝑥

𝑡 −( 𝑡 ) 𝐹 (𝑥) = ∫ 2 𝑒 2𝑏2 𝑑𝑡 0 𝑏 𝑥

= ∫ 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 0 𝑥

= ∫ exp(−𝑢) 𝑑𝑢 0

= −exp(−𝑢)|0𝑥 𝑥

𝑥2

= −exp (− (2𝑏2 ))|

0

𝑥2

= 1 − exp (− (2𝑏2 )). 𝑥2

Jadi fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh adalah 1 − exp (− (2𝑏2)).

1.0

F(x)

0.8

0.6

0.4 b=0.5 b=0.8 b=1 b=1.5 b=2 b=3

0.2

0.0 0

2

4

6

8

x

Gambar 3.2 Grafik fungsi distribusi kumulatif distribusi Rayleigh Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.7


B. Karakteristik Distribusi Rayleigh Satu Parameter Karakteristik distribusi Rayleigh dicirikan dengan adanya konstanta rata-rata (mean) dan variansi. a. Rata-rata (Mean) Berdasarkan definisi 2.6, ∞

𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 . 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 −∞ 2

𝑐

𝑥 −( 𝑥 ) = lim ∫ 𝑥 2 𝑒 2𝑏2 𝑑𝑥 𝑐→∞ 0 𝑏 2

𝑐 𝑥 1 ) −( = 2 lim ∫ 𝑥. 𝑥 𝑒 2𝑏2 𝑑𝑥 𝑏 𝑐→∞ 0 2

𝑐

𝑥 1 ) −( = 2 [𝑥 ∫ 𝑥 𝑒 2𝑏2 𝑑𝑥 𝑏

] − lim ∫ 2 𝑐→∞ 0

𝑥2 −( 2 ) 2𝑏 𝑒

𝑑𝑥

2

𝑐 𝑥 1 ) −( = 2 [0 − (−𝑏 2 lim ∫ 𝑒 2𝑏2 𝑑𝑥] 𝑐→∞ 0 𝑏 𝑐

= 0 − lim ∫

𝑐→∞ 0

= Dengan ∞ ∫ 𝜎 √2𝜋 −∞ 1

√2𝜋𝑏 2 √2𝜋𝑏 2

lim ∫

𝑐→∞ 0

1 𝑥−𝜇 2 ) 2 𝜎

− (

penyelesaian =

𝑐

mengingat 𝑒

√2𝜋𝑏 2 2

√2𝜋𝑏 2 √2𝜋𝑏 2

=𝑏

√2𝜋 2

𝑥2 −( 2 ) 𝑒 2𝑏

.

𝑑𝑥

𝑥2 −( 2 ) 𝑒 2𝑏

contoh

𝑑𝑥 = 𝜎

1 √2𝜋

, sehingga

√2𝜋𝑏 2 2

𝑑𝑥

2.2

bahwa

∞ 1 ∫−∞ 𝜎 √2𝜋

𝑒

1 𝑥−𝜇 2 ) 2 𝜎

− (

𝑑𝑥 = 1,

atau

𝑥2

(𝜎 √2𝜋) = 1, maka

) ∞ −( ∫0 𝑒 2𝑏2

𝑑𝑥 akan memiliki


𝜋 = 𝑏√ . 2 𝜋

Jadi, rata-rata distribusi Rayleigh adalah 𝐸(𝑋) = 𝑏√ 2 , dengan 𝜋 = 3,14.

b. Variansi Berdasarkan teorema 2.1, 𝑉 (𝑋) = 𝐸(𝑋 2 ) − [𝐸(𝑋)]2 , 𝜋

diketahui 𝐸(𝑋) = 𝑏√ 2 , maka untuk mencari 𝑉 (𝑋) akan dihitung terlebih dahulu ∞

𝐸(𝑋

2)

= ∫ 𝑥 2 . 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 −∞ 2

𝑐

𝑥 −( 𝑥 ) = lim ∫ 𝑥 2 𝑒 2𝑏2 𝑑𝑥 𝑐→∞ 0 𝑏 2

2

𝑐

2

𝑐 𝑥 −( 𝑥 2 ) 𝑥 −( 𝑥 ) 2𝑏 = 𝑥 lim ∫ 2 𝑒 𝑑𝑥 − lim ∫ 2𝑥 2 𝑒 2𝑏2 𝑑𝑥 𝑐→∞ 0 𝑏 𝑐→∞ 0 𝑏 2

∞

2

= 𝑥

2

𝑐

= 0 − (−2 lim ∫ 𝑥 𝑐→∞ 0

2

=2

2

𝑐 𝑥 𝑥 1 11 ) ) −( −( ( 2 (2𝑏 2 ) 𝑒 2𝑏2 | ) − lim ∫ 2𝑥 2 (2𝑏 2 )𝑒 2𝑏2 𝑑𝑥 𝑐→∞ 0 2𝑏 𝑏 2 0

(−2𝑏 2 )

𝑥2 −( 2 ) 2𝑏 𝑒

𝑑𝑥)

∞

1 −( 𝑥 2 ) 𝑒 2𝑏 | 2 0

= 0 − (−2𝑏 2 ) = 2𝑏 2 sehingga diperoleh 2

𝑉 (𝑋) = 𝐸(𝑋

2)

−

[𝐸(𝑋)]2

𝜋 𝜋 𝜋 = 2𝑏 − (𝑏√ ) = 2𝑏 2 − 𝑏 2 = 𝑏 2 (2 − ). 2 2 2 2

Jadi, variansi distribusi Rayleigh adalah 𝑉 (𝑋) = 𝑏 2 (2 −

𝜋 2

), dengan 𝜋 = 3,14.


C. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil Pendugaan parameter distribusi Rayleigh yaitu menduga parameter skala 𝑏, pendugaan parameter dapat dilakukan dengan berbagai metode, salah satunya adalah Metode Kuadrat Terkecil. Metode Kuadrat Terkecil adalah metode untuk menduga parameter dari sebuah model linear. Diketahui fungsi kumulatif distribusi Rayleigh adalah 𝑥2 𝐹(𝑥) = 1 − exp (− ( 2 )). 2𝑏 Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh merupakan fungsi nonlinear. Agar Metode Kuadrat Terkecil dapat digunakan untuk menduga parameter distribusi Rayleigh maka persamaan tersebut harus diubah menjadi persamaan linear dengan menggunakan transformasi logaritma sebagai berikut 𝑥2 𝐹(𝑥𝑖 ) = 1 − exp (− ( 2 )) 2𝑏 𝑥2 exp (− ( 2 )) = 1 − 𝐹(𝑥𝑖 ) 2𝑏 𝑥2 ln (exp (− ( 2 ))) = ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖 )) 2𝑏 𝑥2 − ( 2 ) = ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖 )) 2𝑏 𝑥 2 = −2𝑏 2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖 )) 𝑥𝑖 = 𝑏√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖 ))

(3.1).


Persamaan 3.1 tersebut dapat diubah menjadi persamaan 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 dengan 𝑌𝑖 = 𝑥𝑖 , 𝛽0 = 0, 𝛽1 = 𝑏, dan 𝑋𝑖 = √−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖 )), dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Dalam skripsi ini penulis hanya menduga satu parameter saja maka berdasarkan persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 yaitu 𝑛

𝑛

̂0 + 𝛽 ̂1 ∑ 𝑥𝑖 ∑ 𝑦𝑖 = 𝑛𝛽 𝑖=1

𝑖=1

𝑛

𝑛

𝑛

̂0 ∑ 𝑥𝑖 + 𝛽 ̂1 ∑ 𝑥𝑖 2 ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 = 𝛽 𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

̂0 yang merupakan penduga dari β0 = 0 maka β ̂0 tidak akan dan diketahui untuk β dihitung, sehingga diperoleh persamaan berikut 𝑛

𝑛

𝑛

̂1 ∑ 𝑥𝑖 2 ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 = 0 ∑ 𝑥𝑖 + 𝛽 𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

𝑛

𝑛

̂1 ∑ 𝑥𝑖 2 ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 = 0 + 𝛽 𝑖=1

𝑖=1

̂1 = 𝛽

∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 2

(3.2)

̂1 merupakan penduga dari 𝛽1 = 𝑏, maka 𝛽 ̂1 = 𝑏̂ kemudian nilai 𝑌𝑖 = 𝑥𝑖 , Karena 𝛽 𝛽0 = 0, 𝛽1 = 𝑏, dan 𝑋𝑖 = √−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖 )) disubstitusikan ke persamaan (3.2)


∑𝑛𝑖=1 (√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖 ))) 𝑥𝑖 𝑏̂ =

2

∑𝑛𝑖=1 (√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖 ))) 𝑥𝑖 =

∑𝑛𝑖=1 (√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖 )))

∑𝑛𝑖=1(−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖 )))

(3.3)

𝐹(𝑥𝑖 ) pada persamaan (3.3) tidak diketahui maka akan diduga dengan 𝐹̂ (𝑥𝑖 ). Karena 1 − 𝐹(𝑥𝑖 ) > 0 maka 𝐹(𝑥𝑖 ) < 1 dengan demikian 𝐹(𝑥𝑖 ) diduga dengan 𝑖 1 𝐹̂ (𝑥𝑖 ) = 𝑛+1, bukan dengan 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 1(𝑥𝑖 ≤ 𝑥) sebagaimana definisi 2.26.

D. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum Metode Kemungkinan Maksimum merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menduga paramater. Prinsip dasar metode ini adalah menentukan penduga parameter 𝜃̂, yang memaksimumkan fungsi likelihood. Pendugaan parameter distribusi Rayleigh adalah menduga parameter skala 𝑏. Menurut definisi 3.2, fungsi distribusi probabilitas distribusi Rayleigh satu parameter adalah 2

𝑥 (−𝑥2 ) 2𝑏 , 𝑓(𝑥; 𝑏)= {𝑏 2 𝑒 0,

𝑥 ≥ 0,

𝑏>0

selainnya

Menurut definisi 2.24, fungsi likelihood adalah 𝑛

𝐿 (𝑥|𝜃) = ∏ 𝑓(𝑥𝑖 ; 𝜃) 𝑖=1

Oleh karena itu, fungsi likelihood untuk distribusi Rayleigh adalah 𝑛

𝐿 (𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 |𝑏 2 ) = ∏ 𝑓 (𝑥𝑖 ; 𝑏 2 ) 𝑖=1

Untuk selanjutnya 𝐿 (𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 |𝑏

2)

akan ditulis dengan 𝐿. Misalkan

𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 merupakan sampel random dari 𝑛 observasi dari populasi Rayleigh, maka fungsi kemungkinan maksimum untuk sampel tersebut yaitu


𝑛

2

∏𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 − ∑ 𝑥2𝑖 2 𝑥𝑖 (−𝑥𝑖2 ) 2𝑏 𝐿=∏ 2 𝑒 = 𝑒 2𝑏 𝑏 𝑏 2𝑛 𝑖=1

𝑛 1 − ∑ 𝑥2𝑖 2 = 2𝑛 𝑒 2𝑏 ∏ 𝑥𝑖 𝑏 𝑖=1

(3.3)

Penduga parameter 𝑏̂ dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi loglikelihood-nya. Untuk menduga 𝑏 akan dilakukan pendugaan terhadap 𝑏 2 terlebih dahulu, yaitu 𝑏̂2 . Hal tersebut dapat diperoleh dengan mencari turunan parsial pertama dari fungsi log-likelihood-nya. Sebelum dicari turunan parsial pertamanya, gunakan logaritma pada kedua ruas agar persamaan (3.3) tersebut menjadi persamaan linear ln 𝐿 = ln (

𝑛 1 − ∑ 𝑥2𝑖 2 2𝑏 𝑒 ∏ 𝑥𝑖 ) 𝑏 2𝑛 𝑖=1

ln 𝐿 = −ln(𝑏

2𝑛 )

+

− ∑ 𝑥𝑖 2 ln (𝑒 2𝑏2 )

𝑛

+ ln (∏

𝑥𝑖 )

𝑖=1 𝑛

− ∑ 𝑥𝑖 2 ln 𝐿 = −𝑛 ln 𝑏 2 + + ∑ 𝑙𝑛 𝑥𝑖 2𝑏 2 𝑖=1

𝑛

ln 𝐿 = −𝑛 ln 𝑏 2 −

∑ 𝑥𝑖 2 + ∑ 𝑙𝑛 𝑥𝑖 2𝑏 2

(3.4)

𝑖=1

Setelah diperoleh persamaan linearnya, kemudian persamaan 3.4 akan dicari turunan parsial pertamanya terhadap 𝑏 2 dan nilai dari turunannya disama dengankan nol, maka akan diperoleh 𝑛

∑ 𝑥𝑖 2 𝑑(ln 𝐿) 𝑑 2 = 2 (−𝑛 ln 𝑏 − + ∑ 𝑙𝑛 𝑥𝑖 ) = 0 𝑑𝑏 2 𝑑𝑏 2𝑏 2 𝑖=1

𝑛

∑ 𝑥𝑖 2 𝑑 𝑑 𝑑 = 2 (−𝑛 ln 𝑏 2 ) + 2 (− ) + 2 (∑ 𝑙𝑛 𝑥𝑖 ) = 0 2 𝑑𝑏 𝑑𝑏 2𝑏 𝑑𝑏 𝑖=1

=−

𝑛 ∑ 𝑥𝑖 2 + =0 𝑏2 2𝑏 4

Persamaan 3.5 tersebut mempunyai penyelesaian

(3.5)


−

𝑛 ∑ 𝑥𝑖 2 + =0 𝑏2 2𝑏 4 ∑ 𝑥𝑖 2 𝑛 = 𝑏2 2𝑏 4 ∑ 𝑥𝑖 2 1 = 𝑏 2 2𝑏 4 𝑛 𝑏̂2 =

∑ 𝑥𝑖 2 2𝑛

Karena 𝑏̂2 merupakan penduga dari 𝑏̂2 =

(3.6) ∑ 𝑥𝑖 2 2𝑛

, maka penduga bagi 𝑏 adalah

∑ 𝑥𝑖 2 𝑏̂ = √ . 2𝑛

E. Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Rayleigh Akan dicari fungsi pembangkit momen dari distribusi Rayleigh karena akan berguna untuk mencari fungsi densitas dari 𝑏̂2 . Berdasarkan definisi 2.13, maka diperoleh ∞

2

𝑚𝑥 2 (𝑡) = ∫ 𝑒 𝑡𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞ ∞

= ∫ 𝑒

𝑡𝑥 2

−∞ 𝑐

= lim ∫

𝑐→∞ 0

=

𝑥 −𝑥22 𝑒 2𝑏 𝑑𝑥 𝑏2

−𝑥 2 1 𝑡𝑥 2 2𝑏 2 𝑥 𝑒 𝑒 𝑑𝑥 𝑏2

𝑐 𝑥2 1 𝑡𝑥 2 − 2 2𝑏 𝑑𝑥 lim ∫ 𝑥 𝑒 𝑏 2 𝑐→∞ 0

𝑐 𝑥2 1 − 2 +𝑡𝑥 2 = 2 lim ∫ 𝑥 𝑒 2𝑏 𝑑𝑥 𝑏 𝑐→∞ 0 𝑐 1 1 −𝑥 2 ( 2 − 𝑡) 2𝑏 = 2 lim ∫ 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 𝑏 𝑐→∞ 0 1

Misalkan 𝑤 =

1 2𝑏 2

−𝑡


𝑐 1 2 1 = 2 lim ∫ 𝑥 𝑒 −𝑥 (𝑤) 𝑑𝑥 𝑏 𝑐→∞ 0

Misalkan 𝑢 = 𝑥 2 , 𝑥 = √𝑢, 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥, 𝑑𝑥 = =

𝑑𝑢 2𝑥

𝑑𝑢

=2

√𝑢

𝑐 1 1 −𝑢( ) 𝑑𝑢 lim ∫ √𝑢 𝑒 𝑤 2 𝑏 𝑐→∞ 0 2√𝑢

𝑐 1 1 −𝑢( ) 𝑤 𝑑𝑢 = lim ∫ 𝑒 2𝑏 2 𝑐→∞ 0

1 𝜞(1)𝑤 2𝑏 2 𝑤 = 2𝑏 2 =

1

Ingat 𝑤 =

1

−𝑡 = 2𝑏 2

1− 2𝑏 2 𝑡 2𝑏 2

2𝑏 2

, sehingga, 𝑤 = 1− 2𝑏2 𝑡.

2𝑏 2 𝑤 2𝑏 2 1 1 1 − 2𝑏 2 𝑡 = = ∙ = = (1 − 2𝑏 2 𝑡)−1 2 2 2 2 2𝑏 2𝑏 1 − 2𝑏 𝑡 2𝑏 1 − 2𝑏 2 𝑡 Jadi, fungsi pembangkit momen dari distribusi Rayleigh adalah 𝑚𝑥 2 (𝑡) = (1 − 2𝑏 2 𝑡)−1

(3.7)

Teorema 3.1 Distribusi probabilitas atau fungsi densitas dari 𝑏̂2 adalah sebagai berikut −𝑛𝑏̂2

𝑛−1 (𝑏̂2 ) 𝑒 𝑏̂2 𝑛 𝑓(𝑏̂2 ) = 𝑏̂2 ( 𝑛 ) (𝑛 − 1)! {0

𝑏2 ≥ 0

𝑏2 < 0

Bukti: 2

∑𝑥 Akan dicari fungsi pembangkit moment dari 𝑏̂2 = 2𝑛𝑖 . Terlebih dahulu akan

dicari fungsi pembangkit momen dari ∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 2 , dengan 𝑋𝑖 merupakan sampel random dari distribusi Rayleigh. Jika 𝑋𝑖 diasumsikan independen, maka 𝑚∑ 𝑋𝑖 2 (𝑡) dapat dicari berdasarkan teorema 2.4 yaitu fungsi pembangkit momen dari


jumlahan variabel random yang independen sama dengan perkalian fungsi pembangit momen dari masing-masing suku jumlah, 𝑚𝑈 (𝑡) = 𝑚𝑋1 (𝑡) × 𝑚𝑋2 (𝑡) × … × 𝑚𝑋𝑛 (𝑡). Dari persamaan (3.7) diketahui fungsi pembangkit momen dari 𝑋𝑖 yang merupakan sampel random distribusi Rayleigh yaitu 𝑚𝑥 2 (𝑡) = (1 − 2𝑏 2 𝑡)−1 maka 𝑚∑ 𝑋𝑖 2 (𝑡) = 𝑚𝑋1 (𝑡) × 𝑚𝑋2 (𝑡) × … × 𝑚𝑋𝑛 (𝑡) = (1 − 2𝑏 2 𝑡)−1 × (1 − 2𝑏 2 𝑡)−1 × … × (1 − 2𝑏 2 𝑡)−1 = (1 − 2𝑏 2 𝜃)−𝑛 Dengan menggunakan teorema 2.3 sifat 1 dari fungsi pembangkit momen, yaitu 𝑚𝑐𝑔(𝑥) (𝑡) = 𝑚𝑔(𝑥) (𝑐𝑡) dengan 𝑔(𝑥) merupakan fungsi dari 𝑥 dan 𝑐 adalah sebuah konstanta, akhirnya diperoleh fungsi pembangkit momen dari 𝑏̂2 =

∑ 𝑥𝑖 2

sebagai berikut

2𝑛

𝑚𝑏̂2 (𝑡) = 𝑚∑ 𝑥𝑖 2 (𝑡) 2𝑛

= 𝑚 ∑ 𝑥𝑖 2 (

𝑡 ) 2𝑛 −𝑛

1 − 𝑏2𝑡 =( ) 𝑛

Berdasarkan fungsi pembangkit momen dari 𝑏̂2 di atas dapat diidentifikasi bahwa itu adalah fungsi pembangkit momen dari distribusi Gamma dengan nilai tertentu. Akan dicari nilai tertentu dari distribusi Gamma yang akan menghasilkan fungsi pembangkit momen yang identik dengan fungsi pembangkit momen dari 𝑏̂2 . Pertama berdasarkan definisi 2.9 fungsi densitas dari distribusi Gamma adalah 𝛼−1

−𝑥 𝑒𝛽

𝑥 𝛽 𝛼 𝛤(𝛼) 0

𝑓(𝑥) = {

𝑥≥0 𝑥 <0


Pada parameter 𝛼 dan 𝛽 akan dikenakan suatu nilai, misal 𝛼 = 𝑛 dan 𝛽 =

𝑏2 𝑛

dengan 𝑛 adalah ukuran sampel dan 𝑏 2 adalah parameter distribusi Rayleigh. Sehingga, distribusi Gamma akan menjadi −𝑥 𝑏2 𝑥 𝑛−1 𝑒 𝑛

𝑓(𝑥) =

𝑥≥0

𝑛

𝑏2 ( 𝑛 ) 𝛤(𝑛) { 0

𝑥 <0

Berdasarkan teorema 2.2 sifat ke-2 bahwa fungsi Gamma memiliki sifat 𝛤(𝑎) = 𝛤(𝑛) = (𝑛 − 1)! dengan 𝑛 selalu bilangan bulat positif, maka diperoleh 𝑥 𝑛−1 𝑒 𝑓(𝑥) =

−𝑛𝑥 𝑏2

𝑥≥0

𝑛

𝑏2 ( 𝑛 ) (𝑛 − 1)! 0 {

𝑥 <0

Kemudian akan dicari fungsi pembangkit momen dari 𝑓(𝑥) sebagai berikut −𝑛𝑥

∞

𝑒 𝑡𝑥 𝑥 𝑛−1 𝑒 𝑏2 𝑚𝑋 (𝑡) = ∫ 2𝑛 −𝑛 𝑑𝑥 0 𝑏 𝑛 (𝑛 − 1)! −𝑛𝑥

∞

𝑥 𝑛−1 𝑒 𝑡𝑥 𝑒 𝑏2 = ∫ 2𝑛 −𝑛 𝑑𝑥 0 𝑏 𝑛 (𝑛 − 1)! ∞

𝑡𝑥−

𝑛𝑥

𝑥 𝑛−1 𝑒 𝑏2 = ∫ 2𝑛 −𝑛 𝑑𝑥 0 𝑏 𝑛 (𝑛 − 1)! ∞

−𝑥(

𝑛

−𝑡)

𝑥 𝑛−1 𝑒 𝑏2 = ∫ 2𝑛 −𝑛 𝑑𝑥 0 𝑏 𝑛 (𝑛 − 1)! dengan memisalkan

1 𝑤

=(

𝑛 𝑏2

− 𝑡), maka diperoleh 1

𝑥 𝑛−1 𝑒 −𝑥(𝑤) = ∫ 2𝑛 −𝑛 𝑑𝑥 0 𝑏 𝑛 (𝑛 − 1)! ∞

=

𝛤(𝑛)𝑤 𝑛 𝑏 2𝑛 𝑛−𝑛 𝛤(𝑛)


𝑤𝑛 = 2𝑛 −𝑛 𝑏 𝑛 (𝑤𝑛)𝑛 = 𝑏 2𝑛 1

𝑛

Ingat bahwa 𝑤 = (𝑏2 − 𝑡) =

𝑛−𝑏 2 𝑡 𝑏2

𝑏2

maka 𝑤 = 𝑛−𝑏2𝑡

𝑛

𝑏2 ( 𝑛) 𝑛 (𝑤𝑛) 𝑛 − 𝑏2𝑡 = 𝑏 2𝑛 𝑏 2𝑛

𝑛

𝑛 𝑏2𝑛 1 𝑏 2𝑛 𝑛𝑛 1 𝑛 =( ) ∙ = ∙ = ( ) 𝑛 − 𝑏2𝑡 𝑏 2𝑛 (𝑛 − 𝑏 2 𝑡)𝑛 𝑏 2𝑛 𝑛 − 𝑏2𝑡

𝑛

−𝑛

1 𝑏2𝑡 =( ) = (1 − ) 𝑏2𝑡 𝑛 1− 𝑛 Jadi, (𝑤𝑛)𝑛 𝑏2𝑡 𝑚𝑋 (𝑡) = = (1 − ) 𝑏 2𝑛 𝑛

−𝑛

(3.6)

Telah ditujukkan bahwa persamaan 3.6 yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi Gamma dengan nilai 𝛼 = 𝑛 dan 𝛽 =

𝑏2 𝑛

identik dengan

fungsi pembangkit momen dari 𝑏̂2 . Oleh karena itu, menurut Teorema 2.3 (Teorema Ketunggalan) dapat disimpulkan bahwa fungsi densitas dari 𝑏̂2 adalah fungsi densitas Gamma dengan 𝑎 = 𝑛 dan 𝑏 =

𝑏2 𝑛

. Jadi, fungsi densitas dari 𝑏̂2

adalah −𝑛𝑏̂2

𝑛−1 (𝑏̂2 ) 𝑒 𝑏̂2 𝑛 𝑓(𝑏̂2 ) = 𝑏̂2 ( 𝑛 ) (𝑛 − 1)! {0

𝑏2 ≥ 0

𝑏2 < 0

∎


Pendugaan Selang Distribusi Rayleigh Pendugaan selang atau selang kepercayaan distribusi Rayleigh adalah menduga selang kepercayaan terhadap parameter 𝑏, menduga selang kepercayaan rata-rata dan variansi distribusi Rayleigh. Metode yang sering digunakan untuk mencari selang kepercayaan adalah Metode Pivot. Metode Pivot bergantung pada suatu nilai yang disebut kuantitas Pivot. Kuantitas Pivot memiliki 2 ciri: 1. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter 𝑏, dengan 𝑏 adalah kuantitas yang tidak diketahui. 2. Distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot tidak bergantung pada parameter 𝑏. Karena Metode Pivot bergantung pada kuantitas Pivot maka dipilih variabel 𝑏̂2

random 𝑢 = 𝑏2 𝑚 dengan 𝑚 = 2𝑛 sebagai kuantitas Pivot. Untuk memenuhi ciri kuantitas Pivot yang kedua maka akan dicari terlebih dahulu distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot. Berdasarkan teorema 3.1 diketahui bahwa fungsi densitas dari 𝑏̂2 adalah sebagai berikut (𝑏̂2 ) 𝑓(𝑏̂2 ) =

𝑛−1

−𝑛𝑏̂2 𝑒 𝑏̂2

𝑛 𝑏̂2 ( 𝑛 ) (𝑛 − 1)!

{0

𝑏2 ≥ 0

𝑏2 < 0 𝑏̂2

Telah dipilih variabel random 𝑢 = (𝑏2 ) 𝑚, dengan 𝑚 = 2𝑛. 𝑚

𝑢

(𝑢)2−1 𝑒 2 𝑚 𝑓(𝑢) = { (𝑢)𝑚 2 𝛤( ) 2 0

𝑢≥0 𝑢 <0

Fungsi diatas berdasarkan definisi 2.10 dikenal sebagai distribusi 𝜒 2 (Chi-Square) 𝑏̂2

dengan derajat bebas 𝑚. Oleh karena itu, 𝑓(𝑢) = 𝑓 [(𝑏2) 𝑚] = 𝜒 2 (𝑢; 𝑚), dengan


𝑏̂2

𝑚 adalah derajat bebas. Karena variabel random 𝑢 = 𝑏2 𝑚 merupakan kuantitas Pivot akan ditunjukan bahwa 𝑢 memenuhi 2 syarat kuantitas Pivot yaitu 1. 𝑢 merupakan fungsi dari pengukuran sampel (melalui 𝑏̂2 ) dan parameter 𝑏 yang tidak diketahui. 2. f𝑢 (𝑢) tidak bergantung pada 𝑏 Jadi, 𝑢 memenuhi 2 syarat kuantitas Pivot. Kemudian akan diproses untuk memperoleh selang kepercayaan. Selang Kepercayaan terhadap parameter 𝒃 Untuk membentuk selang kepercayaan terhadap parameter 𝑏, terlebih dahulu akan dibentuk selang kepercayaan terhadap parameter 𝑏 2 . Karena distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot diketahui yaitu distribusi 𝜒 2 (Chi-Square) dengan derajat bebas 𝑚, maka selang kepercayaan 𝜒 2 (Chi-Square) dapat digunakan untuk membentuk selang kepercayaan terhadap parameter 𝑏 2 . Misalkan tingkat signifikansi sebesar 1 − 𝛼 = 0.95, maka selang kepercayaan bagi 𝑏 2 akan ditentukan sebagai berikut Pr [𝜒 2 (0.025; 𝑚) <

𝑏̂2 𝑚 < 𝜒 2 (0.975; 𝑚) ] = 0.95 𝑏2

𝑏̂2 𝑚 𝑏̂2 𝑚 2 Pr [ 2 < 𝑏 < 2 ] = 0.95 𝜒 (0.975; 𝑚) 𝜒 (0.025; 𝑚) Karena 𝑏̂2 =

∑ 𝑥𝑖 2 2𝑛

=

∑ 𝑥𝑖 2 𝑚

, kemudian diperoleh

∑ 𝑥𝑖 2 ∑ 𝑥𝑖 2 2 Pr [ 2 < 𝑏 < 2 ] = 0.95 𝜒 (0.975; 𝑚) 𝜒 (0.025; 𝑚) Untuk bentuk umum dari setiap tingkat signifikansi 𝛼 diperoleh ∑ 𝑥𝑖 2

Pr

(1 + (1 − 𝛼)) ; 2𝑛) 2

[

𝜒2 (

∑ 𝑥𝑖 2

2

< 𝑏 <

(1 − (1 − 𝛼)) ; 2𝑛) 2 ]

𝜒2 (

=1−𝛼


Jadi, selang kepercayaan terhadap parameter 𝑏 untuk bentuk umum dari setiap signifikansi 𝛼 adalah ∑ 𝑥𝑖 2 ∑ 𝑥𝑖 2 Pr √( ) < 𝑏 < √( ) = 1 − 𝛼. (2 + 𝛼) (𝛼) 2 2 𝜒 ( 2 ; 2𝑛) 𝜒 ( 2 ; 𝑚) [ ] Selang Kepercayaan terhadap rata-rata dan variansi distribusi Rayleigh 𝜋

Diketahui bahwa rata-rata distribusi Rayleigh misalkan adalah 𝜇 = 𝑏√2 dan variansi adalah 𝜎 2 = 𝑏 2 (2 −

𝜋 2

). Dengan menggunakan selang kepercayaan

terhadap parameter 𝑏 2 untuk bentuk umum dari setiap signifikansi 𝛼, hal ini 𝜋

memungkinkan untuk mendapatkan selang kepercayaan bagi rata-rata 𝜇 = 𝑏√ 2 , yaitu 1⁄ 2

𝜋 ∑ 𝑥𝑖 2 Pr ( ) (2 + 𝛼) 2𝜒 2 [ 2 ; 2𝑛] [ dan variansi 𝜎 2 = 𝑏 2 (2 −

𝜋 2

1⁄ 2

𝜋 ∑ 𝑥𝑖 2 < 𝜇<( ) (𝛼) 2𝜒 2 [ 2 ; 2𝑛]

=1−𝛼 ]

)

𝜋 (2 − 2) ∑ 𝑥𝑖 2

𝜋 (2 − 2 ) ∑ 𝑥𝑖 2

Pr [ < 𝜎2 < ]=1−𝛼 (2 + 𝛼) (𝛼) 2 𝜒 ( 2 ; 2𝑛) 𝜒 2 ( 2 ; 2𝑛) Jadi diperoleh selang kepercayaan bagi 𝑏, rata-rata (𝜇), dan variansi (𝜎 2 ), yang merupakan parameter dasar dari distribusi Rayleigh.


BAB IV PENERAPAN PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEGH Pada Bab IV ini akan dibahas pendugaan parameter distribusi Rayleigh pada kasus data tinggi gelombang laut. Data yang digunakan dalam pendugaan parameter distribusi Rayleigh adalah data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan. Data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P.Kalukalukuang dikutip dari “Pengolahan Data Angin dan Pasang Surut” Laporan Tugas Akhir (Kl-4020) Desain Dermaga General Cargo dan Trestle Tipe Deck On Pile di Pulau Kalukalukuang Provinsi Sulawesi Selatan.

A. Penerapan pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan. Tabel 4.1 di bawah ini berupa data sebaran gelombang laut di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan yang menyajikan informasi mengenai jumlah kejadian satu-tahunan variasi tinggi gelombang laut. Data yang digunakan adalah data tinggi gelombang laut terbesar berdasarkan arah angin dalam periode 14 tahun (1991-2004) dengan jumlah sampel 𝑛 = 14. Tujuan dari subbab ini adalah menduga parameter 𝑏 dari data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan.

61


Tabel 4.1 Tinggi gelombang signifikan maksimum per arah per tahun di laut dalam (m) Gelombang Terbesar Tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang (Diramal Berdasarkan Data Angin dari Stasiun Makassar)

No

Tahun

Utara

Selatan

Barat Daya

Barat

Barat Laut

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

0.56 1.61 0.69 1.38 1.2 1.13 1.09 0.94 3.49 1.16 2.1 2.36 1.48 1.29

0.23 0.67 0.94 1.27 0.56 0.41 0.41 0.55 0.59 0.4 0.59 0.76 1.28 0.65

0.34 0.49 1.09 1.94 0.76 0.56 0.58 0.50 0.93 0.44 0.95 1.09 1.47 1.19

1.27 1.49 2.47 1.00 1.45 1.80 1.16 1.00 1.29 1.00 1.06 2.15 2.33 2.75

1.13 0.94 1.03 1.68 1.27 2.00 4.04 1.68 1.48 1.38 2.24 1.34 3.15 3.54

Tinggi Gelombang Terbesar (𝑥𝑖 ) 1.27 1.61 2.47 1.94 1.45 2.00 4.04 1.68 3.49 1.38 2.24 2.36 3.15 3.54

1. Transformasi Model Regresi Distribusi Rayleigh Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh adalah fungsi nonlinear. Oleh karena itu, dilakukan transformasi ke fungsi linear dengan menggunakan transformasi logaritma. Berdasarkan persamaan 3.1 transformasi logaritma dari distribusi Rayleigh adalah 𝑥 = 𝑏√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖 )) Data tinggi gelombang yang mengikuti distribusi Rayleigh akan ditransformasikan dalam bentuk regresi linear sederhana yang diberikan oleh 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽1 𝑥𝑖


dengan 𝑌𝑖 = 𝑥𝑖 , 𝛽0 = 0, 𝛽1 = 𝑏, dan

𝑋𝑖 = √−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖 )), dengan 𝑖 =

1,2, … , 𝑛, 𝑥𝑖 = tinggi gelombang laut terbesar. Misalkan untuk 𝑖 = 1 𝑥1 = √−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥1 )) 𝑌1 = 𝑥1 Dengan langkah yang sama, maka akan di dapatkan 𝑥2 dan 𝑌2 sampai 𝑥14 dan 𝑌14 . 2. Pendugaan Parameter Berdasarkan persamaan 3.2 penduga dari 𝑏 adalah ∑𝑛𝑖=1 (√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖 ))) 𝑥𝑖 𝑏̂ =

∑𝑛𝑖=1(−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖 )))

karena 1 − 𝐹(𝑥𝑖 ) > 0 maka 𝐹(𝑥𝑖 ) < 1 dengan demikian 𝐹(𝑥𝑖 ) diduga dengan yaitu 𝐹̂ (𝑥𝑖 ) =

𝑖

1

, bukan dengan ∑𝑛𝑖=1 1(𝑥𝑖 ≤ 𝑥) sebagaimana definisi 2.26.

𝑛+1

𝑛

Jadi pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan yang diduga dengan 𝑏̂, sehingga diperoleh hasil ∑𝑛𝑖=1 (√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖 ))) 𝑥𝑖 𝑏̂ = =

∑𝑛𝑖=1(−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖 ))) 43.65052 25.44296

= 1.715623 sehingga fungsi probabilitas dari distribusi Rayleigh diperoleh sebagai berikut 2

−𝑥 𝑥 ( 2) 2(1.715623) 𝑓(𝑥) = 𝑒 . (1.715623)2


Penyelesaian pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan dengan program R dapat dilihat pada lampiran A.8. Arti 𝑓(𝑥) yang merupakan penyelesaian pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) menyatakan distribusi peluang dari tinggi gelombang terbesar. Sebagai contoh dapat dihitung peluang terjadinya tinggi gelombang terbesar dalam interval [2, 2.3] yaitu 2.3

2.3

2

−𝑥 −𝑥 2 𝑥 1 ( 2) 2(1.715623) 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑒 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥𝑒 5.88672 𝑑𝑥 (1.715623)2 1.715623 2

2

−𝑥 2

−2𝑥

Misal 𝑢 = 5.88672 maka 𝑑𝑢 = 5.88672 𝑑𝑥 ,

5.88672 −2𝑥

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, lalu akan dihitung

terlebih dahulu −𝑥 2

∫ 𝑥 𝑒 5.88672 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑒 𝑢

5.88672 5.88672 𝑑𝑢 = ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = −2.94336 𝑒 𝑢 + 𝑐 −2𝑥 −2 −𝑥 2

= −2.94336 𝑒 5.88672 + 𝑐 sehingga 2.3

2.3

−𝑥 2 −𝑥 2 1 2.94336 18.99 5.88672 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑥𝑒 𝑑𝑥 = − (𝑒 )| 1.715623 1.715623 2 2

−2.32

−22

= −1.715623 (𝑒 5.88672 − (𝑒 5.88672 )) = −1.715623(𝑒 −0.8986 − (𝑒 −0.6794 )) = −1.715623(0.40713 − 0.50692) = −1.715623(−0.09979) = 0.171202 Jadi, peluang terjadinya tinggi gelombang terbesar dalam interval [2, 2.3] adalah 0.171202.


0.35

65

0.10

0.15

0.20

f

0.25

0.30

dist Rayleigh data asli

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Xi

Gambar 4. 1 Grafik distribusi Rayleigh dengan parameter skala 𝑏 = 1.715623 Grafik diatas diproduksi dengan program R pada lampiran A.9.

B.

Pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum Pendugaan parameter distribusi Rayleigh juga dapat dilakukan dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum. Prinsip dasar Metode Kemungkinan

Maksimum

adalah

menduga

parameter

distribusi

yang

memaksimumkan fungsi likelihood. Berdasarkan persamaan 3.3 fungsi likelihood dari distribusi Rayleigh adalah 𝑛

𝐿 (𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ; 𝑏

2)

= ∏ 𝑓 (𝑥𝑖 , 𝑏 2 ) = 𝑖=1

𝑛 1 − ∑ 𝑥2𝑖 2 2𝑏 𝑒 ∏ 𝑥𝑖 𝑏 2𝑛 𝑖=1


Berdasarkan persamaan 3.6 penduga dari 𝑏 yaitu ∑ 𝑥𝑖 2 ̂ √ 𝑏 = 2𝑛 Pendugaan parameter data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan dengan Metode Kemungkinan Maksimum dilakukan dengan Ms. Excel, berikut ini adalah hasil pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum ∑ 𝑥𝑖 2 86.4418 𝑏̂ = √ =√ = 1.757045. 2𝑛 2 ∙ 14 Jadi fungsi probabilitas dari distribusi Rayleigh adalah 2

−𝑥 𝑥 ( ) 2(1.757045)2 𝑓(𝑥)= 𝑒 (1.757045)2

Penyelesaian pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan dengan program R dapat dilihat pada lampiran A.10. Arti 𝑓(𝑥) yang merupakan penyelesaian pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum menyatakan distribusi peluang dari tinggi gelombang terbesar. Sebagai contoh dapat dihitung peluang terjadinya tinggi gelombang terbesar dalam interval [2, 2.3] yaitu 2.3

2.3

2

−𝑥 −𝑥 2 𝑥 1 ( 2) 2(1.757045) 6.174414 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑒 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥𝑒 𝑑𝑥 (1.757045)2 1.757045 2

2

−𝑥 2

−2𝑥

Misal 𝑢 = 6.174414 maka 𝑑𝑢 = 6.174414 𝑑𝑥 , dihitung terlebih dahulu

6.174414 −2𝑥

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, lalu akan


∫𝑥

−𝑥 2 6.174414 𝑒 𝑑𝑥

= ∫ 𝑥 𝑒𝑢

6.174414 6.174414 𝑑𝑢 = ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = −3.0872 𝑒 𝑢 + 𝑐 −2𝑥 −2

= −3.0872 ∙

−𝑥 2 𝑒 6.174414

+𝑐

sehingga 2.3

2.3

−𝑥 2 −𝑥 2 1 3.0872 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑥𝑒 6.174414 𝑑𝑥 = − (𝑒 6.174414 )| 1.757045 1.757045 2 2

=

−2.32 6.174414 −1.757045 (𝑒

−

−22 6.174414 (𝑒 ))

= −1.757045(𝑒 −0.85676 − (𝑒 −0.64783 )) = −1.757045(0.424535 − 0.523179) = −1.757045(−0.098644) = 0.17332194 Jadi, peluang terjadinya tinggi gelombang terbesar dalam interval [2, 2.3] adalah

0.35

0.17332194.

0.10

0.15

0.20

f

0.25

0.30

dist Rayleigh data asli

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Xi

Gambar 4. 2 Grafik fungsi probabilitas distribusi Rayeligh dengan 𝑏 = 1.757045 Grafik diatas diproduksi dengan program R yang dilampirkan pada lampiran A.11


Selang Kepercayaan terhadap parameter 𝒃 Dalam skripsi ini juga akan dibahas selang kepercayaan terhadap parameter 𝑏 untuk bentuk umum dari setiap signifikansi 𝛼 = 0.05 dan tingkat kepercayaan 1 − 𝛼 = 0.95 pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan adalah ∑ 𝑥𝑖 2

Pr [√(

(1 + (1 − 𝛼)) 𝜒2 ( ; 2𝑛) 2

< 𝑏< )

86.4418

Pr

(2 𝜒2 ( [√(

− 0.05) ; 2(14)) 2

Pr [√(

86.4418 𝜒 2 (0.975; 28)

∑ 𝑥𝑖 2 (1 − (1 − 𝛼)) 𝜒2 ( ; 𝑚) 2 √( )] 86.4418

< 𝑏< )

(0.05) 𝜒2 ( ; 2(14)) √(

2

= 0.95

= 0.95

)]

86.4418 ) < 𝑏 < √( 2 ) ] = 0.95 𝜒 (0.025; 28)

Dengan melihat tabel Chi-Square (𝜒 2 ) pada lampiran A.12 maka diperoleh Pr [√(

86.4418 86.4418 ) < 𝑏 < √( ) ] = 0.95. 44.461 15.308

Pr[ √1.9442𝑏 < √5.6468 ] = 0.95. Pr[1.39434 < 𝑏 < 2.37629 ] = 0.95. Berarti kita percaya bahwa 95% bahwa nilai 𝑏 pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan diantara 1.39434 < 𝑏 < 2.37629.


C. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov Pengujian ini dilakukan untuk mengecek bahwa model yang telah diduga berdistribusi Rayleigh. Data tinggi gelombang laut pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan akan diperiksa apakah data tersebut merupakan data yang berdistribusi Rayleigh dengan menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov. Dengan langkah-langkah sebagai berikut 1. 𝐻0 = data berdistribusi Rayleigh dengan skala parameter 𝑏 = 1.757045 2. 𝐻1 = data tidak berdistribusi Rayleigh 3. Tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05 4. Statistik Uji: 𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷− ) 5. Wilayah kritis 𝐻0 ditolak jika 𝐷𝑛 ≥ 𝐷𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 0.34890 6. a) Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar b) Akan dihitung 𝐹0 (𝑥) berdasarkan fungsi distribusi kumulatif dari 𝑥2

distribusi Rayleigh, yaitu 𝐹(𝑥) = 1 − exp (− (2𝑏2 )) c) Berdasarkan definisi 2.26 akan dihitung fungsi distribusi empiris 𝐹𝑛 (𝑥) d) Berdasarkan definisi 2.27 akan dihitung nilai 𝐷+ dan 𝐷− dan menentukan maksimum dari 𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷− ) Tabel 4.2 Perhitungan Uji Kolmogorov-Smirnov pada data tinggi gelombang laut

1 2 3 4 5 6 7

1.27 1.38 1.45 1.61 1.68 1.94 2.00

0.2299 0.2654 0.2886 0.3428 0.3669 0.4564 0.4768

0.0714 0.1429 0.2143 0.2857 0.3571 0.4286 0.5000

0.0000 0.0714 0.1429 0.2143 0.2857 0.3571 0.4286

-0.1585 -0.1225 -0.0743 -0.0571 -0.0097 -0.0278 0.0232

0.2299 0.1940 0.1457 0.1285 0.0812 0.0993 0.0483


0.5563 0.5943 0.6277 0.7995 0.8609 0.8686 0.9289 Maksimum

2.24 2.36 2.47 3.15 3.49 3.54 4.04

0.5714 0.6429 0.7143 0.7857 08571 0.9286 1.0000

0.5000 0.5714 0.6429 0.7143 0.7857 0.8571 0.9286

0.0151 0.0486 0.0866 -0.0138 -0.0038 0.0600 0.0711 0.0866

0.0563 0.0228 -0.0151 0.0852 0.0752 0.0115 0.0003 0.2299

Grafik F0(xi) Grafik Fn(xi)

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷− ) = 0.2299

f0

8 9 10 11 12 13 14

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

xi

Gambar 4. 3 Grafik 𝐹0 (𝑥(𝑖) ) dan 𝐹𝑛 (𝑥(𝑖) ) Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.13 7. Kesimpulan 𝐻0 diterima sebab 𝐷𝑛 = 0.2299 ≤ 𝐷𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 0.34890, maka data diatas berdistribusi Rayleigh dengan skala parameter 𝑏 = 1.757045.


D.

Perbandingan

Pendugaan

parameter

distribusi

Rayleigh

dengan

menggunakan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum Dalam skripsi ini penulis akan membandingan pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum dengan menggunakan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error).

Dalam Jurnal Comparation of Estimation of Parameters for The

Rayleigh Distribution, menyatakan bahwa Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) dapat dihitung sebagai berikut 𝑛

1 2 𝑀𝑆𝐸 = ∑[𝐹̂ (𝑥𝑖 ) − 𝐹(𝑥𝑖 )] 𝑛

(4.1)

𝑖=1

2

𝑖 𝑥 dengan 𝐹(𝑥𝑖 ) = 𝑛+1 dan 𝐹̂ (𝑥𝑖 ) = 1 − exp (− (2𝑏2 )).

Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Rayleigh adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) yang minimum. Berdasarkan pendugaan pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang menggunakan Metode Kuadrat Terkecil diperoleh 𝑏̂ = 1.715623 dan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum diperoleh 𝑏̂ = 1.757045. Akan dilakukan perbandingan metode yang terbaik dengan menggunakan hasil MSE yang akan dihitung berdasarkan persamaan (4.1). Berdasarkan persamaan (4.1), MSE dari Metode Kuadrat Terkecil adalah 𝑛

1 2 𝑀𝑆𝐸 = ∑[𝐹̂ (𝑥𝑖 ) − 𝐹(𝑥𝑖 )] = 0.062033 𝑛 𝑖=1

sedangkan MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah 𝑛

1 2 𝑀𝑆𝐸 = ∑[𝐹̂ (𝑥𝑖 ) − 𝐹(𝑥𝑖 )] = 0.060726. 𝑛 𝑖=1


Perhitungan MSE dengan Program R dilampirkan pada lampiran A.14 Berdasarkan hasil perhitungan MSE di atas maka dapat dilihat bahwa MSE yang paling minimum adalah MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum. Maka metode yang terbaik dalam pendugaan parameter distribusi Rayleigh pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang adalah Metode Kemungkinan Maksimum.


BAB V PENUTUP A. Kesimpulan Distribusi Rayleigh adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu yang diperkenalkan oleh Lord Rayleigh pada tahun 1880. Hal yang paling penting dalam mengkaji suatu distribusi adalah pendugaan parameter. Dalam skripsi ini pendugaan parameter distribusi Rayleigh menggunakan dua metode, yakni Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method). Konsep dari Metode Kuadrat Terkecil adalah mengestimasi parameter dengan memilih garis regresi yang terdekat dengan semua data yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error). Sedangkan, konsep dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah mengestimasi parameter distribusi yang memaksimumkan fungsi likelihood. Pendugaan parameter 𝑏 dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) untuk distribusi Rayleigh yang diduga dengan 𝑏̂ dapat dirumuskan sebagai ∑𝑛𝑖=1 (√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖 ))) 𝑥𝑖 𝑏̂ =

∑𝑛𝑖=1(−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖 )))

.

Sedangkan pendugaan parameter 𝑏 dengan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method) untuk distribusi Rayleigh yang diduga dengan 𝑏̂ dapat dirumuskan sebagai 𝑏̂ = √

∑ 𝑥𝑖 2 . 2𝑛

Pendugaan parameter distribusi Rayleigh diterapkan pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang. Pendugaan parameter distribusi Rayleigh pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil

73


(Least Square Method) diperoleh 𝑏̂ = 1.715623 yang berarti tinggi gelombang 1.715623 meter memiliki nilai peluang terbesar, sedangkan pendugaan parameter dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method) diperoleh 𝑏̂ = 1.757045. Untuk menentukan metode yang terbaik dalam pendugaan parameter distribusi Rayleigh penulis menggunakan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) sebagai kriteria pembanding. Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Rayleigh adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) yang paling minimum. Dari hasil penerapan pendugaan parameter distribusi Rayleigh pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang menunjukkan bahwa Metode Kemungkinan Maksimum lebih baik dalam menduga parameter distribusi Rayleigh, karena memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) yang minimum.

B. Saran 1. Dalam skripsi ini hanya dibahas distribusi Rayleigh dengan parameter tunggal, bagi pembaca yang ingin melanjutkan penelitian ini penulis menyarankan untuk membahas lebih lanjut tentang distribusi Rayleigh, misalnya distribusi Rayleigh dengan dua parameter. 2. Metode yang digunakan dalam skripsi ini adalah pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method), bagi pembaca yang ingin melanjutkan dapat menggunakan metode lain dalam menduga parameter distribusi Rayleigh. 3. Dalam penulisan skripsi ini hanya menggunakan satu data, bagi pembaca yang ingin melanjutkan penelitian ini penulis menyarankan untuk menggunakan lebih dari satu data.


DAFTAR PUSTAKA Al Mayali, Dr. Yahya Mahdi. & Al Shaibani, Irtifaa Abul Kadhum. (2013). A Comparison for Some of the Estimators of Rayleigh Distribution with Simulation. Journal of Kerbala University, 11 (4). Bain, Lee J., Engelhardt, Max. (1992). Introduction To Probability and Mathematical Statistics. Duxbury Press: Brooks/Cole. Best, D.J., Rayner, J.C.W & Thas, O. (2008). Easily applied tests of fit for the Rayleigh distribution. The Indian Journal of Statistics, 72 (2) :254-263. Evans, M., et al. Statistical Distributions. Third edition. New York: John Wiley & Sons, Inc. Fall, Prof. D. Joyce. (2014). Moments and the moment generating function. Math 217 Probability and Statistics. Lecture note. Hoffman, Dan., Karst, Otto J. (1975). The Theory of the Rayleigh Distribution and Some of Its Application. Journal of Ship Research, 9(3): 172-191. Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi. Mahdi, Smail. & Cenac, Myrtene. (2006). Estimating and Assessing the Parameters of The Logistic and Rayleigh Distributions from Three Methods of Estimation. Carrib J Math Comput Sci, 13: 25-34. Mkolesia, A.C., et al. (2016). Estimation of the Rayleigh Distribution Parameter. Transylvanian Review Journal, 24(8) 1158-1163. Ullah, Ehsan., Shahzad, Mirza N. (2016). “Transmutation of the two parameters Rayleigh distribution”. International Journal of Advanced Statistics and Probability, 4(2): 95-101. Wackerley, D. D., Mendenhall, W. & Scheaffer, R. L. (2008). Mathematical Statistics with Applications. Duxbury: Thomson Brooks/Cole. Walck, Christian. (2007). Hand-book on Statistical Distributions for Experimentalists. Stockholm: University of Stockholm. W. J. Conover. (1999). Practical Nonparametric Statistical. 3rd Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc. pp. 428-433. Wooldrige, Jeffrey M. (2009). Introduction Econometrics (4th Edition). SouthWestern: Cengage Learning. Kartikasari, Yualita. (2008). Desain Dermaga General Cargo dan Trestle Tipe Deck On Pile di Pulau Kalukalukuang Provinsi Sulawesi Selatan. Skripsi. Program Studi Teknik Kelautan. Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan. Institut Teknologi Bandung.


LAMPIRAN

Lampiran A.1 : Grafik Distribusi Gamma dengan program R > library(VGAM) Loading required package: stats4 Loading required package: splines > x<-seq(0,15,length.out=1000) > plot(x, dgamma(x,shape=1,scale = 2), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="red") > par(new=TRUE) > plot(x, dgamma(x,shape=2,scale = 2), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="orange") > par(new=TRUE) > plot(x, dgamma(x,shape=3,scale = 2), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="yellow") > par(new=TRUE) > plot(x, dgamma(x,shape=5,scale=1), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="green") > par(new=TRUE) > plot(x, dgamma(x,shape=9,scale=0.5), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="black") > par(new=TRUE) > plot(x, dgamma(x,shape=7.5,scale=1), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="blue") > par(new=TRUE) > plot(x, dgamma(x,shape=0.5,scale=1), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="violet") > legend("topright",c("β=1,α=2","β=2,α=2","β=3,α=2","β=5,α=1","β=9,α=0.5", "β=7.5,α=1","β=0.5,α=1"),col=c("red","orange","yellow","green","black","blue","vi olet"),lty=1:1)


Lampiran A.2: Grafik Distribusi Chi-Square dengan program R > library(VGAM) > x<-seq(0,10,length.out=1000) > plot(x, dchisq(x,df=1), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="brown") > par(new=TRUE) > plot(x, dchisq(x,df=2), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="green") > par(new=TRUE) > plot(x, dchisq(x,df=3), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="blue") > par(new=TRUE) > plot(x, dchisq(x,df=4), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="violet") > par(new=TRUE) > plot(x, dchisq(x,df=6), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="black") > par(new=TRUE) > plot(x, dchisq(x,df=9, ncp = 1), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="red") > legend("topright",c("v=1","v=2","v=3","v=4","v=6","v=9"),col=c("brown","green", "blue","violet","black","red"),lty=1:1)


Lampiran A.3: Penyelesaian contoh 2.10 dengan program R > data=read.csv(file.choose(),header=T) > data X Y 1 3 5 2 7 11 3 11 21 4 15 16 5 18 16 6 27 28 7 29 27 8 30 25 9 30 35 10 31 30 11 31 40 12 32 32 13 33 34 14 33 32 15 34 34 16 36 37 17 36 38 18 36 34 19 37 36 20 38 38 21 39 37 22 39 36 23 39 45 24 40 39 25 41 41 26 42 40 27 42 44 28 43 37 29 44 44 30 45 46 31 46 46 32 47 49 33 50 51 > x=data[,1] > y=data[,2] > plot(x,y, xlab="X", ylab="Y", ylim=c(0,60), xlim=c(0,60), pch=15, col="blue")


> g=myline.fit <- lm(y ~ x) >g Call: lm(formula = y ~ x) Coefficients: (Intercept) 3.8296 > abline(g)

x 0.9036


Lampiran A.4: Tabel Kolmogorov-Smirnov n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35 40 45 50 55 60 65 70

α=0.20 0,900 0,684 0,565 0,493 0,447 0,410 0,381 0,359 0,339 0,323 0,308 0,296 0,285 0,275 0,266 0,258 0,250 0,244 0,237 0,232 0,226 0,221 0,216 0,212 0,208 0,204 0,200 0,197 0,193 0,190 0,177 0,165 0,156 0,148 0,142 0,136 0,131 0,126

α=0.10 0,950 0,776 0,636 0,565 0,509 0,468 0,436 0,410 0,387 0,369 0,352 0,338 0,325 0,314 0,304 0,295 0,286 0,279 0,271 0,265 0,259 0,253 0,247 0,242 0,238 0,233 0,229 0,225 0,221 0,218 0,202 0,189 0,179 0,170 0,162 0,155 0,149 0,144

α=0.05 0,975 0,842 0,708 0,624 0,563 0,519 0,483 0,454 0,430 0,409 0,391 0,375 0,361 0,349 0,338 0,327 0,318 0,309 0,301 0,294 0,287 0,281 0,275 0,269 0,264 0,259 0,254 0,250 0,246 0,242 0,224 0,210 0,198 0,188 0,180 0,172 0,166 0,160

α=0.02 0,990 0,900 0,785 0,689 0,627 0,577 0,538 0,507 0,480 0,457 0,437 0,419 0,404 0,390 0,377 0,366 0,355 0,346 0,337 0,329 0,321 0,314 0,307 0,301 0,295 0,290 0,284 0,279 0,275 0,270 0,251 0,235 0,222 0,211 0,201 0,193 0,185 0,179

α=0.01 0,995 0,929 0,829 0,734 0,669 0,617 0,576 0,542 0,513 0,486 0,468 0,449 0,432 0,418 0,404 0,392 0,381 0,371 0,361 0,352 0,344 0,337 0,330 0,323 0,317 0,311 0,305 0,300 0,295 0,290 0,269 0,252 0,238 0,226 0,216 0,207 0,199 0,192


75 80 85 90 95 100

0,122 0,118 0,114 0,111 0,108 0,106

Pendekatan n > 100

0,139 0,135 0,131 0,127 0,124 0,121

0,154 0,150 0,145 0,141 0,137 0,134

0,173 0,167 0,162 0,158 0,154 0,150

0,185 0,179 0,174 0,169 0,165 0,161

1.07

1.22

1.36

1.52

1.63

√𝑛

√𝑛

√𝑛

√𝑛

√𝑛


Lampiran A.5 : Program R untuk Gambar 2.5 > data=read.csv(file.choose(),header=T) > data i Xi 1 1 0.2 2 2 1.0 3 3 1.4 4 4 1.5 5 5 1.8 6 6 2.0 7 7 2.1 8 8 2.4 9 9 2.6 10 10 2.7 11 11 2.8 12 12 3.0 13 13 3.1 14 14 3.2 15 15 3.6 16 16 4.0 17 17 4.1 18 18 4.2 19 19 4.7 20 20 5.0 > xi=data[ ,2]

Fxi 0.004987521 0.117503097 0.217295462 0.245160398 0.333023189 0.393469340 0.423770926 0.513247744 0.570442642 0.597978617 0.624688901 0.675347533 0.699182046 0.721962700 0.802101301 0.864664717 0.877696547 0.889749475 0.936787297 0.956063066

Fn 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

Fn.1 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95

D. 0.04501248 -0.01750310 -0.06729546 -0.04516040 -0.08302319 -0.09346934 -0.07377093 -0.11324774 -0.12044264 -0.09797862 -0.07468890 -0.07534753 -0.04918205 -0.02196270 -0.05210130 -0.06466472 -0.02769655 0.01025052 0.01321270 0.04393693

D..1 0.004987521 0.067503097 0.117295462 0.095160398 0.133023189 0.143469340 0.123770926 0.163247744 0.170442642 0.147978617 0.124688901 0.125347533 0.099182046 0.071962700 0.102101301 0.114664717 0.077696547 0.039749475 0.036787297 0.006063066

> f0=data[ ,3] > fn=data[ ,4] > plot(xi,f0, xlab="Xi", ylab="F",type="l",col="blue") > lines(xi,fn,col="red") > legend("topleft",c("F0(xi)","Fn(xi)"),col=c("blue","red"),pch=21:22,lty=1:1)


Lampiran A.6: Program untuk Gambar 3.1 > library(VGAM) Loading required package: stats4 Loading required package: splines > x<-seq(0,8,length.out=1000) > plot(x, drayleigh(x, scale = 0.5), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab = "f(x)", col="black") > par(new=TRUE) > plot(x, drayleigh(x, scale = 0.8), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab = "f(x)",col="magenta") > par(new=TRUE) > plot(x, drayleigh(x, scale = 1), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab = "f(x)",col="blue") > par(new=TRUE) > plot(x, drayleigh(x, scale = 1.5), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab = "f(x)", col="green") > par(new=TRUE) > plot(x, drayleigh(x, scale = 2), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab = "f(x)", col="red") > par(new=TRUE) > plot(x, drayleigh(x, scale = 3), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab = "f(x)", col="yellow") > legend("topright",c("b=0.5","b=0.8","b=1","b=1.5","b=2","b=3"),col=c("black","ma genta","blue", "green","red","yellow"),pch=21:22,lty=1:1)


Lampiran A.7 : Program untuk Gambar 3.2 > x<-seq(0,8,length.out=1000) > f <- function(x,b){ 1-exp(-(x^2)/2*b^2)} > plot(x,f(x,0.5), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="black") > par(new=TRUE) > plot(x,f(x,0.8), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="magenta") > par(new=TRUE) > plot(x,f(x,1), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="blue") > par(new=TRUE) > plot(x,f(x,1.5), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="green") > par(new=TRUE) > plot(x,f(x,2), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="red") > par(new=TRUE) > plot(x,f(x,3), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="yellow") >legend("bottomright",c("b=0.5","b=0.8","b=1","b=1.5","b=2","b=3"),col=c("black", "magenta","blue", "green","red","yellow"),pch=21:22,lty=1:1)


Lampiran A.8 : Program untuk penyelesaian pendugaan dengan Metode Kuadrat Terkecil > data=read.csv(file.choose(),header=T) > data gelombang

F.xi.

1

1.27

0.06666667

2

1.61

0.13333333

3

2.47

0.20000000

4

1.94

0.26666667

5

1.45

0.33333333

6

2.00

0.40000000

7

4.04

0.46666667

8

1.68

0.53333333

9

3.49

0.60000000

10

1.38

0.66666667

11

2.24

0.73333333

12

2.36

0.80000000

13

3.15

0.86666667

14

3.54

0.93333333

> xi=data[,1] > Fxi=data[,2] > atas=(sqrt((-2)*log(1-Fxi)))*xi > bawah=((-2)*log(1-Fxi)) > b=(sum(atas))/(sum(bawah)) >b [1] 1.715623


Lampiran A.9 : Program untuk Gambar 4.1 > data=read.csv(file.choose(),header=T) > data gelombang 1

1.27

2

1.38

3

1.45

4

1.61

5

1.68

6

1.94

7

2.00

8

2.24

9

2.36

10

2.47

11

3.15

12

3.49

13

3.54

14

4.04

> b=1.715623 > xi=data[,1] > fMKT=xi/(b^2)*(exp((-xi^2)/(2*b^2))) > plot(xi,fMKT, xlab="Xi", ylab="f",col="blue",type="o") > x=seq(0,4.04,length.out=14) > f=x/(b^2)*(exp((-x^2)/(2*b^2))) > lines(x,f,col="red",type="l") > legend("topright",c("dist Rayleigh","data asli"),col=c("red", "blue"),pch=22:21,lty=1:1)


Lampiran A.10 : Program untuk penyelesaian pendugaan dengan Metode Kemungkinan Maksimum > data=read.csv(file.choose(),header=T) > data gelombang

F.xi.

1

1.27

0.06666667

2

1.61

0.13333333

3

2.47

0.20000000

4

1.94

0.26666667

5

1.45

0.33333333

6

2.00

0.40000000

7

4.04

0.46666667

8

1.68

0.53333333

9

3.49

0.60000000

10

1.38

0.66666667

11

2.24

0.73333333

12

2.36

0.80000000

13

3.15

0.86666667

14

3.54

0.93333333

> xi=data[,1] > Fxi=data[,2] > xi_kuadrat=xi^2 > n=14 > b=sqrt((sum(xi_kuadrat))/(2*n)) >b [1] 1.757045


Lampiran A.11 : Program untuk Gambar 4.2 > data=read.csv(file.choose(),header=T) > data gelombang 1

1.27

2

1.38

3

1.45

4

1.61

5

1.68

6

1.94

7

2.00

8

2.24

9

2.36

10

2.47

11

3.15

12

3.49

13

3.54

14

4.04

> b=1.757045 > xi=data[,1] > fMKM=xi/(b^2)*(exp((-xi^2)/(2*b^2))) > plot(xi,fMKM, xlab="Xi", ylab="f",col="green",type="o") > x=seq(0,4.04,length.out=14) > f=x/(b^2)*(exp((-x^2)/(2*b^2))) > lines(x,f,col="black",type="l") >legend("topright",c("dist Rayleigh","data asli"),col=c("green", "black"),pch=22:21, lty=1:1)


Lampiran A.12 : Tabel Chi-Square

d.f. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 32 34 38 42 46 50 55

0.995 0 0.01 0.07 0.21 0.41 0.68 0.99 1.34 1.73 2.16 2.6 3.07 3.57 4.07 4.6 5.14 5.7 6.26 6.84 7.43 8.64 9.89 11.16 12.46 13.79 15.13 16.5 19.29 22.14 25.04 27.99 31.73

0.99 0 0.02 0.11 0.3 0.55 0.87 1.24 1.65 2.09 2.56 3.05 3.57 4.11 4.66 5.23 5.81 6.41 7.01 7.63 8.26 9.54 10.86 12.2 13.56 14.95 16.36 17.79 20.69 23.65 26.66 29.71 33.57

0.975 0 0.05 0.22 0.48 0.83 1.24 1.69 2.18 2.7 3.25 3.82 4.4 5.01 5.63 6.26 6.91 7.56 8.23 8.91 9.59 10.98 12.4 13.84 15.31 16.79 18.29 19.81 22.88 26 29.16 32.36 36.4

0.95 0 0.1 0.35 0.71 1.15 1.64 2.17 2.73 3.33 3.94 4.57 5.23 5.89 6.57 7.26 7.96 8.67 9.39 10.12 10.85 12.34 13.85 15.38 16.93 18.49 20.07 21.66 24.88 28.14 31.44 34.76 38.96

0.9 0.02 0.21 0.58 1.06 1.61 2.2 2.83 3.49 4.17 4.87 5.58 6.3 7.04 7.79 8.55 9.31 10.09 10.86 11.65 12.44 14.04 15.66 17.29 18.94 20.6 22.27 23.95 27.34 30.77 34.22 37.69 42.06

0.1 2.71 4.61 6.25 7.78 9.24 10.64 12.02 13.36 14.68 15.99 17.28 18.55 19.81 21.06 22.31 23.54 24.77 25.99 27.2 28.41 30.81 33.2 35.56 37.92 40.26 42.58 44.9 49.51 54.09 58.64 63.17 68.8

0.05 3.84 5.99 7.81 9.49 11.07 12.59 14.07 15.51 16.92 18.31 19.68 21.03 22.36 23.68 25 26.3 27.59 28.87 30.14 31.41 33.92 36.42 38.89 41.34 43.77 46.19 48.6 53.38 58.12 62.83 67.5 73.31

0.025 5.02 7.38 9.35 11.14 12.83 14.45 16.01 17.53 19.02 20.48 21.92 23.34 24.74 26.12 27.49 28.85 30.19 31.53 32.85 34.17 36.78 39.36 41.92 44.46 46.98 49.48 51.97 56.9 61.78 66.62 71.42 77.38

0.01 6.63 9.21 11.34 13.28 15.09 16.81 18.48 20.09 21.67 23.21 24.72 26.22 27.69 29.14 30.58 32 33.41 34.81 36.19 37.57 40.29 42.98 45.64 48.28 50.89 53.49 56.06 61.16 66.21 71.2 76.15 82.29


60 65 70 75 80 85 90 95 100

35.53 39.38 43.28 47.21 51.17 55.17 59.2 63.25 67.33

37.48 41.44 45.44 49.48 53.54 57.63 61.75 65.9 70.06

40.48 44.6 48.76 52.94 57.15 61.39 65.65 69.92 74.22

43.19 47.45 51.74 56.05 60.39 64.75 69.13 73.52 77.93

46.46 50.88 55.33 59.79 64.28 68.78 73.29 77.82 82.36

74.4 79.97 85.53 91.06 96.58 102.08 107.57 113.04 118.5

79.08 84.82 90.53 96.22 101.88 107.52 113.15 118.75 124.34

83.3 89.18 95.02 100.84 106.63 112.39 118.14 123.86 129.56

88.38 94.42 100.43 106.39 112.33 118.24 124.12 129.97 135.81


Lampiran A.13 : Program untuk Gambar 4.3 > data=read.csv(file.choose(),header=T) > data i Xi f0 1 1 1.27 0.2299 2 2 1.38 0.2654 3 3 1.45 0.2886 4 4 1.61 0.3428 5 5 1.68 0.3669 6 6 1.94 0.4564 7 7 2.00 0.4768 8 8 2.24 0.5563 9 9 2.36 0.5943 10 10 2.47 0.6277 11 11 3.15 0.7995 12 12 3.49 0.8609 13 13 3.54 0.8686 14 14 4.04 0.9289 > f0=data[,3]

Fn 0.0714 0.1429 0.2143 0.2857 0.3571 0.4286 0.5000 0.5714 0.6429 0.7143 0.7857 0.8571 0.9286 1.0000

Fn.1 0.0000 0.0714 0.1429 0.2143 0.2857 0.3571 0.4286 0.5000 0.5714 0.6429 0.7143 0.7857 0.8571 0.9286

D. -0.1585 -0.1225 -0.0743 -0.0571 -0.0097 -0.0278 0.0232 0.0151 0.0486 0.0866 -0.0138 -0.0038 0.0600 0.0711

D..1 0.2299 0.1940 0.1457 0.1285 0.0812 0.0993 0.0483 0.0563 0.0228 -0.0151 0.0852 0.0752 0.0115 0.0003

> fn=data[ ,4] > xi=data[,2] > plot(xi,f0,type="l",col="blue") > lines(xi,fn,col="red") >legend("topleft",c("Grafik F0(xi)","Grafik Fn(xi)"), cex=0.8,col=c("blue","red"), pch=21:22, lty=1:2)


Lampiran A.14 : Perhitungan MSE untuk data tinggi gelombang terbesar di Pantai P. Kalukalukuang > data=read.csv(file.choose(),header=T) > data gelombang 1 1.27 2 1.61 3 2.47 4 1.94 5 1.45 6 2.00 7 4.04 8 1.68 9 3.49 10 1.38 11 2.24 12 2.36 13 3.15 14 3.54 > xi=data[,1]

F.xi. 0.06666667 0.13333333 0.20000000 0.26666667 0.33333333 0.40000000 0.46666667 0.53333333 0.60000000 0.66666667 0.73333333 0.80000000 0.86666667 0.93333333

> Fxi=data[,2] > b=1.715623 > FMKT=1-exp(-((xi^2)/(2*b^2))) > n=14 > MSE=(1/n)*sum((Fxi-FMKT)^2) > MSE [1] 0.06203295 > bMLE=1.757045


> FMLE=1-exp(-((xi^2)/(2*bMLE^2))) > MSE2=(1/n)*sum((Fxi-FMLE)^2) > MSE2 [1] 0.06072646

PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI

Recommend Documents