FUNGSI GELOMBANG Persamaan Schrödinger Kuantitas yang diperlukan dalam mekanika kuantum adalah fungsi gelombang partikel Ψ. Jika Ψ diketahui maka informasi mengenai kedudukan, momentum, momentum sudut, dan energi dari partikel dapat diperoleh. Hal ini ditegaskan oleh postulat pertama mekanika kuantum, yang berbunyi: “Setiap keadaan suatu sistem yang dapat diamati secara fisika di dalam mekanika kuantum dapat dijelaskan oleh suatu fungsi keadaan yang berisi sejumlah informasi yang dapat diperoleh secara fisika mengenai keadaan sistem tersebut”
Fungsi gelombang Ψ, diperoleh dengan memecahkan persamaan Schrödinger. Persamaan Schrödinger merupakan persamaan pokok dalam mekanika kuantum. Untuk mendapatkan persamaan Schrödinger, kita mulai dari persamaan gelombang paket yang telah diperoleh sebelumnya.
Ψ ,
=
Dari postulat de Broglie, kuantum Einstein bahwa
=
=&
, maka diperoleh
= ℏ . Dari teori
= ℎ! dan " = 2$!, diperoleh " =
(1) menjadi Ψ ,
dan =
' (
% /ℏ
(
% ℏ
1
maka persamaan 2
dengan & adalah konstanta normalisasi. Persamaan ini memberikan deskripsi matematis yang ekivalen dari partikel bebas yang berenergi total E dan momentum p. Mendiferensialkan persamaan (2) terhadap t diperoleh *Ψ , *
, =− & ℏ
' (
(
Oleh karena partikel bebas berenergi *Ψ , *
=−
, & 20ℏ
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
' ( (
(
% /ℏ
=
.
/
3
maka
% /ℏ
(
4
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
Mendiferensialkan persamaan (2) dua kali terhadap x , diperoleh *Ψ , *
* Ψ , *
=
, & ℏ
=−
1 & ℏ
' ( (
% /ℏ
' ( (
(
5
% /ℏ
(
6
Dari persamaan (4) dan (6), kemudian diperoleh ,ℏ
*Ψ x, t ℏ * Ψ x, t =− * 20 *
7
Ini adalah persamaan Schrödinger satu dimensi untuk partikel bebas, bentuk tiga dimensinya adalah ,ℏ ,ℏ ,ℏ
*Ψ x, y, x, t ℏ * Ψ x, y, z, t * Ψ x, y, z, t * Ψ x, y, z, t =− 8 + + = * 20 * *; *< *Ψ x, y, x, t ℏ * =− 8 20 * *
+
* * + = Ψ x, y, z, t *; *<
*Ψ x, y, x, t ℏ =− ∇ Ψ x, y, z, t * 20
@.
dengan ∇ adalah operator laplasian, ∇ = @
.
@.
@.
+ @A . + @B .
8
Perhatikan kembali persamaan (3) ! *Ψ , * ,ℏ
*Ψ , *
, =− & ℏ =&
' ( ' (
( (
(
% /ℏ % /ℏ
3
(
Tampak bahwa untuk memperoleh energi partikel yaitu dengan mengoperasikan @
,ℏ @ terhadap Ψ ,
.
Lalu perhatikan persamaan (5) ! *Ψ , *
=
, & ℏ
' ( (
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
% /ℏ
(
5
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
−,ℏ
*Ψ , *
=&
' ( (
% /ℏ
(
Tampak pula bahwa untuk memperoleh momentum partikel adalah dengan mengoperasikan
−,ℏ
@
@
Ψ ,
terhadap
.
Dengan
demikian,
terdapat
korespondensi antara energi E, momentum p, dan operator diferensial, yaitu → ,ℏ
* *
( → −,ℏ
* *
Jika partikel bergerak dalam potensial D =
( +D 20
maka energinya
dan persamaan Schrödinger dalam satu dimensinya menjadi ,ℏ
*Ψ x, t ℏ * Ψ x, t =− +D 20 * *
Ψ x, t
9
dan dalam tiga dimensinya menjadi ,ℏ
*Ψ x, y, z, t ℏ =− ∇ Ψ x, y, z, t + D 20 *
, ;, <,
Ψ x, y, z, t
10
Persamaan (9) dapat dituliskan sebagai ,ℏ
*Ψ x, t = GΨ x, t *
11
dengan H adalah Hamiltonian G=−
ℏ ∇ +V x 20
12
Energi Potensial D atau disebut Potensial saja, dapat berupa fungsi dalam ruang dan waktu, D , ;, <, . Begitu fungsi dari D diketahui maka persamaan
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
Schrödinger dapat dipecahkan untuk memperoleh fungsi gelombang partikel Ψ. Persamaan Shcrödinger yang diperoleh ini, didasarkan pada dua asumsi, yaitu: 1. 2.
Gejala-gejala kreasi atau pembentukan serta destruksi bagi partikel-partikel materi diabaikan, artinya jumlah partikelnya tetap. Kecepatan gerak partikelnya dianggap cukup kecil sehingga tidak memerlukan teori relativitas (non relativistik).
Arti Fisis dari Fungsi Gelombang Pada gelombang mekanik, misalnya gelombang pada tali, persamaan gelombang dinyatakan dengan y (x,t) dengan y menyatakan pergeseran suatu titik pada tali terhadap sumbu x sedangkan x menyatakan posisinya terhadap sumbu y. t menyatakan waktu. Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang suatu partikel dinyakan dengan: Ψ=Ψ ,
Fungsi gelombang Ψ bersesuaian dengan y untuk persamaan gelombang pada tali. Namun, Ψ bukanlah kuantitas yang dapat diukur seperti y. Fungsi gelombang Ψ , dapat berupa fungsi kompleks. Pertanyaannya, apa arti fisis fungsi gelombang tersebut? Jawaban dari pertanyaan ini diberikan oleh Max Born yang menginterpretasikan bahwa Ψ , sendiri tidak memiliki arti fisis. Namun, kuadrat dari harga mutlaknya, |Ψ , | berharga real, dan memiliki interpretasi probabilitas. Secara lengkap, interpretasi Max Born dinyatakan sebagai Postulat kedua mekanika kuantum, yang berbunyi: “Jika suatu sistem kuantum direpresentasikan oleh fungsi gelombang maka J K = |Ψ| K merupakan probabilitas bahwa pengukuran kedudukan suatu partikel pada saat t, akan ditemukan pada elemen volume K” |Ψ , |Ψ ,
| = Ψ∗
,
Ψ ,
≡J
,
| → rapat probabilitas menemukan partikel pada titik , pada waktu t
Dengan demikian, jika di dalam ruang terdapat partikel maka rapat probabilitas menemukannya dalam seluruh ruang adalah satu. J ,
=1
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
13
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
Fungsi gelombang yang memenuhi persamaan (13) dikatakan ternormalisasi. |Ψ , Ψ∗
|
,
=1
Ψ ,
=1
14
Contoh 1 Partikel bergerak sepanjang sumbu x pada suatu waktu tertentu dinyatakan dengan fungsi gelombang Ψ
=N
| |
sin R
Tentukan fungsi gelombang ternormalisasinya ! Solusi Fungsi gelombang partikel diberikan oleh Ψ
=S
N N
sin R , untuk sin R , untuk
< 0X >0
Maka kuadrat dari fungsi gelombangnya Ψ∗
= |Ψ
Ψ
Tampak bahwa |Ψ
| =S
N N
+
N
sin R , untuk sin R , untuk
< 0X >0
| adalah fungsi genap, karena |Ψ − | = |Ψ
|
Syarat normalisasi
Y
2N 2N
|Ψ N
Y Y
|
=1
sin R
sin R
8
Z
− 2,
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
Y
=1
Z
=
sin R
=1
=1
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
− − − −
N 2 N 2
Y Y
[
[
Z
+
Z
+
Z
− 2\
Z
=1
−2
\
Z Z N 2 ] + − ] =1 2 2,R − 2 − 2,R + 2 −2 Y Z Z N ] − + 2 2,R − 2 2,R + 2
N 1 1 ^ − + 1_ = 1 2 2,R − 2 2,R + 2
=1
] =1 Y
4 N ^− + 1_ = 1 2 4R + 4 N 8
R ==2 R +1
N=`
2R + 2 R
Fungsi gelombang ternormalisasinya adalah Ψ
2R + 2 =` R
| |
sin R
Nilai Ekspektasi
Sekali lagi, jika fungsi gelombang Ψ sudah diperoleh maka semua informasi tentang partikel itu yang diijinkan oleh prinsip ketidakpastian, dapat diperoleh. Lalu informasi yang seperti apa? dan bagaimana cara memperolehnya? Informasi yang diperoleh adalah berupa nilai ekspektasi dari suatu kuantitas yang hendak diukur, misalnya dimana partikel itu “sering” berada atau berapa “momentum rata-ratanya”. Nilai rata-rata dari suatu variabel dinamis ekspektasi, yaitu: 〈 〉=c
Ψ∗
,
d
Ψ ,
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
,
didefinisikan sebagai nilai 15
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
dengan d adalah operator yang merepresentasikan variabel dinamis , dalam mekanika kuantum. Tampak bahwa untuk memperoleh informasi tentang partikel mengenai suatu variabel dinamis, kita harus mengetahui operator yang merepresentasikan variabel tersebut. Jika fungsi gelombang Ψ , tidak ternormalisasi maka persamaan (15) menjadi: 〈 〉=
c
c
Ψ∗
Ψ∗
,
,
d
Ψ ,
Ketidakpastian hasil pengukuran didefinisikan sebagai berikut. =〈
∆
16
Ψ ,
dinyatakan dengan standar deviasi ∆ , yang
〉−〈 〉
dengan 〈
〉=
Ψ∗
,
d
Ψ ,
Sebagai contoh, misalnya kita ingin mengetahui posisi partikel pada suatu waktu tertentu maka nilai ekspektasi posisinya adalah: 〈 〉=c
〈 〉=c d
Ψ∗ Ψ∗
,
d
,
Ψ ,
Ψ ,
adalah operator yang merepresentasikan Ketidakpastian posisi ∆ , adalah: ∆
=〈
〉−〈 〉
posisi
dimana
d
= .
dengan 〈
〉=
Ψ∗
,
Ψ ,
Berikut ini adalah operator dari beberapa variabel dinamis dalam mekanika kuantum: Operator posisi:
d
=
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
Operator momentum: (d = −,ℏ Operator Energi Kinetik: fd =
Operator Hamiltonian: Gd = −
@
@ .
/
=−
ℏ. @ .
/@ .
ℏ. @ .
/@ .
+D
Contoh 2 Fungsi gelombang ternormalisasi suatu partikel dengan potensial harmonik sederhana diberikan oleh Ψ ,
R i/j =g h $
Z ./
% /ℏ
Tentukan nilai ekspektasi 〈 〉, dan 〈
〉, serta ketidakpastian posisi ∆ !
Solusi
Nilai ekspektasi 〈 〉 partikelnya adalah
〈 〉=
〈 〉=
Ψ∗
,
R i/j g h $
R i/ 〈 〉=g h $ R i/ 〈 〉=g h $
Ψ ,
Z ./
% /ℏ
Z .
R i/j g h $
Z ./
% /ℏ
Z .
〈 〉=0
Nilai ekspektasi 〈
〈
〉=
Ψ∗
,
〉 partikelnya adalah
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
Ψ ,
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
〈
R i/j g h $
〉=
Z ./
R i/ 〉=g h $
〈
R i/ 〉=g h $
〈
R i/ 〉=2 g h $
〈
% /ℏ
Z .
Z ./
% /ℏ
→ fungsi genap
Z .
Y
R i/j g h $
Z .
R i/ 1 $ i/ 〉=2 g h q g h r $ 4R R
〈 〈
〉=
1 2R
Ketidakpastian posisi ∆ , yaitu ∆
=〈
∆ = s〈 ∆ =`
1 2R
〉−〈 〉
〉−〈 〉
Syarat Fungsi Gelombang t
Fungsi Gelombang Ψ yang memenuhi persamaan Schrödinger adalah fungsi gelombang yang memenuhi kriteria-kriteria berikut ini. 1.
Kuadrat dari fungsi gelombang |Ψ| harus dapat diintegralkan dan bernilai berhingga. |Ψ|
< ∞
Oleh karena integral dilakukan untuk seluruh ruang, konsekuensinya: Ψ ,
2.
→ 0 untuk x → ∞
Fungsi gelombang Ψ ,
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
dan turunannya
vw
vx
,
, harus bernilai berhingga
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
3. 4.
Fungsi gelombang Ψ ,
Ψ ,
dan turunannya
dan turunan pertamanya
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
@w
@
,
vw
vx
,
, harus bernilai tunggal
kontinue di semua x
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
