ฉบับการตูน
แปลจาก... MANGA DE WAKARU BIBUN SEKIBUN
Taira Ishiyama Takehiko Ogami แปลโดย... ดร.อรรณพ เรืองวิเศษ by…
225.-
แคลคูลัส ฉบับการ์ตูน
by... Taira Ishiyama, Takehiko Ogami แปลโดย... ดร.อรรณพ เรืองวิเศษ
ราคา 225 บาท พิมพ์ครั้งที่ 1 มิถุนายน 2555 ข้อมูลทางบรรณานุกรมของสำ�นักหอสมุดแห่งชาติ อิชิยามะ, ทาอิระ. แคลคูลัส ฉบับการ์ตูน. - - กรุงเทพฯ : สมาคมส่งเสริมเทคโนโลยี (ไทย-ญี่ปุ่น), 2555. 208 หน้า. 1. แคลคูลัส I. โองามิ, ทาเกฮิโกะ, ผู้แต่งร่วม. II. อรรณพ เรืองวิเศษ, ผู้แปล. III. โมริมินะ, เนจิโกะ, ผู้วาดภาพประกอบ. IV. ชื่อเรื่อง. 515 ISBN 978-974-443-497-5 MANGA DE WAKARU BIBUN SEKIBUN by Taira Ishiyama, Takehiko Ogami Copyright 2007 Taira Ishiyama and Takehiko Ogami Supervision by Medaka College Illustration by Nejiko Morimina All rights reserved. Originally published in Japan by SOFTBANK Creative Corp., Tokyo Thai translation rights arranged with SOFTBANK Creative Corp. through THE SAKAI AGENCY. ลิขสิทธิ์ฉบับภาษาไทยโดย สมาคมส่งเสริมเทคโนโลยี (ไทย-ญี่ปุ่น) จัดพิมพ์โดย 5-7 ซอยสุขุมวิท 29 ถนนสุขุมวิท แขวงคลองเตยเหนือ เขตวัฒนา กรุงเทพฯ 10110 โทร. 0-2258-0320 (6 เลขหมายอัตโนมัติ), 0-2259-9160 (10 เลขหมายอัตโนมัติ) เสนองานเขียน • งานแปลได้ที่ www.tpa.or.th/publisher/new ติดต่อสั่งซื้อหนังสือได้ที่ www.tpabookcentre.com จัดจำ�หน่ายโดย
บริษัท ซีเอ็ดยูเคชั่น จำ�กัด (มหาชน) 1858/87-90 อาคารเนชั่นทาวเวอร์ ชั้น 19 ถนนบางนา-ตราด แขวงบางนา เขตบางนา กรุงเทพฯ 10260 โทร. 0-2739-8000, 0-2739-8222 โทรสาร 0-2739-8356-9 www.se-ed.com
“ถ้าหนังสือมีข้อผิดพลาดเนื่องจากการพิมพ์ ให้นำ�มาแลกเปลี่ยนได้ที่สมาคมฯ” โทร. 0-2258-0320 ต่อ 1560, 1570 บรรณาธิการทีป่ รึกษา ทิพวรรณ อภิวนั ท์วรรัตน์ ■ บรรณาธิการบริหาร ทวิยา วัณณะวิโรจน์ หัวหน้ากองบรรณาธิการ แทนพร เลิศวุฒภิ ทั ร บรรณาธิการเล่ม พรรณพิมล กิจไพฑูรย์ ออกแบบปก ภาณุพนั ธ์ โนวยุทธ ออกแบบรูปเล่ม ธารินี คุตตะสิงคี ธุรการสำ�นักพิมพ์ อังคณา อรรถพงศ์ธร ■ พิมพ์ท่ี : บริษทั พิมพ์ดกี ารพิมพ์ จำ�กัด
■
แคลคูลัส ฉบับการ์ตูน
11 เมื่อจุด 2 จุดเข้าใกล้กันไปเรื่อย ๆ
แล้วจะเป็นอย่างไร
กระบวนการก่อนหน้านี้ได้เลือกจุด 2 จุดตามที่เห็นเหมาะสมบนเส้น โค้งโดยให้ใกล้จุด A มากที่สุด “แต่ความชันของจุด 2 จุดที่อยู่ใกล้กันอย่างที่สุด นี้จะหาอย่างไร ?” ก่อนอืน่ การพิจารณาในลักษณะนีอ้ าจจะเกิดค�ำถามตามมาว่า “เมือ่ จุด 2 จุดเข้าใกล้กันอย่างที่สุดแล้ว สุดท้ายจะกลายเป็นจุดเดียวไม่ใช่หรือ ?” หรือไม่ ก็ “เมื่อไม่ใช่ 2 จุดแล้ว แบบนี้ก็ค�ำนวณไม่ได้สิ ?” ทีจ่ ริงก็เป็นเช่นนัน้ คือถ้าหากซ้อนกันอย่างสมบูรณ์กจ็ ะกลายเป็น “จุด 1 ไมครอน ไปจนถึงระดับนาโนแล้ว เดียว” แต่ถ้าใกล้กันที่สุดจนถึงระดับ 100 — ก็ยังใกล้เข้าไปอีก… กรณีนี้ที่จริงก็ยังเป็นจุด 2 จุด แต่จะมองเห็นเหมือนกับ เป็นจุดเดียว วิธีการพิจารณาทางคณิตศาสตร์ที่ “ขยับจุดที่แตกต่างกัน 2 จุด ให้เข้าใกล้กนั มากทีส่ ดุ ” “ใกล้กนั ทีส่ ดุ แต่ไม่เป็นจุดเดียวกัน” เป็นวิธคี ดิ ทีเ่ รียกว่า “การหาลิมิต (limit)” “การหาลิมิต” เป็นวิธีการที่ขาดไม่ได้ในการหาความชันที่จุด 1 จุด ซึ่งก็คืออนุพันธ์ ดังนั้นเนื้อหาต่อจากนี้จะออกจากเรื่องอนุพันธ์ไปพิจารณาวิธีการหา ลิมิตกันก่อนสักเล็กน้อย
26
บทที่ 1 แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (Differential Calculus)
¶×ÍàËÃÕÂÞäÇŒ 2 àËÃÕÂÞ áÅŒÇàÅ×è͹¢ÂѺä»ÁÒ...
à¾ÔèÁ¢Öé¹ !!
ªÖº ªÖº ªÖº
ªÖº... ªÖº...
ÁͧàËç¹à»š¹ àËÃÕÂÞ
ã¹·Ò§µÃ§¡Ñ¹¢ŒÒÁ ¶×ÍàËÃÕÂÞ 2 àËÃÕÂÞäÇŒ·ÕèÃдѺÊÒµÒ
Ë‹Ò§¡Ñ¹ 2–3 cm
¤‹Í æ àÅ×è͹ࢌÒÁÒ ã¡ÅŒË¹ŒÒ…
ÁͧàËç¹àËÃÕÂÞ«ŒÍ¹¡Ñ¹ ໚¹ àËÃÕÂÞ 27
แคลคูลัส ฉบับการ์ตูน
40 ความสัมพันธ์ระหว่างอนุพันธ์กับอินทิเกรต เอาละ เนื้อหาของหนังสือเล่มนี้ก็ผ่านมาครึ่งทางแล้ว ต่อไปจะเริ่ม เนื้อหาเรื่องการอินทิเกรตหรือปริพันธ์ (integration) กันเลย อนุพันธ์กับอินทิเกรตมักจะใช้คู่กันหรือเรียกโดยรวมว่า “แคลคูลัส (calculus)”
แล้วอินทิเกรตคืออะไร ? มีไว้ใช้ทำอะไร ?
ถ้าให้อธิบายง่าย ๆ การอินทิเกรตก็คอื กระบวนการย้อนกลับของการ หาอนุพันธ์ ดังนั้นการหาอนุพันธ์กับการอินทิเกรตจึงมักใช้ร่วมกันเสมอ คนทีเ่ ริม่ ต้นศึกษาเรือ่ งการอินทิเกรตหลายคนอาจจะรูส้ กึ ว่า “ไม่รเู้ รือ่ ง เลย” ซึ่งก็แน่นอนที่อยู่ ๆ จะให้เข้าใจเลยเป็นไปได้อย่างไร ดังนั้นเรามาเริ่มต้น จากการพิจารณาความหมายกันก่อนดีกว่า วัตถุประสงค์ของอนุพันธ์คือการหาการเปลี่ยนแปลงหรือความชัน ส่วนการอินทิเกรตถูกคิดค้นขึ้นเพื่อใช้หาพื้นที่ ซึ่งรายละเอียดจะอธิบายต่อไป ภายหลัง ว่าแต่อธิบายมาถึงตรงนี้แล้วคิดว่าเป็นอย่างไรบ้าง ? ความชันกับพื้นที่ มีความสัมพันธ์กันอย่างไร ...สงสัยจะยิ่งไม่เข้าใจมากกว่าเดิม ทีก่ ล่าวว่าการอินทิเกรตและการหาอนุพนั ธ์มคี วามสัมพันธ์เป็นกระบวน การย้อนกลับซึ่งกันและกันกันนั้นมาจากวิธีการค�ำนวณ ซึ่งค�ำศัพท์ทางวิชาการ เรียกว่า “การด�ำเนินการย้อนกลับ” คล้ายกับความสัมพันธ์ระหว่างการคูณกับ การหารนั่นเอง 100
บ··Õè 2 แคลคูลัสàªÔ§»รÔ¾ัน¸์ (Intergral Calculus)
µÃ§¢ŒÒÁ¡Ñº¡ÒÃËÒ͹ؾѹ¸¤×Í¡ÒÃÍÔ¹·Ôà¡Ãµ µÃ§¢ŒÒÁ¡Ñº¡ÒÃÍÔ¹·Ôà¡Ãµ¤×Í¡ÒÃËÒ͹ؾѹ¸ ...´ÙàËÁ×͹¨ÐÁÕËÅÒ¤¹·ÕèÃÙŒÊÖ¡Í‹ҧ¹Õé... à´ÕëÂÇ¡‹Í¹ à¨ŒÒ ¤¹¹Ñé¹
Ê ÁÑ Â ¡ ÃÕ ¡
ËÇ×Í ËÇ×Í
àÂŒÂ
ËÅѧ¨Ò¡¹Õé 1,800 »‚ ¨ÐÁÕ¡ÒôÓà¹Ô¹¡Òà ·Õè໚¹»ÃÐ⪹µ‹Í ¡Òäӹdzà¡Ô´¢Öé¹
áÅŒÇà¨ŒÒ ¨Ð䴌໚¹ ¼ÙŒËÂÑè§ÃÙŒ·Õè ä´ŒÃѺ¡Òà ¡‹ͧ
¢ŒÒ໚¹ à·¾à¨ŒÒ ¤³ÔµÈÒʵÃ
¢ŒÒÁÕ ºÑÞªÒ ¨ÐãËŒ à¨ŒÒ·Ó à¨ŒÒ¨§ÊÌҧ¡Òà ´Óà¹Ô¹¡ÒÃŒ͹¡ÅѺ ·ÕèàÃÕ¡NjÒÍÔ¹·Ôà¡Ãµ äÇŒµÑé§áµ‹µÍ¹¹Õé
¤ ¢ŒÒ ÇÑ ä»Å‹Ð ÍÐäáѹà¹Õè ¹ !! ! ! ¡ Í × àÎ µ Å äÁ‹ÃÙŒ º áǺ àÃ×èͧàÅ 103
แคลคูลัส ฉบับการ์ตูน
64 จงหาพื้นที่ เหมือนจะเขียนย�้ำหลายครั้ง แต่การอินทิเกรตเป็นเพียงการน�ำ f(x) × dx มาบวกกันเท่านั้น ดังนั้นเมื่อต้องการหาพื้นที่ แล้วถ้าแค่ท�ำการหาอินทิกรัล จ�ำกัดเขตของฟังก์ชันไปโดยไม่คิดอะไร ก็จะได้ผลลัพธ์ที่ผิด ชีวิตคนเราส่วนมากถ้าท�ำโดยไม่คิดก็จะผิดพลาด หรือคนที่เชื่ออะไร แบบหลับหูหลับตาก็มักจะสะดุด ไม่เฉพาะเรื่องการอินทิเกรตเท่านั้น ตัวอย่างเช่นกรณีต่อไปนี้
โจทย์ : เมื่อ f(x) = (x – 1) (x + 1) จงหาพื้นที่ของบริเวณที่ล้อม รอบด้วย y = f(x) กับแกน x
ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันอันดับ 2 มีกราฟเป็นเส้นโค้งพาราโบลา ซึ่งมี จุดยอดอยู่ที่ (0, –1) และตัดแกน x ที่ x = 1, –1 นั่นคือดูเหมือนว่าจะหาค�ำตอบ ได้ดว้ ยอินทิกรัลจ�ำกัดเขตในช่วง x ตัง้ แต่ –1 จนถึง 1 ดังนัน้ จึงเพียงท�ำการค�ำนวณ 1 ⌠ (x ⌡-1
– 1) (x + 1)dx
ซึ่งท�ำอย่างนี้ผิด !! ลองดูกราฟก็น่าจะเข้าใจ การพิจารณานี้ “พิกัดแกน y เป็นลบ” ท�ำให้ f(x) × dx ได้เป็นค่าลบ ถ้าอย่างนั้นต้องท�ำอย่างไร...
168
บ··Õè 2 แคลคูลัสàªÔ§»รÔ¾ัน¸์ (Intergral Calculus)
àÊÃç¨ áÅŒÇ
“¾×é¹·Õè”
ä˹ ´Ù«Ô
¨Ð໚¹Åºä´Œä§ !! ¤Ô´Ë¹‹ÍÂÊÔ !!
Í‹ҧ ⨷¹Õé
¤ÇÒÁÊÙ§¢Í§ “ᶺÂÒÇ” ¤×Í f(x) äÁ‹¨Ó໚¹
µŒÍ§à»š¹ºÇ¡àÊÁÍä» ¹Ñ蹤×Í “¤ÇÒÁÊÙ§¢Í§ ᶺÂÒÇ㹪‹Ç§ –1 ¶Ö§ 1” ¨ÐµŒÍ§¤Ô´à»š¹ –f(x)
ź¢Í§Åº ¡ÅÒÂ໚¹ ºÇ¡
¡Ã³Õ·Õè ¤Ã‹ÍÁ ÃÐËÇ‹Ò§ (+) ¡Ñº (–)
áÅŒÇẋ§ ª‹Ç§¢Í§¡Òà ÍÔ¹·Ôà¡Ãµ ·Õè¨Ø´¹Ñé¹
µŒÍ§ËÒ
¨Ø´à»ÅÕè¹ ÃÐËÇ‹Ò§ (+) ¡Ñº (–)
¹Í¡¨Ò¡¹Õé
ª‹Ç§ –1 ¶Ö§ 1 ¤‹Ò¢Í§ f(x) ໚¹Åº
¨Ø´¹Õé !
169
