BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang ekonomi atau model regresi statistik sering ditemukan sistem persamaan dengan banyaknya persamaan sama dengan banyaknya variabel dalam hal memperoleh jawaban tunggal bagi variabel. Apabila variabel lebih banyak dari persamaan, seperti dalam perancangan linear, umumnya diperoleh jawaban yang tak hingga banyaknya. Namun dalam teknik listrik sering ditemukan variabel lebih sedikit dari persamaan. Karena beberapa dari persamaan mempunyai sifat ketergantungan maka jawaban masih mungkin untuk diperoleh. Dalam bab ini, akan dibahas sistem persamaan linear bukan hanya yang mempunyai jawaban tunggal, tetapi juga yang mempunyai jawaban banyak. Untuk membantu penyelesaian masalah dipergunakan konsep matriks.
Tujuan Instruksional Khusus Setelah mempelari sitem persamaan liniear diharapkan mahasiswa : a. dapat menjelaskan pengertian sistem persamaan linear b. dapat menentukan penyelesaian sistem persamaan linear
1
2.1. Pengertian Sistem Persamaan Linear Definisi : Secara umum sebuah persamaan linear dalam n variable x1, x2, …, xn dapat dinyatakan dalam bentuk : a1x1 + a 2x 2 + … + a n x n = b, dengan a 1, a 2, …, a n dan b adalah konstanta real. Contoh : Persamaan berikut merupakan persamaan linear : a. x + 3y = 7 b. y = 5x + 3z + 1 Persamaan berikut bukan persamaan linear : c. x2 + 3y = 5 d. y - sin x = 0 Definisi : Himpunan berhingga dari persamaan linear- persamaan linear dalam n variable x1, x2, …, xn dinamakan sistem persamaan linear atau sistem linear. Bentuk umum sistem persamaan linear (disingkat SPL) yang terdiri dari m persamaan dan n variable x1, x2, …, xn dapat ditulis sebagai : a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 : am1x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm, dengan aij dan bi (1 § i § m, 1 § j § n) adalah konstanta-konstanta real. Contoh : a.
SPL 2 persamaan dan 2 variabel : 2
x1 + 2x 2 = 5 2x1 + 3x 2 = 8 b. SPL 2 persamaan 3 variabel : x1 - x2 + x3 = 2 2x1 - x2 - x3 = 4 c.
SPL 3 persamaan 2 variabel : x1 + x2 = 2 x1 - x2 = 1 x1 = 4
Sebuah sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, sebagai berikut. Definisi : Suatu sistem persamaan linear dengan m persaman dan n variable x1, x2, …, xn dapat dinyatakan sebagai matriks AX=B
( )
( ), dan Bm x 1 = (bi ) .
dengan Am x n = aij , Xn x 1 = x j
Jika matriks B pada SPL di atas diganti dengan matriks nol O, maka sistem persamaan linear tersebut dikatakan homogen, jika tidak disebut SPL non homogen. Contoh : a. SPL non homogen berikut x1 - x2 + x3 = 2 2x1 - x2 - x3 = 4
3
⎡ x1 ⎤ ⎡1 − 1 3 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ 2 ⎤ disajikan dalam bentuk matriks ⎢ ⎥.⎢ x 2 ⎥ = ⎢ ⎥ . ⎣2 − 1 − 1⎦ ⎢ x ⎥ ⎣4⎦ ⎣ 3⎦
b. SPL homogen berikut x1 + x2 = 0 x1 - x2 = 0
⎡1 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ disajikan dalam bentuk matriks ⎢ ⎥.⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ . ⎣1 − 1⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣0⎦
2.2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Sebuah penyelesaian (solution) persamaan linear a1x1 + a2 x2 + … + anxn = b adalah sebuah urutan dari n bilangan s1, s2, …, sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi jika kita mensubstitusikan x1 = s1, x2 = s2, …, xn = sn. Himpunan semua penyelesaian tersebut dinamakan himpunan penyelesaiannya. Penyelesaian SPL adalah sebuah tupel n terurut bilangan-bilangan x1, x2, …, xn yang memenuhi semua persamaan dalam SPL. Contoh : a. Pasangan terurut (1,2) adalah penyelesaian dari sistem x1 + 2x 2 = 5 2x1 + 3x 2 = 8 karena : 1(1) + 2(2) = 5 dan 2(1) + 3(2) = 8. Tetapi, pasangan terurut (3,1) bukan penyelesaian dari SPL tersebut karena tidak memenuhi persamaan kedua, yakni 2(3) + 3(1) ≠ 8. c. Tripel terurut (2,0,0) adalah penyelesaian dari SPL
4
x1 - x2 + x3 = 2 2x1 - x2 - x3 = 4 karena
1(2) – 1(0) + 1(0) = 2 2(2) + 1(0) – 1(0) = 4
Periksalah bahwa tripel terurut (2,1,1), (2,2,2), (2,3,3), .... juga merupakan penyelesaian SPL tersebut. Jadi SPL tersebut mempunyai banyak penyelesaian. Jika α adalah sebarang bilangan real, maka terlihat bahwa tripel terurut (2, α,α) adalah penyelesaian SPL tersebut.
Tidak semua sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian, hal ini dapat ditunjukkan pada sistem x1 + x2 = 2 x1 - x2 = 1 x1 = 4 Pada persamaan ketiga x1= 4, sehingga jika disubstitusikan ke persamaan pertama dan kedua, maka x2 harus memenuhi : 4 + x2 = 2 4 - x2 = 1 Karena tidak ada bilangan real yang memenuhi kedua persamaan ini, maka SPL ini tidak mempunyai penyelesaian.
Sebuah SPL yang tidak mempunyai penyelesaian disebut tak konsisten (inconsistent). Sebuah SPL yang mempunyai paling sedikit satu penyelesaian disebut konsisten (consistent).
5
Dari contoh di atas, banyaknya penyelesaian suatu SPL dibedakan 3 yaitu : 1. SPL mempunyai satu penyelesaian (penyelesaian tunggal) 2. SPL mempunyai banyak penyelesaian (tak terhingga penyelesaian) 3. SPL tidak mempunyai penyelesaian
SPL homogen AX = 0 selalu mempunyai penyelesaian (konsisten) yaitu X = 0, yang dinamakan dengan penyelesaian trivial. Jika ada penyelesaian lain, (yang tidak nol) maka penyelesaian tersebut dinamakan penyelesaian tak trivial. Contoh : 2x1 + x 2 - 3 x 3 = 0 x1 + 2 x2 = 0 x2 + x3 = 0 SPL homogen di atas mempunyai penyelesaian tak trivial yaitu : x1 = 2 x3 x2 = - x3 Jika x3=t, dengan t bilangan real, maka x1 = 2t, x2 = -t sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {(t,2t,-t)} = {t(1,2,-1)}. Ini menunjukkan SPL di atas mempunyai tak terhingga banyak penyelesaian, sebanyak bilangan real t. š
2.3. Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Kita akan menggunakakan matriks untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linear. Untuk itu sistem persamaan linear harus diubah dalam bentuk matriks AX = b.
6
Definisi : Proses menggunakan operasi baris elementer untuk mengubah suatu SPL dalam bentuk matriks diperbesar ([A/b]) ke bentuk eselon baris disebut Eliminasi Gauss. Contoh : Selesaikan SPL berikut :
x1 + 2x2 + x3 = 1 2x1 - x2 + x3 = 2 4x1 + 3x2 + 3x3 = 4 3x1 + x2 + 2x3 = 3
Penyelesaian : ⎡1 2 ⎢2 − 1 SPL di atas diubah ke bentuk matriks AX = b dengan A = ⎢ ⎢4 3 ⎢ ⎣3 1 ⎡1⎤ ⎢2⎥ dan b = ⎢ ⎥ . Selanjutnya dibentuk matriks [ A|b ] = ⎢4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣3⎦
⎡1 2 ⎢2 − 1 ⎢ ⎢4 3 ⎢ ⎣3 1
1⎤ ⎡ x1 ⎤ 1⎥⎥ , X = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ ⎥ 3 ⎢⎣ x3⎥⎦ ⎥ 2⎦
1 1⎤ 1 2⎥⎥ . 3 4⎥ ⎥ 2 3⎦
Dengan operasi baris elementer B21(-2), B31(-4), B41(-3), B32(-1), B42(-1), B2(-1/5) kita dapat memperoleh bentuk eselon baris matriks [ A|b ] yaitu ⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
2 1 1⎤ 1 1 / 5 0⎥⎥ 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎦
Jika kita kembalikan seperti saat penyusunan AX = b, matriks terakhir menunjukkan SPL :
7
x1 + 2 x 2 +
x3 = 1
x2 +
1 x3 = 0 5
Yang memberikan penyelesaian :
1 x3 5 3 x1 = 1 − x 3 5 x2 = −
1 3 Jika x3 = t, maka x 2 = − t dan x1 = 1 − t , dengan t sebarang bilangan real. 5 5
Definisi : Proses menggunakan operasi baris elementer untuk mengubah suatu SPL dalam bentuk matriks diperbesar ([A/b]) ke bentuk eselon baris tereduksi disebut Eliminasi Gauss-Jordan. Contoh : Selesaikan SPL berikut dengan eliminasi Gauss-Jourdan -x1 + x 2 -
x3+ 3 x4 = 0
3 x1+ x2-
x3-
x4 = 0
2 x1- x2- 2 x3-
x4 = 0
Penyelesaian : Langkah pertama adalah menbentuk matriks diperbesar [A/b] dari SPL di atas, yaitu: ⎡ − 1 1 − 1 3 0⎤ ⎢ 3 1 − 1 − 1 0⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣ 2 − 1 − 2 − 1 0⎥⎦
Selanjutnya dengan melakukan operasi baris elementer berikut : B21(3), B31(-2), B32(-1/4), B2(1/4), B3(-1/3), B23(1), B13(1), B12(-1), B1(-1) 8
⎡1 0 0 − 1 0⎤ diperoleh matriks: ⎢⎢0 1 0 1 0⎥⎥ ⎢⎣0 0 1 − 1 0⎥⎦
Sehingga terdapat persamaan-persamaan : x3 – x4 = 0 x2 + x4 = 0 x1 – x4 = 0 sehingga diperoleh x3 = x4 x 2 = -x 4 x1 = x4 Misal x4 = t dengan t sebarang bilangan real maka x1 = t, x2 = - t, x3 = t. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah X = { t(1,-1, 1, 1)}.
Eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan dapat digunakan untuk semua sistem persamaan linear tanpa tergantung pada banyaknya persamaan dan banyaknya variabel. Khusus untuk SPL yang banyak variabelnya sama dengan banyak persamaannya, kita dapat menggunakan pengertian determinan untuk memperoleh penyelesaiannya. Teorema berikut menghasilkan sebuah rumus untuk menyelesaiakan sistem persamaan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dari n persamaan dengan n variabel, dan dinamakan Kaidah Cramer.
9
Teorema ( Kaidah Cramer ) : Jika A X = b adalah sebuah sistem persamaan linear dengan A berukuran n x n sehingga det(A) ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian tunggal (unik). Penyelesaian ini adalah : x1 = det( A1 ) det( A ) , x 2 = det( A2 ) det( A ) , . . . , x n = det( An ) det( A ) . dengan Aj adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan elemen-elemen kolom ke-j dari A dengan elemen-elemen matriks b.
Contoh : Gunakan Kaidah Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear berikut : x+2y+ z=5 2x+2y+ z=6 x+2y+3z=9 1 2 1
5 2 1
Penyelesaian : det(A) = 2 2 1 = - 4 , det(A1) = 6 2 1 = - 4 , 1 2 3 9 2 3 1 5 1
1 2 5
det(A2) = 2 6 1 = - 4, dan det(A3) = 2 2 6 = - 8 1 9 3 1 2 9 Sehingga, x = -4/-4 = 1, y = -4/-4 = 1, dan z = -8/-4 = 2.
Di samping menggunakan pengertian determinan untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linear A X = b, kita juga dapat menggunakan konsep invers matriks. Jika sistem persamaan linear A X = b kita kalikan dengan invers
10
dari A, yaitu A-1, dari sebelah kiri akan kita peroleh X = A-1 b. Ini merupakan penyelesaian dari SPL di atas. Contoh : Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan invers matriks. x+2y+ z=5 2x+2y+ z=6 x+2y+3z=9 ⎡ 1 2 1⎤ Matriks A dari SPL di atas adalah A = ⎢⎢2 2 1⎥⎥ . Jika dicari inversnya, diperoleh ⎢⎣1 2 3⎥⎦
A
−1
1 0 ⎤ ⎡ −1 ⎢ = ⎢ 5 / 4 − 1 / 2 − 1 / 4 ⎥⎥ sehingga X = A −1b = ⎢⎣− 1 / 2 0 1 / 2 ⎥⎦
1 0 ⎤ ⎡ 5 ⎤ ⎡ 1⎤ ⎡ −1 ⎢ 5 / 4 − 1 / 2 − 1 / 4⎥ .⎢6 ⎥ = ⎢1⎥ . Dengan demikian diperoleh x = 1, y = 1, dan ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣− 1 / 2 0 1 / 2 ⎥⎦ ⎢⎣9 ⎥⎦ ⎢⎣2⎥⎦
z = 2.
Dari keterangan di atas, untuk mengetahui apakah sistem persamaan linear A X = b dengan n persamaan dan n variabel mempunyai penyelesaian dapat
dilihat dari nilai determinannya. Jika det (A) ∫ 0 maka sistem akan mempunyai penyelesaian dan penyelesaian tersebut tunggal.
11
