PENGANTAR PROSES STOKASTIK

LAPORAN PENYELENGGARAAN MATA KULIAH DARING

HIBAH SISTEM PEMBELAJARAN DARING (SPADA) INDONESIA TAHUN 2017

PEMBELAJARAN MATA KULIAH DARING (BLENDED)

PENGANTAR PROSES STOKASTIK

I Gusti Ayu Made Srinadi, S.Si., M.Si., NIDN. 0013127101 Ir. I Komang Gde Sukarsa, M.Si., NIDN. 0005016501 I Wayan Sumarjaya, S.Si.,M.Stats. NIDN. 0021047705

PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS UDAYANA November 2017 i

l-

KEMENTERIAN RISET TEKNOLOGI, DAN PENDIDIKAN TINGGI

UNTVERSITAS UDAYANA Alamat: Kampus Unudnukit Jimbaran, Bali- 80362 rerp (036r) (036r) 701e07

TH*,'#11 , fr\,lli;Fax

Badung, 8 Novernber 2017 :

6l8Eruwt + .r.zgtDLtzor7

: Satu (1) berkas : Laporan Akhir Perryeleuggar:aaflHibah Sistem Pembelqiaran Daring (SPADA) Indonesia Tahun 2017

KepadaYth.

Direktorat Jenderal Pembelajaran dan Kemahasiswaan Kementerian Riset, Telmologi, dan Pendidikan Tinggi Jakarta (email. kdikti.go.id dan [email protected]) (email: oo.co.id )

Menindaklanjuti kew4iiban penerima hibatr dalam hal melaporkan hasil pelaksanaan pekerjaan program penyelenggaraan Mata Kuliah Dming Hibah Sistem Pembelajaran Daring (SPADA) Indonesia Tahun 2017 dan melaksanakan progrirrn tindak lanjut atas hasil pemantauan dan evaluasi, dimana jangka waktu Pelaksanaan Pekerjaan (Kontrak) Progrmr Penyelenggaraan Mata Kuliah Dming SPADA Indonesia berakhir pada tmggal 24 Novemb er z0l7 . Menindaklanjuti hal tersebut di atas, dengan ini karni dari Universitas Udayana mengirimkan Laporan Akhir penyelenggarium Mata Kuliatr Daring SPADA Indonesi4 dsngan data sebagai berikut: Laporan Akhir Mata Kuliah Daring (Blended) Judul Laporan Akhir : Pembelajaran Mata Kuliah Daring (Blended) Pengantar Proses Stokastik Nama Ketua Pengusul :I Gusti Ayu Made Srinadi, S.Si., M.Si.

NIP

darNIDN

Fakultas/Prodi

: l97ll2l3l9n02200l I 00l3t?7t0l : MIPA I Matematika

Demikian disampaikan dan terima kasih atas perhatiarrnya.

Fakultas MIPA itas Udayan4

s Made Suaskara 6061rI997021001

HALAMAN PENGESAHAN TIIBAH SISTEM PEMBELAJARAN DARING (SPADA} INDONESIA TAHUN2Ol7

Nama Progmm

Pengembangan Mata Kuliah Daring (Blended) urtuk Mata

Perguruan Tinggl Pengusul

Kuliah Pengantar Proses Stokastik Universitas Udayana Kampus Bukit Jimbaran, Badung, Bali

Alamat Perguruan Tinggi Nama Mata Kuliah Daring (Blended) yang diusulkan

:

Pengantar Proses Stokastik

Koordinator Pelaks ana Pro gram I Gusti Ayu Made Srinadi, S.Si., M.Si. Nama Lengkap 197 112131997022001 / 001 3 1 27 101 NIP dan NID]{ Fakultas/JurusanPS : M IP AA,{atematikaA{atem atika [email protected] Alarnat Email HP. 08 179726968 No. Telepon Rp 15 000.000 Jumlah dana :

:

:

.

:

Mengetahui, Ketua Prograrn Studi Matematika

Bulcit Jimbar tn, 8 lriovember 201iff

Desak Putu Eka Nitakusmawati,S. Si.,M. Si.

I Gusti Ayu Made Srinadi, S.Si.,IU.Si. NIP. 197 T1213 1 997022001

Koordinator,

I\IIP. 197 106 1 1 1 997 422007

ui,

sMIPA

e Suaskara, M.Si. NIP. 1966061 I 1997A21001

ill

DAFTAR ISI

Halaman PENGANTAR PIMPINAN UNIVERSITAS/FAKULTAS .......................................

ii

HALAMAN PENGESAHAN ....................................................................................

iii

DAFTAR ISI...............................................................................................................

iv

DAFTAR TABEL .......................................................................................................

v

DAFTAR LAMPIRAN ...............................................................................................

vi

BAB I.

PENDAHULUAN .......................................................................................

1

1.1 Latar Belakang ..................................................................................................

1

1.2 Tujuan ................................................................................................................

3

1.3 Sasaran ...............................................................................................................

4

1.4 Ruang Lingkup...................................................................................................

4

BAB II. PROSES PENGEMBANGAN MATA KULIAH DARING ......................

6

2.1 Tahap Analisis ...................................................................................................

6

2.2 Tahap Perancangan ............................................................................................

9

2.3 Tahap Pengembangan ........................................................................................

17

2.4 Tahap Implemnatasi ...........................................................................................

18

2.5 Tahap Pengoperasian .........................................................................................

19

2.6 Tahap Evaluasi ...................................................................................................

19

BAB III. PROSES PENYELENGGARAAN PERKULIAHAN ...............................

27

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................

32

LAMPIRAN

DAFTAR TABEL

Tabel

Halaman

1.

Setting Belajar dan Aktivitas Pembelajaran ...............................................

9

2.

Capaian Pembelajaran dan Subcapaian Pembelajaran ................................

12

3.

Pemetaan dan Pengorganisasian Materi ...........................................................

15

4.

Aktivitas Pembelajaran Sikron dan Asinkron ............................................

17

5.

Rancangan Aktivitas Pembelajaran Asinkron ...........................................

18

6.

Rancangan Aktivitas Pembelajaran Sinkron .............................................

21

7.

Alur Pembelajaan Sinkron Langsung ........................................................

21

8.

Alur Pembelajaran Sinkron Maya ..............................................................

22

9.

Pokok Bahasan dan Metode Pelaksanaan Pembelajaran ..........................

27

10. Realisasi Penggunaan Anggaran ..................................................................

39

11. Keterangan Tim Pengembang ......................................................................

40

12. Daftar Honor Tim Pengembang Mata Kuliah Daring (Blended).................

40

DAFTAR GAMBAR

Gambar

Halaman

1.

Proses dalam Pengembangan Kuliah Daring ..............................................

6

2.

Gambaran Umum MK Pengantar Proses Stokastik .................................

8

3.

Model Desain Sistem Pembelajaran Blended .............................................

11

4.

Peta Kompetensi Mata Kuliah Pengantar Proses Stokastik .....................

14

DAFTAR LAMPIRAN Lampiran

Halaman

1.

Soal Latihan, Quis, dan Ujian Pengantar Proses Stokastik .........................

31

2.

Identitas Diri Pengusul ................................................................................

37

3.

Realisasi Penggunaan Anggaran .................................................................

39

4.

Tampilan LMS Pembelajarang Daring (Blended) .....................................

41

5.

Ringkasan File Presentasi Materi Pembelajaran ........................................

50

6.

Ringkasan Dokumen Materi Pembelajaran ................................................

BAB I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Peranan Teknologi Informasi dan Komunikasi (TIK) dalam pendidikan diharapkan dapat meningkatkan kualitas pendidikan sebagai salah satu pilar pendidikan. Peningkatan kualitas pendidikan menjadi prioritas dengan kesadaran bahwa keberhasilan suatu bangsa di masa depan sangat tergantung pada kualitas pendidikan. Oleh karena itu Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan sangat serius menempatkan pilar-pilar pendidikan melalui misinya yang dikenal dengan 5 K yaitu Ketersediaan, Keterjangkauan, Kualitas dan Relevansi, Kesetaraan, dan Kepastian. Sumber belajar merupakan salah satu aspek dalam pendidikan yag harus tersedia, terjangkau, berkualitas, relevan dengan kebutuhan dunia kehidupan bermasyarakat, dan dapat diakses oleh semua, dengan tidak membedakan jenis kelamin, usia, agama, ras, serta dijamin kepastian dalam aksesibilitinya (Kemendikbud, 2014). Program Kuliah Daring Indonesia Terbuka dan Terpadu (PDITT) yang berganti nama menjadi Sistem Pembelajaran Daring Indonesia (SPADA) merupakan program penyelenggaraan kelas perkuliahan dalam jejaring yang menjangkau kelompok target dalam skala nasional. Mata Kuliah Daring ini dirancang sedemikian rupa sehingga pilarpilar pendidikan disamping ketersediaan dan keterjangkauan, juga memenuhi pilar kualitas dan relevansi, serta pilar kesetaraan dan kepastian.Sumber belajar merupakan salah satu aspek dalam pendidikan yag harus tersedia, terjangkau, berkualitas, relevan dengan kebutuhan dunia kehidupan bermasyarakat, dan dapat diakses oleh semua golongan masyarakat, serta dijamin kepastian dalam aksesibilitinya. Direktorat

Jenderal

Pembelajaran

dan

Kemahasiswaan,

Kemenristekdikti

memfasilitasi penerapan Massive Open Daring Course (MOOC) melalui SPADA. Tujuan utama SPADA adalah menerapkan teknologi pendidikan, khususnya blended learning sebagai wahana alih kredit (credit transfer) untuk memecahkan salah satu tantangan pendidikan tinggi dewasa ini yaitu meningkatkan akses terhadap pendidikan tinggi yang bermutu. Melalui SPADA, mahasiswa dari perguruan tinggi tertentu dapat mengikuti suatu mata kuliah daring yang ditawarkan oleh perguruan tinggi lain. Nilai yang diperoleh melalui pembelajaran blended dengan perguruan tinggi lain (credit learning) dapat dialihkan (credit transfer) dengan nilai sama di perguruan tinggi dimana ia terdaftar sebagai mahasiswa (Anis, 2017). 1

Melalui program SPADA, Kemenristek bersama beberapa perguruan tinggi berpartisipasi untuk menyelenggarakan kuliah daring sebagai aksi nyata untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan 5K tersebut di atas dalam jangka panjang. Dalam jangka pendek sebagai upaya untuk meningkatkan mutu perkuliahan di perguruan tinggi yang dilaksanakan melalui jaringan untuk direalisasikan sebagai kuliah daring. Pembelajaran blended sangat berkaitan dengan dengan e-learning yaitu pembelajaran yang berbantukan teknologi informasi dan komunikasi. Anis (2017) menguraikan bahwa blended/mixed menempatkan sistem penyampaian materi secara daring sebagai bagian yang tidak terpisahkan dari proses pembelajaran secara keseluruhan. Proses tatap muka maupun pembelajaran secara daring merupakan satu kesatuan utuh, berbeda dengan model Adjunct yang hanya menempatkan sistem penyampaian daring hanya sebagai tambahan. Definisi pembelajaran blendeed dalam konteks SPADA, “Pembelajaran blended adalah suatu bentuk sistem pembelajaran yang mengkombinasikan sedemikian rupa antara strategi pembelajaran sinkron dan asinkron dalam rangka menciptakan pengalaman belajar untuk mencapai capaian pembelajaran yang telah ditentukan secara optimal.” (Anis, 2017) Pengantar Proses Stokastik, merupakan salah satu mata kuliah wajib Program Studi Matematika, FMIPA, Universitas Udayana. Mata kuliah ini mengenalkan teori probabilitas dan proses stokastik beserta aplikasinya. Pembelajaran mata kuliah ini dimulai dengan pendalaman materi konsep peluang dan peubah acak, kemudian dilanjutkan dengan pembahasan tentang proses stokastik dan spesifikasinya , rantai Markov, proses Poisson, proses kelahiran dan kematian, dan fenomena pembaharuan (Renewal Phenomena). Konsep-konsep atau pokok bahasan dan kompetensi setiap pokok bahasan dalam mata kuliah Pengantar Proses Stokastik meliputi:1)Pendahuluan (review konsep peluang) mencakup peubah acak diskrit, peubah acak kontinu, serta konsep peluang bersyarat dan nilai harapan; 2) Spesifikasi dari Proses Stokastik, mengklasifikasikan proses stokastik berdasarkan sifat state space dan parameter space-nya; 3) Proses Markov (Markov Chain) mencakup definisi proses markov, matriks peluang transisi, spesifikasi model markov (reducible dan irreducible), teori keputusan markov ; 4)Proses Poisson, yang mencakup distribusi poisson dan proses Poisson, hukum kejadian jarang (The law of rare events), dan distribusi yang berhubungan dengan proses poisson; 5) Proses kelahiran dan kematian (Input-Output/ birth-death processes), 6) Fenomena pembaruan (renewal phenomena) mengenai pengertian fenomena pembaruan (renewal phenomena), proses poisson 2

dipandang sebagai proses pembaruan, dan generalisasi dan variasi pada proses-proses pembaruan; 7) Menyusun model stokastik. Tujuan utama dari mata kuliah ini yaitu mengenalkan logika teori probabilitas, mengembangkan intuisi mahasiswa tentang bagaimana teori tersebut dapat diterapkan pada situasi praktis, dan bagaimana teori probabilitas dan proses stokastik dapat diaplikasikan untuk memecahkan persoalan praktis. Proses pembelajaran Pengantar Proses Stokastik menerapkan prinsip behaviorisme, kognitivisme, konstruktivisme, dan konektivisme.

Prinsip behaviorisme menekankan

bahwa belajar merupakan proses stimulus, respon, dan umpan balik yang diterapkan dengan menampilkan tujuan pembelajaran, menilai pencapaian belajar, dan memberikan umpan balik. Prinsip kognitivisme menyatakan belajar merupakan proses pengolahan informasi di otak pembelajar dengan hasil belajar yang menunjukkan perubahan kognitif seorang pembelajar. Prinsip kognitivisme diterapkan secara operasional dalam bentuk input – proses – output dengan memperhatikan:1)materi yang diberikan dalam bentuk bongkahan kecil, disampaikan secara bertahap agar lebih mudah dipahami; 2)materi pembelajaran disajikan secara beragam dengan menggunakan berbagai media disesuaikan dengan gaya belajar mahasiswa; dan 3)ada pengukuran hasil belajar untuk membuktikan terjadinya proses belajar. Prinsip konstruktivisme menjelaskan bahwa proses belajar merupakan proses konstruksi makna berdasarkan beragam interaksi (individual maupun sosial), diterapkan dengan memperhatikan:1)penyajian materi secara interaktif; 2) contoh dan latihan disajikan secara bermakna; 3)peserta didik mengendalikan proses pembelajaran secara mandiri; 4) dan tersedia interaksi secara individu maupun sosial dalam pembelajaran (Kemenristek Dikti, 2016). Berdasarkan latar belakang tersebut dan mengingat banyaknya pengguna yang memerlukan mata kuliah daring MK Pengantar Proses Stokastik ini, maka usulan Mata Kuliah Daring (Blended) Pengantar Proses Stokastik ini diajukan.

1.2 Tujuan Mata KuliahDaring Pengantar Proses Stokastik ini dikembangkan dengan tujuan untuk menjamin terselenggaranya pendidikan tinggi bermutu yang merata untuk semua, dengan fokus utama untuk meningkatkan akses pendidikan tinggi bermutu dengan penambahan sumberdaya minimum. Disamping itu mata kuliah daring Pengantar Proses 3

Stokastik ini dirancang sebagai upaya untuk memenuhi pilar-pilar pendidikan yaitu Ketersediaan, Keterjangkauan, Kualitas dan Relevansi, Kesetaraan dan Kepastian. Pencapaian pilar-pilar pendidikan tersebut dirancang dengan penyusunan silabus mata kuliah Pengantar Proses Stokastik yang secara umum disesuaikan dengan silabus-silabus mata kuliah dalam kurikulum-kurikulum program studi ilmu-ilmu sains. Adapun tujuan khusus pengembangan mata kuliah daring (blended) Pengantar Proses Stokastik diantaranya: 1) tersedianya mata kuliah daring (blended) yang sudah lulus uji mutu, diunggah di LMS SPADA Indonesia atau LMS PT penyelenggara dan siap diakses oleh mahasiswa peserta; 2) tersedianya objek pembelajaran berbasis web untuk mata kuliah Pengantar Proses Stokastik yang siap diakses oleh mahasiswa peserta. Luaran dari pengembangan mata kuliah daring ini adalah berupa Mata Kuliah Daring (Blended) Pengantar Proses Stokastik yang memenuhi standard lulus uji mutu, diunggah di LMS SPADA Indonesia atau LMS PT penyelenggara dan siap diakses oleh mahasiswa peserta dan luaran berupa laporan penyelenggaraan mata kuliah daring sesuai dengan jadwal SPADA Indonesia 2017

1.3 Sasaran Sasaran pengguna Mata KuliahDaring (Blended) Pengantar Proses Stokastik adalah: 1) mahasiswa peserta yang mengambil mata kuliah ini sebagai mata kuliah wajib, yaitu mahasiswa Program Studi Matematika semester V Fakultas MIPA Universitas Udayana, tahun ajaran 2017/2018, dan 2) mahasiswa yang mengulang mengambil mata kuliah ini, yaitu mahasiswa Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Udayana, Semester VII Tahun Ajaran 2017/2018.

1.4. Ruang Lingkup Mata Kuliah Daring (Blended) Pengantar Proses Stokastik ini dikembangkan dalam rangka memberikan layanan pembelajaran bermutu dalam jaringan (daring) yang bersifat terbuka dan terpadu untuk menjangkau audiens yang lebih luas dalam skala nasional. Proses pembelajaran mata kuliah ini menerapkan kombinasi tatap muka dan daring yang diselenggarakan dalam rangka memberikan layanan pembelajaran bermutu secara dalam jaringan (daring) yang bersifat terbuka dan terpadu yang diselenggarakan bagi mahasiswa internal di perguruan tinggi pengusul, dalam hal ini Universitas Udayana, khususnya Program Studi Matematika. 4

Ruang lingkup dari pengembangan mata kuliah daring (blended) untuk mata kuliah Pengantar Proses Stokastik meliputi: Tahap Analisis, Tahap Perancangan, Tahap Pengembangan, Tahap Implementasi, Tahap Pengoperasian, serta tahap Evaluasi dan Optimasi Kuliah Daring. Tahap Analisis meliputi: 1)Identifikasi isu permasalahan pembelajaran, 2)Analisis kebutuhan pengguna, 3)Klarifikasi masalah dan tujuan pembelajaran, dan 4)Analisis pembelajar dan konteks. Tahap Perancangan meliputi: 1)Menetapkan

tujuan/capaian

pembelajaran, kompetensi-kompetensi

pencapaian, 2)

Penentuan materi

dan

dasar

dan indikator-indikator

aktivitas pembelajaran yang diperlukan, 3)Menuangkan hasil

tahapan analisis dan perancangan ke dalam bentuk peta program, Penyusunan Peta Program, Penyusunan SAP, Silabus, Pokok Bahasan. Tahap Pengembangan, meliputi: Mengembangkan objek pembelajaran digital (materi ajar, kuis, tugas, latihan, dan soal ujian berupa teks, grafis, gambar, video, maupun multimedia) dan upload objek pembelajaran digital ke dalam system. Tahap pengembangan ini merupakan proses merealisasikan konsep atau desain KDITT, meliputi: Realisasi materi, Realisasi media, Realisasi desain, Realisasi teknis, Pemeliharaan, dan Pengemasan ulang. Tahap implementasi kuliah daring meliputi lima subproses berikut: 1)Pengujian sumber belajar, 2)Adaptasi sumber belajar, 3)Aktivasi sumber belajar, 4)Organisasi pendistribusian, dan 5)Infrastruktur teknis. Pengoperasian kuliah daring mencakup proses administrasi

dan

proses

pembelajaran,

mulai

dari

perencanaan pembelajaran,

pelaksanaan pembelajaran, penilaian hasil dan proses pembelajaran sampai dengan pengawasan pembelajaran. Tahap yang terakhir adalah proses evaluasi dan optimasi, yaitu proses mendeskripsikan

metode,

prinsip-prinsip,

dan

prosedur

evaluasi

dalam

proses

pengembangan KDITT serta upaya perbaikan berdasar hasil evaluasi. Tahapan ini meliputi: Perencanaan, Realisasi, Analisis, dan Optimasi/Perbaikan.

5

BAB II. PROSES PERENCANAAN DAN PENGEMBANGAN KONTEN MATA KULIAH DARING (BLENDED)

Proses perancangan dan pengembangan Mata Kuliah Daring (Blended) untuk MK Pengantar Proses Stokastik ini menggabungkan pemanfaatan e-learning dan pembelajaran tatap muka konvensional (blended learning) yang diselenggarakan bagi mahasiswa internal perguruan tinggi pengusul. Proses pengembangan mata kuliah ini meliputi tahap analisa, tahap perancangan, tahap pengembangan, tahap implementasi, tahap pengoperasian, dan tahap evaluasi seperti disajikan dalam Gambar 1.

Gambar 1. Proses dalam Pengembangan Kuliah Daring Sumber: Direktorat Pembelajaran & Kemahasiswaan, Dirjen Dikti. Kemendikbud.2016. Panduan Pengembangan dan Penyelenggaraan KDITT

2.1 Tahap Analisis

Pada tahap analisis, perancang pembelajaran mengklarifikasi masalah dan tujuan pembelajaran yang akan

dicapai, serta

mengidentifikasi

lingkungan belajar dan

pengetahuan maupun keterampilan yang telah dimiliki pembelajar. Permasalahan pembelajaran yang menjadi isu selama ini adalah kurangnya kemampuan kognitif dari mahasiswa, khususnya pada tingkat pemahaman, aplikasi, 6

analisis, sintesis, dan evaluasi pada mata kuliah Pengantar Proses Stokastik, maupun mata kuliah yang terkait aplikasi konsep peluang secara umum. Disamping itu, kebutuhan dikembangkanya mata kuliah daring (blended) Pengantar Proses Stokastik ini dari sisi mahasiswa adalah: 1) Kebutuhan akan penguasaan konsep-konsep probabilitas dalam proses stokastik; 2) Mata kuliah lain yang berkaitan erat dengan proses stokastik seperti MK Time Series, Matematika Finansial, dan Teknik Optimasi; 3) Kebutuhan akan penguasaan konsep aplikasi peluang dan proses stokasik dalam mengerjakan tugas akhir/skripsi yang melibatkan aplikasi peluang dan proses stokastik dalam menyelesaikan permasalahan praktis; 4) Kebutuhan akan penguasaan konsep aplikasi peluang dan proses stokastik dalam mengerjakan tugas mahasiswa, baik berupa tugas mata kuliah, tugas kelompok, dan praktik lapangan;dan 5) Kebutuhan kompetensi lulusan yang mampu mengaplikasikan konsep peluang dan proses stokastik dalam dunia kerja, karena kompetensi lulusan dalam penguasaan matematika secara umum khususnya aplikasi peluang dan proses stokastik merupakan kompetensi yang dituntut dalam dunia kerja. Berdasarkan analisis permasalahan dan kebutuhan di atas maka mata kuliah daring (blended) ini penting untuk dikembangkan dan tujuan pembelajaran perlu ditetapkan, sehingga dapat mengatasi permasalahan pembelajaran yang ada dan dapat memenuhi kebutuhan pengguna. Tujuan pembelajaran mata kuliah ini dirumuskan dari kompetensi dalam kurikulum, analisis kebutuhan pengguna, pengalaman praktis berupa kesulitan-kesulitan belajar yang dialami peserta belajar, dan analisis kebutuhan dunia kerja akan kompetensi lulusan yang memiliki kemampuan yang memadai dalam penguasaan konsep dasar matematika. Tujuan pembelajaran menjelaskan pengetahuan, keterampilan, dan sikap yang diharapkan dikuasai, dimiliki, atau dicapai setelah peserta belajar mengikuti proses pembelajaran. Tujuan pembelajaran dari mata kuliah daring (blended) Pengantar Proses Stokastik adalah peserta belajar: 1)Dapat menunjukkan fungsi-fungsi densitas peluang dalam proses stokastik, 2) Dapat membuat spesifikasi dari Proses Stokastik, 3) Dapat menguraikan rantai Markov, 4) Dapat membuat spesifikasi model rantai Markov, 5) Dapat menunjukkan teori keputusan markov, 6) Dapat menunjukkan proses-proses Poisson, 7) Dapat menunjukkan proses-proses kelahiran dan kematian/input-output (birth-death processes), 8) Dapat menunjukkan renewal phenomena, dan 9) Dapat menciptakan model stokastik . Kemampuan yang harus dimiliki oleh peserta belajar untuk mencapai tujuan pembelajaran yang ditetapkan, adalah: 1) Penguasaan konsep–konsep dasar mengenai 7

peubah acak diskret dan kontinu; 2) Kemampuan dalam menentukan peluang bersyarat; (3) Kemampuan dalam menentukan distribusi peluang, menentukan nilai harapan dan variansi suatu peubah acak. Gambaran MK Pengantar Proses Stokastik disajikan dalam Gambar 2.

PROBABILITAS

VARIABEL RANDOM MODEL DETERMINISTIK

MODEL PROBABILITAS

PROSES STOKASTIK Keluar

RANTAI MARKOV

PROSES STOKASTIK KONTINU

PROSES POISSON

PROSES RENEWAL

Fungsi Transisi : Proses order kedua :

- 2 langkah - n langkah - Macam’’ state

-

Proses Gaussian Proses Wiener Konsep yang diperlukan : - Kontinuitas - Integrasi

Gambar 2. Gambaran Umum MK Pengantar Proses Stokastik Pihak yang terlibat pada tahap analisis ini adalah desainer instruksional bersama dengan dosen pengembang mata kuliah daring (blended) Pengantar Proses Stokastik. Luaran yang dihasilkan pada tahap ini adalah berupa daftar keterampilan, pengetahuan, dan sikap (sebagai entry behavior) yang diperlukan peserta belajar untuk dapat mengikuti proses pembelajaran. Langkah berikutnya adalah menganalisis pembelajar dan konteks. Langkah

ini

mengidentifikasi karakteristik umum peserta belajar yang menjadi target, konteks

8

(kondisi) yang terkait dengan keterampilan yang akan dipelajari, konteks yang digunakan peserta belajar dalam proses pembelajaran, konteks yang terkait dengan penggunaan keterampilan yang akan diperoleh; termasuk mengidentifikasi keterampilan awal, pengalaman awal, preferensi, sikap, dan latar belakang demografis; mengidentifikasi karakteristik yang langsung berhubungan dengan keterampilan yang diajarkan; dan melakukan analisis performen dan situasi belajar. Hasil analisis ini berguna untuk langkahlangkah selanjutnya, khususnya untuk menentukan strategi pembelajaran. 2.2 Tahap Perancangan/Setting Pembelajaran Blendeed

Dua hal penting berkaitan dengan desain pembelajaran blended yaitu setting belajar dan aktivitas belajar. Setting belajar meliputi:1)Sinkron Langsung(SL), 2)Sinkron Maya (SM), 3)Asinkron Mandiri (AM), dan 4)Asinkron Kolaboratif (AK). Aktivitas belajar dalam setiap setting belajar diuraikan dalam Tabel 1. Tabel 1. Setting Belajar dan Aktivitas Pembelajaran Seting Belajar Sinkron Sinkron Langsung (SL) • • • • • • •

Ceramah Diskusi Praktek Workshop Seminar Praktek lab Proyek individu/kelom pok • dll.

Asinkron Sinkron Maya Asinkron Mandiri (AM) Asinkron (SM) Kolaboratif (AK) Aktivitas Pembelajaran

• Kelas virtual • Konferensi audio • Konferensi video • Web-based seminar (webinar)

• Membaca (reading) • Partisipasi dalam diskusi melalui • Menonton (video, webcast) forum diskusi daring. • Mendengar (audio, • Mengerjakan tugas audiocast) individu/kelom• Studi daring pok melalui • Simulasi/praktek penugasan daring. • Latihan • Publikasi individu • Role play atau kelompok • Tes (melalui wiki, • Publikasi/jurnal (wiki, blog, dll). blog, dll) (disajikan dalam bentuk digital dan daring).

Sumber: PEDATI: Model Desain Sistem Pembelajaran Blended (Anis, 2017) Tahap perancangan berkaitan dengan tujuan atau capaian pembelajaran yang ingin dicapai, instrumen asesmen, latihan, konten, analisis mata kuliah, perencanaan pembelajaran, dan pemilihan media yang akan digunakan dalam pembelajaran. Pada tahap perancangan ini, langkah-langkah yang dilakukan dalam desain instruksional untuk pembelajaran mata kuliah daring (blended) pada mata kuliah Pengantar Proses Stokastik adalah sebagai berikut:

9

a) Menetapkan tujuan atau capaian pembelajaran, kompetensi-kompetensi dasar, serta menetapkan indikator-indikator pencapaian mata kuliah Pengantar Proses Stokastik yang sedang dikembangkan. b) Berdasarkan capaian pembelajaran, kompetensi dasar, dan indikator pencapaian yang sudah ditetapkan, selanjutnya ditentukan materi dan aktivitas pembelajaran yang diperlukan untuk mata kuliah daring Pengantar Proses Stokastik. Materi pembelajaran (objek pembelajaran) yang digunakan dalam mata kuliah ini mencakup bahan ajar tekstual, visual (gambar, video, animasi), manipulasi virtual (simulasi), bahan-bahan untuk penilaian (kuis, tugas, tes, dan sebagainya), dan sumber-sumber belajar. c) Aktivitas pembelajaran mata kuliah daring (blended) ini menggabungkan pemanfaatan e-learning dan pembelajaran tatap muka konvensional (blended learning) yang diselenggarakan bagi mahasiswa internal Fakultas MIPA Universitas Udayana. d) Tahap selanjutnya menuangkan hasil desain instruksional pada ketiga tahap di atas kedalam bentuk peta program. Selanjutnya, dengan berpedoman pada peta program dosen akan mengembangkan materi pembelajaran (objek pembelajaran) dalam bentuk file-file digital. Aktivitas dalam tahap perancangan ini melibatkan pihak desainer instruksional dan pengembang pembelajaran. Luaran tahap perancangan adalah berupa peta program mata kuliah daring (blended) Pengantar Proses Stokastik. Untuk membuat suatu rancangan (desain) diperlukan model atau prosedur kerja yang dapat dijadikan sebagai panduan. Model desain sistem pembelajaran blended diberi nama PEDATI (Pembelajaran Daring pada Pendidikan Tinggi) (Anis, 2017). Model desain sistem pembelajaran blended didefinisikan sebagai berikut: “panduan yang menggambarkan prosedur sistematis dan iteratif untuk menghasilkan suatu sistem pembelajaran blended. Output dari desain sistem pembelajaran dengan menggunakan suatu model desain pembelajaran blended ini adalah berupa rancangan (blueprint) sistem pembelajaran blended yang meliputi unsur: 1) siapa yang akan belajar (students); 2) capaian pembelajaran yang ingin dicapai (learning outcomes); 3) aktivitas yang memungkinkan terjadinya pengalaman belajar (strategies); 4) sumber belajar yang dibutuhkan (learning resources); dan 5) cara untuk mengukur dan menilai hasil belajar (evaluasi). (Anis, 2017) Model desain sistem pembelajaran blended digambarkan dalam Gambar 3. 10

Gambar 3. Model Desain Sistem Pembelajaran Blended Sumber: PEDATI (Anis, 2017) Pada perancangan dan pengembangan mata kuliah blended Pengantar Proses Stokstik, dilaksanakan lima langkah utama atau komponen dalam PEDATI meliputi: 1)Merumuskan Capaian Pembelajaran, 2)Memetakan dan Mengorganisasikan Materi Pembelajaran, 3)Memilih dan Menentukan Aktivitas Pembelajaran Sinkron dan Asinkron, 4)Merancang Aktivitas Pembelajaran Asinkron, dan 5)Merancang Aktivitas Sinkron. Berikut disusun langkah-langkah utama PEDATI untuk mata kuliah blended Pengantar Proses Stokastik.

11

IDENTITAS MATA KULIAH

IDENTITAS PENGAMPU

Mata Kuliah : Pengantar Proses Stokastik Kode MK : MA597430 SKS : 3 (3-0) Semester :V MK Prasyarat : Pengantar Ilmu Peluang

Dosen : I Gusti Ayu Made Srinadi NIP/NIDN : 197112131997022001/ 0013127101

A. Capaian Pembelajaran Pengantar Proses Stokastik Tabel 2. Capaian Pembelajaran dan Subcapaian Pembelajaran No. Capaian Pembelajaran 1. Mahasiswa mampu menentukan fungsi densitas peluang dalam proses stokastik (C3)

2.

Mahasiswa mampu mengklasifikasikan proses-proses stokastik (C3)

3.

Mahasiswa mampu menganalisis suatu rantai Markov (C4)

4.

Mahasiswa mampu mengklasifikasikan state-state suatu rantai Markov (C3)

5.

Mahasiswa mampu menganalisis menganalisis teori keputusan markov (C4)

6.

Mahasiswa mampu memutuskan terjadinya proses Poisson (C5) 12

Subcapaian Pembelajaran Mahasiswa mampu: a. Menerangkan fungsi peluang peubah acak diskrit b. Menerangkan fungsi peluang peubah acak kontinu c. Menghitung nilai harapan suatu peubah d. Menentukan peluang bersyarat Mahasiswa mampu: • Menentukan definisi variabel random suatu proses stokastik • Menentukan parameter space dan state space suatu variabel random • Mengklasifikasikan proses stokastik berdasarkan sifat state space dan parameter spacenya. Mahasiswa mampu: a. Menentukan definisi suatu rantai/proses markov b. Menemukan distribusi awal rantai markov c. Menentukan matriks peluang transisi suatu rantai markov Mahasiswa mampu: • Menentukan beberapa model rantai Markov • Menentukan waktu lewat pertama (first passage time) • Menetukan klasifikasi sifat state rantai Markov Mahasiswa mampu: a. Menemukan limiting distribution suatu Rantai Markov b. Menemukan rantai-rantai Markov tereduksi (reducible Markov chains) c. Menyimpulkan apakah rantai markov tertutup irreducible Mahasiswa mampu:

•

7.

Mahasiswa mampu menyusun aplikasi proses poisson dalam berbagai bidang (C6)

13

Menelaah distribusi poisson dan proses Poisson • Menilai hukum kejadian jarang (The law of rare events) • Merangkum distribusi yang berhubungan dengan proses poisson Mahasiswa mampu: • Merumuskan aplikasi proses poisson dalam kasuk kelahiran-kematian • Merumuskan aplikasi proses poison dalam fenomena pembaruan (renewa) • Merumuskan aplikasi proses poisson dalam sistem antrian

B. Peta Kompetensi

Gambar 4. Peta Kompetensi Mata Kuliah Pengantar Proses Stokastik

14

C. Daftar Referensi (pengarang, judul buku, penerbit, tahun terbit) 1. Papoulis, A. and S. Unnikrishna P. Probability, Random Variabeles, and Stochastic Processes, 4th Edition, New York: McGraw-Hill, 2002. 2. Taylor,H.M. and Karlin, S., An Introduction to Stochastic Modelling, edisi revisi, San Diego: Academic Press, 1994. 3. Taylor, H.M., and Karlin, S, A First Course in Stochastic Process. New York: Academic Press,1975. D. Pemetaan dan Pengorganisasian Materi/Bahan Kajian Mata Kuliah Dosen/Penyusun

: Pengantar Proses Stokastik : I Gusti Ayu Made Srinadi, I Wayan Sumarjaya, I Komang Gde Sukarsa

Tabel 3. Pemetaan dan Pengorganisasian Materi No

Capaian Pembelajaran Mahasiswa mampu menentukan fungsi densitas peluang dalam proses stokastik (C3)

Pokok Bahasan

2.


Klasifikasi Proses Stokastik

3.


Rantai Markov

4.

Mahasiswa mampu mengklasifikasikan state-state suatu rantai Markov (C3)

1.

Fungsi Densitas Peluang

Subpokok Bahasan Peluang peubah diskret dan kontinu Nilai harapan peubah acak

Pokok-pokok Materi • • • • •

State space, parameter • Variabel random suatu space dan klasifikasi proses stokastik proses stokastik • Parameter space dan state space suatu variabel random • Klasifikasi proses stokastik berdasarkan sifat state space dan parameter spacenya. Matriks peluang • Pengertian rantai Markov transisi rantai markov • Matriks peluang transisi dan distribusi awal Nilai peluang transisi • Matriks peluang transisi suatu variabel m-langkah • Nilai peluang transisi

Sifat-sifat State Suatu Rantai Markov

Sifat-sifat state rantai Markov

• • •

5.

Mahasiswa mampu menganalisis teori keputusan markov (C4)

Peubah acak diskrit Peubah acak kontinu Nilai Harapan Peluang bersyarat Nilai harapan bersyarat

Rantai Markov Tertutup irreducible

Distribusi jangka panjang rantai Markov Tertutup irreducible 15

•

Model-model rantai Markov Waktu lewat pertama (first passage time) Klasifikasi sifat state rantai Markov Teorema limit dasar rantai Markov

•

Peluang absorpsi suatu state rantai markov

6.

Mahasiswa mampu memutuskan terjadinya proses Poisson (C5)

Proses Poisson

Proses Poisson Homogen

Proses Poisson Non Homogen

7.

Mahasiswa mampu menyusun aplikasi proses poisson dalam berbagai bidang (C6)

Phenomena yang berkaitan dengan Proses Poisson

Aplikasi proses poisson dalam kasus kelahiran-kematian Aplikasi proses poisson dalam Sistem Antrian Aplikasi proses poisson dalam fenomena pembaruan (renewal)

16

Rantai-rantai Markov tereduksi (reducible Markov chains)

• Keputusan berurut (sequential decisions) dan rantai-rantai Markov. • Peluang absorpsi state transien rantai markov • Distribusi poisson dan proses Poisson • Hukum kejadian jarang (The law of rare events) • Proses Poisson Homogen • Distribusi yang berhubungan dengan proses poisson • Proses Poisson Non Homogen • Aplikasi proses poisson dalam kasus kelahirankematian •

Aplikasi proses poisson dalam sistem antrian

•

Merumuskan aplikasi proses poison dalam fenomena pembaruan (renewal)

E. Memilih dan Menentukan Aktivitas Pembelajaran Sikron dan Asinkron Mata Kuliah Dosen/Penyusun

: Pengantar Proses Stokastik : I Gusti Ayu Made Srinadi, I Wayan Sumarjaya, I Komang Gde Sukarsa

Tabel 4. Aktivitas Pembelajaran Sikron dan Asinkron No

Capaian Pembelajaran

Pokok Bahasan

Mahasiswa mampu menentukan fungsi densitas peluang dalam proses stokastik (C3)

Fungsi Densitas Peluang

2.


Klasifikasi Proses Stokastik

State space, parameter space dan klasifikasi proses stokastik

3.


Rantai Markov

Matriks peluang transisi rantai markov Nilai peluang transisi suatu variabel

1.

4.

5.

6.

7.

Mahasiswa mampu mengklasifikasikan state-state suatu rantai Markov (C3) Mahasiswa mampu menganalisis teori keputusan markov (C4)

Sifat-sifat State Suatu Rantai Markov Rantai Markov Tertutup irreducible

Mahasiswa mampu memutuskan terjadinya proses Poisson (C5)

Proses Poisson

Mahasiswa mampu menyusun aplikasi proses poisson

Phenomena yang berkaitan

Subpokok Bahasan

Peluang peubah diskret dan kontinu Nilai harapan peubah acak

Aktivitas Pembelajaan Sinkron Asinkron SL SM √

-

-

√

-

-

√

√

-

-

√

-

-

Sifat-sifat state rantai Markov

-

√

-

Distribusi jangka panjang rantai Markov Tertutup irreducible Peluang absorpsi suatu state rantai markov Proses Poisson Homogen Proses Poisson Non Homogen Aplikasi proses poisson dalam kasus

-

√

-

-

√

-

17

√

-

-

√

-

-

-

-

√

dalam berbagai bidang (C6)

dengan Proses Poisson

kelahirankematian Aplikasi proses poisson dalam Sistem Antrian Aplikasi proses poisson dalam fenomena pembaruan

-

-

√

-

-

√

F. Merancang Aktivitas Pembelajaran Asinkron 1. Menyusun Rancangan Aktivitas Pembelajaran Asinkron Mata Kuliah Dosen/Penyusun

: Pengantar Proses Stokastik : I Gusti Ayu Made Srinadi, I Wayan Sumarjaya, Ir. I Komang Gde Sukarsa

Tabel 5. Rancangan Aktivitas Pembelajaran Asinkron No.

1.

Subpokok Bahasan

Peluang peubah diskret dan kontinu (1.1, 1.2)

Pokok Materi

Peubah acak diskrit

Peubah acak kontinu

Nilai Harapan

2.

3.

Nilai harapan peubah acak (1.3)

Peluang bersyarat

State space, parameter space dan

Variabel random suatu

Nilai harapan bersyarat

Asinkron Mandiri Media Digital Teks dan slide peubah acak diskret Teks dan slide peubah acak kontinu Teks dan slide nilai harapan peubah acak Teks dan slide peluang bersyarat Teks dan slide nilai harapan bersyarat Audio dan slide 18

Strategi Pembelajaran Asinkron Asinkron Kolaboratif

Tes Essay

Asesmen Diskusi Daring

Tugas Daring

Essay

Essay

Diskusi menentukan menentukan nilai harapanpeubah acak diskret / kontinu

Membukti kan fungsi yang diberian merupakan fungsi densitas peluang dan menentukan niai harpannha

Essay

Essay

PG

Diskusi penetapan Menguraikan/membuat definisi variabel contoh suatu peristiwa

klasifikasi proses stokastik (2)

4.

5.

6.

Aplikasi proses poisson dalam kasus kelahirankematian (7.1) Aplikasi proses poisson dalam Sistem Antrian (7.2) Aplikasi proses poisson dalam fenomena pembaruan (renewal) (7.3)

proses stokastik Parameter space dan state space suatu variabel random Klasifikasi proses stokastik berdasarkan sifat state space dan parameter spacenya. Proses poisson dalam kasus kelahirankematian

variabel random Audio dan slide state dan parameter space

PG

Slide dan diagram klasifikasi proses stokastik

PG

Video dan slide kasus kelahiran kematian

Essay

Proses poisson dalam sistem antrian

Video dan slide sistem antrian

Essay

Proses poison dalam fenomena pembaruan (renewal)

Slide fenomena pembahuan (renewal)

Essay

19

random dari suatu proses stokastik

yang merupakan proses stokastik

Diskusi mengnenai peristiwa/kejadian real yang merupakan proses poisson

Memelaah paper/artikel yang merupakan suatu proses poisson

2. Merangkai Alur Pembelajaran Asinkron Mata Kuliah Dosen/Penyusun

: Pengantar Proses Stokastik : I Gusti Ayu Made Srinadi, I Wayan Sumarjaya, Ir. I Komang Gde Sukarsa

Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan

: Fungsi Densitas Peluang : Peluang Peubah Acak Diskret dan Kontinu

Pokok Materi 1

: Peluang Peubah Acak Diskret

Instruksi

Anda diajak kembali mereview fungsi densitas peluang peubah acak diskret yang dipelajari dalam MK Pengantar Ilmu Peluang. Untuk mempercepat penyegaran anda mengenai fungsi densitas peluang peubah acak diskret, bagaimana menentukan bahwa suatu fungsi yang diberikan merupakan fungsi densitas peluang dapat dilihat dalam slide dan dibaca teks berikut:

Media digital

Insert slide presentasi tentang peubah acak diskret Insert file pdf tentang peubah acak diskret Insert link terkait tentang peubah acak diskret

Instruksi

Apakah anda sudah mengingat kembali konsep fungsi densitas peluang peubah acak diskret? Jika masih ada hal yang belum tuntas anda ingat, silahkan lihat kembali slide dan teks di atas atau diskusikan dengan dosen atau rekan mahasiswa lain melalui forum diskusi

Forum diskusi

Insert forum diskusi.

Instruksi

Selanjutnya mari kita tingkatkan pemahaman lebih lanjut tentang fungsi densitas peluang peubah acak diskret dengan menyelesaikan beberapa latihan soal berikut:

Media digital

Insert slide presentasi soal dan langkah penyelesaiannya Insert file pdf yang berisi soal dan jawab Insert file pdf soal mandiri

Deskripsi

Penguasaan anda tentang fungsi densitas peluang peubah acak diskret sudah meningkat. Oleh karena itu jawablah soal latihan mandiri dan kirim hasilnya kedalam media tugas berikut:

Media Assignment

Insert assignment yang menampung hasil pekerjaan mahasiswa.

20

G. Rancangan Aktivitas Pembelajaran Sinkron Mata Kuliah : Pengantar Proses Stokastik Dosen/Penyusun : I Gusti Ayu Made Srinadi, I Wayan Sumarjaya, Ir. I Komang Gde Sukarsa Capaian Pembelajaran: Mahasiswa mampu menganalisis suatu rantai Markov (C4) Pokok Bahasan : Rantai Markov

Tabel 6. Rancangan Aktivitas Pembelajaran Sinkron Subpokok Bahasan Matriks peluang transisi rantai markov

Nilai peluang transisi suatu variabel

Pokok Materi

Metode

Media

Asesmen/Penilaian

Pengertian rantai Markov

Presentasi Tutorial

Slide presentasi video

Quis , Tugas Mandiri

Matriks peluang transisi dan distribusi awal Matriks peluang transisi mlangkah Nilai peluang transisi

Presentasi Tutorial



Presentasi Tutorial



Presentasi Tutorial



H. Menyusun Alur Pembelajaran Sinkron 1. Alur Pembelajaran Sinkron Langsung (Tatap Muka) Pertemuan ke : 4 Pokok Bahasan : Rantai Markov Tabel 7. Alur Pembelajaan Sinkron Langsung Jenis Kegiatan PEMBUKA

INTI

Kegiatan Pembelajaran • Dosen menjelaskan definisi Rantai Markov • Dosen menguraikan peristiwa real yang termasuk dalam Rantai/Proses Markov • Dosen menjelaskan keistimewaan sifat Rantai Markov • Dosen menguraikan kembali konsep dasar suatu rantai Markov • Dosen meminta mahasiswa secara berkelompok menguraikan kejadian-kejadian di alam yang termasuk dalam rantai Markov • Dosen menetapkan nilai peluang transisi dari setiap state dalam rantai Markov • Dosen menunjukkan cara menentukan dan menuliskan matriks peluang transisi suatu rantai markov • Dosen mendemonstrasikan cara menentukan peluang suatu state apabila distribusi awal diberikan 21

Waktu 5’ 10” 5’

PENUTUP/TINDAK • Dosen meminta mahasiswa secara berkelompok LANJUT menyimpulkan kejadian bagaimana dapat dinyatakan sebagai rantai Markov, bagaimana menentukan matriks peluang transisi suatu rantai markov, dan bagaimana menentukan nilai peluang suatu state dalam rantai Markov bila diberikan distribusi awal. • Dosen memberikan tugas mandiri kepada mahasiswa agar mahasiswa mampu menentukan peluang terjadinya suatu kejadian jika diketahui kejadian lain yang berhubungan dengan kejadian tersebut terjadi. 2. Alur Pembelajaran Sinkron Maya Pertemuan ke : 6 Pokok Bahasan : Sifat-sifat State Rantai Markov Tabel 8. Alur Pembelajaran Sinkron Maya Pokok Materi

Penyaji Dosen

Model-model rantai Markov Waktu lewat pertama (first passage time)

Dosen

Klasifikasi sifat state rantai Markov

Dosen

Metode Presentasi, Tutorial, Tanya Jawab Presentasi, Tutorial, Tanya Jawab Presentasi, Tutorial, Tanya Jawab

Media Slide presentasi, video Slide presentasi

Waktu 30’

Slide presentasi, video

30’

30’

2.3 Tahap Pengembangan Tahap pengembangan meliputi tahap berikut: (1) Write test, Assignment, and exercises (Kuis, tugas, latihan, dan soal ujian) dan (2) Develop instructional materials, dalam hal ini mengembangkan konten mata kuliah daring (blended) untuk mata kuliah Pengantar Proses Stokastik. Pada

tahap

pengembangan,

desainer

instruksional

bersama dengan

pengembang membuat serta merakit konten yang telah dibuat prototipnya pada tahapan perancangan. Pada tahap ini juga dilakukan review dan revisi objek pembelajaran. Objek pembelajaran dirancang dan dikembangkan berdasarkan analisis kebutuhan untuk meraih capaian pembelajaran yang diharapkan secara efektif dan efisien, dan memenuhi tiga ranah tujuan pembelajaran yang meliputi ranah kognitif, afektif, dan psikomotor. Ranah kognitif, meliputi enam jenjang capaian pembelajaran: pengetahuan,

22

pemahaman, aplikasi, analisis, sintesis, dan evaluasi. Luaran dari tahap pengembangan ini adalah berupa objek pembelajaran yang memenuhi ranah tujuan pembelajaran yang sudah ditetapkan dalam desain instruksional, dan sesuai dengan pembelajan berbasis daring. Pada

pembelajaran

mata kuliah daring (blended) yang diusulkan ini,

objek

pembelajaran digital yang akan digunakan berupa teks, slide, grafis, gambar, video, maupun multimedia, dengan mempertimbangkan konsep usability, dimungkinkannya pencarian berdasar kata kunci oleh mesin pencari. Penyajian

materi

pembelajaran

dilakukan dengan menayangkan berbagai jenis objek pembelajaran teks, visual, audio, video, maupun gabungan berbagai unsur media tersebut. Pada mata kuliah ini materi pembelajaran disajikan dalam potongan-potongan kecil dengan pertimbangan teknis, psikologis, dan ergonomis sehingga pembelajar dimungkinkan belajar dengan kecepatan sesuai kebutuhan dan kemampuan, serta dapat mengakses materi pembelajaran secara nonlinier.Interaksi antara pembelajar dengan fasilitator pada mata kuliah ini berlangsung dengan menggabungkan pemanfaatan e-learning dan pembelajaran tatap muka konvensional (blended learning). Objek pembelajaran digital berupa teksakan dibuat dengan berbagai program pengolah naskah dengan format html, Word, portable

document

format/pdf,

slide

presentasipowerpoint, lembar kerja excel, dan sebagainya. Gambar baik yang berupa foto digital atau grafik dengan format JPG (ekstensi .jpg atau .jpeg), GIF (eksetensi .gif), PNG (ekstensi .png), format BMP (ekstensi .bmp). Video denganberbagai format filevideo: AVI (ekstensi .avi), .mpg (atau .mpeg), .qt (Quicktime), .mp4, dan sebagainya. Sedangkan untuk animasi, file animasi multimedia interaktif berisi teks, grafik, gambar, video, animasi, dan tombol-tombol atau kode-kode navigasi. Multimedia interaktif berformat flashdihasilkan oleh perangkat lunak Macromedia Flash dan SwishMax. Keseluruhan

tahap

pengembangan

ini

meliputi:

1)Mengembangkan

objek

pembelajaran digital (materi ajar, kuis, tugas, latihan, dan soal ujian berupa teks, grafis, gambar, video, maupun multimedia) dan 2)Upload objek pembelajaran digital ke dalam system. Tahap pengembangan ini merupakan proses merealisasikan konsep atau desain KDITT, meliputi: Realisasi materi, Realisasi media, Realisasi desain, Realisasi teknis, Pemeliharaan, dan Pengemasan ulang. Pengembangan dan pelaksanaan pembelajaran daring akan mengacu pada: 1. Panduan Penjaminan Mutu Pengembangan Objek Pembelajaran Daring; 2. Panduan Penjaminan Mutu Proses Pembelajaran Daring; 23

3. Panduan Penjaminan Mutu Asesmen Dan Evaluasi Pembelajaran Daring; 4. Panduan Penjaminan Mutu Sistem Pembelajaran Daring; 5. Kelengkapan Unsur Mata Kuliah Daring.

2.4 Tahap Implementasi Pada tahap implementasi, objek pembelajaran digital yang merupakan bagian dari materi pembelajaran utuh akan disajikan dan didistribusikan secara elektronis melalui jaringan internet. Daftar objek pembelajaran yang akan digunakan berdasarkan pokok & subpokok bahasan, akan disajikan pada peta program mata kuliah daring ini, dilengkapi dengan jenis objek yang digunakan (teks, gambar/foto, video, animasi, simulasi, soal-soal test, dan lain-lain). Tahap implementasi kuliah daring meliputi lima subproses meliputit: 1)Pengujian Sumber Belajar: pengujian dan validasi paket materi kuliah daring; 2)Adaptasi Sumber Belajar: deskripsi dari manajemen konfigurasi, adaptasi dan pengaturan paket konten materi kuliah daring; 3)Aktivasi Sumber Belajar: proses ini mendeskripsikan pementasan dan penyebaran materi kuliah daring; 4)Organisasi Pendistribusian: penyediaan kebutuhan organisasional untuk pendistribusian materi kuliah daring; dan 5) Infrastruktur Teknis: penyediaan kebutuhan teknis untuk pendistribusian materi kuliah daring. 2.5 Tahap Pengoperasion Pengoperasian kuliah daring mencakup

proses

administrasi

dan

proses

pembelajaran, mulai dari perencanaan pembelajaran, pelaksanaan pembelajaran, penilaian hasil dan proses pembelajaran sampai dengan pengawasan pembelajaran. Subproses dari tahap pengoperasian meliputi: Administrasi: pengoperasian sistem e-pembelajaran untuk keperluan administrasi: pendaftaran mata kuliah, pendaftaran partisipan, penjadwalan dan administrasi lainnya; Perencanaan Pembelajaran: pengoperasian sistem e-pembelajaran untuk keperluan perencanaan pembelajaran; Pelaksanaan Pembelajaran: pengoperasian sistem e-pembelajaran untuk keperluan pelaksanaan pembelajaran; Penilaian Hasil dan Proses Pembelajaran: pengoperasian sistem e-pembelajaran untuk keperluan penilaian hasil dan proses pembelajaran; dan Pengawasan Proses Pembelajaran: pengoperasian sistem epembelajaran untuk keperluan pengawasan proses pembelajaran.

24

2.6 Tahap Evaluasi Tahap yang terakhir adalah proses evaluasi dan optimasi, yaitu proses mendeskripsikan

metode,

prinsip-prinsip,

dan

prosedur

evaluasi

dalam

proses

pengembangan SPADA serta upaya perbaikan berdasar hasil evaluasi. Tahapan ini meliputi: Perencanaan: penyusunan rencana evaluasi yang mencakup tujuan, pendekatan yang digunakan, waktu, evaluator yang dilibatkan, parameter dan kriteria serta pemilihan metode dan instrumen evaluasi; Realisasi: proses realisasi dari evaluasi; Analisis: proses analisis data hasil evaluasi untuk mendapatkan pemahaman penggunaan metode, alat, dan sumber belajar dengan memperhatikan biaya, hasil, dan manfaat; Optimasi/Perbaikan: mendeskripsikan proses adaptasi dan optimasi materi dan proses pembuatan dan distribusi materi untuk meningkatkan dan mempertahankan efisiensi dan efektifitas materi dan proses pembuatan dan distribusinya. Tahapan evaluasi dari pembelajaran mata kuliah daring (blended) ini berpedoman pada buku Panduan Penjaminan Mutu Konten, Panduan Penjaminan Mutu Proses Pembelajaran, Panduan Penjaminan Mutu Evaluasi, dan Panduan Penjaminan Mutu Sistem, yang akan diadaptasi sesuai dengan kebutuhan evaluasi pada mata kuliah daring ini. Evaluasi akan dilakukan terhadap hal-hal berikut: 1. Penilaian kualitas objek pembelajaran, meliputi aspek kualitas konten atau objek pembelajaran, umpan balik

dan adaptasi, motivasi, desain presentasi, usabilitas

interaksi, aksesabilitas, dan reutabilitas. Penilaian dilakukan dengan menggunakan instrument evaluasi objek pembelajaran SPADA. Selain terkait dengan aspek teknis, kualitas objek pembelajaran ditentukan terutama terkait dengan dukungannya terhadap capaian pembelajaran. 2. Penilaian terhadap standard mutu proses pembelajaran, meliputi aspek ukuran kualitas terhadap:

rancangan

pembelajaran,

kegiatan

pembelajaran,

strategi

pengantaran/penyampaian, media dan teknologi pembelajaran, dan layanan bantuan belajar. Kelima aspek kualitas proses pembelajaran tersebut di atas diukur dengan menggunakan beberapa instrument penilaian, meliputi: Instrumen Penilaian Rencana Pembelajaran, Instrumen Penilaian Kegiatan Pembelajaran Daring, Instrumen Strategi Pembelajaran Daring, Instrumen Media dan Teknologi Pembelajaran, dan Instrumen Layanan Bantuan Belajar 3. Pengukuran kualitas pelaksanaan asesmen dan evaluasi pembelajaran daring. Ruang lingkup asesmen dalam pembelajaran daring meliputi: asesmen mandiri dan asesmen 25

oleh dosen. Asesmen mandiri dievaluasi menggunakan instrumen berupa kuiz, latihan, dan asesmen formatif, sedangkan asesmen oleh dosen menggunakan instrumen berupa tugas, unjuk kerja, portofolio, ujian tengah semester, dan atau ujian akhir semester. Ruang lingkup evaluasi pembelajaran daring meliputi: pengembangan disain untuk mengevaluasi komponen, perencanaan program, pelaksanaan program, hasil program, pengelolaan program pembelajaran daring, dan kepuasan mahasiswa terhadap program pembelajaran daring. 4. Penilaian tehadapat mutu sistem, disesuaikan dengan kebutuhan evaluasi untuk mata kuliah daring (blended). Secara keseluruhan tahapan evaluasi akan dilakukan berdasarkan pedoman penjaminan mutu pembelajaran daring yang disesuaikan dengan evaluasi yang dibutuhkan untuk pembelajaran daring blended.

26

BAB III. PROSES PENYELENGGARAAN PERKULIAHAN Proses penyelenggaraan perkuliahan daring (blended) mencakup proses administrasi dan

proses

pembelajaran,

mulai

dari

perencanaan pembelajaran, pelaksanaan

pembelajaran, penilaian hasil dan proses pembelajaran sampai dengan pengawasan pembelajaran. Subproses dari tahap pengoperasian meliputi: Administrasi: pengoperasian sistem e-pembelajaran untuk keperluan administrasi: pendaftaran mata kuliah, pendaftaran partisipan,

penjadwalan

dan

administrasi

lainnya;

Perencanaan

Pembelajaran:

pengoperasian sistem e-pembelajaran untuk keperluan perencanaan pembelajaran; Pelaksanaan Pembelajaran: pengoperasian sistem e-pembelajaran untuk keperluan pelaksanaan pembelajaran; Penilaian Hasil dan Proses Pembelajaran: pengoperasian sistem pembelajaran untuk keperluan penilaian hasil dan proses pembelajaran; dan Pengawasan Proses Pembelajaran: pengoperasian system e-pembelajaran untuk keperluan pengawasan proses pembelajaran. Penyampaian materi pembelajaran pada mata kuliah daring (blended) mata kuliah Pengantar Proses Stokastik ini menggabungkan pemanfaatan e-learning dan pembelajaran tatap muka konvensional. Tabel berikut menyajikan topik, subtopik dan metode penyampaian materi yang akan digunakan pada mata kuliah ini, yang disesuaikan dengan tingkat kesulitan topik bahasan yang akan diberikan. Tabel 9. Pokok Bahasan dan Metode Pelaksanaan Pembelajaran Pert ke

Kompetensi yg diharapkan

I

Mahasiswa mampu menggunakan konsep peluang dan peubah acak dalam proses stokastik

Materi Topik Pendahuluan Review Konsep Peluang

Subtopik • Peubah acak diskrit • Peubah acak kontinu

Alokasi Waktu

Pelaksanaan Pembelajaran

3x50 menit

e-learning

3×50 menit

e-learning

3×50 menit

e-learning

3×50 menit

Tatap muka konvensional

. II

Mahasiswa mampu menentukan peluang bersyarat, menghitung nilai harapan peubah acak dan harapan bersyarat

III

Mahasiswa mampu membedakan macam-macam Proses Stokastik

Proses Stokastik

IV

Mahasiswa mampu menguraikan tentang Rantai Markov, merumuskan matriks peluang

Rantai Markov

27

• Peubah acak diskrit • Peubah acak kontinu • Peluang bersyarat dan nilai harapan bersyarat • Pengertian Konsep Proses Stokastik ▪ Spesifikasi Proses Stokastik • Pengertian rantai Markov

transisi dan distribusi awal Rantai Markov V

Mahasiswa mampu menguraikan jenis-jenis Rantai Markov

VI

Mahasiswa mampu menentukan Rantai Markov yang bersifat tertutup Irreducible

VII

Jenis-jenis Rantai Markov

• Matriks peluang transisi dan distribusi awal • Beberapa model rantai Markov • Waktu lewat pertama (first passage time) ▪ Klasifikasi keadaan rantai Markov ▪ Rantai Markov Tertutup Irreducible

3×50 menit

e-learning

3×50 menit


2×50 menit 3×50 menit

Test Tulis

▪ Keputusan berurut (sequential decisions) dan rantai-rantai Markov. • Distribusi poisson dan proses Poisson • Hukum kejadian jarang (The law of rare events)

3×50 menit


3×50 menit


• Distribusi yang berhubungan dengan proses poisson

3×50 menit


o Proses kelahiran murni (pure birth processes) o Proses kematian murni (pure death processes) • Proses kelahiran dan kematian (birth and death processes) • Sistem antrian. • Pengertian fenomena

3×50 menit


3×50 menit

Tatap muka Konvensional

UTS

VIII

Mahasiswa mampu menunjukkan teorema limit pusat Rantai Markov dan Rantai Markov yang tereduksi

Teorema Limit Pusat pada Rantai Markov

IX

Mahasiswa mampu menganalisis keputusan berurut dan rantai Markov

X

Mahasiswa mampu menunjukkan Proses Poisson distribusi Poisson dan proses Poisson, serta mengenali hukum kejadian jarang

XI

Mahasiswa mampu menunjukkan distribusi yang berhubungan dengan proses Poisson

XII

Mahasiswa mampu membedakan proses-proses kelahiran dan kematian / input- output (birthdeath processes

XIII

Mahasiswa mampu menunjukkan fenomena pembaruan dan

Proses kelahiran dan kematian / input- output (birth-death processes

Renewal phenomena 28

• Teorema limit dasar rantai Markov • Rantai-rantai Markov tereduksi (reducible Markov chains)

e-learning

mengetahui hubungan proses Poisson dan pembaruan

antara proses

XIV

Mahasiswa mampu menunjukkan generalisasi dan variasi pada proses pembaruan dan menunjukkan teori pembaruan diskret

XV

Mahasiswa mampu menyusun model stokastik yang sesuai dengan permasalahan

XVI

• Generalisasi dan variasi pada prosesproses pembaruan Model Stokastik

UAS

pembaharuan (renewal phenomena) • Proses poisson dipandang sebagai proses pembahruan • Generalisasi dan variasi pada proses-proses pembaharuan • Teori pembaharuan diskrit o Analisis permasalahan proses Poisson, fenomena pembaharuan, kelahiran dan kematian, dan system antrian. • Menciptakan model stokastik

3×50 menit


3×50 menit

Tatap muka Konvensional

2×50 menit

Test Tulis

Mahasiswa yang mengikuti mata kuliah daring (blended) Pengantar Proses Stokastik ini adalah mahasiswa Program Studi Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Semester V Tahun Ajaran 2017/2018 yang berjumlah 56 orang. Pada awal pertemuan perkuliahan, telah dijelaskan mengenai pelaksanaan pembelajaran mata kuliah Pengantar Proses Stokastik mengikuti sistem pembelajaran daring blended. Mahasswa dari awal sudah dipandu untuk mendaftarkan diri pada LMS Universitas Udayana (Mooc Unud) untuk proses registrasi.

29

DAFTAR PUSTAKA Anis, Uwes C, 2017, PEDATI:Model Desain Sistem Pembelajaran Blended, Panduan Merancang Mata Kuliah Daring SPADA Indonesia, Kemenristekdikti. Hon, Keone. ____ An Introduction to Statistics, E-Book, Diakses 5 Januari 2014. Kemendikbud, 2014, Panduan Pengembangan dan Penyelenggaraan Kuliah Daring Indonesia Terbuka dan Terpadu, Jakarta. Kemenristek Dikti, 2016, Panduan Penjaminan Mutu Pengembangan Objek Pembelajaran PDITT 2016. Jakarta. Taylor,H.M., and Karlin, S., 1994, An Introduction to Stochastic Modelling, edisi revisi, San Diego : Academic Press. Papoulis, A. and S. Unnikrishna P, 2002, Probability, Random Variabeles, and Stochastic Processes, 4th Edition, New York: McGraw-Hill. Taylor,H.M., and Karlin, S., 1975, A First Course in Stochastic Process. New York : Academic Press.

30

LAMPIRAN 1. Soal Latihan, Quis, dan Ujian Pengantar Proses Stokastik 0 ; x  0  1. Diketahui fungsi distribusi sebagai berikut : F(x) =  x 3 ;0  x  1 1 ; x  1  Tentukan : a. Grafik (plot) dari F(x)! b. Fungsi densitas (fungsi probabilitas) f(x)! c. Nilai P( ¼  X  ¾ )

Rx R 1

;0  x 1

0

; x lainnya

2. Suatu varibel random X mempunyai fungsi densitas f(x) =  dimana R>0 merupakan fixed parameter. Tentukan: a. Fungsi distribusi F(x) b. Mean variabel random X (E[X]) c. Variansi dari variabel random X (Var[X])

3. Sebuah uang setimbang dilemparkan sampai muncul sisi sama dua kali berturutan untuk pertama kalinya. Bila N menyatakan jumlah lemparan yang diperlukan, tentukan : a. Tentukan fungsi probabilitas untuk N b. Bila A menyatakan kejadian bahwa N genap dan B menyatakan kejadian bahwa N  6, maka tentukan P(A), P(B) dan P(AB) 4. Variabel random X dan Y saling independent dengan fungsi kepekatan probabilitas sebagai berikut : Px(0) = ½ ; Px(3) = ½ ; Py(1) =

1 1 ; Py(2) = 6 3

; Py(3) = ½

Tentukan fungsi kepekatan probabilitas Pz(z), untuk Z = X + Y 5. Distribusi probabilitas bersama antara X dan Y diberikan oleh tabel berikut. x

0

1

P(Y=y)

4 25 6 25 10 25

6 25 9 25 15 25

10 25 15 25

y 0 1 P(X=x) Tentukan : P(Y=y|X=0)

(ii) P(Y=y|X=1)

31

1

A

Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana QUIS I PENGANTAR PROSES STOKASTIK Waktu : 30 menit

Nama : ……………………………………………………

NIM : …………………….

1. Andaikan kondisi cuaca hujan besok tergantung pada kondisi hari ini dan tidak tergantung pada kondisi cuaca sebelumnya. Andaikan juga bahwa jika hari ini hujan, maka probabilitas besok akan hujan adalah , dan jika sekarang tidak hujan maka probabilitas besok akan hujan adalah . Tentukan matriks peluang transisinya untuk =0,6 dan nilai =0,3 Tentukan probabilitas 3 hari lagi akan hujan jika diketahui sekarang hujan! 2. Rantai Markov X0, X1,X2, … dengan matriks transisi sebagai berikut : 0 1 2 0 0,7 0,2 0,1 𝑃= 1 ‖ 0 0,6 0,4‖ 2 0,5 0 0,5 Tentukan probabilitas bersyarat P(X3=1|X1=0)

Penyelesaian :

B

Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana QUIS I PENGANTAR PROSES STOKASTIK Waktu : 30 menit

Nama : ……………………………………………………

NIM : …………………….

1. Andaikan kondisi cuaca hujan besok tergantung pada kondisi hari ini dan tidak tergantung pada kondisi cuaca sebelumnya. Andaikan juga bahwa jika hari ini hujan, maka probabilitas besok akan hujan adalah , dan jika sekarang tidak hujan maka probabilitas besok akan hujan adalah . Tentukan matriks peluang transisinya untuk =0,7 dan nilai =0,2 Tentukan probabilitas 3 hari lagi akan hujan jika diketahui sekarang hujan! 2. Rantai Markov X0, X1,X2, … dengan matriks transisi sebagai berikut : 0 1 2 0 0,7 0,2 0,1 𝑃= 1 ‖ 0 0,6 0,4‖ 2 0,5 0 0,5 Tentukan probabilitas bersyarat P(X2=1|X0=0)

Penyelesaian :

32

Soal Ujian KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI

UNIVERSITAS UDAYANA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

JURUSAN MATEMATIKA Kampus Bukit Jimbaran – Gedung UKM Lantai 2 – Telp. (0361)701783

A

Ujian Tengah Semester Pengantar Proses Stokastik Waktu : 100 menit

1. Definisikan suatu variabel random yang merupakan

Proses Stokastik dan spesifikasinya pada proses pemilihan Ketua-Wakil Ketua Himatika tahun 2016! (15) 2. Untuk 0 < 𝑘 < 1, suatu proses Markov dengan state {0, 1, 2, 3} memiliki matriks peluang transisi sebagai berikut : 0 1 2 3 1 1 0 0 0 2 2 ‖ ‖ 2 1 1 𝑃= 0 0 3 3 2 0 𝑘 0 1−𝑘 ‖ ‖ 3 1 3 0 4 0 4 Tunjukkan apakah proses Markov bersifat irreducible ? Jika irreducible, tentukan distribusi jangka panjang proses Markov tersebut! (30) 3. Tentukan sifat-sifat state dari proses Markov dengan S={0,1,2,3} dan matriks peluang transisinya sebagai berikut : 0 1 2 3 0 0,3 0 0,7 0 0 1 0 0 𝑃=1 ‖ 0 0 0‖ 2 1 3 0,3 0,3 0 0,4 Bila ada, hitung semua peluang absorbsi dari Proses Markov di atas! (30) 4. Suatu proses Markov X0, X1, X2, … dengan matriks peluang transisi sebagai berikut: 0 1 2 0 0,3 0,7 0 𝑃= 1 ‖0,7 0 0,3‖ 2 0 0,3 0,7 Tentukan peluang : a. P(X2 = 1, X1 = 1| X0 = 0) (5) b. P(X3= 1, X2 = 1| X0 = 0) (5) c. Jika diketahui proses berawal dari X0 = 0, tentukan P(X3= 0) (15) Selamat Bekerja

33

KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI



Ujian Tengah Semester Pengantar Proses Stokastik

B

Waktu : 100 menit

1. Definisikan suatu variabel random yang merupakan Proses Stokastik dan spesifikasinya pada proses pendaftaran peserta KMS tahun 2016! (15)

2. Suatu proses Markov X0, X1, X2, … dengan matriks peluang transisi sebagai berikut: 0 1 2 0 0,5 0,5 0 𝑃= 1 ‖0,5 0 0,5‖ 2 0 0,5 0,5

Tentukan peluang untuk : a. P(X2 = 1, X1 = 1| X0 = 0) b. P(X3= 1, X2 = 1| X0 = 0) c. Jika diketahui proses berawal dari X0 = 0, tentukan P(X2 = 0) (10)

(5) (5)

3. Suatu proses Markov Xn, n  0, dengan state space S = {1,2,3,4,5} dengan elemen matriks transisi didefinisikan sebagai berikut : 𝑖

𝑝𝑖,𝑖+1 = 𝑖+2 2

𝑝𝑖,1 = 𝑖+2

; 𝑖 = 1,2,3,4

𝑝5,1 = 1 ; 𝑝𝑖,𝑗 = 0 untuk lainnya

a. Tentukan matriks peluang transisi proses Markov tersebut (5) b. Tunjukkan bahwa Proses Markov bersifat Irreducible, dan tentukan distribusi jangka panjangnya (invariant probability vector) (30) 4. Tentukan sifat-sifat state dari proses Markov dengan S={0,1,2,3} dan matriks peluang transisinya sebagai berikut : 0 1 2 3 0 0,2 0 0,8 0 0 1 0 0 𝑃=1 ‖ 0 0 0‖ 2 1 3 0,4 0,2 0 0,4 Bila ada, hitung semua peluang absorbsi dari Proses Markov di atas! (30) Selamat Bekerja

34




Ujian Akhir Semester Pengantar Proses Stokastik

A

Waktu : 100 menit

1. Soal Mandiri Buat soal dan penyelesaiannya mengenai Proses Poisson Homogen!

(20)

2. Bila X dan Y variabel random saling independent berdistribusi poisson dengan parameter berturut-turut  dan , buktikan bahwa: a. Distribusi bersyarat X bila diberikan N=X+Y=n adalah: 𝑛 𝛼 𝑃(𝑋 = 𝑘|𝑁 = 𝑛) = ( ) 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 ; 𝑝 = 𝛼+𝛽 (10) 𝑘 b. Bila X(t), Y(t), dan Z(t), t  0 adalah tiga proses poisson independent dengan intensitas berturut-turut , , dan , untuk 𝑁(𝑡) = 𝑋(𝑡) + 𝑌(𝑡) + 𝑍(𝑡), tunjukkan bahwa N(t) merupakan proses poisson dengan intensitas 𝛼 + 𝛽 + . (20) 3. Pertamina “XYZ” mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu operator. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi Poisson yaitu 20 kendaraan per jam. Operator dapat melayani rata-rata 30 kendaraan per jam dengan waktu pelayanan setiap mobil berdistribusi eksponensial. Diasumsikan model sistem antrian yang digunakan adalah M/M/1, hitunglah : a. Jumlah rata-rata kendaraan dalam sistem (L) (5) b. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem (W) (5) Apabila rata-rata kedatangan kendaraan meningkat menjadi 50 kendaraan perjam, maka Pertamina “XYZ” mengoperasikan dua pompa dengan dua operator, dengan pelayanan rata-rata masing-masing operator 30 kendaraan per jam, maka hitung : c. Jumlah rata-rata kendaraan dalam sistem (L) (7,5) d. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem (W) (7,5) 4. Suatu proses Markov dengan 7 state S ={0,1,2,3,4,5,6} memiliki matriks peluang transisi yang didefinisikan sebagai berikut: 1 𝑝0,𝑖 = 6 , 𝑖 = 1,2,3,4,5,6 ; 𝑝𝑖,0 = 𝑟, 𝑖 = 1,2,3,4,5,6 ; 𝑝𝑖,𝑖+1 = 𝑝, 𝑖 = 1,2,3,4,5 ; 𝑝𝑖,𝑖−1 = 𝑝, 𝑖 = 2,3,4,5,6 ; 𝑝1,6 = 𝑝6,1 = 𝑝; 𝑝𝑖,𝑗 = 0, untuk lainnya, dengan 𝑝 ≥ 0, 𝑟 > 0, dan 2𝑝 + 𝑟 = 1. Jika Proses Markov Irreducible, tentukan distribusi jangka panjangnya! (25) Selamat Bekerja Hargai Diri Anda dengan Percaya pada Kemampuan Sendiri

35




Ujian Akhir Semester Pengantar Proses Stokastik

B

Waktu : 100 menit 1. Soal Mandiri Buatlah soal dan penyelesaiannya mengenai Proses Poisson Non Homogen!

(20)

2. Bila X dan Y variabel random saling independent berdistribusi poisson dengan parameter berturut-turut  dan , buktikan bahwa: a. Distribusi bersyarat X bila diberikan N=X+Y=n adalah: 𝑛 𝛼 𝑃(𝑋 = 𝑘|𝑁 = 𝑛) = ( ) 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 ; 𝑝 = 𝛼+𝛽 (10) 𝑘 b. Bila X(t), Y(t), dan Z(t), t  0 adalah tiga proses poisson independent dengan intensitas berturut-turut , , dan , untuk 𝑁(𝑡) = 𝑋(𝑡) + 𝑌(𝑡) + 𝑍(𝑡), tunjukkan bahwa N(t) merupakan proses poisson dengan intensitas 𝛼 + 𝛽 + . (20) 3.

Diketahui banyaknya pasien yang datang di rumah sakit “Sehat” mengikuti proses Poisson dengan rata-rata 25 pasien perhari. Sedangkan banyaknya pasien yang sembuh dan meninggalkan rumah sakit rata-rata 15 orang perhari dan mengkuti proses poisson. Tentukan : a. Probabilitas banyaknya pasien yang datang selama 4 hari hanya 40 orang b. Probabilitas bahwa banyaknya pasien yang meninggalkan rumah sakit selama 2 hari tidak kurang dari 20 pasien. c. Jika N(t) banyaknya pasien yang belum sembuh selama waktu t hari, maka berapakah probabilitas bahwa setelah lima hari tidak ada pasien yang tinggal atau (P(N(5)=0)? d. Tentukan E(N(t)) dan Var [N(t)] (20)

4. Suatu Proses Markov dengan state 𝐸1 , 𝐸2 , … , 𝐸𝑚 (𝑚 ≥ 3), dengan elemen matriks peluang transisi I didefinisikan sebagai berikut: 𝑝𝑖,𝑖 = 1 − 2𝑝, i = 1, 2, … , m. a. Tentukan matriks peluang transisinya! 𝑝𝑖,𝑖−1 = 𝑝𝑖,𝑖+1 = 𝑝, i = 2, 3, …, m-1 b. Tunjukkan bahwa Proses Markov irreducible! 𝑝1,2 = 𝑝𝑚,𝑚−1 = 2𝑝, 𝑝𝑖,𝑗 = 0 , lainnya c. Tentukan distribusi jangka panjangnya! 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 0 < 𝑝 <

1 2

Selamat Bekerja Hargai Diri Anda dengan Perc

36

(10) (5) (15)

Lampiran 2. Identitas Diri Pengusul Ketua Pengusul 1 2 3 4 5 6 7

Nama Lengkap (dengan gelar) Jabatan Fungsional Jabatan Struktural NIP NIDN Tempat dan Tanggal Lahir Alamat Rumah

8 9

Nomor Telepon/Faks/Hp Alamat Kantor

10 11 12 13

Nomor Telepon/Faks Alamat e-mail Lulusan yang Telah Dihasilkan Mata Kuliah yang Diampu

I Gusti Ayu Made Srinadi, S.Si, M.Si. P Lektor Kepala 197112131997022001 0013127101 Pejaten, 13 Desember 1971 Jalan Tukad Petanu, Gg. Punglor No 17, Br. Bekul, Panjer, Denpasar Selatan. Bali. 80225 08179726968 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana, Gedung UKM, Kampus Bukit Jimbaran (0361) 701756 [email protected] S1 = 50 orang 1. Pengantar Proses Stokastik 2. Pemrograman Linier 3. Statistika Dasar 4. Aljabar Linier Elementer 5. Statistika Matematika I 6. Statistika Matematika II 7. Biostatistika

Anggota 1

1 2 3 4 5 6 7

Nama Lengkap (dengan gelar) Jabatan Fungsional Jabatan Struktural NIP NIDN Tempat dan Tanggal Lahir Alamat Rumah

8 9

Nomor Telepon/Faks/Hp Alamat Kantor

10 11 12 13

Nomor Telepon/Faks Alamat e-mail Lulusan yang Telah Dihasilkan Mata Kuliah yang Diampu

I Wayan Sumarjaya, S.Si., M.Stats. L Lektor Kepala Laboratorium Komputasi 197704212005011001 0021047705 Jegu Tengah, Tabanan, 21 April 1977 Perum Swandewi Kaveling 31/B, Blok B, Banjar Santhi Karya, Desa Ungasan, Kecamatan Kuta Selatan, Kabupaten Badung 80361 08123679677 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana, Gedung UKM, Kampus Bukit Jimbaran 0361 701756 [email protected] S-1 = 45 orang; S-2 = - orang; S-3 = - orang 1. Analisis Deret Waktu 2. Analisis Statistika Data Finansial 3. Ekonometrika 4. Analisis Regresi Lanjut 5. Ilmu-ilmu Dasar Matematika 6. Statistika Komputasi

37

Anggota 2 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Nama Lengkap Jabatan Fungsional Jabatan Struktural NIP NIDN Tempat dan Tanggal Lahir Alamat rumah

8. Nomer HP 9. Alamat Kantor

10. 11. 12. 13.

Nomer Telepon/Faxs Alamat e-mail Lulusan yang Telah Dihasilkan Mata Kuliah yang Diampu

Ir. I Komang Gde Sukarsa, M.Si Lektor 19650105 199103 1 004 0005016501 Klungkung, 05 Januari 1965 Jl. Patimura 1 Semarapura Klungkung, Bali 085237326341 Fakultas Matematika dan IPA Jurusan Matematika Kampus UNUD – Bukit Jimbaran (0361) 701801 [email protected] 67 (orang) Analisis Peubah Ganda Analisis Peubah Ganda Lanjut Analisis Eksplorasi Data Teknik Pengambilan Sampel

38

L

41

42

43

44

45

46

47

48

49

PENGANTAR PROSES STOKASTIK

Recommend Documents