JURNAL APLIKASI FISIKA
VOLUME 7 NOMOR 1
FEBRUARI 2011
Hukum Gravitasi Newton dan Hukum Keppler dalam Model Randall – Sundrum Azrul Azwar Program Studi Fisika, FMIPA, Universitas Tanjungpura Jalan Jendral Ahmad Yani Pontianak 78124 e-mail :
[email protected] Abstrak Telah dilakukan kajian terhadap model Randall – Sundrum yang difokuskan untuk mendapatkan perumusan hukum gravitasi Newton dan hukum Keppler dalam model tersebut. Dari kajian ini diperoleh bahwa hukum gravitasi Newton mengalami modifikasi. Modifikasi ini menjadi signifikan pada jarak yang sangat dekat. Penerapannya pada hukum Keppler memberikan perubahan pada hubungan antara periode dan jarak planet. Kata Kunci : Randall-Sundrum, Dimensi Ekstra, Brane, Gravitasi.
semesta dianggap sebagai sebuah permukaan tiga dimensi (yang disebut “brane” atau lebih tepat “3-brane”, mengacu pada tiga dimensi ruang), yang tersimpan (embedded) dalam ruang-waktu berdimensi lima (yang disebut “Bulk”), dengan semua medan materi dan medan gauge selain medan gravitasi terkurung (hanya memiliki dinamika) pada brane, sedangkan gravitasi yang merupakan dinamika dari seluruh ruang-waktu dan dimediasi oleh graviton dapat bergerak dalam Bulk [2-5]. Dalam model Randall–Sundrum, ruangwaktu bulk bersifat lengkung, yang dipilih berbentuk ruang-waktu Anti-de Sitter berdimensi lima. Ruang-waktu ini merupakan ruang–waktu bersimetri maksimal dengan konstanta kosmologi bernilai negatif. Sedangkan brane memiliki tegangan (tension) s , dan dianggap memiliki simetri refleksi Z 2 (Z ® -Z ) , serupa dengan model HoravaWitten [2-5]. Geometri model Randall – Sundrum dinyatakan oleh metrik [2,3]
1. Pendahuluan Saat ini telah banyak dikembangkan model alam semesta dengan dimensi tambahan (extra dimension) [1-3]. Salah satu model yang cukup populer adalah model Randall – Sundrum [2,3]. Model ini telah digunakan dalam fisika partikel untuk menjelaskan masalah hirarki massa berdasarkan kehadiran dimensi ekstra yang melengkung [2,3]. Selain itu penerapannya pada kosmologi mengahasilkan model yang konsisten dengan model kosmologi standar pada level energi rendah (kondisi alam semesta saat ini) dan hanya berbeda pada level energy tinggi (awal alam semesta) [4-6]. Salah satu permasalahan dalam model dengan dimensi tambahan adalah belum adanya bukti eksperimental keberadaan dimensi tambahan tersebut. Secara teoritis, kehadiran dimensi tambahan ini dapat dibuktikan dengan mengamati penyimpangan pada hukum gravitasi, karena gravitasi merupakan dinamika dari ruang-waktu itu sendiri. Dalam tulisan ini akan dibahas tentang modifikasi hukum Keppler dalam model Randall – Sundrum. Adanya modifikasi ini diharapkan dapat diamati secara ekperimental melalui observasi periode gerak planet sehingga menjadi bukti keberadaan dimensi tambahan.
(1) dengan
, disini
adalah konstanta
kosmologi. Metrik (1) di atas menyatakan geometri ruang – waktu berdimensi lima dengan kelengkungan konstan sebesar
2. Model Randall – Sundrum Model Randall – Sundrum merupakan salah satu model dunia brane dalam ruang – waktu berdimensi lima. Dalam model ini, alam
(2)
37
38
JAF, Vol. 7 No. 1 (2011), 37-40
(
)
( )
Sedangkan faktor disebut sebagai faktor kelengkungan. Pada titik z = 0 faktor kelengkungan ini bernilai 1 dan metrik (1) di atas akan menjadi ruang-waktu Minkowski.
hmn x a , Z = y (Z )F x a (6) ke dalam persamaan (5) sehingga diperoleh
3. Gravitasi Newton dalam Model Randall – Sundrum
1 rs h ¶ r ¶s F x r = F 1 -2 k Z 2 e ¶ Z + 4kd (Z ) - 4k 2 y (Z )
Untuk memperoleh gravitasi Newtonian dalam model Randall-Sundrum dapat dilakukan dengan memberikan perturbasi linear terhadap metrik. Tinjau fluktuasi kecil gravitsi d g AB pada metrik g AB , sehingga ds 2 = (g AB + dg AB )dx A dx B (3) Dalam kajian ini, akan membatasi pada fluktuasi kecil dalam “dunia” empat dimensi yang diberikan oleh metrik hmn (x, Z ) , sehingga
(
ds 2 = e
-2 k Z
)
h mn + hmn dx m dxn - dZ 2 (4)
Dengan mensubstitusikan metrik (9) pada tensor Einstein, dan dengan menggunakan kondisi Randall-Sundrum gauge (transverse-traceless gauge) [2], maka akan diperoleh persamaan
é 1 æ 1 rs ù 2 ö ê 2 ç U h ¶ r ¶ s - ¶ Z ÷ + V (Z )ú hmn = 0 (5) ø ë è û dengan: æ 1 ¶ 2U ö ÷ + 6kd (Z ) - 6k 2 V (Z ) = 2çç 2 ÷ è U ¶Z ø
U (Z ) = exp(- 2k Z ) Persamaan differensial (5) di atas dapat diselesaikan dengan metode separasi variabel, karena bagian non-trivial dari potensial hanya bergantung pada koordinat dimensi kelima, Z, yaitu dengan mensubstitusikan
( )
y
(
)
(7)
Persamaan (7) dapat diselesaikan apabila ruas kiri sama dengan ruas kanan, samasama bernilai konstan, dipilih - m 2 > 0 , sehingga akan diperoleh dua persamaan diferensial yang saling terkait, yaitu:
h rs ¶ r ¶ s F(x r ) = -m 2 F(x a )
(8)
é - m 2k Z 1 2 ù - ¶ Z - 2kd (Z ) + 2k 2 úy (Z ) = 0 ê 2 e 2 ë û (9) Dalam kerangka statik dengan simetri rotasi pada 3-brane seperti alam semesta kita, persamaan (8) dalam sistem koordinat bola akan menjadi 1 d æ 2 dF ö 2 çr ÷=m F 2 r dr è dr ø
(10)
Dalam sistem koordinat ini, F (x i ) hanya merupakan fungsi dari r saja. Apabila dipilih m = 0 , yaitu untuk kasus tak bermassa (mode ke-nol), maka persamaan (10) di atas akan menjadi persamaan Laplace, yaitu 1 d æ 2 dF ö çr ÷=0 r 2 dr è dr ø
(11)
yang memiliki solusi umum berbentuk F 0 (r ) = -
A +B r
(12)
Hukum Gravitasi Newton dan Hukum Keppler dalam Model Randall………..……..(Azrul Azwar)
Untuk sumber titik yang terletak pada r = 0 , konstanta integrasi A dapat A = G N m1 m 2 dan dipilih F 0 (¥ ) = 0 ® B = 0 , sehingga cocok dengan gravitasi Newtonian antara dua partikel bermassa m1 dan m 2 pada brane yang terletak di titik Z = 0
F 0 (r ) = -
G N m1m2 r
(13)
[
]
(14)
Ketika Z ¹ 0 , maka persamaan (14) di atas menjadi
d 2y = 4k 2y (Z ) 2 dZ
(15)
yang memiliki solusi berbentuk
y (Z ) = y 0 exp(- 2k Z )
¥
Kondisi
normalisasi
ò dZ y (Z )
2
=1
-¥
memberikan nilai konstanta normalisasi sebesar y 0 = 2k , sehingga solusi (16) akan menjadi
y (Z ) = 2k exp(- 2k Z )
(18)
Persamaan (18) akan menuju nol secara cepat ketika Z membesar, dan akan
Persamaan (13) di atas menunjukkan bahwa model Randall – Sundrum dapat menghasilkan hukum gravitasi Newton. Dalam pandangan model ini, gravitasi Newton pada brane dibangkitkan oleh pertukaran mode ke nol yang merupakan graviton tak bermassa. Untuk kasus m = 0 di atas, persamaan (9) akan menjadi
d 2y = 4k 2 - 4kd (Z )y (Z ) 2 dZ
39
memiliki nilai maksimum ketika Z = 0 . Ini berarti bahwa mode ke-nol yang menghasilkan gravitasi Newtonian akan terkonstrasi di dekat brane yang terletak pada Z = 0 . Solusi asimtotis persamaan (9) akan didomisasi oleh solusi gelombang datar karena potensial Kazula-Klein turun menuju nol ketika Z ® ¥ , sehingga keadaan Kazula-Klein continuum tanpa gap hadir untuk semua nilai m 2 > 0 , sehingga harga eigen m 2 bersifat kontinyu dan proper measure menjadi dm. Dengan menggunakan spektrum eigen ini, maka dapat dihitung koreksi terhadap potensial gravitasi Newton F (r ) antara dua partikel bermassa m1 dan m 2 pada brane yang terletak di Z=0 yang dibangkitkan oleh pertukaran mode Kazula-Klein continuum. Untuk itu, tinjau kembali persamaan (8)
(16)
yang memenuhi kondisi syarat batas pada Z = 0 melalui integrasi persamaan (15) pada selang - e £ Z £ e untuk e yang infinitesimal æ dy dy ö ÷ (17) 4ky (0) = limçç e ®0 dZ dZ -e ÷ø e è
1 d æ 2 dF ö 2 ÷=m F çr r 2 dr è dr ø
(19)
Solusi dari persamaan dari persamaan (19) adalah Ae - mr (20) F m (r ) = r Konstanta integrasi A dapat dipilih berbentuk A = G5 m1 m2 dengan G 5 adalah
40
JAF, Vol. 7 No. 1 (2011), 37-40
konstanta gravitasi Newton dalam dimensi lima yang terkait dengan konstanta gravitasi Newton dalam dimensi empat G melalui persamaan G5 = N . k Adanya kopling anatara mode continuum (m 2 > 0 ) dengan brane akan memberikan koreksi terhadap gravitasi Newtonian yang diberikan oleh persamaan ¥ m e - mr DF (r ) » G5 m1m2 ò dm k r 0 DF (r ) »
GN æ 1 ö m1m2 ç 2 ÷ k è kr ø
G N m1m2 r
1 ö æ ç1 + 2 2 ÷ è k r ø
F = -ÑF(r ) =
(22)
G N m1 m2 æ 2 ö ç1 + 4 4 ÷ 2 r è k r ø
(23)
Dari persamaan (23) di atas dapat diperoleh hukum Keppler III yang menggambarkan hubungan antara periode dan jarak planet, yang diberikan oleh persamaan
4p 2 r3 T = 2 ö GM æ ç1 + 4 4 ÷ è k r ø 2
(21) Sehingga hukum gravitasi Newton dapat dituliskan sebagai. F(r ) »
Besarnya gaya gravitasi antara dua benda bermassa m1 dan m2 dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan
(24)
Persamaan menunjukkan adanya koreksi terhadap periode orbit planet. Adanya koreksi ini memberikan peluang untuk memverifikasi kehadiran dimensi ke lima, yaitu dengan mengukur perbedaan periode planet yang diprediksi oleh hukum Newton dengan yang diprediksi oleh persamaan (24).
Dari hasil ini,dapat disimpulkan 1. 5. Kesimpulan bahwa gravitasi Newton akan mengalami Dari analisis di atas dapat disimpulkan koreksi. Koreksi ini akan signifikan untuk bahwa model Randall-Sundrum menghasilkan hukum gravitasi Newton dan hukum Keppler level energi tinggi sekitar 1/ k 2 » 108 GeV . yang termodifikasi. Modifikasi ini signifikan Pada level energi rendah model Randallpada level energi yang sangat tinggi. Sundrum secara konsisten identik dengan gravitasi Newton. 4. Modifikasi Hukum Keppler Adanya modifikasi pada hukum Newton yang diberikan oleh persamaan (22) akan menyebabkan modifikasi pada hukum Keppler. Untuk mendapatkan hukum Keppler dari model Randall-Sundrum, tinjau kembali persamaan energi potensial gravitasi yang diberikan oleh persamaan (22)
F(r ) »
G N m1m2 r
1 ö æ ç1 + 2 2 ÷ è k r ø
(22)
Daftar Pustaka [1]. N. Arkani-Hamed, S. Dimopulos dan G. Dvali. Phys. Lett. B 429, 263 (1998) [2]. L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev. Lett. 83, 3370 (1999) [3]. L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev. Lett. 83, 4690 (1999) [4]. D. Langlois, Prog. Theor. Phys. Suppl. 148, 181 (2003) [5]. P. Brax dan C. van de Bruck, Class. Quant. Grav 20, R201 (2003)
