GEOMETRIA ANALITICA CUADERNO DE EJERCICIOS EL MATERIAL QUE

GEOMETRIA ANALITICA CUADERNO DE EJERCICIOS EL MATERIAL QUE SE PRESENTA EN ESTE CUADERNO DE EJERCICIOS CORRESPONDE AL PROGRAMA VIGENTE DEL CURRICULUM DEL BACHILLERATO DE LA U.A.E.M. PRESENTA EJERCICIOS QUE APOYAN EL PROCESO DE ENSEÑANZAAPRENDIZAJE DEL ALUMNO CON UN ENFOQUE POR COMPETENCIAS DE CADA UNO DE LOS MODULOS DEL PROGRAMA ROBERTO MERCADO DORANTES 25/10/2011

PROGRAMA MODULO I

RECTA

MODULOII

CIRCUNFERENCIA

MODULO III

PARÁBOLA

MODULO IV

ELIPSE

MODULO VI

HIPERBOLA

Roberto Mercado Dorantes

Página 2

INDICE PORTADA

1

PROGRAMA

2

INDICE

3

MODULO I

4-13

MODULO II

14-17

MODULO III

18-23

MODULO IV

24-34

MODULO V

35-42

BIBLIOGRAFIA

43


Página 3

MODULO I OBJETIVO Calcular ecuaciones de rectas, graficarlas y resolver problemas cuya modelación conduzca a ecuaciones de rectas. OBJETIVOS PARTICULARES: Calcular la ecuación de una recta, dados como datos: dos puntos, pendiente y un punto, el ángulo de inclinación y un punto. Obtener la ecuación de una recta, a partir de la pendiente y ordenada al origen. Identificar la pendiente, la abscisa y la ordenada al origen a partir de la ecuación general de una recta. Graficar la recta a partir de su ecuación general. Reconocer que toda ecuación de primer grado se representa como una recta y recíprocamente. Resolver problemas que involucren el concepto de distancia de un punto a una recta

Evidencias de aprendizaje 1. Obtén las coordenadas de los siguientes puntos mostrados en el plano cartesiano

A(


), B (

), C (

), D (

), E (

)

Página 4

2. Calcula el perímetro del siguiente polígono que se muestra en la figura

P=

3. Determine las coordenadas del P( x, y ) , que divide al segmento AB cuyos extremos son: A (1,-1) Y B (10,10) en la razón r


1 , e indique si es punto de trisección. Grafique 3

Página 5

4. Determine las coordenadas del punto medio de un segmento de recta delimitado por los puntos A (-5,3) y B (6,1/2). Grafique

5. Señala gráficamente la pendiente m del segmento de recta que se muestra en la figura y obtén el valor de su ángulo de inclinación


Página 6

6. Calcula el ángulo interior del triángulo con vértice en el punto A del triángulo formado por los puntos A (-1,1), B (2,5) y C (4,-3). Grafique

7. Halle la ecuación del conjunto de puntos, tales que el triple de su ordenada disminuida en seis unidades es igual al cuádruple de su abscisa.


Página 7

8. Halle la ecuación del conjunto de puntos que equidistan ocho unidades del punto A( 3,4) . Grafique

9. Grafica en el plano cartesiano las siguientes ecuaciones:

a) x

4

b) y c

2 x

y


Página 8

10. Obtenga la ecuación de la recta que contiene al punto P (2,3) y su ángulo de inclinación es

1350 . Grafique

11. Obtenga la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (-2,-3) y B (2,5). Grafique


Página 9

12. Halle la ecuación de la recta que tiene pendiente m=1/3 y su intersección con el eje Y es el punto (0,-2). Grafique

13. Obtenga la pendiente da cada una de las siguientes rectas:

a)2 x 3 y 10 b) x

y 5

0

0

c)5 x 4 y 15

0

a) m=……………………………. b) m=……………………………. c) m=-------------------------

14. Determine la ecuación general de la recta que contiene al origen y es paralela a la recta

2 x 3 y 12

0


Página 10

15. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto P (-4,3) Y es perpendicular a la recta

x 2y

0

15. Determine el valor de k para que la recta 2kx (k recta que tiene por ecuación 7 x 10 y 12

2) y 10

0.

16. Determine la distancia del punto P(5,-6) a la recta: 3x


0, sea perpendicular a la

4y 6

0

Página 11

Evidencias de aprendizaje 1. Escribe la ecuación cuya pendiente es m 3 y su intersección con el eje y es el punto (0,2). (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico). 2 y ordenada en el origen 3 igual a 4 (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico).

2. Escribe la ecuación de la recta de pendiente

3. La siguiente ecuación y 4x 50 representa el sueldo de Luis que trabaja en una florería, donde y representa el salario semanal de Luis en dólares y la literal x representa el número de arreglos florales vendidos durante la primera semana, calcula: a) El sueldo semanal de Luis cuando no vende ningún arreglo floral b) Cuando vende 10 arreglos florales c) Representa utilizando Geogebra la solución de los dos incisos anteriores. 4. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,5) y tiene pendiente m 2 (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico). 5. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 (2,3) y tiene un ángulo de inclinación 450 (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico).

6. Escribe la ecuación que pasa por los puntos P1 (3,5) y P2 ( 2,1) . (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico). 7. Se espera que el valor de una maquina disminuya con el paso del tiempo de manera lineal. Do puntos de datos indican que el valor de la maquina en un año después de la compra será $120,000.00 y su valor después de 6 años será de $30,000.00. Determina: a) La ecuación que representa la depreciación de considerando como valor V, y antigüedad en años t. b) Interpreta el significado de la pendiente c) (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico).

la

máquina,

8. De acuerdo con la Ley de Charles, la presión P (en pascales) de un volumen de gas se relaciona de forma lineal con la temperatura T (en grados centígrados). Un experimento dio como resultado que si T=20, entonces P=40, y que si T=70, entonces P=90.


Página 12

(Sugerencia: representa en el eje y la presión y temperatura en el eje x) a) b) c) d)

¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene estos puntos? Explica el significado de la pendiente en este contexto Escribe la ecuación de este modelo experimental Utilizando Geogebra representa el lugar geométrico de la ecuación obtenida.

9. Escribe la ecuación de la recta en forma simétrica, si sus intersecciones con los ejes X Y son los puntos A (3,0) y B (0,-2). (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico). 10. La grafica que aparece más adelante muestra el comportamiento de un negocio que renta locales para exposiciones. El dueño cobra x pesos por metro cuadrado, y el número de espacios y que puede rentar esta modelado por la ecuación lineal y 200 5x . a) ¿Cuántos espacios disponibles hay al iniciar el negocio? b) Escribe el modelo de la ecuación en la forma simétrica c) ¿Qué significa la intersección de la recta con el eje x


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MODULO II

CIRCUNFERENCIA

En este tema se pretende que el alumno desarrolle las siguientes; competencias: 1. Construir e interpretar modelos auxiliándose de distintas formas de la ecuación de la circunferencia al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. 2. Interpretar tablas, gráficas y expresiones simbólicas relacionadas con diferentes formas de la ecuación de la circunferencia. 3. Argumentar la pertinencia de utilizar una forma específica de la ecuación de la circunferencia, dependiendo de la naturaleza de la situación bajo estudio

Conocimientos Al finalizar este tema, el alumno adquirirá los conocimientos que le permitirán: 1. Reconocer las curvas que se obtienen al realizar cortes a un cono mediante un plano. 2. Reconocer la circunferencia como lugar geométrico. 3. Identificar los elementos asociados a la circunferencia.

4. Comprender la existencia de una circunferencia específica cuando se conocen su centro y su radio. 5. Identificar el centro y el radio de una circunferencia con centro en el origen a partir de su ecuación. 6. Identificar las secciones cónicas resultantes de los cortes a un cono

Habilidades Al finalizar este tema, el alumno habrá desarrollado las habilidades que le permitirán: 1. Analizar la forma de secciones cónicas en su entorno. 2. Determinar los elementos mínimos para trazar una circunferencia.


Página 14

3. Integrar los elementos necesarios para el trazado de una circunferencia con centro en el origen en la escritura de su ecuación. 4. Obtener los elementos de una circunferencia a partir de su ecuación. 5. Resolver problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de circunferencias con centro en el origen. 6. Reflexionar sobre las características de la circunferencia como lugar geométrico, con la finalidad de modelar fenómenos o situaciones provenientes de diversos contextos.

Actitudes y valores Al estudiar el tema, el alumno: 1. Participará activamente en la realización de ejercicios y en la resolución de problemas. 2. Aportará puntos de vista personales con apertura y considerará los de otras personas. 3. Propondrá maneras creativas de resolver problemas matemáticos.

Indicadores de desempeño Se pretende que el alumno logre: 1. Identificar el tipo de curvas que se forman por medio de los cortes de un plano en un cono. 2. Realizar las descripciones mínimas necesarias para el trazado de una circunferencia. 3-Determinar la expresión algebraica de una circunferencia con centro en el origen a partir de la medida de su radio o de otros datos. 4. Establecer el centro y el radio de una circunferencia con centro en el origen a partir de su ecuación. 5. Resolver situaciones problemáticas que impliquen determinar la ecuación o la gráfica de circunferencias con centro en el origen.


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Es el lugar geométrico del conjunto de puntos tales que su distancia (radio) a un punto fijo (centro) es siempre constante

Dónde: r= constante (radio) C=punto fijo (centro) CP r

Formas de la ecuación de una circunferencia a)Ecuación de una circunferencia de centro en el origen(0,0) y radio r b)Ecuación de una circunferencia de centro (h,k) y radio r c)Ecuación de una circunferencia en su forma general

x2

( x h) 2 x2

y2

y2

r 2 ;forma canoníca

( y k)2 Dx

Ey

r 2 ;forma ordinaria F

0 ;forma general

Evidencias de aprendizaje 1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y radio 6 (Utilizando Geogebra representa su lugar geométrico). 2. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y radio 6 3. Determina si el punto (3,-1) pertenece a la circunferencia x 2 y 2 9 R. No es un punto de la circunferencia

4. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y que pasa por el punto (2,3). Utiliza Geogebra para trazar su grafica. R. x 2

y2

13

5. Una laguna de forma circular tiene una superficie de 806m2, toma como origen el centro de la laguna, obtén la medida de su radio. R. 16.02 Roberto Mercado Dorantes

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6. Escribe la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en el punto (2,1) y radio r=3 (Utiliza Geogebra para trazar su grafica).

( x 2) 2

( y 1) 2

9

7. En la ciudad de México se encuentra un reloj floral, que tiene una caratula floral de 10 metros de diámetro. Lo adornan 20 mil plantas de diferentes especies. Determina: a) La ecuación ordinaria de la circunferencia considerando que su centro esta en el punto P (6,2)

( x 6) 2

( y 2) 2

100

8. La glorieta del paseo colon en la ciudad de Toluca tiene por ecuación en su base x 2 y 2 24 x 24 y 144 0 ; Determinar: a) La ecuación ordinaria b) Elementos (centro, radio) 9. Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (-1,0) y que es tangente a la recta 3x 4 y 12 0. (Utiliza Geogebra para trazar su grafica). 10. Transformar la siguiente ecuación de una circunferencia, a la forma ordinaria, obtén las coordenadas del centro, la magnitud del radio y representa su lugar geométrico utilizando Geogebra.

x2

y2

2 x 4 y 20


0

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MODULO III

PARÁBOLA

En este tema se pretende que el alumno desarrolle las siguientes competencias: 1. Construir e interpretar modelos sobre la parábola como lugar geométrico al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas.

2. Interpretar tablas, gráficas y expresiones simbólicas en distintas representaciones de la parábola. Conocimientos Al finalizar este tema, el alumno adquirirá los conocimientos que le permitirán: 1. Reconocer a la parábola como lugar geométrico. 2. Identificar los elementos asociados a la parábola. 3. Reconocer la ecuación de parábolas horizontales y verticales con vértice en el origen. 4. Identificar los elementos de una parábola con vértice en el origen a partir de su ecuación. Habilidades Al finalizar este tema, el alumno habrá desarrollado las habilidades que le permitirán: 1. Determinar las condiciones necesarias para trazar una parábola. 2. Integrar los elementos necesarios para el trazado de una parábola con vértice en el origen y eje focal coincidente con el eje x o y en la escritura de su ecuación 3. Obtener los elementos de una parábola horizontal o vertical con vértice en el origen a partir de su ecuación.

4. Resolver problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de parábolas horizontales o verticales con vértice en el origen.


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Actitudes y valores Al estudiar el tema, el alumno: 1. Participará activamente tanto en la realización de ejercicios como en la resolución de problemas referentes al lugar geométrico de la parábola. 2. Aportará puntos de vista personales con apertura y considerará los de otras personas. 3. Propondrá maneras creativas de resolver problemas matemáticos. Indicadores de desempeño Se pretende que el alumno logre: 1. Reconocer los elementos de la parábola como lugar geométrico. 2. Trazar parábolas por medio de distintos métodos. 3. Determinar la ecuación de una parábola vertical u horizontal con vértice en el origen. 4. Determinar el vértice, el foco y la directriz asociados a una parábola a partir de su ecuación. 5. Modelar situaciones en las que intervienen parábolas verticales u horizontales con vértice en el origen.


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Formas de la ecuación de una parábola

a)Ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje horizontal(forma canonica)

y 2 4 px ;p distancia del vértice al foco, si p>0 la parabola se abre a la derecha, si p<0 la parábla se abre a la izquierda b) Ecuación de una x 2 4 py ; p distancia parábola con vértice del vértice al foco, si en el origen y eje p>0 la parabola se vertical(forma abre hacia arriba, si canonica) p<0 la parábla se abre hacia abajo. c)Ecuación de una ( y k ) 2 4 p ( x h) parábola de vértice ;p distancia del (h,k) y eje vértice al foco, si p>0 horizontal(forma la parabola se abre a ordinaria) la derecha, si p<0 la parábla se abre a la izquierda d) Ecuación de una ( x h) 2 4 p ( y k ) parábola de vértice ;p distancia del (h,k) y eje vértice al foco, si p>0 vertical(forma la parabola se abre a ordinaria) la derecha, si p<0 la parábla se abre a la izquierda


Ecuación de la directriz es x=-P,las coordenadas de su foco son F(p,0) y la longitud de su lado recto LR= 4 P Ecuación de la directriz es y=-P,las coordenadas de su foco son F(0,p) y la longitud de su lado recto LR= 4 P Ecuación de su directriz x=h-p, coordedenadas de su foco F(h+p,k), longitud de su lado rectoLR= 4 P

Ecuación de su directriz y=k-p, coordedenadas de su foco F(h,k+p), longitud de su lado rectoLR= 4 P

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Forma general de la ecuación de la parábola Una ecuación de segundo grado en las variables x y que carezca del término en xy puede escribirse en la forma Ax 2 Cy 2 Dx Ey F 0 a) Si A=0.C 0 y D 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo(o coincide) el eje X. Si, en cambio, D=0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje X, dos rectas coincidentes paralelas al eje X, o ningún lugar geométrico, según que las raíces de Cy 2 Ey F 0 sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas

b) Si A 0 , C=0 y E 0 , la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje Y. Si, en cambio, E=0, la ecuación representa dos recta diferentes paralelas al eje Y, dos rectas coincidentes paralelas al eje Y o ningún lugar geométrico, según que las raíces de Ax2 Dx F 0 sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas

Evidencias de aprendizaje

1. Escribe la ecuación de la parábola con vertice (0,0) y foco el punto (3,0), obten ademas el valor de su lado recto y la ecuación de su directriz. (Utilizando Geogebra representa su lugar geometrico) Resultado: y 2 12 x Ecuación buscada LR=12 Ecuación de la directriz x=-3

2. Escribe la ecuación de la parábola con vertice (0,0) y el eje vertical, pasa por el punto (6,3), obten ademas las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto. (Utilizando Geogebra representa su lugar geometrico) Resultado: Ecuación de la parábola x 2 12 y Coordenadas del foco F(0,3) Ecuación de la directriz y=-3 Longitud del ladorecto LR=12 Roberto Mercado Dorantes

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3. Obtenga la ecuación en forma ordinaria de la parábola con vertice en el punto (-4,3) y que tiene como foco el punto (-1,3). Obtenga ademas la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto. (Utilizando Geogebra representa su lugar geometrico) Resultado: Ecuación de la parábola ( y 3) 2 Ecuación de la directriz x=-7 Longitud del lado recto LR=12

12 ( x 4)

4. Obtenga la forma ordinaria de la ecuación de la parábola cuya ecuación general es 4 y 2 48 x 20 y 71 0 Resultado: y

5 2

2

12( x 2)

5. Compruebe que la ecuación 4 x 2

48 y 12 x 159

0

representa una parábola.

Hallar todos sus elementos

Resultado Representa una parábola con eje vertical x

3 2

2

12 y

7 2

3 1 , Coordenadas del foco 2 2 13 Ecuación de la directriz y 2 Longitud del lado recto LR=12


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6. Un reflector cuya concavidad es parabólica, tiene un diámetro de 30 cm y mide 20 cm de profundidad, como se aprecia en la figura. Si el filamento del bulbo está en el foco, ¿a qué distancia del vértice del reflector se encuentra? Sugerencia: Si haces un bosquejo de la figura en las coordenadas cartesianas, observa que tienes el punto (20,15).

7. El puente Golden Gate, en San Francisco, California, es un puente de suspensión cuya forma es aproximada a una parábola. Los cables del tramo principal se suspenden entre dos torres que se encuentran separadas 1 280 metros y cuyo borde superior se ubica a 150 metros por arriba de la autopista. El cable se extiende 3 metros arriba del punto medio de la autopista entre las dos torres. Encuentra una ecuación que represente la forma del cable. Observa la figura.


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Módulo IV Elipse La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.

E l e me ntos de la e l i ps e Foc os S o n lo s p un t o s f ijos F y F' . E je foc a l E s la re cta qu e pasa p o r lo s f o co s. E je s e c unda ri o E s la m e d iat riz d e l se gm e nt o FF'.


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Ce ntro E s e l pu n to de in terse cció n de lo s e jes. Ra di os ve c tore s S o n lo s se gme n tos qu e va n de sde un pu n to de la e lipse a lo s f o co s: P F y P F' . Di s ta nc i a foc a l E s e l se gm en t o

de lo n git u d 2c , c e s e l va lo r d e la

s e m i dis ta nc ia foca l . V é rti c es S o n lo s pu n to s d e in t e rse cció n d e la e lip se con lo s eje s: A , A ', B y B '. E je ma yor E s e l se gm e nt o

d e lon git u d 2a , a e s e l va lo r d el

s e m i e je ma yor . E je me nor E s e l se gm en t o

d e lon git u d 2 b, b e s e l va lo r d el

s e m i e je me nor . E je s de si me trí a S o n la s re ct a s qu e co n t ien e n a l e je m a yo r o a l e je m en o r.


Página 25

Ce ntro de s i me tría Co in cid e con e l ce n t ro d e la e lip se, qu e e s e l pu n to de in t e rse cció n d e lo s e je s de sime t ría .

Re l a c i ón e ntre la di s ta nc i a foc a l y l os s emi e je s

Excentricidad de la elipse L a e xc e ntri ci da d e s u n n úm e ro qu e m ide e l ma yo r o m e no r a ch a ta m ie n to de la e lip se . Y e s igu a l a l co cien t e e n t re su se m id ista n cia f o cal y su se m ie je m a yo r.


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En este tema se pretende que el alumno desarrolle las siguientes competencias: a) Construir e interpretar modelos sobre la elipse como lugar geométrico al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. b) Interpretar tablas, gráficas y expresiones simbólicas representaciones de la elipse con centro en el origen.

como

distintas

Conocimientos Al finalizar este tema, el alumno adquirirá los conocimientos que le permitirán: a) Caracterizar la elipse como lugar geométrico. b) Identificar los elementos asociados a la elipse. c) Reconocer la ecuación ordinaria de elipses horizontales o verticales con centro en el origen y con ejes sobre los ejes cartesianos.


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d) Identificar los elementos de una elipse con centro en el origen y con ejes sobre los ejes cartesianos, a partir de su ecuación ordinaria.

Habilidades Al finalizar este tema, el alumno habrá desarrollado las habilidades que le permitirán: a) Determinar las condiciones necesarias para trazar una elipse con la ayuda de hilo, regla y compás. b) Integrar en un plano cartesiano los elementos necesarios para trazar una elipse con centro en el origen y con eje focal sobre algún eje coordenado, y conocer su efecto en la conformación de su ecuación. c) Obtener los elementos de elipses horizontales o verticales con centro en el origen y con eje focal sobre alguno de los ejes coordenados a partir de su ecuación. d) Resolver problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de elipses con centro en el origen.

Actitudes y valores Al estudiar el tema, el alumno: a) Participará activamente tanto en la realización de ejercicios como en la resolución de problemas referentes a la elipse. b) Aportará puntos de vista personales con apertura y considerará los de otras personas. c) Propondrá maneras creativas de resolver problemas matemáticos.

Indicadores de desempeño Se pretende que el alumno logre: a) Reconocer los elementos de la elipse como lugar geométrico. b) Trazar elipses por medio de distintos métodos. c) Determinar la ecuación de elipses verticales u horizontales con centro en el origen y con ejes coincidentes con los ejes coordenados. Roberto Mercado Dorantes

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d) Determinar los elementos asociados a una elipse a partir de su ecuación. e) Modelar situaciones en las que intervienen elipses verticales u horizontales con centro en el origen y con ejes coincidentes con los ejes coordenados

ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL SOBRE EL EJE X

Ecuación

Vértices

x2 a2

V (a, o), V ' ( a, o)

y2 b2

1

Longitud del eje mayor 2a

Longitud del eje menor 2b

Focos F(c,0), F´(-c,0)

ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL SOBRE EL EJE Y

x2 b2

y2 a2

1

V (0, a ), V ' (0, a )

2a

2b

F(0,c),F’(0,-c)

Elipse Horizontal

Elipse Vertical


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Evidencias de aprendizaje 1. Escribe la ecuación de la elipse en forma canónica que tiene como vértices y focos los siguientes puntos: V (6,0), V´ (0,-3), F (4,0) y F (-4,0), representa su lugar geométrico utilizando Geogebra. Respuesta: Ecuación en su forma canónica

x2 36

y2 20

1:

2. Escribe la ecuación de la elipse en forma canónica que tiene como focos 2 los siguientes puntos: F (0,3), F´ (0,-3) y su excentricidad es representa 3 su lugar geométrico utilizando Geogebra. Respuesta: Ecuación en su forma canónica

x2 9 2

y2 2

45 2

1

2

3. Escribe la ecuación de la elipse en su forma ordinaria que tiene como focos los siguientes puntos: F (-4,-6), F (-4,-2) y vértices V´ (-4,-8), V (-4,0). representa su lugar geométrico utilizando Geogebra. Respuesta: Ecuación en su forma ordinaria


( x 4) 2 12

( y 4) 2 16

1

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4. Escribe la ecuación de la elipse en su forma ordinaria con centro en C(-9,3) foco y vértice en F (-6,3),y vértices V (-4,3),obtén además su dominio y rango, representa su lugar geométrico utilizando Geogebra. Respuesta: Ecuación de la elipse en su forma ordinaria Dominio x Rango y

( x 9) 2 25

( y 3) 2 16

1

14 , 4 1,7

5. El centro de una elipse es el punto (-2,-1) y uno de sus vértices es el punto (3,-1). Si la longitud de cada lado recto es 4, escribe la ecuación de la elipse en su forma ordinaria, su excentricidad y las coordenadas de sus focos. representa su lugar geométrico utilizando Geogebra. Respuesta: Ecuación de la elipse en su forma ordinaria c 15 a 5 Coordenadas de los focos F ( 2

( x 2) 2 25

( y 1) 2 10

1

Excentricidad e

6. La 9x 2

15 , 1) y F ´ ( 2

15 , 1)

forma general de la ecuación de una elipse es: 2 4 y 18 x 12 y 18 0 .Redúzcala a su forma ordinaria; determine

centro, focos, longitud de los ejes mayor y menor, lado recto y su excentricidad. representa su lugar geométrico utilizando Geogebra.

Respuesta:

( x 1) 2 Ecuación de la elipse en su forma ordinaria 4 Centro C(-1,3/2) 3 3 Focos F ( 1, 5 ) y F ´( 1, 5) 2 2 3 3 Vértices V ( 1, 3) y V ( 3 ) 2 2 Longitud del eje mayor LR=6 Roberto Mercado Dorantes

3 2 ) 2

(y 9

1

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Longitud del eje menor Lm=4 5 Excentricidad e 3

7. La órbita de la tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el sol, sabiendo que el semieje mayor de la elipse es 148.5 millones de kilómetros y qué la excentricidad vale 0,017, hallar la máxima y la mínima distancia de la tierra al sol.

Respuesta: Máxima distancia 152 millones de kilómetros Mínima distancia 146 millones de kilómetros


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Modulo V Hipérbola

Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante (se representa por 2a). La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola. El punto donde se cortan ambos ejes (que es el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola. Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes se llaman vértices de la hipérbola. Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios vectores del punto.

Sus elementos son: Vértices: A y A’

Covértices: B y B’

Eje transversal: recta que contiene los focos

Eje conjugado: recta que contiene a los covértices

Centro: intersección de los ejes transversal y conjugado O


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Ecuaciones canonícas de la hipérbola a ) S e llam a e cua ció n can o n íca a la ecu a ció n d e la h ipérb o la cu yo s e je s co in cide n co n lo s e je s co o rde n ad a s, y, p o r ta n to , e l ce n t ro d e h ip é rb o la con e l o rige n d e coo rd en a da s. S i e l e je rea l est á en e l e je d e ab scisa s la s coo rd e na d a s d e lo s f o co s son : F' (-c , 0 ) y F(c , 0 ) Cu a lqu ie r p u nt o de la h ip é rb o la cump le :

b ) E c uac i ón ca noní c a de e je ve rti c a l de l a hi pé rbol a

F'(0, -c) y F (0, c)

2 a =L o n git ud de l e je t ra n sve rso 2 b =L o n git ud de le je co n ju ga d o 2 c=Dist a n cia én t relo s f o co s


Página 36

c2

a2

b2

Fo rm a s d e la e cuació n de la h ip é rb o la d e ce nt ro (h , k) a ) E je f o ca l pa ra lelo a l e je X ( x h) 2 a2

( y k)2 b2

1

b ) E je f o ca l pa ra lelo a l e je Y ( y k)2 a2

( x h) 2 b2

1

E xce n t ricid a d e

c a

1

Evidencias de aprendizaje a ) L o s vé rt ice s d e u n a h ip é rbo la son lo s p u nt o s V (3, 0 ) y V ` (-3 , 0 ) y su s f o co s so n lo s p u n to s F(5 , 0 ) y F`( -5 , 0 ). De t e rm in a r la e cua ción d e la h ip é rb o la , las lo n git u d e s d e sus e je s t ra n sve rso y co n ju ga d o , su e xce n t ricid a d , la lo n git u d d e ca da la d o re ct o , e l d omin io , ra n go y co n st ru cción gra f ica u t iliza n d o Ge o ge b ra .

Re s pue s tas : x2 E c ua ci ón 9

y2 16

1

Longi tud de l e je tra ns ve rs o

LT=6

Longi tud de l e je conjuga do

LC=8

Longi tud de c a da l a do rec to LR= E x c e ntric i da d e Dom i ni o x

(

5 3

, 3)


32 3

1 (3,

) Página 37

Ra ngo y

(

,

)

b ) E scrib e la e cu ació n 9 x 2

4y2

todos

con

su s

e leme n t o s,

0 , e n su f o rma ca n on íca y o b tén

36

Ge oge b ra

re p re se n ta

su

lu ga r

ge o m é t rico .

Re s pue s ta: y2 E c ua ci ón e n s u forma c a noníc a 9

Foc os F(0 , 13 ) y F(0 ,

x2 4

1

13 )

V é r ti c es (0 , 3 ) y V ( 0 , -3 ) E x tr e mos de l e je c onjuga do (2 , 0 ) y ( -2 , 0 ) Longi tud de l e je tra ns ve rs o LT=6 Longi tud de l e je c onjuga do LC=4 Longi tud de c a da l a do rec to LR= 13 3

E x c e ntric i da d e Dom i ni o x ( Ra ngo y

(

, , 3)

8 3

1

) (3,

)

c) O b t en ga la s e cu a cio ne s d e la s asín t o t a s d e la h ipé rb o la cu ya e cu a ción e s: 4 x 2

25 y 2

100 u t iliza n do G eo ge b ra rep re se n ta su lu ga r

ge o m é t rico . Re s pue s ta: E c uac i ones de la s as í ntota s


2x 5 y 2x 5 y

0 0 Página 38

d ) L o s vé rt ice s de u n a h ipé rb o la e stá n en lo s p un t o s ( -5 , -3 ) y ( -5 , 1 ) y lo s e xt re m os d e l e je con ju gad o e st á n e n ( -7 , -2 ) y ( -3 , -2 ). O b t en ga la e cu a ció n d e la h ip é rbo la a sí co m o la s e cu acio n e s de la s a sín t o t a s.

Re s pue s ta: ( y 2) 2 ( x 1 x 2y E c ua ci one s de l as a sí ntota s x 2y

E c ua ci ón de la hipé rbol a

5) 2 1 4 1 0 9 0

e) Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es

Solución Completando el cuadrado en ambas variables

Por tanto, el centro está en y


. El eje de la hipérbola es horizontal,

Página 39

Los vértices están en excentricidad es

, los focos en

y la

. La gráfica se muestra en la figura

f) Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en asíntotas trace la gráfica.

y

y

y

y

. Además calcule los focos, la excentricidad y

Solución Por ser el centro el punto medio de los vértices sus coordenadas son . Además, la hipérbola tiene eje transversal vertical y . Por otro lado, por el teorema de las asíntotas.


Página 40

Por tanto, la ecuación canónica es

El valor de

está dado por

Los focos están en gráfica se muestra en la figura


y

y la excentricidad es

La

Página 41

y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son

-La tangente en un punto P de una hipérbola es la bisectriz del ángulo formado por lo segmentos que unen este punto con los focos.


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BIBLIOGRAFIA

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OCAMPO CONTRERAS, JÓSE, GEOMETRIA ANALITICA, U.A.E.M, MEXICO 2011

 LEHMANN, CHARLES, GEOMETRIA ANALITICA, LIMUSA, MÈXICO, 1982  JIMENEZ, RENE, MATEMATICAS III, PEARSON, MEXICO, 2011  VAZQUEZ SANCHEZ, AGUSTIN, GEOMETRIA ANALITICA, PEARSON, MÈXICO, 2007  OTEYZA.LAM.HERNANDEZ.CARRILLO, GEOMETRIA ANLITICA, PEARSON, MEXICO, 2005


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GEOMETRIA ANALITICA CUADERNO DE EJERCICIOS EL MATERIAL QUE

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