CURSO DE E ST A DÍ STI CA I NFE RE NCIA L E JE RCI CI O S Y PRO BLE MA S RE SUE LT O S DE DI ST RI BUCIÓ N NORMA L Pr o f .: MSc . Ju li o R. Var gas A . La Di s t r ib u ci ó n No rmal : La distribución normal N (μ, σ): es un modelo matemático que rige muchos fenómenos. La experiencia demuestra que las distribuciones de la mayoría de las muestras tomadas en el campo de la industria se aproximan a la distribución normal si el tamaño de la muestra es grande. Esta distribución queda definida por dos parámetros: la media μ y la desviación típica σ. Se presenta mediante una curva simétrica conocida como campana de Gauss. Esta distribución nos da la probabilidad de que al elegir un valor, éste tenga una medida contenida en unos intervalos definidos. Esto permitirá predecir de forma aproximada, el comportamiento futuro de un proceso, conociendo los datos del presente.
𝒙
𝑭 𝒙 =
−∞ 𝝈
𝟏
𝟐𝝅
𝒆
𝒙−𝝁 𝟐 𝟐𝝈𝟐 𝒅𝒙
La d ist rib u ció n n o rmal f u e re co n o cid a p o r p rime ra ve z p o r e l f ran cé s Ab rah am d e M o ivre (1 6 67 - 17 5 4 ).
P o st e rio rmen t e , Carl Frie drich Gau ss (1 7 7 7 - 1 85 5 ) re aliz ó e st ud io s más a f ond o do nd e fo rmu la la e cu ació n d e la curva co n o cid a co mú n me nt e , co mo la “ Camp an a d e G au ss ".
Un a d i st ri b u ci ó n nor mal d e med i a μ y desvi ac i ó n t í pi c a σ se d e sign a p o r N (μ, σ). Su gráf ica es la c amp an a d e G au ss :
E l ár ea d e l re cin to d et e rmin ad o p or la f un ció n y e l e je d e ab scisas es i gu al a l a u n id ad . A l se r si mét ri c a re sp e ct o al e je q u e p asa p o r x = µ , d e ja un ár ea i gu al a 0 . 5 a l a i zq ui er d a y o t r a i gu al a 0 .5 a l a d er ec h a . La p r ob ab i li d ad eq u i val e al ár ea en cer r ad a b aj o l a cu r va.
Di st ri b uc i ón n or mal est án d ar N(0 , 1 ) La d is t ri b uc i ón n ormal est án d ar , o ti p if i c ad a o r edu c id a, es aq ue lla q ue t ie n e po r med i a e l valo r c er o (μ =0 ), y po r d esvi ac i ón t í pi c a u n o ( σ = 1 ).
z
La p r o b ab il id ad d e l a var i ab l e X d ep en d er á d el ár ea d el ár ea s o mb r ead o en l a f i gu r a . Y p ara calcu larla u t iliz are mo s un a t ab l a a d j un t a)
T i pi f i ca ci ó n d e l a va ri a b l e P a r a p o de r u t iliz ar la t ab la t en e mo s qu e t ran sf o rmar la variab le X q u e sigu e
una
d istribu ció n
N (μ, σ)
en
o t ra
variab le
Z
qu e
siga
un a
d ist r ib u ció n N(0 , 1 ) .
Cál c u l o d e pr o b abi lid ad es en di st ri bu c io n es n or mal es La t ab l a no s d a las p r o b abi li d ad es d e P(z ≤ k) , sie nd o z la variab le t ip if ica d a. E st as pro b ab ilid ad es n o s d an la f u n ci ó n d e di st ri bu c i ón Φ(k). Φ(k) = P(z ≤ k)
Bú sq u ed a en l a t a bla d e val o r d e k Un i d ad es y d éc i mas en la co lu mn a d e la izq u ie rd a y f ila d e sup e rio r . P(Z ≤ a ) = 1- P(Z > a )
Cent ési mas e n la
P(Z > a ) = 1 - P(Z ≤ a )
P(Z ≤ − a ) = 1 − P(Z ≤ a )
P(Z > − a ) = 1- P(Z ≤ -a )
P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b ) − P(Z ≤ a )
P(− b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b ) N o s en co n tramo s co n e l caso in ve rso a lo s an t erio re s, co n o ce mo s e l va lo r de la p ro b ab ilid ad y se t rat a d e hallar e l valo r d e la ab scisa. Ah o r a t e n em o s q u e bu scar e n la t ab la e l val or q u e más se ap r o xi me a K .
P(− a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b ) − * 1 − P(Z ≤ a )+
p = K P a r a calcu lar la variab le X n o s vamo s a la f ór mu l a d e l a ti p if i c ac i ón .
Ejercicios y problemas resueltos de la distribución normal 1 . S i X e s u n a variab le ale at o ria d e u n a d ist ribu ció n N (µ, σ), hallar: p (µ− 3 σ ≤ X ≤ µ+ 3 σ). So l u c ió n : sab emo s q u e
=
P (x 1 ≤ X ≤ x 2 ) se d ef in e co mo:
−
; c o mo x 1 = µ−3 σ
y x 2 = µ+3 σ en to n ce s la
= P(z≤3) -1 + P(z≤3)= = 0.9986 -1 + 0.9986 = 0.9972 (usando la tabla N(0,1) ) E s d e cir, qu e ap ro ximad amen t e e l 9 9 .7 2 % d e lo s valo re s d e X e st án a m á s/ m e no s de tre s d e sviacio n e s t íp icas d e la med ia.
N(0,1)
2 . E n un a d ist rib u ción n o rmal d e me d ia 4 y d e sviació n t íp ica 2 , calcu lar el va lo r d e a p ara q ue : P (4 − a ≤ x ≤ 4+ a) = 0 .5 9 3 4 So l u c ió n : sab emo s q u e X ≤ x 2 ) se d ef in e como :
=
−
; co mo x 1 = 4 - a
y x 2 = 4 + a e nt on ces la P (x 1 ≤
(
=
)=
= (
)=
= 0 .7 9 67
(b u scamo s e l valo r : 1- 0 .7 96 7 = 0 .2 0 33 , en
la t ab la N (0 ,1 ) =
a= 1 . 60 6
3 . E n un a ciud ad se e st ima qu e la t e mp e rat u ra máxima e n e l me s d e ju n io sigu e un a d ist ribu ció n no rmal, con me d ia 23 ° y de sviació n t íp ica 5 ° . Ca lcu lar e l n úme ro d e d ías d e l me s e n lo s qu e se e spe ra alcanz a r m á ximas e nt re 2 1 ° y 2 7 °. So l u c ió n : sab emo s q u e
−
=
; co mo x 1 = 2 1
y x 2 = 2 7 e nt o n ce s la P (x 1 ≤ X
≤ x 2 ); μ= 23 ° y σ= 5 ° se d ef ine co mo: =
(
=
(
=
−
)= )=
=
= p (Z ≤ 0 .8 ) -[ 1 -p (Z ≤ 0.4 )] =
= p (Z ≤ 0 .8 )+ p (Z ≤0 .4 ) -1 = 0 .7 88 1 +0 .6 5 54 -1 = 0 . 44 3 5 = 0 . 4 43 5 *3 0 = 13 . 3 (es d ec ir 13 dí as). 4 . La m e d ia de lo s p e so s d e 5 00 e st ud iante s d e un In st itu t o es 7 0 kg y la d e svia ció n t íp ica 3 kg. Su p on ien d o q u e lo s p e so s se d istribu yen n o r m almen te , h allar cu ánt o s e st ud iant es p e san: a) E n t re 60 kg y 65 kg. b ) M ás de 90 kg. c ) M e n o s d e 6 4 kg. d ) 6 4 kg. e) 6 4 kg o me no s.
=
So l u c ió n : sab emo s q u e a ) c o mo x 1 = 6 0 kg
−
(
; μ=7 0 kg. y σ= 3 kg. n= 5 0 0 .
y x 2 = 6 5 en t on ce s la P(x 1 ≤ X ≤ x 2 ); s e de f ine co mo −
p (6 0 ≤ X≤ 75 )= ( =
−
−
)=
)=
= p ( - 3 .3 3 ≤ Z≤ 1 . 67 )= p(Z ≤ 1 . 6 7 ) – p (Z ≤ -3 . 33 )= = p (Z ≤ 1 .6 7 ) – p (Z ≤- 3. 3 3 )= p (Z ≤ 1. 6 7 ) – [1 - p (Z ≤ 3. 3 3 )] = 0 . 9 52 5 – (1- 0 . 99 9 6)= 0 . 9 52 5 -0 . 0 00 4 =0 .9 2 1 * 50 0 =4 7 6 b)
M ás d e 9 0 kg.
= 1 – p (Z ≤6 .6 7 )= 1 - 1= 0 * 5 00 = 0 c) M e n o s d e 6 4 kg.
= 1 - 0 .97 7 2 =0 .0 2 28 * 50 0 = 1 1 d ) 6 4 kg.
e ) 6 4 kg o me no s. P (X ≤ 6 4 )= p (Z ≤
= 0 .0 22 8 * 5 00 = 11
5 . S e sup on e q ue lo s re sult ad o s d e un e xame n sigu en u n a d ist ribu ció n n o r m al con me d ia 78 y varianz a 3 6 . Se p id e : a ) ¿Cu ál e s la p ro b ab ilid ad de q ue un a pe rso n a qu e se pre se n t a e l e xame n ob te n ga u na calif icació n su pe rio r a 7 2 ? b ) Si se sab e q u e la calif icació n d e un e st u d iant e e s mayo r q u e 7 2 ¿cu ál e s la p rob abilid ad d e q ue su cal if icació n sea, de h e ch o , su p e rior a 8 4 ? So l u c ió n : sab emo s q u e a)
p (X>7 2 ) = (
−
= −
; μ=7 8 ; σ 2 = 36 y σ= 6 . ) =P(Z > - 1)= 1 - 0 .1 5 87 = 0 .8 4 13
b ) Si se sab e q u e la calif icació n d e un e st u d iant e e s mayo r q u e 7 2 ¿cu ál e s la p rob abilid ad d e q ue su calif icació n sea, de h e ch o , su p e rior a 8 4 ? − P (X> 8 4 )= P (Z > )= P ( Z > 1 )= 0 .1 5 8 7 A p licamo s la f órmu la d e la p ro bab ilid ad co n d icion al.
=
=
6 . T r a s u n t e st d e cu lt ura ge ne ral se o b se rva qu e las pu n tu acio ne s o b t en idas sigue n un a d ist rib u ción u n a d ist ribu ció n N ( 65 , 1 8 ). Se d e sea cla sif icar a lo s e xamin ad o s en t re s gru p o s (d e b aja cu ltura gen e ral, d e cu lt u r a ge n eral acep t ab le , de e xce le nte cu ltu ra gen e ral) d e mod o q u e h a y en e l p rime ro un 2 0 % la p o b lació n , un 6 5 % e l se gun d o y u n 1 5 % en e l te r ce ro . ¿Cu ále s h an d e s e r las pu ntu acio n e s qu e marcan e l p aso de u n gru po al o t ro ?
Baja cu lt ura h ast a 49 pu nt o s. Cu lt u ra ace pt ab le en t re 5 0 y 8 3 . E xce le n t e cu ltu ra a p art ir d e 8 4 pu nt o s. 7 . V a r io s t e st d e in telige n cia d ie ron u n a pu nt u ación q u e sigu e u n a le y n o r m al con m e d ia 10 0 y d e sviació n t íp ica 1 5 . a) D e t ermin ar e l p o rce n t aje d e p ob lació n qu e o bt e nd ría u n co e f icie nt e e nt re 9 5 y 1 1 0 .
b)
¿Qu é in t ervalo cen t rad o e n 10 0 co nt ie n e al 50 % de la p o b lación ?
c)
E n un a p o b lació n de 2 5 00 in d ividu o s ¿cu án t o s ind ivid uo s se e sp e ran qu e t en gan u n coe f icie nt e su perio r a 1 2 5 ?
8 . E n u na ciu d ad u na d e cad a t re s f amilias p o se e te lé fo n o . Si se e lige n al a z a r 90 f amilias, calcu lar la p ro b ab ilid ad d e qu e en t re e llas h aya po r lo m e n o s 3 0 t en gan t e lé f o no .
9 . E n un e xame n t ipo t e st d e 2 00 p re gun t as d e e le cció n mú lt ip le , cada p r e gun t a t ien e u n a re sp ue st a co rre ct a y u n a in co rre ct a. Se ap ru e b a si se co n t e st a a más d e 1 10 re spu e st as co rre ct as. Su p on ie n d o q ue se co n t e st a al az ar, calcu lar la p rob ab ilid ad de apro b ar e l e xame n .
1 0 . Un e stu d io h a mo st rado qu e , en u n cie rt o b arrio , el 6 0 % d e lo s h o ga r e s t ie ne n al me n o s do s te le viso res Se e lige al az ar una mu e stra de 5 0 ho gare s e n e l citad o b arrio . Se p id e: a) ¿Cu ál e s la p rob ab ilid ad d e q u e al me no s 2 0 d e lo s cit ado s h o ga r e s t en gan cu an d o me no s do s te leviso re s?
b ) ¿Cu ál e s la pro bab ilid ad d e qu e en tre 35 y 40 h o gare s te n gan cu a n d o men o s d o s te le viso re s?
