UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS CENTRO UNIVERSITARIO DE VILLA NUEVA CURSO MATEMÁTICAS APLICADA I 2015 Lic. Manuel de Jesús Campos Boc
QUINTA UNIDAD
ALGEBRA Conceptos Básicos -La expresión algebraica: es una combinación de números de reales y símbolos (letras), que los representan y que envuelven únicamente todas o algunas de las operaciones de: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación o radicación. Ejemplos:
2x3y + 1
√ (
√
)
√
Los números representan valores constantes y las letras (o los símbolos) representan valores variables. -Término algebraico: se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. Por ejemplo:
5 a
,
6 y x
,
4a 3x 1
-Componentes de un término algebraico: en todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado o exponente.
-Signo: los términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto los términos que van precedidos del signo – se llaman términos negativos. Pero, el signo + se acostumbra omitir delante de los términos positivos; así pues, cuando un término no va precedido de ningún signo se sobreentiende de que es positivo.
-Coeficiente: se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad.
-Parte literal: la parte literal está formada por las letras que haya en el término.
-Grado o exponente: el grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así, por ejemplo: Los términos:
x3y2z
es de tercer grado
ax
es segundo grado
y
es primer grado 2
-Clases de términos -Por sus características -Término entero: es el término que no tiene denominador literal. Por ejemplo:
-4
1 y x 2
,
,
ab 2
-Término fraccionario: es el término que si tiene denominador literal. Por ejemplo:
ab a
2x y
,
-7 a b
,
-Término racional: es el término que no tiene radical. Por ejemplo:
ab a
-3 a
,
ab 2
,
-Término irracional: es el término que si tiene radical. Por ejemplo:
x +
7a 8
y
,
-Por su grado absoluto
-Términos homogéneos: es un conjunto de términos algebraicos con igual valor absoluto. Por ejemplo:
√
Los términos tiene cuarto grado de valor absoluto.
3
-Términos heterogéneos: es un conjunto de términos algebraicos con diferente valor absoluto. Por ejemplo:
√
Tiene octavo grado absoluto.
Tiene quinto grado absoluto.
Tiene cuarto grado absoluto.
-Términos semejantes: son los términos que tienen la misma parte literal, o dicho de otra forma aquellos que tienen las mismas letras y los mismos exponentes Por ejemplo:
y
y
y
-Supresión de Signos de Agrupación En ocasiones es necesario eliminar paréntesis antes de combinar términos semejantes. Por ejemplo, para combinar términos semejantes en:
+ ( a - b ) = a - b + ( a + b ) = a + b Tenemos que suprimir los paréntesis primero. Si hay un signo más (o ningún signo) enfrente de los paréntesis, podemos simplemente eliminar; esto es,
( 3x + 5) + ( 2x - 2) = 3 x + 5 + 2 x - 2 = ( 3 x + 2 x ) + ( 5 - 2) = 5 x + 3 4
La eliminación de paréntesis precedidos por un signo menos se hará de la manera siguiente. Por ejemplo:
8x - 2( x - 1) - ( x - 3) = 8 x - 2 x + 2 - ( x + 3 ) = 8 x - 2 x + 2 - x - 3 = ( 8 x - 2 x - x ) + ( = 5 x - 1
2 - 3)
En ocasiones los paréntesis se presentan dentro de otros paréntesis. Para evitar confusión, utilizamos diferentes símbolos de agrupación. De este modo, por lo general: no escribimos,
( ( x + 5) + 3)
sino:
( x + 5) + 3
Para combinar términos semejantes en tales expresiones, los símbolos de agrupación más internos se eliminan primero.
(
x² - 1 ) + ( 2 x + 5 ) + (
x - 2 ) - ( 3 x² + 3 ) = x² - 1 + 2 x + 5 + - 3 x²+ x - 2 - 3 = x² + 2 x + 4 + - 3 x² + x - 5 = x² + 2 x + 4 - 3 x² + x - 5 = - 2 x² + 3 x - 1
Como efecto de la propiedad distributiva tenemos, que: La propiedad distributiva también puede extenderse a más de dos números dentro de los paréntesis. Por tanto
.
Además 5
-Reducción de términos semejantes Es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes. En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir los tres casos siguientes: 1.- Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo: Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen todos seguida de la parte literal. Por ejemplo:
a.-
3 a + 2 a =
5
a
b.-
- 2 a - 9 a =
-
10
a
1 x² y + 1 x² y 2 4
+
1 8
x²
y
=
1 + 1 + 1 = 32 2 4 8
+
16 64
+
8
= 56 = 28 = 14 = 7 64 32 16 8
=
-
1
x
y
=
- 1
-
2
=
-
1
c.-
d.-
- 1 x y - 2 x 3 3
y
- 1 - 2 = 3 3
7 x² y 8
-
x
y
3
2) Reducción de dos términos semejantes de distinto signo: Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor seguida de la parte literal. Por ejemplo:
a.-
2 a -
3 a =
x
- a
x
x
b.-
- 8 a + 13 a =
c.-
- 3 a² b + 7
a² b
=
4 7
a² b
- 3 + 1 = 7 1
- 3 + 7
7
=
4 7
x+1
d.-
- 5 a 6
-
10 a
x+1
+ 3 a = 4
- 5 + 3 = 6 4
x+1
-
1 12
- 20 + 18 = 24
- 2 = 24
-
1 12
6
3) Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos: se reducen a un solo término todos lo positivos, se reducen a un solo término todos los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla del caso anterior. Por ejemplo: a.-
5a
-
5a
+
27 b.- -
-
8a a
8a a
+
+
a
-
6a
21 a
=
27 a
- 6 a - 14 a
=
+
21 a =
- 14 a
= 13 a
2 bx² + 5
1 bx² + 5
1 bx² + 5
3 bx² + bx² = 4
1 5
+
3 4
+
2 bx² 5
4 bx² =
-
4 1
=
-
39 bx² 20
22 bx² = 39 5 20
-
3 bx² 4
-
2 5
4
22 = 5
bx² + bx² 1 = 1
4+
15 + 20
2 - 20 = 5
195 - 440 = - 245 = 100 100
20 = 39 bx² 20
22 bx² 5 - 49 bx² 20
49 bx² 20
Clasificación de las Expresiones Algebraicas -Monomio: es una expresión algebraica que consta de un solo término. Por ejemplo:
◊
7 xy
◊ -
8b
◊ x² y 4n³
-Binomio: es un polinomio que consta de dos términos. Por ejemplo:
◊
5 x² y +
2 x² y³
◊
x
-
y
◊
a² 3
- 5mx³ 6b²
-Trinomio: es un polinomio que consta de tres términos. Por ejemplo:
◊ a + b + c ◊ y³ - 6y -
8 ◊ 4 x² - 7y³ + b² 3 7
-Cuatrinomio: es un polinomio que consta de cuatro términos .Por ejemplo:
◊ m² +
6m -
m³ +
m4
◊ a³ 2
-
a³ 3
+ a² 2
- a
-Operaciones con expresiones algebraicas El orden para realizar las operaciones, siempre que no existan signos de agrupación es el siguiente: 1.-
Potencia y raíces
2.-
Multiplicación y división
3.-
Sumas y restas
Cualquier cambio en este orden debe ser indicado por signos de agrupación. -Suma: es el resultado de poner unas a continuación de las otras con sus propios signos, seguidamente si hay términos semejantes se reducen a uno solo, para lo cual basta con sumar los coeficientes numéricos y copiar la parte literal. Por ejemplo:
( 3 x³ y + 2 x² - 2 xy ) + ( 2 xy² + x³y + xy ) ( 3 x³ y + 2 x² - 2 xy ) + ( 2 xy² + x³y + xy ) 3 x³ y + x³y = 2 x²
4 x³y
= 2 x²
- 2 xy + xy = - xy 2 xy² R:
=
2 xy²
4 x³y + 2 x² - xy + 2 xy²
8
(
3 x²y + 5
1 xy² 2
3 y³
)
+
(
y³
-
xy
-
7 x²y -
2 xy² ) 3
(
3 x²y + 5
1 xy² 2
3 y³
)
+
(
y³
-
xy
-
7 x²y -
2 xy² ) 3
3 x²y 5
7 x²y =
3 5
-
7 1
=
3
- 35 = 5
- 32 x²y 5
2 xy² = 3
1 2
-
2 3
=
3
=
2 y³
-
xy
+
1 xy² 2
-
3 y³ + y³ =
-
2 y³
-
xy
=
-
xy
- 32 x²y 5
1 xy² 6
R:
(
6
4
-
1 xy² 6
- 7x + x² - 3 ) + ( 6x² - 8 + 2x ) + ( 3x - x² + 5 ) = + x² + 6x² - x² = 6x² - 7x + 2x + 3x = - 2x - 3 - 8 + 5 = - 6 R: 6x² - 2x - 6
-Resta: para restar expresiones algebraicas es el resultado de colocar el minuendo y a continuación el sustraendo cambiando de signo. Luego se reducen los términos. Por ejemplo:
9
a.- ( 6ab 6ab -
3b + 4a )
-
( 7b - 2a - 5ab )
3b + 4a - 7b + 2a + 5ab
R: 6a + 11ab - 10b b.-
(
3ab³ 5y
3ab³ 5y
ab y²
ab y²
4
-
- 9ab + 2ab³ - 2b + 1 y 5 y² y³
4
)
-
(
9ab - 2ab³ + 2b y y² y³
1 5
)
3ab³ + 2ab³ = 3 + 2 = 3 + 10 = 13 ab³ 5 5y y 5 1 5 -
ab y²
-
2b y³
-4
-
13 ab³ 5 c.- (
- 9ab = -1 1 y²
9 = -1 - 9 = -10 = -10 ab 1 y² 1 1
1 5
= -4 1
-
10 ab - 2b - 19 y² 5 y³
3 a²xy -
3 a²xy -
1 = -20 - 1 = -19 5 5 5
2 ax²y )
-
(
- 18 ax²y + axy - 10 a²xy )
2 ax²y + 18 ax²y - axy + 10 a²xy
3 a²xy + 10 a²xy = 13 a²xy -
2 ax²y + 18 ax²y = 16 ax²y
- axy R: 13 a²xy + 16 ax²y - axy
10
-Multiplicación: es una operación algebraica que tiene por objeto hallar una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, tanto el multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del producto. -Leyes de exponentes: los exponentes se han utilizado para indicar el número de veces que se repite un factor en un producto. Por ejemplo.
La notación exponencial proporciona un modo sencillo para multiplicar expresiones que contienen potencias de la misma base.
1. Primera ley de los exponentes: Los exponentes se suman para multiplicar dos potencias de la misma base.
an . am = an+m
x5 . x 3 = x
5+3
= x8
y2 . y4 . y6 = y2+4+6 = y12 2. Segunda ley de los exponentes: Los exponentes se multiplican para elevar una potencia a otra potencia.
(a . b)n = an . bn
(x . y)2 = x2 . y2
3. Tercera ley de los exponentes: Mediante las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación es posible escribir una potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada uno de los factores.
(an)
m
= an m (x2)
3
=x
2 (3)
= x6
Regla de los Signos, siguiente: + + -
× × × ×
+ + -
= = = =
+ +
11
En la multiplicación siguientes: a) b) c)
algebraica
pueden
considerarse
los
tres
casos
Multiplicación de monomios. Multiplicación de un polinomio por un monomio Multiplicación de polinomios
a) Multiplicación de monomios: para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se escriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores. El signo del producto será el que le corresponda al aplicar la regla de los signos. Por ejemplo: 3
a.-
(
3
x
4
)
(
5
2
x 2
3+4
)
=
3
(
5
2
)
x
7
= 15 x 1+2
2+2
b.- ( -8 a b ) ( 3 a b c ) = ( -8 . 3 ) a b 3
c
=
)
=
4
- 24 a b c 3
c.- (
-
4 x
)
(
2
5 x y
2
)
(
1+3+2
(
-
4 3
.
5
.
-
2
)
x
-
2 x y
2+1
6
3
y = 40 x y
2 2 2
2
d.- ( - 2 a b c ) ( - 4 a b c ) ( 5 a b c ) ( - 6 a b ) = 3+2+1+1 1+2+1+2 1+2+1
7 6 4
( - 2 . - 4 . 5 . - 6 ) a b c = - 240 a b c 12
b) Multiplicación de un polinomio por un monomio: para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman todos los productos parciales así obtenidos. Por ejemplo:
3
2
a.- ( 3 a + 5 a - 4 ) ( 3 a ) = 3
2
( 3 a . 3 a ) + ( 5 a . 3 a ) - ( 4 . 3 a ) = 4
3
9 a + 15 a - 12 a 3
2
2
3
b.- ( x - 3 x y + 3 x y - y ) ( 2 x y ) = 3
2
2
3
( x . 2 xy ) - ( 3 x y . 2 xy ) + ( 3 x y . 2 xy ) - ( y . 2 xy ) 4
3 2
2 3
4
2 x y - 6 x y + 6 x y - 2 x y 3
c.-
(
2
2
3
4
2a b 3
1a b + 4
5a b 6
4
3
2
4
5
5
2b 5
2
) (
6
-
1a b 2
7
- 2 a b + 1 a b - 5 a b + 2 a b 6 8 12 10 13
c) Multiplicación de polinomios: para multiplicar un polinomio por otro se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la regla de los signos, y a continuación se efectúa la suma algebraica de todos los productos parciales así obtenidos. Por ejemplo: 3
2
2
3
2
2
a.- ( 2 a - 3 a b + 4 a b - 2 b ) ( 3 a + 3
2
2
4 ab - 5 b ) =
3
2 a - 3 a b + 4 a b - 2 b 2
2
3 a 5
+ 4 a b - 5 b 4
6 a -
3
9a b +
2
2
12 a b -
4
3
3
6a b
2
2
3
4
8 a b - 12 a b + 16 a b - 8 a b 3
2
2
3
4
5
- 10 a b + 15 a b - 20 a b + 10 b 5
4
6 a -
3
2
2
4
5
a b - 10 a b + 25 a b - 28 a b + 10 b 2
b.- (
3
2
3 x + 2 x
-
1
)
(
4 x
2
-
2 x + 2
)
(
-
8
-
8
2
x
-
3 x + 4
)
2
3 x + 2 x
-
1
2
4 x
-
2 x + 2
4
3
12 x + 8 x
2
-
4 x
-
4 x + 2 x
3
-
6 x
2
2
6 x + 4 x 4
3
12 x + 2 x 4
-
2 x + 6 x
-
2 x + 6 x
3
12 x + 2 x
-
2
-
2
-
2
2
2
2
2 x 6
5
24 x + 4 x
5
- 36 x
-
3 x + 4
4
4 x + 12 x 4
-
3
3
6 x + 6 x 4
24 x
5
4
- 32 x + 38 x + 26 x
4 x 2
- 18 x + 6 x 3
48 x + 8 x 6
2
2
3
8 x + 24 x 2
- 30 x + 30 x
14
-Reglas o Postulados de la División:
1.- Por si el exponente mayor está en el numerador, es decir si n es menor que m entonces: m
(
< m
n
)
=
a
5
=
a
n
3
a 5
.5-3
a
=
a
2
= a. a. a. a. a. = a. a. = a. a. a.
a
a
2
=
a
3
a 1.- Por si el exponente mayor está en el denominador, es decir si n es mayor que m entonces: m
(
> m
n
)
=
b
4
=
b
n
7
b
b
b
3
= 7
= b. b. b. b. = 1 = b. b. b. b. b. b. b. b. b. b.
b
4
b
-3
1
=
1
.7-4
b
=
b
3
b
Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen. (+) ÷ (+) = + (–) ÷ (–) = + (+) ÷ (–) = – (–) ÷ (+) = –
15
3
2
2
3
a.- ( 3 x - 5 x y - 8 x y - 2 y ) ( 3 x + y ) 2
2
x - 2x y - 2 y 3
2
2
3
3 x + y 3 x - 5 x y - 8 x y - 2 y 3
2
- 3 x -
x y 2
0
2
3
- 6 x y - 8 x y - 2 y 2
2
+ 6 x y + 2 x y 2
0
3
- 6 x y - 2 y 2
3
+ 6 x y + 2 y 0 5
b.- (
x
+
2
x
2
-
x
-
8
)
3
x 2
x
0
3
(
x
+
5
x
2
x
+
1
+
2
x
x x
+
2
8
+
x
4
1
)
+
2
x
+
2
x
-
x
+
x
2
x
3
-
8
-
x
-
8
+
4
x
-
x
-
8
2
-
2
x
-
2
x
3
0
x
3
4
-
3
4
0
+
x
3
5
-
2
2
5
-
-
+
5
x
2
3
-
5
x
2
+ 10 x
-
5
x
-
6
x
-
8
+ 16 x
-
8
+ 10 x
- 16
2
0
+
8
x 2
-
8
x
0 3
R:
x
2
+
2
x
+
5
x
+
8
+ 10 x
- 16
2
x
-
2
x
+
1 16
