5.1.1 Fen´omenos determin´ısticos y aleatorios

CAPÍTULO

5

Probabilidad

´ Algebra de sucesos

5.1 5.1.1

Fen´ omenos determin´ısticos y aleatorios

En la naturaleza se producen dos tipos de fen´ omenos: Determin´ısticos: Son los fen´ omenos que siempre que se efect´ uen en las mismas condiciones su resultado es el mismo. Antes de efectuarlos siempre se sabe el resultado final. • Si se lanza una misma piedra desde una altura determinada la velocidad de llegada al suelo, en las mismas condiciones, es siempre la misma. a la siguiente • Un reloj que funcione correctamente, si marca una cierta hora, dentro de 60′ marcar´ hora. Aleatorios: Son los fen´ omenos que aunque se efect´ uen en las mismas condiciones no se puede predecir el resultado final. • Si se lanza un dado perfecto desde una altura determinada. Hasta que no se efect´ ue el experimento no podemos decir qué cara nos saldrá. • El extraer una carta de un mazo es también un fenómeno aleatorio, no podemos saber qué carta saldr´ a. El c´ alculo de probabilidades estudia los sucesos aleatorios, que dependen del azar. Al observar un gran n´ umero de fen´ omenos aleatorios, se observan ciertas leyes, de cierta forma estables, son las llamadas leyes estad´ısticas.

5.1.2

Espacio muestral

5.1 Definici´ on Recibe el nombre de espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles indescomponibles que pueden darse al efectuar un experimento aleatorio. Se denota con la letra E. El conjunto E puede ser: finito, infinito numerable o infinito. Ejemplo

1.

Experimento lanzar un dado y anotar la cara que sale: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Es un espacio muestral finito.

45

´ 5.1 Algebra de sucesos

Probabilidad

2.

Experimento lanzar una moneda hasta que salga cara. E = {1a , 2a , 3a , 4a , 5a , 6a , · · · } Es un espacio muestral infinito numerable.

3.

Espera ante un sem´ aforo en rojo, sabiendo que permanece cerrado 60′′ E = [0, 60]

segundos

Es un espacio muestral infinito 5.2 Definici´ on Se llama cardinal de un conjunto al n´ umero de elementos de dicho conjunto. Se denota por Card(E).

5.1.3

Espacio de sucesos

5.3 Definici´ on Se llama suceso aleatorio de un experimento aleatorio a todo subconjunto del espacio muestral E. Ejemplo Consideramos el lanzamiento del dado:

1.

El suceso salir par: A = {2, 4, 6}.

2.

El suceso salir m´ ultiplo de 3: B = {3, 6}.

3.

El suceso menor o igual que 4: C = {1, 2, 3, 4}.

5.4 Definici´ on Se llama espacio de sucesos al conjunto formado por todos los sucesos de un experimento aletorio. Es el conjunto de las partes de E. Se denota por P(E). El n´ umero de subconjuntos, sucesos, es igual Card(E) a2 Ejemplo

1.

Lanzamos una moneda al aire: • E = {c, x} =⇒ Card(E) = 2 • El n´ umero de sucesos es 22 = 4. A saber: P(E) = {∅, {c}, {x}, {c, x}}

2.

Consideramos el lanzamiento del dado entonces Card(E) = 6 por lo tanto el n´ umero posible de sucesos que se pueden dar es 26 = 64.

5.5 Definici´ on Se llama suceso elemental a los subconjuntos unitarios del espacio muestral. Ejemplo Salir m´ ultiplo de 5 en el lanzamiento de un dado es un suceso elemental: A = {5}. 5.6 Definici´ on Se llama suceso compuesto a los subconjuntos formados por más de un elemento del espacio muestral. Ejemplo Salir m´ ultiplo de 3 en el lanzamiento de un dado es un suceso compuesto: {3, 6} 5.7 Definici´ on Se llama suceso seguro al suceso formado por todos los resultados posibles. Se denota por E. Es el suceso que siempre se realiza. 2øBACHILLERATO

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ESTADÍSTICA

´ 5.1 Algebra de sucesos

Probabilidad

Ejemplo Salir mayor que 0 en el lanzamiento de un dado. 5.8 Definici´ on Se llama suceso imposible al suceso que nunca se realiza. Es el subconjunto ∅ del espacio de sucesos. Se denota como suceso ∅. Ejemplo Salir mayor que 6 en el lanzamiento de un dado. 5.9 Definici´ on Se dice que el suceso A est´ a contenido en el suceso B, A ⊂ B, si siempre que se efect´ ua el suceso A también se efect´ ua el B. Ejemplo Sea A = {Salir m´ ultiplo de 4} y B = {par} en el lanzamiento de un dado entonces A ⊂ B. 5.10 Definici´ on Se dice que dos sucesos A y B son iguales, A = B, si A ⊂ B y B ⊂ A

5.1.4

Operaciones con sucesos

5.1.4.1

Uni´ on de sucesos

5.11 Definici´ on Dados dos sucesos A y B llamamos uni´ on de A y B, se denota por A ∪ B, al suceso en que se dan A ´ oB Ejemplo Sea A = {Salir m´ ultiplo de 3} = {3, 6} y B = {par} = {2, 4, 6} entonces A ∪ B = {2, 3, 4, 6} 5.1.4.2

Intersecci´ on de sucesos

5.12 Definici´ on Dados dos sucesos A y B llamamos intersecci´ on de A y B, se denota por A ∩ B, al suceso en que se dan simult´ anemente A y B Ejemplo Sea A = {Salir m´ ultiplo de 3} = {3, 6} y B = {par} = {2, 4, 6} entonces A ∩ B = {6} 5.1.4.3

Sucesos incompatibles

5.13 Definici´ on Dos sucesos A y B son incompatibles si su intersección es el suceso imposible. A incompatible con 5.1.4.4

B ⇐⇒ A ∩ B = ∅

Suceso contrario

5.14 Definici´ on Dado el suceso A llamamos suceso contrario de A , se denota por Ac , al suceso que se realiza si y s´ olo si no se realiza el suceso A. Ejemplo Sea A = {Salir m´ ultiplo de 3} = {3, 6} entonces Ac = {1, 2, 4, 5}. 5.1 Proposici´ on Dos sucesos contrarios son siempre incompatibles pero no al revés. La demostraci´ on es trivial con las definiciones. 2øBACHILLERATO

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ESTADÍSTICA

Probabilidad

5.1.4.5

5.2 Propiedades de las operaciones

Diferencia de sucesos

Dados dos sucesos A y B llamamos suceso A menos B, se denota A \ B, al suceso formado por los elementos de A que no pertenecen a B. A \ B = A ∩ Bc

5.2

Propiedades de las operaciones

• Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A • Distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) y A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) • ∀A suceso se verifica: A ∪ E = E y A ∪ ∅ = A • ∀A suceso se verifica: A ∩ E = A y A ∩ ∅ = ∅ • ∀A suceso se verifica: A ∪ Ac = E y A ∩ Ac = ∅ • El contrario del contrario de un suceso es el mismo suceso: (Ac )c = A • Idempotencia: A ∪ A = A ∩ A = A • Absorci´ on: A ∪ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A • Leyes de Morgan

1.

El contrario de la uni´ on de dos sucesos es igual a la intersección de los contrarios. (A ∪ B)c = Ac ∩ B c

2.

El contrario de la intersecci´ on de dos sucesos es igual a la unión de los contrarios. (A ∩ B)c = Ac ∪ B c

´ Algebra de sucesos

5.3

5.15 Definici´ on Consideremos un subconjunto del espacio de sucesos, S ⊆ P(E), con las operaciones uni´ on, intersecci´ on y contrario, diremos que es un ´ algebra de sucesos si verifica los axiomas: Axioma 1 S = 6 ∅. Debe tener, al menos, un suceso. Axioma 2 ∀A, B ∈ S entonces A ∪ B ∈ S Axioma 3 ∀A ∈ S entonces Ac ∈ S Si el espacio muestral es infinito, el axioma 2, se debe generalizar para infinitos sucesos: ∀A1 , A2 , · · · , An ∈ S =⇒

n [

Ai ∈ S

i=1

5.3.1

1.

Consecuencias de la definici´ on

Si A, B ∈ S entonces A ∩ B ∈ S Demostraci´ on

A∈S

Ax.3

B∈S

Ax.3

=⇒ =⇒

Aplicando las leyes de Morgan:

2.

Si A, B ∈ S entonces A \ B ∈ S

2øBACHILLERATO

 c Ac ∈ S  Ax.2 c Ax.3 =⇒ A ∪ B c ∈ S =⇒ Ac ∪ B c ∈ S Bc ∈ S  c Ac ∪ B c = A ∩ B ∈ S - 48 -

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Probabilidad

5.4 Espacio probabil´ıstico

Demostraci´ on Por definici´ on: A \ B = A ∩ B c  

A∈S B∈S

3.

Bc ∈ S 

Ax.3

=⇒

=⇒ A ∩ B c ∈ S

Conse.1

∅ ∈ S. El suceso imposible pertenece al álgebra de sucesos. Demostraci´ on Ax.3 A ∈ S =⇒ Ac ∈ S y aplicando la primera consecuencia: A ∩ Ac = ∅ ∈ S

4.

E ∈ S. El suceso seguro pertenece al ´ algebra de sucesos. Demostraci´ on Es trivial aplicando la propiedad anterior y el axioma 3.

5.4

Espacio probabil´ıstico

En los experimentos aleatorios donde el espacio muestral es finito, consideraremos, sin perder rigor, que S = P(E).

5.4.1

Definici´ on axiom´ atica de la probabilidad

5.16 Definici´ on Sea E un espacio muestral finito y S un álgebra de sucesos. Se llama probabilidad a una aplicaci´ on: P : S@ >> >R verificando los siguientes axiomas de definici´ on: Axioma 1 ∀A ∈ S su P (A) ≥ 0. Axioma 2 ∀A, B ∈ S y A ∩ B = ∅ entonces P (A ∪ B) = P (A) + P (B) Axioma 3 El suceso seguro tiene de probabilidad uno: P (E) = 1. El Axioma 2, se puede generalizar a n-sucesos incompatibles dos a dos: Sean ∀A1 , A2 , · · · , An ∈ S incompatibles dos a dos, Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j entonces: P(

n [

Ai ) =

i=1

n X

P (Ai )

i=1

La definici´ on axiom´ atica es debida al matem´ atico ruso Kolmogoroff.

5.4.2

1.

Consecuencias de la definici´ on

Si A ∈ S entonces P (Ac ) = 1 − P (A). Demostraci´ on Aplicando las propiedades de las operaciones con sucesos: Ax.2 A ∩ Ac = ∅ =⇒ P (A ∪ Ac ) = P (A) + p(Ac ) A ∪ Ac = E Por lo tanto:

2.

Ax.3

=⇒

P (A ∪ Ac ) = P (E) = 1

P (A) + P (Ac ) = 1 =⇒ P (Ac ) = 1 − P (A)

La probabilidad del suceso imposible es cero: P (∅) = 0

2øBACHILLERATO

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ESTADÍSTICA

Probabilidad

5.4 Espacio probabil´ıstico

Demostraci´ on P (∅) = 1 − P (∅c ) = 1 − P (E) = 1 − 1 = 0

3.

P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B) Demostraci´ on

A

El suceso:

B

A = A ∩ E = A ∩ (B ∪ B c ) = = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B c ) = (A ∩ B) ∪ (A \ B) y los sucesos A ∩ B y A \ B son incompatibles, por lo que aplicando el Axioma 2: P (A) = P ((A ∩ B) ∪ (A \ B)) = P (A ∩ B) + P (A \ B) despejando P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B) A \B

A∩B

4.

Si B ⊂ A entonces P (B) ≤ P (A) Demostraci´ on Si B ⊂ A entonces B ∩ A = B por lo tanto: Ax.1

P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B) = P (A) − P (B) y P (A \ B) ≥ 0 =⇒ P (B) ≤ P (A) Consecuencia inmediata de las dos u ´ ltimas propiedades:

0 ≤ P (A) ≤ 1 ∀A ∈ S La demostraci´ on es inmediata.

5.

Generalizaci´ on del Axioma 2: ∀A, B ∈ S entonces P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) Demostraci´ on A

B

El suceso A ∪ B = B ∪ (A \ B) y los sucesos B y A \ B son incompatibles, aplicando el Ax.2: P (A ∪ B) = P (B) + P (A \ B) = P (B) + P (A) − P (A ∩ B) A \B

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ESTADÍSTICA

Probabilidad

5.4.3

5.5 Determinaci´ on de la probabilidad

Espacio probabil´ıstico

5.17 Definici´ on A la terna (E, S, P ) formada por el espacio muestral, el álgebra de sucesos y la funci´ on probabilidad definida sobre S, recibe el nombre de espacio probabil´ıstico.

5.4.4

Espacio finito de probabilidad

Sea E un espacio muestral finito asociado a un determinado experimento aleatorio, E = {a1 , a2 , a3 , · · · , an , }, cada comportamiento elemental es un suceso. umero real pi , llamado Un espacio finito de probabilidad se obtiene al asignar a cada suceso ai ∈ E un n´ probabilidad de ai que verifica: • pi ≥ 0 •

n X

∀ai ∈ E

pi = 1

i=1

Estas dos condiciones son equivalentes a los axiomas de definición de probabilidad. Ejemplo Consideremos el experimento aleatorio lanzar un dado. El espacio muestral es finito E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Es posible que las probabilidades de obtener las caras del dado sean las siguientes? P (1) = 0, 1

P (2) = 0, 3

P (3) = 0, 1

P (4) = 0, 2

P (5) = 0, 3

P (6) = 0, 1

Es evidente que se trata de un espacio finito de probabilidad, por lo tanto debe verificar las dos condiciones: • pi ≥ 0 •

n X

∀ai ∈ E . Efectivamente todas las probabilidades son positivas.

pi = 1.

i=1

n X

pi = 0, 1 + 0, 3 + 0, 1 + 0, 2 + 0, 3 + 0, 1 = 1, 1

i=1

Por lo tanto no es un espacio finito de probabilidad. Ejemplo En una competici´ on de tenis hay cuatro jugadores A, B, C, D las probabilidades de ganar el torneo son las siguientes: • El jugador A tiene el doble de probabilidad que el B. • El jugador B tiene el triple de probabilidad que el C. • El jugador C tiene la mitad de probabilidad que el D.

1.

Hallar las probabilidades que tienen de ganar cada uno de los jugadores.

2.

Hallar la probabilidad que el torneo lo gane el jugador A o el B.

5.5

Determinaci´ on de la probabilidad

La definici´ on axiom´ atica de la probabilidad resuelve el concepto matemático. En la parte práctica debemos determinar la probabilidad de un suceso cuantitativamente.

2øBACHILLERATO

- 51 -

ESTADÍSTICA

Probabilidad

5.5.1

5.6 Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes

Regla de Laplace

La probabilidad de un suceso es el cociente entre los casos favorables y el n´ umero de casos posibles. p(A) =

N´ umero de casos favorables N´ umero de casos posibles

Para poder aplicar la definici´ on de Laplace todos los sucesos deben ser equiprobables. No es v´ alida la definici´ on en el caso de sucesos compuestos. En la pr´ actica se usa la definici´ on de Laplace siempre que sean equiprobables. Contraejemplo: Si tiramos dos dados y consideramos la suma de los puntos, el espacio muestral es finito :E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}, pero estos sucesos elementales no son equiprobables. Calcular sus probabilidades.

5.5.2

Concepci´ on frecuencial u objetivista. Definici´ on de Von Misses

5.18 Definici´ on Se llama frecuencia absoluta de un suceso al n´ umero n′ de veces que se verifica en n pruebas. n′ ≤1 0 ≤ n′ ≤ n =⇒ 0 ≤ n 5.19 Definici´ on Se llama frecuencia relativa de un suceso A al cociente entre la frecuencia absoluta y el n´ umero de veces que se realiza el experimento. h(A) =

n′ n

y 0 ≤ h(A) ≤ 1

Verifica los axiomas de la definici´ on axiom´ atica de probabilidad. 5.20 Definici´ on Se llama probabilidad de un suceso A al l´ımite de la frecuencia relativa cuando el n´ umero de pruebas efectuadas tiende a infinito. n′ p(A) = l´ım n→+∞ n Para poder aplicar esta definici´ on el experimento debe realizarse un gran n´ umero de veces para obtener, aproximadamente, la probabilidad del suceso. Con la ayuda de un ordenador se pueden efectuar simulaciones de experimentos aleatorios y calcular su probabilidad por la definición de Von Misses.

5.6 5.6.1

Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes Probabilidad condicionada

La probabilidad condicionada aparece cuando la realizaci´ on de un suceso depende de la realizaci´ on de otro suceso. Ejemplo Se extrae una carta de una baraja y se deposita en la mesa. Hallar la probabilidad que al extraer una nueva carta esta sea una espada. La realizaci´ on del segundo suceso est´ a condicionada por el suceso si en la primera extracci´ on ha salido o no, una espada. Vamos a considerar un espacio probabil´ıstico: (E, S, P ) 5.21 Definici´ on Sean dos sucesos A y B con P (B) > 0, llamamos probabilidad de A condicionada al suceso B y lo escribiremos P (A|B) al cociente entre la probabilidad de la intersección de A y B y la probabilidad del suceso B. P (A ∩ B) P (A|B) = P (B)

2øBACHILLERATO

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ESTADÍSTICA

Probabilidad


La probabilidad condicionada P (A|B) nos da la probabilidad relativa del suceso A respecto del espacio reducido B La definición debe verificar los axiomas de la definici´ on de probabilidad. Consideramos la aplicación: P ( |B) :

S

−→

A

7→

B

A∩B

A

R P (A|B) =

P (A ∩ B) P (B)

Axioma 1 ∀A ∈ S su P (A|B) ≥ 0. En efecto: P (A ∩ B) ≥ 0 por definici´ on de probabilidad. P (B) > 0 por hip´ otesis. Por lo tanto P (A|B) =

P (A ∩ B) ≥0 P (B)

Axioma 2 ∀A1 , A2 ∈ S y A1 ∩ A2 = ∅ entonces P ((A1 ∪ A2 )|B) = P (A1 |B) + P (A2 |B) En efecto: P ((A1 ∪ A2 )|B)

=

(A1 ∪ A2 ) ∩ B

=

P ((A1 ∪ A2 ) ∩ B) P (B) (A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B)

(A1 ∩ B) ∩ (A2 ∩ B)

=

A1 ∩ A2 ∩ B = ∅ ∩ B = ∅

P ((A1 ∪ A2 )|B) =

P [(A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B)] Ax.2 P (A1 ∩ B) + P (A2 ∩ B) = = P (B) P (B) P (A1 |B) + P (A2 |B)

Axioma 3 El suceso seguro tiene de probabilidad uno: P (E|B) = 1. En efecto: P (B) def P (E ∩ B) P (E|B) = = =1 P (B) P (B) El Ax.2 se generaliza para n sucesos: Sean A1 , A2 , · · · , An sucesos incompatibles dos a dos entonces: P(

n [

i=1

Ai |B) =

n X

P (Ai |B)

i=1

Consecuencia Por definici´ on: P (A|B) =

P (A ∩ B) =⇒ P (A ∩ B) = P (A|B) · P (B) P (B)

P (B|A) =

P (B ∩ A) =⇒ P (A ∩ B) = P (B|A) · P (A) P (A)

Si P (A) > 0 entonces:

Por lo tanto: P (A|B) · P (B) = P (B|A) · P (A)

2øBACHILLERATO

- 53 -

(5.1)

ESTADÍSTICA

Probabilidad


5.1 Teorema De la multiplicaci´ on para la probabilidad condicionada: Generalizando por inducci´ on el resultado anterior obtendr´ıamos: Dados A1 , A2 , ..., An un conjunto de sucesos,entonces: P (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ) = P (A1 ) · P (A2 |A1 ) · P (A3 |A1 ∩ A2 ) · P (A4 |A1 ∩ A2 ∩ A3 ) · · · P (An |A1 ∩ A2 ∩ ...An−1 )

5.22 Definici´ on A un proceso en el que tengamos una sucesión finita de experimentos, en los cuales cada experimento tenga un n´ umero finito de resultados se le denomina proceso estocástico finito que se resuelve mediante diagramas en ´ arbol y como aplicaci´ on del teorema anterior. Ejemplo

1.

Sea el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados y sumar las caras obtenidas. Si la suma de las caras es 6, hallar la probabilidad de que en uno de los dados salga un 2. El espacio muestral est´ a formado por V R62 = 62 = 36 casos posibles.Sean: • A = {suma igual a 6} = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} • B = {en uno de los dados salga 2} = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (1, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), } • A ∩ B = {(2, 4), (4, 2)} P (A ∩ B) P (B) 5 y P (A ∩ B) = 2 Aplicando la regla de Laplace: P (A) = 36 36

Por definici´ on de probabilidad condicionada:P (B|A) =

2 2 P (B|A) = 36 = 5 5 36

2.

Un se˜ nor pasa por delante de la casa de una familia que tiene dos hijos, ve jugando a uno de ellos y es var´ on. ¿Cu´ al es la probabilidad de que el otro hijo sea también varón? • En el caso de que no sepa si el ni˜ no que ha visto es el mayor o el peque˜ no. • Sabiendo que ha visto al peque˜ no. El espacio muestral: E = {(v, v), (v, h), (h, v), (h, h)} siendo el primer elemento del par el hermano peque˜ no. Las probabilidades de los sucesos son 14 en todos los casos. Consideremos los sucesos: A

=

B

=

C

=

A∩B

=

{Los dos son varones} = {(v, v)} =⇒ P (A) =

1 4

3 4 2 1 {Hijo peque˜ no es varón} = {(v, v), (v, h)} =⇒ P (C) = = 4 2 1 A ∩ C = {(v, v)} =⇒ P (A ∩ B) = 4 {Un hijo es varón} = {(v, v), (v, h), (h, v)} =⇒ P (B) =

Aplicando la definici´ on de probabilidad condicionada: 1/4 P (A ∩ B) = = 31 P (B) 3/4 1/4 P (A ∩ C) = = 12 • P (A|C) = P (C) 2/4 • P (A|B) =

5.6.1.1

Sucesos independientes

5.23 Definici´ on Dos sucesos A y B son independientes si P (A|B) = P (A) ó P (B|A) = P (B). 2øBACHILLERATO

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ESTADÍSTICA

Probabilidad


Consecuencias Teniendo en cuenta (5.1) dos sucesos son independientes si P (A ∩ B) = P (A) · P (B) Ejercicios

1.

Demostrar que si los sucesos A y B son independientes entonces también lo son: (a) A y B c . (b) Ac y B. (c) Ac y B c .

2.

Si los sucesos A y B son incompatibles entonces son independientes si, al menos, uno de ellos tiene probabilidad nula.

5.6.2 5.6.2.1

Teorema de Bayes Teorema de la probabilidad total

5.24 Definici´ on Una familia de sucesos A1 , A2 , · · · , An del espacio E es un sistema completo de sucesos si verifican:

1.

La uni´ on de todos los sucesos es el espacio muestral: n [

Ai = E

i=1

2.

Son incompatibles dos a dos: Ai ∩ Aj = ∅ i 6= j

3.

Tiene probabilidad estrictamente positiva: P (Ai ) > 0

∀i = 1, · · · , n

A3 A2 A1

A9 A8 A4

A6 A5

A7

Teorema de la probabilidad total 5.2 Teorema Sea un espacio completo de sucesos entonces la probabilidad de un suceso B, que puede tener lugar simult´ aneamente con uno o m´ as de los sucesos Ai es igual: P (B) =

n X

P (B|Ai ) · P (Ai )

i=1

2øBACHILLERATO

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ESTADÍSTICA

Probabilidad


Demostraci´ on El suceso B = B ∩ E y los sucesos B ∩ Ai y B ∩ Aj son incompatibles siempre que i 6= j. En efecto: (B ∩ Ai ) ∩ (B ∩ Aj ) = (B ∩ (Ai ∩ Aj ))

P (B)

P (B ∩ E) = P (B ∩

= Ax.2

=

n X

P (B ∩ Ai )

!

n [

=

i=1

=

distr.

Ai ) = P

i=1

P rob.cond.

"

esp.comp.

n X

B∩∅=∅

!

n [

"

(B ∩ Ai )

i=1

=

P (B|Ai ) · P (Ai )

i=1

• Los sucesos Ai son las causas o condiciones. • Las P (Ai ) son las probabilidades a priori de las causas. • Las P (B|Ai ) es la probabilidad que se verifique el suceso B si ha ocurrido Ai . • Las P (Ai |B) son las probabilidades a posteriori de las causas una vez que se ha efectuado el suceso B 5.6.2.2

Teorema de Bayes

Con las mismas hip´ otesis del teorema de la probabilidad total. 5.3 Teorema Las probabilidades a posteriori de los sucesos Ak una vez efectuado el suceso B son iguales a: P (Ak |B) =

P (B|Ak ) · P (Ak ) n X P (B|Ai ) · P (Ai ) i=1

A2

A3

A1

A9 A8

A4

A6 A7

A5 Suceso B

Figura 5.1: Teorema de Bayes Demostraci´ on Es una consecuencia inmediata de la definici´ on de probabilidad condicionada y del teorema de la probabilidad total. pr.cond. P (Ak ∩ B) P r.tot. P (B|Ak ) · P (Ak ) P (Ak |B) = = n X P (B) P (B|Ai ) · P (Ai ) i=1

El teorema de Bayes se aplica cuando se quiere determinar en qué medida la realización del suceso B, confirma o rechaza, ciertas hip´ otesis.

2øBACHILLERATO

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ESTADÍSTICA

Probabilidad


Ejemplo Un psic´ ologo industrial conoce, por experiencias anteriores, que el 90 % de las personas que inician un determinado entrenamiento técnico terminan con éxito. La proporción de personas en entrenamiento y con experiencia previa es del 10 % de entre las personas que completaron con éxito su entrenamiento y del 25 % de entre aquellos que no terminaron con éxito el entrenamiento.

1.

Probabilidad de que una persona con experiencia anterior supere el entrenamiento con éxito.

2.

¿La experiencia previa influye en el éxito del entrenamiento?

Sean los sucesos: A: Una persona supera con éxito el entrenamiento. Ac : Una persona no supera con éxito el entrenamiento. B: Una persona posee experiencia previa. Las probabilidades de los sucesos son: P (A) = 0, 9

1.

P (Ac ) = 0, 1

P (B|A) = 0, 1

P (B|Ac ) = 0, 25

Es una probabilidad a posteriori, aplicando el teorema de Bayes: P (A|B) =

P (B|A) 0, 1 · 0, 9 0, 09 = = = 0, 78 P (B) 0, 1 · 0, 9 + 0, 25 · 0, 1 0, 115

Es decir un 78 %

2.

La P (A) > P (A|B) por lo tanto el tener experiencia previa no influye en el éxito del entrenamiento.

2øBACHILLERATO

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ESTADÍSTICA

Problemas de probabilidad

1.

Hallar el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios: (a) Lanzamos dos monedas al aire. (b) Lanzamos tres dados. (c) Extraemos tres bolas de una bolsa que contiene 3 bolas blancas y 2 negras. i. Con reposici´ on de la bola.

2.

ii. Sin reponer la bola extra´ıda.

Sea el espacio muestral E y dos sucesos A y B de E. Supongamos que P (A) = 1/4; P (B) = 2/5 y P (A ∩ B) = 3/10. Calcular: (a) P (A) + P (B) (b) P (A ∪ B) (c) P (A ∩ B c )

3.

Dadas P (A) = P (B) = P (C) = 1/3, P (A ∩ B) = P (A ∩ C) = P (B ∩ C) = 1/9 y P (A ∩ B ∩ C) = 1/27, calcular la probabilidad: (a) De efectuarse al menos uno de los tres sucesos. (b) De efectuarse uno y s´ olo uno, de los tres sucesos. (c) Si X = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) calcular P (X).

4.

En una ciudad se publican tres peri´ odicos de la ma˜ nana que resignaremos por A, B, C. Las probabilidades de leer los peri´ odicos son: P (A) = P (B) = 0.10, P (C) = 0.05, P (A ∩ B) = 0.02, P (A ∩ C) = 0.005 P (B ∩ C) = 0.003, P (A ∩ B ∩ C) = 0.0001 Determinar la probabilidad de no leer ning´ un periódico.

5.

Tenemos un dado cargado tal que la probabilidad de salir un n´ umero cuando se lanza es proporcional a dicho n´ umero. Sea A el suceso salir par, B el suceso salir n´ umero primo, C el suceso salir impar. Calcular: (a) Probabilidad de cada suceso elemental. (b) Probabilidad de los sucesos A, B y C. (c) Probabilidad de que: i. Salga un n´ umero par o primo. ii. Salga un n´ umero impar primo. iii. Suceda A pero no B. 58


Probabilidad

6.

La probabilidad de un alumno de aprobar las matemáticas de C.O.U. es 0,52, la de aprobar f´ısica es 0,43 y la de aprobar las dos asignaturas es 0,35. Calcular: (a) Probabilidad de aprobar alguna de las dos asignaturas. (b) Probabilidad de aprobar s´ olo las matemáticas. (c) Probabilidad de suspender las dos asignaturas.

7.

De los 10 alumnos de una clase tres tienen los ojos azules. Si se eligen al azar dos alumnos, hallar la probabilidad de: (a) Los dos tengan ojos azules. (b) Ninguno tenga ojos azules. (c) Al menos uno tenga los ojos azules.

8.

Diez alumnos: A, B, C, · · · est´ an en una clase , si se elige un comité de tres alumnos, al azar, hallar la probabilidad: (a) El alumno A pertenezca al comité. (b) Los alumnos A y B pertenezcan al comité. (c) Los alumnos A o B pertenezcan al comité.

9.

Una clase consta de 6 alumnas y 10 alumnos. Si se elige, al azar, tres de ellos, hallar la probabilidad: (a) Seleccionar tres alumnos. (b) Seleccionar exactamente dos alumnos. (c) Seleccionar, al menos, un alumno. (d) Seleccionar exactamente dos alumnas.

10.

De 120 estudiantes, 60 estudian francés, 50 estudian inglés y 20 cursan los dos idiomas. Si se elige un estudiante al azar, hallar la probabilidad de que el estudiante: (a) Estudie francés o inglés. (b) Estudie francés pero no inglés. (c) No estudie ninguno de los idiomas.

11.

Tres chicos y tres chicas se sientan en el cine en una misma fila de 6 asientos. Hallar la probabilidad: (a) Las tres chicas se sienten juntas. (b) Se sienten alternativamente.

12.

En un examen un alumno s´ olo se ha estudiado 15 temas de los 25 que contiene el cuestionario. El examen consiste en contestar dos temas, extra´ıdos al azar, del total de temas del cuestionario. Hallar la probabilidad: (a) El alumno sepa ,exactamente, uno de los temas. (b) El alumno sepa los dos temas. (c) El alumno sepa, al menos, uno de los temas.

13.

Con las letras de la palabra CATALA se forman todas las palabras posibles, con o sin significado, y se introducen en una bolsa. Se extrae una de ellas al azar: Hallar las siguientes probabilidades: (a) La palabra escogida presente las tres vocales juntas. (b) La palabra escogida presente las vocales y las consonantes alternadas. (c) Si la palabra elegida tiene las vocales y las consonantes alternadas, cual es la probabilidad que sea la palabra CATALA.

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Probabilidad

14.

Hallar la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: (a) Salir dos caras y una cruz en el lanzamiento de tres monedas. (b) Extraer un rey o un as al sacar una carta de una baraja de 40 cartas. (c) La suma de los dos dados en un lanzamiento sea nueve. (d) Dos ases en la extracci´ on de dos cartas de una baraja de 40 cartas.

15.

Se distribuyen tres bolas indistinguibles en dos urnas A y B. (a) Describir el espacio muestral asociado al experimento aleatorio. (b) Hallar la probabilidad que la urna A contenga exactamente 0, 1, 2 ó 3 bolas.

16.

Resolver el problema

15 si las bolas son distintas.

17.

Un alumnos prepara un examen estudiando 15 de los 25 temas de los cuales consta el temario. El examen se realiza por sorteo extrayendo dos temas y el alumno debe elegir uno y sólo uno de ellos. Hallar la probabilidad que el alumno pueda efectuar el examen.

18.

Un domin´ o normal consta de 28 fichas: cero-cero, cero-uno, cero-dos, . . ., seis-seis. Siete de estas fichas son dobles: cero-cero, uno-uno, . . ., seis-seis. Calcular la probabilidad de encontrar alg´ un doble al tomar cuatro fichas al azar del domin´ o.

19.

Cada pregunta de un examen tipo test tiene dos respuestas alternativas de las que sólo una es correcta. Un alumno contesta al azar un examen de este tipo que consta de tres preguntas, (a) Construir el espacio muestral a esta experiencia. (b) Calcular P (B), P (A ∩ B), P (C), P (A ∪ C), siendo los sucesos; A = El alumno contesta correctamente la primera pregunta B = El alumno contesta correctamente dos de las tres preguntas C = El alumno contesta correctamente las tres preguntas

20.

Una urna contiene tres bolas rojas, dos blancas y una azul, y otra urna contiene dos bolas rojas, dos blancas y una amarilla. Se extrae, al azar, una bola de cada urna y se anota el color: Hallar: (a) El espacio muestral asociado al experimento aleatorio. (b) Escribir a partir de los elementos del espacio muestral los siguientes sucesos: A = {Las dos bolas son rojas} B = {Las dos bolas son del mismo color} (c) Calcular P (A), P (B), P (A ∪ B) y P (A ∩ B)

21.

Se elige al azar uno de los primeros 50 n´ umeros naturales. (a) Hallar la probabilidad de que el n´ umero extra´ıdo sea cuadrado perfecto. (b) Sabiendo que el n´ umero extra´ıdo es m´ ultiplo de 3, ¿cu´ al es la probabilidad de que sea cuadrado perfecto?

22.

Tenemos dos urnas con la siguiente composición: Urna A: 4 bolas rojas y 6 blancas. Urna B: 7 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona al azar una urna, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. A continuaci´ on, se extrae una bola de la segunda. Hallar la probabilidad de que las dos bolas extra´ıdas sean del mismo color.

23.

Se ha comprobado que el 48 % de los alumnos de C.O.U. son aficionados a la m´ usica y a la pintura, y que 60 % de los aficionados a la pintura también son aficionados a la m´ usica. Si se elige al azar un alumno de C.O.U., ¿qué probabilidad hay de que no sea aficionado a la pintura?

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ESTADÍSTICA


Probabilidad

24.

En una caja tenemos 15 bolas blancas, 30 bolas negras y 45 bolas verdes. Si extraemos tres bolas simult´ aneamente, ¿cu´ al es la probabilidad de que salga una bola de cada color?

25.

De un grupo de 25 personas, se sabe que ocho fuman sólo cigarrillos rubios, seis fuman sólo negros y hay, adem´ as, cinco que fuman indistintamente ambos tipos de cigarrillos. Se pide: (a) ¿Cu´ al ser´ a la probabilidad de elegir a una persona de este grupo que no fume? (b) ¿Y que al menos uno de ellos fume rubio o negro?

26.

Tenemos cinco pares distintos de guantes. Mezclamos bien los diez guantes. Elegimos al azar dos de ellos. ¿Cu´ al es la probabilidad de que ambos formen pareja?

27.

La ruleta de un casino consta de 40 casillas, numeradas del 1 al 40. Los n´ umeros acabados en 1, 2, 3, 4 o´ 5 son rojos, y el resto negros. Puesta en marcha la ruleta, se consideran los sucesos siguientes: A =el resultado es un n´ umero de la primera decena B =el resultado es un n´ umero par C =el resultado es un n´ umero rojo Hallar: (a) La probabilidad P (C \ A). (b) La probabilidad de que el n´ umero sea de la primera decena, sabiendo que es rojo. (c) ¿Son independientes los sucesos A y B? ¿Y los sucesos A y C?

28.

Luis y Antonio se re´ unen con otras tres personas. Entre las cinco se reparten al azar cinco billetes de 100, 500, 1000, 2000, 5000 ptas. Hallar la probabilidad de que Luis y Antonio tengan billetes cuyos valores sea uno el doble que el otro.

29.

En 30 placas iguales figuran 30 n´ umeros de dos cifras desde el 11 hasta el 40. Las placas est´ an entremezcladas formando un paquete. ¿Cu´ al es la probabilidad de sacar una placa con un n´ umero m´ ultiplo de 3 o de 2? ´

30.

Se tiene una bolsa con 10 bolas rojas y 6 negras, de las que se extraen dos bolas. Hallar la probabilidad de que las dos bolas sean negras. (a) Con devoluci´ on.

(b) Sin devolución.

31.

En una loter´ıa los billetes est´ an numerados consecutivamente desde el 0000 al 9999. Calcular la probabilidad de que obtenga el primer premio alguno de los n´ umeros que sólo tengan tres cifras distintas, tales como: 0094, 0210, 3283, etc.

32.

Una baraja de 52 cartas se reparte entre 4 jugadores, ?qué probabilidad tiene un jugador de obtener 1, 2, 3, 4 y 5 ases.

33.

Utilizando las cifras 0, 1, 2, 3, 4 y 5 se marcan tantas bolas como sea posible con n´ umeros de tres cifras diferentes y que no empiecen por 0. Calcular la probabilidad de que al elegir una bola al azar su n´ umero sea inferior a 300.

34.

Una urna contiene 8 bolas rojas, 3 blancas y 9 azules, de igual diámetro e idéntico tacto. Se extraen sucesivamente tres bolas. Hallar las siguientes probabilidades : (a) La primera roja, la segunda blanca y la tercera azul. (b) Las tres de colores diferentes. Efectuar el ejercicio sin devoluci´ on de las bolas extra´ıdas y con devolución.

35.

A un congreso asisten 100 cient´ıficos. De ellos, 80 hablan inglés y 40 francés.. ¿Cuál es la probabilidad de que dos congresistas elegidos al azar necesiten intérprete?

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Probabilidad

36.

En cierta facultad el 25 % de los estudiantes suspenden Matemáticas, el 15 % la Qu´ımica y 10 % suspenden ambas. Se elige, al azar, un estudiante: (a) Si suspende qu´ımica, ¿cu´ al es la probabilidad de que también suspenda Matemáticas? (b) Si suspende Matem´ aticas, ¿cu´ al es la probabilidad de que apruebe Qu´ımica? (c) ¿Cu´ al es la probabilidad de que suspenda Matemáticas o Qu´ımica?

37.

Un tramposo juega con un matem´ atico. El juego consiste en extraer una carta de una baraja de 52 cartas y en acertar si es un As o no lo es. • El tramposo, que tiene marcadas las figuras y los ases, adopta la siguiente estrategia: si la carta no est´ a marcada, dir´ a que no es un As con la seguridad de que acierta. Si está marcada, dir´ a que es un As. • El matem´ atico se limitar´ a a decir siempre que no es un As. Calcular la probabilidad de acertar que tiene cada uno.

38.

El tramposo observa que pierde y cambia de táctica: si sale una carta marcada lanza una moneda dos veces y si salen dos caras dir´ a que es un As y en caso contrario, dirá que no lo es. El matem´ atico mantiene la misma estrategia. Estudiar las probabilidades de acertar de cada uno de ellos.

39.

En la Facultad de Barcelona el 25 % de los hombres y el 10 % de las mujeres son estudiantes de Matem´ aticas. Las mujeres constituyen el 60 % de los hombres. Si se selecciona un estudiante y resulta cursar Matem´ aticas, hallar la probabilidad de que sea mujer.

40.

En cierto pa´ıs, donde la enfermedad E es endémica, se sabe que el 12 % de la población padece dicha enfermedad. Se dispone de una prueba para detectarla, pero no es totalmente fiable, ya que da positiva en el 90 % de los casos de personas enfermas y también da positivo en el 5 % de las personas sanas. ¿Cu´ al es la probabilidad de que esté sana una persona a la que la prueba le ha dado positiva?

41.

Una caja contiene tres monedas, una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la tercera moneda est´ a cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es 1/3. Se selecciona una moneda al azar y se lanza. Hallar la probabilidad de que salga cara.

42.

Tenemos tres urnas con las siguientes composiciones: • La urna A contiene tres bolas rojas y cinco blancas. • La urna B contiene dos bolas rojas y una blanca. • La urna C contiene dos bolas rojas y tres blancas. Se selecciona al azar una urna y se extrae una bola. (a) Hallar la probabilidad de que la bola extra´ıda sea roja. (b) Si la bola extra´ıda ha resultado ser roja, hallar la probabilidad que proceda de la urna A.

43.

Una caja A contiene nueve cartas numeradas del 1 al 9 y una caja B contiene cinco cartas numeradas del 1 al 5. Elegimos una caja al azar y se extrae una carta. Si el n´ umero de la carta es par, hallar la probabilidad de que la carta proceda de la caja A.

44.

En un hospital ingresan enfermos con la afección A en un 12 %, con la afección B en un 8 %, y con las restantes enfermedades el 80 %. La probabilidad de curación total de la enfermedad A es 0, 8, la de enfermedad B es 0, 6 y la de las restantes enfermedades es 0, 9. ¿Cuál es la probabilidad de que un enfermo que haya sido dado de alta hubiera padecido la enfermedad A?

45.

Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 blancas. Se extrae una bola y se reemplaza por una del otro color. Se extrae una segunda bola, hallar la probabilidad de que la segunda bola sea roja.

46.

Tenemos dos urnas con las siguientes composiciones:

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Probabilidad

• La urna A contiene tres bolas rojas y dos blancas. • La urna B contiene dos bolas rojas y cinco blanca. Se selecciona al azar una urna , se extrae una bola y se coloca en la otra urna, después se extrae una bola de la segunda urna. Hallar la probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color.

47.

Una caja contiene tres monedas, dos de ellas corrientes y una de dos caras. Se selecciona al azar una moneda y se lanza dos veces. Si aparece ambas veces cara, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda sea la de dos caras?

48.

A y B juegan 12 partidas de ajedrez de las que A gana 6, B gana 4 y 2 terminan en tablas. Posteriormente determinan jugar un torneo a tres partidas. Calcular la probabilidad de que: (a) B gane, al menos, una partida. (b) Ganen cada uno una partida alternativamente.

49.

¿Cu´ al es la probabilidad de torpedear un barco si sólo se pueden lanzar tres torpedos y la probabilidad de hacer blanco con cada uno de ellos es 0.20?

50.

Se han lanzado unos dados y se han obtenido cuatro puntos. Obtener la probabilidad de haber jugado con cuatro dados.

51.

A un almacén llega la producci´ on de tres fábricas. La producción de la primera constituye el 20 %, la de la segunda el 46 % y la de la tercera el 34 %. Se sabe que el tanto por ciento de pieza defectuosa es del 3 %, 2 % y 1 % respectivamente. Hallar la probabilidad de que una pieza , tomada al azar, sea de la primera f´ abrica si ha resultado defectuosa.

52.

En un juego de dado hemos apostado por el ”2”. Se tira el dado y antes de ver lo que ha salido, nos dicen que ha salido par. Hallar la probabilidad de ganar.

53.

En una encuesta sobre el divorcio han sido consultadas 1000 personas , con los resultados siguientes: Por sexo

Por edad

Hombres

Mujeres

Menos de 25

de 25 a 50

más de 50

A fav.divorcio

198

243

200

180

61

En cont.divorcio

125

126

50

111

90

Seg´ un circunst.

147

161

100

159

49

(a) Elegimos al azar una de las personas consultadas: i. ¿ Cu´ al es la probabilidad de que esté a favor del divorcio? ii. ¿ Cu´ al es la probabilidad de que tenga menos de 25 a˜ nos? iii. Si est´ a a favor del divorcio, ¿ cuál es la probabilidad de que sea mujer? (b) Elegimos al azar dos personas: i. ¿ Cu´ al es la probabilidad de que sean de distinto sexo? ii. ¿ Cu´ al es la probabilidad que las dos tengan menos de 50 a˜ nos? iii. Si las dos est´ an a favor del divorcio, ¿ cuál es la probabilidad que sean, precisamente, dos mujeres?

54.

Una urna se ha llenado tirando una moneda dos veces e introduciendo una bola blanca por cada cara y una bola negra por cada cruz. Se extrae una bola, que es blanca. Hallar la probabilidad de qué la otra bola también lo sea.

55.

Un jugador tira un dado, le sale 6 y gana. Hallar la probabilidad de que haya hecho trampa. (Suponer que el 50 % de los jugadores son unos tramposos).

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ESTADÍSTICA


Probabilidad

56.

Un problema fue propuesto a tres alumnos, A, B y C, resolviéndolo correctamente dos de ellos. Se sabe que las probabilidades de resolver correctamente un problema del mismo tipo que el propuesto es: 0, 4 para A, 0, 6 para B y 0, 2 para C. (a) Hallar la probabilidad que el alumno A haya resuelto el problema. (b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que el alumno C haya sido el que no ha resuelto el problema?

57.

En un sistema de alarma la probabilidad de que se produzca peligro es 0.1. Si éste se produce, la probabilidad de que la alarma funcione es del 0.95. La probabilidad de que funcione la alarma sin haber peligro es 0.03. Hallar: (a) Probabilidad de que habiendo funcionado la alarma, no exista peligro. (b) Probabilidad de que exista peligro y la alarma no funcione. (c) Probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma , exista peligro.

58.

En una Universidad en que s´ olo hay estudiantes de Arquitectura, Ciencias y Letras, terminan la carrera el 5 % de Arquitectura, el 10 % de Ciencias y el 20 % de Letras. Se sabe que el 20 % estudian Arquitectura, el 30 % Ciencias y 50 % Letras. Elegimos al azar un estudiante: (a) Probabilidad que sea de Arquitectura y haya terminado la carrera. (b) Si nos dice que ha terminado la carrera, probabilidad que sea de Arquitectura.

59.

En una bolsa hay 5 bolas, sacamos 3 y las tres son blancas. ¿Cu´ al es la probabilidad de que las 5 sean blancas?

60.

Una baraja espa˜ nola de 48 cartas se ha dividido en dos partes: pares e impares. Lanzamos un dado y extraemos una carta del grupo de las pares ó de las impares, seg´ un que salga 6 ó no. Si resulta ser una figura, hallar la probabilidad de que sea un caballo (11).

61.

En una ciudad de 100.000 habitantes se sabe que de sus habitantes: • El 67 % son aficionados al Bar¸ca. • El 23 % son propietarios de coche. • EL 41 % son fumadores. • El 72 % de los que tienen coche son del Bar¸ca. • El 27 % de los fumadores tienen coche. • El 37 % de los partidarios del Bar¸ca, fuman. • El 70 % de los fumadores que tienen coche son del Bar¸ca. Calcular cu´ antos habitantes ni son del Bar¸ca ni tienen coche ni fuman.

62.

Disponemos de dos monedas, una correcta y otra de dos caras, y una urna con 10 bolas, 4 blancas y 6 negras. Extraemos, simult´ aneamente dos bolas de la urna, si son del mismo color elegimos la moneda correcta y en caso contrario la moneda trucada y la lanzamos al aire. Hallar la probabilidad: (a) Que las dos bolas sean del mismo color. (b) Obtener cara en el lanzamiento de la moneda. (c) Si el resultado del lanzamiento de la moneda ha sido cruz, hallar la probabilidad de que las dos bolas elegidas sean de distinto color.

63.

Para detectar la presencia de una cierta enfermedad en un individuo perteneciente a una poblaci´ on determinada se emplea un an´ alisis tal que la probabilidad de que de positivo si el individuo analizado tiene realmente la enfermedad es 0.96. Se sabe que el 2 % de los individuos de dicha poblaci´ on padecen la enfermedad. Por otro lado se ha llegado a establecer que realizando el análisis sobre los individuos de la poblaci´ on dar´ıa positivo el 2.5 % de los casos.

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ESTADÍSTICA

5.1.1 Fen´omenos determin´ısticos y aleatorios

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