Continuidad. Derivabilidad.
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
1.- CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si:
Lim f ( x) = f (a)
x →a
Para que una función sea continua en un punto se ha de cumplir:
1º ∃f (a )
a ∈ Df
2º ∃ Lim f ( x ) (los límites laterales tienen que ser iguales, pero no ∞) x →a
3º Lim f ( x ) = f (a ) x →a
a
Discontinuidad evitable a ∉ Df
a
Discontinuidad de salto infinito lim f ( x) = ∞ x→a
a
Discontinuidad evitable punto desplazado
a Discontinuidad de salto finito No ∃ lim f ( x) x→a
1.2 FUNCIÓN CONTINUA EN UN INTERVALO Una función es continua en un intervalo abierto, si lo es en todos los puntos de ese intervalo Una función es continua en el intervalo [a,b], si lo es en (a,b), en a por la derecha y en b por la izquierda • Cualquier función (polinómicas, trigonométricas, logarítmicas, irracionales…) es continua en su dominio; por tanto, para estudiar la continuidad de una función es suficiente con calcular su dominio. • El estudio de la continuidad de una función a trozos requiere:
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el estudio de la continuidad de cada función en su recinto de definición o El estudio de la continuidad en los puntos de empalme de los intervalos de definición
o
EJERCICIOS: a) Funciones racionales. 1.- Estudia la continuidad de: y =
x 3 − 2x 2 + x − 2 x2 − x − 2
;
y=
x 3 − 2x 2 x2 − x − 2
b) Funciones a trozos. 2x si x < 1 2.- Representa, estudia la continuidad f(x) = 2 si 1 ≤ x ≤ 2 − x 2 + 4 x si x > 2 y halla los límites cuando x → +∞ y x → −∞ de la función
3.- Estudia la continuidad y representa las funciones: x 2 + 2x + 1 si x < −1 a) f(x) = 2 x + 2 si − 1 ≤ x ≤ 2 2 − x + 8x si x > 2
ex si x ≤ 0 b) f(x) = 1 si 0 < x < 3 2 − x + 3x + 2 si x ≥ 3
4.- Calcula el valor que debe tener k para que la siguiente función sea continua: x + 1 si x ≤ 2 f (x ) = k − x si x > 2
5.- Calcula el valor de k para que cada una de las siguientes funciones sea continua: x 4 −1 si x ≠ 1 x − 1 a) f(x) = k si x = 1
x 2 −1 si x < 1 x − 1 b) f(x) = k si x ≥ 1
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6.- Estudia la continuidad de cada una de las siguientes funciones para los distintos valores del parámetro a:
7.- Calcula a y b para que la siguiente función sea continua: x 2 + ax; x ≤ −1 f(x)= b; −1 < x < 3 2 x + 4; x≥3 8.- Representa, estudia la continuidad y halla los límites cuando x → +∞ y x → −∞ de la función
si x < 0 1 f(x) = x + 1 si 0 < x < 1 x 2 − 2x si 1 ≤ x
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2.- DERIVABILIDAD 2.1
TASA DE VARIACIÓN MEDIA Dada una función y = f(x), se llama tasa de variación media al siguiente cociente incremental: TVM [a , b ] =
f ( b ) − f (a ) b−a
Ejercicios: Halla TVM[-1, 3] en las siguientes funciones. a) f(x) = x2 b) f(x) = 3 x 1 c) f(x )= x−2 2.2
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA La derivada de una función f(x) en el punto x = a (tasa de variación instantánea)es un número que se representa por f ' (a), y que se define como: f (a + h ) − f (a ) f ( x ) − f (a ) = Lim f '(a ) = TVI(a ) = Lim h →0 x →a h x−a Ejercicios: Calcula, aplicando la definición, la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f(x)=x2 en x = - 1 b) f(x)= 3 x en x =0 1 en x =3 c) f(x)= x−2
2.3
DERIVADAS LATERALES
Como la derivada es un límite, se dice que f es derivable en a, cuando existe ese límite por la izquierda, por la derecha, y ambos son iguales (no infinitos). Correspondiéndose con el concepto de límites laterales, están las derivadas laterales, por la izquierda y por la derecha. Y, de la misma manera, aparecen los conceptos de semitangentes en los puntos en los que las derivadas laterales existen (una o ambas). En la gráfica de la figura existen las derivadas laterales en a, pero no coinciden las semitangentes laterales en x =a, por tanto, diremos que la función no es derivable en x =a. Esto sucederá siempre en los puntos angulosos de las funciones. a
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2.4
FUNCIÓN DERIVADA
Diremos que f es derivable en (a,b) si lo es ∀x0∈(a,b) Se llama función derivada f ' de la función f, en (a,b)⊆Dom f, a una función que hace corresponder a cada punto x0∈(a,b) el número real f ' (x0)
2.5
REGLAS DE DERIVACIÓN
FUNCIÓN 1.2.3.4.-
y = f(x) + g(x) y = k · f(x) y = f(x) · g(x) f (x ) y= g( x )
5.6.7.8.9.10.11.-
y = f [g( x )] y=k y=x y = xk y = sinx y = cosx y = tanx
12.13.14.-
y = ax y = ex y = logax
15.-
y = lnx
16.-
y = f (g(x) )
FUNCIÓN DERIVADA y' = f’(x) + g’(x) y' = k · f’(x) y' = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x) f ' ( x )·g( x ) − f ( x )·g' ( x ) y' = [g(x )]2
y' = f ' [g( x )] · g' ( x ) y' = 0 y' = 1 y' = k · xk-1 y' = cosx y' = -sinx y' =1+ tan2x 1 y' = cos 2 x y' = ax · lna y' =ex
1 1 y' = · x ln a 1 y' = x y' = f ' (g(x)) · g '(x)
Ejercicio: Halla la función derivada de las siguientes funciones: 1 a) y = x5 b) y = 4 c) y = x
Regla de la cadena.
5
x3
d) y = 3 7 x 2
e) y = 3x4 – 5x2 + 7x +1
f) y = x3 -
g) y = x2 · e-x x2 − 3 j) y = 2 x +3
h) y = (x3 – 5x) · lnx x3 k) y = ( x + 1) 2
i) y = sinx · 53x+5 5 l) y = 3 x − 3x 2
40
2x +
3 x
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x 3 + 4x − 5 m) y = 7 sin x p) y = cos x s) y = sin2x
t) y = sin x2
v) y = 2 sinx cos x
w) y = sin(sinx)
y) y = sin2(cos7x) 1 − cos x ab) y = 1 + cos x x + 2 ae) y = ln x ah) y = ln(cosx2)
z) y =
2.6
n) y =
ln x ex
1− x 1+ x 5x 2 − 3x + 2 r) y = cos 2x u) y = sin2 x2 1 x) y = cos 3 2 x 3 o) y =
q) y = sin2x
(2 x − 3) 7
aa) y =
3
(5x 2 − 3) 2
ac) y = ln(x2+3x+1)
ad) y = ln(2x )+lnx2-(lnx)2
af) y = e3x + 4x
ag) y = 3sinx
ai) y = ln cos2 x
aj) y = e3x · cos(x2+1)
DERIVACIÓN Y CONTINUIDAD
Si una función f es derivable en un punto a, entonces es continua es dicho punto De esta afirmación podemos extraer las siguientes consecuencias: 1) Si una función no es continua en x = a, entonces no es derivable en dicho punto. 2) Si f(x) es continua en x = a puede ser derivable en x = a o no derivable en x = a 3) Si f(x) es no derivable en x =a puede ser continua en x = a o no continua.
2.7
ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD
Distinguimos entre funciones simples y a trozos. • SIMPLES (dadas por una sola expresión): polinómicas, racionales logarítmicas, exponen-ciales, seno, coseno…Todas ellas son derivables en su dominio, luego el estudio de la derivabilidad queda reducido al cálculo del dominio. En la función irracional y = x es distinto, pues Dom= [0,+ ∞) y es derivable en (0, + ∞) Ante la duda siempre se puede derivar y estudiar el dominio de la función derivada. • A TROZOS. Se procede del siguiente modo: 1.- Se estudia la continuidad de cada función, por separado, en su recinto de definición 2.- Se estudia la continuidad en los puntos de empalme (si en alguno de ellos no es continua, tampoco será derivable. Si es continua hay que seguir con el estudio 3.- Se halla la función derivada sin poner el signo igual en los intervalos de definición 4.- Se estudian las derivadas laterales en los puntos de empalme.
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EJERCICIOS 1.- Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican:
x 2 + 2, x ≤ 1 a) f(x) = x + 2, x > 1 =2 2 − 3x , x ≤ 2 c) f(x) = 2 x − 8, x > 2
2 − 3x , b) f(x) = 2 x − 3,
en x =1
x≤2 x>2
en x
en x = 2
2.- Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones y represéntalas: x 2 − 2x, x < 2 e −x , x ≤ 0 b) f(x) = a) f(x) = 2x − 4, x ≥ 2 1 − x, x > 0
3.- Comprueba que f (x) es continua pero no derivable en x = 2:
4.- Estudia la continuidad y derivabilidad de esta función:
5.- Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones y represéntalas: a. f(x) = | x - 1| c) f(x) = |x – 3 | e) f(x) = x 2 + 6 x + 8
b) f(x) = |x2- 4 | d) f(x) = |x2 – 2x |
6.- Sea la función: f(x) = Calcula m y n para que f sea derivable en todo R.
7.- Calcula a y b para que la siguiente función sea derivable en todo R:
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3.- APLICACIÓN DERIVADAS 3.1 RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN EN UNO DE SUS PUNTOS. EJERCICIOS: 1.- Halla la ecuación de la recta tangente a las funciones siguientes en los puntos cuya abscisa se indica: x 2 − 2x 5x 3 + 7 x 2 − 16 x a) y = en x =3 b) y = en x = 1 x+3 x−2
x + 12 en x = -3
c) y =
e) y = Ln(x +1) en x = 0
d) y = e-x en x = 0
f) y = x lnx
en x = e
2.- Halla las ecuaciones de las rectas tangente a y = x3 + x2 + 2, paralelas a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante. 3.- Halla la ecuación de la recta tangente a y = x3 – 4x + 3, paralela a la bisectriz del 2º y 4º cuadrante.
4.- Halla la ecuación de la recta tangente a y =
2x , paralela a la recta 2x + y = 0. x −1
3.2 RELACIÓN ENTRE LA MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN Y SU DERIVADA • •
Si f ´(x0) > 0→ f es creciente en x0. Si f ´(x0) < 0→ f es decreciente en x0.
EJERCICIOS: 1º.- Estudia la monotonía de las siguientes funciones: a) f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 5, b) f(x) = –3x4 + 4x3
c) f(x) =
8 − 3x x 2 − 2x
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3.3 EXTREMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS Una función f presenta un máximo absoluto (mínimo absoluto) en x0∈A si f(x0)≥f(x) ∀x∈A [f(x0)≤f(x) ∀x∈A] Una función f presenta un máximo relativo (mínimo relativo) en x0∈A cuando ∃E(x0) tal que f(x0)≥f(x) ∀x∈ E(x0) ( f(x0)≤f(x) ∀x∈E(x0) )
(A⊂D) (A⊂D)
3.4 ESTUDIO DE LOS EXTREMOS EN UNA FUNCIÓN Como se observa en la figura, una función definida en el intervalo [a,b] y continua en él, puede presentar extremos en: •Los Puntos Interiores (absolutos o relativos)
Derivables No Derivables
→
•Los Extremos del Intervalo (Absolutos)
a
xo
x1
x2
x3
b
3.4.1 EXTREMOS EN PUNTOS DERIVABLES Llamamos puntos singulares a las raíces de la ecuación f ´(x) = 0. En ellos la recta tangente es horizontal •
Si una función alcanza un Máximo en un punto c∈(a,b) en el que es derivable, se cumple: - f´(c) = 0 - creciente a la izquierda de x = c, decreciente a la derecha de x = c
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•
Si una función alcanza un mínimo en un punto c∈(a,b) en el que es derivable, se cumple: - f´(c) = 0 - decreciente a la izquierda de x = c, creciente a la derecha de x = c
EJERCICIO: Halla los máximos y mínimos relativos de las funciones: a) y = x3 – 3x2 – 9x + 5. b) y = –3x4 + 4x3 c) f(x) =
8 − 3x x 2 − 2x
3.4.2 EXTREMOS ABSOLUTOS Para calcular los extremos absolutos de una función en un intervalo [a,b]: 1º.- Se hallan los extremos relativos en (a,b), según se explica en la pregunta anterior 2º.- se calcula f(a) y f(b) 3º.- se comparan los valores de f(a) y f(b) con los valores máximos o mínimos de la función en (a,b). El mayor de ellos será el máximo absoluto y el menor el mínimo absoluto.
EJERCICIOS: 1.- Determinar el valor máximo y mínimo absoluto de la función f(x)= 3x3 - x - 9 en el intervalo [0,3]. 8 calcula a y b de modo que f pase por el punto x (-2, -6) y tenga tangente horizontal en ese punto.
2.- Dada la función f(x) = ax + b +
3.- Determina la parábola y = ax2 + bx + c que es tangente a la recta y =2x-3 en el punto A(2, 1) y que pasa por el punto B(5, -2) 4.- De la función f(x) =mx3+ nx sabemos que pasa por (1, 1) y que en ese punto tiene tangente paralela a la recta 3x + y =0. a) Halla m y n. b) Determina sus extremos relativos y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. 5.- De la función f(x) = x2+ ax + b se sabe que: - Tiene un mínimo en x =2. - Su gráfica pasa por el punto (2, 2). Teniendo en cuenta estos datos, ¿cuánto vale la función en x = 1? 45
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3.5 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Ejercicios de selectividad.
3.6 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES EJERCICIOS: 1.- a)Representa la función y = f(x), sabiendo que: · Dominio: ℜ − {0} · Corta a OX en x = 1 · Asíntota horizontal y = 0 si x → +∞, y < 0 si x → −∞, y > 0 · Asíntota vertical x = 0 si x → 0 − , y → +∞ si x → 0 + , y → +∞ · Mínimo en (2, -1) b)Di donde crece y donde decrece.
2.- Representa una función que no está definida en x = -3 y tal que: lim f ( x ) = +∞ y lim f ( x ) = −∞ x →( − 3 )−
x →( −3 )+
si x → +∞, f ( x ) < 1 x → ±∞ si x → −∞, f ( x ) > 1 No tiene puntos singulares y es creciente. lim f ( x ) = 1
3.- De una función y = f(x) tenemos la siguiente información: D = ℜ − {1, 4} lim f ( x ) = +∞ y lim f ( x ) = −∞ x →1−
x →1+
lim f ( x ) = −∞
y
x →4−
lim f ( x ) = 0 x → ±∞
lim f ( x ) = +∞
si x → +∞, si x → −∞,
x →4+
f (x) > 0 f (x) < 0
f’(2) = 0; f(2) = -1 f´(-1) = 0; f(-1) = -1 Represéntala.
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4.- Dibuja la gráfica de una función cuyas características son las siguientes:
lim f ( x ) = −∞
lim f ( x ) = +∞
y
x →− ∞
x →+ ∞
f´(x) = 0 si x = -2, x = 0, x = 3, x = 4 f(-2) = 2 ; f(0) = 0; f(3) = 5; f(4) = 4
5.- Dibuja la gráfica de una función que cumple las siguientes propiedades:
lim f ( x ) = −∞ ; x →− ∞
lim f ( x ) = −3 ; x →+ ∞
lim f ( x ) = −∞ x → −5
f(-8) = -2 ; f(0) = 0 es el único punto donde la función se anula. f´(-8) = 0 y la derivada no se anula en ningún otro punto. Además, f(x)<0 para todo x positivo. La función es continua en toda la recta real, excepto en los puntos x = -5 y x = 0.
6.- Representación gráfica de las funciones: a ) f(x) = 3x5 – 5x3. b) f(x) = x3- 3x2 – 9x –5 c) f(x) =
d) f(x) =
e) f(x) =
2x + 2 3x − 3
x
(x − 1)2 (x + 2)2 x2 +1
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