ทฤษฎีบททวินาม (Binomial Theorem) เนื้อหา 1. แฟคทอเรียล 2. สัม

ทฤษฎีบททวินาม (Binomial Theorem). เนื้อหา. 1. แฟคทอเรียล. 2. สัมประสิทธิ์ทวินาม. 3. สามเหลี่ยมปาสคาล. 4. ทฤษฎีบททวินาม. การกระจาย (a ±b)n เมื่อ a , b ...

364 downloads 497 Views 178KB Size
บทที่ 4 ทฤษฎีบททวินาม (Binomial Theorem) 

ทฤษฎีบททวินาม (Binomial Theorem)

หรือ จาก ถาให n= 1 จะไดวา ;

เนื้อหา 1. 2. 3. 4.

ทฤษฎีบททวินาม(Binomial Theorem

แฟคทอเรียล สัมประสิทธิ์ทวินาม สามเหลี่ยมปาสคาล ทฤษฎีบททวินาม

นั่นคือ

n! 1! 1 0!

ตัวอยางที่ 4.2 จงหาคาของ

การกระจาย (a ± b) n เมื่อ a , b เปนจํานวนจริงใด ๆ และ n เปนจํานวนเต็มที่มีคานอย ๆ ใชวิธีคูณ กันได แตถา n เปนจํานวนเต็มบวกที่มีคามาก ๆ จะใชวธิ ีคูณทําไดยาก และเสียเวลาในการคํานวณมาก การ นําทฤษฎีบททวินามมาใชจะชวยใหกระจายเลขยกกําลังไดงายและรวดเร็วขึ้น ดังนั้นกอนที่จะกลาวถึง ทฤษฎีบททวินาม ควรทราบถึง แฟคทอเรียลและสัมประสิทธทวินาม ซึ่งเปนพื้นฐานในการศึกษาเรื่องทฤษฎี บททวินาม

วิธีทํา 1)

2)

7! 5!

ตอบ วิธีทํา 1) 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 ตอบ 2) 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5,040 3) 10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3,628,800 ตอบ หมายเหตุ ในทํานองเดียวกันเราสามารถเขียน n! ใหอยูในรูปของแฟคทอเรียลของจํานวนใด ๆ ที่ มีคานอยกวา n ไดดังนี้ n! = n(n-1)! หรือ = n(n-1)(n-2)! หรือ = n(n-1)(n-2)(n-3)!

3!+5! 3!−5!

7 × 6 × 5! 5!

42

6! ( 5× 4 × 3× 2 ×1)( 7 × 6! ) 1 = 840

6! 5!7!

ตอบ

=

นิยาม แฟคทอเรียลของ n เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก คือ n! = n(n-1)(n-2)(n-3)……..3.2.1

วิธีทํา 1)

7! 5! 6! 2) 5!7!

=

ตัวอยางที่ 4.3 จงหาคาของ

3) 10!

n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)! n(n-1)! 1(1-1)! 1(0!) 1

1)

=

4.1 แฟคทอเรียล (Factorial) แฟคทอเรียลของ n เขียนแทนดวย n! อานวา แฟคทอเรียลเอ็น หรือ เอ็นแฟคทอเรียล ซึ่งมีนิยาม ดังนี้

ตัวอยางที่ 4.1 จงหาคาของ 1) 4! 2) 7!

= = = = =

ตอบ

3!+5! 3!−5! ( n − 2 )! 2) ( n + 1)!

1)

3!+ ( 5× 4 × 3! ) 3!−( 5× 4 × 3! ) 3!{1 + ( 5× 4 )} = 3!{1 − ( 5× 4 )} 1 + 20 = 1 − 20 21 = − 19 21 =− 19

=

ตอบ

ทฤษฎีบททวินาม(Binomial Theorem

2)

( n − 2 )! ( n + 1)!

( n − 2 )! ( n + 1)( n )( n − 1)( n − 2 )! 1 = ( n + 1)( n )( n − 1) 1 = n ( n 2 − 1)

( n + 1)! ( n − 2 )!

= = = =

ตัวอยางที่ 4.5 กําหนดให วิธีทํา

3) n 2 - 5n + 6

=

ตัวอยางที่ 4.4 จงหาคาของ วิธีทํา

ตอบ 4) (2n+2)(2n+1)(2n)

( n + 1)! เมื่อ n = 5 ( n − 2 )! ( 5 + 1)! ( 5 − 2 )! 6! 3! 6 × 5× 4 × 3! 3!

120

( n + 2 )! = n! ( n + 2 )! = n! ( n + 2 )( n + 1) n! = n!

2) 27

( n − 2 )( n − 3)( n − 4 )! ( n − 4 )! ( n − 2 )! = ( n − 4 )! ( 2 n + 2 )( 2 n + 1)( 2 n )( 2 n − 1)! ( 2 n − 1)! ( 2 n + 2 )! = ( 2 n − 1)!

ตอบ

=

ตอบ

แบบฝกหัดที่ 4.1 ตอบ

30 จงหาคาของ n 30

1. จงหาคาตอไปนี้ 1.1 8! = …………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..……………… 1.2

30

12 ×11×10 × 9! 9! 12! = 9! 27× 26! = 26! 27! = 26!

= ( n-2)(n-3)

=

(n+2)(n+1) = 30 (n+2)(n+1) = (6)(5) จะไดวา; n = 4 ตอบ ตัวอยางที่ 4.6 จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปของแฟคทอเรียล 2) 27 3) n 2 - 5n + 6 4) (2n+2)(2n+1)(2n) 1) 12 × 11 × 10 วิธีทํา 1) 12 × 11 × 10

ทฤษฎีบททวินาม(Binomial Theorem

1.3

1.4

=

…………………………………………………………………………………………

4!6! 10!

…………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..……………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………..………………

7!+9! ……………………………………………………………………..………………… 7!−9!

……………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………..………………

ตอบ 1.5 ตอบ

9! = 11!

4! ………………………………………………………………………………………… 6!+5!

………………………………………………………………………..……………… ………………………………………………………………………..………………

ทฤษฎีบททวินาม(Binomial Theorem

3.2

2. จงหาคาตอไปนี้ 2.1

( n + 1)! …………………………………………………………………………………………. ( n − 1)!

………………………………………………………………………..………………. ………………………………………………………………………..………………. ………………………………………………………………………………………. 2.2

n! ………………………………………………………………………………………. ( n − 2 )!

………………………………………………………………………..………………. ………………………………………………………………………..………………. ……………………………………………………………………..……………….

2.3

( n + 3)! เมื่อ n = 8 ( n − 4 )!

………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………..………………. ………………………………………………………………………..………………. ………………………………………………………………………………………. 2.4

n! เมื่อ n = 7 ( n − 2 )!2!

………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………..………………. ………………………………………………………………………..………………. ………………………………………………………………………………………. 3. จงหาคาของ n จากขอตอไปนี้ 3.1

n! ( n − 2 )!

ทฤษฎีบททวินาม(Binomial Theorem

= 930

…………………………………………………………………………….………………………… ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………..…………………………….. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………..……………………………. ………………………………………………………………………………………………………

( n + 1)! ( n − 1)!

=

132

…………………………………………………………………………….………………………… ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………..…………………………….. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………..……………………………. ……………………………………………………………………………………………………… 3.3

( 3n + 3)! ( 3n )!

=

16

…………………………………………………………………………….………………………… ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………..…………………………….. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………..……………………………. ……………………………………………………………………………………………………… 4. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปของแฟคทอเรียล 4.1 65 × 64 ……………………………………………………………….. 4.2 13 ………………………………………………………………. 4.3 (n+5) ……………………………………………………………… 4.4 (2n-5)(2n-6)(2n-7) ……………………………………………………….. 4.5 n 2 −11n + 30 …………………………………………………………….

ทฤษฎีบททวินาม(Binomial Theorem

4.2 สัมประสิทธิ์ทวินาม (Binomial Coeficient) ⎛n⎞ ถา n , r เปนจํานวนเต็มบวก และn ≥ r สัญลักษณ ⎜⎜ ⎟⎟ อานวา สัมประสิทธิ์ทวินามเอ็นอาร หรือ ⎝r⎠

ทฤษฎีบททวินาม(Binomial Theorem

⎛7⎞ ⎝5⎠

7! 5! (7 − 5)! 7 × 6 × 5! = 5!2! 7× 6 = 2! 7×6 = 2 ×1

3) ⎜⎜ ⎟⎟

=

เอ็นอาร ซึ่งมี ความหมายตามนิยามดังนี้ ⎛n⎞

n!

นิยาม เมื่อ n , r เปนจํานวนเต็มบวก และ 0 ≤ r ≤ n แลว ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ r ⎠ r! ( n − r )! ⎛9⎞ ⎝0⎠

ตัวอยางที่ 4.7 จงหาคาของจํานวนตอไปนี้ ⎛6⎞

⎝ ⎠ ⎛7⎞ 2) ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝2⎠ ⎛7⎞ 3) ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝5⎠

4) ⎜⎜ ⎟⎟

⎛6⎞

วิธีทํา 1) ⎜⎜ ⎟⎟ 3 ⎝ ⎠

⎛7⎞ ⎝2⎠

2) ⎜⎜ ⎟⎟

=

=1 ⎛9⎞ 5) ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝9⎠

6! 3! (6 − 3)! 6 × 5× 4 × 3! = ( 3× 2 ×1)3! 6 × 5× 4 = ( 3× 2 ×1)

9! 9! ( 9 − 9 )! 9! = 9!0! 1 = 1

=1

ตอบ

7! 2! ( 7 − 2 )! 7 × 6 × 5! = ( 2 ×1)5! 7×6 = ( 2 ×1)

=

= 21

ตอบ

=

=

= 20

ตอบ

9! 0! ( 9 − 0 )! 9! = (1)( 9 )!

4) ⎜⎜ ⎟⎟

⎛9⎞ ⎝0⎠ ⎛9⎞ 5) ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝9⎠

1) ⎜⎜ ⎟⎟ 3

= 21

ตอบ

ขอสังเกต จากตัวอยางขางตนจะพบวา ⎛7⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝2⎠ ⎛9⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝0⎠

⎛7⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝5⎠ ⎛9⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝9⎠

จึงสามารถสรุปไดวา ⎛n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝r⎠

ตอบ

⎛ n ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝n−r⎠

ทฤษฎีบททวินาม(Binomial Theorem

⎛n⎞

ตัวอยาง 4.8 กําหนดให ⎜⎜ ⎟⎟ 4

⎝ ⎠ ⎛n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ วิธีทํา ⎝4⎠ n! 4! ( n − 4 )! n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3)( n − 4 )! 4 × 3× 2 ×1( n − 4 )! n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3) 4 × 3 × 2 ×1

n(n-1)(n-2)(n-3) n(n-1)(n-2)(n-3) n(n-1)(n-2)(n-3) จะไดวา ; n

=

15

=

15

แบบฝกหัดที่ 4.2

จงหาคาของ n 1. จงหาคาของพจนตอไปนี้ ⎛ 10 ⎞

1.1 ⎜⎜ ⎟⎟ ……………………………………………………………………….. 6

=

15

=

15

=

15

= = = =

15( 4 × 3 × 2 × 1) (3 × 5)( 4 × 3 × 2 × 1) (3 × 2)(5)(4)(3)(2) 6 ตอบ

⎝ ⎠

……………………………………………………………………….. ⎛ 12 ⎞ 1.2 ⎜⎜ ⎟⎟ ………………………………………………………………………. ⎝4⎠

⎛ 9 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎛ 5 ⎞

ตัวอยางที่ 4.9 จงหาคาของ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ - ⎜⎜ ⎟⎟ 4 6 3 ⎛ 9 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎛ 5 ⎞ วิธีทํา ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ - ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 3⎠

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 9! 10! 5! = + 4! ( 9 − 4 )! 6! (10 − 6)! 3! (5 − 3)! 9! 10! 5! + = 4! ( 9 − 4 )! 6! (10 − 6)! 3! (5 − 3)! 9 × 8 × 7 × 6 × 5! 10 × 9 × 8 × 7 × 6! 5× 4 × 3! = + 6!4! 3!2! ( 4 × 3× 2 ×1)5! 9 × 8 × 7 × 6 10 × 9 × 8 × 7 5× 4 + = ( 4 × 3× 2 ×1) 4 × 3× 2 ×1 2 ×1

= 126 + 210 – 10 = 137

ทฤษฎีบททวินาม(Binomial Theorem

ตอบ

……………………………………………………………………….. ⎛ 12 ⎞

1.3 ⎜⎜ ⎟⎟ ………………………………………………………………………. 8 ⎝ ⎠

……………………………………………………………………….. ⎛ 9 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎛ 8 ⎞

2. จงหาคาของ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ - ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝5⎠ ………………………………………………………………………..……………………………………… ………………………………..………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………..…………………………………………… …………………………..………………………………………………………………………..………… ……………………………………………………………..………………………………………………… ……………………..………………………………………………………………………..……………… …………………………………………… ⎛n⎞

3. กําหนดให ⎜⎜ ⎟⎟ = 56 จงหาคาของ n 3 ⎝ ⎠

………………………………………………………………………..……………………………………… ………………………………..………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………..…………………………………………… …………………………..………………………………………………………………………..………… ……………………………………………………………..………………………………………………… ……………………..………………………………………………………………………..……………… ……………………………………………

ทฤษฎีบททวินาม(Binomial Theorem

⎛ 4 ⎞ ⎛ 7⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛7⎞ ⎛6⎞ ⎛8⎞

4. จงหาคาของ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝6⎠ ⎝ 5⎠ ………………………………………………………………………..……………………………………… ………………………………..………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………..…………………………………………… …………………………..………………………………………………………………………..………… ……………………………………………………………..………………………………………………… ……………………..………………………………………………………………………..……………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………..………………………………………… ……………………………..………………………………………………………………………………… ⎛ n +1⎞ ⎛ n ⎞ ⎟⎟ = 2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝2⎠

5. กําหนดให ⎜⎜

จงหาคาของ n

………………………………………………………………………..……………………………………… ………………………………..………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………..…………………………………………… …………………………..………………………………………………………………………..………… ……………………………………………………………..………………………………………………… ……………………..………………………………………………………………………..……………… ……………………………………………………………………………………………………………… ⎛n⎞

5 ⎛n⎞

6. กําหนดให ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ จงหาคาของ n ⎝ 3 ⎠ 18 ⎝ 5 ⎠ ………………………………………………………………………..……………………………………… ………………………………..………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………..…………………………………………… …………………………..………………………………………………………………………..………… ……………………………………………………………..………………………………………………… ……………………..………………………………………………………………………..……………… ……………………………………………

ทฤษฎีบททวินาม(Binomial Theorem

4.3 สามเหลี่ยมปาสคาล (Pascal’s Triangle) นักคณิตศาสตรชาวฝรั่งเศส ชื่อ Blaise Pascal เปนที่ผูนาํ สัมประสิทธิ์ของการ กระจาย ( a + b ) n เมื่อ a , b เปนจํานวนจริงใด ๆ และ n เปนจํานวนเต็มบวกมาเขียนเรียงกัน ลักษณะรูปสามเหลี่ยม จึงเรียกการเรียงกันของคาที่จัดเรียงนี้วา สามเหลี่ยมปาสคาล จากตัวอยางการกระจาย ( a + b ) n

จะเปน

( a + b)0 = 1 ( a + b )1 = a + b ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 ( a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ( a + b ) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6a 2 b 2 + 4 ab 3 + b 4 ( a + b ) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5

ถานําสัมประสิทธิ์จากการกระจายขางตนมาเขียนเปนรูปสามเหลี่ยมปาสคาล ไดดังนี้ ⎛0⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝0⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝1⎠ ⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝2⎠ ⎛ 3⎞ ⎛3⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛3⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝0 ⎠ ⎝1⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝3⎠ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝2⎠ ⎝3⎠ ⎝4⎠ ⎛ 5⎞ ⎛5⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛5⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛5⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝0 ⎠ ⎝1⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝3⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝5⎠

( 1) ( 1) ( 1)

( 1)

( 2)

( 3)

( 1) ( 1)

( 1)

( 4) ( 5)

( 1)

( 3)

( 6)

( 10 )

( 1)

( 4) ( 10 )

( 1) ( 5)

( 1)

ขอสังเกต ตัวเลขที่ปรากฏในสามเหลี่ยมปาสคาลนี้ เราสามารถสรางตอไปไดเรื่อย ๆ ไมมีที่ สิ้นสุด โดยมีหลักและคุณสมบัติ ดังนี้ 4.3.1 สามเหลี่ยมปาสคาล เปนสามเหลี่ยมสมมาตรในแตละแถว จํานวนที่อยูห า งจากตัวริมสุด เขามาขางละเทา ๆ กัน จะมีคาเทากัน ⎛n⎞ ⎛n⎞

4.3.2 จํานวนแรก และจํานวนสุดทาย ในแตละแถวเทากับ 1 เพราะ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 ⎝0⎠ ⎝n⎠ 4.3.3 ในแตละแถว จํานวนแตละจํานวน ยกเวนตัวแรกและตัวสุดทายจะมีคาเทากับผลบวกของ จํานวน 2 จํานวน ที่อยูทางขวาและทางซายของจํานวนนั้น ซึ่งอยูใ นแถวบน เชน

ทฤษฎีบททวินาม(Binomial Theorem

ทฤษฎีบททวินาม(Binomial Theorem

⎛n⎞

⎛5⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝2⎠ ⎝1⎠ ⎝2⎠ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎛3⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝3⎠

n!

สัมประสิทธิ์ของพจนที่สี่ในรูปของการกระจาย คือ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ 3 ⎠ 3! ( n − 3)! (5) สัมประสิทธิ์ของพจนแรกและพจนสุดทายเปนหนึ่งเสมอ

4.3.4 ในแถวที่ n ของสามเหลี่ยมปาสคาล จะมีจํานวนอยู n + 1 จํานวน คือ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟,⎜⎜ ⎟⎟,⎜⎜ ⎟⎟,..., ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝2⎠ ⎝n⎠

จากที่กลาวมาแลว สามารถสรุปเปนทฤษฎีบททวินามไดดังนี้ 4.4 ทฤษฎีบทวินาม

4.3.5 ผลบวกของจํานวนทุกจํานวนในแถวที่ n จะมีคาเทากับ 2 n นั่นคือ

ถา n และ r เปนจํานวนเต็ม โดยที่ 0 ≤ r ≤ n แลว

⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ... + ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 n ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝2⎠ ⎝n⎠

⎛n⎞ r =0⎝ r ⎠ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ หรือ ( a + b ) n = ⎜⎜ ⎟⎟a n b n −0 + ⎜⎜ ⎟⎟a n −1 b1 + ⎜⎜ ⎟⎟a n −2 b 2 + ... + ⎜⎜ ⎟⎟a n −n b n ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝2⎠ ⎝n⎠ ⎛n⎞ ⎛n⎞ หรือ ( a + b ) n = a n + ⎜⎜ ⎟⎟a n −1 b1 + ⎜⎜ ⎟⎟a n −2 b 2 + ... + b n 1 ⎝ ⎠ ⎝2⎠ n

( a + b ) n = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟a n − r b r

นอกจากขอสังเกต ของตัวเลขที่ปรากฏในสามเหลี่ยมแลวเรายังมีขอสังเกตของพจนตาง ๆ ทีไ่ ดจาก การกระจาย ( a + b ) n เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก ดังตอไปนี้ (1) จํานวนพจนของการกระจาย ( a + b ) n จะมีทั้งหมด n + 1 พจน (2) เลขชี้กําลังของพจนแรก ( a ) และพจนหลัง ( b ) จะเปนดังนี้ -พจนแรก a จะมีเลขชี้กําลังเปน n และ b จะมีเลขชี้กาํ ลังเปน 0 -พจนที่สอง a จะมีเลขชี้กําลังเปน n + 1 และ b จะมีเลขชี้กําลังเปน 1 -พจนที่สาม a จะมีเลขชี้กําลังเปน n − 2 และ b จะมีเลขชี้กําลังเปน 2 ……………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………… -และพจนสุดทาย คือ พจนที่ n + 1 และ a จะมีเลขชี้กําลังเปน 0 และ b จะมี เลขชี้กําลังเปน n นั่นคือ a จะมีเลขชี้กําลังเริ่มที่ n แลวลดลงไปจนเปน 0 ในพจนที่ n + 1 b จะมีเลขชี้กําลังเริ่มที่ 0 แลวเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ไปจนเปน n ในพจนที่ n + 1 (3) ในแตละพจนผลบวกของเลขชี้กําลัง a และ b จะเทากับ n ⎛n⎞

(4) สัมประสิทธิ์ของพจนแรกในรูปของการกระจาย คือ ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 0

⎝ ⎠ ⎛n⎞ n! สัมประสิทธิ์ของพจนที่สองในรูปของการกระจาย คือ ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 1 ! ( n − 1)! ⎝ ⎠ ⎛n⎞ n! สัมประสิทธิ์ของพจนที่สามในรูปของการกระจาย คือ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ 2 ⎠ 2! ( n − 2 )!

ขอสังเกต

จากการกระจายจะไดวา ⎛n⎞

พจนที่ r + 1 จะกระจายไดเปน ⎜⎜ ⎟⎟a n −r b r r ⎝ ⎠

ตัวอยางที่ 4.10 จงกระจาย (x 2 + 2 y ) โดยใชทฤษฎีบททวินาม วิธีทํา จากทฤษฎีบททวินาม จะได 5

⎛ 5⎞ ⎝ 3⎠

⎛5⎞ ⎝2⎠

⎛5⎞ ⎝1⎠

⎛5⎞ ⎝4⎠

( a + b ) 5 = a 5 + ⎜⎜ ⎟⎟a 4 b + ⎜⎜ ⎟⎟a 3 b 2 + ⎜⎜ ⎟⎟a 2 b 3 + ⎜⎜ ⎟⎟ab 4 + b 5

แทนคา พจนหนา(a) = x 2 พจนหลัง(b) = 2y ; ⎛5⎞ ⎝1⎠

⎛5⎞ ⎝2⎠

⎛5⎞ ⎝3⎠

⎛5⎞ ⎝4⎠

(x 2 +2y) 5 = (x 2 ) 5 + ⎜⎜ ⎟⎟ (x 2 ) 4 (2y)+ ⎜⎜ ⎟⎟ (x 2 ) 3 (2y) 2 + ⎜⎜ ⎟⎟ (x 2 ) 2 (2y) 3 + ⎜⎜ ⎟⎟ x 2 (2y) 4 +(2y) 5 10 = x +

+

( )

( )

( )( )

5! 5! 5! x8 (2y ) + x6 4y2 + x 4 8y 3 1! (5 − 1)! 2! (5 − 2 )! 3! ( 5 − 3 )!

( )

5! x 2 16 y 4 + 32 y 5 4! ( 5 − 4 )!

ทฤษฎีบททวินาม(Binomial Theorem

x 10 +

=

+

( )

5.4 ! 5.4.3! 6 2 5.4.3! 4 3 2x8 y + 4x y + 8x y ( 1 ) 4! ( 2.1) 3! 3! ( 2!)

(

3 12! 9 ⎛ 27a ⎞ x 2 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ 3! ( 12 − 3)! ⎝ x ⎠ 12.11.10.9! 18 ⎛ 27a 3 ⎞ = x ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ( 3.2.1) 9! ⎝ x ⎠

( )

)

5.4! 2 4 16x y + 32 y 5 4!1!

ตอบ

ตัวอยางที่ 4.11 จงกระจาย (2a − 3y ) โดยทฤษฎีบททวินาม วิธีทํา จากทฤษฎีบททวินาม จะได ⎛4⎞

⎛4⎞

⎛4⎞

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 2a − 3y = 2a + ( − 3y ) ⎛4⎞ 4 ⎛4⎞ 3 2 = 2a 2 + ⎜⎜ ⎟⎟ 2 a 2 ( − 3 y ) + ⎜⎜ ⎟⎟ 2a 2 ( − 3y ) 2 + 1 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛4⎞ 2 ⎜⎜ ⎟⎟ 2 a ( − 3 y )3 + ( − 3 y ) 4 ⎝3⎠ 4! 4! 8a 6 ( − 3 y ) + 4 a 4 (9y 2 ) = 16a 8 + 1! ( 4 − 1)! 2! ( 4 − 2 )! 4! 2 a 2 − 27 y 3 + 81y 4 3! ( 4 − 3 )! 4.3! 4.3.2! = 16a 8 + − 24 a 6 y + 36a 4 y 2 + ( 1) 3! ( 2.1) 2! 4.3! − 54 a 2 y 3 + 81y 4 3!1! = 16a 8 − 96a 6 y + 216a 4 y 2 − 216a 2 y 3 + 81y 4 ตอบ

(

) [ ( )

] ( )

2

( )

( )

( )( (

)

3a 12 ตัวอยางที่ 4.12 จงหาพจนที่ 4 จากการกระจาย ⎛⎜ x + ⎞⎟ ⎝ x⎠ ⎛ n ⎞ n −r r วิธีทํา จากพจนที่ r + 1 = ⎜⎜ ⎟⎟a b ⎝r⎠ ⎛ 12 ⎞ 12−3 ⎛ 3a ⎞ 3 Τ4 = Τ3+1 = ⎜⎜ ⎟⎟ x 2 ⎜ ⎟ ⎝x⎠ ⎝3⎠ 2

( )

)

x⎠

( )

)

(

12

⎛n⎞ Τr +1 = ⎜⎜ ⎟⎟a n −r b r ⎝r⎠ ⎛ 12 ⎞ 12− r ⎛ 1 ⎞ r = ⎜⎜ ⎟⎟ x 2 ⎜ ⎟ ⎝x⎠ ⎝r⎠ 12 ⎛ ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟x 24 −2 r x − r ⎝r⎠ ⎛ 12 ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟x 24 −3 r ⎝r⎠

จะไดวา

( )

)



วิธีทํา พจนที่ไมมี x คือพจนที่มี x 0 สมมุติใหพจนที่มี x 0 เปนพจนที่ r + 1

( )

(

ตอบ

1 ตัวอยางที่ 4.13 จงหาพจนทไี่ มมี x จากการกระจาย ⎛⎜ x 2 + ⎞⎟

( a + b ) 4 = a 4 + ⎜⎜ ⎟⎟a 3 b + ⎜⎜ ⎟⎟a 2 b 2 + ⎜⎜ ⎟⎟ab 3 + b 4 1 2 3 4

⎛ 27a 3 ⎞ = 220 x 18 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎝ x ⎠ 3 15 = 5940a x

4

2

2

( )

=

x 10 + 10 x 8 y + 40 x 6 y 2 + 80 x 4 y 3 + 80 x 2 y 4 + 32 y 5

=

ทฤษฎีบททวินาม(Binomial Theorem

โจทยกําหนดวาพจนที่ไมมี x คือพจนที่มี x 0 นั่นแสดงวา 24-3r = 0 24 = 3r 24 3

=

r

8 = r พจนที่ไมมี x คือพจนที่ 8 + 1 คือพจน 9

ตอบ

ทฤษฎีบททวินาม(Binomial Theorem

1 ตัวอยางที่ 4.13 จงหาสัมประสิทธิ์ของพจนกลางจากการกระจาย ⎛⎜ y 2 − ⎞⎟ 1 วิธีทํา พจนกลางของการกระจาย ⎛⎜ y 2 − ⎞⎟ ⎝



6

6

( 3.02 ) 4 = (3+0.02) 4

⎛ 1 ⎞ y 6 ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ 27 ⎠

1 = 20 y 6 ⎛⎜ − ⎞⎟ ⎝ 27 ⎠ =−

20 27

ตอบ 3

2

3

) [

]

เมื่อ a = x และ b = (3x –1) ; ⎛3⎞ 2 ⎛3⎞ 2 = x 2 + ⎜⎜ ⎟⎟ x 2 ( 3x − 1) + ⎜⎜ ⎟⎟ x 2 ( 3x − 1) 2 + ( 3x − 1) 3 ⎝1⎠ ⎝2⎠ 3! 3! x 4 (3x-1) + x 2 (9x 2 - 6x + 1) = x6 1! (3 − 1)! 2! ( 3 − 2 )!

( )

( )

( )

+ (3x) 3 +3(3x) 2 (-1)+3(3x)(-1) 2 +(-1) 3

( ) ( )

(

3× 2! 5 4 3! 4 3x − x + 9x − 6x 3 + x 2 1× 2! 2!1! + 27x 3 + 3 9x 2 ( − 1) + 9x( 1) − 1

= x6 +

)

= x 6 + 9x 5 − 3x 4 + 27x 4 − 18x 3 + 3x 2 + 27x 3 − 27x 2 + 9x − 1

ตอบ

1. จงกระจาย (a 2 + 2 b ) ………………………………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………….……………………………. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 2 5

⎛3⎞ ⎛3⎞ วิธีทํา จาก = a + ⎜⎜ ⎟⎟a 2 b + ⎜⎜ ⎟⎟ab 2 + b 3 ⎝1⎠ ⎝2⎠ 3 3 นั่นคือ x 2 + 3x − 1 = x 2 + ( 3x − 1)

(

= 0.83.1817 จะไดวา (3.02) 4 = 83.1817

แบบฝกหัดที่ 6.3

ตัวอยางที่ 4.15 จงกระจาย (x 2 + 3x − 1) ( a + b)3

⎛4⎞ ⎝3⎠

= 81 + 2.16 + 0.0216 + 0.000096 + 0.00000016

20 6 y 27

สัมประสิทธิ์ของพจนกลาง คือ −

⎛4⎞ ⎝2⎠

⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛3⎞ = ( 3 ) 4 + ⎜⎜ ⎟⎟( 3 ) 3 ( 0.02 ) + ⎜⎜ ⎟⎟( 3 ) 2 ( 0.02 ) 2 + ⎜⎜ ⎟⎟( 3 )( 0.02 ) 3 + ( 0.02 ) 4 ⎝1⎠ ⎝2⎠ ⎝4⎠ 4! 4! ( 27 )( 0.02 ) + ( 9 )( 0.0004 ) = 81 + 1! ( 4 − 1)! 2! ( 4 − 2 )! 4! ( 3 )( 0.000008 ) + 0.00000016 + 3! ( 4 − 3 )! 4.3! 4.3.2! 4.3! = 81 + ( 0.54 ) + ( 0.0036) + ( 0.000024 ) +0.00000016 ( 1) 3! ( 2.1) 2! 3!1!

( )

6.5.4.3!

⎛4⎞ ⎝1⎠

วิธีทํา จาก ( a + b ) 4 = a 4 + ⎜⎜ ⎟⎟a 3 b + ⎜⎜ ⎟⎟a 2 b 2 + ⎜⎜ ⎟⎟ab 3 + b 4

( )

(3.2.1)(3!)

ตอบ

ตัวอยางที่ 4.16 จงกระจาย ( 3.02 ) 4 โดยใชทฤษฎีบททวินามใหตอบทศนิยม 4 ตําแหนง

3⎠

⎛n⎞ Τr +1 = ⎜⎜ ⎟⎟a n −r b r ⎝r⎠ ⎛ 6 ⎞ 6 −3 ⎛ 1 ⎞ 3 Τ3+1 = ⎜⎜ ⎟⎟ y 2 ⎜− ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 6! 1 3 y 2 ⎛⎜ − ⎞⎟ = 3!( 6 − 3)! ⎝ 27 ⎠ =

= x 6 + 9x 5 + 24 x 4 + 9x 3 − 24 x 2 + 9x − 1

3⎠

คือ พจนที่ 4 เนื่องจากมีการกระจาย 7 พจน จาก

ทฤษฎีบททวินาม(Binomial Theorem

ทฤษฎีบททวินาม(Binomial Theorem

2. จงกระจาย (3a − y 2 ) ………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………. 4

3. จงหาพจนที่ 4 ของการกระจาย (2 x 2 − y ) ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. 6

4. จงหาสัมประสิทธิ์ของพจนกลางจากการกระจาย ( 2 − xy )6 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 1 12 5. จงหาพจนที่มี x 6 จากการกระจาย ⎛⎜ x + 2 ⎞⎟



x ⎠

…………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………..

ทฤษฎีบททวินาม(Binomial Theorem

6. จงหาสัมประสิทธิ์ของพจนที่มี x 4 จากการกระจาย ⎛⎜ x 3 − ⎝

1 ⎞8 ⎟ x2 ⎠

……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ********************** จบทวินาม*****************