Cónicas y Cuádricas - UdC

De la última ecuación deducimos que, en coordenadas homogénas, los puntos de la cónica son los vectores autoconjugados de la forma cuadrática que dete...

76 downloads 275 Views 219KB Size
Tema V. Cap´ıtulo 1. C´ onicas.

´ Algebra. Departamento de M´etodos Matem´ aticos y de Representaci´ on. UDC.

Tema V

Definici´ on 1.2 Diremos que una c´ onica es degenerada cuando est´ a formada por dos rectas (iguales o distintas, reales o imaginarias).

C´ onicas y Cu´ adricas

Veremos m´ as adelante que una c´ onica es degenerada cuando su matriz asociada A tiene determinante nulo.

1. C´ onicas. En todo este cap´ıtulo trabajaremos en el plano af´ın eucl´ıdeo E2 con respecto a una referencia rectangular {O; e¯1 , e¯2 }. Denotaremos por (x, y) las coordenadas cartesianas respecto a esta referencia y por (x, y, t) las coordenadas homog´eneas.

1

2

Intersecci´ on de una recta y una c´ onica.

Consideramos una c´ onica dada por una matriz sim´etrica A. Sean P = (p) y Q = (q) dos puntos cualesquiera. Calculemos en coordenadas homog´eneas la intersecci´ on de la recta que los une y la c´ onica:

Definici´ on y ecuaciones.

recta P Q c´ onica

Definici´ on 1.1 Una c´ onica es una curva plana determinada, en coordenadas cartesianas, por una ecuaci´ on de segundo grado.

≡ ≡

(x) = α(p) + β(q). (x)A(x)t = 0.

Sustituyendo la primera ecuaci´ on en la segunda queda: De esta forma la ecuaci´ on general de una c´ onica ser´ a:

(α(p) + β(q))A(α(p) + β(q))t = 0 ⇐⇒ α2 (p)A(p)t + 2αβ(p)A(q)t + β 2 (q)A(q)t = 0.

a11 x2 + a22 y 2 + 2a12 xy + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0 - Si (p)A(p)t = (p)A(q)t = (q)A(q)t = 0 la ecuaci´ on se cumple para cualquier par (α, β) luego la recta est´ a contenida en la c´ onica.

con (a11 , a22 , a12 ) 6= (0, 0, 0) (para garantizar que la ecuaci´ on es de segundo grado). Otras expresiones equivalentes de la ecuaci´ on de una c´ onica son:

- En otro caso, obtenemos una ecuaci´ on de segundo grado de discriminante: 1 ∆ = [(p)A(q)t ]2 − [(p)A(p)t ][(q)A(q)t ]. 4

1. En funci´ on de la matriz A asociada a la c´ onica (toda matriz sim´etrica determina una c´ onica): (x

y

1)A

x y 1

! = 0,

con A =

a11 a12 a13

a12 a22 a32

a13 a23 a33

Hay tres posibilidades:

! .

1. ∆ > 0: Recta secante. Hay dos soluciones reales distintas, luego la recta corta a la c´ onica en dos puntos distintos.

2. En funci´ on de la matriz T de t´ erminos cuadr´ aticos:

  (x

y)T

x y

  + 2 ( a13

a23 )

x y

 + a33 = 0,

con T =

a11 a12

a12 a22

2. ∆ = 0: Recta tangente. Hay una soluci´ on doble, luego la recta corta a la c´ onica en un punto doble.

 6= Ω.

3. ∆ < 0: Recta exterior. No hay soluciones reales. La recta no corta a la c´ onica.

3. En coordenadas homog´eneas: (x

y

t)A

x y t

! = 0,

con A =

a11 a12 a13

a12 a22 a32

a13 a23 a33

Podemos aplicar esto a dos situaciones:

! .

1. Recta tangente a la c´ onica en un punto P de la misma. Si P est´ a en la c´ onica entonces (p)A(p)t = 0. Por tanto la recta tangente tendr´ a por ecuaci´ on:

De la u ´ltima ecuaci´ on deducimos que, en coordenadas homog´enas, los puntos de la c´ onica son los vectores autoconjugados de la forma cuadr´ atica que determina la matriz asociada A.

(p)A(x)t = 0

89

´ Algebra. Departamento de M´etodos Matem´ aticos y de Representaci´ on. UDC.

Tema V. Cap´ıtulo 1. C´ onicas.

2. Rectas tangentes a la c´ onica desde un punto P exterior. Si P es un punto exterior a la c´ onica, las rectas tangentes a la misma se obtendr´ an mediante la ecuaci´ on: [(p)A(x)t ]2 − [(p)A(p)t ][(x)A(x)t ] = 0

1. Si P no est´ a en la c´ onica y la recta polar interseca a la c´ onica, entonces los puntos de intersecci´ on de la recta polar y la c´ onica son los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la c´ onica pasando por P . Prueba: Sea X ∈ C ∩ rp . Entonces se verifican las ecuaciones: X∈C X ∈ rp recta uniendo X y P

teniendo en cuenta que dicha ecuaci´ on se descompondr´ a como producto de dos ecuaciones lineales. En la siguiente secci´ on veremos como la polaridad nos proporcionar´ a otro m´etodo para calcular estas rectas.

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

(x)A(x)t = 0 (p)A(x)t = 0 α(p) + β(x) = 0

Veamos que la recta que une P y X es tangente a C. Intersecamos dicha recta con la c´ onica y obtenemos: α2 (p)A(p)t + 2αβ(p)A(x)t + β 2 (x)A(xt ) = 0

3

Polaridad.

Definici´ on 3.1 Dado un punto P de coordenadas homog´eneas (p1 , p2 , p3 ) y una c´ onica determinada por una matriz A, se llama recta polar de P respecto a la c´ onica y se denota por rP , a la recta de ecuaci´ on: ( p1

p2

p3 ) A

2. Si P est´ a en la c´ onica, entonces la recta polar es la recta tangente a la c´ onica en el punto P . Prueba: Es un caso particular de la situaci´ on anterior.

! = 0.

3. Si P no est´ a en la c´ onica y la recta polar no interseca a la c´ onica, entonces la recta polar rP se obtiene de la siguiente forma: se toma una recta pasando por P y se interseca con la c´ onica. Las correspondientes tangentes a la c´ onica por esos puntos se intersecan en un punto de la recta polar rp . Prueba: Es consecuencia de las observaciones anteriores.

P se dice el polo de la recta. Observaci´ on 3.2 Los conceptos de polo y recta polar son duales. Supongamos que la c´ onica definida por A es no degenerada. Dados un polo P y su recta polar rp la famila de rectas pasando por P se corresponde con las rectas polares de los puntos de rP . Para comprobar esto simplemente tenemos en cuenta lo siguiente. Sean (p) las coordenadas de P . Si B y C son dos puntos de rP , con coordenadas (b) y (c) respectivamente, se tiene que: (p)A(b)t = 0 (p)A(c)t = 0

⇒ ⇒

4

Por tanto el haz de rectas que pasa por P ser´ a: rectas pasando por P

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

Puntos y rectas notables asociados a una c´ onica.

En lo que sigue trabajaremos sobre una c´ onica cuya matriz asociada respecto a un determinado sistema de referencia es A.

P ∈ recta polar de B P ∈ recta polar de C

t

α2 (p)A(p)t = 0

es decir hay una u ´nica soluci´ on y por tanto la recta P X es tangente a la c´ onica en X. Observaci´ on: Como consecuencia de esto, para calcular las tangentes a una c´ onica desde un punto exterior P , basta calcular la recta polar de P e intersecarla con la c´ onica. Las rectas pedidas son las que unen estos puntos con P.

Trabajamos con una c´ onica de matriz asociada A.

x y t



4.1

Puntos singulares.

t

α(b)A(x) + β(c)A(x) = 0 ⇐⇒ (α(b) + β(c))A(x)t = 0 ⇐⇒ rectas polares de los puntos α(b) + β(c) ⇐⇒ rectas polares de los puntos de rP

Definici´ on 4.1 Un punto singular de una curva es un punto de no diferenciabilidad de la misma. Equivalentemente, un punto singular de una curva es un punto con m´ as de una direcci´ on de tangencia.

Veamos la interpretaci´ on geom´etrica de la recta polar. Sea C la c´ onica (no degenerada) definida por A, P el polo y rP la correspondiente recta polar:

Equivalentemente, si toda recta pasando por un punto P de una curva corta a la curva con multiplicidad > 1 en P , entonces P es un punto singular.

90

Tema V. Cap´ıtulo 1. C´ onicas.

´ Algebra. Departamento de M´etodos Matem´ aticos y de Representaci´ on. UDC.

Veamos cuando aparecen puntos singulares en una c´ onica. Sea P = (p) un punto de la c´ onica. Tomamos una recta cualquiera pasando por P . Para ello elegimos un punto cualquiera Q = (q) que no est´e en la c´ onica y lo unimos con P . Su ecuaci´ on en coordenadas homog´eneas es:

- Para que (a, b, 1) sea centro las soluciones de λ han de ser valores opuestos para cualquier direcci´ on (p, q) 6= (0, 0). Esto significa que:

(a

b

1)A

(x) = α(p) + β(q) Si intersecamos con la c´ onica, nos queda la ecuaci´ on:

p q 0

! = 0 para cualquier (p, q) 6= (0, 0).

- Deducimos que la ecuaci´ on del centro es:

2αβ(p)A(q) + β 2 (q)A(q) = 0

(a

El punto P es singular si la u ´nica soluci´ on de esta ecuaci´ on es β = 0 con multiplicidad 2, para cualquier punto (q), es decir si:

4.3

b

1 ) A = (0, 0, h)

Direcciones asint´ oticas y as´ıntotas.

(p)A(q) = 0 para cualquier (q). Definici´ on 4.4 Las direcciones asint´ oticas son los puntos del infinito que pertenecen a la c´ onica.

Esto se cumple cuando: (p)A = ¯ 0

Las as´ıntotas son las rectas que pasan por el centro y tienen una direcci´ on asint´ otica.

Concluimos lo siguiente:

De la definici´ on es claro que las direcciones asint´ oticas (p, q, 0) se obtienen resolviendo la ecuaci´ on:

Teorema 4.2 Una c´ onica dada por una matriz A tiene puntos singulares si y s´ olo si det(A) = 0. En ese caso la c´ onica se dice degenerada y los puntos singulares (afines) son los que verifican la ecuaci´ on: (x

4.2

y

(p

1)A = ¯ 0

Centro.

(p, q) 6= (0, 0)

Vemos que es una ecuaci´ on de segundo grado cuyo discriminante es −|T |. Por tanto: - Si |T | > 0, entonces no hay direcciones asint´ oticas (c´ onica de tipo el´ıptico). - Si |T | = 0, hay una direcci´ on asint´ otica (c´ onica de tipo parab´ olico).

- Consideramos la ecuaci´ on de una recta que pasa por el centro y tiene un determinado vector director (p, q):

- Si |T | < 0, hay dos direcciones asint´ oticas (c´ onica de tipo hiperb´ olico).

(x, y, t) = (a, b, 1) + λ(p, q, 0).

4.4

p q 0

! 2

λ + 2(a

b

1)A

p q 0

! λ + (a

Di´ ametros.

Definici´ on 4.5 Un di´ ametro de una c´ onica es la recta polar (af´ın) de un punto del infinito. Al punto del infinito se le llama direcci´ on conjugada con el di´ ametro.

- Sustituimos en la ecuaci´ on de la c´ onica y obtenemos:

0)A

= 0,

a11 p2 + 2a12 pq + a22 q 2 = 0

Llamemos (a, b, 1) a las coordenadas homog´eneas del centro. Veamos como calcularlo:

q

0)A

!

Si desarrollamos esa ecuaci´ on, obtenemos:

Definici´ on 4.3 El centro de una c´ onica es un punto af´ın centro de simetr´ıa de la misma.

(p

q

p q 0

b

1)A

a b 1

! = 0. Observaci´ on 4.6 Cualquier di´ ametro pasa por el centro (o centros) de la c´ onica.

91

Tema V. Cap´ıtulo 1. C´ onicas.

´ Algebra. Departamento de M´etodos Matem´ aticos y de Representaci´ on. UDC.

Prueba: Supongamos que A es la matriz de la c´ onica y (a, b, 1) es un centro. Un diam´etro tiene por ecuaci´ on:

4.6

( u1

u2

0)A

x y 1

Definici´ on 4.9 Se llaman v´ ertices a los puntos intersecci´ on de los ejes con la c´ onica.

! =0

4.7

donde (u1 , u2 ) es la direcci´ on conjugada. Por otra parte vimos que si (a, b, 1) es el centro verifica: (a

b

1)A = (0

0

h ) ⇐⇒ A

a b 1

! =

0 0 h

(u

u

2

0)A

a b 1

Focos, directrices y excentricidad.

Definiremos estos tres conceptos para c´ onicas no degeneradas, es decir, cuya matriz asociada A es no singular.

!

Definici´ on 4.10 Un foco de una c´ onica es un punto F que verifica la siguiente condici´ on: el cociente entre las distancias de cualquier punto de la c´ onica a F y a su recta polar d es constante:

Deducimos que: 1

V´ ertices.

!

d(X, F ) = e, d(X, d)

=0

para cualquier punto X en la c´ onica.

y por tanto el di´ ametro contiene al centro. A la recta polar de un foco se le denomina directriz.

4.5

A la constante e se le denomina excentricidad.

Ejes.

Definici´ on 4.7 Se llaman ejes a los di´ ametros perpendiculares a su direcci´ on conjugada.

5 5.1

Observaci´ on 4.8 Las direcciones conjugadas de los ejes son los autovectores de T asociados a autovalores no nulos.

Descripci´ on de las c´ onicas no degeneradas. La elipse real.

La ecuaci´ on reducida de una elipse es: x2 y2 + 2 = 1, 2 a b

Prueba: Sea (u1 , u2 , 0) un punto del infinito y ( u1

u2

0)A

x y 1

a, b 6= 0

! (supondremos a ≥ b, de manera que el radio mayor de la elipse este colocado sobre el eje OX).

=0

Cuando a = b se trata de una circunferencia de radio a. Sus puntos y rectas notable son:

la ecuaci´ on del correspondiente diametro. ´ Operando, obtenemos que el vector normal de la recta es: ( u1 u2 ) T

1. Centro: (0, 0).

Como esta recta debe de ser perpendicular a la direcci´ on conjugada, este vector normal ha de ser paralelo a (u1 , u2 ) y por tanto:

2. Direcciones asint´ oticas: No tiene. 3. As´ıntotas: No tiene.

( u1 1

u2 ) T = λ ( u1

u2 )

4. Di´ ametros: Cualquier recta pasando por el centro. 5. Ejes: Si a 6= b los ejes son x = 0 e y = 0. Si a = b cualquier di´ ametro es un eje.

2

Deducimos que (u , u ) es un autovector de T , asociado al autovalor λ. Finalmente tenemos en cuenta que si λ = 0, entonces la recta anterior ser´ıa la recta del infinito, y por tanto no es un eje.

6. V´ ertices: Si a 6= b los v´ertices son (−a, 0), (a, 0), (0, −b) y (0, b). Si a = b cualquier punto de la c´ onica es un v´ertice.

92

´ Algebra. Departamento de M´etodos Matem´ aticos y de Representaci´ on. UDC.

Tema V. Cap´ıtulo 1. C´ onicas.

5.2

7. Focos: (−c, 0) y (c, 0) con a2 = b2 + c2 . 2

8. Directrices: x = ac y x = − ac . 9. Excentricidad: e = ac < 1 (vale 0 si se trata de una circunferencia.)

La ecuaci´ on reducida de una hip´erbola es: y2 x2 − 2 = 1, 2 a b

Todos estos valores se obtienen directamente utilizando que, en este caso, la matriz asociada a la c´ onica es: ! 1 0 0 a2 1 A= 0 . 0 b2 0 0 −1 y aplicando las definiciones vistas para cada uno de los conceptos anteriores. Nos fijamos en particular en los focos, directrices y excentricidad.

1. Centro: (0, 0). 2. Direcciones asint´ oticas: (a, b, 0) y (a, −b, 0). 3. As´ıntotas: y =

2

c a . x − 1 = 0 ⇐⇒ x = a2 c Ahora dado un punto X = (x, y) cualquiera de la c´ onica veamos cual es el cociente entre las distancias de dicho punto al foco y la directriz. En primer lugar teniendo en cuenta que (x, y) verifica la ecuaci´ on de la c´ onica y que a2 = b2 + c2 , tenemos: (c, 0, 1)A(x, y, 1)t = 0 ⇐⇒

r

2 2

p

(x − c)2 + y 2 =

6. V´ ertices: (−a, 0) y (a, 0). 7. Focos: (−c, 0) y (c, 0) con c2 = a2 + b2 .

2 2

x2 + c2 − 2cx +

8. Directrices: x =

a2 −cx a a2 −cx c

=

a2 c

9. Excentricidad: e =

2

y x = − ac . c a

> 1.

Todos estos valores se obtienen directamente utilizando que, ahora, la matriz asociada a la c´ onica es: ! 1 0 0 a2 1 A= 0 . 0 − b2 0 0 −1

a2 a2 − cx d(directriz, X) = −x= . c c d(F, X) = d(d, X)

e y = − ab x.

5. Ejes: x = 0 e y = 0.

Por otra parte:

Por tanto:

b x a

4. Di´ ametros: Cualquier recta pasando por el centro.

a b −b x = a2 r 2 2 2 c x a − cx cx = . = − 2xc + a2 = a − a2 a a

=

c a

Comprobamos los focos, directrices y excentricidad.

Deducimos que efectivamente (c, 0) es un foco y la excentricidad es se puede ver que (−c, 0) es el otro foco de la c´ onica.

c . a

Si consideramos el punto (c, 0) con c2 = a2 + b2 , su recta polar ser´ a:

An´ alogamente

(c, 0, 1)A(x, y, 1)t = 0 ⇐⇒

5.1.1

La elipse como lugar geom´ etrico.

r

Veamos que esta definici´ on es coherente con la ecuaci´ on y focos dados previamente. Dado un punto (x, y) de la c´ onica vimos que: a2 − cx ; a

Por tanto: d(F1 , X) + d(F2 , X) =

d(F2 , X) =

a2 c x − 1 = 0 ⇐⇒ x = a2 c

Ahora dado un punto X = (x, y) cualquiera de la c´ onica veamos cual es el cociente entre las distancias del punto al foco y la directriz. En primer lugar teniendo en cuenta que (x, y) verifica la ecuaci´ on de la c´ onica y que c2 = a2 + b2 , tenemos:

Definici´ on 5.1 La elipse tambi´en puede definirse como el lugar geom´etrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a los focos es constante.

d(F1 , X) =

a, b 6= 0 .

Sus puntos y rectas notable son:

Si consideramos el punto (c, 0) con a2 = b2 + c2 , su recta polar ser´ a:

d(F, X)

La hip´ erbola.

2

d(F, X)

a2 + cx . a

b2 x2 − a2 b2 = a2 r c2 x2 cx |cx − a2 | − 2xc + a2 = − a = . = 2 a a a

=

p

(x − c)2 + y 2 =

x2 + c2 − 2cx +

Por otra parte:

a2 − cx a2 + cx + = 2a. a a

d(d, X) = x −

93

|cx − a2 | a2 = . c c

´ Algebra. Departamento de M´etodos Matem´ aticos y de Representaci´ on. UDC.

Tema V. Cap´ıtulo 1. C´ onicas.

Por tanto:

8. Directrices: y = − p2 .

cx−a2 d(F, X) a c = cx−a2 = d(d, X) c a

9. Excentricidad: e = 1. De nuevo, todos estos valores se obtienen directamente utilizando que en este caso la matriz asociada a la c´ onica es:

Deducimos que efectivamente (c, 0) es un foco y la excentricidad es ac . An´ alogamente se puede ver que (−c, 0) es el otro foco de la c´ onica.

5.2.1

A=

La hip´ erbola como lugar geom´ etrico.

Definici´ on 5.2 La hip´ erbola tambi´en puede definirse como el lugar geom´etrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los focos en valor absoluto es constante.

|cx − a2 | ; a

d(F2 , X) =

0 0 −p

0 −p 0

!

Comprobamos una vez m´ as los focos, directrices y excentricidad. a: Si consideramos el punto F = (0, p2 ) su recta polar ser´ p2 p p = 0 ⇐⇒ y + = 0 (0, , 1)A(x, y, 1)t = 0 ⇐⇒ −py − 2 2 2

Veamos que esta definici´ on es coherente con la ecuaci´ on y focos dados previamente. Dado un punto (x, y) de la c´ onica vimos que: d(F1 , X) =

1 0 0

Ahora dado un punto X = (x, y) cualquiera de la c´ onica veamos cual es el cociente entre las distancias del punto al foco y la directriz. En primer lugar teniendo en cuenta que (x, y) verifica la ecuaci´ on de la c´ onica:

|cx + a2 | . a

Por tanto, si x ≥ a 2

2

cx − a cx + a d(F1 , X) − d(F2 , X) = − = −2a. a a

d(F, X) =

x2

p + (y − )2 = 2

r 2py +

y2

p2 + − py = 4

r y 2 + py +

p2 p =y+ 4 2

Por otra parte:

y si x ≤ −a: d(F1 , X) − d(F2 , X) =

p 2 Deducimos que efectivamente (0, p2 ) es un foco y la excentricidad es 1.

2

2

5.3

q

−cx − a a − cx − = 2a. a a

d(d, X) = y +

La par´ abola. 5.3.1

La par´ abola como lugar geom´ etrico.

La ecuaci´ on reducida de una par´ abola es: x2 = 2py,

Definici´ on 5.3 La par´ abola tambi´en puede definirse como el lugar geom´etrico de los puntos del plano cuya distancia al foco es la misma que la distancia a la directriz.

p 6= 0 .

(supondremos p > 0 para que la par´ abola est´e situada en el semiplano positivo.)

Esto es consecuencia inmediata de que la excentricidad es 1.

Sus puntos y rectas notable son: 1. Centro: No tiene (tiene un centro ”impropio” (0, 1, 0)).

6

2. Direcciones asint´ oticas: (0, 1). 3. As´ıntotas: No tiene.

Cambio de sistema de referencia.

Sean dos sistemas de referencia R1 = {O; e¯1 , e¯2 } y R2 = {Q; e¯01 , e¯02 }. Denotamos por (x, y) e (x0 , y 0 ) respectivamente a las coordenadas cartesianas en cada una de las referencias. Supongamos que

4. Di´ ametros: Rectas paralelas al eje OY . 5. Ejes: x = 0. 6. V´ ertices: (0, 0).

- el punto Q con respecto a la primera referencia tiene por coordenadas (q 1 , q 2 ).

7. Foco: (0, p2 ).

- {e0 } = C{e}, donde C = MB 0 B .

94

´ Algebra. Departamento de M´etodos Matem´ aticos y de Representaci´ on. UDC.

Tema V. Cap´ıtulo 1. C´ onicas.

7

Entonces sabemos que la f´ ormula de cambio de referencia es: (x, y) = (q 1 , q 2 ) + (x0 , y 0 )C

0 0 1

C

(x, y, t) = (x0 , y 0 , t0 )

o ´

q

1

q

2

!

Dada una c´ onica definida por una matriz sim´etrica A, encontrar su ecuaci´ on reducida consiste en hacer una cambio de referencia de manera que la ecuaci´ on de la c´ onica con respecto a esa nueva referencia sea lo m´ as sencilla posible. En concreto realizamos:

.

Supongamos que tenemos la ecuaci´ on de la c´ onica dada por una matriz A (y la correspondiente T de t´erminos cuadr´ aticos) con respecto a la referencia R1 :

(x

y

x y t

t)A

!

  = 0 ⇐⇒ ( x

y)T

x y

Clasificaci´ on de c´ onicas y ecuaci´ on reducida.

1. Un giro. Nos permite colocar el eje o ejes de la c´ onica paralelos a los ejes de coordenadas de la nueva referencia. La matriz de t´erminos cuadr´ aticos en la nueva referencia ser´ a diagonal.

  + 2 ( a13

a23 )

x y

+ a33 = 0.

2. Una traslaci´ on. Que nos permite colocar el/los centro/s (si existe/n) de la c´ onica en el origen de coordenadas (en otro caso llevaremos un v´ertice al eje de coordenadas).

Si hacemos el cambio de referencia en coordenadas homog´eneas obtenemos:

(x

0

y

0

0

t ) BAB

t

x0 y0 t0

!

C

= 0 con B = q1

q2

0 0 1

Antes de comenzar el desarrollo, hacemos la siguiente observaci´ on importante:

! .

Supondremos que al menos un t´ ermino de la diagonal de la matriz T de t´ erminos cuadr´ aticos es no negativo.

Deducimos que la matriz de la c´ onica en la nueva referencia es: Si esta propiedad no se cumple, basta trabajar con la matriz −A en lugar de con A. De esta forma aseguramos que T siempre tiene al menos un autovalor positivo.

A0 = BAB t y por tanto:

7.1 Teorema 6.1 Las matrices A, A0 de una c´ onica con respecto a dos refencias R1 , R2 distintas, son matrices congruentes

Paso I: Reducci´ on de t´ erminos cuadr´ aticos (el giro).

Dado que la matriz T de t´erminos cuadr´ aticos es sim´etrica tiene dos autovalores reales λ1 y λ2 , con λ1 6= 0. Supondremos λ1 > 0. Adem´ as sabemos que existe una base ortonormal de autovectores {¯ u1 , u ¯2 } de manera que:

A0 = BAB t siendo B la matriz de cambio de referencia de R2 a R1 , en coordenadas homog´eneas.

0

( x0

y 0 ) CT C t

x0 y0



T = CT C con {¯ u} = C{¯ e} y T =

Si hacemos el cambio de referencia en coordenadas cartesianas obtenemos:



0

t

λ1 0

0 λ2



La ecuaci´ on de cambio de coordenadas es:

 + {t´erminos de grado ≤ 1} = 0

(x, y) = (x0 , y 0 )C de forma que en la nueva base la ecuaci´ on de la c´ onica es:

Por tanto deducimos que:

( x0

0

Teorema 6.2 Las matrices de t´erminos cuadr´ aticos T, T de una c´ onica con respecto a dos refencias R1 , R2 distintas son matrices congruentes

y 0 ) CT C t



x0 y0

 + 2 ( a13

a23 ) C t



x0 y0

 + a33 = 0

Operando queda:

T 0 = CT C t

λ1 x02 + λ2 y 02 + 2b13 x0 + 2b23 y 0 + b33 = 0

siendo C la matriz de cambio de la base de R2 a la de R1 .

95

´ Algebra. Departamento de M´etodos Matem´ aticos y de Representaci´ on. UDC.

Tema V. Cap´ıtulo 1. C´ onicas.

7.2

Paso II: Reducci´ on traslaci´ on).

de

t´ erminos

lineales

(la

(b) c33 = 0, entonces la ecuaci´ on reducida es: λ1 x002 + λ2 y 002 = 0

0

Rectas imaginarias cort´ andose en un punto.

0

Ahora a partir de la ecuaci´ on anterior completamos las expresiones de x e y al cuadrado de un binomio, sumando y restando los t´erminos adecuados. En concreto: (c) c33 < 0, entonces la ecuaci´ on reducida es:

- Para x0 : λ1 x02 + 2b13 x0 = λ1 (x02 + 2

b13 0 b213 b13 2 b213 b2 x + 2 ) − 13 = λ1 (x0 + ) − λ1 λ1 λ1 λ1 λ1

λ1 x002 + λ2 y 002 + c33 = 0

- Para y 0 :

Elipse real.

2. Si λ2 = 0 y (a) c23 6= 0, entonces c33 = 0 y la ecuaci´ on reducida es:

• Si λ2 6= 0: λ2 y 02 + 2b23 y 0 = λ2 (y 02 + 2

λ1 x002 + 2c23 y 00 = 0

b23 0 b223 b2 b23 2 b223 y + 2 ) − 23 = λ2 (y 0 + ) − λ2 λ2 λ2 λ2 λ2

• Si λ2 = 0 y b23 6= 0: 2b23 y 0 + b33 = 2b23 (y 0 +

Par´ abola.

(b) c23 = 0 y c33 > 0

b33 ) 2b23

λ1 x002 + c33 = 0

Rectas paralelas imaginarias.

Hacemos en cada caso la traslaci´ on correspondiente y obtenemos las siguientes formas reducidas: Si λ2 6= 0 Cambio de Coordenadas: b13 x00 = x0 + λ1 b23 00 0 y =y + λ2

Si λ2 = 0 y b23 6= 0 Cambio de Coordenadas: b13 x00 = x0 + λ1 b33 00 0 y =y + 2b23

Si λ2 = b23 = 0 Cambio de Coordenadas: b13 x00 = x0 + λ1

Ecuaci´ on reducida:

Ecuaci´ on reducida:

Ecuaci´ on reducida:

002

λ1 x

+ λ2 y

002

002

+ c33 = 0

λ1 x

00

+ 2c23 y = 0

(c) c23 = 0 y c33 = 0 λ1 x002 = 0

(d) c23 = 0 y c33 < 0 λ1 x002 + c33 = 0

λ1 x002 + c33 = 0

Es decir nos queda una ecuaci´ on reducida de la forma: 002

λ1 x

+ λ2 y

002

Recta doble real.

Rectas paralelas reales.

3. Si λ2 < 0, entonces c23 = 0 y si:

00

+ 2c23 y + c33 = 0

(a) c33 6= 0, entonces la ecuaci´ on reducida es:

con las siguientes posibilidades para los valores de λ2 , c23 y c33 :

λ1 x002 + λ2 y 002 + c33 = 0

Hip´erbola.

1. Si λ2 > 0, entonces c23 = 0 y si: (a) c33 > 0, entonces la ecuaci´ on reducida es: λ1 x002 + λ2 y 002 + c33 = 0

(b) c33 = 0, entonces la ecuaci´ on reducida es: λ1 x002 + λ2 y 002 = 0

Elipse imaginaria.

96

Rectas reales cort´ andose en un punto.

´ Algebra. Departamento de M´etodos Matem´ aticos y de Representaci´ on. UDC.

Tema V. Cap´ıtulo 1. C´ onicas.

7.3

Clasificaci´ on y ecuaci´ on reducida en funci´ on de |T | y |A|.

Una operaci´ on ”prohibida” con esta fila significar´ıa que la transformaci´ on que hacemos lleva puntos propios en puntos del infinito y viceversa. Con est´e m´etodo llegaremos a una forma diagonal (excepto si se trata de un par´ abola) que nos permitir´ a clasificar f´ acilmente la c´ onica.

Teniendo en cuenta que los determinantes de T y A se conservan por giros y traslaciones, podemos reescribir la clasificaci´ on anterior en funci´ on de |T | y |A|. De nuevo suponemos alg´ un t´ ermino de T positivo: |T | > 0

|A| > 0 Elipse imaginaria

|T | = 0

Par´ abola

|T | < 0

Hip´erbola

|A| = 0 Rectas  imaginarias cort´ andose Rectas paralelas imag. rg(A) = 2 Rectas paralelas reales rg(A) = 1 Recta doble Rectas reales cort´ andose

Observaci´ on 7.1 Hay que tener en cuenta que la forma diagonal que obtenemos de esta forma, NO se corresponde necesariamente con la ecuaci´ on reducida de la c´ onica. Es decir, este m´etodo nos permite clasificar la c´ onica, pero NO dar su ecuaci´ on reducida.

|A| < 0 Elipse real Par´ abola

7.5

Hip´erbola

Adem´ as cuando la c´ onica es no degenerada podemos calcular la ecuaci´ on reducida, a partir de los autovalores λ1 > 0, λ2 de T y de |A|:

Obtenci´ on de las rectas que forman las c´ onicas degeneradas.

Una vez clasificada la c´ onica y comprobado que es degenerada, la forma m´ as c´ omoda de calcular las rectas que la forman es la siguiente:

1. Si |T | 6= 0, entonces queda: λ1 x002 + λ2 y 002 + c = 0,

con

c=

1. Si se trata de rectas paralelas (reales o imaginarias) o de una recta doble, se calcula la recta de centros. Si es una recta doble hemos terminado. En otro caso intersecamos la c´ onica con una recta cualquiera (lo m´ as sencilla posible) y obtenemos dos puntos (reales o imaginarios). Las rectas buscadas son las paralelas a la recta de centros pasando por dichos puntos.

|A| |T |

2. Si |T | = 0, entonces queda:

r λ1 x

002

− 2c = 0,

con

c=



2. Si se trata de rectas que se cortan (reales o imaginarias), se calcula el centro. Luego intersecamos la c´ onica con una recta cualquiera (lo m´ as sencilla posible) que no pase por el centro y obtenemos dos puntos (reales o imaginarios). Las rectas buscadas son las que unen el centro con dichos puntos.

|A| λ1

Podemos incluso dar la referencia en que se obtienen estas formas reducidas: 1. En el caso de |T | 6= 0 (elipse o hip´erbola), la base de la nueva referencia est´ a formada por los autovectores de T normalizados y el nuevo origen situado en el centro de la c´ onica. Simplemente hay que tener cuidado de ordenar los autovectores de manera coherente a como se ordenan los autovalores.

8

Definici´ on 8.1 Dadas dos c´ onicas C1 y C2 de ecuaciones:

2. En el caso de |T | = 0 (par´ abola), la base de la nueva referencia est´ a formada por los autovectores de T normalizados y el nuevo origen en el v´ertice. Ahora adem´ as de ordenar correctamente los autovectores, hay que comprobar si se ha escogido correctamente el signo del autovector asociado al autovalor nulo.

7.4

Haces de c´ onicas (x)A1 (x)t = 0

y

(x)A2 (x)t = 0

el haz de c´ onicas generado por ellas corresponde a la familia de c´ onicas de ecuaciones: {α[(x)A1 (x)t ] + β[(x)A2 (x)t ] = 0;

Clasificaci´ on mediante diagonalizaci´ on por congruencia.

α, β ∈ IR,

(α, β) 6= (0, 0)}

o equivalentemente: {[(x)A1 (x)t ] + µ[(x)A2 (x)t ] = 0;

Otra forma de clasificar una c´ onica dada por una matriz A es diagonalizar esta matriz por congruencia, pero con la siguiente restricci´ on: La u ´ ltima fila no puede ser ni sumada a las dem´ as ni multiplicada por un escalar ni cambiada de posici´ on.

µ ∈ IR)} ∪ {(x)A2 (x)t = 0}

Las c´ onicas de un haz heredan propiedades comunes de las c´ onicas que lo generan. Por ejemplo:

97

´ Algebra. Departamento de M´etodos Matem´ aticos y de Representaci´ on. UDC.

Tema V. Cap´ıtulo 1. C´ onicas.

- Si P es un punto com´ un de C1 y C2 , entonces P pertenece a todas las c´ onicas del haz.

3. Haz de c´ onicas por dos puntos y la tangente en ellos. Supongamos que A, B son dos puntos y tgA , tgB las correspondientes tangentes. Consideramos la recta r ≡ AB.

- Si r es una tangente a C1 y C2 en un punto P , entonces r tambi´en es tangente en P a todas las c´ onicas del haz.

El correspondiente haz es:

- Si r es una as´ıntota com´ un a C1 y C2 , entonces r tambi´en es as´ıntota de todas las c´ onicas del haz.

α(r)2 + β(tgA · tgB ) = 0

- Si P es un punto singular de C1 y C2 , entonces P es un punto singular de todas las c´ onicas del haz.

3’. Haz de c´ onicas por un punto, conocida la tangente en ´el y una as´ıntota. De nuevo es un caso particular del anterior. Supongamos que A es el punto y tgA la correspondiente tangente. Sea asint la as´ıntota. Consideramos la recta

- Si P es el centro de C1 y C2 , entonces P es el centro de todas las c´ onicas del haz. Teniendo en cuenta este hecho, veamos como construir las familias de c´ onicas que cumplen algunas de estas condiciones.

r ≡ {recta pasando por A y paralela a asint} El correspondiente haz es:

1. Haz de c´ onicas por cuatro puntos no alineados. Supongamos que A, B, C, D son cuatro puntos no alineados. Consideramos las rectas r1 ≡ AB, r2 ≡ CD; s1 ≡ AC; s2 ≡ BD.

α(r)2 + β(tgA · asint) = 0 3”. Haz de c´ onicas conocidas dos as´ıntotas. De nuevo es un caso particular del anterior. Supongamos que asint1 y asint2 son las dos as´ıntotas. Consideramos la recta:

El correspondiente haz es: α(r1 · r2 ) + β(s1 · s2 ) = 0

r ≡ {recta del infinito} cuya ecuaci´ on homog´enea es t = 0 y af´ın es 1 = 0 (!?). El correspondiente haz es: α(1)2 + β(asint1 · asint2 ) = 0

2. Haz de c´ onicas por tres puntos no alineados y la tangente en uno de ellos. Supongamos que A, B, C son tres puntos no alineados y tgA es la tangente en A. Consideramos las rectas r1 ≡ AB,

r2 ≡ AC;

s ≡ BC.

El correspondiente haz es: α(r1 · r2 ) + β(s · tgA ) = 0 2’. Haz de c´ onicas por dos puntos y una as´ıntota. Es un caso particular del anterior, si pensamos que la as´ıntota es una recta tangente en el punto del infinito. Supongamos que B, C son los puntos y asint es la as´ıntota. Consideramos las rectas r1 ≡ {recta pasando por B y paralela a asint} r2 ≡ {recta pasando por C y paralela a asint}

s ≡ BC.

El correspondiente haz es: α(r1 · r2 ) + β(s · asint) = 0

98

´ Algebra. Departamento de M´etodos Matem´ aticos y de Representaci´ on. UDC.

Tema V. Cap´ıtulo 1. C´ onicas.

9

Ap´ endice: secciones planas de un cono.

C´ onicas no degeneradas.

Elipse.

Hip´erbola.

Par´ abola.

Recta doble.

Un punto.

C´ onicas degeneradas.

Dos rectas.

99