CONCRETO ARMADO: PROJETO ESTRUTURAL DE EDIFíCIOS - GDACE

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

CONCRETO ARMADO: PROJETO ESTRUTURAL DE EDIFíCIOS

JOSÉ SAMUEL GIONGO

São Carlos, Fevereiro de 2007

APRESENTAÇÃO

Este texto fornece algumas indicações a serem seguidas na elaboração de projetos de estruturas de edifícios usuais em concreto armado. O trabalho foi desenvolvido procurando atender as disciplinas relativas a Estruturas de Concreto, ministradas no Curso de Engenharia Civil da Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo. O capítulo um analisa a concepção estrutural; no dois são estudadas as ações que devem ser consideradas no projeto; o capítulo três discute a escolha da forma estrutural em função de projeto arquitetônico; no capítulo quatro são apresentados os tipos de análise estrutural que devem ser realizadas; no capítulo cinco é apresentada, de modo sistemático, os critérios para projeto, dimensionamento e detalhamento de lajes maciças e, finalmente, no capítulo seis é desenvolvido, de modo didático, um projeto de pavimentotipo de edifício. O exemplo é simples e serve para um primeiro contato do leitor com o projeto da estrutura, sendo analisadas apenas as lajes do pavimento-tipo. Neste trabalho, textos elaborados por colegas e pesquisadores são aqui utilizados. Assim, são dignos de nota: José Roberto Leme de Andrade - Estruturas correntes de concreto armado - Parte I, Notas de Aula editadas pela EESC – USP, Departamento de Engenharia de Estruturas; Márcio Roberto Silva Corrêa - Aperfeiçoamento de modelos usualmente empregados no projeto de sistemas estruturais de edifícios, Tese de Doutorado, defendida na EESC - USP; Libânio Miranda Pinheiro - Concreto armado: Tabelas e ábacos (EESC, 2003); Patrícia Menezes Rios - Lajes retangulares de edifícios: associação do cálculo elástico com a teoria das charneiras plásticas, Dissertação de Mestrado, defendida na EESC - USP; José Fernão Miranda de Almeida Prado - Estruturas de edifícios em concreto armado submetidas a ações verticais e horizontais, Dissertação de Mestrado, defendida na EESC - USP; Edgar Bacarji - Análise de estruturas de edifícios: projeto de pilares, Dissertação de Mestrado, defendida na EESC - USP. Para esta edição – Fevereiro de 2007, fez-se revisão da edição anterior – Agosto de 2005. A revisão do texto do capítulo 6 foi feita pelo Professor Doutor José Luiz Pinheiro Melges, Professor na Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira – UNESP, na época (1996) estagiário da disciplina SET 158 - Estruturas Correntes de Concreto Armado II, pelo Programa de Aperfeiçoamento de Ensino - PAE. Para a versão, publicada em fevereiro de 2001, foi feita revisão e correção do texto. Essa revisão contou com a colaboração do Professor Doutor Romel Dias Vanderlei, da Universidade Estadual de Maringá, na época estagiário da disciplina SET 404 - Estruturas de Concreto A, no primeiro semestre de 2001, pelo Programa de Aperfeiçoamento de Ensino - PAE. O texto de Julho de 2005 contou com o trabalho do Professor Doutor Rodrigo Gustavo Delalibera, das Faculdades Logatti, na época aluno de doutorado no Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia de São Carlos – USP, estagiário da disciplina SET 404 - Estruturas de Concreto A, no primeiro semestre de 2004, pelo Programa de Aperfeiçoamento de Ensino – PAE. Esta edição contempla as indicações da NBR 6118:2003 – Projeto de estruturas de concreto, em vigor desde Março de 2003 e com edição revisada em Março de 2004. Atualmente os projetos estão sendo feitos pelos escritórios com assistência de programas computacionais que, a partir do projeto arquitetônico, permitem o estudo da forma estrutural, determinação das ações a considerar, análise estrutural, dimensionamento, verificação dos estados limites de serviço e detalhamento. Este texto tem portanto a finalidade de introduzir o estudante de engenharia civil à arte de projetar as estruturas de concreto armado.

José Samuel Giongo

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USP – EESC – SET –

Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Janeiro de 2007

Sumário 1. 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.2.1 1.1.2.2 1.1.2.3 1.1.2.4 1.2 1.2.1 1.2.2 1.3 1.4 1.4.1 1.4.2 1.5 1.6 1.7 2. 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.2.1 2.1.2.2 2.1.3 2.1.3.1 2.1.3.2 2.1.4 2.2 2.2.1 2.2.1.1 2.2.1.2 2.2.1.3 2.2.1.4 2.2.1.5

Concepção estrutural Introdução Generalidades Identificação dos elementos estruturais Elementos lineares Elementos bidimensionais Elementos tridimensionais Sistemas estruturais compostos de elementos Descrição da estrutura de um edifício Generalidades Disposição dos elementos estruturais Arranjo estrutural Sistemas estruturais usuais Subsistemas horizontais Subsistemas verticais Idealização das ações O modelo mecânico Custo da estrutura Referências bibliográficas

Ações a considerar nos projetos de edifícios Introdução Generalidades Ações permanentes Ações permanentes diretas Ações permanentes indiretas Ações variáveis Ações variáveis normais Ações variáveis especiais Ações excepcionais Valores das ações permanentes Ação permanente de componentes utilizados em edifícios Peso próprio de alvenaria revestida de um tijolo furado Peso próprio de vários materiais usualmente empregados Exemplo de consideração de ações permanentes em lajes Peso próprio de paredes não definidas no projeto Cálculo dos esforços solicitantes de lajes com ação de paredes definidas no projeto 2.3 Ações variáveis normais 2.3.1 Consideração das ações variáveis normais nos pilares 2.3.2 Exemplo de consideração de ações variáveis em lajes 2.4 Ação do vento 2.4.1 Cálculo das forças devidas ao vento em edifícios 2.4.2 Procedimento de cálculo 2.4.3 Cálculo dos esforços solicitantes 2.5 Efeitos dinâmicos 2.6 Exemplo de cálculo das forças por causa do vento 2.6.1 Velocidade característica do vento 2.6.2 Velocidade básica do vento 2.6.3 Fator topográfico 2.6.4 Fator s2 2.6.5 Fator estatístico s3 2.6.6 Velocidades característica do vento 2.6.7 Pressão dinâmica 2.6.8 Determinação dos coeficientes de arrasto (ca) 2.6.8.1 Direção do vento perpendicular à fachada de menor área 2.6.8.2 Direção do vento perpendicular à fachada de maior área 2.6.9 Determinação das forças relativas ao vento 2.6.9.1 Direção do vento perpendicular à fachada de menor área

1 1 2 4 7 13 13 17 17 18 18 21 21 23 25 26 28 30 33 33 33 33 33 34 34 34 34 35 36 37 38 39 43 44 44 46 46 46 47 47 47 47 47 48 48 48 49 49 49 49 50 50 50 51 51

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Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Sumário

2.6.9.2 2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4 2.7.5

Direção do vento perpendicular à fachada de maior área Outras ações Variação da temperatura Ações dinâmicas Ações excepcionais Retração Fluência Referências bibliográficas

3. 3.1 3.2 3.2.1 3.2.1.1 3.2.1.2 3.2.1.3 3.2.1.4 3.2.1.5 3.2.2

Escolha da forma da estrutura Aspectos gerais Anteprojeto da forma da estrutura de um edifício Dimensões mínimas dos elementos estruturais Lajes Vigas e vigas-parede Pilares e pilares-parede Paredes estruturais Fundações Dimensões econômicas para pré-dimensionamento de elementos estruturais Escolha das posições dos elementos estruturais Pré-dimensionamento da estrutura dos pavimentos Referências bibliográficas

3.2.3 3.2.4

ii

51 52 52 53 53 53 53 53 55 55 56 56 56 57 58 58 58 59 64 70

4. 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.2.1 4.4.2.2 4.4.3 4.5 4.5.1 4.5.1.1 4.5.1.2 4.6 4.6.1 4.6.1.1 4.6.1.2

Análise estrutural Considerações iniciais Estabilidade global de edifícios Parâmetro de instabilidade α Coeficiente γz Análise de estruturas de nós móveis Consideração da alvenaria Esforços solicitantes por causa de imperfeições globais Ações horizontais Considerações iniciais Modelos para determinação dos esforços solicitantes Modelos de pórticos planos Modelo tridimensional Métodos simplificados Valores das ações a serem considerados nos projetos Valores representativos das ações Valores de cálculo Coeficientes de ponderação das ações no estado limite último Combinações das ações Combinações a considerar Combinações últimas Combinações de serviço Referências bibliográficas

77 78 80 81 82 82 83 83 84 85 86 86 86 87 88 88 88 89 91

5. 5.1 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.7.1 5.7.1.1 5.7.1.2

Lajes maciças Introdução Exemplos de esquemas estáticos para lajes maciças Laje isolada, apoiada em vigas no seu contorno Duas lajes contíguas Lajes em balanço Tipos de condições de vinculação para lajes isoladas Condições de vinculação diferentes das indicadas nas tabelas Vãos efetivos das lajes Altura útil e espessura Cálculo dos esforços solicitantes Reações de apoio Exemplo 1 Exemplo 2

93 94 94 95 96 96 99 100 101 102 102 104 105

71 72 73

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Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Janeiro de 2007

5.7.2 5.7.2.1 5.7.2.2 5.7.2.3 5.8 5.8.1 5.8.2 5.8.3 5.8.3.1 5.8.3.2 5.8.3.3 5.8.4 5.9

Cálculo mediante tabelas Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3 Cálculo dos momentos fletores Equação diferencial da superfície elástica Momentos fletores e compatibilização Cálculo mediante tabelas Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3 Cálculo dos momentos fletores finais Esforços solicitantes em lajes com ação linearmente distribuída – paredes sobre lajes 5.9.1 Lajes armadas em duas direções 5.9.2 Lajes armadas em uma direção 5.9.2.1 Parede na direção perpendicular a armadura principal 5.9.2.2 Parede paralela à armadura principal 5.10 Dimensionamento das lajes maciças 5.10.1 Verificação das tensões tangenciais 5.10.1.1 Lajes sem armadura para força cortante 5.10.2 Verificação das tensões normais - cálculo das armaduras 5.10.2.1 Cálculo das armaduras longitudinais de tração 5.11 Distribuição das armaduras de flexão 5.11.1 Armaduras junto à face inferior da laje (positivas) 5.11.2 Armadura junto à face superior da laje ( negativas ) 5.11.3 Momentos volventes 5.12 Verificação dos estados limites de serviço 5.12.1 Estado limite de deformação excessiva 5.12.1.1 Estado limite de formação de fissura 5.12.1.2 Estado limite de deformação 5.12.1.3 Estado limite de fissuração Referências bibliográficas

6. 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.5.1 6.5.2 6.6 6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.6.4 6.6.5 6.7 6.8 6.9 6.10 6.10.1 6.10.2 6.10.3

Exemplo de projeto de pavimento de edifício Introdução Escolha da forma estrutural Verificação das dimensões indicadas na planta arquitetônica Cálculo das distâncias entre as faces das vigas Dimensionamento das lajes Vinculação, vãos teóricos, espessuras das lajes Desenho da forma estrutural Ações nas lajes Ações permanentes diretas Ação relativa ao enchimento na laje L02 Ação das paredes na laje L02 Ações variáveis normais Ações atuantes na laje L03 Cálculo dos esforços solicitantes Cálculo e detalhamento das armaduras Verificação das tensões tangenciais Verificação dos estados limites de serviço Momento de fissuração Verificação dos estados limites de deformação excessiva Verificação das aberturas das fissuras Referências bibliográficas

106 108 109 110 111 111 117 118 118 119 120 121 123 123 123 123 124 127 127 127 128 128 133 134 134 136 136 136 136 137 139 142 143 144 145 146 148 148 150 151 151 152 153 153 153 154 157 162 163 163 164 171 176

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Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006

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1. CONCEPÇÃO ESTRUTURAL 1.1 INTRODUÇÃO 1.1.1. GENERALIDADES O concreto armado é um material que pela sua própria composição se adapta a qualquer forma estrutural atendendo, portanto, a inúmeras concepções arquitetônicas, como atestam as edificações existentes pelo País. Como exemplos marcantes podem ser citados os edifícios públicos construídos em concreto armado na cidade de Brasília, nos quais os arquitetos Oscar Niemeyer e Lúcio Costa tiveram todas as suas concepções arquitetônicas atendidas com projetos estruturais compatíveis. Nos casos dos edifícios residenciais ou comerciais, as estruturas em concreto armado são projetadas em função da finalidade da edificação e da sua concepção arquitetônica. A estrutura portante para edifícios residenciais ou comerciais pode ser constituída por elementos estruturais de concreto armado; de concreto protendido ou por uma associação dos dois materiais; alvenaria estrutural - armada ou não; por associação de elementos metálicos para pórticos e grelhas com painéis de laje de concreto armado, com fechamento em alvenaria; e, com elementos pré-fabricados de argamassa armada. Em algumas regiões do País se encontra a utilização de estruturas de madeira na construção de edifícios de pequena altura. Em algumas edificações a estrutura portante em concreto armado é aparente, isto é, olhando-se para ela se percebem nitidamente as posições dos pórticos e das grelhas que devem sustentar as ações aplicadas. Em outras edificações, depois da obra terminada, só se notam os detalhes arquitetônicos especificados no projeto, pois todos os elementos estruturais ficam incorporados nas paredes de fachadas e divisórias. A decisão para se projetar a estrutura portante de um edifício utilizando uma das opções citadas, depende de fatores técnicos e econômicos. Entre eles pode-se destacar a facilidade, no local, de se encontrar os materiais e equipamentos necessários para a sua construção, além da capacidade do meio técnico para desenvolver o projeto do edifício. Neste trabalho se discutem as indicações para projetos de estruturas em concreto armado, de edifícios residenciais ou comerciais, com estrutura constituída por pórticos e grelhas moldadas no local. Apresentam-se, também, as indicações para projetos de painéis de lajes nervuradas moldadas no local e parcialmente pré-moldadas. A escolha do tipo de estrutura portante para edifícios residenciais e comerciais depende de fatores essencialmente econômicos, pois as condições técnicas para se desenvolver o projeto estrutural e as condições para a construção são de conhecimento da engenharia de estruturas e de construções. São analisadas as estruturas de edifícios residenciais ou comerciais constituídos por pórticos verticais e grelhas horizontais, com as respectivas lajes, em concreto armado moldado no local. As fundações podem ser, de acordo com o tipo de terreno, em tubulões ou estacas (fundações profundas) ou sapatas (fundações rasas). As ligações entre os pilares e os tubulões ou estacas são feitas pelos blocos de coroamento. Os cálculos dos esforços solicitantes atuantes em estruturas de edifícios de concreto armado podem ser feitos por processo simplificado, que considera os elementos estruturais separadamente, ou por processo mais elaborado, que considera o conjunto de vigas e lajes como grelha e o conjunto de vigas e pilares como pórtico plano ou pórtico espacial.

Capítulo 1 - Concepção Estrutural

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Os processos simplificados são aceitos pelas normas nacionais, que indicam correções que devem ser feitas para se considerar a segurança de cada elemento estrutural e do edifício como um todo. Assim, por exemplo, podem-se calcular os esforços solicitantes em vigas contínuas sem considerar a ligação com os pilares internos desde que as indicações da norma brasileira NBR 6118:2003 sejam respeitadas. Com essa simplificação os momentos fletores podem ser determinados por processo expedito, como por exemplo o Processo de Cross. Processo de cálculo dos esforços solicitantes mais elaborado, com uso de programa computacional deve levar em conta a continuidade do painel. O mesmo deve ocorrer com as vigas que são consideradas como grelhas carregadas com as reações de apoio das lajes determinadas elasticamente e com a consideração das alvenarias. Os esforços solicitantes nas vigas e nos pilares, quando submetidos às ações verticais como também as horizontais (vento), podem ser determinados considerando o efeito de pórtico. A NBR 6118:2003 indica que se analise a estrutura do edifício com as ações oriundas do desaprumo global. Entre os esforços solicitantes por causa da ação do vento e do desaprumo, a norma indica que se considerem os esforços de maior intensidade. 1.1.2 IDENTIFICAÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS Nos edifícios usuais de concreto armado os elementos estruturais, que compõem o sistema estrutural global, são constituídos pelas lajes, vigas e pilares ou a união destes elementos, como por exemplo, as escadas que são compostas por lajes e vigas. Os pilares, junto ao nível do terreno ou abaixo dele se houver subsolo, são apoiados em sapatas diretas ou blocos sobre estacas para transferir as ações para o solo. Cada elemento estrutural deve ter função compatível com os esforços solicitantes e sua segurança tem que ser garantida com relação aos Estados Limites Últimos e de Serviço. O arranjo dos elementos estruturais é muito importante para a segurança da estrutura e deve ser compatível com o projeto arquitetônico. Para se realizar o arranjo estrutural é preciso conhecer os elementos e o seu comportamento estrutural, tornando-se necessário classificá-los. Vlassov [1962] indica uma classificação dos elementos estruturais fundamentais seguindo critério geométrico, ao qual pode ser associado o comportamento do elemento em função de sua posição na estrutura. Além disso, é possível associar ao elemento estrutural os critérios da Mecânica das Estruturas com os quais são determinados os esforços solicitantes. No critério geométrico faz-se a comparação da ordem de grandeza das três dimensões características [l1], [l2] e [l3] dos elementos estruturais, surgindo a seguinte classificação. a. elementos lineares de seção delgada - são os elementos que têm a espessura (b) muito menor que a altura (h) da seção transversal e, esta muito menor que o comprimento (l). Caracterizam-se como elementos de barras, como pode ser visto na figura 1.1a. Como exemplos podem ser citados os elementos estruturais lineares de argamassa armada. Argamassa Armada é um tipo particular de concreto armado cujas peças têm espessuras menores do que 40mm, conforme indicado na NBR 1259:1989. b. elementos lineares de seções não delgadas - são os elementos que têm a espessura (b) da mesma ordem de grandeza da altura (h) da seção transversal e, estas bem menores que o comprimento (l1). As barras são elementos que atendem essa definição, conforme figura 1.1-b.

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Os elementos lineares de seção não delgada, nas estruturas dos edifícios, são as vigas, os pilares e, se houverem, os tirantes. As vigas e os pilares são diferenciados pelo tipo de solicitação: as vigas são solicitadas essencialmente à flexão e os pilares solicitados à flexão composta. c. elementos bidimensionais - são os elementos estruturais que têm as suas dimensões em planta (l1 e l2) da mesma ordem de grandeza e muito maiores que a terceira dimensão que é a espessura (h), como mostrado na figura 1.1-c. São elementos estruturais de superfície. Como exemplos podem ser citados as lajes dos pavimentos dos edifícios, as paredes dos reservatórios paralelepipédicos, as lajes das escadas e as paredes de arrimo necessárias quando o edifício tem subsolo destinado a garagens. d. elementos tridimensionais - são aqueles que têm as três dimensões (l1, l2 e l3) da mesma ordem de grandeza conforme figura 1.1-d. Exemplos de elementos tridimensionais nos edifícios são as sapatas responsáveis por transferir as ações atuantes nos pilares para o terreno, quando este tem resistência suficiente em camadas próximas (até 2,0m) do nível do piso de menor cota. Podem ser adotadas fundações profundas - estacas ou tubulões – exigindo, portanto, blocos para transferirem as ações dos pilares para camadas profundas do terreno.

a)

b)

c)

d)

Figura 1.1 - Identificação dos elementos estruturais [Fusco, 1976] Segundo Andrade [1982], para efeito de orientação prática pode-se considerar da mesma ordem de grandeza valores das dimensões cuja relação se mantenha em 1/10. Na classificação apresentada, embora completa do ponto de vista geométrico, não se estabelece o comportamento dos elementos estruturais. Isso pode ser notado com relação aos elementos lineares de seção não delgada, quando foram citados como exemplos vigas e pilares, que fazendo parte dessa classificação geométrica diferem com relação às ações que a eles são aplicados.


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Para facilitar o entendimento far-se-á uma descrição de tipos de elementos estruturais, usualmente encontrados em estruturas de edifícios, atendendo a classificação geométrica associando ao comportamento estrutural. 1.1.2.1 Elementos lineares Os elementos lineares, de seção delgada ou não, são caracterizados, segundo a mecânica das estruturas como elementos de barras. Podem, portanto, ser submetidos a solicitações normais e tangenciais. As solicitações normais são específicas das barras submetidas à compressão uniforme, flexão composta - normal ou oblíqua, flexão simples ou tração simples. Nas estruturas de edifícios as barras submetidas essencialmente à flexão são as vigas, que também estão solicitadas a tensões tangenciais oriundas da ação da força cortante e, se for o caso, momento torçor. Os pilares são submetidos à flexão composta. Os pilares são identificados, segundo as suas posições no desenho de forma do pavimento tipo como sendo de canto, submetidos à flexão composta oblíqua, de extremidade, submetidos, simplificadamente a flexão normal composta, e, intermediário, submetidos à compressão centrada. As barras submetidas à tração simples ou flexo-tração são os tirantes que têm a sua segurança verificada levando-se em conta apenas à contribuição das barras de aço, pois no estado limite último à participação do concreto solicitado à tração é desprezada. No modelo estrutural mecânico idealizado para o sistema estrutural real, as vigas têm a finalidade de servir de apoio para as lajes absorvendo, portanto as ações a elas transmitidas. As vigas por sua vez distribuem as ações para os pilares. Os esforços solicitantes podem ser determinados considerando o efeito de grelha, embora eles possam ser calculados supondo-as isoladas, isto sem considerar o efeito de grelha. Com relação às ações horizontais atuantes nos edifícios, o sistema resistente é constituído pelos pórticos verticais, pilares e vigas que, além de absorverem a ação do vento, contribuem para a estabilidade global. A figura 1.2 mostra o desenho da forma estrutural do pavimento-tipo de um edifício, onde pode ser visto que é constituído por quatro lajes maciças L01, L02, L03 e L04, todas com 10cm de espessura. As reações de apoio nas lajes são as ações atuantes nas vigas que, por sua vez, aplicam suas ações nos pilares. O comportamento estrutural das lajes deve levar em conta o monolitismo existente nas ligações entre elas. Assim, elas podem ser consideradas engastadas entre si desde que haja rigidez para isto; em caso contrário considera-se a menos rígida engastada na laje contígua e a mais rígida apoiada na viga. A consideração de vinculação entre as lajes depende também das rigidezes das vigas do pavimento. No caso de grande deformabilidade das vigas não ocorre momento fletor tracionando as fibras superiores das lajes (momento fletor negativo), sendo que nesta situação fica conveniente considerar as lajes apoiadas nas vigas. Deste modo dispõem-se apenas de armaduras posicionadas junto às faces superiores das lajes com a finalidade de limitar as aberturas das fissuras. Estas armaduras não têm a responsabilidade de absorver momentos fletores oriundos das ligações entre as lajes. A figura 1.2 representa a forma estrutural do pavimento-tipo do edifício exemplo. O desenho foi realizado posicionando-se o observador no andar i - 1 e olhando para o andar i. Isto se faz necessário pois, se o observador ficasse posicionado no andar e olhando para baixo, as arestas das vigas deveriam ser representadas por traços não contínuos, com exceção das arestas externas das vigas de borda que estariam sendo vistas pelo observador.

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FORMA – TIPO

Figura 1.2 - Forma estrutural de um pavimento - tipo de edifício A figura 1.3 apresenta o desenho do corte vertical dos pavimentos-tipo, corte este realizado pelo plano AA, conforme indicado na figura 1.2, perpendicular ao plano dos pavimentos. Pode-se, nesta figura, visualizar os elementos lineares (barras) vigas e pilares necessários para transferir as ações atuantes nas lajes dos pavimentos. As ações atuantes são as ações permanentes diretas, que são os pesos próprios dos elementos da construção, os pesos dos materiais de acabamento e de todos os equipamentos fixos, e as ações variáveis normais que são ações relativas a utilização da edificação tais como pessoas, móveis, veículos e etc. Nas estruturas dos edifícios devem ser sempre consideradas as forças atuantes pela ação de vento, absorvidas pelos pórticos verticais constituídos pelas vigas e pilares da edificação. Deste modo percebe-se a importância dos elementos estruturais de barras - vigas e pilares - na segurança das estruturas de concreto armado destinadas a edifícios. As vigas normalmente estão submetidas a ações uniformemente distribuídas, embora possam, em casos que o projeto exija, receber ação concentrada por causa da necessidade de se apoiar viga em viga, o que lhes dá uma situação de elementos estruturais submetidos a esforços de flexão - momento fletor e força cortante. Os pilares, em virtude da consideração de pórtico plano ou espacial, ficam submetidos a esforços de flexo-compressão - momento fletor e força normal. Com a consideração de ação horizontal têm também solicitação de força cortante.


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CORTE A ESC. 1:75

Figura 1.3 - Corte transversal dos pavimentos de um edifício Como exemplo de elementos estruturais em argamassa armada podem ser citadas as telhas de coberturas dos edifícios da Fábrica de Lacticínios de São Carlos (figura 1.4) e do Departamento de Arquitetura e Planejamento - EESC-USP (figura 1.5), demolido para dar lugar ao edifício da administração do Instituto de Física de São Carlos. Hanai [1992] descreve que em 1974 o Prof. Frederico Schiel, do Departamento de Engenharia de Estruturas - EESC-USP, projetou para a Fábrica de Laticínios vigas de cobertura em argamassa armada para vão livre de 21.000mm, com balanços laterais de 2.500mm e 5.500mm com altura da seção transversal típica de 620mm. Notar na figura 1.4 que as espessuras das almas são iguais a 24mm, caracterizando elementos lineares de seção delgada. A altura da mesa superior da seção transversal é variável,

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ocupando posições diferentes de acordo com a variação do diagrama de momentos fletores. Por outro lado, esta variação permite escoamento de águas pluviais.

b) SEÇÃO TRANSVERSAL

Figura 1.4 - Cobertura da Fábrica de Lacticínios São Carlos [Hanai, 1990] A cobertura do Departamento de Arquitetura e Planejamento – EESC - USP (Figura 1.5), projeto dos professores da EESC – USP, na época, Arq. Antônio Domingos Bataglia, Eng. João Carlos Barreiro e Arq. Carlos Augusto Welker, com participação do Prof. Schiel, atende a vão livre de 12.000mm, com elementos em forma de V com projeções das almas no plano horizontal igual a 1.000mm e no vertical igual a 600mm, conforme figura 1.5. De acordo com Bataglia, citado por Hanai [1992], ”o projeto proposto foi o de fazer a montagem da placa dobrada pela junção ‘in loco’ das bordas de peças prismáticas pré-moldadas em forma de V. Cada placa tem duas linhas de apoio e, conforme o bloco a ser coberto, balanços em uma das bordas”. 1.1.2.2 Elementos Bidimensionais Os elementos bidimensionais são elementos de superfície, onde, como já visto, duas das dimensões, medidas ao longo da superfície média, são maiores que a espessura. Quando a curvatura na superfície média for nula os elementos estruturais bidimensionais podem ser chamados de placas ou chapas, em caso contrário, ou seja, quando a curvatura for diferente de zero os elementos são chamados de cascas. O elemento estrutural bidimensional é chamado de placa quando a ação uniformemente distribuída é aplicada perpendicularmente ao seu plano e, quando esta ação for aplicada paralelamente ao plano é chamado de chapa. Nas estruturas de concreto armado estes elementos são chamados de lajes e paredes respectivamente. a. lajes As lajes, que são placas de concreto armado, são normalmente horizontais e, nas estruturas dos edifícios, responsáveis por receber as ações verticais - permanentes ou acidentais - atuantes nas estruturas dos pavimentos e das coberturas.


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Figura 1.5 - Cobertura no Campus USP - São Carlos [Hanai, 1990] Nas estruturas de edifícios usuais as lajes representam, no conjunto total da edificação, um consumo de concreto da ordem de 50% do volume total. Assim, é de suma importância a sua análise como elemento estrutural por, além do consumo que representa, estar sempre presente na composição estrutural. As lajes podem ser maciças ou nervuradas (Figura 1.6), moldadas no local ou pré-fabricadas ou ainda podem ser parcialmente pré-fabricadas. As lajes maciças são aquelas que ao longo de toda a superfície a espessura é mantida constante. Nas lajes nervuradas essa espessura é descontínua; a laje nervurada é, portanto, constituída por nervuras distribuídas nas duas direções e por uma mesa ligada as nervuras. As lajes maciças ou as nervuradas moldadas no local exigem, portanto, a construção de uma estrutura auxiliar normalmente construída em madeira que sirva de fôrma. Há necessidade também de cimbramentos que pode ser em estruturas de madeira ou metálica. Com o alto custo da madeira e analisando a questão ambiental, mais recentemente têm sido utilizadas para a moldagem de lajes nervuradas fôrmas constituídas por materiais metálicos e fibra de vidro. Quando, por exigência arquitetônica, for previsto forro plano há necessidade de fôrma na face inferior das lajes, dispõem-se blocos que podem ser cerâmicos, de concreto leve, de isopor, de plástico, ou cilindros de papelão envolvidos em filme plástico. Com a finalidade de se economizar fôrma, inclusive a posicionada junto à face inferior da laje, pode ser adotada como solução estrutural para os pavimentos as lajes pré-fabricadas, que podem ser maciças ou nervuradas.

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Figura 1.6 - Perspectiva de parte de um edifício [Mac Gregor, 1988] As lajes maciças pré-fabricadas (figura 1.7) são constituídas por painéis de pequena espessura, da ordem de 30mm, com largura de 330mm e comprimento em função do menor vão da laje determinado de acordo com a da forma estrutural. A armadura na direção do vão é posicionada por ocasião da construção do elemento préfabricado e as barras têm comprimento maior do que o elemento, com a finalidade de ancorá-las corretamente nas vigas de apoio. A armadura na outra direção é posicionada, na obra, junto à face superior do elemento pré-fabricado. Os elementos pré-fabricados são providos de uma treliça, posicionada ao longo do plano médio que os tornam mais rígidos, possibilitando manuseio e transporte com segurança e, além disso, permite melhor ligação do concreto lançado na obra com o concreto do elemento, funcionando como conectores.

Figura 1.7 - Laje maciça pré – fabricada [Catálogo Lajotec]


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As lajes nervuradas pré-fabricadas, conforme mostrada na figura 1.8, têm a parte inferior da nervura pré-fabricada e é fornecida em forma de T - invertido ou em forma de seção retangular com treliça espacial. A seção T - invertido e a treliça têm a finalidade de enrijecer o elemento com vistas ao transporte e posicionamento na obra. Entre os elementos pré-fabricados são posicionados blocos cerâmicos ou de isopor de altura compatível com a altura indicada para a laje nervurada. Depois de posicionadas e cimbradas corretamente, faz-se a concretagem das nervuras e da mesa da laje nervurada. Como pode ser notado nas figuras 1.7 e 1.8 este processo construtivo elimina a fôrma e diminui consideravelmente a quantidade de cimbramentos propiciando economia global da obra. A decisão de se adotar lajes pré-fabricadas nas estruturas dos edifícios deve levar em conta análises estruturais e de custos. Nos edifícios de muitos andares, por exemplo, mais do que cinco, deve ser analisada a conveniência de adotá-las, pois há que se pensar no transporte dos elementos pré-fabricados, que é feito por elevadores de obra. Este fato pode trazer acréscimo de custo e principalmente de segurança na obra. Todas estas variáveis devem ser analisadas de comum acordo entre o engenheiro projetista da estrutura, o proprietário e o engenheiro da firma construtora; só depois desta análise é que se deve optar pela utilização de laje pré-fabricada levando-se em conta a disponibilidade de fornecimento na região onde a obra será construída.

Figura 1.8 - Laje nervurada com parte da nervura pré-fabricada [Catálogo Lajes Paoli] As lajes pré-fabricadas podem ser também em elementos protendidos (figura 1.9) de largura de 1.000mm nas espessuras de 100mm, 150mm e 200mm para vãos entre vigas de 6.000mm, 8.500mm e 11.000mm respectivamente. Estes valores são indicados para lajes de pisos e obtidos em catálogo da Associação Brasileira de Construção Industrializada (1986). As ligações entre os elementos são feitos por conectores metálicos soldados na obra. Nesse caso os elementos podem ser autoportantes, não sendo necessários cimbramentos.

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Figura 1.9 - Laje pré - fabricada protendida [ABCI, 1986] Pode ser adotado em projetos de edifícios como solução para os pavimentos as lajes sem vigas, que são aquelas que se apóiam diretamente nos pilares, estando a eles diretamente ligadas. Na ligação entre a laje e os pilares pode haver os capitéis, que são troncos de prismas ou de cones (se colunas) em concreto armado, projetados para se diminuir as tensões de cisalhamento e evitar a punção da laje na região do pilar. Figueiredo Filho [1989] chama de laje sem viga aquelas sem capitel, conforme mostrado na figura 10, e, laje cogumelo as lajes sem vigas porém com capitéis, figura 1.11.

Figura 1.10 - Laje sem vigas [Figueiredo Filho, 1989]

Figura 1.11 - Laje cogumelo [Figueiredo Filho, 1989] A solução estrutural em laje sem vigas apresenta como vantagem significativa o fato de haver economia de fôrma com relação às vigas, exigindo fôrmas para os pilares e lajes. Na verificação da segurança do edifício atenção especial deve ser dada à ação do vento e estabilidade global, pelo fato de não haver vigas que participem dos pórticos que enrijecem a estrutura.


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b. paredes Em princípio todo elemento estrutural, bidimensional, isto é, que tenha duas das dimensões maiores que a terceira (espessura), posicionado paralelamente ao plano vertical é chamado de parede, sendo identificado nos desenhos e memórias de cálculo pela sigla PAR seguida de um número de ordem e das suas dimensões - espessura e altura. As paredes são chapas e, conforme já visto, são elementos estruturais bidimensionais com ação agindo paralelamente ao plano médio. As paredes são, portanto, chapas de concreto armado e com apoio contínuo, isto é, o apoio da parede se dá ao longo de toda a base. Definem-se como paredes estruturais as estruturas laminares planas verticais apoiadas de modo contínuo em toda a sua base, sendo que o comprimento da seção transversal é maior do que cinco vezes a largura. Exemplos de paredes são as paredes de reservatórios paralelepipédicos para água enterrados e apoiados diretamente sobre o solo, com a laje de fundo também trabalhando como fundação. As reações de apoio das lajes de tampa e de fundo transmitidas às paredes são ações uniformemente distribuídas e atuam paralelamente ao plano médio. Na figura 1.6 pode-se notar que entre o nível superior da fundação direta e a face superior do nível do térreo há uma parede que tem dupla finalidade: deve conter o empuxo de terra, em função do desnível - efeito de placa e receber a ação das lajes do térreo - efeito de chapa, neste caso uma parede. c. vigas-parede As vigas-parede são estruturas laminares planas verticais apoiadas isoladamente, isto é têm apoios discretos, ou sejam, blocos de fundações, sapatas ou pilares. A NBR 6118:2003 define vigas-parede aquelas que a medida do vão é menor do que três (3) vezes a maior dimensão da seção transversal (altura). Como exemplo de viga parede podem ser citadas as paredes de reservatório paralelepipédico - figura 1.12 - pois além de trabalharem como placa (laje vertical) para receber o empuxo de água, trabalham como chapa - viga parede, pois recebem as reações de apoio das lajes de tampa e de fundo. No projeto de estruturas deste tipo, vale a superposição dos efeitos e, portanto, a parede do reservatório deve ter a segurança verificada como placa e como chapa. As armaduras determinadas para as paredes devem atender as situações de placa e de chapa. d. cascas São as estruturas bidimensionais não planas e são elementos resistentes pela forma e, não pela massa, normalmente curva que têm sido utilizadas na construção de coberturas de grandes vãos, reservatórios com grande capacidade de armazenamento e silos. Na figura 1.13a está mostrada a forma de uma torre de refrigeração de água para usina termonuclear; a figura 1.13-b representa um reservatório de regularização para abastecimento de água; a figura 1.13c é relativa a um silo para armazenamento de grãos ou reservatório para líquidos; a figura 1.13d se refere a uma edificação destinada a ginásio de esportes ou reservatório cilíndrico.

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1.1.2.3 Elementos Tridimensionais a. elementos de fundação Em função da resistência do solo onde se apóia a estrutura, escolhe-se o tipo de fundação. Sapatas são adotadas quando nas proximidades do nível no qual deve ser locado o pavimento de menor cota, em relação ao nível original do terreno, a resistência do solo é considerada satisfatória. As sapatas (Figura 1.14a) são elementos tridimensionais e têm a finalidade de transferir para o terreno as ações que são aplicadas ao pilar. A área de contato entre a sapata e o terreno é calculada em função da tensão admissível do solo, determinada por investigação geotécnica. Quando o perfil do terreno indicar o uso de estacas, cuja transferência de ações é feita para o terreno pela resistência lateral e resistência de ponta, há necessidade de se transmitir as ações atuantes no pilar para as estacas. Essa transmissão é feita pelo bloco de concreto armado (Figura 1.14b) interposto entre o pilar e as estacas.

CORTE HORIZONTAL

CORTE LONGITUDINAL BB

CORTE TRANSVERSAL AA

Figura 1.12 - Forma estrutural de reservatório paralelepipédico


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Figura 1.13 - Sistemas estruturais em cascas [Proença, 1986]

a)

b) Figura 1.14 - Elementos de fundação

b. blocos de transição Alguns terrenos não mobilizam resistência lateral, inviabilizando a utilização de estacas como solução para a fundação. Adota-se, então, fundação em tubulões que têm a finalidade de transferir as ações atuantes no pilar para níveis do terreno onde a resistência é compatível com este tipo de fundação. Essa decisão também é tomada em função da magnitude da ação atuante no pilar e do fator econômico. É feito um alargamento de base em forma de tronco de cone com a finalidade de diminuir a tensão que está atuando no fuste do tubulão para compatibilizá-la com a resistência do solo no nível considerado. A transferência da ação do pilar para o tubulão é feita por bloco de concreto interposto entre o pilar e o tubulão. Nos edifícios às vezes pode ocorrer a impossibilidade de se manter a posição de tramos de pilar entre andares, isto é, não é possível manter o alinhamento do eixo vertical do pilar. Isso ocorre pelo fato de, em função da distribuição arquitetônica de andares consecutivos, não ser possível manter o alinhamento. Há necessidade, portanto, de se projetar um bloco de transição para transferir a ação do tramo superior do pilar para o tramo inferior. O projeto estrutural do bloco de transição é feito

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considerando-se modelo que segue o caminho das tensões. Quando este caminho é desconhecido há necessidade de análise experimental. c. consolos Consolos podem ser definidos como vigas de pequeno vão em balanço com relação entre vão e altura menor do que 1,0, segundo indicação de Leonhardt [1978]. Estes elementos estruturais se comportam como elementos tridimensionais e resistem às ações aplicadas mobilizando resistência ao cisalhamento. A sua ocorrência nas estruturas se dá como adendos aos pilares nos quais não é possível transferência direta das ações. Por exemplo, em edifícios industriais onde há exigência de se prever a existência de ponte rolante, ou em pilares pré-fabricados como indicado na figura 1.15 para apoio das vigas. 1.1.2.4 Sistemas estruturais compostos de elementos Existem sistemas estruturais correntes em estruturas de edifícios que são compostos por dois elementos de comportamentos estruturais diferentes. É o caso, por exemplo, conforme já comentado, dos reservatórios paralelepipédicos onde as paredes têm função de lajes submetidas à ação da água representada por uma ação triangularmente distribuída e, de viga parede em virtude das reações de apoio das lajes de tampa e de fundo.

Figura 1. 15 - Consolos em pilares pré-fabricados. [ABCI, 1986] Outros sistemas estruturais são compostos por elementos estruturais geometricamente diferentes, que são os casos das escadas e muros de arrimo. a. escadas As escadas são compostas por lajes que se constituem nos lances das escadas que, por sua vez, se apóiam nas vigas que podem ser posicionadas nas suas extremidades. Vários são os tipos estruturais possíveis para as escadas, tipos estes definidos em função do projeto arquitetônico, tais como escadas constituídas de degraus isolados com viga central. A figura 1.16 mostra uma escada em lances adjacentes constituída por lajes que se apóiam nas vigas e estas, por sua vez, transferem as suas ações para os pilares. Ao se moldarem as lajes da escada devem ser moldados também os degraus que a constituem. Em edificações mais simples é possível se construírem os degraus em alvenaria de tijolos, o que implica em menor ação nas lajes da escada, um pouco de economia com fôrmas, porém modificando o processo construtivo. b. muros de arrimo Os muros de arrimo são estruturas destinadas a contenção de terrenos. Estão, portanto submetidos a empuxo de terra. Analisando a parede em contato com o terreno na figura 1.6, percebe-se que ela pode sofrer deslocamento horizontal e tombamento.


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Nestas condições há necessidade de uma sapata com a finalidade de equilibrar a ação do momento de tombamento. A parede vertical tem o comportamento de placa, isto é laje submetida a uma ação linearmente variável e determinada em função do tipo de terreno. O comportamento da sapata também é de placa, porém apoiada sobre base que pode ser considerada elástica.

PLANTA

VISTA AA

CORTE BB

Figura 1.16 - Forma estrutural de escada em lances adjacentes

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1.2 DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA DE UM EDIFÍCIO 1.2.1 GENERALIDADES As posições ocupadas pelos elementos estruturais, vigas e pilares, devem estar de acordo com o projeto arquitetônico. O projeto estrutural deve atender todas as exigências quanto a transferência de ações e segurança indicada para edificações específicas e, também, estar em harmonia com o ambiente que o cerca. No caso de edifícios construídos com elementos pré-fabricados os elementos isolados devem ser arranjados de tal modo a se obter um sistema estrutural único. Para edifícios moldados no local, ao se escolher o arranjo estrutural, procura-se considerar o processo construtivo adotado, pois, ao construí-lo por partes, deve ser verificada a segurança das ligações dos elementos estruturais e das partes da edificação prontas. A estrutura do edifício tem que resistir globalmente na direção horizontal o deslocamento por causa das ações horizontais atuantes. Essa idéia está associada ao conceito de rigidez espacial, onde a edificação tem deslocamentos tão pequenos que possam ser desprezados quando comparados com valores limites para os deslocamentos. Isso significa que ao se aplicar uma ação a um dos elementos estruturais do edifício, todos os demais elementos contribuem na capacidade da estrutura de absorvê-la. Os elementos estruturais isolados, lajes, vigas, pilares e paredes estruturais, dos edifícios devem ter resistência mecânica, estabilidade, rigidez e resistência à fissuração e deslocamentos excessivos para poderem contribuir de modo efetivo na resistência global do edifício. A consideração da contribuição espacial da estrutura do edifício permite construir estruturas mais seguras e econômicas. Por outro lado, a consideração de estrutura espacial para o modelo mecânico leva a um maior trabalho de determinação dos esforços solicitantes por ser uma estrutura altamente hiperestática. Esta situação exige equipamento de computação e programas compatíveis com a consideração de pórtico espacial. A estrutura resistente de um edifício de vários andares é constituída pelos elementos de barras verticais - pilares, elementos de barras horizontais - vigas, elementos de placas horizontais - lajes e, se forem necessárias para melhorar a resistência á ação do vento, chapas verticais constituídas pelos pilares paredes. Basicamente as ações verticais, que atuam nas lajes dos vários andares e, que são constituídas pelas ações permanentes diretas e ações variáveis normais, são transferidas para as vigas, que por sua vez, após receberem as ações permanentes das alvenarias, se houverem, as distribuem por flexão aos pilares. Os pilares têm a finalidade de receber as ações das vigas dos vários andares e distribuí-las às fundações. Alem disso, contribui para a resistência das ações horizontes e estabilidade global. As ações horizontais, na grande maioria dos edifícios construídos em território nacional até esta data, são por causa da ação do vento. Em localidades onde há a ocorrência de abalos sísmicos é necessária a sua consideração, sendo que um dos modelos mecânicos adotados é o de pórtico com forças horizontais aplicadas nos nós. Outros modelos mecânicos mais elaborados levam em conta considerações dinâmicas. Todos os elementos estruturais citados são responsáveis por absorver as ações horizontais, pois embora a ação do vento ocorra nas fachadas dos edifícios, há uma distribuição destas por ação das paredes de alvenaria ou elemento de fachada para as vigas e pilares de extremidade, e destes para os pilares internos. As lajes trabalham como diafragmas horizontais, por possuir grande rigidez no seu plano e sendo considerada, portanto, como elemento de corpo rígido.


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1.2.2 DISPOSIÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS As disposições dos elementos estruturais devem atender as condições peculiares do arranjo arquitetônico e as condições de segurança estrutural do edifício. As ações que solicitam uma estrutura de edifício são: peso próprio da estrutura, peso próprio das paredes divisórias, com os respectivos acabamentos, e as de utilização, adotadas em função da finalidade do ambiente arquitetônico. As alvenarias de fechamento ou divisórias são ações que podem ser consideradas linearmente distribuídas. As ações de peso próprio das lajes e seus revestimentos são consideradas uniformemente distribuídas por unidade de área; o mesmo ocorre com as ações de utilização. As ações horizontais relativas ao vento devem ser consideradas nas estruturas de edifícios. Com essas considerações em mente, o engenheiro projetista da estrutura deve procurar arranjar os elementos estruturais de tal modo a gerar condições de resistência às ações verticais e horizontais e, ainda, posicioná-los sem provocar interferências no arranjo arquitetônico. A disposição dos elementos deve garantir, também, a capacidade da estrutura com relação à estabilidade global. As posições dos pilares são escolhidas de tal modo que a distância entre pilares consecutivos e que recebam ações de uma mesma viga, não provoque a necessidade de altura excessiva para a viga, pois há necessidade de atender as dimensões indicadas pelo projeto arquitetônico para caixilhos, janelas e portas. Do mesmo modo se cuida para não ter lajes com vãos efetivos muito grandes, o que gera lajes com espessuras elevadas e, portanto, com grande consumo de concreto. Corrêa (1991) indica que a idealização do arranjo estrutural está intimamente associada ás ações presentes no edifício já que o objetivo básico do sistema estrutural é coletá-las e controlar-lhes o fluxo. De acordo com essa idéia é possível considerar o sistema estrutural dividido em subsistemas horizontais e verticais. Os subsistemas horizontais são constituídos pelas lajes, que são elementos bidimensionais que funcionam como diafragmas e como elementos de ligação entre os elementos estruturais verticais. Os subsistemas verticais recebem as ações verticais transmitidas pelos subsistemas horizontais e resistem às ações horizontais (vento). 1.3 ARRANJO ESTRUTURAL [Elaborado por Márcio Roberto Silva Corrêa] Um dos pontos mais delicados do projeto estrutural consiste em escolher os elementos a serem utilizados e arranjá-los de maneira eficiente. Quando o engenheiro estrutural começa a conceber a estrutura que garantira a forma do edifício, ele precisa decidir se algumas partes da construção, que estarão presentes independentemente da estrutura escolhida, participarão do sistema estrutural. É o caso, por exemplo, das alvenarias, que podem ser utilizadas apenas com a função de fechar e delimitar espaços ou como elementos estruturais. Excluindose a hipótese da estrutura do edifício ser concebida em alvenaria estrutural, as paredes de alvenaria, em geral, são tratadas como mais um agente externo que carrega a estrutura. Neste caso, a capacidade resistente de tais elementos, mobilizada pela interação com a estrutura sadia, como se ilustra na figura 1.17 contribui como uma reserva de segurança, cuja importância é mais acentuada no enrijecimento dos subsistemas verticais para a transmissão de ações laterais á base da edificação.

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Figura 1.17.- Alvenaria mobilizada como elemento resistente Outro aspecto a ser observado é o da definição de hierarquia dos subsistemas estruturais. Por exemplo, uma treliça projetada para suportar um telhado na cobertura de um edifício tem importância reduzida quando comparada a de um pórtico que participe do conjunto de painéis de contraventamento da estrutura e que funcione na captação das ações dos pisos. Como a treliça possui uma função específica e localizada, ela pode ser destacada do conjunto ao se analisar a resposta global da estrutura do edifício quando submetido a ações laterais como a do vento. Como a participação da treliça é pequena, bem como a sua influência sobre a maneira como as ações se distribuem entre os diversos painéis de contraventamento, a sua exclusão não prejudica os resultados e simplifica o modelo. É evidente que o estudo do comportamento dessa treliça deve ser feito, incluindo-se a ação do vento sobre o telhado, se for o caso. Só que esse estudo se desenvolve, em geral, considerando-se a treliça isoladamente, como estrutura auxiliar que se apóia sobre outros elementos estruturais, sem a necessidade de agregá-los ao modelo. Tais elementos aparecem apenas como condições de contorno. A idealização do arranjo estrutural está intimamente associada às ações presentes no edifício já que o objetivo básico do sistema estrutural é coletá-las e controlar-lhes o fluxo. Em geral, as ações verticais de piso e cobertura são coletadas em subsistemas horizontais bidimensionais que funcionam também como diafragmas e conectores dos elementos dispostos na vertical. Os subsistemas verticais, por sua vez, recolhem as ações verticais transmitidas pelos subsistemas horizontais e resistem às forças horizontais. A definição dos subsistemas horizontais e verticais é feita simultaneamente uma vez que os mesmos são interdependentes. Distâncias entre os elementos verticais estão condicionadas pelas dimensões e formas dos elementos dispostos na horizontal, que por sua vez têm limites definidos pela ocupação de espaço pelo subsistema horizontal em comparação com os pés-direitos definidos e a altura total do edifício. Essa altura condiciona as dimensões dos elementos verticais e horizontais, pois em geral quanto maior a altura maiores são as solicitações verticais e horizontais. Para se conferir maior resistência ao sistema estrutural, pode-se optar por aumentar dimensões de peças, reduzir vãos ou promover um maior numero de ligações entre os vários elementos estruturais. A necessidade de reduzir vãos pode ferir a concepção arquitetônica, assim como o aumento da dimensão de uma peça pode ser fisicamente impossível em função de disponibilidade de espaço, ou até mesmo de necessidades estéticas. Em resumo: o problema tem como característica fundamental a complexidade, por causa do número de variáveis presentes e da multiplicidade de soluções possíveis. A concepção do arranjo estrutural envolve a idealização das ligações dos diversos elementos estruturais entre si e com o meio externo que lhes serve de apoio. Alguns

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requisitos importantes devem ser observados para que a idealização seja eficiente. Em primeiro lugar devem-se garantir ligações suficientes para que não haja a formação de mecanismos. Em segundo lugar deve-se atentar para um ponto de grande relevância: as ligações previstas devem ser exeqüíveis e devem representar da melhor maneira possível aquelas que realmente ocorrerão. Este fato é de especial delicadeza, pois o afastamento entre o arranjo ideal e o arranjo real destrói a representatividade do modelo assumido, e todo o controle sobre o fenômeno em análise. Um exemplo muito ilustrativo é apresentado em Fusco [1976]. Observe-se o pórtico plano, concebido em concreto armado, representado na figura 1.18. Admite-se que haja engastamento perfeito nas seções E e F. Para que o engastamento seja realizado, o pórtico é ligado monoliticamente a blocos rígidos de fundação. Para que se tenha o engaste perfeito é necessário que as seções E e F não tenham nenhuma mobilidade no plano. Se o terreno tiver capacidade de absorver as solicitações, com recalques desprezíveis, os engastes idealizados se realizam. Caso o terreno seja adensável o esquema inicialmente planejado se altera, e as ligações com o terreno de fundação se aproximam de articulações.

Figura 1.18 - Exemplo de pórtico apoiado em terreno adensável Aproveitando-se o exemplo anterior imagine-se que as condições do terreno sob o bloco fixado em E sejam tais que, diante das solicitações presentes, a imobilização da seção E esteja garantida. Admita-se, também, que o terreno sob o bloco em F permita rotação, porém oferecendo certa resistência apreciável. Neste caso um esquema possível seria o que se apresenta na figura 1.19.

Figura 1.19 - Exemplo de vinculação

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1.4 SISTEMAS ESTRUTURAIS USUAIS [Elaborado por Márcio Roberto Silva Corrêa] Como já se observou a escolha do sistema estrutural a se adotar para um determinado edifício e um problema de grande complexidade. Porém, como uma infinidade de soluções já foram experimentadas, em situações muito variadas, algumas delas estão consagradas e se tornaram as mais usuais. Dentre elas algumas são aqui apresentadas a título de ilustração. 1.4.1 SUBSISTEMAS HORIZONTAIS Têm como funções estruturais básicas: - Coletar forças gravitacionais e transmiti-las para os elementos verticais; o comportamento é predominantemente de flexão. - Distribuir as ações laterais entre os diversos subsistemas verticais resistentes, comportando-se como diafragmas. A concepção geometricamente mais simples consiste em uma placa que coleta as ações gravitacionais distribuídas em sua superfície e as transmite diretamente aos pilares. A placa usualmente é uma laje de concreto (armado ou protendido), que pode necessitar de concentração de material nas regiões de ligação aos pilares para o aumento de sua capacidade resistente. Este é o subsistema laje plana ou laje cogumelo, ilustrado na figura 1.20.

Figura 1. 20 - Lajes Outras concepções são possíveis com a combinação de placas e barras horizontais. Estas funcionam como enrijecedores do subsistema horizontal e auxiliares na transmissão de ações aos pilares. A distribuição da rigidez adicional pode ser feita com uma grande densidade de barras que possuem seções transversais reduzidas (nervuras) ou com uma pequena densidade de barras de seções transversais de maior área (vigas). Das inúmeras opções de composição placa-barra algumas são ilustradas nas figuras 1.21, 1.22 e 1.23.

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Figura 1.21 - Pavimentos com lajes e vigas

Figura 1.22 - Pavimento em laje nervurada e vigas

Figura 1.23 - Pavimento em grelha

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Uma opção alternativa e a utilização simultânea de materiais diferentes, como os subsistemas placa sobre vigas mostrados na figura 1.24.

Figura 1.24 - Pavimento em laje moldada no local e vigas metálicas. 1.4.2 SUBSISTEMAS VERTICAIS Têm como funções estruturais básicas: -Suportar os subsistemas horizontais coletando as ações gravitacionais e transmitindo-as para as fundações. -Compor com os subsistemas horizontais os painéis resistentes às ações laterais. De forma resumida podem ser entendidos como arranjos de barras e folhas compondo os seguintes tipos básicos: -pilares: barras verticais contínuas -pórticos: arranjo de barras predominantemente horizontais (vigas) e verticais (pilares), conectadas de modo a permitir interação de forças e momentos fletores (nós rígidos). -paredes: folhas planas de comportamento preponderante de chapa, ou painéis bidimensionais treliçados de grande rigidez em seu plano. -núcleos: arranjo tridimensional de folhas ou de painéis treliçados que, geralmente, envolvem as regiões de fluxo humano vertical no edifício (escadas e elevadores). Muitas combinações dos tipos básicos são possíveis. Desde a concepção geometricamente mais simples, como a utilização exclusiva de pilares agrupados por ligações a lajes planas, até as mais complexas, como as mega-estruturas tubulares reforçadas externamente com grandes painéis treliçados. Algumas dessas combinações são ilustradas na figura 1.25. A ousadia de arquitetos e engenheiros tem permitido que a demanda por edifícios cada vez mais altos nos grandes centros populacionais seja atendida. Quanto mais altos os edifícios, maiores as solicitações presentes, com ênfase nas oriundas de ações laterais que podem ser dominantes na definição do sistema estrutural. Observando-se soluções de sucesso, utilizadas na prática da Engenharia de Estruturas, pode-se organizar um quadro que, sem a pretensão de encerrar o assunto, busca associar o número de pavimentos de um edifício com os sistemas estruturais adotados por LIN [1981], TARANATH [1988], AÇOMINAS [1979], Margarido [1986]. É o que se apresenta na tabela 1.1, buscando contemplar as estruturas concebidas em aço, concreto armado ou protendido e a combinação destes materiais.

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Pilares

Treliça Inter Pavimento

Treliça Passante

Pórticos e Paredes Associados

Pórticos

Núcleos

Tubos Modulares

Tubo Treliçado

Figura 1. 25 - Alguns subsistemas verticais Analisando a tabela 1.1 pode-se perceber que para os edifícios usuais, até 15 pavimentos, é possível adotar-se para sistema estrutural pavimento constituído por lajes maciças e vigas e como subsistema vertical pilares. Se a altura for um pouco maior, por exemplo, 20 pavimentos, ter-se-á a necessidade de contar com, além de pórticos, paredes com a finalidade de absorver as ações horizontais (vento). Tabela 1.1 - Sistemas estruturais para edifícios SISTEMA Laje plana e pilares Laje plana, pilares e paredes Treliça interpavimento Pórtico Núcleo rígido Pórtico com reforço diagonal Paredes e pórticos associados Treliça passante Tubo externo Tubo externo e núcleo interno Tubos modulares Mega estrutura em tubos treliçados

NÚMERO DE PAVIMENTOS 0

20

40

60

80

100

120

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Para um número maior de pavimentos deve-se utilizar a região dos elevadores para construir um núcleo rígido de concreto armado, sendo que as paredes que definem a área dos elevadores serão substituídas pelos elementos estruturais do núcleo. Evidentemente o núcleo será provido de aberturas para se poderem dispor as portas dos elevadores. 1.5 IDEALIZAÇÃO DAS AÇÕES [Elaborado por Márcio Roberto Silva Corrêa] Durante o projeto da estrutura de um edifício trabalha-se com uma previsão das ações que estarão presentes quando essa estrutura entrar em funcionamento. Essa previsão, amparada em prescrições normalizadas, é feita com base na funcionalidade do edifício, no arranjo em estudo (incluindo pré-dimensionamento das peças), nos materiais a serem empregados, nas dimensões da construção e na interação do edifício com o meio ambiente. As ações podem ser de natureza estática ou dinâmica. Sempre que possível, ações que variam no tempo são aproximadas (idealizadas) por ações estáticas equivalentes como nos casos de ações acidentais, rajadas do vento, distúrbios sísmicos, etc. Sejam diretas (forças) ou indiretas (deformações impostas) as ações utilizadas no projeto são sempre aproximações que buscam simplificar o problema. É importante observar que em muitos casos o projetista tem opções alternativas para idealizar uma determinada ação. Tome-se, a título de ilustração, o caso de uma viga biapoiada que serve de suporte para uma parede de alvenaria conforme se mostra na figura 1.26. O esquema usual consiste em considerar a ação da parede sobre a viga como uma força vertical linearmente distribuída com taxa uniforme.

Figura 1.26 - Parede sobre viga - ação usual Alternativamente, levando-se em conta o efeito arco no comportamento do conjunto parede-viga, o esquema de carregamento da viga pode ser expresso por forças verticais e horizontais junto aos apoios, como se esboça na figura 1.27.


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Figura 1.27 - Parede sobre viga - ação alternativa Outro exemplo ilustrativo é o de paredes de alvenaria apoiadas em uma laje. O carregamento das paredes sobre a laje pode ser expresso por forças verticais distribuídas sobre a área de contato ou, no caso em que as paredes se espalham por toda a laje, é usual idealizar-se o carregamento como sendo uma força vertical uniformemente distribuída sobre a superfície total da laje. A ação de paredes de alvenaria pode ser considerada linearmente distribuída na laje quando esta for considerada armada em uma direção, isto é, quando o maior vão teórico for maior que duas vezes o menor. 1.6 O MODELO MECÂNICO [Elaborado por Márcio Roberto Silva Corrêa] O projetista estrutural não analisa a estrutura real, mas uma versão idealizada que constituí o modelo mecânico, conforme pode ser visto na Figura 1.28. O modelo mecânico engloba todas as idealizações adotadas pelo engenheiro e se expressa por um conjunto de relações matemáticas que interligam as variáveis importantes do fenômeno físico em estudo. O sistema estrutural idealizado é apenas um substituto do sistema real, e como tal inclui aproximações. É imprescindível que o projetista tenha habilidade e conhecimentos suficientes para que o modelo seja capaz de representar, de forma satisfatória, o sistema físico real e de produzir resultados cuja aproximação seja conhecida. Em geral, quanto maior a representatividade do modelo tanto mais elaborado ele poderá ser. Essa maior elaboração pode ser alcançada resumidamente por: -aumento da complexidade das teorias que exprimem o comportamento dos elementos estruturais e dos materiais componentes; -integração de um maior número de elementos estruturais no modelo ao invés de legar a cada um uma função estrutural específica, em modelos isolados; -adoção de domínios geométricos mais abrangentes tal como a inclusão do solo e das fundações em conjunto com a superestrutura do edifício no modelo.

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E atraente a idéia de se conceber um modelo para a estrutura de um edifício com grande requinte, combinando-se os seus diferentes elementos estruturais que, em conjunto, apresentam um comportamento integrado complexo. A constante busca de realização dessa idéia é anotada em ENGEL [1981] como um dos mais notáveis e importantes desenvolvimentos da Engenharia de Estruturas atual, incentivada pela nova dimensão aberta pelos computadores eletrônicos aos métodos numéricos.

Figura 1. 28 - Modelo da estrutura Essa busca justifica-se o tratamento do sistema estrutural integrado confere ao modelo a capacidade de representar propriedades resistentes que esse sistema possui, inerentes ao trabalho conjunto dos vários elementos estruturais, muitas das quais são usualmente desprezadas. Além de exprimir melhor o comportamento da estrutura é possível, com segurança, produzir soluções mais econômicas. Muitas vezes surgem dificuldades na utilização dos modelos mais sofisticados, relacionadas á complexidade matemática do problema em si e também ao volume de operações e dados envolvidos em sua solução. O projetista pode esbarrar, por exemplo, em limites de capacidade do equipamento eletrônico á sua disposição, ou na falta de "software" adequado à análise da situação que se apresenta. O que não se deve perder de vista é a necessidade constante de melhoria dos modelos, o que muitas vezes pode ser alcançado com os recursos disponíveis ao projetista. Um simples problema de interseção de duas vigas em ponto não apoiado em pilar é mais bem representado com a compatibilização de flechas do que com a hipótese de que uma das vigas serve de apoio rígido para a mais flexível, ou de menor inércia ou outro critério duvidoso aplicado regularmente em escritórios de projeto. Em resumo: a implementação do modelo deve ser uma preocupação constante do profissional responsável para que a interdependência das ações e respostas da


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estrutura cada vez mais possa ser mais bem representada. 1.7 CUSTO DA ESTRUTURA O custo da estrutura em concreto armado moldado no local para edifícios convencionais resulta da ordem de 20% a 25% do custo total considerando a obra pronta para utilização. Nestes índices deve ser levados em conta o tipo de fundação adotado, que pode ser em sapatas, estacas - de concreto moldado no local, concreto pré-fabricado, metálicas, ou tubulões moldados no local, que por sua vez podem ser moldados a céu aberto ou a ar comprimido. A título de ilustração apresenta-se a tabela 1.2, elaborada por Mascaro (1985), onde são anotados os custos de cada etapa da construção de um edifício de dez andares, destinados a apartamentos residenciais, com pavimento térreo, sem garagens, construído entre as divisas laterais do terreno e com fundações em sapatas apoiadas em terreno de boa qualidade. Analisando-a pode-se perceber que para este caso o custo para construir a estrutura de concreto armado é da ordem de 25%. Evidentemente cada edifício tem seu custo particular, pois condições específicas do terreno exigem solução única para a fundação, o mesmo ocorre se o terreno possui desníveis o que indica a necessidade de muros de arrimo em concreto armado. Dependendo do tipo de acabamento que o arquiteto indique para o projeto, o que muitas vezes está ligado ao padrão financeiro dos moradores, ter-se-á custo compatível. Como acabamento pode-se pensar nos caixilhos, portas, azulejos, pisos, aparelhos sanitários, tipo de aquecimento de água, aquecimento de ambientes, refrigeração, quantidade de elevadores, piscinas, saunas, salão de jogos, salas de leitura e de festas e etc. Elaborada pelo mesmo autor já citado, mostra-se a tabela 1.3 onde os custos parciais são reorganizados em itens que se referem aos custos para construção dos planos horizontais, do plano vertical e das instalações. Os serviços envolvidos nestes subitens estão citados na tabela na coluna composição. Na tabela consideram-se as porcentagens de custos relativos à estrutura de concreto armado, alvenarias de vedação e instalações. A análise da tabela 1.3 mostra que do custo para se construir os planos horizontais 20% do custo total da obra é destinado à estrutura de concreto armado lajes, vigas e fundações. Para os planos verticais 4% do custo total é consumido com a estrutura resistente - pilares e paredes de contraventamento No custo do concreto armado estão envolvidos os custos dos materiais que o compõem (pedra britada, areia, cimento, aditivos e adições), as barras e os fios de aço que formam as armaduras, os materiais para montar as fôrmas para moldagem de todos os elementos estruturais, os custos dos andaimes, os custos com mão de obra para preparação das fôrmas e dos materiais e custos de lançamento, adensamento, cura e desforma. Cada um dos custos parciais incide no custo total por unidade de volume com porcentagens da ordem dos valores indicados: concreto: (C15, preparado com betoneira) 24,08% 3 aço: (CA-50, 100 kg/m ) 27,87% Fôrma: (12 m2 /m3 de concreto) 42,34% Andaimes: 0,56% lançamento e aplicação do concreto: 5,16% Total 100,00% Observação: A NBR 6118:2003 indica que, para estruturas de concreto armado, a resistência característica mínima do concreto é de 20MPa (C20).

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Tabela 1.2 - Custo de construção das diferentes etapas [Mascaró, 1985] ITEM

PORCENTAGEM SOBRE O CUSTO TOTAL ( % )

Canteiro de Obras

5,09

Fundações

4,48

Estrutura resistente (sem fundações)

20,13

Contrapisos

2,22

Alvenaria e Impermeabilizações Acabamentos Verticais

14,49

Acabamentos Horizontais

6,99

Esquadrias Internas e Externas Instalação Sanitária e Contra Incêndio Instalação de Gás Instalação Elétrica Elevadores Instalações Contra Incêndio Compactador de Lixo

8,72

14,14 8,22

OBSERVAÇÕES Amortização dos equipamentos 0,44%; trabalhos preliminares 0,48%; previdência 1,25%; seguros e vigilância 2,26% e gastos diversos 0,66%. Considera o caso de fundações diretas, ou seja, por sapatas independentes ou, em alguns casos vinculadas. Compreende: lajes, vigas pilares e paredes de contraventamento. Compreende os contrapisos sobre o terreno natural, ou dos banheiros e outros contrapisos em geral. O gasto em impermeabilização é pequeno e chega aproximadamente, a 0,3% (incluindo a cobertura) Compreende: rebocos exteriores 3,49%; rebocos interiores 5,2%; revestimentos 1,65%; pintura 3,18% e rodapés 0,93%. Compreende: forros 2,06% terraços acessíveis 0,71%; soleiras 0,42% e pisos 3,8% Compreende: esquadrias internas de madeira 8,2%; externas metálicas 5,32% e vidros 0,61% Compreende os aparelhos das instalações Compreende os aparelhos das instalações

4,69 5,45 4,79

Compreende bombas de elevação de água. Compreende elevadores para 4 pessoas: 45m/min; Portas telescópicas; Comando simples, sem memória

0,59

Tabela 1.3 - Custo segundo pavimentos horizontais [Mascaró, 1985] Classificação do elemento

Composição

.parte horizontal da estrutura resistente, Elementos formados por fundações planos horizontais .contrapisos .acabamentos horizontais .parte vertical da estrutura resistente, Elementos formados por .alvenaria e planos verticais isolamento .acabamentos verticais .esquadrias interna e externa Instalações .instalação sanitária e (cujos custos são contra incêndio. semi-independentes .instalação de gás das dimensões do .instalação elétrica edifícios) .elevadores .compactador de lixo Canteiro de obra

Porcentagem

Total Parcial

20,58 2,22 6,99

29,79%

4,03 8,72 14,49 14,14 8,22 4,69 5,45 4,79 0,59

41,37%

23,74% 5,09%

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Os preços são atualizados semanalmente por Pini Sistemas, em São Paulo Capital, e inclui os custos dos materiais, mão de obra, equipamentos e leis sociais que incidem em 126,80% (22 de março de 1993) e com BDI de 15%. Os custos das fôrmas incidem em torno de 40% do preço final das estruturas de concreto armado requerendo, portanto, um estudo apurado da forma estrutural da edificação com a finalidade de se obter o máximo de economia possível neste item. As fôrmas, bem como o cimbramento, devem ser projetadas prevendo-se o máximo de reaproveitamento possível, sendo a padronização um dos aspectos mais importantes. Nos casos de lajes nervuradas, por exemplo, pode-se utilizar como fôrmas das nervuras e das mesas, materiais inertes como blocos de isopor, concreto celular, plásticos, etc., em substituição as fôrmas metálicas ou de madeira. Os custos com mão-de-obra podem ser reduzidos, adotando-se no projeto estrutural detalhes simples e padronizados. As armaduras para as lajes podem ser constituídas por telas soldadas, adquiridas no comércio nas dimensões dos painéis de lajes de tal modo a evitar perdas. As barras e os fios de aço utilizados nas vigas e pilares podem ser comprados de firmas especializadas em fornecê-las dobradas e montadas. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. VLASSOV, B.Z. Pieces longues en voiles minces. Paris, Eyrolles, 1962. 2. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 1259:1989: Projeto e execução de argamassa armada. Rio de Janeiro, 1989. 3. FUSCO, P.B. Estruturas de concreto: fundamentos do projeto estrutural. São Paulo. MCGraw-Hill/Editora da Universidade de São Paulo, 1976. 4. ANDRADE, J.R.L. Estruturas correntes de concreto armado: 1a. parte. São Carlos, EESC-USP, 1982. 5. HANAI, J.B. Construções de argamassa armada: fundamentos tecnológicos para projeto e execução. São Paulo, Pini, 1992. 6. MacGREGOR, J.G. Reinforced concrete: mechanics and design. 2.ed. Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 1992. 7. LAJOTEC INDÚSTRIA E COMÉRCIO DE ARTEFATOS DE CIMENTO. Pré-lajes, São Carlos, SP, (Catálogo técnico) 8. LAJES PAOLI CONSTRUTORA INDUSTRIAL. Catálogo técnico. São Paulo, SP. 9. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DA CONSTRUÇÃO INDUSTRIALIZADA. Manual técnico de pré-fabricados de concreto. São Paulo, ABCI/Projeto, 1987. 10.FIGUEIREDO FILHO, J.R. Sistemas estruturais de lajes sem vigas: subsídios para o projeto e execução. São Carlos, 1989. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos , Universidade de São Paulo. 11.ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 2003:2003 Projeto de estruturas de concreto. Rio de Janeiro, 2003.

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12.PROENÇA, S.P.B. Notas de aulas sobre cascas. São Carlos, EESC-USP, 1966. 13.LEONHARDT, F.; MONNIG, E. Construções de concreto: princípios básicos sobre a armação de estruturas de concreto armado. Rio de janeiro, Interciência, 1978. v.3. 14.CORRÊA, M.R.S. Aperfeiçoamento de modelos usualmente empregados no projeto de sistemas estruturais de edifícios. São Carlos, 1991. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos de São Carlos, Universidade de São Paulo. 15.LIN, T.Y.; STOTESBURY, S.D. Structural concepts and systems for architects and engineers. New York, John Wiley & Sons. 1981. 16.TARANATH, B.S. McGraw-Hill, 1988.

Structural analysis and design of tall buildings. New York,

17.AÇOMINAS. Edifícios de andares múltiplos. Belo Horizonte, 1979. (Coletânea Técnica do Uso do Aço, v.1). 18.MARGARIDO, A.F., Arranjos estruturais dos edifícios em aço. In: SEMINÁRIO SOBRE OS EDIFÍCIOS DE ESTRUTURAS METÁLICAS. São Paulo, 26-27 jun. 1986. Anais. São Paulo, EPUSP, 1986. p.39-70. 19.ENGEL, H. Sistemas estruturais. São Paulo, Hemus, 1981. 20.MASCARÓ, J.L. O custo das decisões arquitetônicas. São Paulo, Nobel, 1985. 21.CONSTRUÇÃO SÃO PAULO, Pini, fevereiro, 1994.

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2. AÇÕES A CONSIDERAR NOS PROJETOS DE EDIFÍCIOS 2.1 INTRODUÇÃO 2.1.1 GENERALIDADES A NBR 8681:2002, define ações como sendo as causas que provocam o aparecimento de esforços solicitantes ou deformações nas estruturas. Diz ainda que, do ponto de vista prático, as forças e as deformações impostas pelas ações são consideradas como se fossem as próprias ações. É corrente a designação de ações indiretas para as deformações impostas e de ações diretas para as forças. O EUROCODE 2[1989] define ações como sendo forças ou cargas aplicadas nas estruturas, podendo ser diretas, por exemplo, o peso próprio da estrutura ou indiretas, por exemplo, as deformações em virtude do efeito de variação de temperatura, recalques de apoios, retração. A NBR 6118:2003 indica que na análise estrutural deve ser considerada a influência de todas as ações que possam produzir efeitos significativos para a segurança da estrutura em exame, levando-se em conta os possíveis estados limites últimos e os de serviço. De acordo com a NBR 8681:2003, as ações que atuam nas estruturas podem ser subdivididas em: ações permanentes, ações variáveis, ações excepcionais e cargas acidentais. 2.1.2 AÇÕES PERMANENTES As ações permanentes são aquelas que ocorrem nas estruturas com valores constantes ou de pequena variação em torno de sua média, durante praticamente toda a vida da construção. As ações permanentes podem ser diretas ou indiretas. 2.1.2.1 Ações permanentes diretas As ações permanentes diretas são assim consideradas aquelas oriundas dos pesos próprios dos elementos da construção, incluindo-se o peso próprio da estrutura e de todos os elementos construtivos permanentes, os pesos dos equipamentos fixos e os empuxos relativos ao peso próprio de terras não removíveis e de outras ações permanentes sobre a estrutura aplicadas. Em casos particulares, por exemplo, reservatórios e piscinas, os empuxos hidrostáticos também podem ser considerados permanentes. Entre as ações permanentes diretas, no caso de estruturas de edifícios, podem ser incluídos os pesos próprios dos elementos de concreto armado, os pesos próprios dos pisos e revestimentos e das paredes divisórias que podem ser em alvenaria de tijolos. 2.1.2.2 Ações permanentes indiretas Nos casos de estruturas de concreto as ações permanentes indiretas podem ser consideradas como as forças de protensão em peças de concreto protendido, os recalques de apoio por causa de deslocamentos dos elementos estruturais que servem de apoio ou por recalques do solo e retração dos materiais. A retração é uma ação importante no caso de elementos estruturais protendidos ou de pequena espessura.

Capítulo 2 - Ações a considerar nos projetos de edifícios

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2.1.3 AÇÕES VARIÁVEIS São as que ocorrem nas estruturas com valores que apresentam variações significativas em torno de sua média, durante a vida da construção. São as ações de uso das construções (pessoas, móveis, materiais diversos, veículos), bem como seus efeitos (forças de frenação, de impacto e centrífugas), efeitos do vento, das variações de temperatura, do atrito nos aparelhos de apoio e das pressões hidrostáticas e hidrodinâmicas. Em função de sua probabilidade de ocorrência durante a vida da construção, as ações variáveis são classificadas em normais ou especiais. 2.1.3.1 Ações variáveis normais São aquelas com probabilidade de ocorrência suficientemente grande para que sejam obrigatoriamente consideradas no projeto estrutural. Neste caso se incluem as ações variáveis normais, também chamadas cargas acidentais, que atuam nas estruturas dos edifícios, mais precisamente sobre as lajes dos pavimentos que são relativas ao uso por pessoas que a utilizam, mobiliário, veículos, bibliotecas, etc. 2.1.3.2 Ações variáveis especiais São consideradas ações variáveis especiais as ações sísmicas ou cargas acidentais de intensidade especiais. Como cargas acidentais especiais podem ser citadas como exemplos aquelas constituídas por caminhões preparados para transporte de componentes de turbinas para usinas hidrelétricas. As pontes e viadutos das estradas de tráfego normal são projetadas para os veículos - tipos especificados nas normas brasileiras. Nos casos daquele tipo de transporte os projetos das pontes devem ser revistos, antes de se autorizar a viagem e, se for o caso, as estruturas precisam ser reforçadas. O conjunto das ações em um elemento estrutural de ponte é chamado de trem-tipo. 2.1.4 AÇÕES EXCEPCIONAIS São aquelas que têm duração extremamente curta e muito baixa probabilidade de ocorrência durante a vida da construção, mas que precisam ser consideradas nos projetos de determinadas estruturas. São as ações decorrentes de causas como: explosões, choques de veículos, incêndios, enchentes ou sismos excepcionais. Nas estruturas de edifícios os choques de veículos podem ocorrer nas áreas de manobras das garagens e os incêndios devem ser considerados com probabilidade compatível com o tipo de utilização da obra, tais como indústrias de produtos químicos. A NBR 8681:2002 considera que os incêndios, ao invés de serem tratados como causa de ações excepcionais, também podem ser levados em conta por meio de redução da resistência dos materiais constitutivos da estrutura. Para estruturas de concreto existe norma específica para projeto de estrutura resistente ao fogo. Cuidados especiais devem ser tomados com relação ao cobrimento das barras da armadura. Com relação à segurança contra incêndio em edifícios os projetos arquitetônicos prevêem que as escadas devem ser enclausuradas, cujo acesso é feito por duas portas corta-fogo, sendo que entre as duas portas fica uma antecâmara com duto de fumaça, para proteger a escada em caso de incêndio.

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2.2 VALORES DAS AÇÕES PERMANENTES A NBR 6120:1980 prescreve que este tipo de ação é constituída pelo peso próprio da estrutura e todos os elementos construtivos fixos e instalações permanentes. No caso de edifícios as ações permanentes são constituídas pelos pesos próprios dos elementos estruturais - lajes, vigas, pilares, blocos ou sapatas de fundações, dos elementos de vedação, das paredes de alvenaria - com os vários tipos de tijolos que podem ser usados na edificação, caixilhos com vidros ou divisórias de vidros. Os elementos de revestimento de paredes, argamassas, azulejos, pedras decorativas, madeiras e etc., também devem ter seu peso próprio considerado na avaliação das ações dos revestimentos verticais. Para os revestimentos horizontais devem ser considerados os revestimentos na face inferior das lajes e os contrapisos e os pisos que podem ser de madeira, cerâmico, pedras, carpetes, etc. Os contrapisos são feitos em argamassa de cimento e areia e têm a finalidade de corrigir as imperfeições, com relação ao nível superior das lajes, oriundas da concretagem. A execução do contrapiso demanda custos adicionais na obra, tais como: material argamassa, custo de transporte e de mão de obra para fazer a argamassa e aplicá-la. Algumas empresas têm se preocupado em melhorar o processo de moldagem das lajes com a finalidade de evitar a execução do contrapiso, portanto, com economia significativa na obra, otimizando tempo e recursos financeiros. Existem edifícios destinados à moradia ou comercial, com melhor cuidado arquitetônico, onde existem ambientes destinados a jardins internos. O projeto arquitetônico deve especificar os detalhes para que se possa, no projeto estrutural, definir claramente as ações relativas às jardineiras e lagos artificiais, etc. Lembra-se que um metro cúbico de terra tem massa de 1800kg. Dependendo do porte das plantas que compõem o projeto de jardinagem a sua massa assume significado especial na consideração das ações. A NBR 6120:1980 especifica que na falta de determinação experimental, o projetista de estruturas pode adotar os pesos específicos aparentes dos materiais de construção indicados na Tabela 2.1. Na tabela são listados os valores relativos aos materiais mais comuns. É interessante notar que se for especificado, para um determinado ambiente arquitetônico, piso de madeira de ipê róseo de 2cm de espessura, o seu peso por unidade de área será de 0,20 kN/m2, se, por outro lado, for especificado mármore, na mesma espessura, o peso passa a ser de 0,56 kN/m2, ou seja, uma diferença de 180%. Com isso, se pretende justificar o pleno conhecimento que o engenheiro projetista deve ter de todos os materiais de acabamento, para não cometer erro de avaliação nas ações de peso próprio. Para situações específicas, como por exemplo, a utilização de blocos de concreto celular como vedação de alvenarias, deve ser consultado catálogo do fabricante, ou seu departamento técnico, pois para a composição do carregamento total da alvenaria há necessidade de se conhecer o peso específico do material. Muitos dos componentes das edificações são constituídos pela composição de outros, por exemplo, os caixilhos metálicos e de madeira. Para determinar as suas ações permanentes nas estruturas é necessário compor os pesos dos materiais, isto é, acrescentar ao peso de aço ou madeira o peso dos vidros que compõem o caixilho. Na falta de dados normalizados ou de catálogos de fabricantes de componentes de construção há necessidade de se determinar experimentalmente os seus pesos próprios.

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TABELA 2.1 - Peso específico dos materiais de construção Materiais

Rochas

Blocos Artificiais

Revestimentos e concretos

Madeiras

Metais

Materiais Diversos

Arenito Basalto Gneiss Granito Mármore e Calcário Blocos de argamassa Cimento amianto Lajotas cerâmicas Tijolos furados Tijolos maciços Tijolos sílico-calcários Argamassa de cal, cimento/areia Argamassa de cimento e areia Argamassa de gesso Concreto simples Concreto armado Pinho, cedro Louro, imbuia, pau óleo Guajuvirá, guatambu, grápia Angico, cabriuva, Ipê róseo Aço Alumínio e ligas Bronze Chumbo Cobre Ferro Fundido Estanho Latão Zinco Alcatrão Asfalto Borracha Papel Plástico em folhas Vidro plano

Peso específico aparente kN/m3 26 30 30 28 28 22 20 18 13 18 20 19 21 12,5 24, 25 5 6,5 8 10 78,5 28 85 114 89 72,5 74 85 72 12 13 17 15 21 28

2.2.1 AÇÃO PERMANENTE DE COMPONENTES UTILIZADOS EM EDIFÍCIOS Nos edifícios usualmente são utilizadas alvenarias de tijolos furados ou maciços assentes com argamassa de cimento, cal e areia, que posteriormente são revestidos com argamassa, que recebem como acabamento massa corrida e posteriormente são pintadas. Os revestimentos de cozinhas e banheiros podem ser em peças de pedra granito ou mármore - ou azulejos. Os pisos podem ser em pedras, madeira ou carpete de tecido. Os blocos artificiais para alvenarias são especificados por norma própria ou pelo Manual Técnico da ABCI [1987], e são adotados no projeto arquitetônico de acordo com a sua concepção e em função do conforto térmico e acústico que se pretende. Condições técnicas e econômicas devem ser analisadas nestas decisões.

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Para as coberturas podem ser usadas estruturas metálicas ou de madeiras, com telhas que podem ser cerâmicas, de fibrocimento ou de chapas metálicas. Da exposição feita pode-se perceber que para os projetos estruturais as ações permanentes variam de acordo com os tipos de materiais utilizados. É possível, então, organizar-se uma tabela com os pesos próprios dos vários materiais de construção que normalmente estão envolvidos no projeto. É conveniente que os valores dos pesos próprios dos materiais estejam referidos por unidade de área, pois, deste modo, ao se determinar o valor da ação de uma alvenaria atuante sobre uma viga do edifício, basta multiplicar a altura da alvenaria por este peso por unidade de área para se obter o carregamento na viga por unidade de comprimento. Estas ações de peso próprio são determinadas considerando os pesos específicos aparentes indicados na tabela 2.1. 2.2.1.1 Peso próprio de parede de alvenaria revestida de um tijolo furado Neste item, e a título de exemplo, será determinado o peso próprio de uma alvenaria de tijolos furados, assentes de tal modo a se constituir em parede de uma vez, isto é, um tijolo, revestida com argamassa mista - cimento, cal e areia com 20mm de espessura. O assentamento dos tijolos será com a mesma argamassa, com camadas de 10mm de espessura entre as fiadas horizontais e, com mesma medida entre as faces verticais dos tijolos. Os blocos cerâmicos para paredes têm as seguintes dimensões: largura 90mm, altura 190mm e comprimento de 190mm. Como pode ser visto na Tabela 2.1 os pesos específicos dos tijolos furados (blocos artificiais) é de 13kN/m3 e da argamassa de cal, cimento e areia é de 19kN/m3. A figura 2.1 representa uma parede, nas condições citadas, de 1m de largura por 1m de altura, constituindo, portanto, 1m2 de área. Como a largura do bloco cerâmico é de 19cm e tem 2cm de argamassa de revestimento em cada face, a espessura final da alvenaria é de 23cm. Pode ser visto na figura 2.1 que para se construir uma parede de alvenaria em tijolos furados, de uma vez (ou de um tijolo), são necessários 50 tijolos. A massa dos 50 tijolos é dada por: 50 . ( 0,19 . 0,19 . 0,09 ) . 13 = 2,11kN/m2 Para computar o peso próprio da argamassa de assentamento basta determinar o volume de argamassa - na direção horizontal e vertical - e multiplicar pelo peso específico da argamassa, resultando: 10 . ( 0,19 . 0,01 . 1,00 ) . 19 + 5 . ( 0,19 . 0,01 . 1,00 ) . 19 = 0,54kN/m2 O valor do peso de reboco, em ambas as faces da parede, é determinado por: 2 . ( 0,02

. 1,00 . 1,00 ) . 19 = 0,76kN/m2


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Figura 2.1 - Parede de um tijolo furado com revestimento Portanto, o peso de 1m2 de alvenaria de um tijolo furado, revestida com 2cm de argamassa em cada face, é igual a: 3,41kN/m

2

Na determinação deste valor já se imaginou que a resultante de cada ação parcial estava dividida por 1m. Nos casos de se utilizar outros tipos de blocos para constituir as paredes ou outras dimensões de revestimento este procedimento deve ser repetido, o mesmo ocorrendo quando há revestimento constituído por pedras ou azulejos. Nestes casos os materiais que os compõem devem estar especificados no projeto arquitetônico e a partir deste dado o peso próprio pode ser calculado ou fornecido por catálogo do fabricante do produto. 2.2.1.2 Peso próprio de vários materiais usualmente empregados Pode ser organizada uma tabela (2.2) com os pesos por unidade de área (1m2) para os principais materiais utilizados nos edifícios usuais para alvenarias, enchimentos de lajes rebaixadas, forros, coberturas, fôrmas, esquadrias e caixilhos. Os valores indicados na tabela 2.2 foram obtidos consultando catálogos e referências bibliográficas pertinentes. Na falta de dados a respeito do peso próprio de materiais de construção o engenheiro projetista deve determiná-los de maneira criteriosa, se necessário até realizando ensaios.

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Tabela 2.2 - Ações permanentes por unidade de área ITEM

MATERIAL

Tijolos maciços, com 25cm de espessura Tijolos maciços, com 15cm de espessura Tijolos furados, com 23cm de espessura Tijolos furados, com 13cm de PAREDES espessura Tijolos de concreto, com 23cm de Espessura Tijolos de concreto, com 13cm de Espessura Tijolos de concreto celular, com 23cm Tijolos de concreto celular, com 13cm Com telhas cerâmicas, c/madeiramento Com telhas de fibrocimento, c/madeira. COBERTURAS Com telhas de alumínio e Estrutura de aço Com telhas de alumínio e Estrutura de alumínio Com painéis de gesso, com estrutura FORROS de madeira e aço Com blocos sólidos de gesso Com estrutura de alumínio, com CAIXILHOS vidros Com estrutura de aço, com vidros De fibrocimento tipo Canalete 43 TELHAS De fibrocimento tipo Canalete 90

AÇÃO kN/m2 4,0 2,5 3,2 2,2 3,5 2,2 0,8 0,5 1,2 0,4 0,3 0,2 0,5 0,7 0,2 0,3 0,28 0,25

Na tabela 2.2 nas ações das paredes estão incluídas as relativas aos pesos das argamassas de assentamento (1cm) e de revestimento (1,5cm em cada face). Nas coberturas foram considerados as massas das telhas úmidas por causa da ação da chuva. 2.2.1.3 Exemplo de consideração de ações permanentes em lajes No exemplo que será desenvolvido pretende-se determinar as ações atuantes nas lajes do projeto. A figura 2.2 apresenta parte do pavimento - tipo de um edifício destinado a salas para escritórios, onde se pode notar que o projeto prevê para cada conjunto a existência de salas, copa, dois banheiros e um terraço. Na figura 2.3 mostra-se o desenho da forma estrutural prevista para atender as exigências de segurança e de transferência das ações atuantes neste pavimento-tipo. O sistema estrutural adotado é constituído por pilares, que recebem as ações das vigas - tipo que, por sua vez, servem de apoio para as lajes maciças. As lajes L01, L03 e L05 têm apenas ações uniformemente distribuídas, a laje L02, além da ação uniformemente distribuída recebe a ação linearmente distribuída representada pelas paredes que

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dividem os dois banheiros e estes da copa. A L03 é responsável por receber as ações atuantes no terraço, é uma laje em balanço, portanto suas bordas são livres, isto é, não têm o apoio de vigas. Para servir de parapeito, há uma parede de 1,0 m de altura em todo o contorno do terraço (ver figura 2.2). Na figura 2.3, para uma perfeita identificação, os elementos estruturais foram indicados por letras seguidas do número de ordem do elemento. De acordo com a NBR 7191:1982 a designação dos elementos estruturais é feita com os seguintes símbolos: LAJES VIGAS PILARES TIRANTES

L V P T

DIAGONAIS SAPATAS BLOCOS PAREDES

D S B PAR

Figura 2.2 - Desenho da planta arquitetônica A numeração das lajes é feita iniciando pela laje mais afastada do observador e à sua esquerda, prosseguindo para a direita, e, posteriormente, a partir da esquerda, numerando aquelas perpendiculares a plano vertical mais próximo do observador. O número posicionado abaixo, separado por um traço, representa a espessura (h) da laje medida em centímetros. A numeração das vigas é feita inicialmente para as dispostas paralelamente ao eixo x e mais afastadas do observador, e prosseguindo-se por alinhamentos sucessivos, até atingir a mais próxima do observador. Para as vigas dispostas paralelamente ao eixo y, tomando-se como referência um sistema cartesiano de eixos no desenho da forma estrutural, parte-se do lado esquerdo, por fileiras sucessivas, até atingir o lado direito da forma estrutural. Junto de cada viga devem ser indicadas as suas dimensões: o primeiro número representa a largura (b) e o segundo a altura (h), ambos em centímetros. Para os pilares a numeração é feita partindo-se do canto superior esquerdo do desenho de forma para a direita, em linhas sucessivas. Junto a identificação colocam-

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se as dimensões da seção transversal. É usual usar-se um traço posicionado logo abaixo da identificação com as medidas em centímetros. A primeira representa a menor dimensão e a segunda o comprimento da seção transversal. Alguns projetista e sistemas computacionais escrevem primeiro a medida hx paralela ao eixo x e depois da barra inclinada (/) a dimensão hy, independentemente de qual das duas for a menor dimensão.

Figura 2.3 -Desenho da forma estrutural a. Determinação das ações permanentes diretas para as lajes L01, L03 e L05 As ações permanentes diretas são constituídas pelos pesos próprios dos seguintes materiais: concreto armado da laje; camada de regularização, em argamassa de cimento e areia; piso, que neste exemplo foi adotado tacos de ipê róseo e revestimento do forro, em argamassa de cal, cimento e areia As dimensões da laje, da camada de regularização, do piso e do revestimento do forro estão anotadas na figura 2.4.

Figura 2.4 - Dimensões para cálculo dos pesos próprios

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As forças relativas aos pesos próprios são calculadas por unidade de área. Com os pesos específicos dos materiais definidos na tabela 2.1 determinam-se, para as lajes L01, L04 e L05: Peso próprio da laje: Peso próprio da regularização: Peso próprio do piso: Peso próprio do forro: TOTAL:

0,100.25 = 2,500 kN/m2 0,025.21 = 0,525 kN/m2 0,020.10 = 0,200 kN/m2 0,015.19 = 0,285 kN/m2 = 3,510 kN/m2

b. Determinação das ações permanentes diretas para a laje 02 A laje L02 está, neste projeto, sendo considerada rebaixada, como pode ser visto na figura 2.3 que representa a forma estrutural do pavimento tipo. É necessário assim proceder para permitir a instalação do sistema hidráulico de esgotos. Se a opção for por laje não rebaixada, isto é, no mesmo nível das demais, há necessidade de se prever forro falso, em gesso normalmente, para que as instalações não apareçam para o observador posicionado sobre a laje L02 do andar inferior. Normalmente os rebaixos (figura 2.5) são cheios com entulhos obtidos na própria construção. Neste projeto optou-se por preencher o rebaixo com tijolos furados, os mesmos que são usados nas alvenarias, com dimensões de 90mm x 190mm x 190mm. Como a altura do rebaixo é de 20cm, o centímetro que falta pode ser preenchido com a argamassa de regularização. Lembrando que o peso específico do tijolo furado é de 13kN/m, como pode ser visto na tabela 2.1, a ação por unidade de área, relativa ao enchimento resulta: 0,19 . 13 + 0,01 . 19 = 2,66 kN/m2 Para a laje L02 há que se considerar, além das ações indicadas para as lajes L01, L04 e L05, a ação das paredes de alvenaria mostradas na figura 2.1. A ação das paredes pode ser suposta uniformemente distribuída na área da laje, considerando para cálculo da área da laje os comprimentos medidos de centro a centro de vigas, isto é, e considerando a figura 2.3, as distâncias entre as vigas V01 e V02 (medida lx) e entre as vigas V05 e V06 (medida ly). As medidas lx e ly são iguais a 337,5cm e 371,5cm, respectivamente. Para se determinar a resultante da ação da parede deve-se calcular a área total das paredes que solicitam a laje L02, resultando: (3,15 + 2,47) (2,80 - 0,10) . 2,2 = 33,38kN sendo, no primeiro termo as expressões entre parênteses representam o somatório dos comprimentos das paredes (ver figura 2.2) e a medida do pé direito do andar, respectivamente e, o valor 2,2 é o peso próprio de uma parede de alvenaria de 1/2 tijolo furado, já se computando a argamassa de assentamento e de revestimento nas duas faces. Dividindo a resultante pela área calculada com os vãos teóricos, determina-se a ação na laje L02 relativa às paredes de alvenaria (ação permanente direta), ou seja: 33,38 = 2,65kN/m 2 3,375.3,72 5

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Para cálculo da resultante da parede não foram descontados os vãos das portas, o que é um procedimento usual deste que não modifique em muito o valor da resultante. A ação total na laje L02 fica igual a: 3,51 + 2,66 + 2,65 = 8,82 kN/m2 c. Determinação das ações permanentes diretas para a laje L03 Para a laje L03 segue-se o mesmo raciocínio utilizado na outras lajes para se determinar as ações oriundas do peso próprio, ou seja: Peso próprio da laje: Peso próprio da regularização: Peso próprio do piso: Peso próprio do forro: TOTAL:

0,100.25 = 2,500 kN/m2 0,025.21 = 0,525 kN/m2 0,005.18 = 0,090 kN/m2 0,015.19 = 0,285 kN/m2 = 3,400 kN/m2

Para o piso da laje L03 foi considerado um revestimento em peças cerâmicas com 5mm de espessura, por ser um ambiente (terraço) sujeito as intempéries. Como a L03 é uma laje em balanço a ação de peso próprio da mureta paralela a maior dimensão da edificação será considerada como uma ação linearmente distribuída na borda (figura 2.6).

Figura 2.5 – Ação no rebaixo

Figura 2.6 - Laje L03

A mureta será construída em alvenaria de meio tijolo maciço com 1m de altura, resultando: gpp,mur

= 1,00 . 2,5 = 2,5 kN/m

As ações por causa das muretas perpendiculares à viga V04 (figura 2.3) serão consideradas uniformemente distribuídas em uma área definida pelo vão teórico do balanço, neste caso lx = 108,5cm, e por um comprimento chamado largura colaborante (b) a ser definido por ocasião do estudo das lajes maciças, no capítulo 5. 2.2.1.4 Peso próprio de paredes não definidas no projeto A NBR 6120:1980 diz que para a determinação da ação de paredes divisórias, em que sua posição não esteja definida no projeto arquitetônico, o cálculo de pisos


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com suficiente capacidade de distribuição transversal da carga, quando não for feito por processo exato, pode ser admitido, além dos demais carregamentos, como uma ação uniformemente distribuída por metro quadrado de piso não menor que um terço do peso por metro linear de parede pronta, observado o valor mínimo de 1kN/m2. Este caso se aplica quando o projeto arquitetônico deixa a decisão de locar as paredes na obra em função da utilização do ambiente arquitetônico. Normalmente isto ocorre em edifícios destinados a escritórios onde, dependendo dos tipos de profissionais que irão ocupá-los, há distribuições de ambientes diferenciados. 2.2.1.5 Cálculo dos esforços solicitantes de lajes com ação de paredes definidas no projeto No exemplo consideraram-se as ações das paredes como sendo uma ação uniformemente distribuída. Este procedimento é usual quando não se dispõem de processo mais elaborado para a determinação dos esforços solicitantes, por exemplo, aqueles baseados em procedimentos numéricos. 2.3 AÇÕES VARIÁVEIS NORMAIS As ações variáveis normais são aquelas que atuam na estrutura em função de sua utilização, tais como pessoas que habitam a edificação, mobiliário, materiais diversos, equipamentos, veículos, etc. Estas ações são verticais e consideradas atuando no piso das edificações, isto é, nas lajes, que são estruturas planas, e, são supostas uniformemente distribuídas e os seus valores mínimos são os indicados na NBR 6120:1980. A tabela 2.3 apresenta os valores mínimos para as ações que devem ser consideradas nos projetos de edifícios residenciais e comerciais destinados a escritórios. Para projetos de edifícios com outras finalidades deve ser consultada a referida norma ou outras específicas. A NBR 6120:1980 prescreve ainda que, nos compartimentos destinados a ações especiais, como arquivos, depósitos de materiais, máquinas leves, caixas-fortes, etc., não é necessária uma verificação mais exata destes carregamentos, desde que se considere um acréscimo de 3kN/m2 no valor da ação acidental. A análise das massas dos equipamentos deve ser feita pelo projetista. No caso de armazenagem em depósitos e na falta de valores experimentais, o peso dos materiais armazenados pode ser obtido considerando os pesos específicos aparentes indicados na NBR 6120:1980. Essas ações são importantes para os projetos de silos para armazenamento de produtos. No caso de balcões e sacadas com acesso público deve ser prevista a mesma ação uniformemente distribuída atuante no ambiente com a qual se comunicam e, ainda, uma ação horizontal de 0,8kN/m na altura do corrimão e uma ação vertical mínima de 2kN/m. Estas duas últimas ações também devem ser consideradas nos parapeitos de balcões e sacadas. Para as escadas constituídas de degraus isolados, considera-se uma ação concentrada de 2,5kN, aplicada na posição mais desfavorável. Essa ação não deve ser considerada na composição de ações para as vigas que suportem os degraus. Para as vigas que suportam os degraus, nas composições de suas ações, consideram-se as ações de peso próprio, peso próprio do piso e revestimento, corrimão e ação variável normal. Normalmente estas vigas que suportam escadas de degraus isolados ficam submetidas à ação de momento torçor. Lembra-se que as tensões tangenciais oriundas da força cortante e do momento torçor se somam.

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Tabela 2.3 - Valores mínimos das ações variáveis normais AMBIENTE ARQUITETÔNICO (incluindo a massa das máquinas) a ser Casas de Máquinas determinada em cada caso, porém com o valor mínimo de Com acesso ao público Corredores Sem acesso ao público Dormitórios, sala, copa, cozinha e Edifícios banheiro. Residenciais Dispensa, área de serviço e Lavanderia Com acesso ao público Escadas Sem acesso ao público Anfiteatro com assentos fixos Escolas Corredor e sala de aula Outras salas Escritórios Salas de uso geral e banheiro Forros Sem acesso a pessoas A ser determinada em cada caso, Galerias de Arte porém com o mínimo A ser determinada em cada caso, Galerias deLojas porém com o mínimo Para veículos de passageiros ou Garagens e semelhantes com carga máxima de estacionamentos 25kN por veículo Ginásio de Esportes Sem acesso ao público Terraços Com acesso ao público Inacessível a pessoas

Ação kN/m2 7,5 3 2,5 1,5 2 3 2,5 3 2 2 0,5 3 3 3 5 2 3 0,5

Nos casos de edifícios com garagens em pavimentos térreos ou outros pavimentos, há necessidade de se considerar a ação de veículos conforme indicado na tabela 2.3. Estas ações devem ser majoradas de um coeficiente ϕ determinado do seguinte modo: sendo l o vão de uma viga ou o vão menor de uma laje; sendo lo = 3m para o caso das lajes e l0 = 5m para o caso das vigas, têm-se: ϕ = 1,00 l ϕ = o ≤ 1,43 l

quando l ≥ lo quando l ≤ lo

Quando estiverem sendo analisados os pavimentos sujeitos às ações de veículos, o valor da ação indicada na tabela 2.3 que é de 3kN/m2 deve ser multiplicada pelo coeficiente de majoração ϕ determinado como exposto. Esse coeficiente não deve ser considerado na determinação das ações em paredes e pilares, e sim para as lajes e vigas do pavimento considerado.

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2.3.1 CONSIDERAÇÃO DAS AÇÕES VARIÁVEIS NORMAIS NOS PILARES A NBR 6120:1980 sugere que na avaliação das ações nos pilares e nas fundações de edifícios destinados a escritórios, residências e casas comerciais as ações acidentais podem ser reduzidas de acordo com os valores indicados na Tabela 2.4. De nenhum modo estas reduções podem ser feitas quando a edificação for destinada a depósitos. Para efeito de aplicação dos valores de redução indicados o pavimento do edifício destinado a forro deve ser considerado como piso para efeito de contabilidade do número de pisos que atuam sobre o tramo de pilar analisado. Tabela 2.4 - Redução das ações acidentais Número de Pisos que atuam sobre o elemento 1,2 e 3 4 5 6 ou mais

Redução percentual das cargas acidentais (%) 0 20 40 60

2.3.3 EXEMPLO DE CONSIDERAÇÃO DE AÇÕES VARIÁVEIS EM LAJES Retomando o exemplo do item 2.2.1.3 lembra-se que o edifício em estudo é destinado a escritórios e, portanto, de acordo coma tabela 2.3 a ação variável normal ação acidental - a considerar é igual a 2,0kN/m2 em todas as lajes. A laje L03, por ser destinada a receber as ações relativas a um terraço com acesso público deve ser considerada, além da ação uniformemente distribuída, a mureta na extremidade carregada com as ações linearmente distribuídas indicadas no item 2.3 e, mostradas na figura 2.6. Com a finalidade de organizar os cálculos é conveniente montar a tabela 2.5 que resume todas as ações consideradas no projeto, quais sejam: peso próprio das lajes, revestimentos e pisos, ações de alvenarias, enchimentos e as ações variáveis normais.

Laje

h

L01 L02 L03 L04 L05

cm 10 10 10 10 10

Tabela 2.5 - Ações finais nas lajes do exemplo Ações Ações Peso Piso + Alve- Outras Perma- VariáTotal Obs.: nentes veis Próprio Revesti naria Diretas Normais mento (g) (q) kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 2,5 1,0 ----3,5 2,0 5,50 2,5 1,0 2,65 2,60 8,75 2,0 10,75 2,5 1,0 ----3,5 2,0 5,50 2,5 1,0 ----3,5 2,0 5,50 2,5 1,0 ----3,5 2,0 5,50 fig.2.5

2.4 AÇÃO DO VENTO A NBR 6118:2003 indica que a consideração da ação de vento nas estruturas é obrigatória e recomenda que devem ser determinadas com as prescrições da NBR 6123:1988.

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2.4.1 CÁLCULO DAS FORÇAS RELATIVAS AO VENTO EM EDIFÍCIOS A NBR 6123:1988 prescreve que as forças relativas ao vento atuantes em uma edificação devem ser calculadas separadamente para: a. elementos de vedação e suas fixações (telhas, vidros, esquadrias, painéis de vedação, etc.); b. partes da estrutura (telhados, paredes, etc.); c. estrutura como um todo. 2.4.2 PROCEDIMENTO DE CÁLCULO A NBR 6123:1988 estabelece que para estruturas de edifícios paralelepipédicos o projeto deve levar em conta: a. as forças de vento agindo perpendicularmente a cada uma das fachadas; b. as excentricidades causadas por vento agindo obliquamente ou por efeitos de vizinhança. Os momentos de torção são calculados considerando estas forças agindo com as excentricidades, em relação ao eixo geométrico, dadas na norma. 2.4.3 CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES Para a determinação dos esforços solicitantes por causa da ação do vento em estruturas reticulares, as ações podem ser consideradas como concentradas no nível de cada laje. Para este caso é necessário que se determine o quinhão de carga em cada pórtico, que varia de acordo com a sua rigidez. O processo de cálculo é apresentado no capítulo 4. Podem ser determinados considerando modelo de pórtico espacial, para o qual se precisa de programa computacional adequado. 2.5 EFEITOS DINÂMICOS Não são comuns casos de edifícios de concreto armado usuais sensíveis aos efeitos dinâmicos do vento, destacando-se aqueles cujas formas se assemelham a círculos, elipses, triângulos e retângulos com uma dimensão em planta predominante sobre a outra e, que sejam esbeltos e flexíveis. Sendo necessário análise específica deve ser feita. 2.6 EXEMPLO DE CÁLCULO DAS FORÇAS POR CAUSA DO VENTO No exemplo determinam-se as forças estáticas relativas à ação do vento em um edifício paralelepipédico, com dimensões em planta de 15m por 30m e com 60m de altura, isto é, com 20 andares, conforme pode ser visto na figura 2.7. A destinação é de edifício residencial e deve ocupar um terreno plano, em localização afastada da região central da cidade e tem casas de baixa altura ao seu redor. Para se determinar a velocidade básica do vento, informa-se que o edifício fica na cidade de São Carlos, SP.


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Figura 2.7 - Planta e vista do edifício do exemplo Os coeficientes para a determinação das forças relativas ao vento são obtidas na NBR 6123:1988 - Forças devidas ao vento em edificações. As forças estáticas por causa do vento são determinadas considerando a velocidade básica do vento, dadas pelas isopletas de velocidade básica (Vo) fornecidas na norma citada e, desenhadas sobre o mapa do Brasil. O coeficiente S1 leva em conta o fator topográfico, o coeficiente S2 representa a rugosidade do terreno, leva em conta as dimensões em planta da edificação e sua altura sobre o terreno e, o S3 é o fator estatístico que considera o grau de segurança requerido e a vida útil da edificação. Estes coeficientes multiplicados pela velocidade básica do vento fornecem a velocidade característica do vento. Como o coeficiente S2 depende da altura da edificação considerada a velocidade característica do vento é determinada em função desta altura. Assim, a pressão dinâmica é determinada para as alturas da edificação considerada, já que ela é linearmente variável da base da edificação até seu nível superior. Os coeficientes de arrasto (Ca) são determinados para corpos de seção constante ou fracamente variável e, são calculados em função das relações entre as medidas em planta dos lados da edificação e entre a altura e estas. 2.6.1 VELOCIDADE CARACTERÍSTICA DO VENTO A velocidade característica do vento é determinada pela expressão, de acordo com a NBR 6123:1988: Vk = V0 . S1 . S2 . S3 ( m/s ) 2.6.2 VELOCIDADE BÁSICA DO VENTO A velocidade básica do vento, para o caso deste exemplo e, determinada para a região da cidade de São Carlos, SP de acordo com as isopletas de velocidade é: V0

= 45 m/s

2.6.3 FATOR TOPOGRÁFICO Como a edificação fica localizada em terreno plano ou fracamente acidentado o fator topográfico é: S1

= 1,0

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2.6.4 FATOR S2 Este fator considera o efeito combinado da rugosidade do terreno, as dimensões da edificação e altura sobre o terreno. Para este caso do exemplo esta sendo considerado que em função da rugosidade do terreno - terreno plano - Categoria III. Com relação à classe da edificação está sendo considerada Classe C, pois representa todas as edificações, ou parte delas, para a qual a maior dimensão horizontal ou vertical da superfície frontal exceda 50 metros. Em função destas considerações determinam-se os fatores S para três alturas do edifício, conforme figura 2.7. Para h

= 10m -----> S2 = 0,88

Para h

= 30m -----> S2 = 1,00

Para h

= 50m -----> S2 = 1,06 Figura 2. 8

2.6.5 FATOR ESTATÍSTICO S3 O fator estatístico considera o grau de segurança requerido e a vida útil prevista para a edificação. Neste caso do exemplo foi considerado edificação do Grupo 2, isto é, edificação para residências, resultando: S3 = 1,0 2.6.6 VELOCIDADE CARACTERÍSTICA DO VENTO Com a expressão do item 2.6.1 determinam-se as velocidades características do vento para as alturas consideradas, ou seja, para 10m, 30m e 50m, resultando: Vk,10 = 45 . 1,0 . 0,88 . 1,0 = 39,6 m/s Vk,20 = 45 . 1,0 . 1,00 . 1,0 = 4,50 m/s Vk,30 = 45 . 1,0 . 1,06 . 1,0 = 47,7 m/s 2.6.7 PRESSÃO DINÂMICA A pressão dinâmica é dada pela expressão: q w = 0,613. Vk2 [ N/m 2 ] sendo que, para as três alturas consideradas, multiplicando-se pelas velocidades características calculadas e, modificando a unidade da força para quilonewton, resultam: qw,10

=

0,96 kN/m2


qw,30

=

1,24 kN/m2

qw,50

=

1,39 kN/m2

50

2.6.8 DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES DE ARRASTO ( Ca ) Considerando que l1 é a largura da edificação, isto é, a dimensão horizontal perpendicular à direção do vento e l2 é a profundidade, ou seja, a dimensão na direção do vento e, h é a sua altura, pode-se determinar o coeficiente de arrasto em função destas grandezas geométricas. Os coeficientes de arrasto são determinados na NBR 6123:1988 para as relações l1/l2 e h/l1, por meio de ábaco próprio. As considerações geométricas para este exemplo são dadas pela figura .2.9.

Figura 2.9 - Direções do vento para cálculo de Ca 2.6.8.1 Direção do vento perpendicular à fachada de menor área No caso da figura 2.9-a as dimensões a considerar são: l1 = 15 m

e

l2 = 30 m

Ou seja, com h = 30 m, resulta:

l 1 15 = = 0,5 l 30 h 60 = = 4,0 l 2 15 Com estes valores e consultando a NBR 6123:1988 resulta para coeficiente de arrasto, para vento agindo perpendicularmente à fachada de menor área o valor: Ca

=

1,03

2.6.8.2 Direção do vento perpendicular à fachada de maior área No caso da figura 2.9-b as dimensões a considerar são: l1 = 30 m

e

l2

= 15 m

Ou seja, com h = 30 m, resulta:

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l 1 30 = = 2,0 l 15 h 60 = = 2,0 l 2 30 Com estes valores e consultando a NBR 6123:1988 resulta para coeficiente de arrasto, para vento agindo perpendicularmente à fachada de maior área o valor: Ca

=

1,38

2.6.9 DETERMINAÇÃO DAS FORCAS RELATIVAS AO VENTO As forças em virtude do vento são consideradas uniformemente distribuídas para cada segmento de altura da edificação de 20m, neste exemplo. O módulo da força é calculado pela expressão: w

= Ca

. qw

.

l1

Lembrando que l1 é a dimensão da área da fachada da edificação medida segundo o plano horizontal, o valor a força relativa ao vento já fica determinada por unidade de comprimento. 2.6.9.1 Direção do vento perpendicular à fachada de menor área Sendo q igual aos valores calculados no item 2.6.6 e com os coeficientes de arrasto recém determinados, vem: w0,20 = 1,03

.

0,96

.

15

=

14,8 kN/m

w20,40 = 1,03

.

1,24

.

15

=

19,2 kN/m

w40,60 = 1,03

.

1,39

.

15

=

21,5 kN/m

a) b) Figura 2.10 - Distribuição das forças de vento - Fachada de menor área 2.6.9.2 Direção do vento perpendicular à fachada de maior área Analogamente ao calculado no item anterior, vem: w0,20 =

1,38

w20,40 = 1,38

. .

0,96 1,24

. .

30

=

39,7 kN/m

30

=

51,3 kN/m

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w40,60 = 1,38

.

1,39

.

30

=

57,6 kN/m

Figura 2.11 - Distribuição das forcas por caus do vento - Fachada de menor área 2.7 OUTRAS AÇÕES

Entre as ações a serem consideradas, se for o caso, em estruturas de edifícios encontram-se: variação de temperatura, retração e fluência do concreto, choques, vibrações, ações repetidas e, ainda, aquelas provenientes de deslocamentos de apoio e processos construtivos, se as condições de projeto assim determinarem. 2.7.1 VARIAÇÃO DA TEMPERATURA Para as variações uniformes de temperatura da estrutura, causada globalmente pela variação da temperatura da atmosfera e pela insolação direta, é considerada uniforme. Ela depende do local de implantação da construção e das dimensões dos elementos estruturais que a compõem. De maneira genérica podem ser adotados os seguintes valores: a) para elementos estruturais cuja menor dimensão não seja superior a 50 cm, deve ser considerada uma oscilação de temperatura em torno da média de 10ºC a 15ºC; b) para elementos estruturais maciços ou ocos com os espaços vazios inteiramente fechados, cuja menor dimensão seja superior a 70 cm, admite-se que essa oscilação seja reduzida respectivamente para 5ºC a 10ºC; c) para elementos estruturais cuja menor dimensão esteja entre 50 cm e 70 cm admite-se que seja feita uma interpolação linear entre os valores acima indicados. A escolha de um valor entre esses dois limites pode ser feita considerando 50% da diferença entre as temperaturas médias de verão e inverno, no local da obra. Em edifícios de vários andares devem ser respeitadas as exigências construtivas prescritas por esta Norma para que sejam minimizados os efeitos das variações de temperatura sobre a estrutura da construção. As variações não uniformes de temperatura nos elementos estruturais em que a temperatura possa ter distribuição significativamente diferente da uniforme, precisam ser considerados os efeitos dessa distribuição. Na falta de dados mais precisos, pode ser admitida uma variação linear entre os valores de temperatura adotados, desde que a variação de temperatura considerada entre uma face e outra da estrutura não seja inferior a 5ºC.

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2.7.2 AÇÕES DINÂMICAS Quando a estrutura, pelas suas condições de uso, está sujeita a choques ou vibrações, os respectivos efeitos devem ser considerados na determinação das solicitações e a possibilidade de fadiga deve ser considerada no dimensionamento dos elementos estruturais de acordo com o indicado na NBR 6118:2003. 2.7.3 AÇÕES EXCEPCIONAIS No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de carregamento, cujos efeitos não possam ser controlados por outros meios, devem ser consideradas ações excepcionais com os valores definidos, em cada caso particular, por normas brasileiras específicas. 2.7.4 RETRAÇÃO O valor da retração do concreto depende de fatores como: umidade relativa do ambiente, consistência do concreto quando do lançamento e espessura fictícia do elemento. A NBR 6118:2003 estabelece que para as peças de concreto armado nos casos correntes a deformação específica pode ser suposta igual a -15 x 10-5. 2.7.5 FLUÊNCIA A fluência ou deformação lenta ocorre quando há ações de longa duração atuando na estrutura. No caso de pilares esbeltos (λ > 90), sua consideração é obrigatória, podendo ser feita pelo método da excentricidade equivalente, admitindo-se que todos os carregamentos são de curta duração e introduzindo-se uma excentricidade suplementar de primeira ordem. 2.8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de concreto. Rio de Janeiro, 2003. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR 6120:1980: Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro, 1980. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR 6123:1988: Forças devidas ao vento em edificações, Rio de Janeiro, 1988. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR 7191:1982 Execução de desenhos para obras de concreto simples ou armado. Rio de Janeiro, 1982. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR 8681:1984: Ações e segurança nas estruturas. Rio de Janeiro, 1984. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DA CONSTRUÇÃO INDUSTRIALIZADA, Manual técnico de pré-fabricados de concreto. São Paulo, ABCI/Projeto, 1987. COMMISSION OF THE EUROPEAN COMMUNITIES. concrete structures. (EC2-1989).

Eurocode n.2: Design of

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3. ESCOLHA DA FORMA DA ESTRUTURA 3.1 ASPECTOS GERAIS A escolha da forma da estrutura de um edifício depende do projeto arquitetônico proposto. Usualmente os edifícios, exclusivamente residências, são constituídos pelos seguintes pavimentos: subsolo - destinado à área de garagem; pavimento térreo destinado à recepção, salas de estar, de jogos, de festas, piscinas e área para recreação; pavimento-tipo - destinado aos apartamentos, com os vários cômodos previstos no projeto. Em alguns projetos os ambientes sociais se localizam na cobertura do edifício, requerendo um projeto estrutural compatível para o pavimento de cobertura. Nos casos de edifícios comerciais constituídos por pavimentos-tipo, o projeto arquitetônico feito para esta finalidade é pouco alterado, ou seja, deve ser destinado o subsolo para área de garagem, térreo para recepção e acesso a elevadores e escada, pavimentos-tipo com distribuição arquitetônica compatível com a finalidade do edifício. Existem casos de edifícios com utilização mista, isto é, parte dele é de utilização comercial, por exemplo, do primeiro ao quarto andar e, os andares seguintes são de utilização residencial. Usualmente, nesse caso, as distribuições arquitetônicas dos andares-tipo não são compatíveis, exigindo posições diferentes para os pilares em cada andar-tipo. As áreas destinadas a garagens, que normalmente são localizadas no subsolo, e em alguns projetos no subsolo e no pavimento térreo, determinam posições de pilares compatíveis com áreas de manobras e de estacionamentos o que, em alguns casos, não são compatíveis com a distribuição de pilares estudada para o pavimentotipo. Nessa situação é usual projetar-se uma estrutura de transição, responsável por transferir as ações dos pilares posicionados de acordo com o projeto arquitetônico do andar tipo para pilares posicionados segundo a compatibilidade com os projetos arquitetônicos do andar térreo e do subsolo. 3.2 ANTEPROJETO DA FORMA DA ESTRUTURA DE UM EDIFÍCIO Para realizar o anteprojeto da forma da estrutura de um edifício é necessário, como já enfatizado, posicionar os pilares de tal modo que não ocorra interferência com o projeto arquitetônico e de instalações. As dimensões dos elementos estruturais não devem, também, interferir com as paredes de alvenarias ou outros materiais. Assim, neste capítulo discutem-se subsídios para iniciar o projeto de estruturas. As dimensões mínimas dos elementos estruturais são indicadas por normas nacionais e internacionais e devem ser adotadas na fase de anteprojeto. É claro que outros fatores estão envolvidos como ações que irão atuar na estrutura, vão de vigas e lajes, que como se sabe intervém nas intensidades dos esforços solicitantes, que para serem equilibrados pelos esforços resistentes exigirão seções transversais avantajadas. No caso de estruturas complementares de edifícios tais como reservatórios paralelepipédicos, escadas, muros de arrimo, paredes estruturais, blocos de fundação, critérios outros devem ser analisados como cobrimentos das armaduras a serem adotados por causa da possibilidade de percolação de água que pode afetar a durabilidade do elemento. Assim, são apresentadas as dimensões mínimas de alguns elementos estruturais indicadas na NBR 6118:2003 e também se analisam critérios econômicos para projeto estrutural de edifício construído em concreto armado.

Capítulo 3 - Escolha da forma da estrutural

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3.2.1 Dimensões mínimas dos elementos estruturais 3.2.1.1 Lajes A NBR 6118:2003 prescreve para espessuras mínimas de lajes maciças de edifícios, em função da utilização, os seguintes valores: a.- 5 cm para lajes de cobertura não em balanço; b.- 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço; c.- 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30kN; d.- 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; e.- 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, l/42 para lajes de piso biapoiadas, l/50 para lajes de piso contínuas; f.- 16cm para lajes lisas e 14cm para lajes-cogumelo. Para as lajes nervuradas a NBR 6118:2003 indica que a espessura da mesa, quando não houver tubulações horizontais embutidas, deve ser maior ou igual a 1/15 da distância entre nervuras e não menor que 3 cm. O valor mínimo absoluto deve ser 4 cm quando existirem tubulações embutidas de diâmetro máximo 12,5 mm. A espessura das nervuras não deve ser inferior a 5 cm. Nervuras com espessura menor que 8 cm não devem conter armadura de compressão. Para o projeto das lajes nervuradas devem ser obedecidas as seguintes condições: a.- para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 60 cm, pode ser dispensada a verificação da flexão da mesa, e para a verificação do cisalhamento da região das nervuras, permite-se a consideração dos critérios de laje; b.- para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 60 cm e 110 cm, exige-se a verificação da flexão da mesa e as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como vigas; permitem-se essa verificação como lajes se o espaçamento entre eixos de nervuras for menor que 90 cm e a espessura média das nervuras forem maior que 12 cm; c.- para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maiores que 110 cm, a mesa deve ser projetada como laje maciça, apoiada na grelha de vigas, respeitando-se os seus limites mínimos de espessura. 3.2.1.2 Vigas e vigas-parede A NBR 6118:2003 indica que a seção transversal das vigas não deve apresentar largura menor que 12 cm, e das vigas-parede menor que 15 cm. Estes limites podem ser reduzidos, respeitando-se um mínimo absoluto de 10 cm em casos excepcionais sendo obrigatoriamente respeitadas as seguintes condições:

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a.- alojamento das armaduras, e suas interferências com as armaduras de outros elementos estruturais, respeitando os espaçamentos e coberturas estabelecidos nesta Norma; b.- lançamento e vibração do concreto de acordo com a NBR 14931:2003 – Execução de estruturas de concreto. 3.2.1.3 Pilares e pilares-parede A seção transversal de pilares não deve apresentar dimensão menor que 19cm. Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19cm e 12cm, desde que se multipliquem as ações a serem consideradas no dimensionamento por um coeficiente adicional γn, de acordo com o indicado na tabela 3.1. Em qualquer caso não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360cm2. Tabela 3.1 – Valores do coeficiente adicional γn b γn

≥ 19 1,00

18 1,05

17 1,10

16 1,15

15 1,20

14 1,25

13 1,30

12 1,35

sendo: γn = 1,95 – 0,05b b é a menor dimensão da seção transversal do pilar. O coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nos pilares, quando de seu dimensionamento.

Pilares-parede são elementos de superfície plana, usualmente dispostos na vertical e submetidos preponderantemente à compressão. Podem ser compostos por uma ou mais superfícies associadas. Para que se tenha um pilar-parede, em alguma dessas superfícies, a menor dimensão deve ser menor que 1/5 da maior, ambas consideradas na seção transversal do elemento estrutural. Na maioria dos casos dos pilares de edifícios as ações nos pilares são aplicadas excentricamente, de tal modo que para o dimensionamento do pilar há necessidade de se considerar uma excentricidade inicial (ei). Pode-se dizer que, na maioria dos casos, os pilares de edifícios estão submetidos à flexão oblíqua composta, em função da consideração da vinculação das vigas com os pilares e, das posições destas em relação aos eixos principais da seção transversal dos pilares. A NBR 6118:2003 indica que para verificação da resistência dos pilares, em função das solicitações, deve ser considerada uma excentricidade acidental (ea), para levar em conta o possível desvio do eixo da peça durante a construção, por causa do desaprumo ou falta de retilinidade do eixo do pilar, em relação à posição prevista no projeto. Nos casos dos pilares em que o índice de esbeltez (λ = le / i) for menor do que λ1 = 35 não há necessidade de se considerar o efeito das deformações, oriundas dos efeitos de segunda ordem. Quando o índice de esbeltez for maior do que λ1 = 35, obrigatoriamente deve-se levar em conta o efeito das deformações, sendo que o cálculo abrange tanto o caso de ruptura a compressão do concreto ou deformação plástica da armadura como a ruína por instabilidade, pelos processos indicados a seguir. Os pilares devem ter índice de esbeltez menor ou igual a 200 (λ ≤ 200). Apenas no caso de postes com força normal menor que 0,10fcd Ac, o índice de esbeltez pode ser maior que 200.


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3.2.1.4 Paredes estruturais As espessuras das paredes estruturais devem ter as dimensões adotadas à semelhança dos pilares-parede. Nos casos em que o comprimento da seção horizontal for menor do que cinco (5) vezes a espessura, a peça será considerada como pilar, em caso contrário, isto é, comprimento maior que cinco (5) vezes a espessura a parede deve ser calculada como elemento comprimido ou flexo-comprimido por faixas de comprimento unitário. 3.2.1.5 Fundações Para as fundações rasas constituídas por sapatas diretas, as dimensões em planta das sapatas são determinadas em função de critérios de resistência do terreno sobre o qual se apóia o edifício. A altura da sapata deve ser determinada em função do tipo de consideração que se faça de sapata rígida ou flexível. Nos casos de ser necessário adotar fundação profunda (estacas ou tubulões), as dimensões dos blocos de coroamento dependem das quantidades e dos diâmetros das estacas que se adotar para cada pilar. As alturas dos blocos também dependem da consideração de flexibilidade. 3.2.2 DIMENSÕES ECONÔMICAS PARA PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS Para efeito de análise econômica dos elementos estruturais, é conveniente analisar lajes, vigas e pilares separadamente. As lajes quanto mais esbeltas, isto é, quanto menor for a espessura, mais econômica será. Existe um limite indicado pela verificação dos estados limites último e de serviço. Embora seja possível se construir lajes com pequena espessura, que atenda essas condições, o desconforto para o usuário é sensível ao se caminhar sobre elas. A vibração pode definir um estado limite de serviço. Além disso, há que se atenderem as espessuras mínimas indicadas pela NBR 6118:2003. Alguns critérios práticos podem ser enumerados com a finalidade de orientar o pré-dimensionamento das lajes de edifícios. Esses critérios que relacionam as resistências dos elementos estruturais e a economia de material foram analisados, por CEOTTO [1985]. Se a laje for armada em duas direções, isto é, se a relação entre os vãos efetivos maior e menor for menor do que 2, a espessura da laje pode ser adotada entre os limites de um cinqüenta ávos (1/50) e um quarenta ávos (1/40) do vão teórico menor. Se a relação entre os vãos for maior que 2, esses limites se modificam para um quarenta e cinco ávos (1/45) e um trinta ávos (1/30) do menor vão. Os vãos considerados econômicos podem ser adotados em torno de 4m, resultando aproximadamente áreas de 15 m2 a 20 m2. As taxas de armaduras devem resultar entre 2,4 quilos a 3,2 quilos de aço por unidade de área e 28 quilos a 53 quilos de aço por unidade de volume de laje. Esses valores alteram muito pouco quando se aumenta o valor da resistência característica do concreto. As lajes ficam geometricamente definidas pelas posições ocupadas pelas vigas no pavimento, decorrendo daí que os valores indicados serão atendidos por estudo compatível para as posições das vigas. As vigas, segundo critérios econômicos, não devem ultrapassar valores entre um treze ávos (1/13) a um onze ávos (1/11) do vão livre nos casos de vãos internos; para os vãos externos podem-se adotar valores entre um onze ávos (1/11) a um nove ávos (1/9) do vão livre. Só nos casos em que o projeto arquitetônico indique, se

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projetam vigas contínuas com alturas dos tramos diferentes, podendo-se, portanto, tomar como indicativo para as alturas das vigas o valor de um décimo (1/10) do vão livre. Para cada viga deve-se prever área de influência de lajes com valores compreendidos entre 3,5m a 4,2m de laje por unidade de comprimento de viga. As taxas de armaduras das vigas consideradas econômicas devem resultar entre 80kg a 105kg por unidade de volume. A utilização de concretos com maior resistência característica não afeta de modo significativo à economia na estrutura das vigas. Ao se posicionarem os pilares na planta do andar-tipo deve-se localizá-los a uma distância entre 4,5m e 5,5m sempre que possível. Os pilares devem resistir às ações verticais transmitidas pelas vigas, como também as horizontais oriundas das ações de vento. As posições dos pilares na estrutura devem ser compatíveis com a arquitetura do edifício. Normalmente, para haver essa compatibilização, os pilares são adotados com seção retangular, embora os pilares robustos sejam mais econômicos. No caso de pilares, em contraposição ao indicado para lajes e vigas, o aumento da resistência característica do concreto é significativo com relação ao melhor aproveitamento da seção transversal. A área de influência econômica deve resultar entre 15m2 a 20m2 de área de pavimento por pilar. As taxas geométricas de armaduras consideradas econômicas devem resultar entre 2% a 3%, com consumo de aço compreendido entre 130kg a 220kg por unidade de volume de concreto, no primeiro pavimento. As seções transversais adotadas no tramo de pilar entre primeiro e segundo pavimentos podem ser mantidas até a cobertura. Com isso se pode prever para os pavimentos-tipo conjuntos de fôrmas que não sofrerão acréscimos nos comprimentos das vigas por ocasião das moldagens. Esses critérios econômicos aqui enumerados são oriundos de observações gerais de projetos estruturais já realizados e de observações práticas de construções de obras de edifícios residenciais e comerciais. Cada projeto deve ser analisado cuidadosamente com relação ao comportamento estrutural e com relação aos custos de construção. Na fase de projeto precisa ser verificado com as empresas construtoras e empreendedoras as facilidades de se conseguir os materiais na região da obra e, assim, avaliar os custos com transportes. O mesmo deve ser feito com relação mão de obra disponível na região. 3.2.3 ESCOLHA DAS POSIÇÕES DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS Analisa-se neste texto o projeto da estrutura em concreto armado moldado no local de um edifício residencial. O projeto arquitetônico é convencional, isto é não exige a utilização de sofisticados procedimentos de cálculo estrutural. Com as indicações citadas nos itens anteriores e com as que se seguem, procura-se definir a forma da estrutura de concreto armado localizando as posições dos pilares, definindo as vigas e, por conseguinte, demarcando as lajes. O projeto da forma da estrutura deve ser desenvolvido procurando-se compatibilizar o projeto estrutural com o projeto arquitetônico. Neste aspecto torna-se importante analisar todos os detalhes e indicações do projeto arquitetônico para perfeita compreensão. É preciso lembrar que o projeto completo de um edifício envolve outros projetos que não só o de estruturas. Assim, é preciso analisar os anteprojetos de instalações hidráulicas e elétricas, de som, de ar condicionado, de paisagismo e jardinagem, etc.


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Desse modo é preciso cuidado ao se determinar as posições dos pilares e conseqüente definição das vigas e lajes para que não ocorra interferência com os demais projetos. As várias áreas técnicas envolvidas no projeto costumam fazer anteprojetos que, posteriormente são analisados em conjunto para que se estudem as compatibilizações necessárias. A título de exemplo, pode-se citar o cuidado que se deve ter ao verificar a localização de vigas nas regiões de banheiros e área de serviço, sendo que o engenheiro que cuida do projeto hidráulico, muito provavelmente, procurou localizar pontos para passagem de dutos de esgoto e instalações de água fria e quente. É conveniente, antes de se iniciar o anteprojeto da forma da estrutura, analisar o projeto arquitetônico, verificando medidas dos compartimentos, espessuras das paredes e tipos de pisos que serão empregados. A análise das possíveis interferências entre as posições dos pilares nos vários andares, isto é, subsolo, térreo, pavimentostipo, cobertura, casa-de-máquinas dos elevadores e reservatórios para água elevados e enterrados (no subsolo), deve ser feita por comparação entre as várias plantas arquitetônicas. A forma da estrutura começa a ser delineada a partir do posicionamento dos pilares, compatibilizando-os com a planta arquitetônica do pavimento-tipo. Normalmente a área destinada à escada e aos elevadores são comuns em todos os andares e nesta área, em níveis diferentes, ficam a casa de máquinas para os elevadores e os reservatórios elevados, não havendo, nessas regiões, interferências no posicionamento dos pilares. Pode-se também adotar pilares-parede na região dos elevadores, com a finalidade de se melhorar a resistência do edifício com relação às ações horizontais (ação do vento). Procuram-se localizar os demais pilares, mantendo um alinhamento entre eles com a finalidade de gerar pórticos que possam ser solicitados por ações horizontais. Além de se procurar manter, em uma mesma direção, as distâncias econômicas já indicadas, é conveniente posicioná-los coincidindo com as paredes divisórias apresentadas na planta arquitetônica. Deve-se ter em conta que afastamentos exagerados entre os pilares exigirão vigas com altura significativa, o que deve ser evitado por motivos já discutidos no item anterior. Praticamente, quando se posicionam os pilares, as localizações das vigas ficam também definidas. Não é necessário projetar uma viga coincidindo com cada parede, pois é possível carregar lajes com ações linearmente distribuídas representadas por paredes. As ações oriundas das paredes podem também ser suportadas por lajes e, nesses casos, a ação de parede pode ser considerada linearmente distribuída sobre a laje. Nos casos de lajes armadas em uma direção, os esforços solicitantes são determinados em função da direção da parede em relação a direção da armadura principal. Nos casos de lajes armadas em duas direções pode-se fazer, ainda, uma consideração simplificada, sendo as ações das paredes admitidas uniformemente distribuídas sobre as lajes. As vigas podem ser localizadas em posições tais que se faça necessário apoiálas em outras vigas. Esse procedimento é perfeitamente aceitável, desde que, ao detalhar as armaduras das vigas não se esqueça de prever a colocação de armaduras de suspensão (na região da ligação entre as vigas). O desenho da forma da estrutura, na fase de anteprojeto, pode ir sendo feito de modo mais definitivo à medida que essas considerações forem sendo atendidas. Em um primeiro estudo do anteprojeto pode-se colocar papel transparente (vegetal ou arroz) sobre o desenho da planta arquitetônica do pavimento-tipo, o que facilita a compatibilização entre os projetos estrutural e arquitetônico. Em comparação com projetos de edifícios de mesmo porte, realizados anteriormente, pode-se, para efeito de desenho, dar uma ordem de grandeza para as dimensões dos pilares compatíveis com as ações aplicadas.

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Os desenhos podem ser feitos com auxílio de computador, a partir do projeto arquitetônico dos pavimentos, em arquivo eletrônico, sendo que, ao se locarem os pilares, definirem-se as posições das vigas e, por conseguinte, das lajes, os desenhos arquitetônicos podem ser apagados, salvando apenas o desenho da forma estrutural do pavimento estudado. As vigas podem, depois de localizados os pilares, ser desenhadas cuidando-se para posicioná-las de tal modo a ficarem embutidas nas paredes. Para isso é preciso verificar quais são as suas dimensões e se há essa possibilidade. Ao posicioná-las lembra-se que elas têm a finalidade de delimitar as lajes, e que devem ter as dimensões econômicas já citadas. As vigas têm, ainda, as funções de suportarem as ações geradas pelas paredes, as transferidas pelas lajes e, se for o caso, fazerem parte dos pórticos que devem resistir às ações horizontais oriundas do efeito do vento. Quanto as vigas, as larguras são adotadas em função da necessidade de, na maioria dos projetos, compatibilizá-las com as espessuras acabadas das paredes de alvenaria, conforme pode ser visto nas figuras 3.1. Normalmente as paredes externas são construídas em alvenaria de um tijolo, e as internas em alvenaria de meio tijolo. Como os tijolos de oito furos têm dimensões de 9cm x 19cm x 19cm, pode-se definir para espessura total das paredes de um tijolo 23cm e 13cm para as de meio tijolo. Isto significa considerar 2,0cm de revestimento de argamassa de cada lado da parede. Adota-se, se possível, para as vigas internas, que fazem parte de um andar-tipo de um edifício, larguras medindo 10cm, quando se deseja que a viga fique embutida em uma parede de 13cm, ou seja, de meio-tijolo - figura 3.1.b. Quando houver necessidade de espessuras maiores, como alternativa, parte da viga fica aparente ou se indica ao projetista da arquitetura, uma parede interna de um tijolo - figura 3.1a e 3.1c. Às vezes se faz necessário adotar viga com largura de 10cm para parede de um tijolo com a finalidade de se permitir a colocação de tubulação para instalação hidráulica posicionadas na face da viga e embutida na parede de um tijolo - figura 3.1b e 3.1c. Para as paredes externas também se adotam vigas com espessuras da ordem de 10cm de espessura, embora as alvenarias tenham 23cm de espessura. Os elementos estruturais fletidos conforme mostrado na figura 3.1 podem ter interferência com os dutos hidráulicos, devendo-se prever furos nas vigas, na direção transversal e na direção da espessura no caso de lajes. Os elementos estruturais devem ter as suas seguranças verificadas por causa das aberturas. A NBR 6118:2003 indica critérios para as aberturas em lajes e vigas que devem ser considerados. Lembra-se que nas vigas as forças cortantes com maior intensidade ocorrem juntos aos apoios nos casos de forças uniformemente distribuídas e os momentos fletores negativos também ocorrem junto ao apoios e os positivos em regiões da vigas próximas da região central. Assim sendo o projetista deve verificar as seguranças das seções transversais com muito cuidado. As alturas das vigas dos pavimentos-tipo não devem ultrapassar a distância de piso-a-piso menos a altura das portas e caixilhos, que usualmente é de 2,10m. O desenho do anteprojeto da forma da estrutura para o pavimento - tipo, realizado em papel transparente e em escala compatível com a adotada para as plantas arquitetônicas dos demais pavimentos, deve ser comparado com estes para se verificar se há interferência das posições dos pilares no pavimento-tipo com os demais pavimentos.


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Figura 3.1 - Posições das vigas em relação às paredes [Andrade, 1985] Ao se definirem as dimensões dos elementos estruturais (lajes, vigas, pilares, blocos de fundação e demais elementos estruturais) os cobrimentos das barras da armadura, que é a distância do plano tangente a barra, paralelo a face do elemento, deve ser adotado em função das condições de exposição do elemento ao meio ambiente. A NBR 6118:2003 prescreve os valores mínimos indicados na tabela 3.2 em função da classe de agressividade ambiental indicada na tabela 3.3. As espessuras dos elementos estruturais, por exemplo, de uma viga, deve ter dimensão tal que leve em conta os cobrimentos das armaduras, as espessuras das barras dos estribos e o conveniente alojamento das barras longitudinais necessária para absorver a força resultante de tração. As dimensões das vigas devem ser definidas, ainda, em função de previsão dos valores dos esforços solicitantes de cálculo que devem ser sempre menores que os resistentes de cálculo. As verificações dos estados limites de serviço devem sempre ser atendidas. Fazem parte dos estados limites de serviço os estados limite de formação de fissuras (ELS-F), limite de aberturas das fissuras (ELS-W) e de deformação excessiva. Se as posições dos pilares no pavimento-tipo interferirem em áreas destinadas a garagens no subsolo, ou com algum outro ambiente social no térreo, há necessidade de se prever um pavimento de transição. Esse pavimento pode ser o do andar térreo ou o primeiro andar-tipo. Essa estrutura de transição normalmente requer vigas, chamadas de vigas de transição, de grandes dimensões, já que as ações a transferir têm ordem de grandeza superior quando comparadas com as ações atuantes nas vigas-tipo, isto é, as que pertencem aos andares-tipo. Quando não há interferência entre as posições dos pilares nos vários andares, não é necessário projetar-se estrutura de transição, o que gera economia, pois o seu custo é significativo em função do volume de concreto utilizado.

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Tabela 3.2 - Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para ∆c=10mm

Tipo de estrutura

Componente ou elemento

Concreto armado

Laje2) Viga/Pilar

Concreto protendido1)

Todos

1)

Classe de agressividade ambiental (tabela 3.3) I II III IV3) Cobrimento nominal mm 20 25 35 45 25 30 40 50 30

35

45

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Cobrimento nominal da armadura passiva que envolve a bainha ou os fios, cabos e cordoalhas, sempre superior ao especificado para o elemento de concreto armado, por causa dos riscos de corrosão fragilizante sob tensão. 2)

Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas por valores nominais dados por: cnom ≥ φ barra, cnom ≥ φ feixe = φn = φ √n e cnom ≥ 0,5 φ bainha, respeitado um cobrimento nominal ≥15 mm.

3)

Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos a armadura deve ter cobrimento nominal ≥45mm.

Tabela 3.3 - Classes de agressividade ambiental Classe de agressividade ambiental

Agressividade

(CAA)

Classificação geral do Risco de deterioração tipo de ambiente para da estrutura efeito de projeto

Rural insignificante Submersa II Moderada Urbana 1) 2) Pequeno Marinha 1) Grande III Forte Industrial 1) 2) Industrial 1) 2) Elevado IV Muito forte Respingo de maré 1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (classe anterior) para ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura). I

Fraca

2)

Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (classe anterior) em: obras em regiões de clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantes secos, ou regiões onde chove raramente. 3)

Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papes, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas.

A figura 3.1 mostra as posições das vigas em relação as paredes de alvenarias. Nos casos da figuras a, b e c podem ser vistas vigas de mesma espessura dos tijolos, menor que a espessura dos tijolos e maior, respectivamente. Nas figuras d, e e f são analisados os casos de tubulações que podem ser destinadas a águas pluviais ou esgoto, notando-se nas figuras e e f posições adequadas para forro falso ou laje rebaixada.


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Lembra-se que, para os elementos estruturais vigas ou lajes que tenham interferência de dutos, as seguranças das seções devem ser cuidadosamente verificadas com relação aos esforços solicitantes nesta seções. 3.2.4 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA ESTRUTURA DOS PAVIMENTOS A partir das análises iniciais realizadas no projeto em estudo é possível se prever qual a alternativa mais viável da forma da estrutura entre as opções analisadas. Faz-se necessário elaborar desenhos que retratem a forma da estrutura para cada pavimento, inclusive com a finalidade de tornar cada vez mais claro o raciocínio do projetista acerca da estrutura, como já descrito anteriormente. As dimensões dos elementos estruturais (vigas e pilares) precisam ser avaliadas, nesta fase de anteprojeto, pois para a determinação dos esforços solicitantes finais as inércias dos elementos são dados necessários para qualquer processo de cálculo estático. As dimensões finais dos elementos estruturais só serão consideradas definitivas na fase de projeto, quando as dimensões adotadas serão verificadas na fase de dimensionamento. Para projetistas com larga experiência em projetos estruturais de edifícios o prédimensionamento de elementos estruturais pode ser feito, como já se informou anteriormente, por comparação com outro projeto já realizado, desde que as dimensões sejam compatíveis. Em primeira instância, para projetistas iniciantes, as sugestões citadas no item anterior para lajes e vigas podem ser seguidas. Para o pré-dimensionamento das seções transversais dos pilares pode ser utilizado o processo das áreas de influência, que é um processo prático, consagrado pelo meio técnico e que fornece bons resultados, quando há certa uniformidade nas medidas dos vãos. A rotina seguida para pré-dimensionamento dos pilares, segundo suas áreas de influência, consiste em dividir o desenho da forma da estrutura do pavimento em estudo, por exemplo, o pavimento-tipo, em áreas da superfície do pavimento, entendendo-se que todas as ações que estão agindo nesta área devem ser absorvidas pelo pilar. Em função de sua posição na estrutura os pilares podem ser identificados como sendo de canto, de extremidade e interno. Se considerar estrutura constituída por grelhas e pórticos, os pilares de canto ficam, na maioria dos casos, submetidos à flexão oblíqua composta, os de extremidade ficam submetidos à flexão normal composta e os internos podem ser considerados submetidos à compressão centrada. Para efeito de pré-dimensionamento os pilares podem ser considerados submetidos à compressão centrada, sendo que as excentricidades oriundas dessas considerações são levadas em conta pela majoração da ação obtida pelo processo das áreas, por um coeficiente adotado praticamente, e que considera também as excentricidades acidentais e de segunda ordem. A rotina para o pré-dimensionamento de pilares, que a seguir se expõe, foi elaborada seguindo trabalho de Pinheiro [1985]. a. Áreas de influência Para a determinação das áreas de influência para cada pilar, o pavimento é dividido em figuras geométricas, constituídas por retângulos (ou polígonos), sendo que cada uma delas compreende as ações que, presumivelmente, se deslocam para ele. Por ser um processo prático de previsão de ações nos pilares, exige do projetista uma visão apurada do caminho das ações, de conhecimento dos processos

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estáticos de determinação dos esforços solicitantes e conhecimento de soluções estudadas anteriormente para outros edifícios. Para a determinação das figuras geométricas dividem-se as distâncias (l = vão efetivo) entre os centros dos pilares pela reta que passa por um ponto contido no intervalo (0,45l a 0,55l) sendo que estes limites são adotados em função da posição do pilar na estrutura, a saber: a1. 0,45 l - adotado no caso de pilar de extremidade ou de canto na direção da menor dimensão do pilar; 0,45 l - adotado no caso de pilar interno quando na direção considerada, o vão consecutivo ou suas ações superarem em 20% o valor correspondente ao do vão em questão. a2. 0,55 l - complemento do vão dos casos anteriores; a3. 0,50 l - adotado no caso de pilar de extremidade ou de canto na direção da maior dimensão do pilar e para pilar interno quando, na direção considerada, o vão consecutivo e suas ações não diferem muito do valor correspondente ao vão em questão. Em função das posições dos pilares e da forma do pavimento em estudo o intervalo citado deve ser ampliado para (0,40 l ; 0,60 l) ou até valores maiores. Nos casos de edifícios com balanços, deve-se considerar, para determinação da área de influência, a área do balanço acrescida das respectivas áreas das lajes adjacentes, com o vão nesta direção dividido ao meio. Nas situações de pavimentos com pilares muito desalinhados ou com distribuição irregular de vãos e ações, os resultados obtidos, segundo esse processo, podem não ser compatíveis com os finais esperados. A título de exemplo, apresenta-se o pavimento da figura 3.2 que ao se determinam as áreas de influência para os pilares, usaram-se os procedimentos indicados anteriormente. b. Ação total por andar No computo final para a determinação das ações nos pilares, na fase de prédimensionamento, devem ser levadas em conta as ações permanentes diretas representadas pelos pesos próprios da estrutura de concreto, ou sejam, das lajes, vigas e dos pilares, dos pesos próprios dos revestimentos de forro, das camadas de argamassa de regularização, dos pisos e pesos próprios das paredes divisórias, geralmente em alvenaria de tijolos furados e, por fim, das ações variáveis normais. Para edifícios residenciais usuais, essa ação uniformemente distribuída pode ser adotada entre 10 kN/m2 a 12 kN/m2.. Esses limites foram considerados pela observação de projetos de edifícios realizados pelo meio técnico. Para cada projeto em particular, o valor da ação uniformemente distribuída, que é usada no pré-dimensionamento é facilmente levantada, procedendo-se como a seguir se expõem.


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Figura 3.2 - Áreas de influencia [Pinheiro, 1985] Analisam-se as ações que atuam em uma área de influência genérica, verificando-se os tipos de paredes (um tijolo ou meio tijolo e tipo de tijolo) que influenciam a ação final nesta área. Os pesos próprios dos elementos de concreto armado são levados em conta imaginando-se uma laje maciça, fictícia, com 17cm de espessura, de área idêntica à área de influência. Supõe-se que esse volume de concreto armado seja relativo ao volume das vigas, lajes e de um tramo do pilar em questão, quando estiverem com suas dimensões definidas pelo projetista. O valor adotado de 17cm para a espessura da laje fictícia resulta da observação dos projetos de edifícios já elaborados e com suas viabilidades técnico - econômicas verificadas. Este valor está relacionado com os edifícios usuais, em caso contrário avaliação detalhada da espessura fictícia deve ser feita. A figura 3.3 representa as ações que atuam em uma área de influência de uma laje fictícia onde se adotou a espessura de 17cm. As espessuras indicadas para o revestimento do forro, contrapiso e piso foram adotadas em função do observado em obras quando se utilizam argamassa mista e argamassa de cimento e areia respectivamente. Em caso do projeto prever outro tipo de material, por exemplo, gesso como revestimento do forro e não se utilizar contrapiso, estas ações não devem ser consideradas.

Figura 3.3 - Ações na laje fictícia

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As ações podem ser compostas separadamente, para cada área de influência, seguindo a tabela indicada e, com as ações da figura 3.3. A ação variável normal deve ser determinada em função da utilização da região da área de influência. Tipo de ação

Resultante (kN/m2)

peso próprio do concreto armado:

0,17 x 25 =

4,25

revestimento do forro:

0,015 x 19 =

0,29

argamassa de regularização:

0,03 x 21 =

0,63

piso, tacos de ipê:

0,02 x 10 =

0,20

paredes: (depende do projeto arquitetônico)

=

ação variável normal (dormitório):

=

1,50

Os pesos específicos dos materiais usados nas tabelas são os indicados na NBR 6120:1980. Para o revestimento do forro está se supondo que será feito com argamassa de cimento, cal e areia (19kN/m3) e a argamassa de regularização, se houver, será composta de cimento e areia (21kN/m3) já servindo para assentamento do piso. Para o piso está se imaginando que será de tacos de ipê. A título de comparação o peso específico do granito é indicado na norma citada como sendo de 28kN/m3. O peso específico do concreto armado é considerado igual a 25kN/m3 e do concreto simples é de 24kN/m3. Os pesos próprios das paredes podem ser calculados determinando-se as áreas das paredes, contidas na área de influência e, fazendo-se o produto do somatório dos comprimentos pela altura e, multiplicando-se o resultado pelo peso da parede por unidade de área, peso esse a considerando revestida. O revestimento pode ser de reboco ou, no caso de alvenarias externas, outro tipo previsto no projeto arquitetônico, por exemplo, pedras mármore, granito ou pastilhas. Para se obter a contribuição da ação das paredes na área de influência basta dividir o produto citado por esse valor. Realizar esse trabalho para cada área de influência pode demandar tempo do projetista em detrimento de análises mais importantes. Aconselha-se que se façam apenas três avaliações, se determine a média e, com ela, se carreguem as demais áreas de influência. Nos casos de edifícios com distribuição irregular de pilares e com ações diferentes das usuais, aconselha-se proceder como indicado para todas as áreas de influência. c. Ação total nos pilares Determinada a ação por unidade de área prevista para os diversos tipos de pavimento do edifício, pode-se obter as ações em cada pilar, no andar em que for necessário fazer o pré-dimensionamento, multiplicando-se o seu valor pela área de influência e pelo número de pavimentos acima do andar em questão. As ações relativas a cobertura podem ser levadas em conta considerando-se para avaliação da ação uniformemente distribuída 70% da ação considerada para o andar-tipo. A ação total avaliada para cada pilar pode ser feita pela seguinte expressão: N*ki =

(n + 0,7) . (g + q) . Ai

[3.1]


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sendo, n é o número de andares acima do tramo de pilar para o qual se quer fazer o pré-dimensionamento, g + q é a ação avaliada por unidade de área e Ai é a área de influência para o pilar. Nos casos de edifícios com andares de áreas de influência diferentes, por exemplo, andar térreo, deve-se computar as suas contribuições acrescentando-as na expressão anterior, isto se o tramo de pilar considerado ficar abaixo deste andar. Os pilares que fizerem parte da estrutura resistente da casa de máquinas dos elevadores e dos reservatórios elevados, normalmente os pilares junto aos elevadores e escada, devem ter as ações oriundas destas estruturas computadas. Essas ações podem ser avaliadas pelo processo das áreas com as ações variáveis normais (q) adotadas a partir das indicações da NBR 6120:1980. Em alguns edifícios o último pavimento pode ser a céu aberto, com ocupação social, incluindo sauna, piscina, salão de jogos, jardins, bar, etc. Nesse caso as ações variáveis normais devem ser avaliadas para cada caso e para cada área de influência. Faz-se necessário, portanto, compor outra expressão que substitua a ação de cobertura, que naquele caso foi considerada 70% da ação de um pavimento-tipo. e. Pré-dimensionamento das seções transversais dos pilares Para efeito de pré-dimensionamento as seções transversais dos pilares, nos tramos considerados, são avaliadas os imaginado submetidos à compressão axial, suposta centrada, embora se saiba que nas condições de projeto, os pilares são submetidos, também, a esforços de flexão. Essas solicitações de flexão são levadas em conta, multiplicando-se a ação de pré-dimensionamento dos pilares, por coeficientes adotados em função da posição dos pilares e, que já levam em conta o coeficiente de segurança (γf). Bacarji [1993] indica os seguintes valores para o coeficiente α: Posição do pilar

Coeficiente (α)

Interno

1,8

extremidade

2,2

canto

2,5

A ação final para pré-dimensionamento dos pilares pode ser indicada pela expressão: N*d = α . N*k

[3.2]

Ambas as ações estão anotadas com asteriscos (*) para lembrar que são ações de pré-dimensionamento, e não representam as forças normais características e de cálculo que serão determinadas por ocasião do dimensionamento final dos pilares do projeto. f. Cálculo das seções transversais dos pilares A NBR 6118:2003, no item que trata do dimensionamento e esforços resistentes no estado limite último das peças isoladas submetidas à compressão por força normal, estabelece que o dimensionamento ou verificação das seções transversais deve ser feito com a consideração de uma excentricidade (ea) por conta do desaprumo e falta de retilinidade, ocorrida durante a moldagem do pilar.

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Prescreve também que, quando o índice de esbeltez (λ) da barra for maior do que um valor particular λ1, deve-se considerar a ação de um momento fletor complementar (M2d), de segunda ordem, que deve ser acrescentado ao momento fletor de primeira ordem calculado com a excentricidade acidental indicada. Pode o pilar, ainda, em função da posição (pilar de canto ou de extremidade) que ocupa na estrutura, estar submetido à ação de um momento fletor inicial. Fica difícil de avaliar todas essas excentricidades que devem ser consideradas na fase de pré-dimensionamento. Essas excentricidades são levadas em conta por meio do coeficiente já indicado no item anterior. O pré-dimensionamento das seções transversais dos pilares é feito, portanto, supondo-os submetidos à compressão simples, com força suposta centrada. Para os pilares a menor taxa de armadura que pode ser adotada é 0,8% e a maior são 4%. Para o limite superior está sendo computado a região de emenda das barras por traspasse. É usual, nesta fase de ante-projeto, adotar-se para essa taxa valores entre 3% e 3,5% . O cálculo da seção transversal do pilar considerando a fase de prédimensionamento é feito, no estado limite último, igualando-se a solicitação de cálculo com a resistência de cálculo. Assim, pode-se escrever: N*d

= Rcc

+

Rsc

[3.3]

sendo, Rcc é a resultante das tensões de compressão no concreto e Rsc é a resultante das tensões de compressão na armadura longitudinal. A expressão anterior pode ser escrita do seguinte modo: N*d

= 0,85 . fcd

(Ac - As ) + As . σs2

[3.4]

sendo, fcd é a resistência de cálculo do concreto à compressão, Ac é a área da seção transversal do pilar, As é a área da seção transversal da armadura longitudinal comprimida e σs2 é a tensão nas barras da armadura do pilar relativa a deformação especifica do aço de 0,2%. Essa tensão é obtida nos diagramas tensão - deformação indicados na NBR6118:2003, em função do tipo de aço adotado no projeto, normalmente CA-50. Dividindo os dois membros da expressão anterior por Ac, e lembrado que a relação As / Ac é igual taxa geométrica de armadura longitudinal (ρs) e fazendo N*d/Ac = σid (tensão ideal de cálculo), resulta: σid

=

0,85 . fcd

+

ρs

(σs2 - 0,85 fcd)

[3.5]

Pode-se, por ser pequena a área de armadura em relação à área da seção de concreto, considerar a área da seção transversal igual a área de concreto comprimida, isto é, a área da seção transversal subtraída a área de aço, resultando: σid

=

0,85 . fcd + ρs . σs2

[3.6]

É conveniente organizar tabelas de σid em função de ρs para as resistências de cálculo do concreto à compressão e aço CA-50. Essas tabelas facilitam o trabalho de determinação da tensão ideal de cálculo em função da taxa de armadura adotada no pré-dimensionamento. As tabelas foram originalmente desenvolvidas para cálculo das áreas das seções transversais das armaduras de pilares na fase de dimensionamento. Nessa fase deve-se levar em conta as excentricidades já citadas.


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g. Organização dos cálculos Com a finalidade de facilitar os cálculos de pré-dimensionamento dos pilares de edifícios esses podem ser organizados por meio de tabelas. A título de sugestão pode-se montar a tabela 3.4 a seguir indicada, reservandose uma página de memorial de cálculo para cada nível considerado. Nessa tabela são listados os cálculos parciais, como foram expostos neste item e, na mesma seqüência, as dimensões da seção transversal dos pilares no nível considerado. Os cálculos de previsão das seções transversais dos pilares podem, também, ser organizados por planilha eletrônica facilitando e ordenando a memória de cálculo. Tabela 3.4 - Tabela para pré-dimensionamento dos pilares PROJETO: ______________________________________________________________________ PRÉ-DIMENSIONAMENTO DAS SEÇÕES DOS PILARES: ________________________________ NÍVEL: _________________

PILAR

Área de Influência

Carga por Andar

Carga Total

Carga Total de Cálculo

Taxa de Armadura

Tensão Ideal

Ai 2 (m )

N*k (kN)

n.(p.Ai) (kN)

N*d=α.N*k (kN)

ρs

σid (MPa)

Área da Seção Transversal do Pilar Ac 2 (cm )

Dimensões do Pilar a.b (cm.cm)

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2003 - Projeto de estruturas concreto. Rio de Janeiro. 2003. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR-6120:1980 - Cargas para cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro. 1980. CEOTTO, L.H. - Superestruturas de Edifícios Comerciais e Residências: Análise sucinta de duas alternativas, EESC USP - Notas aula para Exame de Qualificação. (1985) ANDRADE, J.R.L. Estruturas de concreto armado - 2.a parte, EESC-USP - Curso de Especialização em Estruturas, 1985. PINHEIRO, L.M. Noções sobre pré-dimensionamento de Estruturas de Edifícios EESC-USP - Curso de Especialização em Estruturas, 1985. BACARJI, E. Análise de estruturas de edifícios: projeto de pilares, EESC-USP, Dissertação de mestrado (Orientador: Libânio Miranda Pinheiro), 1993

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4. ANÁLISE ESTRUTURAL 4.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS A determinação dos esforços solicitantes atuantes nos elementos de uma estrutura de concreto armado é feita considerando-os submetidos às ações atuantes, nas situações de serviço na fase de construção. No caso de edifícios, como já visto, nas lajes agem as ações permanentes e as ações variáveis normais. Determinadas as reações de apoio das lajes, que são as ações atuantes nas vigas do edifício (lei da ação e reação), pode-se, depois de determinadas todas as outras ações atuantes nas vigas, por meio de processo de análise de estruturas de barras, determinarem os esforços solicitantes. Processo simplificado indicado na NBR 6118:2003 também pode ser usado para determinar os esforços solicitantes nas vigas e nos pilares. Conhecidos todos os esforços solicitantes atuantes nos elementos estruturais, realizam-se as verificações de segurança – dimensionamento considerando os estados limites últimos e de serviço (estados limites de formação de fissuras, de abertura de fissuras e deformação excessiva). Para as estruturas de barras - vigas e pilares - em um edifício, os esforços solicitantes podem ser calculados considerando-se vários modelos. O modelo mais simples é o da viga contínua, no qual se considera a viga sem ligação rígida com os pilares, desde que se façam as correções indicadas na NBR 6118:2003. Modelo melhor elaborado é aquele em que se associam à estrutura vários pórticos planos, formados pelos pilares e vigas dos vários pavimentos do edifício. O modelo que se aproxima com maior fidelidade da estrutura real é o que considera as estruturas de barras fazendo parte de um pórtico tridimensional. Existem programas desenvolvidos para microcomputador que fornecem os esforços solicitantes nas vigas e pilares de edifícios, quer quando atuam as ações verticais quer quando se consideram as ações horizontais. O modelo de pórtico tridimensional que pode ser utilizado, desde que o usuário tenha autorização, é o SAP2000. No caso de se adotar como modelo pórticos planos têm-se utilizado, principalmente na Escola de Engenharia de São Carlos - USP, os programas desenvolvidos pelos Professores Márcio Roberto Silva Corrêa e Márcio Antonio Ramalho, PPLAN - Pórtico Plano e GPLAN - Grelha Plana. Quando o modelo adotado for o de viga contínua pode, por exemplo, ser usado o Processo de Cross. Lembra-se que existe programa para máquinas calculadoras e para computador que permitem calcular os esforços solicitantes em vigas contínuas. Os momentos fletores nas barras verticais (pilares) determinados quando atuam as ações verticais são chamados de primeira ordem. Quando o edifício for de grande altura ele apresenta deslocamentos, quando submetidos às ações horizontais - vento, que geram momentos fletores de segunda ordem, podendo levá-la a uma situação de instabilidade da edificação. Quando forem estudadas as verificações de segurança de barras comprimidas de concreto armado (pilares), serão analisados critérios de segurança com relação à instabilidade das barras (instabilidade local), que se chama de flambagem se a instabilidade for provocada por força centrada. Os Códigos Modelos dos Comitês Eurointernacional do Concreto (1990) e Federation Internacional du Beton (1999) indicam parâmetros que, se observados, o efeito de segunda ordem não precisa ser considerado. A NBR 6118:2003 também apresenta verificações semelhantes, como será estudado a seguir.

Capítulo 4 - Análise estrutural

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O texto deste capítulo foi escrito em parte por José Fernão Miranda de Almeida Prado (1994) em sua dissertação de mestrado orientada pelo autor. 4.2 ESTABILIDADE GLOBAL DE EDIFÍCIOS Nos edifícios em concreto armado a atuação simultânea das ações verticais e horizontais provocam, inevitavelmente, deslocamentos laterais dos nós da estrutura. Esse efeito denomina-se não-linearidade geométrica e pressupõe, a princípio, um equilíbrio na posição deslocada, o que implica no aparecimento de esforços solicitantes adicionais (ou de 2.a ordem global) em vigas e pilares. Além disso, nas barras da estrutura os eixos não se mantêm retilíneos, surgindo nas mesmas esforços solicitantes locais de 2.a ordem. Esses esforços, em geral, afetam somente solicitações ao longo da barra, e não serão analisados neste item. Outra questão que deve ficar bem clara é referente à não-linearidade física do material concreto armado. A curva tensão-deformação do concreto não é linear, não permanecendo constante o valor do módulo de elasticidade (Ec). Não obstante, também, os valores dos momentos de inércia (Ii) das seções transversais das barras variam com as intensidades das solicitações, em virtude do aparecimento de fissuras nos elementos estruturais. Vê-se em suma que os módulos de rigidez representados pelo produto EcIi não são constantes. Essa não-linearidade física presente nas estruturas de concreto deve obrigatoriamente ser levada em conta se houver a necessidade da consideração dos momentos fletores de 2.a ordem. Ao analisar uma estrutura é possível perceber se ela é mais ou menos sensível aos efeitos de segunda ordem, dependendo, portanto, da sua rigidez global. A análise da estabilidade global da estrutura de um edifício avalia a "sensibilidade" da mesma em relação aos efeitos de 2.a ordem. Essa "sensibilidade" é tradicionalmente medida por um coeficiente α, introduzido por BECK (1966) e, posteriormente, denominado parâmetro de instabilidade por FRANCO (1985). O modelo proposto por BECK (1966) só era válido dentro do regime elástico e considerava um pilar de seção constante, engastado na base e livre no topo, submetido a uma ação vertical uniformemente distribuída ao longo de toda a sua altura (por exemplo, o seu peso-próprio), como mostra a figura 4.1.

E, I, A : constantes

Figura 4.1 - Modelo proposto por BECK (1966) para cálculo do parâmetro α Desse modo, o parâmetro α para esse pilar ficou definido pela expressão 4.1.

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α=H

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Fv EI

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[4.1]

sendo: H : altura total do pilar; Fv : ação vertical total no pilar; EI : módulo de rigidez da seção transversal do pilar. De acordo com teoria desenvolvida, para valores de α inferiores a 0,6 os momentos fletores adicionais que solicitam esse pilar, por causa da posição deslocada (2.a ordem), seriam menores do que 10% dos já existentes em 1.a ordem. Sendo assim, esses momentos fletores adicionais poderiam ser desprezados no dimensionamento do pilar, por terem pouca influência. Em resumo, para BECK (1966), o parâmetro α servia como uma referência para julgamento da deformabilidade do pilar. Mais tarde, essa teoria pode ser estendida a estruturas de edifícios usuais, considerando-os como "colunas de pavimentos-tipo", o que acaba por conferir às ações verticais um caráter uniformemente distribuído ao longo da altura, como no pilar inicialmente idealizado. Assim, as estruturas nas quais, em virtude da rigidez às ações horizontais, os deslocamentos laterais são pequenos e por decorrência os esforços de 2.a ordem globais também (menores que 10% dos esforços de 1.a ordem), são chamadas de estruturas de nós fixos ou, com algum exagero de linguagem, estruturas indeslocáveis. Nesse caso não há a necessidade de se considerar os esforços solicitantes relativos à posição deformada. Já as estruturas para as quais esses deslocamentos conduzem a esforços de 2.a ordem globais importantes (maiores que 10% dos esforços de 1.a ordem) são chamadas de estruturas de nós móveis, ou estruturas deslocáveis. Uma análise da deformabilidade da estrutura do edifício pode então ser feita segundo as considerações acima. Usualmente, dois índices aproximados são utilizados para verificar a possibilidade de dispensa da consideração dos esforços de 2.a ordem globais, ou seja, para classificar as estruturas de edifícios como sendo de nós fixos ou de nós móveis. Um deles é o parâmetro de instabilidade α, cuja idealização já se comentou, sendo o outro o coeficiente γz. 4.2.1 PARÂMETRO DE INSTABILIDADE α Considerando a teoria de BECK (1966), o valor do parâmetro de instabilidade α para as estruturas de edifícios é dado pela expressão 4.2.

α=H

Nk ( EI) eq

[4.2]

sendo: H : altura total do edifício, medida a partir do topo da fundação ou de um nível muito pouco deslocável do subsolo; Nk : somatório de todas as ações verticais atuantes no edifício (a partir do nível considerado para o cálculo de H), com valor característico;


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(EI)eq : módulo de rigidez da estrutura do edifício equivalente a um pilar de seção constante engastado na base e livre no topo. Na determinação do módulo de rigidez equivalente deve-se contar com toda a estrutura de contraventamento do edifício, ou seja, com o conjunto de elementos estruturais (geralmente pórticos e pilares-parede) que, por causa da sua elevada rigidez, absorvem a maior parte das ações horizontais. Para determinar o valor representativo do módulo de rigidez equivalente a melhor opção é verificar o deslocamento do topo do edifício quando submetido a uma ação lateral uniformemente distribuída, segundo um modelo tridimensional. Associa-se, então, à estrutura um elemento linear (pilar) de seção constante, engastado na base e livre no topo, com altura igual a do edifício que, sujeito à mesma ação, apresente deslocamento idêntico. Isso é feito considerando a linha elástica do elemento linear de seção constante, mostrado na figura 4.2.

E, I, A : constantes

Figura 4.2 - Linha elástica de pilar com rigidez equivalente

Assim, a equação da linha elástica, conhecida da mecânica das estruturas, fornece o valor do módulo de rigidez EI do pilar equivalente, segundo a expressão 4.3. EI =

q H4 8a

[4.3]

sendo: q : ação lateral uniformemente distribuída (geralmente é adotado um valor unitário); H : altura total do edifício; a : deslocamento do topo do edifício quando submetido à ação lateral de valor igual a q. Esse valor de EI encontrado é o chamado módulo de rigidez equivalente (EI)eq do edifício, a ser utilizado para o cálculo do parâmetro de instabilidade α. Outra opção para a estimativa do módulo de rigidez equivalente (EI)eq é a consideração de um modelo bidimensional, sem dúvida bem menos trabalhoso.

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Esse modelo vem tendo grande aceitação no meio técnico, exatamente por conduzir a resultados muito próximos aos do modelo tridimensional. Entretanto, precisa ser idealizado com critério, cuidado e os resultados analisados corretamente. O processo consiste na associação plana de painéis, do mesmo modo como se procede para a determinação dos esforços solicitantes no edifício quando submetido a ações horizontais. Todos os pórticos e pilares-parede que contribuem para o contraventamento na direção analisada são posicionados seqüencialmente num plano e interligados em cada pavimento por barras rotuladas em suas extremidades, as quais simulam a presença das lajes atuando como um diafragma rígido. Essas barras rotuladas, como também todas as vigas, devem ser consideradas no modelo com elevada área de seção transversal, para que não ocorra deformação axial nas mesmas, o que ocasionaria deslocamentos diferentes ao longo de uma mesma linha horizontal da associação, ou seja em pontos de um mesmo pavimento, o que pela hipótese do diafragma rígido não aconteceria. Para as vigas, os momentos de inércia utilizados devem ser os reais. A figura 4.3 ilustra uma associação plana de painéis.

Figura 4.3 - Associação plana de painéis

Neste modelo fica bem claro o quanto é importante a consideração, na fase de projeto, de sistemas aporticados que conferem maior rigidez à estrutura do edifício. O módulo de rigidez equivalente calculado para a associação plana de painéis terá valor menor do que se utilizado o modelo tridimensional, com contraventamento em direções ortogonais. O modelo plano fica, portanto, a favor da segurança. Determinado o módulo de rigidez equivalente, seja por qualquer dos modelos descritos, o parâmetro de instabilidade α tem seu valor calculado segundo a expressão 4.2. A estrutura em questão poderá ser considerada de nós fixos (dispensa da consideração dos esforços de 2.a ordem globais) se o valor de α não exceder um limite, chamado de αlim , definido em função dos valores dos esforços de 2.a ordem serem inferiores a aproximadamente 10% dos de 1.a ordem. Considerando a formulação para instabilidade das estruturas chega-se à conclusão de que um valor fixo igual a 0,6 como limite para α (proposto por BECK, em 1966, para o caso de um pilar engastado na base e livre no topo) não é satisfatório para edifícios usuais com qualquer número de pavimentos. Em trabalho apresentado no Colóquio sobre Estruturas de Concreto realizado na Universidade Federal do Rio Grande do Sul, VASCONCELOS (1987) propõe que o valor limite para α seja dado pela expressão 4.4. α lim =

1 1,2

(0,88 −0,44.10

−0,144n

)

[4.4]


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sendo: n : número de pavimentos do edifício. O valor da expressão acima converge para 0,8 quando n ≥13. Desta maneira pode-se tomar αlim = 0,8 para n ≥ 13, utilizando a expressão indicada por VASCONCELOS (1987) somente quando n < 13. A NBR 6118:2003 indica que uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada como sendo de nós fixos se seu parâmetro de instabilidade α (expressão 4.5) for menor que o valor α1, indicado a seguir. O Código Modelo do CEB-FIP (1990) indica os mesmos limites. α = H tot Nk /(E ciIc )

[4.5]

sendo: α1=0,2+ 0,1n

se: n ≤ 3

α1=0,6

se: n ≥ 4

sendo: n é o número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; Htot é a altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; Nk é o somatório de todas as ações verticais atuantes na estrutura (a partir do nível considerado para o cálculo de Htot), com seu valor característico; EciIc representa o somatório dos valores de rigidez de todos os pilares na direção considerada. No caso de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, ou com pilares de rigidez variável ao longo da altura, pode ser considerado o valor da expressão EciIc de um pilar equivalente de seção constante. Na análise de estabilidade global pode ser adotado o valor do módulo de elasticidade ou módulo de deformação tangente inicial dado por: Eci = 5.600 (fck)0,5

[4.6]

O valor de Ic deve ser calculado considerando as seções brutas dos pilares. A rigidez do pilar equivalente deve ser determinada do modo indicado, ou sejam, calcula-se o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação do carregamento horizontal; calcula-se a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base e livre no topo, de mesma altura Htot , tal que, sob a ação do mesmo carregamento, sofra o mesmo deslocamento no topo. A NBR 6118:2003 sugere que o valor αlim = α1 = 0,6 prescrito para n ≥ 4 é, em geral, aplicável às estruturas usuais de edifícios com pórticos associados a pilaresparede. Ele pode ser aumentado para α1 = 0,7 no caso de contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede, e deve ser reduzido para α1 = 0,5

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quando só houver pórticos. Isso ocorre em virtude das diferenças entre as formas deformadas do edifício, relacionadas com a presença desses elementos. Como define esse mesmo texto, pilares-parede são elementos de eixo vertical submetidos preponderantemente à compressão, nos quais a maior dimensão da seção transversal supera em pelos menos quatro vezes a menor dimensão. Freqüentemente, há edifícios em que elevadores e escadas são envolvidos por pilares-parede com grande rigidez. Nessas situações pode ocorrer que, considerando somente o somatório das rigidezes das seções brutas desses elementos como sendo o valor de (EI)eq para cálculo do parâmetro de instabilidade α, se obtenha α ≤ αlim, satisfazendo a condição para não levar em conta no dimensionamento os efeitos de 2.a ordem. No caso de existirem esses elementos (comumente chamados de núcleos estruturais) isso deve ser sempre verificado, pois se pode evitar a consideração do modelo global da estrutura, reduzindo o trabalho e o tempo gasto no projeto. Havendo a necessidade de se considerar os esforços de 2.a ordem, deve-se avaliar ainda se esses não apresentam valores muito elevados o que implicaria na conveniência de se alterar a estrutura. Isso pode ser feito analisando-se a magnitude do parâmetro α. 4.2.2 COEFICIENTE γz O coeficiente γz também é usado para avaliar a sensibilidade da estrutura de um edifício aos efeitos da não-linearidade geométrica, estimando a magnitude dos esforços de 2.a ordem em relação aos esforços de 1.a ordem. Essa estimativa pode ser feita a partir dos resultados de uma análise em 1.a ordem, sem a consideração da não-linearidade física dos materiais (comportamento elástico-linear). A NBR 6118:2003 indica que o valor do coeficiente γz é calculado pela expressão 4.7. γz =

1 ∆Mtot ,d 1− M1,tot,d

[4.7]

sendo: M1,tot,d é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais, da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura; ∆Mtot,d é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, na combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise em 1.a ordem. Os valores de cálculo das ações são obtidos a partir dos valores característicos, multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação (γf). Esses coeficientes estão relacionados a três parcelas: γf = γf1 . γf2 . γf3 sendo: γf1 : considera a variabilidade das ações;

[4.8]


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γf2 : considera a simultaneidade das ações; γf3 : considera as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações. Conforme análise feita por FRANCO (1991), para o cálculo do coeficiente γz resulta uma combinação das três parcelas acima tal que γf = 1,0 para as ações verticais. Os deslocamentos horizontais do edifício são obtidos supondo comportamento elástico-linear, e utilizando modelo tridimensional ou plano (associação plana de painéis). Supondo válida a hipótese do deslocamento dos pavimentos como um diafragma rígido e admitindo-se que não haja torção global no edifício pode-se, simplificadamente, obter o valor de ∆Mtot,d procedendo-se à soma dos produtos das ações verticais totais de cálculo atuantes em cada pavimento pelo seu respectivo deslocamento calculado com as ações horizontais de cálculo. Outra opção, que também conduz a bons resultados, é admitir ∆Mtot,d como sendo o produto de toda a ação vertical de cálculo do edifício pelo deslocamento do pavimento situado em sua altura média. Também é interessante comentar que, para o cálculo do valor de γz, a ação horizontal aplicada à estrutura pode ter qualquer valor (por exemplo, unitário) uma vez que este afeta na mesma proporção os valores de M1,tot,d e ∆Mtot,d (modelo linear), os quais ocupam posição de denominador e numerador, respectivamente, na expressão do coeficiente em questão. Entretanto, o cálculo do valor real da ação horizontal de vento, obtido segundo a NBR 6123:1988 - Forças Devidas ao Vento em Edificações, já antecipa uma tarefa que deverá ser solicitada em etapas seguintes do projeto. Considera-se a estrutura como sendo de nós fixos se γz ≤ 1,1 (que corresponde aproximadamente à avaliação dos esforços de 2.a ordem serem inferiores a 10% dos de 1.a ordem), e de nós móveis em caso contrário. Como já foi dito, nas estruturas de nós fixos o efeito de 2.a ordem global pode ser desprezado, devendo-se somente analisar os esforços de 2.a ordem ao longo das barras comprimidas (2.a ordem local). Caso uma estrutura seja considerada de nós móveis, pode-se tentar alterá-la, revendo a posição de pilares, aumentando as seções de alguns elementos estruturais ou mesmo incluindo pilares-parede junto a elevadores e escadas, visando obter γz ≤ 1,1 ou α ≤ αlim. A simples inclusão de pilares-parede com grande rigidez como a solução imediata não deve ser feita antes do estudo das demais alternativas, pois isto freqüentemente leva a um maior consumo de concreto e aço, bem como a dificuldades adicionais de execução. Aliás, torna-se conveniente alterar a estrutura se o valor do coeficiente γz indicar que os esforços de 2.a ordem apresentam valores elevados. Justamente por essa possível necessidade de alteração da estrutura é que uma avaliação da estabilidade global deve ser feita ainda na fase de definição da forma estrutural (fase de anteprojeto). 4.2.3 ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE NÓS MÓVEIS Nas estruturas de nós móveis a análise dos esforços deve obrigatoriamente considerar os efeitos de 2.a ordem global e da não linearidade física. Deve ficar assegurado que para as combinações mais desfavoráveis das ações de cálculo não

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ocorra perda de estabilidade nem tão pouco esgotamento da capacidade resistente de cálculo das seções mais solicitadas. Os efeitos de 2.a ordem devem ser considerados por modificações apropriadas na matriz de rigidez da estrutura, pensando-se em utilizar uma análise matricial, por exemplo o Processo dos Deslocamentos. Entretanto, para estruturas de edifícios usuais pode-se utilizar o Processo P-∆, que conduz a resultados muito bons. A idéia deste processo é aplicar na estrutura indeformada as ações horizontais e verticais , verificando a posição deformada. Num segundo passo, aplica-se sobre a estrutura deformada obtida essas mesmas ações, tendo-se então uma nova posição. E, assim por diante, até se observar uma convergência dos valores de deformação do edifício, o que indicaria que a estrutura é estável. Os esforços obtidos na posição deformada convergente serão os esforços finais, incluindo os de 2.a ordem. Obviamente que essa posição final deformada deve obedecer a valores que não comprometam os estados limites de utilização (deformação excessiva e abertura de fissuras). A NBR 6118:2003 indica que análise não-linear de 2.a ordem, pode ser feita por uma solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2ª ordem, que consiste na avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª ordem) a partir da majoração adicional dos esforços horizontais da combinação de carregamento considerada por 0,95γz. Esse processo só é válido para γz ≤ 1,3. VASCONCELOS (1987) propõe outro fator de majoração, variável com o número de pavimentos, e válido quando α ≤ 1,0. Esse fator k é dado pela expressão 4.6. k =1,0 +

1,0

[4.9]

 β  2    − 1 , 0  .η  1 , 2 . α   

sendo: α : parâmetro de instabilidade; β : 2,8 - 1,1 . e -0,22.n , sendo n = número de pavimentos; η:coeficiente dado em função do número de pavimentos, segundo a tabela 4.1. Tabela 4.1 - Coeficiente η em função do número de pavimentos n

n η

1 0,60

2 0,92

3 1,07

4 1,20

5 1,27

10 1,39

20 1,46

>20 1,52

Obs.: Para valores intermediários entre n = 5 e n = 20 deve-se fazer interpolações lineares. Já a não-linearidade física do material deve ser levada em conta por considerações adequadas sobre ductilidade, fissuração e deformabilidade. A deformabilidade dos elementos pode ser calculada com base nos diagramas tensãodeformação dos materiais. Entretanto, há uma maneira aproximada de se considerar a não linearidade física, como indicado na NBR 6118:2003 para análise dos deslocamentos horizontais da estrutura, tomando-se como rigidez das vigas e pilares os seguintes valores reduzidos:


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Lajes:

(EI)sec = 0,3 . Eci . Ic

Vigas;

(EI)sec = 0,4 . Eci . Ic nos casos de A’s ≠ As (EI)sec = 0,5 . Eci . Ic nos casos de A’s = As

Pilares:

(EI) sec = 0,8 . EcI . Ic

Ic : momento de inércia da seção bruta. Quando a estrutura de contraventamento for composta exclusivamente por vigas e pilares e γz for menor que 1,3, permite-se calcular a rigidez das vigas e pilares por: (EI)sec = 0,7 EciIc

[4 10]

Os valores de rigidez assim adotados são aproximados e não podem ser usados para avaliar esforços locais de 2ª ordem, mesmo com uma discretização maior da modelagem. Lembra-se que esses valores reduzidos são aproximados e devem variar com a taxa de armadura. 4.2.4 CONSIDERAÇÃO DA ALVENARIA Os esforços de 2.a ordem globais ocorrem por causa da posição deformada da estrutura, que surge principalmente perante as ações horizontais de vento. Entretanto, essas ações só conseguem solicitar a estrutura de um edifício, deformando-a; existindo elementos de fechamento entre vigas e pilares, ou sejam, as paredes de alvenaria obstruindo o vento, a deformabilidade do pórtico poderá ser alterada. Levando em conta essas considerações, lembra-se que se a alvenaria é necessária a existência da sua ação estará presente na capacidade de absorção enrijecendo, portanto, o sistema de pórticos do edifício. A figura 4.4 ilustra o que ocorre em um painel de pórtico solicitado por ação horizontal.

Figura 4.4 - Contribuição da alvenaria para o enrijecimento dos painéis de pórtico

A consideração da contribuição da alvenaria em cada painel de pórtico poderia ser feita, por exemplo, modelando-a como uma barra de rigidez tal que simule seu efeito de travamento, como mostrado na figura 4.4. Sem dúvida, novos modelos de pórtico tridimensional e associação plana de painéis que contemplassem essa idéia apresentariam deslocamentos horizontais menores, indicando o aparecimento de esforços de 2.a ordem reduzidos (parâmetro de instabilidade α e coeficiente γz com valores mais baixos).

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Dentre as várias propriedades de uma alvenaria que influenciariam seu desempenho nessa função de enrijecimento dos pórticos estão o tipo e a qualidade do material, com relevante importância. Assim sendo, em obras com pouco controle de qualidade torna-se perigoso contar com a colaboração da alvenaria. Como engenheiros, os projetistas estruturais devem ter conhecimento dessa colaboração e, ao mesmo tempo, saber avaliar a conveniência de usufruí-la em cada um de seus projetos. 4.3. ESFORÇOS SOLICITANTES POR CAUSA DE IMPERFEIÇÕES GLOBAIS

Nas estruturas de edifícios formadas por pórticos e pilares-parede devem ser consideradas as imperfeições geométricas dos eixos das peças verticais na estrutura sem ação, ou seja por causa do desaprumo. A NBR 6118:2003 indica que na análise global das estruturas, contraventadas ou não, deve ser considerado, um desaprumo dos elementos verticais conforme indicado na figura 4.5, com valor o angula de inclinação θa calculado pela expressão 4.11.

Figura 4.5 - Desaprumo em pórtico plano

θa = θ1

1+

1 n

2

sendo: n : número de pilares contínuos do pórtico; θ1 =

1 〉 0,005 (rad) ; 100 . l

sendo: θ1min = 1/400 para estruturas de nós fixos; θ1min = 1/300 para estruturas de nós móveis e imperfeições locais; θ1max ≤ 1/200.

l : altura da estrutura, em metros.

[4.11]


82

A NBR 6118:2003 indica que o efeito do desaprumo mínimo não deve necessariamente ser superposto ao efeito do vento. Entre os dois, vento e desaprumo, pode ser considerado apenas o mais desfavorável, que pode ser definido por aquele que provoca o maior momento total na base da construção. Como já citado anteriormente, quando a estrutura for considerada de nós móveis permite-se, em alguns casos, considerar os esforços de 2.a ordem globais a partir da majoração (por γz) dos esforços de vento e dos oriundos do desaprumo. Os esforços de vento são as ações horizontais reais, enquanto os do desaprumo podem ser encarados como provenientes de ações horizontais fictícias correspondentes à inclinação acidental. As ações horizontais fictícias ∆Hi para cada nível de um pórtico são mostradas na figura 4.6, sendo determinadas pela expressão 4.8.

Figura 4. 6 - Ações horizontais fictícias em pórtico por causa do desaprumo

n ∆Hi = ∑ Vij . tg θa j=1

[4.12]

sendo: n : número de pilares contínuos do pórtico; Vij : ação vertical aplicada ao pilar j somente pelo andar i; θa : ângulo de desaprumo do pórtico, em radianos. Obs.: Em se tratando de ângulos muito pequenos, como é o caso do ângulo de desaprumo, é perfeitamente razoável considerar tgθa ≅ θa, em radianos. Fazendo isso para todos os pórticos de uma direção tem-se a ação total horizontal fictícia para essa direção, que somada a real (do vento) pode ser majorada a fim de se levar em conta, de maneira aproximada, os efeitos de 2.a ordem. 4.4 AÇÕES HORIZONTAIS

4.4.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS A análise da estrutura para determinar os esforços solicitantes provenientes de ações horizontais por causa do vento requer estudo cuidadoso.

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Por exemplo, em relação ao tipo de análise das ações de vento em uma estrutura é muito comum a seguinte frase: "uma análise estática pode ser feita para edifícios baixos, que são aqueles tais que uma análise dinâmica não se faz necessária". Sem dúvida, apesar de comum, esta não é uma definição muito clara. Mas afinal, quando uma análise dinâmica se faz necessária em edifícios altos? Ora, o que são edifícios altos? Pode ser dito que são aqueles para os quais uma análise estática não reproduz de modo satisfatório os efeitos das ações de vento. De maneira resumida e definitiva, dever-se-ia sempre proceder a uma análise dinâmica, uma vez que somente a observação de seus resultados permite avaliar se ela se faz necessária ou não. A própria NBR 6118:2003 não contem um texto ao tratar das ações de vento, indicando somente que os esforços solicitantes por causa do vento devem ser considerados e determinados de acordo com o prescrito pela NBR 6123:1988, permitindo-se o emprego de regras simplificadas previstas em Normas Brasileiras específicas. A análise da ação de vento sobre estruturas de edifícios é de difícil abordagem por envolver aspectos determinísticos e probabilísticos. A NBR 6123:1988 - Forças Devidas ao Vento em Edificações indica como quantificar a ação de vento em estruturas de edifícios, normalmente aplicada estaticamente. Na verdade, uma parcela correspondente a aproximadamente 50% da ação indicada por essa norma deveria ser considerada como uma ação flutuante atuando dinamicamente. Sendo assim, o problema está em modelar de maneira correta a introdução dessas ações flutuantes (dinâmicas) sobre a estrutura do edifício. Nos casos usuais de projetos de edifícios é feita análise estática por conta da ação do vento, realizando-se análise dinâmica nos casos de edifícios muito altos ou com geometria específica por exemplo aqueles cujas dimensões apresentam um lado muito menor que o outro. 4.4.2 MODELOS PARA DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES Estimada a ação horizontal de vento atuante na estrutura criam-se condições para determinar os esforços solicitantes em vigas e pilares. Se para as ações verticais existem modelos chamados de simplificados, como por exemplo o de viga contínua indicado na NBR 6118:2003, que com análises rápidas conduzem a resultados até certo ponto bons, isso não acontece quando se trata de ações horizontais. Nesse caso, os modelos ditos simplificados só conduzem a resultados razoáveis para estruturas com pórticos regulares e sem quaisquer "perturbações", como por exemplo pilares-parede com grande rigidez localizados junto a elevadores ou escadas (comumente chamados de núcleos estruturais), ou mesmo vigas de transição. Além disso não são análises rápidas, envolvendo cálculos com grande número de equações. Sendo assim, o mais indicado é considerar análises feitas por modelos de pórticos planos ou tridimensional com auxílio de computador e programas difundidos no meio técnico. 4.4.2.1 Modelo de pórticos planos Este tipo de análise pode ser feita por uma associação plana de painéis, posicionando-se os pórticos e pilares-parede da direção analisada seqüencialmente num plano e interligando-os em cada pavimento por barras rotuladas em suas


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extremidades. Essas rótulas são essenciais para que não haja a introdução de momentos fletores adicionais nos pórticos. A presença das lajes atuando, por hipótese, como um diafragma rígido (rigidez infinita em seu plano) provoca uma compatibilidade de deslocamentos em qualquer ponto do pavimento quando presentes as ações horizontais. Assim, as barras rotuladas de interligação dos pórticos, como também as vigas, devem ser introduzidas no modelo com elevada área da seção transversal para que não ocorra deformação axial nas mesmas, o que ocasionaria deslocamentos diferenciados ao longo de uma mesma linha horizontal da associação, contrariando a hipótese do diafragma rígido. É necessário salientar que para as vigas somente deve-se alterar a área da seção transversal mantendo-se as características geométricas reais, como por exemplo o momento de inércia. A associação plana de painéis assim idealizada é então submetida às ações horizontais de vento integrais atuantes na face do edifício perpendicular à direção a que pertencem os pórticos, sendo obtidos os esforços solicitantes em vigas e pilares com o uso de programas computacionais que se utilizem, por exemplo, do Processo dos Deslocamentos. A figura 4.76 ilustra um modelo de associação plana de painéis.

Figura 4. 7 - Modelo de associação plana de painéis

Em virtude da fissuração, inevitáveis em estruturas de concreto armado, é razoável ainda considerar uma inércia reduzida para vigas e pilares, a fim de simular a perda real desta. O valor dessa redução deve estar em torno de 20% para os pilares e 60% para as vigas, onde a fissuração é maior, e estas são as reduções adotadas pela NBR6118:2003, conforme indicado no item 4.2.3. Outro aspecto a destacar é referente ao efeito geométrico de torção global do edifício quando o vento atua em uma direção que não apresenta simetria estrutural. Naturalmente, os resultados de esforços solicitantes gerados pelo modelo de associação plana de painéis não contemplam esse efeito. Os momentos torçores em vigas também não aparecem nos resultados deste modelo. 4.4.2.2 Modelo tridimensional Um modelo tridimensional utilizado na determinação dos esforços solicitantes relativos às ações horizontais de vento, e, também, a ação vertical, em edifícios constitui-se em um poderoso instrumento de análise. Levando em conta a tridimensionalidade aparecem os efeitos geométricos de torção global, com possibilidade inclusive de introdução do vento em quaisquer direções.

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As diferenças entre os resultados de uma análise tridimensional e os de outra que considere apenas pórticos planos devem estar relacionadas aos momentos torçores em vigas e ao acoplamento de painéis perpendiculares, presentes somente na primeira. Os momentos de torção nas vigas podem ser diminuídos pela redução dos momentos de inércia à torção (It) das barras do modelo. Lembra-se aqui que as vigas de concreto armado, por serem de pequena espessura no caso de edifícios resistem poucos às tensões tangenciais, considerando que às de torção devem ser somadas as relativas à força cortante. Também a idéia da redução dos momentos de inércia em vigas e pilares para simular o efeito da fissuração continua válida. Quanto aos deslocamentos do edifício submetido às ações de vento esse modelo apresenta valores menores e mais representativos, já que considera o contraventamento em direções ortogonais. 4.4.3 MÉTODOS SIMPLIFICADOS Em edifícios usuais de concreto armado a resistência às ações horizontais de vento fica a cargo do conjunto de painéis verticais (pórticos), e eventualmente, de pilares-parede isolados com grande rigidez, comumente chamados de núcleos estruturais. Quando necessários, os núcleos estruturais normalmente envolvem elevadores ou escadas. A estrutura é então suposta formada por um conjunto de pórticos verticais e núcleos interconectados por lajes horizontais. Admite-se que as ações de vento sejam aplicadas pelas paredes externas a essas lajes, as quais se deslocariam como chapas rígidas em seus planos distribuindo para pórticos e núcleos em cada nível uma parcela da ação aplicada. Simplificadamente, para se proceder a uma estimativa dos esforços solicitantes nesses elementos há a necessidade de se avaliar primeiro as parcelas da ação de vento absorvidas por cada um deles. Uma maneira de se proceder a essa avaliação da distribuição da ação de vento entre os painéis de contraventamento é definida por STAMATO (1978). Pela teoria descrita por ele, pórticos e núcleos estruturais receberiam quinhões de ações proporcionais às suas rigidezes em cada nível, afetados de uma possível torção global por causa da excentricidade da resultante da ação transversal de vento em relação ao "centro de gravidade" das rigidezes dos elementos resistentes (centro elástico). Na verdade STAMATO (1978) utiliza um tratamento discreto, considerando que os esforços transmitidos aos painéis são ações concentradas no nível dos pavimentos. Naturalmente que nesse caso um tratamento contínuo, como o feito por MANCINI (1973), traz resultados mais precisos. O número discreto de lajes seria substituído por um meio contínuo, ficando os esforços transmitidos a um painel continuamente distribuídos. Os pórticos com elementos de seção aproximadamente uniforme ao longo da altura têm rigidez praticamente constante. Nos locais onde houver viga de transição, naturalmente a rigidez será maior. Os pórticos são considerados rígidos ao momento fletor e deformáveis por força cortantes. Já os núcleos estruturais têm uma rigidez maior nas imediações da base, apresentando neste local uma maior participação na absorção de ações horizontais. São considerados rígidos à força cortante e deformáveis por momento fletor. Um fato incontestável diz respeito ainda à presença dos núcleos estruturais. Esse tipo de elemento, pela sua elevada rigidez, absorve uma parcela muito grande das ações horizontais, via de regra muito maior do que as recebidas por pórticos.


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Por isso os núcleos estruturais necessitam de elementos de fundação com alto consumo de concreto, encarecendo a obra. Assim, núcleos estruturais são adotados em último caso, quando a estrutura adotada só com pórticos apresenta índices que indicam falta de estabilidade global do edifício. Quando há somente a presença de pórticos é relativamente comum utilizar-se o critério simplista das faixas de carga (ou áreas de influência) para determinar as parcelas de ações absorvidas por cada um deles. Esse critério não leva em conta as rigidezes dos pórticos, nem tão pouco a excentricidade da resultante da ação de vento, e por isso não deve ser utilizado. Determinada a distribuição de ações horizontais entre os painéis de contraventamento, no caso de pórticos pode-se partir para uma estimativa dos esforços solicitantes em suas vigas e pilares. 4.5 VALORES DAS AÇÕES A SEREM CONSIDERADAS NOS PROJETOS

Nos projetos as ações representadas pelos esforços solicitantes devem ser considerados com os coeficientes de ponderação para cada estado limite considerado: último ou de serviço. Recordando o estado limite último deve garantir à estrutura segurança ao colapso, com todas as suas possibilidades de ocorrência. Estado limite de serviço deve ter as seguintes situações verificadas: limite de fissuração, com as hipóteses se determina o valor do momento de fissuração; de deformação, que verifica as deformações que geram deslocamentos nos elementos fletidos e limite de abertura de fissuras, com as hipótese verificam-se limites para as aberturas de fissuras. Para a verificação dos estados limites a NBR 6118:2003 indica o que segue. 4.5.1 VALORES REPRESENTATIVOS DAS AÇÕES As ações são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser: a) os valores característicos; b) valores convencionais excepcionais, que são os valores arbitrados para as ações excepcionais; c) valores reduzidos, em função da combinação de ações, tais como: - nas verificações de Estados Limites Últimos, quando a ação considerada se combina com a ação principal. Os valores reduzidos são determinados a partir dos valores característicos pela expressão ψ0Fk, que considera muito baixa a probabilidade de ocorrência simultânea dos valores característicos de duas ou mais ações variáveis de naturezas diferentes; - nas verificações de Estados Limites de Serviço. Estes valores reduzidos são determinados a partir dos valores característicos pelas expressões ψ1Fk e ψ2Fk, que estimam valores freqüentes e quase permanentes, respectivamente, de uma ação que acompanha a ação principal. 4.5.1.1 Valores de cálculo Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores representativos, multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação γf dado pela expressão 4. 13.

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γf = γf1 γf2 γf3

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[4.13]

sendo: γf1 considera a variabilidade das ações; γf2 considera a simultaneidade de atuação das ações; γf3 considera os desvios gerados nas construções, não explicitamente considerados, e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações. 4.5.1 2 Coeficientes de ponderação das ações no estado limite último (ELU) Os valores base para verificação são os apresentados nas tabelas 4. 2 e 4. 3, para γf1. γf3 e γf2, respectivamente. Para as paredes estruturais com espessura inferior a 19cm e não inferior a 12cm, e para os pilares com menor dimensão inferior a 19cm, o coeficiente γf deve ser majorado pelo coeficiente de ajustamento γn . Esta correção se deve ao aumento da probabilidade de ocorrência de desvios relativos e falhas na construção. Tabela 4. 2 - Coeficiente γf = γf1. γf3 [NBR 6118:2003] Ações Combinações de ações Normais

Permanentes (g) F D1) 1,4

1,0

Variáveis (q) G T 1,4

1,2

Protensão (p) D F 1,2

0,9

Recalques de apoio e retração D F 0 1,2

Especiais ou de 1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0 construção 1,2 1,0 1,0 0 1,2 0,9 0 0 Excepcionais D = desfavorável, F = favorável, G = geral, T = temporária. 1) Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das estruturas, especialmente as pré-moldadas, esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3.

Tabela 4. 3 - Valores do coeficiente γf2 [NBR 6118:2003] Ações

γf2 ψ11)

ψo ψ2 Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que permanecem 0,5 0,4 0,3 fixos por longos períodos de tempo, nem de 2) elevadas concentrações de pessoas Cargas acidentais de Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por edifícios 0,7 0,6 0,4 longos períodos de tempo, ou de elevada 3) concentração de pessoas Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,6 0,6 Pressão dinâmica do vento nas estruturas em 0,6 0,3 0 Vento geral Variações uniformes de temperatura em 0,6 0,5 0,3 Temperatura relação à média anual local 1) Para os valores de ψ1 relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga, ver seção 23. 2) Edifícios residenciais. 3) Edifícios comerciais e de escritórios.


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Os valores das tabelas 4. 3 e 4. 4 podem ser modificados em casos especiais, de acordo com a NBR 8681:2002. O valor do coeficiente de ponderação, de cargas permanentes de mesma origem, num dado carregamento, deve ser o mesmo ao longo de toda estrutura. A única exceção é o caso da verificação da estabilidade como corpo rígido. 4.5.1 3 Coeficientes de ponderação das ações no estado limite de serviço (ELS) Em geral, o coeficiente de ponderação das ações para estados limites de serviço é dado pela expressão 4.14: γf = γf2

[4.14]

sendo γf2 tem valor variável conforme a verificação que se deseja fazer (tabela 4.4): γf2 = 1 para combinações raras; γf2 = ψ1 para combinações freqüentes; γf2 = ψ2 para combinações quase permanentes. 4.6 COMBINAÇÕES DAS AÇÕES

A NBR 6118:2003 indica que, as ações que podem atuar simultaneamente em uma estrutura devem ser combinadas de tal modo a permitir determinar os efeitos mais desfavoráveis atuantes nas seções transversais críticas. As combinações devem ser feitas com os valores de cálculo das solicitações, obtidas pelos valores característicos multiplicados pelos respectivos coeficientes de ponderação γ . f Os índices do coeficiente de ponderação são alterados de forma que resultem γg, γq,, γp, γε, relativos, respectivamente, às ações permanentes, ações variáveis, protensão e para os efeitos de deformações impostas. Os seus valores são empregados de acordo com o tipo de combinação feita. A NBR 8681:2002 classifica as combinações das ações em: combinações últimas normais, combinações últimas especiais ou de construção e combinações últimas excepcionais. As combinações normais são aquelas relativas às ações provenientes do uso da construção (para edifícios, ações permanentes e variáveis); as combinações especiais incluem as ações variáveis especiais, cujos efeitos superam em intensidade os efeitos produzidos pelas ações variáveis comuns da edificação (no caso de edifícios, o vento); as combinações excepcionais decorrem da necessidade de se considerarem ações excepcionais que provoquem efeitos catastróficos (abalos sísmicos, por exemplo). Apresentam-se a seguir as expressões das combinações das ações para a determinação da situação crítica. 4.6.1 COMBINAÇÕES A CONSIDERAR Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabilidades não desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período pré estabelecido. A combinação das ações deve ser feita de forma que possam ser determinados os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura e a verificação da segurança em relação aos estados limites últimos e aos estados limites de serviço deve ser realizada em função de combinações últimas e combinações de serviço, respectivamente. 4.6.1.1 Combinações últimas Uma combinação última pode ser classificada em normal, especial ou de construção e excepcional.

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a.- Combinações últimas normais

Em cada combinação devem figurar: as ações permanentes e a ação variável principal, com seus valores característicos e as demais ações variáveis, consideradas como secundárias, com seus valores reduzidos de combinação, conforme NBR 8681:2002. a.1- Combinações últimas especiais ou de construção Em cada combinação devem figurar: as ações permanentes e a ação variável especial, quando existir, com seus valores característicos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme NBR 8681:2002. a.2.- Combinações últimas excepcionais Em cada combinação devem figurar: as ações permanentes e a ação variável excepcional, quando existir, com seus valores representativos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme NBR 8681:2002. a.3- Combinações últimas usuais Para facilitar a visualização, essas combinações estão dispostas na tabela 4. 5. 4.6.1.2 Combinações de serviço São classificadas de acordo com sua permanência na estrutura e devem ser verificadas como estabelecido a seguir. a.- quase-permanentes Podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de deformações excessivas. b.- freqüentes Se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação dos estados limites de formação de fissuras, de abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem também ser consideradas para verificações de estados limites de deformações excessivas decorrentes de vento ou temperatura que podem comprometer as vedações. c.- raras Ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do Estado Limite de Formação de Fissuras. A NBR 6118:2003 para facilitar a visualização indica na tabela 4.6 as combinações de serviço usuais.


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Tabela 4.5 – Combinações últimas [NBR 6118:2003] Combinações últimas (ELU)

Normais

Descrição

Cálculo das solicitações

Esgotamento da capacidade resistente para elementos estruturais de concreto armado 1) Esgotamento da capacidade resistente para elementos estruturais de concreto protendido Perda do equilíbrio como corpo rígido

Fd = γgFgk + γεgFεgk + γq (Fq1k + Σ ψojFqjk) + γεq ψoε Fqk Deve ser considerada, quando necessário, a força de protensão como carregamento externo com os valores Pkmáx e Pkmin para a força desfavorável e favorável respectivamente, conforme definido na seção 9. S (Fsd) ≥ S (Fnd) Fsd = γgs Gsk + Rd Fnd = γgn Gnk + γq Qnk - γqs Qs,min, sendo: Qnk = Q1k + Σ ψoj Qjk

Especiais ou de construção

Fd = γg Fgk + γεg Fεgk + γq (Fq1k + Σ ψoj Fqjk) + γεq ψoε Fεqk

Excepcionais

Fd = γg Fgk + γεg Fεgk + Fq1exc + γq Σ ψoj Fqjk + γεq ψoε Fεqk

Fd é o valor de cálculo das ações para combinação última Fgk representa as ações permanentes diretas Fεk representa as ações indiretas permanentes como a retração Fεgk e variáveis como a temperatura Fεqk Fqk representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal γg, γεg, γq, γεq – ver tabela 4.3 ψoj, ψoε - ver tabela 4.4 Fsd representa as ações estabilizantes Fnd representa as ações não estabilizantes Gsk é o valor característico da ação permanente estabilizante Rd é o esforço resistente considerado como estabilizante, quando houver Gnk é o valor característico da ação permanente instabilizante m

Qnk=Q1k + Σ ψojQjk j=2

Qnk é o valor característico das ações variáveis instabilizantes Q1k é o valor característico da ação variável instabilizante considerada como principal ψoj Qjq são as demais ações variáveis instabilizantes, consideradas com seu valor reduzido. Qs,min é o valor característico mínimo da ação variável estabilizante que acompanha obrigatoriamente uma ação variável instabilizante 1) No caso geral, devem ser consideradas inclusive combinações onde o efeito favorável das cargas permanentes seja reduzido pela consideração de γg = 1,0. No caso de estruturas usuais de edifícios essas combinações que consideram γg reduzido (1,0) não precisam ser consideradas.

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Tabela 4. 6 – Combinações de serviço [NBR 6118:2003] Combinações de serviço Descrição Cálculo das solicitações (ELS) Combinações Nas combinações quasepermanentes de serviço, todas as quaseações variáveis são consideradas permanentes Fd, ser = Σ Fgi,k + Σ ψ2j Fqj,k com seus valores quasede serviço (CQP) permanentes ψ2 Fqk Nas combinações freqüentes de serviço, a ação variável principal Fq1 Combinações Fd,ser = Σ Fgik + ψ1 Fq1k + é tomada com seu valor freqüente ψ freqüentes de e todas as demais ações + Σ ψ2j Fqjk 1 Fq1k serviço (CF) variáveis são tomadas com seus valores quase-permanentes ψ2 Fqk Nas combinações raras de serviço, a ação variável principal Fq1 é Combinações tomada com seu valor característico raras de Fd,ser = Σ Fgik + Fq1k + Σ ψ1j Fqjk Fq1k e todas as demais ações são serviço (CR) tomadas com seus valores freqüentes Ψ1 Fqk Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço Fq1k é o valor característico das ações variáveis principais diretas ψ1 é o fator de redução de combinação freqüente para ELS ψ2 é o fator de redução de combinação quase-permanente para ELS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

ALMEIDA PRADO, J. F. M. de (1995) Estruturas de edifícios em concreto armado submetidas a ações verticais e horizontais. São Carlos. USP – EESC. (Dissertação de Mestrado). BECK, H. & KONIG, G.(1967). Restraining forces in the analysis of tall buildings. Symposium on Tall Buildings, Proceedings, Pergamon Press, Oxford. COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON structures en béton. Paris, 1990.

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FÉDÉRACION INTERNATIONALE DU BÉTON (fib/CEB-FIP). Structural Concrete. Fib Bulletin, números 1 a 3 (3 volumes). Lausane, Suissa, 1999 FUSCO, P. B. (1981). Estruturas de concreto armado - solicitações normais. Editora Guanabara Dois, Rio de Janeiro. MAC GREGOR, J. E. & HAGE, S. E. (1977). Stability analysis and design of concrete frames. J. Structural Division, ASCE. RAMALHO, M.A.; CORRÊA, M.R.S. Sistema LASER de análise estrutural. In: SIMPÓSIO NACIONAL DE TECNOLOGIA DA CONSTRUÇÃO, 5., "Software para o Projeto do Edifício", São Paulo, EPUSP, 15-16 out.1987. Anais.


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STAMATO, M.C. (1981). Distribuição das Cargas do Vento entre Painéis de Contraventamento. Publicação EESC -USP, São Carlos. VASCONCELOS, A. C. (1987). Como especificar a segurança quando há efeitos de segunda ordem a considerar. Colóquio sobre estabilidade global de estruturas de concreto armado. Porto Alegre(RS), UFRGS. Contraventamento. Publicação EESC -USP, São Carlos.

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5. LAJES MACIÇAS 5.1 INTRODUÇÃO As placas são elementos estruturais bidimensionais, pois duas das dimensões são bem maiores que a terceira (espessura) e as ações agem perpendicularmente ao plano médio. Quando as placas forem moldadas em concreto armado elas são chamadas de lajes. Nas estruturas dos edifícios as lajes têm importância preponderante no consumo de concreto, que é da ordem de 50% do volume total consumido para construir o edifício. As lajes são submetidas essencialmente a esforços solicitantes de flexão, momentos fletores e forças cortantes. As ações são as permanentes - peso próprio, pesos próprios do contrapiso, piso e revestimento da face inferior da laje (forro do andar inferior) e de paredes divisórias, se for indicado no projeto arquitetônico, e, ação variável normal, isto é, ação de utilização. No caso de edifícios a ação variável normal é especificada pela NBR 6120:1980 - Cargas para o cálculo de estruturas de edificações, em função da utilização do ambiente arquitetônico que ocupa a região da laje em análise, e já estudada no capítulo 2. Montoya et al. [2001], considera que as lajes são delgadas se a relação entre a espessura (h) e a menor dimensão (lx), for menor que 1/5, podendo aparecer importantes tensões de membrana que se superpõe com as tensões normais oriundas da flexão. A NBR 6118:2003 indica que quando a relação h/lx for maior que 1/3, as placas são consideradas espessas, aparecendo um estado triaxial de tensões. As lajes podem ser classificadas quanto a: a. forma O contorno pode ser poligonal ou circular. b. disposição dos apoios As lajes podem ser isoladas apoiadas no contorno ou contínuas e armadas em uma ou duas direções. c. tipos de apoios Os apoios podem ser realizados em pilares (lajes sem vigas ou lajes cogumelo) ou ao longo de vigas. d. vinculação junto aos apoios As lajes podem ser consideradas apoiadas no contorno ou podem ser consideradas engastadas em laje contígua, quando for o caso. e. tipos de ações As ações podem ser pontuais, uniformemente distribuídas ou linearmente variáveis. Para a determinação dos esforços solicitantes a NBR 6118:2003 permite o cálculo pelos métodos clássico e da ruptura. O método clássico considera a teoria da elasticidade, supõem que o material que compõem as lajes é homogêneo, isótropo e de comportamento linear. O método da ruptura é fundamentado na teoria da plasticidade e considera o material como um corpo rígido-plástico perfeito. A aplicação do método da ruptura às lajes resultou na Teoria das Charneiras Plásticas.

Capítulo 5 - Lajes maciças

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Os resultados obtidos com a teoria das charneiras plásticas permitem analisar as lajes nas proximidades da ruptura estando, inclusive, mais de acordo com o processo de verificação da segurança com relação aos estados limites últimos. O método clássico, que resultou no cálculo elástico das lajes não deve ser abandonado, pois analisa as lajes em serviço, prestando-se para verificar os estados limites de utilização. Neste trabalho se utilizam as hipóteses do método plástico para determinação das reações de apoio e do método elástico para determinação dos momentos fletores. 5.2 EXEMPLOS DE ESQUEMAS ESTÁTICOS PARA LAJES MACIÇAS A NBR 6118:2003 indica que as lajes maciças podem ser consideradas como isoladas, fazendo-se a compatibilização dos momentos fletores atuantes nas bordas de lajes contíguas, nos casos de estruturas que há predominância da força permanente e face das forças variáveis normais (g > q). Processo para determinar os momentos fletores finais atuantes nas lajes será estudado no item 5.8.4. O cálculo dos esforços solicitantes, por tabelas práticas, é feito considerando as lajes isoladas, com as vinculações das bordas supostas apoiadas ou engastadas perfeitamente. Entretanto, o monolitismo oriundo do processo construtivo garante uma continuidade às lajes de um determinado pavimento. É preciso determinar critérios que permitem fixar, para cada laje do painel, as condições de vinculação de modo a poder tratá-las dentro das restrições impostas pelos processos em questão. A abordagem completa de todos os fatores que podem intervir no estabelecimento de tais critérios, bem como a identificação de todas as situações particulares que possam ocorrer, seria complicada, além de cansativa. Por isso preferiu-se a apresentação de alguns exemplos, de modo a ilustrar a maneira como são tratadas as situações correntes. [Andrade, 1990] 5.2.1 LAJE ISOLADA APOIADA EM VIGAS NO CONTORNO A figura 5.1 mostra um pavimento de edifício constituído por uma única laje maciça apoiada em vigas no contorno.

Figura 5.1 - Laje isolada [Andrade, 1990] Admitindo-se a laje engastada nas vigas, resultam momentos de engastamento que nas vigas geram momentos (reação) uniformemente distribuídos. As vigas giram,

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porque têm pequena rigidez à torção. Solidariamente, as lajes também giram, desaparecendo a condição inicialmente admitida de engastamento perfeito (giro nulo). Conclui-se que nesse caso a laje deve ser admitida como simplesmente apoiada nas vigas, com a possibilidade, portanto de giro na sua borda. As vigas acompanham esse giro sem que seja desfeita a ligação monolítica "laje-viga", isto é sem aparecimento de fissuras exageradas e ainda sem solicitação importante da viga à torção. Com momento fletor de pequena intensidade e, portanto, pequenas tensões, a viga gira o suficiente para acompanhar o giro da laje. 5.2.2 DUAS LAJES CONTÍGUAS A figura 5.2 apresenta a forma de um pavimento de edifício constituído por duas lajes maciças de espessuras sensivelmente diferentes e assim consideradas para efeito deste exemplo.

Figura 5.2 - Lajes contínuas, em uma direção [Andrade, 1990] Tratando-se de lajes contíguas, o estudo das condições de vinculação deve levar em conta tanto a existência das vigas como a continuidade do painel de lajes. Mesmo admitindo vãos aproximadamente iguais para as duas lajes deste exemplo, as mesmas têm rigidezes diferentes entre si, por serem as espessuras diferentes. A laje menos rígida e as vigas podem, igualmente, ceder e girar, concluindo-se que a laje mais rígida deve ser considerada apoiada, inclusive no lado comum a ambas as lajes. Inversamente, a laje menos rígida deve ser considerada engastada. A existência das vigas não altera a conclusão, do ponto de vista dos giros, de modo que as duas lajes são consideradas "contínuas" entre si e simplesmente apoiadas nas vigas. Com este exemplo foi mostrado de modo sucinto um critério para análise da vinculação das lajes. Casos de lajes com diferenças de nível, lajes apoiadas em vigas


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de grande rigidez ou lajes contínuas de tipo diferente, podem ser analisadas de maneira análoga. Se as lajes tiverem a mesma espessura, ambas devem ser consideradas engastadas na direção do lado comum. Deve-se, entretanto, prestar atenção à outra possibilidade completamente diferente, que é a situação dos momentos de engastamento das lajes serem necessários ao equilíbrio. É o caso do exemplo seguinte. 5.2.3 LAJE EM BALANÇO A laje da figura 5.3 tem três bordas livres, isto é, lados da laje onde não existem vigas de borda. A única viga é a V01 que deve garantir a condição estática para a laje.

Figura 5.3 - Laje em balanço [Andrade, 1990] Neste caso qualquer que seja a rigidez da laje, ou da viga, a laje é considerada sempre engastada, e a viga fica solicitada à ação de um momento uniformemente distribuído, gerando tensões tangenciais oriundas da torção necessárias ao equilíbrio estrutural. Deslocamentos excessivos são evitados adotando-se espessuras e dimensões convenientes para os elementos envolvidos. Note-se também a existência de uma nervura de pequena altura nas bordas da laje, a qual pode ocorrer em função de detalhes impostos pelo projeto arquitetônico. Sendo de pequena altura a nervura tem pequena rigidez e não deve ser admitida como apoio para a laje. O esquema estático é o de uma laje com um lado engastado na viga e os demais lados livres, isto é sem apoio. Concluindo: em um painel de lajes contínuas, após uma análise desse tipo podese delinear a configuração das condições de apoio. 5.3 TIPOS DE CONDIÇÕES DE VINCULAÇÃO PARA LAJES ISOLADAS Para cada tipo de condição de vinculação das lajes se atribuí um número que a identifique, inclusive com relação ao tipo de ação a que está submetida. Observando as tabelas 2.5.a a 2.5.e, elaborados pelo Professor Líbânio Miranda Pinheiro, no trabalho "Concreto Armado: Tabelas e Ábacos - EESC-USP", versão de 1993, percebe-se que elas foram feitas para tipos de lajes com condições de vinculação diferentes, para ações uniformemente distribuídas.

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Do tipo 1 até tipo 6, convencionou-se que lx é o menor vão efetivo, qualquer que seja a condição de vinculação. Daí a necessidade de alguns tipos de vinculação ser subdivididos em A ou B. Por exemplo, lajes tipo 4A e 4B. Na laje 4A, lx é paralelo aos dois lados engastados e, na laje 4B lx é paralelo aos dois lados apoiados. Para cada laje se define um sistema local de eixos coordenados. O eixo das abscissas (x) é paralelo ao lado lx e o das ordenadas (y) é paralelo ao lado ly (o maior lado), conforme pode ser observado na figura 5.4. Quando, no projeto das lajes, se utilizam tabelas diferentes das consultadas neste trabalho, especial atenção deve ser dada à convenção adotada pelo autor da tabela.

Figura 5.4 - Lajes tipo 4A e 4B Para os 6 tipos de lajes, PINHEIRO [1993] adaptou coeficientes calculados por BARES [1970] para a relação (λ = ly / lx) entre os lados variando: 1,0

≤

λ = ly / lx

≤

2,0

Considera-se que se a relação de lados for menor do que 2,0 a laje é armada em duas direções, isto é, as armaduras posicionadas nas duas direções têm a mesma ordem de grandeza. Se λ > 2,0 considera-se que a laje é armada em uma direção, isto é, armada na direção do vão menor (lx). Neste caso a armadura de maior área é posicionada paralelamente ao menor vão. Na direção do vão maior posiciona-se armadura chamada de distribuição, com área mínima indicada na NBR 6118:2003. Os esforços solicitantes - momentos fletores e forças cortantes - são calculados para uma viga com largura unitária (bw = 1m) com a mesma condição de vinculação dos lados paralelos a ly. O exemplo da figura 5.5 indica uma laje com três bordas apoiadas e uma considerada engastada em laje contígua, que garante esta situação. O lado engastado é paralelo ao maior vão efetivo da laje. Como a relação entre os vãos teóricos é maior do que 2, não há necessidade de se recorrer a tabelas para cálculo dos esforços solicitantes, embora este caso, de λ ≥ 2,0, seja contemplado nas Tabelas de Pinheiro. Os esforços solicitantes para uma viga engastada e apoiada no lado oposto, de vão lx,, quando associada a uma laje maciça de mesma condição de vinculação, são dados pelas expressões que seguem:


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m'x =

(g + q)l 2x 8

v 'x = 0,6(g + q)l x

mx =

(g + q)l 2x 14,22

v x = 0,4(g + q)l x

A largura da viga deve ser considerada igual a um (1) metro, conforme mostrado na figura 5.5. Os momentos fletores de índice “x” têm planos de ação paralelos ao lado lx e as reações de apoio de mesmo índice atuam em bordas da laje paralelas ao lado ly. As reações de apoio atuantes nos lados paralelos a lx podem ser determinadas usando a Tabela de PINHEIRO [1993], para o tipo de laje compatível, para λ = 2. O momento fletor na direção do eixo y não precisa ser calculado, pois a NBR 6118:2003 indica que para lajes armadas em uma direção deve-se dispor de armadura de distribuição como será mostrado no item relativo a critérios de armação de lajes.

Figura 5.5 - Esforços solicitantes em laje armada em uma direção Os esforços solicitantes na direção do eixo y são avaliados para laje considerando-se uma laje fictícia com mesma condição de vinculação da laje em questão, porém, com relação entre os vãos teóricos igual a 2,0. Os coeficientes para cálculo dos esforços solicitantes na direção do maior vão efetivo são os encontrados nas respectivas tabelas, força cortante e momento fletor, para λ = 2,0. Observa-se que na tabela 2.5a, laje tipo 2B, os coeficientes com índice y para λ > 2,0 são iguais aos de λ = 2,0. Os de índice x foram adaptados em função dos fatores de multiplicação e dos denominadores das expressões com as quais se calculam os esforços solicitantes. As tabelas para as lajes tipos 7, 8, 9 e 10 foram elaboradas considerando uma borda livre e submetidas à ação uniformemente distribuída na área da laje. Nestes casos o eixo x é paralelo ao lado la e o eixo y é paralelo ao lado de vão efetivo lb. Notar que nos quatro tipos lb é paralelo ao lado da laje com borda livre. Os esforços solicitantes são indicados pelas letras m para momento fletor por unidade de largura (1m) e v para força cortante ou reação de apoio na mesma unidade. Os índices x ou y indicam os planos de ação dos momentos fletores ou o lado que ocorrem as reações de apoio - x para os lados paralelos a ly e y para os lados paralelos a lx. Quando os momentos fletores ocorrem em lados engastados eles são indicados, com plica ('), por exemplo, m'x para designar o momento fletor, com plano de ação

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paralelo ao lado lx e provocando tração na face superior da laje, na ligação desta com a contígua. Para os coeficientes, apresentados nas Tabelas de Pinheiro, adotam-se as mesmas convenções. Os coeficientes com os quais se calculam as reações de apoio são anotados com a letra grega ν (ni) e os coeficientes para momento fletor µ (mi). 5.4 CONDIÇÕES DE VINCULAÇÃO DIFERENTES DAS INDICADAS NAS TABELAS Como pode ser visto nas tabelas para determinação dos momentos fletores, os lados das lajes foram considerados totalmente apoiados, engastados ou com borda livre, procurando abranger casos usuais de projetos. Ao se analisar as condições de vinculação das lajes de um pavimento é comum deparar-se com lajes com um lado parcialmente engastado e parcialmente apoiado, como pode ser observado na figura 5.6. Essa situação não é contemplada pelas tabelas, exigindo do projetista um critério específico para a determinação dos esforços solicitantes neste caso. Lembra-se que nos casos de critérios que levam a valores aproximados, estes devem ser justificados pensando-se na segurança estrutural. A laje mostrada na figura 5.6 apresenta um dos lados com condições de vinculação diferentes. Um processo aproximado para cálculo dos esforços solicitantes é o que a seguir se expõe. Se a laje for armada em duas direções, e se ly1 ficar entre ly/3 e (2/3). ly, os esforços solicitantes podem ser calculados considerando-se ora o lado em questão todo engastado ora todo apoiado. Os esforços solicitantes considerados para o dimensionamento serão os de maior módulo. Esse procedimento significa adotar no primeiro caso laje tipo 3 e no segundo laje tipo 2A, no exemplo. Se ly1 for menor do que ly/3 considera-se esse lado todo apoiado; se ly1 for maior do que 2. ly/3 considera-se o lado em questão todo engastado. No caso da laje do exemplo ser armada em uma direção, podem ser consideradas duas faixas unitárias, posicionadas nas duas regiões com condições de vinculação diferentes. As armaduras nessas regiões também serão diferentes. Este critério, quando a laje for considerada armada em uma direção, prevê a divisão fictícia da laje em duas, conforme indicado na figura 5.6. Para avaliar os esforços solicitantes na direção do maior vão efetivo, podem-se determinar os coeficientes nas tabelas para relação entre os vãos igual a 2,0, procurando associar à laje real com aquelas típicas para as quais foram montadas tabelas auxiliares. É importante lembrar que os critérios de aproximação para casos não usuais, devem ser cuidadosamente analisados pelo projetista da estrutura, com a finalidade de resolver o problema proposto, porém, atendendo sempre os requisitos de segurança estrutural. O exemplo mostrado na figura 5.6 pode ser encontrado, nos casos práticos, quando a laje em análise pode ser considerada engastada em laje contígua apenas na região de comprimento ly1 e, no complemento ly2 só é possível considerar apoio.


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Figura 5.6 - Laje com condições de vinculações diferentes 5.5 VÃOS EFETIVOS DAS LAJES A NBR 6118:2003 indica que, quando os apoios puderem ser considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo deve ser calculado pela seguinte expressão: lef = l0 + a1 + a2

[5.1]

Os valores de a1 e a2, em cada extremidade do vão, podem ser determinados pelos valores apropriados de ai, indicado na figura 5.7, sendo: a1 igual ao menor valor entre (t1 e h) e a2 igual ao menor valor entre (t2 e h). Na maioria dos casos usuais de lajes de edifícios, pode-se considerar como vão efetivo a distância entre os centros dos apoios (vigas) que têm, nos projetos usuais de edifícios, larguras medindo entre 10cm a 20cm. Nos casos de lajes apoiadas em vigas de transição, que são vigas de grande largura, faz-se necessário aplicar a regra citada.

l

l

a) Apoio de vão extremo b) Apoio de vão intermediário Figura 5.7 – Vão efetivo [NBR 6118:2003]

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Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Setembro de 2006 101

A figura 5.8 mostra os casos de lajes isoladas, contínuas e em balanço com as indicações da NBR 6118:2003 para cálculo de vãos efetivos.

Figura 5.8 – Vãos efetivos das lajes 5.6 ALTURA ÚTIL E ESPESSURA A NBR 6118:2003 prescreve as espessuras mínimas de lajes maciças de edifícios, em função da utilização, conforme indicado no capítulo 3 deste texto. Claudinei Pinheiro Machado, sugere a seguinte expressão para prédimensionamento da altura útil (d): d0 = (2,5 – 0,1 . n) l* sendo l* o menor valor entre o vão efetivo lx e 0,7 ly; lx é a medida do menor vão efetivo; n = número de bordas engastadas; os vãos efetivos são medidos em metros; d0 em centímetros. Ishitani et al. (2001) indica que as espessuras das lajes maciças podem ser prédimensionadas, considerando:


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h = 2,5% lx sendo lx a medida do menor vão efetivo. A espessura adotada no projeto deve ser verificada, do ponto de vista dos estados limites último e de serviço. A altura útil (d) é a indicada na figura 5.9 onde podem ser vistas as barras das armaduras nas duas direções. O cobrimento (c) é medido a partir da barra mais próxima da face do elemento estrutural.

Figura 5.9 - Altura útil e altura total Os valores dos cobrimentos a serem adotados em função das condições de agressividade do meio ambiente estão indicados na NBR 6118:2003 e no capítulo 3. As espessuras das lajes devem atender os valores mínimos indicados na NBR 6118:2003 e neste texto mostradas no item 3.2.1.1. 5.7 CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES Havendo disponibilidade de equipamento computacional e programas para análise de placas contínuas, os esforços solicitantes podem ser determinados considerando a continuidade entre lajes e, mais precisamente, as ligações com as vigas e suas deformabilidades e deslocabilidades. Esses programas são escritos considerando os processos dos elementos finitos, dos elementos de contorno e analogias de grelhas. A NBR 6118:2003 permite que, quando houver predominância de forças permanentes, as lajes vizinhas em um pavimento de lajes maciças podem ser consideradas como isoladas, realizando-se compatibilização dos momentos fletores atuantes nas bordas, em função das condições de vinculação adotadas. A compatibilização de modo aproximado será estudada no item 5.8.4. 5.7.1 REAÇÕES DE APOIO Considere-se uma placa retangular simplesmente apoiada no seu perímetro (Figura 5.10a). Admita-se que os apoios forneçam vínculos unilaterais, isto é, que os apoios somente mobilizem reações dirigidas de baixo para cima.

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Figura 5.10 - Laje retangular simplesmente apoiada Sob a ação de força uniformemente distribuída no sentido de cima para baixo, por exemplo, verifica-se que os cantos das placas deslocam-se dos apoios (Figura 5.10b). Nas lajes de concreto, por causa do monolitismo existente entre lajes e vigas, verifica-se que as bordas permanecem retilíneas. Isto significa que os apoios fornecem vínculos bilaterais, ou seja, ao longo das bordas mobilizam reações nos dois sentidos. Convencionando-se as reações dirigidas de baixo para cima como positivas, junto aos cantos da placa haverá reações negativas. O diagrama das reações de apoio ao longo de uma borda de uma placa retangular, sob a ação de uma ação uniformemente distribuída, é ilustrado na figura 5.11a. No entanto, aplicando-se a Teoria das Placas Delgadas, com a sua formulação usual, em lugar das reações negativas, distribuídas junto aos cantos (Figura 5.11a), obtém-se a distribuição aproximada, indicada na Figura 5.11b.

Figura 5.11 - Distribuição das reações de apoio Para o cálculo das vigas de apoio, seria extremamente trabalhoso adotar-se o diagrama indicado na Figura 5.11b. Usualmente, partindo-se de uma simplificação, admite-se distribuição uniforme, ou seja, consideram-se reações médias, sem as reações de canto (Figura 5.11c). Esta simplificação conduz a resultados contra a segurança para o apoio em questão. Uma alternativa que se aproxima bastante da distribuição correta é ilustrada na Figura 5.11d, sendo levadas em conta as reações de canto e, em relação ao procedimento usual, o trabalho de cálculo não e aumentado praticamente.


104

Para a determinação exata da distribuição das reações de apoio da placa, devese levar em conta a flexibilidade das vigas, o que pode ser feito empregando-se o processo dos elementos finitos ou dos elementos de contorno, ambos com auxílio de programa computacional. O cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares com ação uniformemente distribuída pode ser feito, considerando as indicações da NBR6118:2003, cujo texto é exposto a seguir, a partir da determinação aproximada das linhas de plastificação da laje obtidas com as condições de vinculação dos lados. As reações em cada apoio são correspondentes às ações atuantes nos triângulos trapézios determinados pela formação das charneiras plásticas correspondentes à análise feita com os critérios de análise plástica indicados na NBR 6118:2003. Permite-se, quando a análise plástica não for realizada, as charneiras podem ser aproximadas por retas inclinadas, na planta da laje, a partir dos vértices com os seguintes ângulos: 45o entre dois apoios de mesmo tipo, isto é quando para o vértice concorrem apoios considerados ambos engastados ou ambos apoiados; 60o a partir do apoio engastado quando o outro for considerado simplesmente apoiado; 90o a partir do apoio quando a borda vizinha for livre. Este procedimento, sugerido pela NBR 6118:2003, foi inspirado no comportamento da laje em regime plástico. Para um refinamento de cálculo, a determinação das reações de apoio deve ser feita em regime elástico, uma vez que as ações, geralmente, se transferem das lajes para as vigas com a estrutura trabalhando elasticamente. 5.7.1.1 Exemplo 1 Calcular as reações de apoio da laje L1, sabendo que a ação total é g+q=6kN/m2. A laje do exemplo tem lados paralelos ao menor vão efetivo engastado e o outro com borda livre; os lados paralelos ao maior vão efetivo, um é apoiado e ouro engastado. Uma das bordas é considerada livre, isto é sem viga apoiando essa borda da laje por uma decisão arquitetônica.

Figura 5.12 - Exemplo laje tipo 12

José Samuel Giongo

–



Determinam-se as áreas A1, A2 e A3: x1 2 y 1 x 1 = 1,73x x 1 = 1,90m y tg60 o = 1 x 2 x 1 + x 2 = 3,0 x 2 = 1,10m y 1 + y 2 = 4,5 y 2 = 2,60m tg45 o =

A 1 = 3,91m 2 ; A 2 = 6,75m 2 ; A 3 = 2,85m 2 ∴ v x = 5,2kN / m v 'x = 9,0kN / m v 'y = 5,7kN / m 5.7.1.2 Exemplo 2 Para a laje da figura, determinar as reações de apoio. Dados: g + q = 6,0 kN/m2. Esta laje do exemplo é considerada engastada em três lados consecutivos e uma borda é considerada apoiada. Nota-se que um lado engastado e outro apoiado são paralelos ao maior vão efetivo, definindo uma laje tipo 5A, de acordo com o adotado por PINHEIRO (1993).

Figura 5.13 - Exemplo, laje tipo 5A Usando o critério da NBR 6118:2003, obtém-se 4 superfícies conforme indicado na figura. Calculando as alturas dos triângulos e trapézios, podem-se determinar as áreas das superfícies e a partir daí as reações de apoio. v x = (g + q)

A1 1  1 = 6,0 x  ( 4,50 + 0,70)x1,10 x ly 2  4,50

vx = 3,81 kN/m


v 'x = (g + q)

106

A2 1 1  = 6,0x  (4,5 + 0,70)x1,90 x ly 2  4,50

v’x = 6,59 kN/m v 'y = (g + q)

A3 1 1  = 6,0x  x3,0x1,9 x lx 2  3,00

v’y = 5,70 kN/m 5.7.2 CÁLCULO MEDIANTE TABELAS Como se pode notar no desenvolvimento dos exemplos, o trabalho de cálculo das reações de apoio em lajes maciças é repetitivo, sendo viável a montagem de tabelas auxiliares para tornar o cálculo expedito. É possível também a montagem de programa para microcomputador com a mesma finalidade. Foram desenvolvidas tabelas para o cálculo das reações de apoio para as lajes com condições de vinculações tipos de 1 a 6, perfazendo 9 casos, lembrando que alguns precisaram ser desdobrados em dois, em função de se adotar lx o menor vão efetivo da laje. A tabela 2.3a, apresentada em PINHEIRO [1993] - Concreto Armado: Tabelas e Ábacos mostram as expressões com as quais se determinam os coeficientes, para cada tipo de vinculação, com os quais se calculam as reações de apoio. As reações de apoio são determinadas pela expressão típica:

v = υ(g + q)

l 10

sendo: ν : dado pelas expressões da tabela 2.3a; (g+q), l /10 : fator de multiplicação; l = menor vão da laje. As tabelas 2.3b e 2.3c foram montadas para os casos das lajes com relação entre vãos teóricos (λ = ly / lx) entre 1,0 e 2,0. Para os casos de lajes armadas em uma direção usam-se as linhas onde se encontra indicado λ > 2,0, ou se associam à laje faixas de vigas de largura unitária com as mesmas condições de vinculação da laje na direção perpendicular ao menor vão teórico. A seguir indica-se como a tabela para a laje tipo 1 foi elaborada. Usando o critério da NBR 6118:2003, traçam-se as retas formando, com os vértices, os ângulos de 45º pois os quatro lados são considerados apoiados. Conforme pode ser visto na figura 5.13 resultam dois trapézios e dois triângulos de áreas iguais, respectivamente. Considerando 1,0 ≤ λ = ly / lx ≤ 2,0, podem-se calcular as reações de apoio para a laje tipo 1, procurando determinar expressões válidas para qualquer λ no intervalo indicado.

José Samuel Giongo

–



Na montagem das expressões matemáticas para a determinação das reações de apoio vx e vy procurou-se escrevê-las em função do menor vão teórico da laje (lx) e, logicamente, em função da ação total uniformemente distribuída (g + q).

Figura 5.14 - Reações de apoio, laje simplesmente apoiada

Assim sendo a expressão com a qual se calcula a reação de apoio, atuante nos lados paralelos ao lado ly, em uma laje apoiada nas quatro bordas, resulta:

[

]

l  1 1 v x = (g + q) ⋅ l y + (l y − l x ) ⋅ x  2 ly 2 l 1 1 v x = (g + q) (2l y − l x ) x 2 2 ly A expressão final para cálculo de vx deve ter fator de multiplicação (g+q) (lx/10) o que sugere multiplicar e dividir o segundo membro da expressão por 10. Portanto: v x = (g + q)

lx l 10 (1 − x ) 10 2l y 2

A expressão com a qual se calcula a reação de apoio vx, atuante ao longo dos apoios paralelos a ly pode ser escrita por:

v x = (g + q)

lx  2,5  5−  10  λ 

e para vy tem-se: 1 l 1 v y = (g + q)( l x x ) 2 2 lx v y = (g + q)

lx 1 ( )10 10 4

v y = (g + q)

lx 2,5 10


e lx.

108

Resultando para νy o valor 2,5, constante para qualquer relação entre os lados ly

5.7.2.1 Exemplo 1 Para a laje com condição de vinculação tipo 1 calcular os coeficientes νx e νx para os valores de λ indicados, conforme mostrados na tabela a seguir. λ 1,00 1,30 1,75 2,00 2,00

νx 2,50 3,08 3,57 3,75 5,00

νy 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50

Sugere-se ao leitor conferir estes valores calculados com os indicados na tabela 2.3b elaborada por Pinheiro [1993]. Se a laje for armada em uma direção λ = ly / lx > 2,0, na direção do menor vão (lx) calculam-se os esforços solicitantes, considerando faixas de vigas com bw = 1m e com a mesma condição de vinculação. Assim as reações de apoio ficam iguais a: v= (g+q) . lx / 2.

Figura 5.15 - Laje armada em uma direção

Sendo: v x = (g + q).

l x 10 . 2 10

v x = (g + q).

l x 10 . 10 2

e, portanto, νx = 5,0, conforme indicado na coluna 1, λ > 2,0, para laje tipo 1, das Tabelas de Pinheiro.

José Samuel Giongo

–



As reações de apoio atuantes nas bordas de menor comprimento, as que levam índice y, podem ser avaliadas usando as tabelas considerando λ = 2,0. 5.7.2.2 Exemplo 2 Calcular as reações de apoio da laje do exemplo 2, item 5.7.1.2, usando as tabelas de Pinheiro [1993]. Solução: 1) Identificação do tipo de laje Tipo 5A, pois ly é paralelo ao lado apoiado, tabela 2.3c. 2) Determinação dos coeficientes / reações

λ=

ly lx

=

4,50 = 1,50 3,00

3,0 2,50 = 4,50kN / m 10 3,0 υ 'x = 3,66 v 'x = 6,0 3,66 = 6,59kN/m 10 υ x = 2,50 v x = 6,0

υ 'y = 3,17 v 'y = 6,0

3,0 3,17 = 5,71kN/m 10

Comparação entre os resultados:

NBR 6118:2003 Tabela

vx 3,8 4,5

v’x 6,6 6,6

v’y 5,7 5,7

Como se pode notar há diferença entre os resultados obtidos pelo processo da NBR 6118:2003 e com os coeficientes obtidos na Tabela elaborada por Pinheiro [1993]. O processo com o qual se montaram as tabelas segue o mesmo roteiro prescrito pela NBR 6118:2003 porém, nas tabelas para os casos em que há engastamento se fizeram correções para os valores obtidos pelo processo da Norma. Essa correção leva em conta a possível situação de não ocorrer o engastamento por falha de construção, ou seja, deficiência no posicionamento das barras da armadura junto à face superior da laje ou falha de concretagem. Analisando a situação de vinculação dos lados ly, e isolando uma faixa de laje de largura unitária, percebe-se que se a condição de engastamento não ocorrer de modo integral, a reação de apoio do lado apoiado irá aumentar. Este fato acarreta deficiência de ação na viga onde se encontra o lado apoiado da laje. Esta situação preserva a viga de acréscimo de ação se o engastamento da laje não funcionar convenientemente, conforme figura 5.16. Os coeficientes indicados nas tabelas 2.3b e 2.3c, anotados com asterisco (*) foram obtidos considerando-se os alívios pela metade.


110

As expressões com as quais se obtém os coeficientes para o cálculo das reações de apoios indicadas na tabela 2.3a, Pinheiro [2003], não estão afetados desse alívio.

Figura 5.16 - Cálculo das reações por tabelas

Na figura 5.16 mostram-se as reações de apoio calculadas usando o processo da NBR 6118:2003. Se não houvesse engastamento as reações de apoio seriam: v AP

v 'xNBR + v 'xNBR = 2

O alívio gerado pelo engastamento no lado apoiado é dado por: v 'xNBR =

v 'xNBR + v 'xNBR 2

Resultando para o cálculo da reação de apoio usando a tabela, com o alívio considerado pela metade a seguinte expressão: v x TAB = v x NBR +

v 'xNBR + v xNBR  1 ' v −  x NBR  2 2 

A equação anterior pode ser transformada em equação dos coeficientes de multiplicação, resultando: υ x TAB = υ x NBR +

v 'xNBR + v xNBR  1 ' υ −  x NBR  2 2 

5.7.2.3 Exemplo 3 Para a laje do exemplo 2 calcular os coeficientes ν para λ = 1,0. Solução: Usando a tabela 2.3a, laje tipo 5.a. (PINHEIRO, 1993): υ x NBR =

5 3 λ; υ 'x NBR = 2,5λ 6

José Samuel Giongo

–



Para: λ = 1,0 νx NBR = 1,44 ν‘ x NBR = 2,50 Usando a expressão anterior vem: υ x TAB = 1,44 +

1 2,50 + 1,44  2,50 −   2 2 

υ x TAB = 1,71 Esse valor confere com o valor indicado na tabela 2.3c, laje tipo 5.A - λ=1,0. 5.8 CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES

5.8.1 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA SUPERFÍCIE ELÁSTICA A teoria clássica de placas delgadas, baseada na teoria de Kirchchoff, interpreta suficientemente bem o comportamento das lajes que apresentam relação espessura/menor vão entre 1/5 e 1/100. As lajes usuais de edifícios possuem essa relação entre 1/40 e 1/60, atingindo até 1/80. Uma descrição concisa dos fundamentos do método é apresentada neste item. Para uma análise mais detalhada deste assunto, existe ampla bibliografia, encontrando em TIMOSHENKO (1970) sua obra clássica. Supõe-se que a placa é constituída de material homogêneo e isótropo e comporta-se linearmente (segue a lei de Hooke). A ação p = [g + q](x,y), normal ao plano da placa, pode ser distribuída com qualquer lei, sobre toda ou parte da placa. A deformada da placa pode ser definida pela função w(x,y), que determina os deslocamentos verticais dos pontos (x,y) do plano médio da mesma. Dessa forma, admite-se que os pontos do referido plano médio têm apenas deslocamentos verticais, pequenos em relação à espessura da placa, e que as retas normais ao plano médio permanecem perpendiculares à superfície deformada do mesmo (os deslocamentos horizontais são desprezíveis). A convenção adotada supõe tensões normais positivas, quando provocam tração na face inferior do elemento, e tensões tangenciais positivas (sempre tomando a face inferior como referência), se coincidem com o sentido positivo dos eixos. Os esforços são considerados positivos quando os momentos fletores provocam tração nas fibras inferiores, os momentos volventes têm seu vetor emergente da face considerada e as forças cortantes tendem a girar o elemento no sentido horário, olhando o eixo da esquerda para direita. Os esforços solicitantes atuantes num elemento genérico da placa estão indicados na figura 5.17. As expressões relativas aos esforços solicitantes estão indicados a seguir.


112

Figura 5.17 - Esforços solicitantes em um elemento de placa

vx = ∫

h/2

h/2

= força cortante por unidade de comprimento da

dz

seção da placa perpendicular ao eixo x. vy = ∫

h/2

h/2

= força cortante por unidade de comprimento da

dz

seção da placa perpendicular ao eixo y.

mx = ∫

h/2

h/2

σ x zdz = momento fletor por unidade de comprimento da seção da placa perpendicular ao eixo x (em torno de y).

my = ∫

h/2

h/2

σ y zdz = momento fletor por unidade de comprimento da seção da placa perpendicular ao eixo y (em torno de x).

m yx = − m yx ∫

h/2

τ zdz = h / 2 xy

momento torçor por unidade de comprimento.

Fazendo-se o equilíbrio das forças verticais, obtém-se:

 ∂v y    ∂v p.dx.dy − v x dy +  v x + x dx dy − v y dx +  v y + dy dx = 0   ∂ ∂ x y      ∂v x   ∂x

  ∂v y   + = −p   ∂ y 

[5.2]

Da condição de equilíbrio de momentos fletores em torno do eixo x, resulta

José Samuel Giongo

–



 dy ∂v dy dy  − v x dy +  v x + x dx dy + 2 2  ∂x  2   ∂v y  ∂m y  dy dxdy + m y dx −  m y + dy dx + +  vy +     ∂ ∂ y y     ∂m xy   − m xy dy +  m xy + dx dy = 0 ∂ x   p.dx.dy

 ∂m y   ∂m xy  +  vy =   ∂y   ∂x     

[5.3]

Analogamente, para o equilíbrio de momentos fletores em torno de y.

 ∂m x v x =   ∂x

  ∂m xy   −   ∂ y 

[5.4]

Agrupando-se as três equações acima numa só, encontra-se uma equação que relaciona momentos fletores e ação: ∂ 2m x ∂x 2

−2

∂ 2 m xy ∂x∂y

+

∂ 2m y ∂y 2

= −p

[5.5]

É interessante relacionar os deslocamentos com a ação. Para tal, é necessário ∂2w ∂2w encontrar as expressões que ligam os momentos fletores com as curvaturas 2 , 2 ∂x ∂y ∂2w . Pode-se iniciar analisando as deformações, a partir de um ∂x∂y elemento genérico de placa, que sofre uma deformação elástica. Indicam-se por u e v as componentes do deslocamento de um ponto genérico, segundo as direções x e y, respectivamente. A partir da figura 5.17, sendo u e v as componentes do deslocamento ∂u do ponto 0 e dx o acréscimo infinitesimal (de ordem superior), da função u, em ∂x virtude do incremento dx da variável x, a deformação relativa εx, resulta,

e com a torção

∂u dx ∆dx ∂x ∂u εx = = = dx dx ∂x

[5.6]

Analogamente, chega-se a εy =

∂v ∂y

[5.7]


114

Figura 5.18 - Componentes do deslocamento segundo x e y

A variação do ângulo reto, formado pelos segmentos OP e OR, vale γ xy =

∂u ∂v + ∂y ∂x

[5.8]

Nota-se que os deslocamentos de um ponto genérico da placa são funções da cota z considerada (figura 6.19) e, em conseqüência da flexão, valem u = −z

∂u ∂x

v = −z

∂w ∂y

Figura 5. 19 - Descolamento de um ponto genérico da placa

[5.9]

José Samuel Giongo

–



Voltando às expressões das deformações, obtém-se ε x = −z

ε y = −z

∂ 2u ∂x 2 ∂ 2w

[5.10]

∂y 2

γ xy = −2z

∂ 2u ∂x∂y

Sabendo-se que o material é isótropo, com módulo de deformação longitudinal E e coeficiente de Poisson ν, têm-se as seguintes relações entre tensões e deformações: εx =

1 (σ x − νσ y ) E

εy =

1 (σ y − νσ x ) E

γ xy = σx = σy =

[5.11]

τ xy

G E 1 − υ2 E 1 − υ2

(ε x + υε y ) (ε y + υε x )

τ xy = G.γ xy =

[5.12]

E γ xy 2(1 + υ)

Substituindo-se os valores das deformações dadas pelas equações (5.10), resultam E  ∂ 2 w ∂ 2 w  z σx = + ν 1 − υ 2  ∂x 2 ∂y 2  σy =

 ∂2w ∂ 2 w   + ν z ∂x 2  1 − υ 2  ∂y 2

τ xy =

E ∂2w z 1 + ν ∂x∂y

E

Bastam introduzir os valores das tensões, dados pelas equações (5.12), nas expressões que definem os esforços, para relacionar os momentos fletores e volventes com as curvaturas da placa.


116

h/2

h/2

h/2

h/2

mx ∫

σ x zdz = ∫

−

 ∂2w ∂ 2 w  2  z dz + ν 1 − µ 2  ∂x 2 ∂w 2 

E

[5.13]  ∂2w ∂2w  m x = −D 2 + ν 2   ∂x ∂y  

h/2

h/2

h/2

h/2

my ∫

σ y zdz = ∫

−

 ∂2w ∂ 2 w  2  + ν z dz ∂x 2  1 − ν 2  ∂y 2 E

[5.14] ∂ w ∂ w m y = − D 2 + ν 2   ∂y ∂x   2

2

h/2

h/2

h/2

h/2

m xy ∫

τ xy zdz = − ∫

−

E  ∂ 2 w  2 z dz 1 − ν  ∂y∂t 

[5.15] ∂ w  m xy = −D(1 − ν)  ∂x∂y    2

com, D=

Eh 3 12(1 − ν 2 )

= rigidez a flexão da placa, equivalente à rigidez EI das vigas,

E = módulo de deformação longitudinal, h = espessura, ν = coeficiente de Poisson. As forças cortantes podem ser relacionadas com as curvaturas, utilizando-se as expressões (5.2) e (5.3), sendo substituídos os valores dos momentos.  ∂3w ∂3w ∂ 3 w   v x = −D − D((1 − ν) +ν  ∂x 3 ∂x∂y 2 ∂x∂y 2    ∂3w ∂ 3 w  v x = −D 3 + ν  ∂x ∂x∂y 2  

[5.16]

 ∂ 3w ∂ 3w ∂ 3 w   v y = −D − D(1 − ν) 2 +ν  ∂y 3 ∂x ∂y ∂x∂y 2  

[5.17]  ∂3w ∂3w  v y = −D 3 + ν 2   ∂y ∂x ∂y  

José Samuel Giongo

–



Substituindo-se as expressões dos momentos fletores (5.13), (5.14) e (5.15) na equação (5.4), resulta a conhecida equação de Lagrange ou equação das placas:

∂ 4w ∂ 4w ∂ 4w P + 2 + = ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 D

[5.18]

As condições de contorno da equação diferencial (5.18) dependem dos diferentes tipos de apoio. Assim, por exemplo, quando se trata de uma borda reta paralela ao eixo y, ter-se-á, em função das condições dessa borda, as seguintes condições de contorno: a. borda engastada - o deslocamento vertical e a rotação são nulos:

w = 0,

∂w =0 ∂x

b. borda simplesmente apoiada - o deslocamento vertical e o momento fletor são

nulos:  ∂2w ∂2w  w = 0, m x = − D 2 + ν 2  = 0  ∂x ∂y   c. borda livre - o momento fletor e a reação na borda são nulos: m x = 0, v x −

∂m xy ∂y

=0

Obtida a função w, os esforços solicitantes são calculados pelas equações (5.13) a (5.17). Normalmente, não é fácil encontrar uma função w( x,y ) que satisfaça a equação diferencial das placas e atenda às condições de contorno. Para tal, recorre-se a soluções aproximadas, obtendo-se w como uma soma de funções elementares que satisfaçam as condições de contorno. O processo de integração da Equação de Lagrange só pode ser aplicado a alguns poucos casos de formas de placas e condições de contorno. Uma alternativa mais geral e o uso de diferenças finitas para a integração numérica, conduzindo a resolução de um sistema de equações lineares. Tais métodos foram bastante utilizados para a montagem de tabelas (ver, por exemplo, BARES (1970). Para o caso de placas com formas mais complexas, com regiões de diferentes espessuras, com aberturas, com carregamentos de distribuição não usual, ou com condições de apoio variadas, os métodos anteriores não possuem, em geral, aplicação prática. Podem-se recorrer, então, ao método dos elementos finitos, elementos de contorno ou analogia de grelha. 5.8.2 MOMENTOS FLETORES E COMPATIBILIZAÇÃO A determinação dos momentos fletores numa placa, pela Teoria da Elasticidade, é bastante trabalhosa. No entanto, há várias tabelas já elaboradas, destacando-se as de Czerny, Bares e Kalmanock. Quando se analisa um pavimento composto por várias lajes, as dificuldades que se apresentam no estudo de funcionamento das lajes contínuas residem, basicamente, na consideração do engastamento nos apoios internos, onde há continuidade. Nesses apoios, o engaste não e rigorosamente perfeito; na verdade, ocorrem engastamentos parciais.


118

Nos casos usuais, podem-se supor as lajes contínuas perfeitamente engastadas nas lajes adjacentes. Em geral, porém, as lajes de um pavimento diferem nas condições de apoio, nos vãos ou nos carregamentos, resultando em momentos fletores negativos diferentes, em um mesmo vínculo. Deve-se proceder à compatibilização dos momentos fletores. Alguns autores recomendam adotar, para esse momento negativo, o maior valor entre a média dos dois momentos fletores e 80% do maior. Esse critério é razoável quando os momentos fletores negativos, entre as lajes vizinhas, são de mesma ordem de grandeza. Após a compatibilização dos momentos negativos, devem-se corrigir os momentos fletores positivos relativos à mesma direção. Para que em serviço, o comportamento da laje seja o mais próximo possível do relativo ao regime elástico, a correção dos momentos fletores positivos é feita integralmente, ou seja os momentos no centro da laje devem ser aumentados ou diminuídos adequadamente, de acordo com a variação do respectivo momento negativo, após a compatibilização. 5.8.3 CÁLCULO MEDIANTE TABELAS Para cálculo dos momentos fletores em lajes retangulares utilizam-se as tabelas elaboradas por Pinheiro (1993), que são: -2.5a a 2.5e nos casos de ações uniformemente distribuídas; -2.6a a 2.6e nos casos de ações linearmente variáveis. As tabelas foram adaptadas por Pinheiro e Wolfensberger de trabalho de BARES (1970) - Tablas para el calculo de placas y vigas pared. Os momentos fletores são calculados pela expressão: l2 m = µ(g + q) 100

sendo, l é o menor vão teórico da laje. As convenções adotadas para os coeficientes, e portanto para os momentos fletores, são os seguintes: mx - momento fletor por unidade de largura (1m) com plano de ação paralelo ao eixo x, ou seja, vetor momento com direção paralela ao eixo y, que provoca tração nas fibras inferiores da laje, e com valor máximo na região central. m'x - idem, que provoca tração nas fibras superiores da laje, e com valor máximo na região central dos apoios.

Se a laje tiver borda livre os coeficientes e os momentos recebem o índice b, indicando que eles ai ocorrem, e que atuam paralelamente ao lado com borda livre (mxb) e / ou (m'xb). 5.8.3.1 Exemplo 1 Calcular e indicar os planos de ação dos momentos fletores para a laje da figura 5.20, submetida a uma a ação uniformemente distribuída de 6 kN/m2. Trata-se de uma laje tipo 9, sendo que os coeficientes são apresentados na Tabela 2.5e, elaborada por PINHEIRO [1993].

José Samuel Giongo

–



Figura 5.20 - Momentos fletores na laje tipo 9

Para a laje do exemplo o lado de vão efetivo la é perpendicular à borda livre e ao lado engastado, lb é, portanto, paralelo à borda livre e ao lado engastado. Para se determinarem os coeficientes na tabela há que se determinar a relação entre os vão efetivos, obtendo-se: γ=

l a 4,5 = = 1,50 l b 3,0

Portanto, os momentos fletores atuantes na laje resultam: m x = 2,54x6,0

3,0 2 = 1,37kNm/m 100

m 'x = 12,33x0,54 = 6,66kNm/m m y = 8,50x0,54 = 4,59kNm/m m yb = 12,29x0,54 = 6,64kNm/m Na figura 5.20 se mostram as posições das armaduras, também por unidade de largura (cm2/m), para absorver os respectivos momentos fletores. 5.8.3.2 Exemplo 2 Calcular e indicar os planos de ação dos momentos fletores para a laje da figura 5.21, submetida a uma a ação uniformemente distribuída de 6 kN/m2. Trata-se de uma laje tipo 5A sendo que os coeficientes são apresentados na Tabela 2.5c, elaborada por PINHEIRO [1993].


120

FIGURA 5.21 - Momentos fletores na laje tipo 5A Para a laje do exemplo o lado de vão efetivo lx é o menor entre os dois vãos teóricos e, portanto, ly é o maior. Para se determinarem os coeficientes na tabela há que se determinar a relação entre o lado maior e o menor: λ = ly / lx = 4,50 / 3,00 = 1,50 Portanto, os momentos fletores atuantes na laje resultam: m x = 4,23x6,0

3,0 2 = 2,28kNm/m 100

m 'x = 9,44x0,54 = 5,10kNm/m

m y = 2,43x0,54 = 1,31kNm/m m 'y = 7,91x0,54 = 4,27kNm/m

5.8.3.3 Exemplo 3 Calcular os momentos fletores para a laje da figura 5.22 submetida a um carregamento linearmente variável, em uma parede de reservatório paralepipédico. A ação de maior intensidade, atuante na face inferior da parede é igual a 27,6kN/m2. A tabela com a qual se determinam os coeficientes é a 2.6b, laje tipo 16 [PINHEIRO (1993)]. O vão perpendicular à base da parede é la e, portanto, paralelo à ação atuante. A altura de água é de 2,875m e o peso específico da água é 10kN/m3. A relação entre os vão efetivos é dada por: γ = la / lb = 3,00 / 4,50 = 0,67 Os momentos fletores resultam:

José Samuel Giongo

–


m x = 2,10x27,6


3,0 2 = 5,22kNm/m 100

m 'x = 5,35x2,48 = 12,27kNm/m m y = 1,03x2,48 = 2,55kNm/m m 'y = 3,53x2,48 = 8,75kNm/m

Na figura 5.22 mostram-se os planos de ação dos momentos fletores, as respectivas armaduras têm as mesmas direções.

Figura 5. 22 - Momentos fletores na laje tipo 16

A parede do reservatório paralelepipédico deste exemplo, submetida à ação da água armazenada, deve ser considerada engastada na laje de fundo e paredes, perpendiculares a esta e apoiando na laje de tampa. Estas considerações são feitas em função do tipo de estrutura. 5.8.4 CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES FINAIS A NBR 6118:2003 permite, simplificadamente, adotar para dimensionamento da armadura junto a face superior de lajes contíguas o maior valor de momento fletor negativo ao invés de equilibrar os momentos diferentes atuantes em borda comum. Querendo compatibilizar os momentos fletores negativos calculados ao longo de apoios comuns de lajes consideradas engastadas, o procedimento pode ser o que segue. Os momentos fletores negativos podem ser compatibilizados considerando o maior entre os seguintes valores: m E' + m D' 2 ou 0,8 ⋅ m E' se m E' > m D' ou 0,8 ⋅ m D' se m D' > m E'


122

Os momentos fletores positivos devem ser corrigidos em função da correção dos momentos fletores negativos. Dois casos típicos devem ser considerados conforme figura 5.23: a. vão extremo - soma-se ao momento fletor positivo my da laje L01 a metade da variação ocorrida no momento fletor negativo (∆m’E / 2). b. vão intermediário: soma-se ao momento fletor positivo my, laje L02, a média das variações ocorridas nos momentos fletores negativos, isto é, (∆m'e+∆m’d)/2.

Quando há diminuição do valor do momento fletor positivo, não é usual se fazer correção; a favor da segurança, o momento fletor positivo é mantido com este valor para o dimensionamento. Para se efetuar essa compatibilização é necessário que algumas restrições sejam feitas: - que as ações variáveis normais (q) não sejam maiores do que as ações permanentes diretas (g); - que todas as lajes sejam solicitadas simultaneamente; - que as lajes tenham vãos teóricos e rigidezes próximas entre si. As indicações anteriores podem ser seguidas, pois as restrições não ocorrem na maioria dos edifícios residenciais e comerciais usuais.

Figura 5.23 - Compatibilização dos momentos fletores [Andrade, 1993]

José Samuel Giongo

5.9

–



ESFORÇ0S SOLICITANTES EM LAJES DISTRIBUÍDA - PAREDES SOBRE LAJES.

COM

AÇÃO

LINEARMENTE

5.9.1 LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES No caso de lajes armadas em duas direções é usual se considerar a ação por causa da parede como uma ação permanente uniformemente distribuída na laje. Calcula-se a resultante do carregamento, multiplicando-se a área de parede pelo peso de parede por unidade de área e, dividindo-se este valor por lx e ly e obtém-se o valor da ação uniformemente distribuída em virtude da ação de parede que deve ser considerada para o cálculo dos esforços solicitantes. Assim, têm-se: Gpar = Apar x gpar/m2 Ação total na laje: g+q+

Gpar lxly

Figura 5.24 - Parede sobre laje em duas direções

5.9.2 LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO O cálculo dos esforços solicitantes depende da posição da parede em relação à armadura principal. A armadura principal em lajes armadas em uma direção é paralela ao menor vão. 5.9.2.1 Parede na direção perpendicular a armadura principal Para facilitar o cálculo dos esforços solicitantes separa-se a laje em duas partes: uma em que se deve levar em conta o efeito da parede e outra sendo este efeito não ocorre, agindo apenas a ação uniformemente distribuída (ver figura 5.25). A condição de vinculação das faixas unitárias é a mesma da laje em estudo. Os esforços solicitantes são calculados considerando uma viga de um único tramo com ações concentradas e uniformemente distribuídas (g+q).


124

FPAR = hPAR x gPAR / m2

Figura 5.25 - Parede perpendicular à armadura principal

5.9.2.2 Parede paralela à armadura principal Para as lajes armadas em uma direção a NBR 6118:1978 indica o seguinte processo simplificado para cálculo dos esforços solicitantes: -Sob ação de força aplicada na área com largura b será solicitada apenas uma faixa de largura b*w , chamada largura útil, sendo b e b*w determinados segundo a direção perpendicular à armadura principal.

Figura 5.26 - Distribuição da ação [NBR 6118:1978]

-b*w depende da posição da ação e da seção estudada bem como do esforço solicitante que estiver sendo considerado. -b é a projeção, no plano médio da laje, da largura da parede, conforme mostrado na figura 5.25. -quando b for maior ou igual ao vão efetivo l da laje faz-se sempre b*w = b. -caso contrário, isto é, quando b for menor do que o vão efetivo l faz-se b*w igual aos valores indicados a seguir: a. para momentos fletores positivos

José Samuel Giongo

–



2a1 (l − a1 ) b (1 − ) l l b. para momentos fletores negativos b ∗w = b +

b ∗w = b +

a1 (2l − a1 ) b (1 − ) l l

c. para forças cortantes

b b ∗w = b + a1 (1 − ) l d. para momentos fletores em lajes em balanço

b b ∗w = b + 1,5a 1 (1 − ) l e. para forças cortantes em lajes em balanço

b b ∗w = b + 0,5a 1 (1 − ) l Sendo l, o menor vão efetivo da laje armada em uma direção.

Figura 5.27 - Ação concentrada em laje armada em uma direção [NBR 6118:1978]

Para forças distribuídas ao longo de todo o vão e em faixas de pequena largura (b << l), como é o caso das paredes de alvenaria nos edifícios, o formulário anterior pode ser adaptado para o seguinte (Figura 5.27): a. para momentos fletores positivos e cortantes:

b ∗w =

1 l 2

b. para momentos fletores negativos, inclusive em balanços:

b ∗w =

3 l 4

c. para forças cortantes, em balanços

b ∗w =

1 l 4


126

Figura 5. 28 - Adaptação para o caso de paredes

Evidentemente os valores de b*w são limitados pelas dimensões da laje na outra direção, isto é: para cada lado do centro da ação, na direção perpendicular a direção principal, a metade da largura útil (0,5 b*w) não pode exceder os limites da laje existente (Figura 5.29). Além disso é necessário que a armadura de distribuição, por metro, seja no mínimo a fração (1 - 0,8 b/b*w) da armadura principal. Esta armadura deve se estender sobre toda a largura útil, acrescida dos comprimentos de ancoragem. Observe-se que quando b < l a referida fração aproxima-se da unidade, e a armadura de distribuição recomendada é praticamente igual a armadura principal, o que parece exagerado. Pode-se, nesse caso, reduzir a área da armadura de distribuição multiplicando-se o resultado anterior pela relação entre a ação aplicada na área reduzida e a ação total, respeitando-se o mínimo estabelecido na NBR 6118:2003, ou seja, um quinto da armadura principal ou 0,9 cm2/m. Com relação ao espaçamento máximo entre barras da armadura adota-se 33 cm, quando se tratar de armadura na direção secundária no caso de laje armada em uma direção.

Figura 5.29 - Parede próxima da borda da laje

Para o cálculo dos esforços solicitantes também, neste caso, se faz a distinção da região com consideração da parede (região de área b*w . lx) e região sem consideração da parede. Na região onde não se considera a ação da parede, o comportamento é de faixa unitária - viga de bw unitário - com mesma vinculação da laje e com ação uniformemente distribuída oriunda das ações permanentes e acidental. Na região da largura colaborante (b*w) a ação uniformemente distribuída a considerar é dada por:

José Samuel Giongo

g+q+

–



A PAR × gPAR / m 2 [kN / m 2 ] ∗ bw × l x

As armaduras principais devem ser calculadas para os respectivos momentos fletores que agem nas várias regiões. O mesmo deve ocorrer com as verificações das tensões tangenciais oriundas da força cortante. 5.10 DIMENSIONAMENTO DAS LAJES MACIÇAS

5.10.1 VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES TANGENCIAIS As lajes maciças, com relação à capacidade de absorver forças cortantes, se constituem exceções ao princípio geral de que a segurança dos elementos estruturais em concreto armado no estado limite último, qualquer que seja a espécie de solicitação, não poderá depender da resistência à tração do concreto. Essas exceções têm fundamento em resultados experimentais observando-se que as lajes conseguem mobilizar um esquema de resistência à força cortante que, para pequenas intensidades de solicitação, permite dispensar armadura transversal. De fato, nas lajes, as fissuras não atravessam toda a largura da seção transversal, e sendo em geral mais espaçadas e menos abertas que nas vigas, resultam diagonais comprimidas rígidas e engastadas no banzo comprimido. Além disso, pelo fato de se ter em geral lajes maciças com pequena espessura, os braços de alavanca (distância entre as resultantes de tração nas barras da amadura e a de compressão) são pequenos, o que inibe o prolongamento das fissuras e, conseqüentemente enrigece as diagonais comprimidas. A NBR 6118:2003 indica os seguintes critérios para verificação da segurança de lajes maciças e elementos lineares com bw ≥ 5d submetidos à ação de força cortante. 5.10.1.1 Lajes sem armadura para força cortante As lajes maciças podem prescindir de armadura transversal para resistir as forças de tração oriundas da força cortante, quando a força cortante de cálculo obedecer à expressão: VSd ≤ VRd1 A força resistente de projeto ao cisalhamento é dada pela expressão: VRd1 = [ τRd k (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp ] bw d sendo: τRd = 0,25 fctd fctd = fctk, inf / γc ρ1 = As1 / bw d, não maior que 0,02 σcp = NSd / Ac k é um coeficiente que tem os seguintes valores: k = 1 para elementos nos quais 50% da área da armadura inferior não chega até o apoio; k = 1,6 - d não menor que k = 1, com d em metros, para os demais casos;


128

τrd é a resistência de cálculo à tração do concreto; As1 é a área da armadura de tração que se estende até o apoio não menos que um comprimento d + lb,nec além da seção considerada, com lb,nec definido com os critérios da NBR 6118:2003 e figura 5.30; bw é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d. lb,nec

lb,nec

As

l

Seção Considerada

45°

d

d

V Sd

45°

lb,nec

45°

A st

V Sd

A st

Figura 5.30 – Comprimento de ancoragem necessário

A distribuição longitudinal dessa armadura ao longo da laje deve respeitar as condições de deslocamento do diagrama de md com al = 1,5.d. bw é a largura mínima da seção transversal ao longo da altura útil d; NSd é a força longitudinal na seção em virtude da protensão ou força axial, considerando a força de compressão como positiva. 5.10.1.2 Lajes com armadura para força cortante Aplicam-se os critérios estabelecidos para vigas de concreto armado. A resistência das barras dos estribos pode ser considerada com os seguintes valores máximos, sendo permitida interpolação linear: -

fywd = 250 MPa, para lajes com espessura até 15 cm;

-

fywd = 435 MPa, para lajes com espessura maior que 35 cm.

5.10.2 VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES NORMAIS - CÁLCULO DAS ARMADURAS 5.10.2.1 Cálculo das armaduras longitudinais de tração As armaduras para as lajes maciças com a finalidade de absorver os momentos fletores são calculadas com o mesmo roteiro desenvolvido para vigas. Adota-se, agora, bw igual à unidade, isto é, bw = 100cm para haver compatibilidade com as unidades usadas nas tabelas de kc e ks. Conhecendo-se md , determina-se: 100d 2 kc = md Escolhendo-se a resistência característica para o concreto e o tipo do aço com o qual se vai armar a laje, determina-se ks, na Tabela 5.1. A área necessária de armadura é dada por: As = ks

md [cm2 / m] d

A Tabela 5.2 é usada quando há necessidade de armadura dupla na laje, isto é quando md . mdlim, ou seja quando a posição relativa da linha neutra βx > βxlim.

José Samuel Giongo

–



Tabela 5.1 -

Valores de kc e ks

Dimensionamento de seções retangulares submetidas à flexão simples

Armadura simples

kc =

βx=x/d 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,259 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,585 0,60 0,628 0,64 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,76 0,772

bwd Md

2

ks =

(cm2/kN)

A sd (cm2/kN) Md

C20

C25

C30

C35

C40

C45

C50 CA-25 CA-50 CA-60

51,9 26,2 17,6 13,3 10,7 9,0 7,8 6,9 6,2 5,6 5,1 4,7 4,4 4,1 3,9 3,7 3,5 3,3 3,2 3,1 2,9 2,8 2,7 2,7 2,6 2,5 2,4 2,4 2,3 2,3 2,2 2,2 2,1 2,1 2,0 2,0 2,0 2,0 1,9

41,5 20,9 14,1 10,6 8,6 7,2 6,2 5,5 4,9 4,5 4,1 3,8 3,6 3,3 3,1 3,0 2,8 2,7 2,6 2,5 2,4 2,3 2,2 2,1 2,1 2,0 2,0 1,9 1,8 1,8 1,8 1,7 1,7 1,7 1,6 1,6 1,6 1,6 1,5

34,6 17,4 11,7 8,9 7,1 6,0 5,2 4,6 4,1 3,7 3,4 3,2 3,0 2,8 2,6 2,5 2,3 2,2 2,1 2,0 2,0 1,9 1,8 1,8 1,7 1,7 1,6 1,6 1,5 1,5 1,5 1,4 1,4 1,4 1,4 1,3 1,3 1,3 1,3

29,6 14,9 10,0 7,6 6,1 5,1 4,5 3,9 3,5 3,2 2,9 2,7 2,5 2,4 2,2 2,1 2,0 1,9 1,8 1,8 1,7 1,6 1,6 1,5 1,5 1,4 1,4 1,4 1,3 1,3 1,3 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,1 1,1 1,1

25,9 13,1 8,8 6,6 5,4 4,5 3,9 3,4 3,1 2,8 2,6 2,4 2,2 2,1 1,9 1,8 1,8 1,7 1,6 1,5 1,5 1,4 1,4 1,3 1,3 1,2 1,2 1,2 1,2 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,0 1,0 1,0 1,1 1,0

23,1 11,6 7,8 5,9 4,8 4,0 3,5 3,1 2,7 2,5 2,3 2,1 2,0 1,8 1,7 1,6 1,6 1,5 1,4 1,4 1,3 1,3 1,2 1,2 1,1 1,1 1,1 1,1 1,0 1,0 1,0 1,0 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9

20,8 10,5 7,0 5,3 4,3 3,6 3,1 2,7 2,5 2,2 2,1 1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,3 1,2 1,2 1,1 1,1 1,1 1,0 1,0 1,0 1,0 0,9 0,9 0,9 0,9 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8

0,046 0,047 0,047 0,048 0,048 0,048 0,049 0,049 0,050 0,050 0,051 0,051 0,051 0,052 0,052 0,053 0,053 0,054 0,054 0,055 0,055 0,056 0,056 0,057 0,058 0,058 0,059 0,059 0,060 0,061 0,062 0,062 0,063 0,063 0,064 0,065 0,065 0,066 0,067

0,023 0,023 0,024 0,024 0,024 0,024 0,024 0,025 0,025 0,025 0,025 0,025 0,026 0,026 0,026 0,026 0,027 0,027 0,027 0,027 0,028 0,028 0,028 0,028 0,029 0,029 0,029 0,030 0,030 0,030 0,031

0,019 0,019 0,020 0,020 0,020 0,020 0,020 0,020 0,021 0,021 0,021 0,021 0,021 0,022 0,022 0,022 0,022 0,022 0,023 0,023 0,023 0,023 0,023 0,024 0,024 0,024 0,024 0,025 0,025

Domínio

2

3

4

Elaborada por José Samuel Giongo. Observações: As resistências do concreto estão de acordo com a NBR 6118:2003 e NBR 8953:1992. As categorias das barras de aço seguem as indicadas na NBR 7480:1996. Foi adotado diagrama retangular de tensões no concreto, com altura da parte da seção transversal comprimida y = 0,8 . x. Os coeficientes de ponderação para os materiais foram adotados: concreto γc = 1,4 e barras de aço γs = 1,15. Se no dimensionamento da seção transversal for adotado γc ≠ 1,4, deve-se multiplicar o numerador da expressão de kc por 1,4/γc. O valor do momento fletor de cálculo é Md = γf . Mk. Condições de dutilidade da NBR 6118:2003 para seções transversais de apoio ou de ligações: βx = x/d ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35MPa; βx = x/d ≤ 0,40 para concretos com fck > 35MPa.


130

Tabela 5. 2 - Valores de ks2 e ksc Dimensionamento de seções retangulares submetidas a flexão simples Armadura dupla

Expressões para cálculo dos momentos fletores atuantes nas seções:

M1d

b.d 2 = k clim

M2 d = Md − M1d

A st = A s1 + A s 2

Expressões para cálculo das áreas das armaduras:

A s1 = k s

M1d d

A s2 = k s2

M2d d − d'

A sc = k sc

M 2d d − d'

kclim e ks são correspondentes aos valores de βxlim, indicados na Tabela 1. Os coeficientes de ponderação (γs) para as barras de aço foram adotados iguais a 1,15. As categorias das barras de aço seguem as indicadas na NBR 7480:1996. ks2 = 1/fyd (cm2 / kN)

Categoria do aço ks2

CA-25

CA-50

CA-60

0,046

0,023

0,019

ksc = 1/σsc , em cm2/kN, coeficiente referente às posições relativas limites da linha neutra (βxlim) Categoria do aço

d' h

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

CA-25 βx,lim.dut

βx,lim.dut

fck > 35MPa

fck ≤ 35MPa

0,40

0,50

0,046 0,046 0,046 0,046 0,082

0,046 0,046 0,046 0,046 0,046

CA-50 βx,34

βx,lim.dut

βx,lim.dut

fck > 35MPa

fck ≤ 35MPa

0,772

0,40

0,50

0,046 0,046 0,046 0,046 0,046

0,023 0,023 0,024 0,036 0,082

0,023 0,023 0,023 0,027 0,041

Elaborada por José Samuel Giongo.

CA-60 βx,34

βx,34

βx,lim.dut

βx,lim.dut

fck > 35MPa

fck ≤ 35MPa

0,628

0,40

0,50

0,585

0,023 0,023 0,023 0,023 0,029

0,019 0,019 0,024 0,036 0,082

0,019 0,019 0,021 0,027 0,041

0,019 0,019 0,019 0,024 0,032

José Samuel Giongo

–



5.10.2.2 Verificação das áreas de armaduras longitudinais mínimas e máximas Considerando que as lajes maciças armadas nas duas direções têm mecanismos resistentes diferentes dos apresentados pelos elementos lineares fletidos, os valores mínimos das áreas das barras das armaduras positivas podem ser reduzidos. Para melhorar o desempenho e a ductilidade à flexão, assim como controlar a fissuração, são necessários valores mínimos de armadura passiva aderente dados na Tabela 5.3. A NBR 6118:2003 aconselha que a armadura deva ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência ou por telas soldadas. Tabela 5.3 - Valores mínimos para armaduras passivas aderentes Elementos estruturais sem armaduras ativas ρs ≥ ρmin

Armadura

Armaduras negativas Armaduras positivas de lajes armadas nas duas direções Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção

ρs ≥ 0,67 ρmin ρs ≥ ρmin As/s ≥ 20 % da armadura principal As /s ≥ 0,9 cm2/m ρs ≥ 0,5 ρmin

Armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção Sendo: ρs = As / bw . h. = As/bw h.

Os valores de ρmin são os mesmos considerados para as armaduras longitudinais das vigas, conforme Tabela 5.4, sendo que ωmín é a taxa geométrica mínima calculada pelo quociente da área geométrica da armadura multiplicada pela resistência de escoamento de cálculo da armadura e a área de concreto multiplicada pela resistência de cálculo do concreto. Tabela 5.4 - Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas Forma da seção

Retangular

Valores de ρmin*(%)

ωmín

fck

0,035

20

25

30

35

40

45

50

0,150

0,150

0,173

0,201

0,230

0,259

0,288

* Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ρmin deve ser recalculado com base no valor de ρmín dado.

O valor máximo da área de armadura de flexão para lajes deve respeitar o limite considerado para vigas, sendo que a NBR 6118:2003 indica que a soma das áreas das armaduras de tração e de compressão (As + As’) não deve ter valor maior que 4% Ac calculada na região fora da zona de emendas. A área de armadura mínima para a taxa geométrica mínima (ρs), com ρs dado na Tabela 5.2 é dada por: A s min =

ρs b w h = 0,15h 100

[cm 2 / m]

pois, a largura da laje é igual a 1m = 100cm.


132

Lembra-se que na maioria dos casos de lajes não é usual considerar-se armadura dupla, isto é área de barras da armadura na região comprimida. Esta situação se faz necessária quando o valor da posição relativa da linha neutra é maior que o valor limite da posição relativa da linha neutra entre os domínios de deformações 3 e 4. As disposições das barras das armaduras devem ser tais que se garanta o posicionamento durante a concretagem. Para isso devem ser usados espaçadores que podem ser em argamassa de cimento e areia moldados na obra ou de plásticos. O diâmetro de qualquer das barras destinada a armar as lajes maciças não pode ser maior que um oitavo da sua espessura, isto é: φ≤

h [cm] 8

As barras da armadura principal de flexão em lajes maciças devem ser detalhadas com espaçamento no máximo igual às 2h ou 20 cm, prevalecendo o menor desses dois valores na região dos maiores momentos fletores. A armadura secundária de flexão, ou armadura de distribuição, deve corresponder à porcentagem de armadura igual ou superior a 20% da porcentagem da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de no máximo 33 cm. A emenda dessas barras deve respeitar os mesmos critérios de emenda das barras da armadura principal. Lembra-se que armadura secundária em laje armada em duas direções é aquela disposta na direção do vão efetivo maior e que lajes armadas em uma direção, isto é quando o vão efetivo maior é maior do que duas vezes a medida do voa efetivo menor, necessitam de armadura de distribuição na direção do maior vão. Nas bordas livres e junto às aberturas das lajes maciças devem ser respeitadas as prescrições mínimas indicadas na figura 5.31.

Figura 5.31 – Detalhes das barras das armaduras em bordas livres e aberturas [NBR 6118:2003]

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5.11 DISTRIBUIÇÃO DAS ARMADURAS DE FLEXÃO 5.11.1 ARMADURAS JUNTO A FACE INFERIOR DA LAJE (POSITIVAS) Quando o projeto é realizado com assistência de programa computacional, que fornece os diagramas de isomomentos das lajes do pavimento, para fazer o arranjo das barras das armaduras basta cobrir os diagramas e promover a correta ancoragem das barras. Quando for adotado procedimento que considera as lajes isoladas podem ser seguidos os procedimentos a seguir estudados. Os arranjos das barras das armaduras devem ser feitos de modo a cobrir a superfície onde atuam os momentos fletores. Como em geral as tabelas para a determinação de tais momentos fletores só fornecem valores correspondentes às faixas centrais, uma distribuição rigorosa torna-se impraticável. Em vista disso, existem processos simplificados para efetuar essa distribuição, e que para os casos correntes, resultam bastante eficiente. É o caso do exemplo indicado esquematicamente na Figura 5.30, onde se vê uma distribuição que se pode qualificar aceitável, aplicável a lajes de grandes vãos (nas faixas laterais ambas as armaduras são reduzidas à metade).

Figura 5.32 - Lajes simplesmente apoiada - momentos e armaduras [Andrade, 1993] Nos casos de lajes de dimensões comuns, não há necessidade de tal variação na armadura. A distribuição, para os vários casos de vinculação, pode ser esquematizada como mostra a figura 5.31, sendo que em cada faixa lateral apenas uma armadura é reduzida à metade, exceto nos cantos da laje. Deve-se notar que a distribuição das armaduras procura seguir a distribuição dos momentos fletores em função da condição de vinculação das lajes.


134

Figura 5. 32 - Distribuição otimizada de armadura [Andrade, 1993] As regiões centrais das lajes ficam armadas com As , enquanto as zonas laterais ficam armadas com As/2, apenas em uma direção. Em todos os esquemas de armadura já estão incluídos os comprimentos de ancoragem das barras da armadura. 5.11.2 ARMADURA JUNTO A FACE SUPERIOR DA LAJE (NEGATIVAS) Aqui vale o mesmo comentário feito pelo primeiro parágrafo do item 5.11.1 a respeito dos diagramas de isomomentos. Não sendo disponíveis esses diagramas, a seguir se estudam procedimentos quando se consideram as lajes isoladas para a determinação dos esforços solicitantes. A NBR 6118:2003 não indica condições para se definirem os comprimentos das barras ou fios posicionados nas faces superiores das lajes nas regiões entre lajes contíguas. Por analogia poder-se-ia adotar os comprimentos indicados para as barras posicionadas sobre os apoios (pilares) de lajes sem vigas, que é igual a 0,25 l, sendo l o vão efetivo. Análise mais completa é apresentada na NBR 6118:1978 que indica o seguinte critério: "quando não se determinar o diagrama exato dos momentos fletores negativos, em lajes retangulares de edifícios com ação distribuída e q < g as barras da armadura principal sobre os apoios deverão estender-se de acordo com o diagrama triangular de momentos fletores (considerado já deslocado) de base igual ao valor adiante indicado: a. em lajes atuando em duas direções ortogonais: - em uma borda engastada, sendo cada uma das outras três bordas livremente apoiadas ou engastadas: 0,25 do menor vão efetivo; - nos dois lados de um apoio de laje contínua: 0,25 do maior dos vãos teóricos menores das lajes contíguas. b. em lajes atuando numa só direção - em uma só borda engastada: 0,25 do vão efetivo." A Figura 5.32 mostra o procedimento a ser seguido no caso de lajes continuas.

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O diagrama de momento fletores deve ser coberto da mesma forma que para vigas, inclusive do ponto de vista de ancoragem. Observa-se, porém, que bastam dois tipos de barras. Mesmo nas bordas admitidas simplesmente apoiadas, é conveniente dispor alguma armadura negativa com o intuito de limitar as aberturas das fissuras. Quando se tratar de lajes contínuas que no lado comum foram consideradas com diferentes condições de apoio (por exemplo, lajes de rigidezes muito diferentes), a armadura negativa que vem da laje considerada engastada deve prolongar-se na laje vizinha, pelo menos até o ponto onde se possa prever que o momento fletor negativo, na direção considerada, mude de sinal. Analisando a figura 5.32 pode-se perceber que a barra número 1, distribuída a cada s de espaçamento, perfazendo a área as (cm2/m), deve ser prolongada de 10.φ além do ponto de momento nulo, resultando para comprimento total da barra o valor: 2 .0,25 l2 + 2 . 10.φ É possível absorver o mesmo momento fletor com duas barras de comprimentos iguais porém defasadas em relação ao eixo da viga. As posições destas barras se repetem a cada 2 . s de espaçamento e os comprimentos das barras resultam 0,25 l2 + 0,125 l2 + 2 . 10 . φ

Figura 5. 33 - Distribuição das armaduras negativas


136

5.11.3 MOMENTOS VOLVENTES Outro ponto a ser observado é o da armadura especial a ser disposta nos cantos simplesmente apoiados, cujo objetivo é resistir diretamente aos chamados momentos volventes. Quando for o caso, isto é, em situações nas quais o projetista considere importante a presença de tal armadura, esta pode ser distribuída como mostra a figura 5.34. Esclarecendo: os cantos consideram-se suficientemente armados ao se detalharem, abrangendo um quadrado de lado igual a 1/5 do lado menor da laje, duas armaduras - uma, superior, paralela a diagonal e outra, inferior, a ela perpendicular ambas iguais, por unidade de largura, a armadura do centro da laje na direção mais armada. A armadura inferior pode ser substituída por uma armadura em duas direções iguais, em cada direção, a armadura do centro da laje na direção mais armada. Esta recomendação de armadura de canto não consta da NBR 6118:2003.

Figura 5. 34 - Armadura para os cantos das lajes apoiadas 5.12 VERIFICAÇÃO DOS ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO 5.12.1 ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO EXCESSIVA A NBR 6118:2003 indica que as verificações dos estados limites de serviço para lajes devem ser feitas atendendo as hipóteses do Estádio II, ou seja as seções transversais das lajes devem ser consideradas fissuradas. Indica, ainda, que os critérios para as verificações dos estados limites de serviço devem ser adotados os mesmos indicados para vigas. 5.12.1.1. Estado limite de formação de fissura O valor do momento fletor de fissuração pode ser calculado pela expressão aproximada 5.19. Ao ser atingido esse momento no elemento estrutural fletido entendese que há grande probabilidade de iniciar a abertura de fissura, nos caos em que Mr ≤ M d. Mr =

α ⋅ fct ⋅ I0 yt

sendo:

(5.19)

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α = 1,5 para seções retangulares, no caso de lajes maciças bw = 1m; yt é a distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada; Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto; fct é a resistência à tração direta do concreto, adotada igual a fctk,inf para o estado limite de formação de fissuras; ou seja, de acordo com a NBR 6118:2003: fct = fctk,inf = 0,7 fctm = 0,7 . 0,3 . fck2/3 , em megapascals 5.12.1.2. Estado limite de deformação Para avaliação do momento de inércia a se considerar no cálculo da flecha imediata deve-se verificar o valor do momento fletor de fissuração (Mr). Se ele for menor ou igual que o valor do momento fletor de cálculo em serviço Md,ser a hipótese a adotar é a do Estádio I, em caso contrário, ou seja, Md,ser > Mr adotam-se as hipóteses para o Estádio II, pois há a possibilidade de se formarem fissuras no elemento estrutural fletido. O valor do módulo de elasticidade secante Ecs, dado pela expressão 5.20 sendo obrigatória a consideração do efeito da fluência. Ecs = 0,85 . 5.600 fck1/2

(5.20)

a.- Flecha imediata em vigas (lajes) de concreto armado Para uma avaliação aproximada da flecha imediata em vigas pode-se utilizar a expressão de rigidez equivalente dada a seguir : (EI) eq =

  M E cs  r  Ma 

   

3

 M Ic + 1− r   Ma 

 3     .III  ≤E cs .Ic      

sendo: Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto; III é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no Estádio II, calculado com: αe =

Es Ecs

sendo Es = 210GPa e Ecs (módulo de elasticidade secante do concreto) calculado com a expressão 5.20 (NBR 6118:2003);


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Ma é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços, para a combinação de ações considerada nessa avaliação; Mr é o momento de fissuração do elemento estrutural, calculado com a expressão 5.19 (NBR 6118:2003) cujo valor deve ser reduzido à metade no caso de utilização de barras lisas; No cálculo de Mr, fct é a resistência à tração direta do concreto, adotada igual a fctm para verificação do estado limite de deformação excessiva, dado por:

fctm = 0,3 ⋅ fck2 / 3

(em MPa)

b.- Cálculo da flecha diferida no tempo para vigas de concreto armado

A flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em função da fluência, podem ser calculadas de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator αf dado pela expressão: αf =

∆ξ 1 + 50ρ ′

sendo: ρ′ =

As bd

′

∆ξ = ξ( t ) − ξ( t 0 )

sendo: ξ é um coeficiente função do tempo, que deve ser calculado pela expressão seguinte, se t ≤ 70 meses, ou obtido diretamente na tabela 5.5: ξ(t) = 0,68.(0,996 t )t 0,32 para t ≤ 70 meses

ξ(t) = 2 para t > 70 meses Tabela 5.5 – Valores do coeficiente ξ em função do tempo Tempo (t)

meses Coeficiente

ξ (t)

0

0,5

1

2

3

4

5

10

20

40

≥ 70

0

0,54

0,68

0,84

0,95

1,04

1,12

1,36

1,64

1,89

2

sendo: t é o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida;

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t0 é a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. No caso de parcelas da carga de longa duração ser aplicadas em idades diferentes pode-se tomar para to o valor ponderado a seguir : t0 =

ΣPi t 0 i ΣPi

sendo: Pi são as parcelas de carga; t0i é a idade em que se aplicou cada parcela i, em meses. O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por (1 + ξf). 5.12.1.3. Estado limite de fissuração Para cada elemento ou grupo de elementos das armaduras passiva e ativa aderente (excluindo-se os cabos protendidos que estejam dentro de bainhas), que controlam a fissuração do elemento estrutural, deve ser considerada uma área Acr do concreto de envolvimento, constituída por um retângulo cujos lados não distam mais de 7Φ do contorno do elemento da armadura (ver figura 5.35). A armadura de pele Φi da viga, na sua zona tracionada, necessária para vigas com altura maior do que 60cm, limite a abertura de fissuras na região Acri correspondente.

Figura 5.35 - Concreto de envolvimento da armadura

O valor da abertura de fissuras, w, determinada para cada parte da região de envolvimento, é a menor dentre as obtidas pelas expressões que seguem :

w=

φ i σ si 3σ si 12,5η i E si f ctm

w=

 φ i σ si  4  + 45  12,5η i E si  ρ ri 

sendo: σsi, φi, Esi, ρri definidos para cada área de envolvimento em exame. sendo: Acri é a área da região de envolvimento protegida pela barra φi;


140

Esi é o módulo de elasticidade do aço da barra φi considerada; φi é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada; ρri é a taxa de armadura passiva ou ativa aderente (que não esteja dentro de bainha) em relação a área da região de envolvimento (Acri); σsi é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, calculada no Estádio II. Nos elementos estruturais com protensão, σsi é o acréscimo de tensão, no centro de gravidade da armadura, entre o estado limite de descompressão e o carregamento considerado. Deve ser calculada no Estádio II considerando toda armadura ativa, inclusive aquela dentro de bainhas. O cálculo no Estádio II (que admite comportamento linear dos materiais e despreza a resistência à tração do concreto) pode ser feito considerando a relação αe entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto igual a 15. η1 é o coeficiente de conformação superficial da armadura considerada, devendo ser adotados os valores de η1 para passiva e ηp1 para ativa (ver 9.3.2). Nas vigas usuais, com altura menor que 1,2 m, pode-se considerar atendida a condição de abertura de fissuras em toda a pele tracionada, se a abertura de fissuras calculada na região das barras mais tracionadas for verificada e exista uma armadura lateral que atenda a área mínima de armadura longitudinal de tração. O controle da fissuração, sem a verificação da abertura de fissuras, pode ser feito sem a avaliação do valor da abertura de fissuras, atendendo a verificação do estado limite de fissuração (aberturas máximas esperadas da ordem de 0,3 mm para o concreto armado e 0,2 mm para o concreto com armaduras ativas). Um elemento estrutural (no caso deste item, lajes maciças) deve ser dimensionado respeitando as restrições da tabela 5.6 quanto ao diâmetro máximo (φmax) e ao espaçamento máximo (smáx) das armaduras, bem como as exigências de cobrimento (item 7) e de armadura mínima. A tensão σs deve ser determinada no Estádio II. Tabela 5.6 - Valores máximos de diâmetro e espaçamento, com barras de alta aderência

Valores máximos Tensão na barra σs (MPa) 160 200 240 280 320 360

Concreto sem armaduras ativas smáx (cm) φmáx (mm) 32 30 25 25 16 20 12,5 15 10 10 8 6

Os limites para as aberturas das fissuras e das flechas são os indicados na NBR 6118:2003. 5.12.1.1.Exercício 1 Pretende-se construir a laje da figura com espessura de 9cm. Sabendo-se que as ações uniformemente distribuídas são q = 4,0kN/m e g = 2,0kN/m , pede-se verificar essa possibilidade atendendo as condições dos estados limites de serviço.

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Figura 5.36 – Figura do exercício 1

5.12.1.2 Exercício 2 A laje maciça cujas condições de contorno e vãos teóricos estão indicados na figura e foi pré-dimensionada com espessura de 8cm. Sabendo-se que as ações uniformemente distribuídas são q = 4,0kN/m e g = 2,0kN/m , pede-se verificar os critérios da NBR 6118:2003 com relação aos estados limites últimos.

Figura 5. 37 – Figura do exercício 2 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1.. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:1978 Projeto e execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro, 1978. 2. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de concreto. Rio de Janeiro, 2003. 3.. ANDRADE, J.R.L. Estruturas correntes de concreto armado: 1. parte. São Carlos, EESC-USP, 1982. 4. ISHITANI, H., MARTINS, A. R., PELLEGRINO NETO, J., BITTENCOURT, T. N. Estruturas de Concreto I (Notas de Aula). Escola Politécnica - USP ,2000. 5. JIMÉNEZ MONTOYA, P., GARCIA MESEGUER, A., MORÁN CABRÉ, F. Hormigon Armado. 14. ed. Barcelona: Gustavo Gili, 2000. 2v. 6. PINHEIRO, L.M. Concreto armado: tabelas e ábacos. São Carlos:EESC-USP, 1986. 7. RIOS, P.M. Lajes retangulares de edifícios: associação do cálculo elástico com a teoria das charneiras plásticas. São Carlos, 1991. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.


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8. BAREŠ. Tablas para el calculo de placas y vigas pared. Barcelona, Gustavo Gili. 538p.

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Concreto armado: projeto estrutural de edifícios – Fevereiro de 2007 143

6. EXEMPLO DE PROJETO DE PAVIMENTO DE EDIFÍCIO 6.1 INTRODUÇÃO Este exemplo foi elaborado pelo Engenheiro Carlos Roberto Gutiérrez Reiner, durante o desenvolvimento de pesquisa com bolsa de monitoria na EESC - USP, ano de 1990, com orientação do autor. Para esta edição o trabalho foi revisto e complementado com as indicações da NBR 6118:2003. Com este exemplo pretende-se sedimentar os conceitos expostos nos textos dos capítulos anteriores. Aqui será tratado o projeto de um pavimento - tipo de edifício. Procurou-se desenvolvê-lo de modo mais didático possível, com a finalidade de apresentar a rotina para os projetos da forma estrutural do pavimento - tipo e das lajes maciças. A forma estrutural é projetada em função das dimensões indicadas na planta de arquitetura do pavimento - tipo proposto. O edifício destina-se a salas para escritórios, sendo que cada conjunto possui três salas, dois banheiros e uma copa. Tem também um terraço no qual o acesso de pessoas é possível. A figura 6.1 apresenta a distribuição arquitetônica dos ambientes, bem como as medidas indicadas para cada compartimento.

C

Figura 6. 1 - Planta arquitetônica do pavimento - tipo

Capítulo 6 - Exemplo de projeto de pavimento de edifício

144

Os demais equipamentos necessários ao funcionamento do edifício não estão mostrados no desenho da planta arquitetônica do pavimento - tipo, sem prejuízo do aprendizado. Lembra-se que os edifícios possuem áreas de circulação, elevadores, escada com respectivo acesso e proteção em caso de incêndio, garagens e etc. 6.2 ESCOLHA DA FORMA ESTRUTURAL A figura 6.2 mostra a localização dos pilares e das vigas com conseqüente definição geométrica das lajes. Nota-se que os pilares ficam embutidos nas paredes de alvenaria externas, pois elas têm espessuras de 23cm e os pilares têm as menores dimensões iguais a 20cm. As espessuras das vigas (bw) são de 11cm, com isto elas ficam embutidas nas paredes de meio tijolo que são as paredes internas. Pode-se notar, comparando as figuras 6.1 e 6.2, que as paredes que separam os banheiros e estes da copa ficam apoiadas diretamente sobre a laje L02. As demais paredes se apóiam sobre as vigas. A laje L03 que recebe as ações do terraço tem a borda esquerda livre, isto é, não há viga de apoio junto a esta borda. E, faceando com esta borda, há uma mureta de 1,0m de altura destinada a servir como parapeito. Todas as vigas são normais, pois, as suas faces superiores coincidem com as faces superiores das lajes.

Figura 6. 2 - Posição dos pilares, vigas e lajes

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A laje L02 foi considerada rebaixada para permitir a distribuição de dutos hidráulicos, sendo que posteriormente receberá enchimento de tijolos furados justapostos para permitir a igualdade dos níveis dos pisos acabados dos ambientes. Atualmente é preferível prever forro falso no banheiro do andar inferior. Para se elaborar o desenho da localização dos pilares, vigas e lajes, o observador foi colocado no andar inferior olhando para cima, isto é, olhando para o andar para o qual se quer mostrar a forma estrutural. Lembra-se que no caso do desenho da planta arquitetônica do andar - tipo o observador está posicionado no próprio andar e olhando para baixo. 6.3 VERIFICAÇÃO DAS DIMENSÕES INDICADAS NA PLANTA ARQUITETÔNICA Antes de se definirem as medidas da forma estrutural, isto é, as distâncias entre as faces das vigas, é conveniente verificar se as dimensões fornecidas na planta arquitetônica estão corretas. As alvenarias são constituídas de tijolos furados de 10cm de espessura, 20cm de comprimento e 20cm de altura. Os revestimentos de argamassa das paredes são de 1,5cm em cada face. Desse modo as paredes de um tijolo têm espessuras de 23cm e as de meio tijolo têm 13cm. Analisando as dimensões dos ambientes arquitetônicos vistos no corte AA' (figura 6.3) nota-se que a dimensão externa do edifício é de 792cm. Fazendo-se o somatório das dimensões das paredes e dos compartimentos deve-se chegar ao mesmo valor.

Figura 6.3 - Conferência das medidas segundo o corte AA' Têm-se as seguintes dimensões, seguindo-se da esquerda para a direita, no corte AA': 13 + 90 + 23 + 280 + 13 + 100 + 13 + 247 + 13 = 792cm Nota-se, portanto, que as medidas indicadas estão corretas. O mesmo procedimento deve ser feito para os demais cortes. Caso não se verificasse a igualdade, procurar-se-ia determinar qual medida está incorreta. Não sendo possível detectar o erro, deve-se entrar em contato com o arquiteto projetista e consultá-lo sobre as medidas corretas.


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6.4 CÁLCULO DAS DISTÂNCIAS ENTRE AS FACES DAS VIGAS Como foi visto as espessuras das vigas são de 11cm e elas ficam embutidas dentro das paredes. As vigas internas têm seu plano médio coincidindo com o plano médio das paredes e, as externas têm as suas faces externas posicionadas junto à face externa das paredes, como pode ser observado na figura 6.4.

Figura 6.4 - Corte BB' - posições de vigas, lajes e paredes Para se determinar as distâncias entre as faces das vigas, quando estas têm seus planos médios coincidindo com os planos médios das paredes, basta somar às distâncias entre as paredes, fornecidas na planta arquitetônica, as respectivas espessuras dos revestimentos de argamassa. No caso de não haver esta coincidência há que se analisar cada caso como se pode notar na figura 6.4. Na figura 6.4 estão mostradas as posições das vigas, vistas no corte BB' e as respectivas posições das paredes. Pode-se notar que é um simples problema geométrico. As distâncias calculadas no corte BB' são transferidas para o desenho da forma estrutural do pavimento - tipo mostrado na figura 6.6. Na figura 6.4 nota-se que os revestimentos das vigas internas têm 1,0cm de espessura e das paredes respaldadas junto a elas têm 1,5cm. No caso da laje L03, para se determinar a largura livre da laje deve-se considerar a distância da face externa da laje até a face externa da viga V04. O mesmo procedimento é feito para as demais distâncias entre faces de vigas, como por exemplo, as vistas pelo corte CC', como está mostrado na figura 6.5. A parede de meio tijolo que separa os dois banheiros está mostrada na figura 6.5, inclusive com as medidas internas dos ambientes para se perceber que a distância entre as faces das vigas V01 e V02 são determinadas considerando-se as medidas indicadas no projeto arquitetônico.

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Figura 6.5 - Corte CC' - posições de vigas, lajes e paredes Como mostra o desenho da forma estrutural do pavimento - tipo na figura 6.6, pode-se notar que as posições das vigas estão compatíveis com as posições das paredes de alvenaria, ficando nelas embutidas, portanto não ficarão visíveis quando a obra estiver pronta. Deve ser lembrado que na região dos banheiros há necessidade de se prever o posicionamento de dutos de 100mm de diâmetro para atender ao projeto hidráulico. Por isto optou-se por adotar vigas, junto às paredes externas, com 11cm de espessura, podendo posicionar os dutos faceando com as vigas. Os pilares foram prédimensionados com a menor dimensão de 20cm e a maior com 50cm em função do número de andares e, para pré-dimensionamento, foi usado o processo das áreas de influência. As vigas foram todas adotadas com 11cm de espessura e pré-dimensionadas com 50cm de altura, conforme indicado na figura 6.9. É conveniente, sempre que possível, adotar o menor número de variações de altura de vigas e de lajes para um pavimento - tipo. Com isto padronizam-se as fôrmas e os cimbramentos. Com as dimensões da forma estrutural do pavimento - tipo já definidas, pode ser iniciado o dimensionamento das lajes maciças. A laje L02 está submetida à ação das paredes de alvenaria que separam os dois banheiros e estes da circulação e da copa. Neste exemplo, contrariando o que é feito nos projetos usuais, optou-se por fazer a laje L02 rebaixada, para permitir a instalação dos dutos de esgoto, por motivo exclusivamente didático. Assim, para a laje L02 deve-se considerar uma ação permanente uniformemente distribuída determinada em função do peso próprio do enchimento. Para este exemplo foi adotado enchimento de tijolos maciços. A laje L03, como será visto, foi considerada armada em uma direção, em função da relação entre os vãos e foi considerada em balanço. O dimensionamento das lajes maciças segue a rotina vista no capítulo 5. São feitos os cálculos dos vãos efetivos, das espessuras das lajes, das ações atuantes, dos esforços solicitantes, da verificação da resistência à força cortante, cálculo das áreas das armaduras e o detalhamento final.


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Figura 6.6 - Forma do pavimento-tipo - distâncias entre as faces das vigas 6.5 DIMENSIONAMENTO DAS LAJES 6.5.1 VINCULAÇÕES, VÃOS EFETIVOS, ESPESSURAS DAS LAJES A NBR 6118:2003 não indica nenhum critério para a avaliação das alturas de elementos estruturais fletidos na fase de pré-dimensionamento. Portanto, o caminho é adotar dimensões compatíveis conforme as sugeridas no capítulo 3 e, depois dos elementos dimensionados, verificar os estados limites de serviço. Se verificadas as flechas e aberturas de fissuras limites, então as dimensões adotadas na fase de prédimensionamento foram adequadas. Para a estimativa das espessuras das lajes foi usado o critério indicado por Ishitani et al. (2001), conforme estudado no capítulo 5, que sugere que as espessuras das lajes maciças podem ser pré-dimensionadas, considerando-as iguais a h = 2,5% lx, sendo lx a medida do menor vão efetivo. A figura 6.7 apresenta as condições de vinculação adotadas para as lajes. A laje L03 em balanço, embora tenha duas vigas posicionadas paralelamente ao menor vão, o vão maior é muito maior que o vão menor, e foi considerada engastada nas lajes L01 e na L04. Por suas vezes as lajes L01 e L04 foram consideradas apoiadas na viga V04; elas não podem ser consideradas engastadas na L03, por esta ser em balanço.

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A laje L02 foi considerada rebaixada, portanto a condição de vinculação é de laje isolada e, assim, simplesmente apoiada nas vigas do contorno. As lajes L01 e L04, no lado comum podem ser consideradas engastadas entre si, pois há a possibilidade de virem a ter espessuras próximas, por tratar-se de lajes com vão efetivos de dimensões e de ações semelhantes. O mesmo ocorre entre as lajes L04 e L05. Na figura 6.7 estão indicados os valores dos vãos efetivos que foram considerados como sendo as distâncias entre os centros dos vãos das vigas nas direções consideradas. Os vão efetivos das lajes podem ser calculados com os critérios da NBR 6118:2003 e apresentados no item 5.5 deste trabalho. Prática corrente tem sido adotar laje engastada em outra laje quando as alturas forem iguais ou próximas; considerando-se como espessuras próximas quando a diferença entre elas for de até 3cm. Quando a diferença for maior, considera-se a laje de menor espessura engastada na de maior espessura e, a de maior espessura é considerada apoiada na viga, isto no lado comum.

Figura 6.7 - Vãos efetivos e condições de vinculação das lajes A tabela 6.1 foi organizada para otimizar os cálculos das espessuras das lajes do projeto.


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Tabela 6.1 - Cálculo das espessuras das lajes Laje

Tipo

L01 L02 L03 L04 L05

2A 1 9 3 2A

ℓy (cm) 337,5 372,5 710,0 372,5 372,5

ℓx (cm) 302,5 337,5 108,5 302,5 372,5

λ

1,12 1,10 0,15 1,23 1,00

2,5 l x h(cm) adotada 100 7,56 8 8,44 10 2,71 8 7,56 8 9,31 8

d (cm) 6,5 8,5 6,5 6,5 6,5

A NBR 6118:2003 indica espessura mínima de 7cm para lajes de piso. A altura útil (d) igual a 6,5cm foi calculada a partir dos valores da tabela 3.2, deste texto, com a condição de que quando houver adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução pode ser adotada uma redução de 5mm no valor do cobrimento. A exigência de controle rigoroso deve ser escrita claramente nos desenhos do projeto. Na avaliação da altura útil (d) deve ser consideradas a espessura do cobrimento (1,5cm) e metade do diâmetro das barras da armadura que, por ser esperado valor pequeno, não foi considerado neste projeto. Assim, a altura útil foi avaliada por: d = h - 1,5cm As faces superiores das lajes L03 e L01 e L04 não são coincidentes; a laje L03 deve ser rebaixada, em relação às outras de no mínimo 2cm, para impedir a entrada de água nos ambientes internos. A figura 6.8 mostra este detalhe.

Figura 6.8 - Diferença de nível entre as lajes L03 e L01 e L04

6.5.2 DESENHO DA FORMA ESTRUTURAL A forma estrutural do pavimento - tipo já pode ser desenhada, nesta fase de anteprojeto, pois já se dispõem dos pré-dimensionamentos dos elementos estruturais. Terá caráter de projeto quando todas as dimensões dos elementos estruturais - lajes, vigas e pilares tiverem as suas seguranças com relação aos estados limites últimos e de serviço verificados. Na figura 6.9 os elementos estruturais estão convenientemente identificados, segundo as indicações da NBR 7191:1982 e, apresentam cortes verticais que mostram os níveis das lajes. Os cortes foram rebatidos no plano horizontal do pavimento-tipo, respeitando-se a convenção que o observador vê o desenho de frente ou pela direita. Os cortes verticais podem ser mostrados fora do desenho da forma em planta, para isto se faz necessário transportá-los e rebatê-los no plano horizontal (da folha de desenho). No desenho da forma estrutural do pavimento - tipo precisa constar todas as informações que possibilitem a execução da estrutura na obra. Assim, os elementos

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estruturais devem ter as suas dimensões indicadas claramente. Desenhos adicionais de detalhes particulares devem ser feitos se necessários.

Figura 6. 9 - Forma estrutural do pavimento - tipo 6.6 AÇÕES NAS LAJES

6.6.1 AÇÕES PERMANENTES DIRETAS As ações permanentes diretas são as constituídas pelos pesos próprios da laje e dos materiais de revestimentos. Sobre a laje deve haver uma camada de regularização em argamassa de cimento e areia que serve também para assentamentos dos tacos de madeira de ipê róseo, adotado neste projeto. Na face inferior da laje deve-se ter um revestimento em argamassa de cal, cimento e areia que receberá massa corrida e pintura. A figura 6.10 apresenta um corte da laje com estas indicações desenhadas com as espessuras adotadas. Os pesos próprios dos materiais que compõem a laje quando acabada podem ser determinados multiplicando-se as suas espessuras pelos respectivos pesos específicos


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aparentes, indicados na NBR 6120:1980 ou convenientemente calculados e apresentados no capítulo 2.

Figura 6. 10 - Corte da laje - materiais de acabamento

No caso do exemplo, em kN / m2 , têm-se: peso próprio da laje:

0,080 . 25 = 2,000

2,000

revestimentos: argamassa de regularização:

0,025 . 21 = 0,525

piso - ipê róseo :

0,020 . 10 = 0,200

revestimento do forro:

0,015 . 19 = 0,285

1,010

6.6.2 AÇÃO RELATIVA AO ENCHIMENTO NA LAJE L02 A figura 6.11 mostra o detalhe do enchimento em tijolos furados justapostos que receberão uma camada de argamassa de regularização de 5cm, pois os tijolos têm 20cm de altura. O peso próprio do enchimento, por unidade de área, resulta: gpp,tij

= 0,20 . 13 = 2,60

gpp,arg

= 0,05 . 19 = 0,95

genchimento

=

3,55 kN/m2

Figura 6. 11 - Ação relativa ao enchimento da laje L02

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6.6.3 AÇÃO DAS PAREDES NA LAJE L02 Atuando na laje L02 há a ação das paredes de alvenaria de meio tijolo furado que compõem os ambientes arquitetônicos indicados na figura 6.1. Como a laje L02 é considerada armada em duas direções é possível considerar as ações das alvenarias como uma ação suposta uniformemente distribuída, por unidade de área, na laje L02. Para isto basta determinar a área das paredes, multiplicá-la pelo peso próprio de um metro quadrado de alvenaria pronta (ver tabela 2.2) para se obter a resultante do carregamento, que é dividido pelos vãos efetivos da laje. Assim tem-se: gpp alv. =

(3,15 + 2,47 ) ⋅ (2,77 − 0,08 ) ⋅2,2 3,725 ⋅ 3,375

gppalv. = 2,65kN/m 2

Para determinação desta ação não foram descontados os vãos das portas que separam os ambientes. 6.6.4 AÇÕES VARIÁVEIS NORMAIS A NBR 6120:1980, conforme pode ser visto no capítulo 2, indica que para escritórios deve ser considerada uma ação variável normal de 2 kN/m2 . A tabela 6.2 apresenta as ações calculadas para cada laje. Tabela 6.2 - Ações atuantes nas lajes h

Peso Próprio

LAJE

L01 L02 L03 L04 L05

Piso + Revestimento

Alvenaria

Outras

Ações Permanentes Diretas (g)

Ações Variáveis Normais (q)

Total Obs.

cm

KN/m2

kN/m2

kN/m2

kN/m2

kN/m2

kN/m2

kN/m2

8 10 8 8 8

2,0 2,5 2,0 2,0 2,0

1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

--2,65 -------

--3,55 -------

3,00 9,70 3,00 3,00 3,00

2,0 2,0 2,0 2,0 2,0

5,0 11,7 5,0 5,0 5,0

6.6.5 AÇÕES ATUANTES NA LAJE L03 Há que se considerar na laje L03, além das ações uniformemente distribuídas, ação linearmente distribuída em virtude do peso próprio da mureta de 1,0 m de altura construída em alvenaria de meio tijolo, dado pelo produto da altura da mureta pelo peso de parede por unidade de área, resultando: gpp,mur = 1,0 . 2,2 = 2,2 kN/m Devem ser consideradas duas ações variáveis normais; uma horizontal de 0,8kN/m e uma vertical de 2,0kN/m, com a finalidade de levarem em conta a possibilidade de pessoas apoiadas no parapeito, conforme indica a NBR 6120:1980. A figura 6.12 mostra as ações consideradas na laje L03.


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Figura 6. 12 - Ações na laje L03 6.7 CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES

Os esforços solicitantes podem ser calculados com as planilhas de cálculo mostradas nas figuras 6.14 - reações de apoio e 6.15 - momentos fletores. As verificações de segurança estrutural das lajes são feitas considerando os Estados Limites Últimos e de Serviço. Os coeficientes de ponderação majoração das ações permanentes e variáveis podem não ser iguais, pois dependem das combinações a serem consideradas. Os esforços solicitantes devem, então, serem calculados separadamente para as ações permanentes e variáveis. Neste projeto assim se procedeu no cálculo dos momentos fletores, pois os coeficientes de ponderação das ações para as verificações dos Estados Limites de Serviço são diferentes. Portanto, na figura 6.15 – momentos fletores, indicam-se os valores dos momentos fletores relativos às ações permanentes e variáveis somadas e os momentos fletores calculados para estas ações consideradas separadamente. Para ambos as determinações dos valores das forças cortantes e momentos fletores nas lajes consideradas isolada utilizaram-se as tabelas para cálculo dos esforços solicitantes em lajes retangulares, submetidas à ação uniformemente distribuídas, elaboradas por Pinheiro [1993]. Exceção ao uso das tabelas fica para a laje L03 que é uma laje armada em uma direção e está, além disto, submetida a uma ação linearmente distribuída no contorno que atua juntamente com a ação uniformemente distribuída por unidade de área. Como a laje L03, embora tenha duas vigas paralelas ao menor lado e, seja uma laje tipo 9 (ver Pinheiro, 1993) a relação entre o vão perpendicular ao lado engastado e o vão paralelo a este é menor do que 0,3, indicando que ela é uma laje armada na direção do menor vão e, mobiliza momento fletor que traciona a face superior. Considerando as ações uniformemente distribuídas na laje L03 - g = 3,0 kN/m2 e g = 2,0 kN/m2 (ver tabela 6.2) e as linearmente distribuídas indicadas na figura 6.12, podem ser calculados os esforços solicitantes atuantes na direção do menor vão, resultando: momento fletor:

m'x = m'x,gk + m'x,qk m'x = [3,0 . 1,0852/ 2 + 2,2 . 1,035] + [2,0 . 1,0852/ 2 + 2,0 . 1,035 + 0,8 . 1,00] m'x = 4,04 + 4,04 m'x = 8,08 kN.m / m

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força cortante:

v'x = 5,0 . 1,085 + 2,2 + 2,0 = 9,63 kN / m As reações de apoio da laje L03 junto das vigas V01 e V03 podem ser calculadas pelo processo das áreas, resultando um triângulo conforme indicado na figura 6.13. A reação vy na laje resulta: vy = [ ( 1,085 . 0,625 ) / 2 ] . 5,0 / 1,085 = 1,56 kN/m

Figura 6. 13 - Reação vy na laje L03

Os momentos fletores negativos m'x = m'x,gk + m'x,qk atuantes nas lajes L01 e L04; L04 e L05 foram compatibilizados com as indicações do item 5.8.4, deste trabalho, lembrando que é adotado o maior valor entre a média dos momentos fletores ou 0,8 vez o maior deles. Os momentos fletores negativos compatibilizados substituem os momentos fletores calculados para as lajes supostas isoladas e, com eles se determinam as áreas das armaduras posicionadas nas faces superiores das lajes. Os momentos fletores positivos também foram compatibilizados toda vez que eles sofreram acréscimos em função da diminuição do momento fletor negativo. As reações de apoio indicadas na figura 6.14 atuantes nas lajes provocam tensões tangenciais de máxima intensidade nas bordas das lajes. A NBR 6118:2003 indica que para não haver armadura transversal (estribos) na laje a força cortante de cálculo (VSd) deve ser menor do que a força cortante resistente do concreto (VRd1), conforme estudado no capítulo 5. As reações de apoio serão, em uma fase posterior do projeto, as ações atuantes nas vigas, além das ações de peso próprio e de paredes se assim o projeto arquitetônico indicar. Os cálculos dos esforços solicitantes - reações de apoio e momentos fletores nas lajes isoladas, podem ser feitos por meio de tabelas como alternativa às planilhas de cálculo, mostradas nas figuras 6.14 e 6.15. Optou-se por apresentar aqui apenas os cálculos usando os esquemas geométricos, que são cópias em traço unifilar da forma estrutural do pavimento - tipo, por serem de fácil entendimento e por ficarem mais visíveis os planos de ação dos momentos fletores e as bordas onde atuam as reações de apoio das lajes. Na figura 6.14 são calculadas as reações de apoio das lajes e na figura 6.15 os momentos fletores iniciais e os finais já compatibilizados. Nessas figuras, nas intersecções dos eixos coordenados anotam-se as ações uniformemente distribuídas nas lajes, escrevem-se os coeficientes com os quais se calculam as forças cortantes e os momentos fletores, determinados nas tabelas de PINHEIRO [1993] e BARES [1970], e de acordo com os fatores de multiplicação indicados efetuam-se os cálculos dos esforços solicitantes. De acordo com as convenções já estudadas no capítulo 5, os esforços solicitantes são anotados como


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indicado nas figuras 6.14 e 6.15. Ambas apresentam, nas partes inferiores das páginas, as indicações do modo como os esforços são calculados e convenientemente anotados no desenho da própria laje.

Figura 6. 14 - Reações de apoio atuantes nas lajes [Andrade, 1982]

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Figura 6. 15 - Momentos fletores atuantes nas lajes [Andrade, 1982] 6.8 CÁLCULO E DETALHAMENTO DAS ÁREAS DAS ARMADURAS

As determinações das áreas das seções transversais das barras das armaduras foram feitas com as indicações do item 5.10.2, deste trabalho. Foram usadas as tabela 5.1, capítulo 5, e, para facilitar o cálculo, organizaram-se as tabelas 6.3 e 6.4 para


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determinação das armaduras positivas - posicionadas junto à face inferior e das armaduras negativas - posicionadas junto à face superior das lajes, respectivamente. Neste exemplo considerou-se concreto C20 e aço categoria CA-50. As áreas de armaduras mínimas foram respeitadas, lembrando-se que elas foram adotadas iguais a 0,15% . bw . h, ou seja, 0,15 . h, por considerar-se bw igual a 100cm, conforme indicado na NBR 6118:2003 e tabela 5.3 deste texto. Valores limites para os espaçamentos entre as barras (2h ou 20cm, o menor valor) também foram considerados. A NBR 6118:2003 indica, conforme indicado na tabela 5.3 que a área das barras da armadura secundária ou de distribuição deve ter taxa geométrica ρs ≥ 20 % da área das barras da armadura principal e, também, ρs ≥ 0,5 ρmin e, ainda a área das barras da armadura secundária deve atender as /s ≥ 0,9 cm2/m. Entre as três indicações se adota a que fornecer maior área de armadura secundária. Os detalhamentos das armaduras são apresentados na figura 6.16, onde pode ser visto, para cada tipo de barra a sua quantidade, comprimento parcial e comprimento final. Os comprimentos das barras da armadura negativa foram determinados com os critérios indicados no item 5.11.2, deste trabalho. As verificações das ancoragens nos apoios internos e de extremidade seguiram as indicações da NBR 6118:2003 e já analisadas em tópico já lecionado na disciplina. Quando se determina o comprimento da armadura negativa do balanço deve-se lembrar que ele é calculado dando-se ao diagrama de momento fletor um deslocamento al, que no caso de lajes é de 1,5 d, segundo indica a NBR 6118:2003, e calcula-se o comprimento de ancoragem que deve ser considerado para as barras. O comprimento parcial das barras, medido a partir do centro da viga V04 é da ordem de 1,5 vez o vão efetivo do balanço. Tabela 6. 3 - Armaduras junto à face inferior da laje h

d

mk

LAJE

md

cm

Cm

kN.cm/m

kN.cm/m

8

6,5

L02 10

8,5

L04

8

6,5

L05

8

6,5

174 191 666 569 172 119 291 202

244 268 893 797 241 167 407 283

L01

kc

ks

cm2/kN cm2/kN

17,3 15,8 7,8 9,1 24,6 35,5 14,5 20,9

0,024 0,024 0,024 0,024 0,024 0,023 0,024 0,024

as,cal cm2/m

φ mm

0,90 0,99 2,63 2,25 0,89 0,59 1,50 1,04

5 5 6,3 6,3 5 5 5 5

ADOTADO s as cm cm2/m

15 15 12 14 15 15 14 14

1,33 1,33 2,62 2,25 1,33 1,33 1,43 1,43

OBS.

as min as min aS min as min -5% as min

Tabela 6.4 - Armaduras junto à face superior da laje h

d

mk

md

kc

ks

as,cal

cm

cm

kN.cm/ m

kN.cm/m

cm2/kN

cm2/kN

cm2/m

ADOTADO s as φ cm cm2/m mm

8 8 8

6,5 6,5 6,5

808 390 494

1.131 546 692

3,7 7,7 6,7

0,026 0,024 0,025

4,52 2,02 2,66

8 6,3 8

LAJE

L03 L01/L04 L04/L05

11 15 18

OBS .

4,55 2,10 2,78

A figura 6.16 apresenta o detalhamento das armaduras posicionadas junto à face inferior da laje (armaduras positivas). São mostradas, para cada direção da laje, apenas uma barra representativa do conjunto. Essa figura representa a vista vertical da

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barra, rebatida no plano horizontal e em verdadeira grandeza. As setas indicam que as barras em questão devem ser posicionadas entre as faces das vigas indicadas por elas. Por exemplo, a barra N1 deve ser distribuída na laje LO2, na direção y, posicionadas uma a cada 14cm, entre as faces das vigas V01 e V02. A quantidade de barras, que o armador deve cortar e desenhar de acordo com o indicado na figura, é calculada tomando-se a distância entre as faces das vigas V01 e V02, que é de 326,5cm, dividir por 10, que é o espaçamento entre as barras, e subtrair a unidade, pois as barras próximas das vigas V01 e V02 ficam afastadas destas 10cm. Esse procedimento deve ser repetido para todas as barras do pavimento. Os ganchos nas extremidades das barras, quando se tratar de apoios de extremidade, precisam ter a medida da projeção no plano vertical igual à altura da laje (h) subtraída de duas vezes a espessura do cobrimento (superior e inferior). Além das indicações do número da barra, devem ser indicadas: a quantidade de barras, o diâmetro, o espaçamento entre as barras e comprimento total. Os comprimentos parciais servem para o armador dobrar as barras na bancada de serviço. O respectivo desenho indica o correto posicionamento da barra na fôrma, como pode ser visto para a barra N4, onde as distâncias de 15cm das faces internas das vigas V04 e V05 devem ser respeitados, pois envolvem critérios de ancoragem nos apoios extremos e verificados de acordo com as indicações da NBR 6118:2003.

Figura 6. 16 - Detalhamento das armaduras junto à face inferior


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A figura 6.17 apresenta o detalhamento das barras das armaduras posicionadas junto à face superior da laje (armaduras negativas). As armaduras principais são aquelas posicionadas perpendicularmente as vigas. Nas direções paralelas às vigas mostram-se as barras de distribuição (armaduras secundárias), cujas áreas são iguais a 1/5 da área da armadura principal, e, neste exemplo de projeto, porém não menor que 0,9 cm2/m, conforme indicado na NBR 6118:2003. As barras das armaduras de distribuição têm também a finalidade de posicionar corretamente as barras das armaduras negativas. As barras devem ser adequadamente desenhadas para o bom entendimento dos detalhes e correta execução na obra. Assim, seguiram-se as mesmas indicações vistas nos desenhos das armaduras positivas. Lembra-se que aquelas barras da armadura ficam posicionadas junto à face superior da laje. As armaduras inferiores devem ficar afastadas da face da fôrma da laje por espaçadores moldados em argamassa, aos quais são incorporados segmentos de arame recozido para poder amarrar os espaçadores às barras. As suas espessuras são iguais aos cobrimentos requeridos para as armaduras. É possível utilizarem espaçadores plásticos industrializados. As armaduras negativas são posicionadas por espaçadores feitos com sobras de barras, usualmente chamados de caranguejos. Durante o lançamento do concreto, cuidados devem ser tomados para evitar que as armaduras negativas mudem de posição, em virtude do lançamento do concreto e do movimento de operários no local.

Figura 6. 17 - Detalhamento das armaduras junto à face superior.

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A tabela 6.5 - Tabela de armaduras, ou Tabela de "ferros" como conhecida por alguns, tem a finalidade de ordenar, pelos números indicados nos desenhos, as barras das armaduras, mostrando os diâmetros, as quantidades e os comprimentos - unitários e total. Os comprimentos unitários são os comprimentos retificados das barras e os totais são os produtos da quantidade de barras pelos comprimentos unitários. Essa tabela tem a finalidade de orientar o armador sobre os cortes das barras, que são feitos independentemente dos detalhes de dobramento e posicionamento das barras nas fôrmas. As barras são cortadas como indicado na tabela e, em outra operação, dobradas de acordo com os desenhos indicados nas figuras 6.16 e 6.17. São, posteriormente, levadas para as fôrmas das lajes do pavimento-tipo e ai posicionadas conforme desenhos para posterior concretagem. A tabela 6.6 - Resumo de armaduras, neste caso para o aço categoria CA-50, deve indicar os comprimentos totais para um determinado diâmetro, isto é, o somatório dos comprimentos totais indicados na tabela de armaduras, e a massa total, para um determinado diâmetro. O resumo serve para indicar ao engenheiro da obra os diâmetros e as quantidades das várias barras que devem ser adquiridas na execução do pavimento-tipo, motivo deste exemplo.

No 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14

φ (mm)

5 6,3 8

Tabela 6.5 - Tabela de armaduras Comprimentos Diâmetro Quantidade Unitário Total (mm) (cm) (m) 6,3 25 396 99,00 5 21 322 67,62 5 25 392 98,00 5 23 320 73,60 5 20 392 78,40 5 18 357 64,26 6,3 39 362 141,18 5 25 396 99,00 8 63 256 161,28 8 19 168 31,92 6,3 18 138 24,84 5 7 292 20,44 5 12 700 84,00 5 8 362 28,96 Tabela 6.6 - Resumo de armaduras (Aço: CA-50) Comprimento Massa / m Massa Total + 10% (m) (kg / m) (kg) 614 0,16 108 265 0,25 73 193 0,40 85 Total ( kg ) 266

Os detalhamentos das armaduras costumam ser feitos depois das verificações indicadas nos itens 6.9 e 6.10, pois se houverem modificações os detalhamentos não precisam ser refeitos.


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6.9 VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES TANGENCIAIS

Faz-se a seguir a verificação da capacidade resistente à força cortante da seção transversal (bw = 100cm e h = 10cm) para a força cortante de maior valor, que é vx para a laje L02, cujo módulo é 10,78 kN. Segue-se aqui a rotina vista no item 5.10.1. a. cálculo da força cortante solicitante de cálculo:

VSd = 1,4 . 10,78 = 15,1kN/m Para não haver necessidade de se dispor armadura transversal o valor da força cortante solicitante de cálculo não pode ser maior do que a força cortante resistente de cálculo sem armadura transversal (VRd1) calculada pela expressão seguinte: VRd1 = [ τRd . k . (1,2 + 40 . ρ1) + 0,15 . σcp ] . bw . d b. cálculo de τRd τRd = 0,25 ⋅ fctd = 0,25 ⋅

fctk,inf 1 1 = 0,25 ⋅ ⋅ 0,7 ⋅ fctm = 0,25 ⋅ ⋅ 0,7 ⋅ 0,3 ⋅ fck2 / 3 γc γc γc

assim, para C20, resulta: 2/3 τRd = 0,0375 ⋅ 20ck = 0,276MPa = 2,76kN / cm2

c. cálculo de k k = 1,6 - dpara elementos em que a totalidade da armadura longitudinal chega até os apoios e não menor do que 1

sendo d = h – 1 = 10 – 1,5 = 8,5cm = 0,085m k = 1,6 – 0,085 = 1,52 d. cálculo de ρ1

na laje L02, sendo 2,62 cm2/m (φ 6,3 c/12) a área de armadura na direção x calculada para absorver o momento fletor mx = 6,66kN/m, vem: ρ1 = 2,62 / (100 . 8,5) = 0,0031 e. cálculo de σcp

σcp = NSd / Ac = zero NSd = zero, pois não há força de protensão na laje (ela tem armadura passiva), e, também, não há força força normal atuando na laje. f. bw = 100cm e d = 8,5cm

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g. Substituindo na expressão de VRd1, vem:

VRd1 = [2,76 . 1,52 . (1,2 + 40 . 0,0031) + 0,15 . zero ] 100 . 8,5 VRd1 = 5,55 . 850 = 4717,5kN = 47,2kN/m h. conclusão

como VSd = 14,5kN/m < VRd1 = 47,2kN/m não há necessidade de dimensionar armadura transversal para absorver as tensões de tração oriundas da força cortante. Sugere-se ao leitor fazer a verificação da força cortante para as lajes do projeto com 8cm de espessura. 6.10 VERIFICAÇÃO DOS ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO

6.10.1 Momento de fissuração Os estados limites de serviço que precisam ser verificados para as lajes são: o estado limite de deformação excessiva (ELS-DEF), para o qual são adotados os critérios indicados para vigas, considerando a possibilidade de fissuração (hipóteses do Estádio II), e os estados limites de formação de fissuras (ELS-F) e de abertura das fissuras (ELS-W), também considerando as hipóteses indicadas para a verificação de elementos lineares (vigas). Com as hipóteses do estado limite de formação de fissuras pode-se calcular o momento de fissuração (Mr) pela seguinte expressão aproximada, escrita considerando o Estádio Ib.

Mr =

α ⋅ fct ⋅ I0 yt

sendo: α = 1,2 para seções T ou duplo T; α = 1,5 para seções retangulares; yt é a distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada; I0 é o momento de inércia da seção bruta de concreto igual a Ic; fct = fctk,inf = 0,7.fctm = 0,7.0,3.fck2/3 Para as lajes do projeto com espessuras de 8cm, resistência característica do concreto de 20MPa e considerando: α = 1,5, pois a seção transversal é retangular com bw = 100cm e h = 8cm; yt = h / 2 = 4cm;


164

Ic = ( bw h3 ) / 12 = ( 100 . 83 ) / 12 = 4.266,7cm4; fct = 0,7 . 0,3 . 202/3 = 1,55MPa = 0,155kNcm2; e, substituindo na expressão de mr vem: mr = 248kNcm = 2,48kNm Analogamente para a laje L02 com 10cm de espessura o momento de fissuração resulta: mr = 387,5kNcm = 3,88kNm 6.10.2 VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO EXCESSIVA (ELS-DEF)

Nos casos de lajes maciças a NBR 6118:2003 indica que para a verificação dos estado limite de deformação excessiva são usados os mesmos critérios adotados para a verificação de vigas, considerando a possibilidade de fissuração (Estádio II). A verificação dos valores limites estabelecidos na NBR 6118:2003 para a deformação da estrutura, mais propriamente rotações e deslocamentos em elementos estruturais lineares, analisados isoladamente e submetidos à combinação de ações indicadas na norma, pode ser realizada por modelos que considerem a rigidez efetiva das seções do elemento estrutural, ou seja, levem em consideração a presença da armadura, a existência de fissuras no concreto ao longo dessa armadura e as deformações diferidas no tempo. A NBR 6118:2003 lembra que a deformação real da estrutura depende também do processo construtivo, assim como das propriedades dos materiais (principalmente do módulo de elasticidade e da resistência à tração) no instante de sua efetiva solicitação. Em face da variabilidade dos parâmetros citados, existe variabilidade das deformações reais. Não se pode esperar, portanto, grande precisão nas previsões de deslocamentos dadas pelos processos analíticos que se adota neste exemplo conforme indicado na norma citada. Para a avaliação aproximada da flecha em lajes, seguindo os critérios de vigas, a NBR 6118:2003 indica que o modelo da estrutura pode admitir o concreto e o aço como materiais de comportamento elástico e linear. As deformações específicas nas seções ao longo do elemento estrutural podem ser determinadas no Estádio I desde que os esforços solicitantes não superem aqueles que dão início à fissuração, e no Estádio II, em caso contrário. Para o cálculo utiliza-se o valor do módulo de elasticidade secante Ecs definido na NBR 6118:2003, sendo obrigatória a consideração do efeito da fluência. Para uma avaliação aproximada da flecha imediata em vigas pode-se utilizar a expressão de rigidez equivalente (Fórmula de Branson) dada a seguir:

(EI) eq = E

   cs    

M M

 r    a

3

 M Ic + 1− r   Ma 



3     .III  ≤E cs .Ic      

sendo: Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto; III é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no Estádio II;

José Samuel Giongo

–



Ma é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços, para a combinação de ações considerada nessa avaliação; Mr é o momento de fissuração do elemento estrutural, cujo valor deve ser reduzido à metade no caso de utilização de barras lisas, calculado, de acordo com a NBR 6118:2003, com a resistência à tração do concreto dada por: fct = fctm = 0,3 ⋅ fck2 / 3

(em MPa);

Ecs é o módulo de elasticidade secante do concreto. A flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em função da fluência, pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator αf dado pela expressão: αf =

∆ξ 1 + 50ρ ′

sendo: A 's bd

ρ′ =

sendo: ξ é um coeficiente função do tempo, que deve ser calculado pela expressão seguinte, se t ≤ 70 meses, ou obtido diretamente na tabela 5.7: ∆ξ = ξ( t ) − ξ( t 0 )

ξ(t) = 0,68.(0,996 t )t 0,32 para t ≤ 70 meses

ξ(t) = 2 para t > 70 meses Tabela 6.7. - Valores do coeficiente ξ em função do tempo Tempo (t) Meses Coeficiente

ξ (t)

0

0,5

1

2

3

4

5

10

20

40

≥ 70

0

0,54

0,68

0,84

0,95

1,04

1,12

1,36

1,64

1,89

2

sendo: t é o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida; t0 é a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. No caso de parcelas da carga de longa duração ser aplicadas em idades diferentes pode-se tomar para to o valor ponderado a seguir : t0 =

ΣPi t 0 i ΣPi


166

sendo: Pi são as parcelas de carga; t0i é a idade em que se aplicou cada parcela i, em meses. O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por (1 + αf). Para os casos usuais de projetos estruturais de edifícios pode-se considerar, para cálculo do deslocamento adicional diferido, o tempo t0 igual a um mês com valor do coeficiente ξ(t0) igual a 0,68 e, o tempo t maior ou igual a 70 meses, aproximadamente 6 anos, com coeficiente ξ(t) igual a 2. O tempo inicial de 1 mês, aproximadamente 28 dias, considera que o cimbramento foi retirado e, portanto, a estrutura está em serviço. Assim o valor de ∆ξ resulta: ∆ξ = 2 - 0,68 = 1,32 Para levar em conta o efeito da fissuração nas lajes maciças Correa (1991) indica que o valor do deslocamento inicial precisa ser multiplicado por 1/0,54, o que equivale a considerar que o momento de inércia da seção fissurada é 54% do valor do momento de inércia da seção plena. Lembrando que a flecha final é a flecha inicial multiplicada por ∆ξ e reduzindo-se no valor do momento de inércia da seção integra multiplicando o valor da flecha inicial por 1/0,54, pode-se calcular, para cada laje, o valor da flecha final por: af = ai . (1/0,54) . ∆ξ ou seja, substituindo, pode-se escrever: af = ai . (1/0,54) . 1,32 e, portanto: af = ai . 2,5 Para verificação deste estado de serviço Ma é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços, para a combinação de ações considerada nessa avaliação. No projeto em questão precisam ser verificadas as flechas em lajes de um pavimento-tipo de edifício, sendo que os valores dos momentos fletores relativos as ações permanentes e acidentais estão mostrados na Figura 6.18. A combinação para a verificação das deformações está indicada no capítulo 4 deste trabalho ou na NBR 6118:2003, que prescreve para combinações de serviço, particularmente para verificação do estado limite de deformação excessiva a combinação quase permanente. Nessa combinação o momento fletor de cálculo é a soma do momento fletor característico relativo as ações permanentes acrescido do momento fletor relativo às ações variáveis multiplicado pelo coeficiente γf2 = ψ2, descrita pela seguinte expressão: Md,ser = ∑ mgik + ∑ ψ2j mqik

José Samuel Giongo

–



sendo ψ2 igual a 0,3 nos casos de locais em que não há grande predominância de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevada concentração de pessoas, condição típica de edifícios residenciais.

Figura 6. 18 – Momentos fletores relativos às ações permanentes e acidentais.

Os deslocamentos iniciais das lajes podem ser calculados com as expressões deduzidas pela Mecânica das Estruturas em função das ações uniformemente distribuídas que permanentes (g) e variáveis (q). Assim, a expressão anterior pode ser escrita como: (g + q)ser = gk + ψ2 qk A expressão típica com a qual se determina o valor do deslocamento inicial pode ser escrita como: a=

l 4x α ⋅ (g + q)ser ⋅ 100 Ecs ⋅ h3

O módulo de deformação secante do concreto adotado na verificação é calculado, de acordo com a NBR 6118:2003, pela expressão:

Ecs = 0,85 ⋅ Eci = 0,85 ⋅ 5.600 ⋅ fck0,5

(em MPa)

No caso do projeto foi adotado concreto C20 resultado para valor do módulo: Ecs = 21.287MPa = 2.128,7kN/cm2 Nas lajes em que o momento de cálculo de serviço for menor que o momento de fissuração, já calculado no item 6.10.1, o momento de inércia a considerar é o da seção


168

plena, em caso contrário, ou seja, quando o momento de cálculo de serviço for maior que o momento de fissuração há que se fazer a redução de 54% no momento de inércia, conforme já explicado. Para facilitar os cálculos das flechas nas lajes do pavimento-tipo do projeto organizou-se a tabela 6.7a, na qual são listados: os valores dos momentos fletores relativos às ações permanentes e variáveis (Tabela 6.18), combinações de momentos fletores e das ações, coeficiente (α) da teoria elástica das lajes e determinado em função das condições de apoio e da relação entre os vãos efetivos, deslocamento inicial, deslocamento inicial em função da rigidez da seção transversal, não fissurada e fissurada, flecha e deslocamento limite (lx / 250). Os valores de α podem ser encontrados nas tabelas de Bares (1970) e de Pinheiro (1993). Tabela 6.7a - Estados limites de deformações excessivas das lajes do projeto Laje L01 L02 L04 L05

mgk

mqk

md,ser

(kNm/m)

(kNm/m)

(kNm/m)

1,04 1,03 5,59 4,72 1,03 0,71 1,47 1,21

0,70 0,69 1,14 0,97 0,69 0,47 0,98 0,81

1,25 1,24 5,86 5,01 1,24 0,85 1,76 1,45

Momento de Inércia

(g+q)ser [kN/m2]

α

Ix

3,60

Ieq

ℓx (m)

ai (cm)

ai,Eieq (cm)

afinal (cm)

alim (cm)

4,33

3,025

0,12

-

0,16

1,21

9,80

5,74

3,375

0,36

0,66

0,87

1,35

Ix

3,60

3,51

3,025

0,10

-

0,13

1,21

Ix

3,60

3,26

3,725

0,21

-

0,28

1,49

A laje L03, considerada em balanço, com a condição de vinculação e ações indicados no item 6.6.5 e figura 6.12, está submetida ao momento fletor de cálculo de serviço, calculado por, : md,ser

  1,0852 1,0852 = 3,0 ⋅ + 2,2 ⋅ 1,035 + ψ2 2,0 ⋅ + 2,0 ⋅ 1,035 + 0,8 ⋅ 1,0 2 2  

resultando: md,ser = 4,04 + 0,3 ⋅ 4,05 = 5,25kNm O momento de fissuração é calculado pela expressão: mr =

α ⋅ fct ⋅ Ic yt

sendo: α = 1,5 para seções retangulares; yt = 4cm, é a distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada; o momento de inércia da seção bruta de concreto é igual a,

José Samuel Giongo

Ic =

–



100 ⋅ 83 = 4.267cm4 12

a resistência à tração do concreto, para verificação do estrado limite de deformação excessiva, é a resistência média, calculada de acordo com a NBR 6118:2003; fct,m = 0,3 ⋅ fck2 / 3 = 0,3 ⋅ 202 / 3 = 2,2MPa = 0,22kNm

Portanto, o valor do momento de fissuração para o estado limite de deformação excessiva resulta: Mr =

1,5 ⋅ 0,22 ⋅ 4.267 = 352kNcm = 3,52kNm 4

Como md,ser = 5,25kNm é maior do que mr = 3,52kNm o momento de inércia a ser adotado nos cálculos é o momento de inércia equivalente (Ieq), calculadas com a expressão de Branson, conforme indicado na NBR 6118:2003. O momento de inércia no Estádio II é calculado pelas expressões: III =

b w ⋅ x II3 3

+ α e ⋅ A s [d − x II ]

2

sendo a posição da linha neutra no Estádio II calculada por: 1 b w ⋅ xII2 − α e ⋅ A s ⋅ [d − xII ] = zero 2

O valor de αe é calculado pelo quociente entre os módulos de deformação das barras de aço e o módulo de deformação secante do concreto, que para esse caso do projeto vale: αe =

Es 210.000 = = 9,87 E cs 21.287

Para os dados da laje L03 obtém-se, com bw = 100cm, as = 4,55cm2 (Tabela 6.4) e d = 6,5cm: xII = 1,92cm III = 1.178cm4 O valor da rigidez equivalente calculada com a expressão indicada na NBR 6118:2003: (EI)eq = E

    cs     



3  3 Mr  I + 1− Mr  .I  ≤E .I Ma  c   Ma   II  cs c   


170

e, substituindo convenientemente os valores já calculados resulta:       



3    3,52 3   3,52  2  (EI)eq = 2.128,7 ⋅   .1.178  = 4.489.512 kN / cm ≤ Ecs ⋅ Ic  ⋅4.267+ 1−   5,25     5,25  

Considerando as ações indicadas no item 6.6.5 e figura 6.12 e adotando as expressões deduzidas pela Mecânica das Estruturas para a flecha na extremidade de uma viga em balanço (bw = 100cm), e para as ações permanentes, variáveis normais e acidentais (pessoas apoiadas na mureta) pode-se escrever: ai =

1 1 1 1 ⋅ (g + q) ser ⋅ l 4 ⋅ + ⋅ (G + Q) ser ⋅ l 3 ⋅ 8 (EI) eq 3 (EI) eq

A combinação quase permanente das ações de serviço uniformemente distribuídas na laje por unidade de área considerando as intensidades das ações atuantes na laje L03 vem: (g + q) ser = 3,0 + 0,3 ⋅ 2,0 = 3,6kN/m 2 = 0,00036kN/ cm 2 que, calculando a ação por unidade de comprimento por se tratar o elemento estrutural de laje como viga de largura unitária (1m), resulta: (g + q) ser = 0,00036 ⋅ 100 = 0,036kN/cm 2 Para as ações linearmente distribuídas na borda da laje L03 resulta: (G + Q) ser = 2,2 + 0,3 ⋅ 2,0 = 2,8kN/m = 0,028kN/cm Por unidade de largura resulta: (G + Q) ser = 0,028 ⋅ 100 = 2,8kN/cm Substituindo os valores das ações na expressão com a qual se calcula o deslocamento inicial vem: ai =

1 1 1 1 ⋅ (0,036) ⋅ (108,5) 4 ⋅ + ⋅ (2,8) ⋅ (108,5) 3 ⋅ 8 (3.200.667 ) 3 (3.200.667 )

resultando portanto, para valor do deslocamento inicial: ai = 0,14 + 0,27 = 0,41cm

Lembrando que o deslocamento final precisa ser multiplicado por 2,5 para levar em conta as ações de longa duração, resulta: ai = 0,41⋅ 2,5 = 1,0cm

José Samuel Giongo

–



Considerando que para vigas em balanço a flecha limite precisa obedecer a: a llim =

2 ⋅ l efe 2 ⋅ 108,5 = = 0,9cm 250 250

Como a flecha final considerando as ações ao longo do tempo é maior do que o deslocamento limite indicado na NBR 6118:2003 e, portanto, o estado limite de deformação excessiva da laje L03 não é verificado. Há que se tomar a decisão de projeto de aumentar a espessura da laje para, por exemplo, 10cm e refazer os cálculos para essa laje. Alternativa é prever contraflecha convenientemente calculada, na fase construtiva. Alguns pesquisadores e projetistas de estruturas de concreto como coeficiente majorador dos deslocamentos iniciais consideram o valor 2 e não 2,5 como justificado neste texto, o que significa considerar um valor maior para o módulo de deformação do concreto, assim o valor da flecha avaliada ao longo do tempo resulta menor (0,57 x 2 = 1,14cm). 6.10.3 VERIFICAÇÃO DAS ABERTURAS DAS FISSURAS (ELS-W) Esta verificação é feita para as lajes em que os momentos calculados com as combinações de serviço para esta verificação forem maiores que os momentos de fissuração, pois há possibilidade da tensão na fibra mais tracionada ultrapassar a resistência à tração do concreto. O estado limite de abertura de fissuras (ELS-W) é verificado com a combinação freqüente de ações conforme indicado na NBR 6118:2003 e considerando a expressão seguinte. Fd,serv = ∑ Fgik + ψ1.Fq1k + ∑ ψ 2jFqjk

No caso das lajes do projeto nas quais as ações uniformemente distribuídas são as permanentes e as variáveis diretas os momentos fletores de serviço são calculados por: Md,serv = Mg,k + ψ1.Mq,k com ψ1 = 0,4, conforme dito na NBR 6118:2003, para a combinação indicada. Lembra-se que o momento de fissuração resultou igual a mr = 2,48kNm para as lajes L01, L03 L04 e L05, com 8cm de espessura, e para a laje L02, com 10cm de espessura, o momento de fissuração resultou mr = 3,88kNm. Considerando os valores dos momentos fletores calculados para as ações permanentes e variáveis normais indicadas na figura 6.18 pode-se montar a tabela 5.8 em que se anotam os valores dos momentos de serviço com os quais de fazem as verificações das aberturas das fissuras, os momentos de fissuração e o valor da abertura das fissuras e o valor limite das aberturas.


172

Tabela 6.8 – Estados limites de aberturas de fissuras das lajes do projeto Laje L01 L02 L04 L05

mqk md,ser mr mgk (kNm/m) (kNm/m) (kNm/m) (kNm/m) 1,04 0,70 1,32 2,48 1,03 0,69 1,31 5,59 1,14 6,05 3,88 4,72 0,97 5,11 1,03 0,69 1,31 2,48 0,71 0,47 0,90 1,47 0,98 1,86 2,48 1,21 0,81 1,53

wk (mm)

wlim (mm)

-----

wk < wlim

0,126

0,4

-----

wk < wlim

-----

wk < wlim

No caso da laje L03 que é em balanço e, portanto, armada em uma direção, o momento de serviço para verificação das aberturas das fissuras resulta: m d,ser = 3,0 ⋅

  1,085 2 1,085 2 + 2,2 ⋅ 1.035 + ψ1 2,0 ⋅ + 2,0 ⋅ 1,035 + 0,8 ⋅ 1,0  2 2  

Que substituindo com ψ1 = 0,4, resulta: m d,ser = 4,04 + 0,4 ⋅ 4.05 = 5,66kNm Esse valor é maior que o momento de fissuração mr = 2,48kNm e, então, há necessidade de verificar se o valor característico da abertura das fissuras (wk) é menor do que o valor limite da abertura (wlim). Para as lajes indicadas na tabela 5.8 é preciso verificar a abertura das fissuras para a laje L02, pois os momentos fletores md,ser,x e md,ser,y são maiores que o momento de fissuração mr. Como visto o capítulo 5 pode-se usar apenas uma das expressões indicadas na NBR 6118:2003, pois se o valor da abertura das fissuras ficarem menor do que o valor da abertura limite, não há necessidade de se verificar o valor da abertura característica de fissura com a segunda expressão. As expressões com as quais se calculam as aberturas características de fissuras são: w1 =

σ 3σ φi ⋅ si ⋅ si 12,5 ⋅ η1 E si fctm

w2 =

σ φi 4 ⋅ si ⋅ [ + 45] 12,5 ⋅ η1 E si ρ ri

com, σsi, Φi, Esi, ρri definidos para cada área de envolvimento em exame, sendo: Acri é a área da região de envolvimento protegida pela barra Φi; Esi é o módulo de elasticidade do aço da barra de diâmetro Φi considerada; φi é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada;

José Samuel Giongo

–



ρri é a taxa de armadura passiva ou ativa aderente (que não esteja dentro de bainha) em relação a área da região de envolvimento (Acri); σsi é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, calculada no Estádio II. O cálculo no Estádio II, que admite comportamento linear dos materiais e despreza a resistência à tração do concreto, pode ser feito considerando a relação αe entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto igual a 15. Nas expressões transcritas da NBR 6118:2003, ηi é o coeficiente de conformação superficial da armadura considerada, devendo ser adotados os valores de η1 para passiva e ηp1 para ativa, conforme indicados na NBR 6118:2003. No projeto, para determinar a tensão nas barras das armaduras das lajes, é necessário calcular o valor do momento de inércia considerando a seção transversal com deformações compatíveis (III) com as do Estádio II, que para isto é preciso determinar a posição da linha neutra no mesmo estádio (xII), cujas expressões, deduzidas a partir das hipóteses da Mecânica das Estruturas, são escritas a seguir. a.- Posição da linha neutra considerando o Estádio II b w .x II .

x II − α e .A s [d − x II ] = 0 2

b.- Momento de Inércia considerando o Estádio II

III =

bw ⋅ x3 + α e ⋅ A s ⋅ [d − x II ] 2 3

c.- Tensão nas barras das armaduras das lajes considerando a hipóteses do Estádio II

σ si =

α e .Md,serv .(d − x II ) III

6.10.3.1 Verificação das aberturas das fissuras (ELS-W) para a laje L02 Para a laje L02 (h = 10cm) tem-se que o momento de fissuração é igual a: Mr = 3,88kNm

A combinação de momentos fletores calculados pra as ações permanentes e acidentais, de acordo com a tabela 6.8 resulta: Ma = m dx,serv = 6,05kNm O momento de inércia considerando a seção plena é igual a: Ic =

100 ⋅ 10 3 = 8333,33cm 4 12


174

O módulo de deformação secante do concreto resulta: E cs = 0,85 ⋅ 5600 0,5 = 21287MPa O momento de inércia no Estádio II é calculado com a seqüência indicada anteriormente e depende da área de armadura calculada com as hipóteses do estado Limite Último de acordo com a Tabela 6.2, para o momento de cálculo na direção do eixo x, igual a: asx = 2,62cm2/m Substituindo os valores na expressão seguinte, determina-se a posição da linha neutra no Estádio II, assim: 100.x II .

x II − 15.2,62[8,5 − x II ] = 0 2

que resulta: xII = 2,2cm Portanto, o momento de inércia no Estádio II resulta: 100 ⋅ 2,2 3 III = + 15 ⋅ 2,62 ⋅ [8,5 − 2,2] 2 3 ou seja: III = 1.915cm4 A tensão nas barras da armadura na laje L02 na direção do eixo x resulta: σs =

15 ⋅ 605 ⋅ (8,5 − 2,2) = 29,9kN/cm 2 = 299MPa 1915

Para a verificação das aberturas de fissuras usa-se a expressão a seguir, com os valores necessários indicados. w=

σ 3σ φi ⋅ si ⋅ si 125.η i E si fctm

O valor de η1 = 2,25 é de acordo com a NBR 6118:2003 considerando aço CA-50 com conformação superficial compatível com este valor; o módulo de deformação do aço é igual a E s = 210000MPa e a resistência média à tração do concreto C20 é calculada por: fctm = 0,3.f ck2/3 = 2,21MPa = 0,221kN/cm 2 Assim, substituindo os valores calculados anteriormente na primeira expressão com a qual se calcula o valor da abertura característica da fissura, resulta:

José Samuel Giongo

–



6,3 29,5 29,5   wk =  ⋅ ⋅3⋅  = 0,126cm 0,221   12,5 ⋅ 2,25 21000 Que é menor do que a abertura limite de fissuras indicada na NBR 6118:2003 de 0,4mm, portanto, as fissuras que ocorrerão na laje L02 não serão consideradas prejudiciais à estrutura. Portanto, a laje L02 atende as condições da Norma com relação ao ELS-W. 6.10.3.2 Verificação das aberturas das fissuras (ELS-W) para a laje L03 Para a laje L03 (h = 8cm) tem-se que o momento de fissuração é igual a: Mr = 2,48kNm

A combinação de momentos fletores calculados pra as ações permanentes e acidentais, de acordo com valor calculado anteriormente é: Ma = m dx,serv = 5,66kNm O momento de inércia considerando a seção plena é igual a: Ic =

100 ⋅ 8 3 = 4266,67cm 4 12

O momento de inércia no Estádio II é calculado com a seqüência indicada anteriormente e depende da área de armadura calculada com as hipóteses do estado Limite Último de acordo com a Tabela 6.2, para o momento de cálculo na direção do eixo x, igual a: asx = 4,55cm2/m Substituindo os valores na expressão seguinte, determina-se a posição da linha neutra no Estádio II, assim: 100.x II .

x II − 15.4,55[6,5 − x II ] = 0 2

que resulta: xII = 2,4cm Portanto, o momento de inércia no Estádio II resulta: III =

100 ⋅ 2,4 3 + 15 ⋅ 4,55 ⋅ [6,5 − 2,4] 2 3

ou seja: III = 1.608cm4


176

A tensão nas barras da armadura na laje L02 na direção do eixo x resulta: σs =

15.566 ⋅ (6,5 − 2,4) = 21,7kN/cm 2 = 217MPa 1608

Assim, substituindo os valores calculados anteriormente na primeira expressão com a qual se calcula o valor da abertura característica da fissura, resulta: 8,0 21,7 21,7   wk =  ⋅ ⋅3⋅  = 0,09mm 0,221   12,5 ⋅ 2,25 21000 Que um valor menor do que a abertura limite de fissuras indicada na NBR 6118:2003 de 0,4mm, portanto, as fissuras que ocorrerão na laje L03 não serão consideradas prejudiciais à estrutura. Portanto, a laje L03 atende as condições da Norma com relação ao ELS-W. No caso das aberturas características das fissuras calculadas com a expressão 1 ficarem acima da abertura limite, calculam-se as aberturas com expressão 2. w2 =

σ φi 4 ⋅ si ⋅ [ + 45] 12,5 ⋅ η1 E si ρ ri

Na terceira fração dessa expressão interfere o valor da taxa de armadura passiva (ρri) em relação a área da região de envolvimento (Acri). Portanto, é necessário determinar a posição relativa da linha neutra (βx) no Estado Limite Último, e determinar as distâncias das faces do tirante em relação ao eixo da barra, definindo-se, assim, a área da região de envolvimento (Acri), e, por conseguinte a taxa ρri. Se com ambas as verificações as aberturas das fissuras ficarem maiores que a limite é necessário modificar a espessura do elemento estrutural, neste caso da laje. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de concreto. Rio de Janeiro, 2004. 2. ANDRADE, J. R. L. Estruturas correntes de concreto armado: 1. parte. São Carlos, EESC-USP, 1982. 3. ISHITANI, H., MARTINS, A. R., PELLEGRINO NETO, J., BITTENCOURT, T. N. Estruturas de Concreto I (Notas de Aula). Escola Politécnica - USP ,2000. 3. PINHEIRO, L. M. Concreto armado: tabelas e ábacos. São Carlos.EESC-USP, 1993. 4. BAREŠ, R. (1970) Tablas para el calculo de placas y vigas pared. Barcelona, Editorial Gustavo Gili, S.A.

CONCRETO ARMADO: PROJETO ESTRUTURAL DE EDIFíCIOS - GDACE

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