DISTRIBUTION OF THE DIFFERENCE OF TWO INDEPENDENT POISSON

Eksakta: Jurnal Imu-Ilmu MIPA

p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364

Distribution of the Difference of Two Independent Poisson Random Variables and Its Application to the Literate Population Data Atina Ahdika Program Studi Statistika, Universitas Islam Indonesia Jalan Kaliurang Km 14,5 Sleman Yogyakarta [email protected] ABSTRACT Study about the distribution of the function of a random variable, in particular the distribution of the sum of two or more random variables, has been done widely. While studies on the distribution of the difference between two random variables still rarely done, moreover for discrete random variables. This work focuses on the derivation of the distribution of two independent Poisson random variables. The methods used to determine the distribution are method of moment generating function and probability mass function. The properties of the distribution are derived through the characteristics of the k  th moment; the first up to fourth moments in particular. Furthermore, the distribution of the difference of two independent Poisson random variables is compared to the Poisson Difference (PD) distribution of Alzaid and Omair (2010) or also known as Skellam distribution. Parameters of the distribution are estimated using method of moment and maximum likelihood estimation. Application to the literate population data is carried out to get a better understanding about the distribution. Keywords: Poisson distribution, Poisson Difference distribution, moment generating function, probability mass function, method of moment, maximum likelihood estimation. ABSTRAK Kajian mengenai distribusi dari suatu fungsi peubah acak, khususnya mengenai distribusi dari jumlah dua atau lebih peubah acak, sudah banyak dilakukan. Sedangkan kajian mengenai distribusi dari selisih dua peubah acak masih jarang dilakukan, terlebih pada peubah acak-peubah acak diskrit. Penelitian ini berfokus pada penurunan distribusi selisih dua peubah acak Poisson yang saling bebas. Metode yang digunakan untuk menentukan distribusi tersebut adalah metode fungsi pembangkit momen dan metode fungsi massa peluang. Karakteristik-karakteristik dari distribusi diturunkan melalui sifat-sifat dari momen ke- k ; khususnya dari momen pertama hingga momen keempat. Selanjutnya, distribusi dari selisih dua peubah acak Poisson yang saling bebas ini akan dibandingkan dengan distribusi Poisson Difference (PD) yang diturunkan oleh Alzaid dan Omair (2010) atau dikenal juga dengan nama distribusi Skellam. Parameter-parameter dari distribusi diestimasi menggunakan metode momen dan maksimum likelihood. Aplikasi pada data penduduk melek huruf dilakukan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih baik mengenai distribusi tersebut. Kata Kunci: distribusi Poisson, distribusi Poisson Difference, fungsi pembangkit momen, fungsi massa peluang, metode momen, metode maksimum likelihood.

Pendahuluan Salah satu konsep dasar yang harus dipahami dan berperan penting dalam ilmu statistika adalah distribusi peluang suatu data. Pemahaman mengenai hal

tersebut sangat penting untuk diketahui ketika

seseorang

harus

berhadapan

dengan serangkaian data dan menentukan langkah yang tepat untuk menangani data yang tersedia.

Distribution of the Difference of Two Independent Poisson Random Variables and Its Application to the Literate Population Data (Atina Ahdika)

61

Eksakta: Jurnal Imu-Ilmu MIPA Berdasarkan

sampelnya,

Poisson saling bebas dengan parameter

distribusi peluang suatu data dibagi

yang sama. Kemudian terdapat pula

menjadi dua, yaitu distribusi kontinu dan

pembahasan mengenai distribusi serupa

distribusi diskrit. Ada banyak kajian yang

yang dikenal dengan nama distribusi

berkaitan

dengan

distribusi-distribusi

Poisson Difference (PD) yang diturunkan

tersebut,

salah

satunya

adalah

oleh Alzaid dan Omair (2010) atau

menentukan bentuk distribusi dari suatu

dikenal juga dengan nama distribusi

peubah acak bila ia dikenai suatu fungsi

Skellam, di mana distribusi tersebut

tertentu. Fungsi dari peubah acak yang

melibatkan

paling sederhana dan paling masuk akal

dalamnya. Untuk itu, di dalam paper ini

(bermakna)

dalam

akan dibahas juga kaitan antara distribusi

suatu data adalah penjumlahan atau

selisih dua peubah acak Poisson yang

pengurangan dari dua peubah acak.

saling

Secara khusus, kajian mengenai distribusi

tersebut.

ketika

ruang

p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364

diterapkan

peubah

bebas

acak

dengan

ketiga

distribusi

di

PD

jumlah dua atau lebih peubah acak sudah banyak dipelajari dan mudah diturunkan. Sedangkan distribusi selisih peubah acak masih jarang dilakukan. Pada umumnya, kejadian dalam kehidupan sehari-hari berkaitan dengan kejadian yang terhitung (diskrit). Berdasarkan kedua hal tersebut, maka dalam penelitian ini akan dilakukan formulasi terhadap distribusi dari selisih dua peubah acak diskrit, khususnya selisih dua peubah acak Poisson yang saling bebas. Selain itu akan diturunkan pula karakteristik-karakteristik distribusi, penaksiran parameter, serta aplikasi dari distribusi tersebut pada data real.

Terdapat beberapa aplikasi dari distribusi Poisson Difference ini; Karlis dan Ntzoufras (2000) mengaplikasikan distribusi tersebut untuk memodelkan perbedaan

banyaknya

gol

dalam

permainan sepak bola, Hwang et al (2007) mengukur perbedaan intensitas piksel dalam kamera. Pada paper ini akan dilakukan aplikasi dari distribusi selisih dua peubah acak Poisson saling bebas pada persentase melek huruf di atas 15 tahun berdasarkan golongan umur dan daerah tempat tinggal untuk melihat peluang

kenaikan

serta

penurunan

persentasenya tiap tahun. Pada penelitian terdahulu, J.O. Irwin (1937) telah membahas mengenai distribusi dari selisih dua peubah acak Distribution of the Difference of Two Independent Poisson Random Variables and Its Application to the Literate Population Data (Atina Ahdika)

62


p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364

Tujuan Penelitian 1.

Distribusi Poisson

Memformulasikan distribusi selisih

dikatakan

X

berdistribusi Poisson jika X menyatakan

saling

banyaknya hasil (sukses) pada selang

bebas

dan

Mempelajari tersebut

menurunkan

kaitan

dengan

waktu tertentu (daerah tertentu). Sifat-

distribusi

distribusi

PD/

sifat distribusi Poisson adalah: 1.

distribusi Skellam. 3.

acak

dua peubah acak Poisson yang

karakteristik-karakteristiknya. 2.

Peubah

Melakukan

suatu selang waktu atau daerah

estimasi

tertentu tidak terpengaruh (bebas

parameter

dari) apa yang terjadi pada selang

distribusi selisih dua peubah acak Poisson

yang

Banyaknya hasil yang terjadi dalam

saling

waktu

bebas

daerah

lain

yang

suatu

hasil

terpisah.

menggunakan metode momen dan maksimum likelihood.

atau

2.

Peluang

terjadinya

(tunggal) dalam selang waktu yang 4.

Mengaplikasikan konsep distribusi

amat pendek atau dalam daerah

selisih dua peubah acak Poisson

yang

yang saling bebas ke dalam data

kecil

sebanding

dengan

panjang selang waktu atau besarnya

real, yaitu data persentase melek

daerah dan tidak bergantung pada

huruf penduduk di atas 15 tahun

banyaknya hasil yang terjadi di luar

berdasarkan golongan umur dan

selang waktu atau daerah tersebut.

daerah tempat tinggal. 3. Landasan Teori

Peluang terjadinya lebih dari satu hasil dalam selang waktu yang pendek atau daerah yang sempit

Kebebasan Peubah Acak

tersebut dapat diabaikan. Peubah acak merupakan fungsi yang memetakan anggota ruang sampel

Suatu peubah acak X berdistribusi Poisson

ke himpunan bilangan riil: X : S  R

dengan

dinotasikan Dua peubah acak

X1

dan

X2

parameter

dengan



atau

X ~ POI  

jika

fungsi massa peluangnya adalah

dikatakan saling bebas jika dan hanya jika: P  X 1  x1 , X 2  x 2   P X 1  x1   P X 2  x 2 

P  X  x   e 

x x!

, x  0, 1, 2,  ,   0


63

Eksakta: Jurnal Imu-Ilmu MIPA Sedangkan

fungsi

p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364 distribusi

kumulatifnya adalah k

PX  x  

e  

x0

x

 P( Z  z )  e  1  2   1  2

z/2

  I z 2  1 2 ,  z   ,  1, 0, 1, 





dengan

x!

k

x I y x      2

Berikut adalah karakteristik dari distribusi Poisson:

y 

 k 0

1. Nilai mean dan variansinya sama,yaitu

I y x

E  X   Var  X   

pertama termodifikasi.

2. Nilai skewness (kemiringan data) lebih

Pembahasan

 x2     4    k !  y  k !

merupakan fungsi Bessel jenis

besar dari nol, yang berarti bahwa data Distribusi Selisih Dua Peubah Acak

menceng ke kanan.

Poisson yang Saling Bebas 3. Nilai kurtosis (kelancipan data) lebih Pada

besar dari tiga, yang berarti bahwa nilai data-datanya

mengumpul

di

sekitar

bagian

diformulasikan

ini

mengenai

akan distribusi

selisih dari dua peubah acak Poisson

meannya.

yang saling bebas. 4. Fungsi pembangkit peluangnya adalah M X t   e  e

t

1

Misalkan X 1 ~ POI  1  saling bebas



X 2 ~ POI  2  .

dengan Distribusi Poisson Difference (PD) Alzaid

dan

mendefinisikan

Omair

distribusi

Z  X 1  X 2 , maka distribusi dari peubah

(2010) Poisson

Difference sebagai berikut Definisi

1.

Misalkan

sebagai

acak

Z

dapat

ditentukan

dengan

menggunakan kedua teknik berikut: Teknik Fungsi Pembangkit Momen

terdapat

pasangan peubah acak  X , Y  yang bisa dituliskan

Misalkan

X  W1  W3

adalah sebagai berikut

dan

Y  W2  W3 dengan W1 ~ POI 1  saling

bebas dengan W2 ~ POI  2  dan

Fungsi pembangkit momen dari Z

W3

      E e  Ee   E e  e

M Z t   E e tZ  E e t  X 1  X 2  tX 1

 tX 2

 e  1  2 1e

t

tX 1

 tX 2

 2 e  t

sebarang distribusi, maka fungsi massa peluang dari Z  X  Y diberikan Distribution of the Difference of Two Independent Poisson Random Variables and Its Application to the Literate Population Data (Atina Ahdika)

64


p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364

Bentuk fungsi pembangkit momen tersebut

tidak

pembangkit

sama

dengan

momen

dari

fungsi

distribusi

Poisson. Teknik Fungsi Massa Peluang Fungsi massa peluang dari peubah acak Z diperoleh dari penurunan berikut P Z  k   P  X 1  X 2  k  



 PX

1

 X 2  k | X 2  n P X 2  n

n 0 



f

X1

n  k  f X n  2

Gambar 1. Simulasi Numerik

n 0 



e  

1

1

nk

n  k !

n 0



 e   1   2 

1

e  2

n k

2

2

n

n!

Sifat P Z  k | 1 ,  2   PZ   k |  2 ,  1  ,

n

 n  k ! n!

sehingga:

n 0

Jika Z   k , maka fungsi peluangnya adalah:

Berdasarkan

P Z   k   P  X 1  X 2   k  



 P X

1

PZ  k |  1 ,  2  P Z   k |  2 ,  1    1   PZ   k |  1 ,  2  P Z   k |  1 ,  2    2

 X 2   k | X 2  n  P X 2  n 

hubungan

  

k

tersebut,

maka fungsi massa peluang dari distribusi selisih dua peubah acak Poisson yang

n 0 



f

X1

saling

n  k  f X n 2

n 0 





e 1

n 0

 e  1  2 

1n  k

n  k ! 

e  2

bebas

dapat

diturunkan

dan

diperoleh yaitu sebagai berikut:

 2n n!

1 n k  2 n

 n! n  k ! n0

Selanjutnya,

terdapat

P Z  k | 1 ,  2   PZ   k |  2 ,  1 

sifat yang

ditunjukkan oleh hasil simulasi berikut:


65


  PZ  k | 1 ,  2   PZ  k | 1 ,  2   1   2   e 1 2 

p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364 Berdasarkan sifat unik dari suatu

k

distribusi

1nk 2 n  1 



 n!n  k !  n 0

k 2 

  e 1 2   1   2 

1

k

n

 2  1

 n!n  k ! 

n 0 k 2 

  e 1 2   1   2 

n

1  2

n k

2

n 0



k 2

 

 1

 n  k ! n! 

k

2

k 2

 

k 2

  e 1 2   1  I k 2 1 2  2 



perhitungan



dapat

disimpulkan

bahwa

distribusi

selisih dua peubah acak Poisson yang saling bebas bukan merupakan distribusi Poisson. Selanjutnya kita akan menyebut distribusi tersebut sebagai distribusi Beda

2n k

   2  1 2 1/ 2  e 1 2   1    2  n0 n! n  k  !



hasil

menggunakan dua teknik tersebut, maka

 2 

n k

dan



Poisson saling bebas dengan parameter

1 ,  2  . Berikut adalah grafik sebaran data, fungsi

massa

peluang,

serta

fungsi

dengan I z (x ) adalah fungsi Bessel jenis

distribusi kumulatif dari distribusi Beda

pertama termodifikasi.

Poisson saling bebas.

Fungsi massa peluang tersebut sama dengan fungsi massa peluang distribusi

Poisson

Difference

pada

Definisi 1. Perbedaan dan kaitan antara distribusi selisih dua peubah acak Poisson saling bebas dengan distribusi Poisson Difference ini akan dibahas pada bab selanjutnya. Jika dilihat dari bentuknya, fungsi

Gambar 2. Sebaran Data Berdistribusi Beda Poisson Saling Bebas

peluang tersebut memiliki bentuk yang berbeda dengan fungsi peluang dari distribusi Poisson.


66


p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364

Gambar 3. Fungsi Massa Peluang Distribusi Beda Poisson Saling Bebas dengan  1   2 dan  1   2

Gambar 4. Fungsi Distribusi Kumulatif Beda Poisson Saling Bebas dengan  1   2 dan  1   2

Gambar 2 menunjukkan bahwa

dan  1   2 . Berdasarkan grafik tersebut

sebaran data berdistribusi Beda Poisson

dapat

saling bebas berada di sekitar nilai selisih

terbesarnya (modus) berada pada data

parameternya,

Berbeda

dengan nilai di sekitar 1   2 . Selain itu,

dengan distribusi Poisson, pada distribusi

dari Gambar 4 dapat dilihat bahwa

Beda Poisson saling bebas terdapat juga

kenaikan nilai peluang terbesar berada

kemungkinan

negatif.

pada data yang nilainya di sekitar 1   2 .

Selanjutnya pada Gambar 3, ditampilkan

Dengan demikian, dapat disimpulkan

pola fungsi massa peluang dari distribusi

bahwa distribusi Beda Poisson saling

Beda Poisson saling bebas dengan  1   2

bebas bersifat unimodal.

yaitu

data

1   2 .

bernilai

dilihat

bahwa

nilai

peluang


67

Eksakta: Jurnal Imu-Ilmu MIPA Selanjutnya,

akan

p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364

ditentukan

karakteristik-karakteristik dari distribusi

3.

Momen ke-3



Beda Poisson saling bebas melalui sifat-

3



E  X 1  X 2   M "' X 1  X 2 0 

Momen

ke- k

dari

distribusi



 1   2   3  1 2   2 2

sifat momen ke- k dari distribusi tersebut.

  1   2 

Beda

Poisson saling bebas diperoleh dengan

4.

menggunakan turunan ke- k dari fungsi

E  X 1  X 2 4  M iv X 1  X 2 0 

Momen ke-4







2

 6 1   2

t  0 , yaitu

  1   2  t0 

dk dt



e k t 0 

 1   2  1e t  2 e t

 

  1   2   6  1 2   2 2

pembangkit momen X 1  X 2 pada saat

M k X 1  X 2 t 

 



3

Secara

visual,

2

1



  2    1   2 2

4

momen

ke- k

dari

distribusi Beda Poisson saling bebas Dengan teknik tersebut, diperoleh

ditampilkan oleh Gambar 5 berikut.

momen pertama hingga momen keempat

Berdasarkan Gambar 5 dapat dilihat

sebagai berikut: 1.

bahwa untuk 1   2 momennya akan

Momen ke-1

selalu bernilai positif, sedangkan untuk

E  X 1  X 2   M ' X1  X 2 0    1   2

2.

 1   2 memungkinkan nilai momen yang

Momen ke-2



E X 1  X 2 

2

 M

negatif.

0 2   1   2    1   2  "

X1 X 2

(a)


68


p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364

(b) Gambar 5. Momen ke- k Distribusi Beda Poisson Saling Bebas; (a)  1   2 , (b) 1   2 Dari keempat momen tersebut, diperoleh karakteristik dari distribusi Beda Poisson saling bebas yang meliputi mean, variansi, skewness, serta kurtosis dari Z  X 1  X 2 yaitu 1.

Mean

(a)

E Z   E  X 1  X 2    1   2

2.

Variansi Var Z   Var  X 1  X 2 



2



 E  X 1  X 2   E  X 1  X 2 

2

 1   2

Berbeda dengan distribusi Poisson, mean dan variansi dari distribusi Beda

(b)

Poisson saling bebas tidak memiliki nilai

Gambar 6. Mean vs Variansi; (a) 1   2 ,

yang sama. Secara visual, mean dan

(b) 1   2

variansi dari distribusi Beda Poisson saling bebas ditunjukkan oleh Gambar 8.

Gambar 6 merupakan plot mean dan variansi distribusi Beda Poisson saling bebas dengan parameter 1   2 dan 1   2 menggunakan sampel acak sebanyak n  10, 100, 1000, 10000 . Dari plot


69


p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364

bisa dilihat bahwa baik mean maupun

Untuk peubah acak Poisson yang

variansi sampel distribusi Beda Poisson

tidak saling bebas, misalkan X ~ POI 1 

saling bebas akan semakin mendekati

dan

nilai parameternya untuk n yang semakin

menyatakan fungsi peluang bivariatnya,

membesar. Nilai meannya akan selalu di

yaitu

bawah variansinya baik  1   2 maupun  1   2 (underdispersion).

Y ~ POI  2  ,

P  X  x , Y  y   e  1  2 3  min( x , y )

3.

R.

Skewness

 k 0

Vernic

(1997)

1 x  2 y x!

y!

 x   y   3     k !   k   k    1 2

  

k

3

 Z     1   2 Z    1  E   3         1   2  2

Sedangkan fungsi peluang bersama untuk dua peubah acak Poisson yang

4.

Kurtosis

saling bebas adalah



 Z  Z  1  E     

  

4

 1  3    1 2   1   2 

P  X  x, Y  y   e  1  2 

Dari Nilai

skewness

dan

fungsi

1 x  2 y x!

peluang

y!

bivariat

kurtosis

Poisson dan fungsi peluang bersama dua

distribusi Beda Poisson saling bebas

peubah acak Poisson yang saling bebas,

antara suatu sampel dengan sampel yang

kita bisa melihat peranan dari korelasi di

lain berbeda-beda tergantung dengan

antara

besarnya 1 dan  2 .

(dinotasikan sebagai f  ) yaitu sebagai

Kaitan antara Distribusi Beda Poisson Saling Bebas dengan Distribusi Poisson

kedua

peubah acak tersebut

berikut P  X  x , Y  y   P X  x  PY  y  f  x

y

   e  1  2  1 2 f  x! y!

Difference Berdasarkan Definisi 1, terdapat peubah acak

ketiga pada

distribusi

Poisson Difference yaitu W3 dengan

Dengan demikian nilai dari f  dapat diperoleh, yaitu

sebarang distribusi, sehingga dalam hal ini kita tidak bisa mengatakan bahwa

min( x , y )

f    e 3

 k 0

 x  y  3     k !   k   k    1 2

  

k

peubah acak X dan peubah acak Y saling bebas.


70


p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364

Ambil salah satu kasus, misalkan

Penaksiran Parameter

f  apabila

min( x, y )  x , maka fungsi

Pada tulisan ini, metode yang

dijabarkan akan menjadi min( x , y )

f    e

 3

 k 0

x

 e  3

 k 0 x

e

 3

 k 0

e

 3

digunakan untuk mengestimasi parameter

 x y  3     k !   k   k    1 2

  

distribusi Beda Poisson saling bebas

k

adalah metode momen dan maksimum

  x! y! k !  3 k ! ( x  k )! k ! ( y  k )!   1 2 y!   3 x!  k ! ( x  k )! ( y  k )!   1 2

 1  xy   3     1 2 

   

   

k

likelihood. Metode Momen

k

 y!   3      ( y  x )!   1 2 

  

x

Pada distribusi Bivariat Poisson,

saling

bebas

identik

dan

Var( Z )  S 2   1   2

( 1   3 )( 2   3 )

fungsi

yang

E ( Z )  Z  1   2

f   1 . Ini berarti bahwa jika korelasinya

maka

adalah

Z1 , Z 2 ,  , Z n

sampel acak dari distribusi Beda Poisson

3

Jika nilai  3  0 maka  X ,Y  0 dan

nol,

Misalkan

independen, maka

nilai korelasinya adalah  X ,Y 

   

Bivariat

Poisson

Dengan persamaan

mensubstitusikan kedua tersebut

nilai

penaksir untuk 1 dan  2 yaitu

merupakan fungsi peluang bersama dari

1 2 S Z 2 1  S2  Z 2

ˆ1 MM 

dua peubah acak Poisson yang saling

ˆ2 MM

bebas. Berdasarkan hal tersebut, maka

diperoleh

 

 

Metode Maksimum Likelihood

distribusi Beda Poisson saling bebas merupakan kasus khusus dari distribusi Poisson Difference di mana peubah acak ketiganya,

yaitu

W3 ,

sebarang dengan  3  0 .

berdistribusi

Misalkan

Z1 , Z 2 ,  , Z n

adalah

sampel acak dari distribusi Beda Poisson saling

bebas

yang

identik

dan

independen, maka fungsi likelihoodnya adalah n

L  1 ,  2  

 PZ

i

 zi 

i 1

zi        1  2  1 2    e    I zi 2  1 2    2 i 1    Distribution of the Difference of Two Independent Poisson Random Variables and Its Application to the Literate Population Data (Atina Ahdika) 71 n







Eksakta: Jurnal Imu-Ilmu MIPA Selanjutnya

fungsi

p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364

likelihood

tersebut di-ln-kan sebagai berikut

Distribusi Beda Poisson saling bebas

ini

diaplikasikan

pada

data

persentase penduduk berumur 15 tahun n

ln L 1,2   ln

 i 1

zi        2 1  e 1 2   I zi 2 12  2   



n



n

    



ke atas yang melek huruf menurut golongan umur dan daerah tempat tinggal

      2 ln   ln  

dari tahun 2000 sampai 2014. Data ini

 lnI 2   

Statistik (BPS) Indonesia.

1

i 1 n



zi

2

1

2

i 1

zi

1 2

diperoleh dari repositori data Badan Pusat

i 1

ln L  1 ,  2 

Gambar 7 berikut menunjukkan

tersebut diturunkan terhadap 1 dan  2

plot data persentase dan selisih persentase

Kemudian

fungsi

sehingga diperoleh penaksiran parameter untuk kedua parameter tersebut yaitu

penduduk melek huruf pada waktu t dan t 1.

Selisih

menunjukkan ˆ1 MLE  ˆ2 MLE  z

penurunan

persentase

tersebut

kenaikan

maupun

persentase

banyaknya

penduduk melek huruf dari tahun ke Aplikasi

tahun. Tabel 1. Statistik Deskriptif Selisih Persentase Melek Huruf Penduduk di Atas 15 Tahun

(a)

Daerah

Mean

Variansi

Kota Desa

0.2379 0.5221

0.2579 0.7602

Maks Selisih % 1.34 2.57

Min Selisih % -0.63 -0.81

Statistik deskriptif dari data selisih persentase melek huruf disajikan dalam Tabel 1. Berdasarkan (b)

statistik

deskriptif

tersebut, terlihat bahwa secara umum di pedesaan rata-rata kenaikan persentase

Gambar 7. Persentase dan Selisih: Persentase Melek Huruf (a), Penduduk di Atas 15 Tahun (b)

melek huruf dari tahun ke tahun lebih besar daripada di perkotaan. Namun penurunan

persentase

terbesar


juga

72


p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364

terjadi di pedesaan, tepatnya pada tahun 2006. Selanjutnya, distribusi

data

menggunakan

parameter tersebut

metode

ˆ1 MM

ˆ2 MM

ˆ1 MLE

ˆ2 MLE

Kota Desa

0.2479 0.6412

0.01 0.119

0.201 0.501

0.01 0.01

dari

diestimasi

momen

Daerah

Dengan

menggunakan

estimasi

parameter tersebut kemudian dihitung

dan

peluang selisih persentase melek huruf

maksimum likelihood dengan bantuan

penduduk di atas 15 tahun untuk daerah

software MATLAB dan diperoleh hasil

perkotaan dan pedesaan.

Tabel 2. Estimasi Parameter Distribusi Selisih Persentase Melek Huruf Penduduk di Atas 15 Tahun

Gambar 8. Sebaran Peluang Selisih Persentase Melek Huruf Penduduk di Atas 15 Tahun di Perkotaan dan Pedesaan Berdasarkan

Gambar

8,

dapat

dilihat bahwa besar peluang untuk selisih

persentase melek huruf yang cukup berarti.

persentase melek huruf penduduk di atas 15 tahun baik menggunakan metode momen maupun maksimum likelihood memberikan hasil sebaran peluang yang hampir sama. Peluang tertinggi terjadi ketika

kenaikan

ataupun

penurunan

persentase melek huruf berada di sekitar nilai nol, artinya dari tahun ke tahun mulai tahun 2000 sampai 2014 tidak terjadi

kenaikan

maupun

penurunan

Namun, secara umum, persentase kenaikan melek huruf memiliki peluang yang

lebih

besar

penurunannya.

Hal

dibandingkan ini

ditunjukkan

dengan lebih tingginya peluang dari z yang bernilai positif daripada z negatif. Dalam

hal

menyatakan

ini

peubah

besar

selisih

acak

Z

persentase

penduduk melek huruf. Selain itu, bila dibandingkan antara perkotaan dengan pedesaan, ternyata peluang kenaikan


73


p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364

persentase melek huruf di pedesaan lebih

persentase melek huruf penduduk di

besar daripada di perkotaan. Hal ini

atas 15 tahun di perkotaan dan

mungkin saja terjadi karena saat ini

pedesaan.

pembangunan sumber daya manusia di

estimasi,

pedesaan lebih diprioritaskan daripada di

bahwa penaksiran parameter dan

perkotaan.

peluang selisih persentase melek

diperoleh

hasil

kesimpulan

huruf baik menggunakan metode

Kesimpulan

momen

Berdasarkan analisis

Berdasarkan

yang

pembahasan

dan

dilakukan,

dapat

maupun

maksimum

likelihood memberikan hasil yang sama baiknya.

disimpulkan beberapa hal sebagai berikut Pustaka 1.

Distribusi selisih dua peubah acak

memiliki jenis distribusi lain yang

Alzaid, A., Omair, M. 2010. On The Poisson Difference Distribution Inference and Applications. Bull. Malays. Math. Sci. Soc. (2) 33(1), 17-45.

dalam paper ini dinamakan distribusi

Badan Pusat Statistik (BPS).

Beda Poisson saling bebas.

http://www.bps.go.id/Subjek/view/id/28# subjekViewTab3|accordiondaftar-subjek1. Diakses pada 15 Desember 2015.

Poisson yang saling bebas tidaklah berdistribusi

2.

Poisson

namun

Distribusi Beda Poisson saling bebas merupakan

kasus

khusus

dari

distribusi Difference Poisson (PD) /distribusi

Skellam

parameter

dari

di

mana

peubah

acak

ketiganya bernilai nol,  3  0 . 3.

Estimasi parameter dapat dilakukan dengan

menggunakan

metode

Karlis, D., Ntzoufras, I. 2000. Discrete Distribution with Applications in Sports. Department of Statistics Athena University of Economics and Bussiness, Technical Report.

dan penyelesaiannya dapat dilakukan

Karlis, D., Ntzoufras, I. 2006. Bayesian Analysis of The Differences of Count Data. Wiley InterScience.

secara

Ross,

momen dan maksimum likelihood

numerik

dengan

bantuan

MATLAB. 4.

Irwin, M. 2006. Moment Generating Function. Statistics 110. Harvard : Summer 2006.

Distribusi Beda Poisson saling bebas

S. 2007. Introduction to Probability Models, 9th Edition. Berkeley California: University of California. Hal. 32, 51, 53, 66, 307.

ini diaplikasikan pada data besarnya Distribution of the Difference of Two Independent Poisson Random Variables and Its Application to the Literate Population Data (Atina Ahdika)

74


p. ISSN: 1411-1047 e. ISSN: 2503-2364

Vernic, R. 1997. On The Bivariate Generalized Poisson Distribution. ASTIN Bulletin, Vol. 27, Issue 01, May 1997, pp 23-32. Walpole, R., Myers, R. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi ke-4 (Terjemah). Bandung: Penerbit ITB. Hwang, Y., et al. 2007. Sensor Noise Modeling Using the Skellam Distribution: Application to the Color Edge Detection. IEEE Conference on Computer Vision and Patern Recognition, pp 1 – 8.


75

DISTRIBUTION OF THE DIFFERENCE OF TWO INDEPENDENT POISSON

Recommend Documents