CATATAN KULIAH
Pertemuan IX: Optimasi Pertumbuhan dan Aplikasinya
A. Fungsi Eksponensial • Bentuk Fungsi Eksponesial: y = f(x) = bx di mana basis b > 1, x adalah eksponen, f(x)∈ ℜ Note: Istilah eksponen (x) berarti pangkat terhadap sebuah basis bilangan (b). Batasan Nilai b: • b ≠ 1 dan b ≠ 0, karena f(x) = 1x = 1; f(x) = 0x = 0, Æ konstan • 0 < b < 1 dikecualikan, karena dapat dinyatakan dalam eksponen negatif • b<0 dikecualikan, karena berakibat banyak nilai f(x) dengan x adalah bilangan real menjadi bilangan imajiner, contohnya (-b)½ • Basis yang populer adalah: e dan 10 • Secara umum fungsi eksponensial dirumuskan dalam bentuk: y = variabe tak bebas b = basis t = variabel bebas a = faktor skala vertikal / aktor ‘penekan’ c = faktor skala horisontal / faktor ‘pemerluas’
y = ab ct Grafiknya:
•
e adalah basis yang disukai (preferred base) (e) = 2.71828…, merupakan bilangan irasional, yang mempunyai karakteristik sbb:
Derivatif dari y = b x b x + ∆x − b x b x b ∆x − b x f ( x) = lim = lim ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x ∆x b −1 = b x lim = b x (?) ∆x →0 ∆x di x = 0, apa basis b yang mempunyai kemiringan f / ( 0 ) = 1 ketika ∆x → 0 /
Jawabnya : b ∆x − 1 = ln b ∆x →0 ∆x Perhatikan tabel basis b, mana yang menghasilkan f / (0) = b 0 lim
f / ( 0 ) = 1 ketika ∆x → 0 ?
Jadi bilangan tersebut adalah (e) = 2.71828…
e ∆x − 1 sehingga : lim =1 ∆x →0 ∆x e ∆x − 1 / x = e x( 1 ) = e x f (x) = e lim ∆x →0 ∆x
Grafik for f(x)=ex
f(x) = e x dimana b = e domain dari x :
(-∞, ∞)
jangkauan dari y :
(0 , ∞ )
perpotongan sb - y :
1
perpotongan sb - x : tidak ada asimptot horisontal : y = 0 ketika x → -∞ Pada (0,1), nilai dari f / ( 0 ) = 1
•
Karakteristik fungsi eksponensial natural: Derivatif dari y = e t adalah :
( )
dy d t d e t d (t ) = e = = e t (1) = e t = y dt dt d (t ) dt
( )
d2y d ⎛ d t ⎞ d t = ⎜ e ⎟ = e = et 2 dt ⎝ dt ⎠ dt dt Sedang derivatif dari V = Ae rt (fungsi eksponen natural secara umum)
(
)
dV dAe rt d Ae rt d (rt ) = = = r Ae rt = rV dt dt d (rt ) dt
(
)
B. Fungsi Eksponensial Natural dan Masalah Pertumbuhan •
Bilangan e mempunyai hubungan dengan fungsi f(x)=(1+1/m)m
1⎞ ⎛ Basis e ≡ lim ⎜1 + ⎟ m →∞ ⎝ m⎠
m
•
Untuk mencari bilangan e dapat digunakan aproksimasi dengan deret maclaurin: Deret maclaurin dari e x ketika x 0 = 0 : f(x) = f(x0 ) + f '(x 0 )(x − x0 ) + f "(x0 )/ 2! (x − x 0 ) 2 + …+ f
(x0 )/n! (x − x0 ) n + R
(n)
diketahui : e x = f(x) = f / (x) = f // (x)… , maka : e x0 2 e x0 n (x) + R (x) + … + n! 2! = e0 = 1
f(x) = e x0 + e x0 (x) + karena x 0 = 0 → e x0
1 1 e x = 1 + x + (x)2 + (x)3 + … + R 2 6 pada x = 1 deret Maclaurin konvergen ke bilangan e e = 1+1+
•
1 1 1 + + + … = 2.71828 … 2 6 24
Bunga majemuk dan Fungsi Aert Rumus bunga majemuk :
r⎞ ⎛ V ( m) ≡ A⎜1 + ⎟ ⎝ m⎠
mt
Dengan A=investasi awal, r=suku bunga nominal, m=jumlah pemajemukan dalam 1 tahun, dan t=jumlah tahun Denga memanipulasi rumus bunga majemuk di atas sbb: m/r ⎡⎛ r⎞ ⎤ V (m) ≡ A⎢⎜1 + ⎟ ⎥ ⎢⎣⎝ m ⎠ ⎥⎦ w ⎡⎛ 1⎞ ⎤ = A⎢⎜1 + ⎟ ⎥ ⎣⎢⎝ w ⎠ ⎦⎥
rt
rt
w≡
m r
m
1⎞ ⎛ Diketahui bahwa lim ⎜1 + ⎟ = e maka proses pemajemukan m →∞ ⎝ m⎠ kontinu adalah: rt
V (m) = Lim m →∞
m/r ⎡⎛ r⎞ ⎤ A⎢⎜1 + ⎟ ⎥ = Ae rt ⎢⎣⎝ m ⎠ ⎥⎦
Jadi intrepretasi dari y = Aert : adalah nilai dari sebuah investasi $A pada suku bunga nominal r, dan dimajemukkan secara kontinu dalam t kali atas periode investasi (# hari, bulan, atau tahun) (pertumbuhan dalam investasi)
•
Laju Pertumbuhan Sesaat
Misal V adalah nilai di masa depan dari investasi awal (A) atas waktu (t) pada suku bunga (r) yang dimajemukkan secara kontinu, maka didapat : V = Ae rt dV = rAe rt = rV dt dV / dt r= V dV / dt V = r
•
Future value (V) Tingkat Perubahan V (dV dt ) Laju Pertumbuhan (r) Hubungan V dengan (dV dt )
Pertumbuhan Kontinu vs. Pertumbuhan Diskrit Misal proses pemajemukan bunga diskrit sbb: A, A(1+i), A(1+i)2, A(1+i)3 … Dengan A=investasi awal, i=suku bunga. Misalkan b=(1+i), maka secara umum dapat diringkas menjadi A(b)t, dengan t=jumlah periode. Selanjutnya dapat dicari bilangan r sehingga didapat: (1+i)=b=er Sehingga kita dapat mengubah bentuk diskrit dalam bentuk kontinu dengan fungsi eksponen natural : A(1+i)t = A(b)t = A(e)rt Akibatnya kasus diskrit dapat dianalisis melalui kasus kontinu. Ini menjelaskan mengapa fungsi eksponensial natural digunakan secara luas dalam analisis ekonomi
•
Pendiskontoan dan Pertumbuhan Negatif Nilai masa depan (future) : V=f(pemajemukan dari nilai sekarang (present) A)
V = Ae rt
Nilai Sekarang (present) A= f(pendiskontoan nilai masa depan (future) V)
A = Ve − rt Di sini e rt disebut faktor diskonto (discount factor) dan –r disebut faktor penuaan (rate of decay) C. Logaritma
•
Arti Logaritma
Y=bt ⇔ t=Logb(Y)
Contoh:
Log 10 1000 = 3 Log 10 10 = 1 Log 10 1 = 0 Log 10 0.1 = −1 Log 10 0.01 = −2 Log 10 0.001 = −3
•
•
Log Biasa dan Log Natural Eksponen biasa : Y = b t
⇔
Log biasa :
t = log b Y
t Eksponen natural : Y = e
⇔
Log biasa :
t = log e Y = ln Y
Aturan-aturan logaritma o Hasil kali : ln (uv ) = ln u + ln v o Hasil Bagi :
ln(u / v ) = lnu − lnv
o Pangkat :
ln u a = a ln(u )
o Pembalikan Basis (Base inversion) :
log b e =
1 1 = log e b ln b
o Konversi Basis (Base conversion) : log b u = (log b e )(log e u ) =
ln(u ) ln(b)
D. Fungsi Logaritma
Y = et • •
•
⇔
t = log e Y = ln Y
Karakteristik fungsi logaritma: Monoton Naik Jika ln y1 = ln y2, maka y1 = y2 dan Jika ln y1 > ln y2, maka y1 > y2 Bentuk Grafik : Note : y=et (biru), y=2t (merah-atas), y=ln(t) (merah), sudut 450 (hijau)
Konversi Basis Misal er = bc maka ln er = ln bc r = ln bc = c ln b sehingga: er = ec ln b
•
dan y = Abct = Ae(c ln b)t =Aert
Contoh: Carilah pemajemukan kontinu dengan suku bunga nominal per tahun r yang ekuivalen dengan pemajemukan diskrit dengan suku bunga i=5% pertahun [dimajemukkan per setengah tahun (semiannually)] i y = ab ct = ae rt dimana a = 1, i = .05, c = 2, t = 1, b = 1 + = 1.025 c
misal e r = b c r ln e = c ln b r = c ln b = 2 ln 1.025 ≈ 4.94% y = e c ln b (t ) = e 2 ln 1.025(1) = 1.050625 •
Aplikasi Kegunaan utama dari transformasi logaritma dalam riset ekonomi adalah ketika mengestimasi fungsi produksi atau perkalian fungsi nonlinear lainnya. Transformasi fungsi produksi ke dalam fungsi logaritma membuatnya dapat diestimasi dengan metode regresi linier. Misal Q = banyak output, L = pegawai (labor) dan K= capital (capital inputs): Fungsi Produksi Q = ALα K β Diambil transformasi logaritmanya menjadi: lnQ = ln A + α ln L + β ln K
Di sini nilai α dan β diestimasi dengan regresi linier. E. Derivatif Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritma
•
Aturan fungsi Log Derivatif dari fungsi log dengan basis e d ln t 1 Biasa: = dt t Umum:
•
d ln f (t ) f ′(t ) = dt f (t )
Aturan fungsi Eksponensial Derivatif dari fungsi eksponensial dengan basis e Biasa: dy de t = = et dt dt Umum:
dy de t = = et dt dt
•
Kasus untuk Basis b Derivatif dari fungsi transenden dalam basis b Fungsi eksponensial: db t = b t ln b dt Fungsi Logaritma: d log b t 1 = dt t ln b Derivatif dari fungsi transenden dalam basis e Fungsi eksponensial: de t = et dt Fungsi Logaritma: d log e t d ln t 1 = = dt dt t
•
Derivatif yang lebih tinggi Derivatif dari fungsi transenden dalam basis e Eksponensial: de t = et dt d 2e t = et dt 2 d 3e t = et 3 dt d 4e t = et dt 4
•
Logartma: d log e t d (ln t ) 1 = = dt dt t 2 −1 −1 d log e t d t = = 2 2 dt dt t −2 3 d log e t d − t 2 = = 3 3 dt dt t 4 −3 −6 d log e t d 2t = = 4 4 dt dt t
( )
(
)
( )
Aplikasi Carilah diferensial total dari Fungsi Produksi Q dengan transformasi Logaritma: Q = AK α Lβ lnQ = ln A + α ln K + β ln L
d (ln Q ) = d (ln A) + αd (ln K ) + β d (ln L ) dQ 1 α β = dA + dK + dL Q A K L
α β ⎞ ⎛1 dQ = Q⎜ dA + dK + dL ⎟ K L ⎠ ⎝A
D. Optimasi Ketepatan Waktu (Timing) • Masalah Penyimpanan Anggur Nilai sekarang (Present value): A(t) =Ve-rt dan Pertumbuhan nilai (V) sebagai fungsi waktu:
V = ke
t
Maka nilai sekarang dari V dapat dinyatakan sebagai: A(t ) = ke t e − rt = ke t Transformasi Logaritmanya:
ln A(t ) = ln k + lne t
( = ln k + (t
½
½
− rt
− rt
) − rt )
= ln k + t ½ − rt lne ½
Dengan mendiferensiasi ke dua sisi didapat: 1 dA 1 1 − 2 = t −r dt A 2
⎛ 1 − 12 ⎞ dA = A⎜⎜ t − r ⎟⎟ dt ⎝2 ⎠ Karena A≠0, kondisi dA/dt=0 ⎛ 1 −1 ⎞ dA = A⎜⎜ t 2 − r ⎟⎟ = 0 dt ⎝2 ⎠ 1
dA 1 − 2 = t −r =0 dt 2
Dapat dipenuhi jika dan hanya jika : 1 1 −2 t =r 2 2
⎛ 1 ⎞ t* = ⎜ ⎟ ⎝ 2r ⎠ t* adalah waktu penyimpanan yang optimum •
Masalah penebangan kayu Misal nilai kayu (yang telah ditanam pada suatu lahan) merupakan fungsi waktu:
V=2
t
= 2t
12
Kemudian V diubah menjadi nilai sekarangnya: A(t ) = Ve − rt Didapat: 12 A(t ) = 2t e − rt Transformasi Logaritmanya: 12 ln A(t ) = ln(2) t + ln(e) − rt = t 1 2 ln(2) − rt Dengan mendiferensiasi ke dua sisi didapat: d ln A(t ) 1 dA 1 −1 2 = = t ln 2 − r dt A dt 2 Karena A≠0, kondisi dA/dt=0 dA 1 ⎛1 ⎞ = A⎜ t −1 2 ln 2 − r ⎟ = 0 = t −1 2 ln 2 − r dt 2 ⎝2 ⎠ Dapat dipenuhi jika dan hanya jika : 2 1 −1 2 2r ⎛ ln 2 ⎞ −1 2 r = t ln 2 t t* = ⎜ = ⎟ 2 ln 2 ⎝ 2r ⎠ t* adalah waktu penebangan yang optimum
Latihan : 1. Jika nilai anggur berkembang sesuai dengan fungsi V = Ke 2 t , berapa lama pembuat anggur akan menyimpan anggurnya?
